• Author / Uploaded
• Anonymous V7GXZ8bTCu

Citation preview

Facultad de Ingeniería UC

Guía de aplicaciones básicas de Cálculo y Matemática Aplicada en Matlab Guía de Práctica 01

CODIGO DE CURSO: Semestre 3

Matlab DURACION DE LA TAREA 01 SESION – 150 min

TOLERANCIA 5 min

1. OBJETIVOS:  Reconocer el entorno y las principales prestaciones de la herramienta de software matemático Matlab.  Desarrollar las aplicaciones básicas del software Matlab de acuerdo a los requerimientos de los cursos de Cálculo y Matemática Aplicada, como solución de ecuaciones múltiples, derivadas e integrales, entre otras.  Obtener curvas de ecuaciones básicas que serán analizadas e interpretadas en los cursos respectivos.

2. HERRAMIENTAS:  Computadora personal (PC de escritorio o Laptop).  Guía de aplicaciones básicas.  Software Matlab instalado en la PC (versión R2014a, 64bits – recomendada).  Hojas y lapiceros para realizar apuntes.

3. TAREAS A DESARROLLAR:         

Descripción del software, historia y prestaciones. Entorno de Matlab. Principales aplicaciones del programa. Comandos básicos utilizados para cálculo y matemática. Trabajo con matrices. Gráficas de funciones. Solver de ecuaciones. Derivadas e integrales. Ecuaciones diferenciales y Transformada de Laplace.

4. DESCRIPCIÓN DEL SOFTWARE: Ing. Jonathan Sánchez Paredes

1

Facultad de Ingeniería UC MATLAB (abreviatura de MATrix LABoratory, "laboratorio de matrices") es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M) y servicio de especie. Fue creado por el matemático y programador de computadoras Cleve Moler en 1984, surgiendo la primera versión con la idea de emplear paquetes de subrutinas escritas en Fortran en los cursos de álgebra lineal y análisis numérico, sin necesidad de escribir programas en dicho lenguaje. El lenguaje de programación M fue creado en 1970 para proporcionar un sencillo acceso al software de matrices LINPACK y EISPACK sin tener que usar Fortran. Entre sus prestaciones básicas se hallan: la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink (plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI). Además, se pueden ampliar las capacidades de MATLAB con las cajas de herramientas (toolboxes); y las de Simulink con los paquetes de bloques (blocksets). Es un software muy usado en universidades y centros de investigación y desarrollo. En los últimos años ha aumentado el número de prestaciones, como la de programar directamente procesadores digitales de señal o crear código VHDL. ¿Cómo funciona el Matlab? El lenguaje de programación de Matlab es bastante más flexible que el de los lenguajes tradicionales. No se precisa la declaración inicial de variables, estas se pueden introducir en el momento que se necesiten, y por ejemplo, vectores y matrices pueden declarar sin especificar sus dimensiones e incluso cambiar sus tamaños sobre la marcha. Ello permite una programación algo más desordenada, aunque debe tenerse bien claro que una programación clásica sumada al uso y práctica, suele generar un código más eficiente.

5. ENTORNO DE MATLAB: Barra de menús Current Folder Ventana de Comandos Workspace

 Current Folder: Permite un acceso rápido a tus archivos y datos guardados previamente.  Barra de menús: Muestra herramientas, accesos a librerías y aplicaciones especiales.

Ing. Jonathan Sánchez Paredes

2

Facultad de Ingeniería UC  Command Window: Es donde se ingresan los comandos y se muestran los resultados. La línea de comandos está indicada por el símbolo: >>  Workspace: Mantiene datos calculados en la ventana de comandos, es una especie de memoria temporal, aunque podemos guardar permanentemente esos datos.

6. PRINCIPALES APLICACIONES DE MATLAB: 6.1. CALCULOS GENERALES (Calculadora): En la línea de comandos escribir: >> 5+21, luego dar enter. Se obtiene: ans = 26 Es importante saber bien como se escriben las expresiones en MATLAB, para esto sirve de mucho conocer el manejo de calculadoras con entrada de expresiones lineal. A continuación se muestran algunos ejemplos, por lo que se debe trabajar con el programa abierto en una PC. 23

Ejemplos: La siguiente expresión: se escribe así: >>(2^3)/5 5 Se obtiene:____________________ La siguiente expresión:

𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�𝜋𝜋�2� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝜋𝜋)

se escribe así: >>(sin(pi/2))/(cos(pi))

Se obtiene:____________________ La siguiente expresión: 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑒𝑒 5 ) se escribe así: >>log(exp(5)) Se obtiene:____________________ Nota: No se dejan espacios en blanco, el separador decimal es el punto, “ans” es una variable temporal (answer) que cambia de acuerdo a cada cálculo nuevo que ingresemos, pero si no la cambiamos puede ser usada para nuevas órdenes. Ejercicios: Escribir la expresión siguiente y su respuesta en MATLAB.  

