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• Giovanni Malatesta

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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA FACULTAD DE INGENIER´ıA CIENCIAS Y ADMINISTRACI´ oN DEPARTAMENTO DE MATEM´ aTICA Y ESTAD´ıSTICA ECUACIONES DIFERENCIALES

GU´IA: Ecuaciones de Orden Superior IME207-IME191 1. Demuestre que y = sen3 x es soluci´on de la ecuaci´on diferencial y 00 + (tan x)y 0 − 6(cot2 x)y = 0. 2. Use la sustituci´on y 0 = uy para resolver la ecuaci´on y 2 y 00 + (y 0 )3 = 0 3. Determinar si los siguientes pares de funciones son linealmente independientes en R: (a) f (x) = π, g(x) = cos2 (x) + sen2 (x) (b) f (x) = x3 , g(x) = x2 |x| (c) f (x) = ex sen(x), g(x) = ex cos(x) (d) f (x) = ex sen(x), g(x) = ex cos(x) (e) f (x) = 2cos(x) + 3sen(x), g(x) = 3cos(x) − 2sen(x) 4. Mostrar que y1 = x2 e y2 = x3 son dos soluciones diferentes de x2 y 00 − 4xy 0 + 6y = 0, ambas satisfaciendo las condiciones iniciales y(0) = y (0) = 0. Explicar por qu´e no se contradice el teorema de existencia y unicidad. 5. Mostrar que y1 = x3 e y2 = |x|3 son soluciones linealmente independientes en R de la ecuaci´on x2 y 00 − 3xy 0 + 3y = 0. 6. Pruebe que dos soluciones linealmente independientes de la ecuaci´on diferencial xy 00 + 2y 0 + xy = 0 son y1 = x−1 senx e y2 = x−1 cos x y determine su soluci´on general. 7. Demuestre que y = C1 cos(ln x) + C2 sen(ln x), x > 0, es soluci´on de la ecuaci´on x2 y 00 + xy 0 + y = 0 8. Encuentre alguna ecuaci´on diferencial cuya soluci´on general sea (a) y(x) = C1 ex + C2 e2x + C3 x + C4 (b) y(x) = C1 cosx − C2 senx + e4x (c) y(x) = C1 x1/2 + C2 x−1/2 , x > 0 9. Resuelva mediante la formula de Abel (a) x2 y 00 − xy 0 + 2y = 0, sabiendo que y1 = xsen(lnx) es una soluci´on de la E.D. (b) x2 y 00 − 7xy 0 + 16y = 0, y1 = x4 es una soluci´on. Hallar y2 (c) x2 y 00 + 2xy 0 − 6y = 0, y1 = x2 es una soluci´on. Hallar y2
√ cos x 10. Encuentre la soluci´on general de x2 y 00 + xy 0 + x2 − 14 y = 3x xsenx, con x > 0, si y1 (x) = √ x es una soluci´on de la ecuaci´on homog´enea asociada. 11. Resuelva las ecuaciones lineales homog´eneas con coeficientes constantes que siguen:

(a) y 00 + 2y 0 − 3y = 0 (b) y 00 − 6y 0 + 9y = 0 (c) y 00 − 3y 0 + 2y = 0 (d) 2y (5) − 7y (4) + 12y (3) + 8y 00 = 0 (e) y (5) + 5y (4) − 2y 000 − 10y 00 + y 0 + 5y = 0 (f) 16y (4) + 24y 00 + 9y = 0 (g) y (4) + y 000 + y 00 = 0 (h) y (4) − 7y 00 − 18y = 0 (i) y (4) + y = 0 12. Encontrar el operador anulador de: (a) f (x) = 8x − senx + 10cos5x (b) f (x) = 3 + ex cos2x (c) f (x) = x3 (1 − 5x) (d) f (x) = e−x senx − e2x cosx 13. Resuelva, usando el m´etodo del aniquilador, las ecuaciones siguientes (a) y 00 − 2y 0 + 2y = ex senx (b) y 00 + 3y 0 − 10y = 6e4x (c) y 00 + 3y 0 − 10y = 6e2x (d) y 00 + 4y = 3senx (e) y 00 + 10y 0 + 25y = 14e−5x (f) y 00 − 3y 0 + 2y = 14sen2x − 18cos2x (g) y 00 − 4y 0 + 4y = x(2e2x + senx) (h) y v − y iv + y 000 − y 00 = 2ex + 4x + 2x cos x 14. Hallar la soluci´on general en los siguientes problemas: (a) y 00 + 2y 0 + y = x2 e−x (b) y 00 − y = x2 ex + 5 (c) y 00 + y 0 +

1 4

= ex (sen3x − cos3x)

(d) y 00 + 4y = cos2 x (e) y 00 + y 0 + y = xsenx (f) y 00 + 25y = 6senx (g) y 00 + y = −x−2 senx + 2x−1 cosx (h) y 00 + 5y 0 + 6y = e−2x sec2 x(1 + 2tanx) (i) y 00 + 2y 0 + y = e−x lnx (j) (D2 + 16)y = csc4x (k) (D2 + 2d + 5)y = e−x sec2x

(l) (D2 + 3D + 2)y = sen(ex ) (m) y 000 − 2y 00 − y 0 + 2y = e3x (n) y 000 − 5y 00 + 6y 0 = 2senx + 8 (o) y 000 − y 0 = senx (p) y 000 − y 0 = xex 15. Demuestre que y1 = x−1/2 cosx, y2 = x−1/2 senx forman un sistema fundamental de soluciones de x2 y 00 + xy 0 + (x2 − 14 )y = 0. Hallar la soluci´on general para x2 y 00 + xy 0 + (x2 − 14 )y = x3/2 . 16. Demuestre que y1 = x, y2 = ex forman un sistema fundamental de soluciones de la homog´enea asociada de la E.D. (1 − x)y 00 + xy 0 − y = 2(x − 1)2 e−x , 0 < x < 1. Hallar la soluci´on general.