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• Rodolfo Mercado

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INSTITUCION EDUCATIVA VICTOR ZUBIRIA-SEDE GUIA DE AUTOAPRENDIZAJE # 11 AREA: MATEMATICAS TEMA: Derivada de una función en un punto. Velocidad media e instantánea, aceleración media e instantánea.

ASIGNATURA: CALCULO DOCENTE: JOSEFINA CASTILLA DIAZ

GRADO: 11 FECHA DE INICIO: 31 de Agosto FECHA FINAL: 18 de Septiembre

META DE APRENDIZAJE: Entender la derivada como un límite de velocidades medias y Saber distinguir en qué puntos una función es derivable y en qué puntos no admite derivada. DERIVADA Saberes previos: si el tanque de agua de una casa se perfora ¿Qué debe tenerse en cuenta para calcular el tiempo en que se desocupara? El concepto de derivada tiene su origen relacionado con la tangente geométrica a una curva plana y con el concepto físico de velocidad. DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO.

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes. La definición de derivada es la siguiente: En algunos libros podemos encontrar la definición de derivada de la siguiente manera y es lo mismo.

(

El limite lim h →0

( f ( x+ h )−f ( x ) ) h

)

, es llamado la derivada de f de x (cuando el

limite existe) y se denota por f(x), así:

f´(x)=lim

h→ 0

( f ( x+h )−f ( x ) ) h

∆y

ó f´(x)=lim ∆ x

Además, f es derivable en un punto

h→ 0

La recta tangente al gráfico de la función f en el punto P = (x, f(x)) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.

OJO” la pendiente de la recta en el punto P es

mtan= lim

∆y ∆x

mtan =lim

( f ( x+h )−f ( x ) )

∆ x→ 0

h→ 0

ó

h

,

cuando el limite existe.

EJEMPLO: Se llama derivada de la función y = f(x) en el punto x0 y se denota por f’(x) Hallar la derivada de la función f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

EJEMPLO 2: Calcula la derivada en el punto que se indica.

 

 en 

.

Obtener la derivada

Eliminamos paréntesis desarrollando

Cancelamos términos y factorizamos la   en el numerador

Simplificamos y calculamos el límite

Finalmente

RAZON DE CAMBIO Los problemas de razones de cambio consisten en calcular cómo variará con respecto al tiempo una determinada magnitud, conocida la variación de otra magnitud relacionada con ella y el valor de esas magnitudes en un determinado instante. Consideremos una partícula a lo largo de una recta. Cuando una partícula se mueve, quedan asociadas al movimiento ciertas cantidades que corresponden al tiempo, la distancia, la velocidad y la aceleración. VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTANEA VELOCIDAD MEDIA: La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt).

  O también la puedes encontrar Vmedia=

( f ( x +h )−f ( x ) ) h

Velocidad instantánea: La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando  respecto al tiempo

 tiende a cero, es decir, la derivada del espacio

En algunos libros podemos encontrar la definición de velocidad instantánea de la siguiente manera también: Si s(t) es la función de la posición de un objeto en movimiento rectilíneo, la velocidad del objeto en el instante t viene dada por v(t)= lim

∆ t →0

s ( t+ ∆ t )−s (t) =s ´ (t) ∆t

EJEMPLOS: La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t². Calcular: 1. la velocidad media entre t = 1 y t = 4. SOLUCION: La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].

2. La velocidad instantánea en t = 1. La velocidad instantánea es la derivada en t = 1. ( e ( t+ h )−e ( t ) ) Aplica esta fórmula e´(t)=lim h h→ 0

EJEMPLO 2:

Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función  Se pide:

, siendo   el tiempo metido en horas.

a La velocidad media de crecimiento. b La velocidad instantánea de crecimiento. c La velocidad de crecimiento instantáneo para 

 horas.

SOLUCION: Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función  horas. Se pide:

, siendo   el tiempo metido en

a La velocidad media de crecimiento.

    b La velocidad instantánea de crecimiento.

instantáneo para 

  c La velocidad de crecimiento  horas.

EJEMPLO 3 Debido a unas pésimas condiciones ambientales, una colonia de un millón de bacterias no comienza su reproducción hasta pasados dos

meses. La función que representa la población de la colonia al variar el tiempo (expresado en meses) viene dada por:

Se pide:   

Verificar que la población es función continua del tiempo. Calcular la tasa de variación media de la población en los intervalos [0, 2] y [0, 4]. Calcular la tasa de variación instantánea en t = 4.

Solución 1Continuidad Una función constante y exponencial son continuas, por lo que claramente   es continua en 

 y 

.

