MECANICA DE LOS SOLIDOS III GUIA DE PROBLEMAS Nº 1 CICLO I-2014 UNIDAD I FUERZAS INTERNAS, ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 1.
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MECANICA DE LOS SOLIDOS III GUIA DE PROBLEMAS Nº 1 CICLO I-2014 UNIDAD I FUERZAS INTERNAS, ESFUERZOS Y DEFORMACIONES 1. El berbiquí y la barrena que se muestran en el plano xz se utilizan para hacer un agujero en O. El berbiquí está sometido a las fuerzas Fx = -50 lb, F y = -30 lb y Fz = -8 lb, como se indica. Hallar las acciones internas en la barrena, sobre la sección perpendicular a su eje que pasa por O, y en el berbiquí sobre una sección perpendicular a.
R/ AB: 33.5 lb (T); AD: 0; DE: 1853 (C) 4.- Uno de los brazos de un carro montacarga tiene la carga y los apoyos que se muestran en la figura. La carga consiste en tres cajas idénticas, y cada una pesa W = 400 lb. (Cada uno de los dos brazos soporta la mitad de la carga total.) El “soporte” consiste en un cable fijo al brazo en B, y rodillos sin fricción que reaccionan contra el armazón del montacarga en A y en C. No tomen en cuenta el peso del brazo. a) Calcular las reacciones en los rodillos RA y RC en A y en C, respectivamente. b) Determinar las resultantes internas (fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante) sobre una sección transversal en el punto D. c) Determinar las resultantes internas sobre una sección transversal vertical en el punto E.
2. La varilla semicircular de radio R=20 pul está soportada en el plano x-z por un cojinete sin rozamiento situado en O y un cable paralelo al eje y, situado enA. Hallar las acciones internas en la varilla sobre la sección perpendicular que pasa por O, debidas a las fuerzas F = 200 lb y F = - 4001b.
R/. RA= 360 lb; RC =360 lb FE= 0; VE= 600 lb; ME = -10800 lb.in Una armadura articulada ACE es parte de un malacate para levantar cajas de carga, como se muestra en la figura. El cable del malacate hacia los engranes de la caja pasa por una polea de 6 in de radio soportada con un pasador sin fricción en C. El peso de la caja que se iza es de 1,500 lb. Sin tener en cuenta el peso de los cables, a) calcular las reacciones en los apoyos articulados en A y en E y b) determinar la fuerza axial en cada uno de los miembros siguientes: AB , AD , DE.
5.- Una fuerza vertical P = 1 kN actúa sobre el marco ABE que se muestra en la figura. Este marco está apoyado por medio de pasadores sin fricción, en una rueda en B y soportado por una articulación en E. a) Calcular la reacción en E, y b) determinar las resultantes internas (fuerza axial, fuerza cortante y momento flexionante) sobre la sección transversal en el punto C. Ver la definición de las resultantes en el apartado. (Nota: vamos a usar los datos de dimensiones para eliminar el ángulo de sus resultados. El radio de la polea en A no se debe despreciar.)
determine el esfuerzo de apoyo promedio en la base del monumento.
R/ B = 3 Mpa 6.-Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre que la sección transversal por los puntos F y G de la estructura. El contacto en E es liso.
7. Determine las cargas internas resultantes que actúan sobre las secciones transversales por los puntos F y G de la estructura.
8.- El monumento a Washington es un obelisco de sección transversal rectangular hueca ahusada. En la figura se muestra una aproximación de su geometría. El espesor de la base es de 4.5 m y de la punta de 2.5 m. Los materiales de que está constituido son mármol y granito. Aplique a éstos un peso específico de 28 kN/m3 y
9.- Determine el esfuerzo de apoyo promedio en la parte inferior del bloque que aparece en la figura en términos del peso específico y de las dimensiones de longitud a y h.
10.- La sección transversal del punzón y la matriz de la figura es un círculo de 1 in de diámetro. Una fuerza P = 6 kips se aplica al punzón. Si el espesor de la placa es t = 1/8 in, determine el esfuerzo cortante promedio en la placa a lo largo de la trayectoria del punzón.
11.- La junta está sometida a la fuerza axial de miembro de 6 klb. Determine el esfuerzo normal promedio que actúa sobre las secciones AB y BC. Suponga que el miembro es liso y que tiene 1.5 pul.de espesor.