1 8(𝑒𝑒 3 )

___________________________________________________________________________

3 15 �𝑙𝑙𝑙𝑙 � 2 √17

______________________________________________________________________

𝜋𝜋 6

 0.45𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � + 4.5� ________________________________________________________________  (122 − 212 )1/3 __________________________________________________________________

Nota: El Matlab trabaja con números reales e imaginarios, cuando es necesario aparecerá una cantidad real junto a la letra “i” que representa la parte imaginaria. Además si la expresión no es completamente numérica se puede usar el comando: >>vpa, para modificar la precisión de la respuesta (ej. >>vpa(ans)) 6.2. FUNCIONES BÁSICAS TRIGONOMETRÍA En el punto anterior ya se mostró el tratamiento con algunas funciones trigonométricas, por lo que ahora sólo se mencionarán sus comandos:  Seno de un ángulo (por defecto en radianes): >>sin(x), donde “x” es el ángulo mencionado.  Las demás funciones son: cos(x), tan(x), asin(x), acos(x), atan(x).

Ing. Jonathan Sánchez Paredes

3

Facultad de Ingeniería UC El tratamiento con matrices, sistemas de ecuaciones, derivadas e integrales lo desarrollaremos más ampliamente en los siguientes puntos. Ejercicio: Trabajo con variables temporales. En la línea de comandos escriba la siguiente expresión: >>a=5, b=7, c=a+b Escriba el resultado: _________________________________________________________________ ¿Qué datos aparecen en el workspace? __________________________________________________________________________________ En la línea de comandos escriba la siguiente expresión: >>a=5; b=7; c=a+b Escriba el resultado: _________________________________________________________________ ¿Hay alguna diferencia en el tratamiento de la expresión 1 y la expresión 2? __________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ ¿Por qué se dice que las variables a, b, c son temporales? __________________________________________________________________________________ ¿Hay otra forma de ingresar los datos de “a” y “b” para obtener “c”? (escríbala) __________________________________________________________________________________

7. COMANDOS BÁSICOS:  vpa(x,p): es una variable de precisión aritmética, con ella podemos configurar cuantos dígitos o decimales de precisión queremos(p). No es un redondeo. Ejemplo: >>vpa(4.3333589,4) = 4.333  help x: brinda ayuda sobre cualquier función que deseemos. Ejemplo:>>help log  round(x): redondea al entero más cercano.  ceil(x): redondea al entero más grande o igual.  floor(x): redondea al entero más pequeño o igual.  fix(x): redondea al entero más cercano a cero.  mod(x,y): devuelve el residuo de la división x/y.  rem(x,y): devuelve el residuo de la división entera x/y.  clc: limpia la ventana de comandos, pero mantiene los valores en workspace. Ejercicio: Suponga que un alumno tiene de promedio 12.499999. Utilice los comandos de redondeos, anote sus respuestas y sustente cual debe ser el que utilice el docente para la nota final, suponiendo que la nota probatoria mínima es trece. _______________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________

8. TRABAJO CON MATRICES: ¿Por qué es importante entender y trabajar las matrices? Porque con su ayuda podemos representar y solucionar sistemas de ecuaciones de varias variables. Ing. Jonathan Sánchez Paredes

4

Facultad de Ingeniería UC Así como se trabaja con variables temporales dándoles valores específicos, también podemos ingresar las coordenadas de una matriz de acuerdo a su número de filas y columnas (nxm). >>A=[0 1 2 3] La anterior línea de comandos nos ingresará una matriz “A” de una fila (n) y cuatro columnas (m). Para separar las columnas se utiliza el espacio simple como se muestra en el comando anterior o se puede usar “,” pero para separar las filas se usa “;”. >>A=[1 2 3;4 5 6]

en este caso tenemos una matriz 2x3 (dos filas y tres columnas).