Resta verificar si   es continua en el punto   

  Como estos tres valores son iguales, la función es continua en 2, y con esto, es continua en todos los puntos.   2Tasa de variación media en [0, 2] y [0, 4]  

En [0, 2]

En [0, 4]

  3Tasa de variación instantánea en t = 4   La derivada está dada por la función

La derivada en t=4 es

 

 ACELERACION MEDIA E INSTANTANEA v ( t+h )−v( t) se llama aceleración media a´ = h La aceleración instantánea es la derivada de la velocidad respecto al tiempo. , donde v(t) es la velocidad en el instante t.

 a=lim

( v ( t +h ) −v ( t ) )

h→ 0

h

=v ´ (t)

Veamos un ejercicio que nos aclare la aplicación de estas fórmulas. Hallar la velocidad en t=1 y t=2 de un objeto en caída libre cuya función de posición es: S(t)=-16t 2+ ¿100 con s medidas en pie y t en segundos. Por definición

v(t)= lim

∆ t →0

s ( t+ ∆ t )−s (t ) =s ´ (t) ∆t

−16 ( t + ∆ t )2 +100−(−16 t 2 +100) =s ´ (t) v(t)=∆lim ∆t t →0 2 ❑

−16 ( t 2 +2t ( ∆t )+ ( ∆ t ) ) +100−(−16 t 2 +100) =s ´ (t) v(t)=∆lim ∆t t →0 cancelando términos nos queda: −32 t ( ∆ t )−16 ∆ t =s ´ (t), ∆t ∆ t →0

v(t)= lim

por lo tanto, la velocidad es: v(t)= s ´ (t) =-32t entonces v(t)=-32t y la velocidad en t=1 y t=2 es

v(1)=−¿32pies/seg y v(2)=-64pies/seg siguiendo con el ejercicio calculemos la aceleración del objeto en caída libre cuya función posición es: S(t)=-16t 2+ ¿100 con s medidas en pie y t en segundos. Sabemos que v(t)=-32t

 a=lim

( v ( t +h ) −v ( t ) ) h

h→ 0

=v ´ (t)

 a=lim ¿ ¿¿ h→ 0

 a=lim

h→ 0

(−32 t−32 h+32t ) =v ´ ( t) h

Cancelando nos queda

 a= v ´ ( t )=−32 pies /seg ACTIVIDADES DE TRANSFERENCIA

2.

3.Decide aplicando la definición de derivada, si las siguientes funciones son derivables en los puntos indicados y calcula, si existe la derivada. a. f(x)= x 3 b. f(x)¿ √2 x+2 en x=2 4. estudia si la siguiente función es derivable en el punto indicado ≤1 x2 f(x)= + 2, si x en x=1 x 3−x +3 , si x¿ 1 5.Un móvil se desplaza de acuerdo con la expresión s(t) = 4t 2 + 5t — 4. Calcula la velocidad y aceleración instantánea del móvil para t = 5.

6. Una enfermedad azota una ciudad, y los médicos estiman que el número de personas enfermas está dado por la función f(x)= —x3 + 60x2, donde x es el tiempo medido en días desde el principio de la epidemia. a. ¿Cuántas personas se habrán enfermado después de 8, IO y 15 días, respectivamente? b. ¿Cuál es a razón de propagación de la enfermedad con respecto al tiempo?

INSTITUCIÓN EDUCATIVA VÍCTOR ZUBIRÍA GRADO:11 Rubrica analítica para valorar el desarrollo de la guía de aprendizaje.

Entender la derivada como un límite de velocidades medias y Saber distinguir en qué puntos una función es derivable y en qué puntos no admite derivada. META DE APRENDIZAJE:

niveles

indicadores de desempeño

Desarrollo de los saberes previos.

Desarrollo de las actividades propuestas para la aplicación de aprendizaje

superior Recibe la guía en la fecha establecida a través de los dispositivos móviles 4.5 a 5 Responde a los saberes previos propuesto en la guía. Utiliza escritura de fácil interpretación, los envía al docente en la fecha establecida.

alto Recibe la guía por otro o a través de su compañero de estudio

Básico Recibe la guía por fuera de la fecha establecida

bajo No ha hecho el medio de obtener la guía de aprendizaje

3 a 3.9 Responde algunos de los saberes previos, utiliza letra de difícil interpretación, con algunos errores en la redacción y los da a conocer por fuera de la fecha establecida 3 a 3.9 Realiza algunas de las actividades planteadas en la guía, que evidencian la aplicación de algunos saberes.

0 a 2,9 No se evidencia las 20% respuestas de los interrogantes para la exploración de los saberes previos.

4.5 a 5 Desarrolla las actividades propuestas en la parte conceptual y las de aprendizaje con responsabilidad y la entrega oportunamente.

4 a 4.5 Responde los saberes previos propuesto en la guía, la redacción un poco desordena de fácil interpretación y los da a conocer después de la fecha establecida 4 a 4.5 Realiza las actividades planteadas en la guía, con responsabilidad y la entrega después de la fecha establecida Desarrolla y aplica métodos para hallar las derivadas de algunas funciones bàsicas

Desarrolla y aplica algunos métodos para hallar satisfactoriament e las derivadas de algunas funciones bàsicas

40% Tendo dificultad para desarrollar y aplicar métodos para hallar satisfactoriame nte las derivadas de algunas funciones bàsicas

4.5 a 5

4 a 4.5

3 a 3.9

0 a2.9

la Desarrolla y derivada como aplica métodos para hallar un límite de satisfactoriament velocidades e las derivadas medias y Saber de algunas distinguir en qué funciones puntos una bàsicas Entender

función derivable qué

es y

en

puntos

no

0 a 2,9 20% Trascribe las actividades, pero no las desarrolla, por lo que se evidencia la aplicación de saberes.

admite derivada

Autoevaluación coevaluación

Ponderación 100% 20%