12. La figura representa un soporte de suspensión para una espiga de madera. El soporte consta de una placa con un agujero de 28 mm de diámetro y un collar con un diámetro exterior de 75 mm, el cual está pegado a la espiga de 20 mm de diámetro. Para la fuerza F = 400 N, hallar (a) el esfuerzo cortante promedio en la junta pegada, y (b) el esfuerzo de empuje promedio entre el collar y la placa.
R/ 14.-En la figura se muestra el croquis de un punzón y matriz para hacer arandelas. Determine la fuerza P necesaria para troquelarlas en términos del espesor t de la placa, la resistencia promedio de ésta al esfuerzo cortante T y los diámetros interno y externo de las arandelas d. y d0. Collar Placa
50 mm
Espiga F
R/lateral d0 + di)t Vista
Vista en planta
Collar Placa
50 mm
Espiga F Vista lateral
13.- un tanque cilíndrico de 6 ft de diámetro esta soportado por dos colgantes como se muestra en la figura. El peso total soportado por los dos colgantes es de 15 kips. Determine los esfuerzos cortantes en los pasadores de 1 in de diámetro en los puntos A y B debido al peso del tanque. Deprecie el peso de los colgantes y suponga que el contacto entre los ellos ey el tanque es sin fricción.
15.- Cada uno de los cuatro eslabones verticales tiene una sección transversal rectangular uniforme de 8 X 36 mm, y cada uno de los cuatro pasadores tiene un diámetro de 16 mm. Determine el valor máximo del esfuerzo normal promedio en los eslabones que conectan a) los puntos B y D, b) los puntos C y E.
DISEÑO POR ESFUERZOS ADMISIBLES Y FACTOR DE SEGURIDAD 16.- La viga atirantada se usa para soportar una carga distribuida de w = 0.8 klb/pie. Determine el esfuerzo cortante promedio en el perno en A de 0.40 pulg de diámetro y el esfuerzo de tensión promedio en el tirante AB que tiene un diámetro de 0.5 puIg. Si el esfuerzo de fluencia en cortante para el perno es y = 25 klb/pulg2 y el esfuerzo de fluencia en tensión para el tirante es y = 38 klb/pulg2, determine el factor de seguridad con respecto a la fluencia en cada caso. 17.- Determine la intensidad w máxima de la carga distribuida que puede ser soportada por la viga atirantada de manera que no se exceda un esfuerzo cortante permisible permisible = 13.5 klb/pulg2 en los pernos de 0.40 pulg de diámetro en A y B, ni que se exceda tampoco un esfuerzo permisible de tensión permisible = 22 klb/pulg2 en el tirante AB de 0.5 pulg de diámetro.
18.-Para la estructura mostrada calcule el tamaño del tornillo y el área de las placas de apoyo requeridos si los esfuerzos permisibles son de 18000psi en tensión y de 500 psi en aplastamiento. Desprecie el peso de las vigas.
19.-El eslabón AB está fabricado con un acero cuya resistencia última a la tensión es de 450 MPa. Determine el área de la sección transversal de AB para la cual el factor de seguridad será de 3.50. Suponga que el eslabón se reforzará de manera adecuada alrededor de los pasadores en A y B.
20.-Para el soporte del problema, sabiendo que el diámetro del pasador es d 16 mm y la magnitud de la carga es P = 20 kN, determine a) el factor de seguridad para el pasador b) los valores requeridos de b y c si el factor de seguridad del elemento de madera debe ser el mismo que el determinado en el inciso a para el pasador
21.- En la estructura de acero que se muestra en la figura, se utiliza un pasador de 6 mm de diámetro en C, y se emplean pasadores de 10 mm de diámetro en B y D. El esfuerzo último al cortante es de 150 MPa para todas las conexiones y el esfuerzo normal último es de 400 MPa en el eslabón BD. Sabiendo que se desea un factor de seguridad de 3, determine la carga máxima P que puede aplicarse en A. Advierta que el eslabón BD no está reforzado alrededor de los agujeros de los pasadores.
22.- Un empalme unido con adhesivo en madera se fabrica como se ilustra en la figura. Para un factor de seguridad de 1.25, determine la longitud mínima del traslapo L y la dimensión h con aproximación de 1/8 in. La resistencia del adhesivo al esfuerzo cortante es de 400 psi, y la de la madera es de 6 ksi en tensión.