 Vector fila: >>A=[0 1 2 3]  Vector columna: >>A=[0;1;2;3] Ejemplo: Introducir la siguiente matriz y realizar las operaciones. >>A=[1 2;3 4;5 6;7 8] >>A/2 Se obtiene: __________________________________________________________________________ >>A-1 Se obtiene: __________________________________________________________________________ >>A/2,A-1 Se obtiene: __________________________________________________________________________ >>A’ Se obtiene: __________________________________________________________________________ Nota: Se debe tener siempre en cuenta las reglas para trabajar con matrices, sobre todo en la multiplicación y división respecto a las filas y columnas. Ejercicio: Trabajo con matrices. Introduzca las siguientes matrices: >>A=[1 2 -2;0 -1 7;-3 0 5], B=[6 -1 0;2 -1 1;4 0 0], C=[9 3;5 2;-8 -1] Realizar las siguientes operaciones: (𝐴𝐴 + 2𝐵𝐵)𝐶𝐶; 𝐴𝐴2 − 𝐵𝐵 Se obtiene:

Posicionamiento de una matriz: Se puede obtener un elemento específico de la matriz, sólo es necesario indicar su fila y columna. Ing. Jonathan Sánchez Paredes

5

Facultad de Ingeniería UC Ejemplo: siendo A la del ejercicio anterior >>A(2,3) Ans=7 También es posible combinar matrices para formar nuevas matrices. Ejercicio: Trabajo con matrices. Con los datos del ejercicio anterior, encuentre los valores correspondientes a: A 3x2 , B 1x3 , C 3x2 Se obtiene:_________________________________________________________________________ Comandos para Matrices:      

size(x): devuelve el tamaño de una matriz “x”. eye(n): devuelve una matriz identidad de tamaño nxn. eye(n,m): devuelve una matriz nxm donde los elementos de la diagonal principal son 1. ones(n,m): devuelve una matriz nxm donde todos sus elementos son 1. zeros(n,m): devuelve una matriz nxm donde todos sus elementos son 0. rand(n,m): devuelve una matriz nxm de números uniformemente distribuidos entre 0 y 1.

Submatrices: Las matrices pueden descomponerse en submatrices que pueden representar vectores o subvectores, esto significa que de una matriz grande podemos obtener otras más pequeñas. El comando sería: >>a([n 1 n 2 ],[m 1 m 2 ]) donde las “n” son las filas y las “m” las columnas. >>A=[1 2 -2;0 -1 7;-3 0 5] sea la matriz A de orden 3x3 y queremos obtener submatrices.

>>a=A([1 2],[1 3]) → se obtiene: La forma de leer el comando sería: la matriz “a” está formada por la submatriz de “A”. Componer matrices: Así como las matrices pueden descomponerse, también pueden componerse tal como se muestra a continuación. El comando a usar es: >>C=[A B] donde A y B son matrices con mismo número de filas. >>A=[1 2 -2;0 -1 7;-3 0 5], B=[1 2;-3 -4;5 6] las matrices a componer deben tener coincidencias (n,m). >>C=[A B]

Obtenemos:

Ejercicio: Trabajo con matrices.

−1 Calcular la matriz M = P2 – 3P – I siendo: I= matriz identidad 2x2 y 𝑃𝑃 = � 2 Se obtiene: Ing. Jonathan Sánchez Paredes

6

3 � 1

Facultad de Ingeniería UC

Escriba el comando o los comandos necesarios para construir una matriz aleatoria de números entre -100 y 100 de tamaño 4x6. _______________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1 −1 Sean las matrices:𝐴𝐴 = � 0 1

3 2 1 �, 𝐵𝐵 = �−1 0 0 0 0

1 2 1 2 1�, 𝐶𝐶 = �1� → obtener: 𝑀𝑀 = �1 1 2 5 2 5

1 −1� 1

Los códigos usados son: _______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

9. GRÁFICAS DE FUNCIONES: Declarar variables: Symbolic Toolbox  sym(x): sólo se declara la variable x.  syms x y: se declara las variables x, y, etc. Ahora ya podemos trabajar con funciones como por ejemplo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 Comando: >>f=(x^(1/3))*sin(1/x)

1� 3 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�1�𝑥𝑥 �

Nota: Pueden usar el comando >>pretty(f) y ver lo que hace. Sustituir variables por datos:  subs(f,c): reemplaza la variable “x” de la función “f” por el valor “c”.  subs(f,{x,y},{c 1 ,c 2 }): reemplaza las variables “x”, “y” de la función “f” . Ejemplo: >>subs(f,0.5)

→ se obtiene: ans=0.72171

Sustitución múltiple: >>subs(f,[0.2:0.1:0.6]) Se obtiene:____________________________________________________________________________ El anterior comando se lee: sustituir el valor de “x” en la función “f” con los valores desde 0.2 hasta 0.6, con un paso de 0.1. Ejercicio: Trabajo con funciones Sea la función: respectivamente.

𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 3 + 𝑦𝑦 3 − 3𝑥𝑥𝑥𝑥

→Reemplace los valores de “x” e “y” por 0.5 y 0.3

Comandos utilizados:_________________________________________________________________ Se obtiene:_________________________________________________________________________ POLINOMIOS:  expand(p): expande el polinomio “p”.  factor(q): factoriza un polinomio “q” . Ejemplo: 𝑝𝑝 = (1 − 𝑥𝑥)2 (1 + 𝑥𝑥)(2 − 𝑥𝑥) Ing. Jonathan Sánchez Paredes

7

Facultad de Ingeniería UC >>p=((1-x)^2)*(1+x)*(2-x) >>expand(p) → se obtiene: ans= Ejercicio: Trabajo con funciones Factorizar la siguiente expresión: 6𝑥𝑥 3 + 7𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 2 Comandos usados:_______________________________________________________________________ Se obtiene: ____________________________________________________________________________ Factorizar la siguiente expresión: 4𝑥𝑥 2 − 20𝑥𝑥 + 25 Comandos usados:_______________________________________________________________________ Se obtiene: ____________________________________________________________________________ Investigar el comando: >> simplify(p) GRÁFICAS: Ahora que sabemos declarar variables, trabajar con funciones y sustituir datos, la realización de una gráfica es relativamente sencilla:       

ezplot(f): muestra una ventana con la gráfica de la función “f”. ezpolar(f): muestra una ventana con la gráfica de la función “f” en coordenadas polares. ezplot3(f): muestra una ventana con la gráfica de la función “f” en tres dimensiones. ezsurf(f): muestra una ventana con la gráfica de la superficie de la función. figure: muestra la ventana de gráficos en blanco. hold on: mantiene fija la ventana de gráficos para hacer varias funciones en un mismo plano. hold off: cancela el comando hold on.

1 Ejemplo: tenemos la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 �3 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠�1�𝑥𝑥 � >>ezplot(f) Ejemplo: tenemos la función 𝑓𝑓1(𝑥𝑥) = 1 + 2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑡𝑡) >>ezpolar(f1)

Izquierda: Gráfica de función “f”

Ejercicio: Trabajo con gráficas de funciones

-

Derecha: Gráfica de Función “f1”

Defina las siguientes funciones: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥), 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥) >>figure Se obtiene:_____________________________________________________________________________ >>hold on

Ing. Jonathan Sánchez Paredes

8

Facultad de Ingeniería UC Se obtiene:_____________________________________________________________________________ >>ezplot(f) >>ezplot(g) Se obtiene:

Investigar sobre el comando: >>subplot() Nota: Se pueden editar los colores y estilos de línea de los gráficos para mejorar la visibilidad.

10. SOLVER DE ECUACIONES: Comando a utilizar: >>solve(eqn) →donde “eqn” es una ecuación cualquiera. Se debe tener en cuenta si la ecuación a trabajar tiene las variables declaradas (syms) o no, pues el comando varía ligeramente. A continuación veremos un ejemplo con variable sin declarar. Ejemplo: Sea la ecuación: 3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 5 = 1 >>solve('3*x+x^2-x^5==1') Se obtiene: ___________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ Nota: Fíjese bien el modo de escribir la función, los símbolos y el doble igual, pues en algunas versiones de Matlab sólo se coloca un igual. No olvide los comandos para precisión y redondeo. Cuando las variables ya están declaradas con syms, se ingresa la función directamente: >>solve(3*x+x^2-x^5==1) En el caso de tener ecuaciones o funciones con varias variables (implícitas), podemos hacer que el Matlab despeje la expresión en función de una de ellas. Ejemplo: 3𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 >>solve(3*y+x^2==x*y,y) El Matlab despeja la variable “y” porque es la que hemos solicitado y todo queda en función de “x”, de manera explícita (en parámetros de “x”). Ejercicio: Resolver las siguientes funciones Sea la función: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 Comando usado: ________________________________________________________________________ Se obtiene: ________________________________________________________________________ Sea la función: 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥) = 1 Comando usado: ________________________________________________________________________ Se obtiene: ________________________________________________________________________ Sea la función: 3𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 2 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 →despejar en función de “x”. Comando usado: ________________________________________________________________________ Se obtiene: ________________________________________________________________________

Ing. Jonathan Sánchez Paredes

9

Facultad de Ingeniería UC SISTEMAS DE ECUACIONES: Cuando tenemos varias ecuaciones y/o funciones se forman sistemas para poder obtener el valor de cada una de las variables, siempre se considera que para tener éstas soluciones el número de ecuaciones debe ser igual o mayor al número de incógnitas. La forma de evaluar Sistemas de ecuaciones en Matlab es mediante matrices, esto es representar el sistema de ecuaciones en una matriz. Por lo que tiene un procedimiento específico.