25.- El miembro BE de la estructura conectada con seguros es una barra rectangular de 25 X 8 mm. Se aplica una fuerza P (con componentes P x y P y) al seguro en E fuera de los miembros BE y DE, como se muestra en el detalle. El seguro en E tiene un diámetro de 30 mm. Determine: a. El esfuerzo normal en el miembro BE. b. El esfuerzo cortante máximo en el seguro en E.
23.- Dos placas de acero, con 1/8 in. de espesor cada una, se emplean para empalmar una tira de plástico como se muestra en la figura. Si se sabe que el esfuerzo último al cortante del adhesivo puesto entre las superficies es de 130 psi, determine el factor de seguridad con respecto al cortante cuando P = 325 lb. 26.- Determine el peso máximo W que puede suspenderse utilizando cables como se muestra en la figura P3105 para un factor de seguridad de 1.2. El esfuerzo de fractura del cable es de 200 MPa y su diámetro es de 10 mm.
24.- Un empalme en una estructura de madera debe diseñarse con un factor de seguridad de 3. Si el esfuerzo de falla promedio en cortante sobre la superficie BCD es de 1.5 ksi y el esfuerzo de falla de apoyo promedio sobre la superficie BEF es de 6 ksi, determine las dimensiones mínimas para h y d con aproximación de 1/16 in.
DESPLAZAMIENTOS Y DEFORMACION 26.- La barra AB que se muestra está fija en el extremo A e inicialmente está separado 3 mm del apoyo D. Si luego el punto C se desplaza 5 mm hacia la derecha, calcular las deformaciones unitarias longitudinales promedio en las porciones AC y CB de la barra. A
30.- al deformarse, un rectángulo adopta la configuración en color de las figuras determine el valor promedio de las componentes de deformación xx , yy y xy en el punto A.
D C
3 m
B
2 m
3 mm
27.- Si una carga aplicada a la barra AC ocasiona que el punto A se desplace hacia la derecha una cantidad ∆L, determine la deformación unitaria normal en el alambre AB. Inicialmente, = 45°
31.- Una barra de sección circular cónica suspendida verticalmente presentó un desplazamiento axial debido a su peso de 28.- La placa triangular está fija en su base, y su vértice A recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determine la deformación unitaria normal promedio x largo del eje x. 29.- La placa triangular está fija en su base, y su vértice A recibe un desplazamiento horizontal de 5 mm. Determine la deformación unitaria normal promedio x` a lo largo del eje x’.
u(x) = [-19.44 + 1.44x - 0.01x2 - 933.12/(72-x)]10-3 in Determine la deformación axial xx en x = 24 in 32.- Una barra de sección circular cónica suspendida verticalmente presentó un desplazamiento axial debido a su peso de
u(x) = [-50x + 20x2 – 2.5 ln (1- 0.8x )]10-6 mm Determine la deformación axial xx en x = 150mm 33.- La carga no uniforme genera una deformación unitaria normal en la flecha que puede expresarse por x=kx2, donde k es una constante. Determine el desplazamiento del extremo B. Además, ¿cuál es la deformación unitaria normal promedio en la flecha?
34.-Determine el valor promedio de las componentes de deformación xx , yy y xy en el punto A .
esquema de la forma de la placa deformada. y hallar los valores máximos para x , y y xy . y b
h
x
Resolver el problema anterior con u = by2/50h2 y v = y/100 Resolver el problema anterior con u = – x/50 y v = hx2/50b2.
35.- Los desplazamientos longitudinales de los puntos de la barra que se representan en la figura están dados por u = L/100 – x/50. Calcular los desplazamientos de los puntos O, A y B y hallar la deformación unitaria máxima en la barra. y L/2
O
L/2
B
A
x
38.- Suponga que una varilla, se somete a un cambio de temperatura que varía a lo largo de su longitud y está dado en grados Fahrenheit, por T = 100(1 + x/L). 39.- Determinar la deformación unitaria máxima en la varilla y el cambio en su longitud total debido a este cambio de temperatura que varia a lo largo de su longitud y esta dado en grados Fahrenheit, por ∆T=100(1+x/L). Utilizar como coeficiente de dilatación térmico = 6 x 10–6(°F)–1 y L/2
36.- Si se especifica la deformación unitaria longitudinal en la varilla, en lugar del desplazamiento longitudinal, y si esta deformación unitaria es x = 0.001 + 0.002x/L, calcular las deformaciones unitarias máxima y mínima en la varilla y hallar el cambio en la longitud total de la varilla. y L/2
O
L/2
B
A
x
Resolver el problema anterior con x = – 0.001 + 0.002x/L. Resolver el problema anterior con x = 0.002 – 0.004(x/L)2 37.- Las componentes del desplazamiento de de los puntos(x, y) situados en la placa rectangular de la figura están dados por u = by/100h y v = xy/100h. Hacer un
O
L/2
B
A
x
Resolver el problema anterior con T = 50(x/L)3. Resolver el problema anterior con T = 75(1 – x2/L2).
UNIDAD 2: PROPIEDADES MECANICAS DE LOS MATERIALES LEY DE HOOKE 1. En un ensayo de tracción de una placa de acero, la probeta de sección transversal rectangular que tiene inicialmente 5 mm. de espesor y 20 mm. de ancho se somete a una carga de 20 kN. Bajo esta carga el alargamiento en una longitud base de 50 mm. sobre la probeta es 0.05 mm. y el ancho de la probeta disminuye 0.0015 mm. Suponiendo que el material cumple la ley de Hooke, hallar el módulo de elasticidad y el coeficiente de Poisson. 2. Una placa delgada (E = 30 000 ksi, = 0.25) bajo la acción de fuerzas uniformes se deforma hasta adoptar la posición que aparece sombreada en la figura. Suponiendo esfuerzo en un plano, determine los esfuerzos normales promedio en las direcciones x y y.
R/ x = 16 ksi (C) y = 4 ksi (C ) 3. Un bloque de material linealmente elástico (E, ) se encuentra entre dos superficies rigidas perfectamente lisas, y se le aplica un esfuerzo x = - , como se muestra en la figura. El único esfuerzo adicional que no es cero es el y inducido por las superficies de restricción en y = 0 y y = b. a) Determinar el valor del esfuerzo y de restricción. b) Determinar Δa, el cambio en la dimensión x del bloque. c) Determinar el cambio Δt de espesor t en dirección z.
deformaciones x = 0.00450 y y = –0.00144, y al esfuerzo cortante xy = 200 MPa, que produce una deformación cortante xy = 0.00733 rad. Hallar los valores de , G, z y el valor de x para esta placa. y 100 M Pa
200 M Pa x
5. Se aplica una carga de tensión de 2.75 kN a una probeta elaborada con una placa plana de acero de 1.6 mm de espesor (E= 200 GPa, 0.30). Determine el cambio resultante a) en la longitud calibrada de 50 mm, b) en el ancho de la porción AB de la probeta, c) en el espesor de la porción AB, d) en el área de la sección transversal de la porción AB.
6. En un ensayo estándar a tensión una varilla de aluminio de 20 mm de diámetro se somete a una fuerza de tensión de P = 30 kN. Sabiendo que = 0.35 y E 70 GPa, determine a) el alargamiento de la varilla en una longitud calibrada de 150 mm, b) el cambio en el diámetro de la varilla.
7. Una tela utilizada en estructuras infladas con aire se sujeta a una carga biaxial que resulta en esfuerzos normales x = 120 MPa y y = 160 MPa. Sabiendo que las propiedades de la tela pueden aproximarse a E = 87 GPa y = 0.34, determine el cambio en longitud de a) el lado AB, b) el lado BC, c) la diagonal AC. 4. Suponga que una placa sometida a un esfuerzo normal desconocido x, (y = z = 0) que produce las
8. La placa homogénea ABCD está sujeta a carga biaxial como se ve en la figura. Se sabe que z = 0 y que el cambio en la longitud de la placa en la dirección x debe ser cero, es decir, x = 0. Si E es el módulo de elasticidad y la relación de Poisson, calcule a) la magnitud requerida de x b) la razón 0/z.
11. Para la carga axial mostrada en la figura, encuentre el cambio en altura y en volumen del cilindro de latón mostrado.
9. A la varilla de aluminio AD se le ajusta una coraza que se emplea para aplicar una presión hidrostática de 6000 psi a la porción BC de 12 in. de la varilla. Si se sabe que E = 10.1 X 106 psi y 0.36, determine a) el cambio en la longitud total AD, b) el cambio en el diámetro del punto medio de la varilla. 12. Una esfera sólida de acero de 6 in. de diámetro se introduce en el océano hasta un punto donde la presión es de 7.1 ksi (alrededor de 3 millas bajo la superficie). Sabiendo que E = 29 X 106 psi y y 0.30, determine a) la disminución en el diámetro de la esfera, b) la disminución en el volumen de la esfera, c) el porcentaje de incremento en la densidad de la esfera.