Ax = b Donde “A” es la matriz de coeficientes, “x” es la matriz de variables y “b” la matriz de términos independientes. Paso 1: Para saber si el sistema es compatible (tiene soluciones explícitas) utilizamos el teorema de Rouché-Frobenius, que nos dice lo siguiente, “un sistema de ecuaciones es compatible si el rango de la matriz de coeficientes (A) es igual al rango de la matriz ampliada (A│b)”. Sea el sistema de ecuaciones siguiente: 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = 4 Lo expresamos de 5𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 3𝑧𝑧 = −6 forma matricial 𝑥𝑥 + 7𝑧𝑧 = 1

La matriz ampliada: >>MA=[A│b] sería:

3 �5 1

3 2 �5 1 1 0

A

2 −1 4 1 −3 −6� 0 7 1

−1 𝑥𝑥 4 −3� ∙ �𝑦𝑦� = �−6� 𝑧𝑧 7 1

x

b

Comando: >>[rank(A), rank(MA)] Se obtiene: 3 = 3, por lo tanto el sistema es compatible. Paso 2: Resolver el sistema determinado. 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 𝑏𝑏 → Comando: >>A\b Se obtiene la solución a las incógnitas:

𝑥𝑥 = 𝐴𝐴−1 𝑏𝑏

Ejercicio: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones. o Sea el sistema siguiente, encuentre el valor de las incógnitas si las hubiera. 5𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 6 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 14 Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________ o

Sea el sistema siguiente, encuentre el valor de las incógnitas si las hubiera.

Ing. Jonathan Sánchez Paredes

10

Facultad de Ingeniería UC 1 2𝑦𝑦 𝑥𝑥 + = 5 3 15 15𝑥𝑥 − 15𝑦𝑦 = 2 Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________ Una empresa aceitera ha envasado 3 000 litros de aceite en 1 200 botellas de dos y de cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? Planteamiento: _______________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________ o

Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0.3 € por cada pieza que sale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0.4 € por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 2 100 bombillas, obteniendo unos beneficios de 484.4 €. ¿Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se han fabricado en ese día? Planteamiento: _______________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________ o

11. DERIVADAS E INTEGRALES: Derivadas: Se aconseja declarar siempre las variables, por ejemplo “x”, “y”, “z”, etc. También es necesario recordar que las derivadas siempre estarán relacionadas con los límites, por lo que haremos uso de los siguientes comandos.  diff(f): devuelve la derivada de la función “f” con respecto a una única variable.  diff(f,y): devuelve la derivada implícita de la función “f” con respecto a la variable que se indique.  diff(f,n): devuelve la enésima derivada de la función “f”.  diff(f,y,n): devuelve la derivada enésima con respecto a la variable indicada.  limit(expr,x,a): devuelve el límite de una expresión cuando la variable “x” tiende a “a”. Ejemplo: Sea la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(2𝑥𝑥) >>syms x >>f=(x^2)*sin(2*x) >>diff(f) Se obtiene: 2*x*sin(2*x) + 2*x^2*cos(2*x) Ejemplo: Sea la función 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 3 + 𝑥𝑥 3 >>diff(g,y) Se obtiene: 3*y^2 + x, siendo ésta una derivada parcial. Ejemplo: Sea la función 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 3 + 𝑥𝑥 3 , ahora hallamos la segunda derivada. >>diff(g,y,2) Se obtiene: 6*y, siendo ésta una derivada parcial. Ejemplo: Sea la expresión lim

3𝑥𝑥−7

𝑥𝑥→∞ 4𝑥𝑥+1

>>limit((3*x-7)/(4*x+1),x,inf)