10. El bloque mostrado en la figura es de una aleación de magnesio para la que E = 6.5 X 106 psi y = 0.35. Sabiendo que x = - 20 ksi, determine a) la magnitud dey para la que el cambio en la altura del bloque sea cero, b) el cambio correspondiente en el área de la cara ABCD, c) el cambio correspondiente en el volumen del bloque.
13. Hallar el esfuerzo en la varilla de acero que se muestra cuando sufre un cambio de temperatura T = 100 °F, bajo las siguientes condiciones a)La dilatación de la varilla se impide totalmente b) La dilatación está parcialmente impedida de tal modo que la varilla se dilata una cantidad L = 0.01 pul L = 50 pul
14. Los dos extremos de la varilla de acero representada en la figura están impedidos para moverse. Hallar el esfuerzo x en la varilla y el desplazamiento u del punto medio producido por un cambio de
temperatura que varía a lo largo de la varilla y está dado por T = (50x/L) °C
A
y L /2
3m
L /2
x 90 kg
Resolver el problema con T = 50(1 – x/L) °C.
2 mm B
15. La placa de aluminio de la figura tiene inicialmente los espacios que se indican hasta los soportes inmóviles. Si E = 70 GPa, = 0.33 y = 24x10–6 (°C)–1. Hallar los esfuerzos en la placa cuando (a) 40 °C, (b) 60 °C y (c) 80 °C. y
1 mm
600 mm
18. Un buje tiene un diámetro de 30 mm. y encaja dentro de un manguito rígido con un diámetro interior de 32 mm. Tanto el buje como el manguito tienen una longitud de 50 mm. Determine la presión axial p que debe aplicarse en el extremo superior del buje para hacer que tome contacto con los costados del manguito. Además, ¿en cuánto debe ser comprimido el buje hacia abajo para que ocurra esto? El buje está hecho de un material con E = 5 MPa y = 0.45. p
x 800 mm
1 mm
16. Supóngase que los rieles de acero de la figura se tienden dejando entre ellos espacios de 6 mm. Supóngase que los rieles se pueden dilatar libremente debido a un cambio de temperatura excepto cuando están restringidos entre si. Hallar el esfuerzo en los rieles cuando (a) T = 25 °C y (b) T = 50°C 6 mm
15 m
6 mm
17. 64.- Se suspende una masa de 90 Kg. de un soporte inmóvil de un soporte inmóvil A mediante un alambre de aluminio de 4 mm. de diámetro, quedando un espacio de 2 mm. entre la masa y el soporte inmóvil B. Hallar el esfuerzo en el alambre si (a) T = 25 °C, (b) T = 50 °C, y (c) T = 75 °C
19. Utilice E = 29 X 106 psi para determinar a) la energía de deformación de la barra de acero ABC cuando P=8 kips, b) la densidad de energía de deformación correspondiente en las partes AB y BC de la barra.
20. Demuestre, por integración, que la energía de deformación de la barra ahusada AB es
24. Si se usa la barra discontinua mostrada, como una aproximación a la troncocónica. ¿Cuál es el porcentaje de error en la respuesta? 1.9c 1.7c 1.5c 1.3c 1.1c
donde Amín es el área del extremo B. P
L/5 L/5 L/5 L/5 L/5
21. Para la barra redonda que se muestra, determinar la energía de deformación elástica en función de d, P, L y E, despreciando el peso de la barra.
22. Determinar la energía total de deformación (en joules) de la barra cónica hueca, debida a P, si E = 30 x l0 3 klb/pul2.
25. El ancho de una placa de acero de 0.5 in de espesor [E= 29( l0 3) ksi] varía linealmente desde h 1 = 4 in hasta h2 = 2 in sobre una longitud L = 12 in. a) Calcular la energía de deformación UA almacenada en la placa cuando se sujeta a una carga P = 2 kips. b) determinar la energía de deformación UB, almacenada en la placa si la carga P aumenta hasta el valor que cause la fluencia inicial en la placa Sea y = 36 ksi.
26. Deducir una ecuación de la energía de deformación U en un tronco macizo cónico con diámetro máximo dA, diámetro mínimo dB y longitud L. Sean E el módulo de elasticidad y P la carga axial.
R/ U = 2P2L/πEdAdB 23. Demuestre por integración que la energía de deformación para la barra troncocónica de la figura es U
1 P2 L 4 E c 2