Ing. Jonathan Sánchez Paredes

11

Facultad de Ingeniería UC Se obtiene: ¾ Ejercicio: Obtener las derivadas siguientes. o Sea la función siguiente, obtenga la tercera derivada. 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 6 − 10𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 16 Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________ o Sea la función siguiente, obtenga la segunda derivada con respecto a “x”. 4𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 3 − 1 Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _____________________________________________________________________________ o La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la relación: x = t3 - 6t2 - 15t + 40, Determine el tiempo cuando la velocidad es cero, posición y distancia recorrida para ese tiempo. Planteamiento: _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Se obtiene: _____________________________________________________________________________ Un modelo para la velocidad del transbordador Hubble durante la misión, desde el lanzamiento en t = 0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido se desprenden en t = 126 s, está dado por: 𝑣𝑣(𝑡𝑡) = 0.001302𝑡𝑡 3 − 0.09029𝑡𝑡 2 + 23.61𝑡𝑡 − 3.083 Determine los valores máximos y mínimos de la aceleración durante el despegue.

o

Planteamiento: _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Se obtiene: _____________________________________________________________________________ Integrales:  int(exp,var): devuelve la integral primitiva de una expresión con respecto a la variable indicada.  int(exp,var,a,b): devuelve la integral definida por los límites “a” y “b”. Sea la expresión: ∫ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥), para calcular la integral: >>int(exp(x)*cos(2*x),x) Se obtiene: (exp(x)*(cos(2*x) + 2*sin(2*x)))/5 Sea la expresión: 3.9 ∫2.4 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(2𝑥𝑥) para calcular la integral: >>int(exp(x)*cos(2*x),x,2.4,3.9) Se obtiene: (exp(39/10)*(cos(39/5) + 2*sin(39/5)))/5 - (exp(12/5)*(cos(24/5) + 2*sin(24/5)))/5 >> double(int(exp(x)*cos(2*x),x,2.4,3.9)) Se obtiene: 24.4648 Ejercicio: Obtener las integrales siguientes. o

Sea la función siguiente, obtenga la integral definida.

Ing. Jonathan Sánchez Paredes

12

Facultad de Ingeniería UC 𝑥𝑥̅ =

1

∫0 𝑦𝑦 2 �4𝑦𝑦 2 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑 1

∫0 �4𝑦𝑦 2 + 1 𝑑𝑑𝑑𝑑

Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________ o �

Sea la función siguiente, obtenga la primitiva. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(3𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑑𝑑 3 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(3𝑥𝑥)

Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________ Series:  symsum(exp,var,a,b): devuelve la integral primitiva de una expresión con respecto a la variable indicada. 1

Ejemplo: ∑∞ 𝑘𝑘=1 𝑘𝑘 2 >>syms k >>symsum((1/k^2),k,1,inf) Se obtiene: pi^2/6

12. ECUACIONES DIFERENCIALES Y TRANSFORMADAS DE LAPLACE: Las ecuaciones diferenciales muestran expresiones variables en el tiempo.  dsolve(expr): devuelve la función solución para la expresión diferencial.  dsolve(expr,c(i)): devuelve función solución con las condiciones iniciales. Ejemplo: la función de decaimiento radioactivo es

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

= 𝐷𝐷𝐷𝐷 = −𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

+ 8𝑞𝑞 = 2

>>syms x(t) k →Se declaran las variables, indicando que “x” depende de “t”. >>Dx=diff(x) >>dsolve(Dx==-k*x) Se obtiene: C1*exp(-k*t) Ejemplo: la función de decaimiento radioactivo es

>>syms q(t) →Se declaran las variables, indicando que “q” depende de “t”. >>Dq=diff(q) >>dsolve(Dq==2-8*q,q(o)==10) →Se colocan los valores iniciales: Se obtiene: (39*exp(-8*t))/4 + 1/4 Ejercicio: Obtener las funciones que cumplan con las siguientes expresiones. o

Sea la ecuación siguiente:

Ing. Jonathan Sánchez Paredes

13

Facultad de Ingeniería UC 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3 �1 −

100 � 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑥𝑥

Planteamiento: _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Se obtiene: _____________________________________________________________________________ o Sea la ecuación siguiente: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 2 𝑦𝑦 +6 = −12𝑦𝑦 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 Planteamiento: _______________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ Se obtiene: _____________________________________________________________________________ o

Investigar sobre otros métodos de cálculo para ecuaciones diferenciales.

LAPLACE: Al igual que en el caso de las ecuaciones diferenciales, es necesario declarar las variables.  laplace(f,v,e): devuelve la transformada de Laplace de la función ”f”, en cuanto a la variable “v” y si se tiene puntos de evaluación “e” obtiene una variable compleja. Ejemplo: para la función 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 −𝑎𝑎𝑎𝑎 >>syms a t y >>f=exp(-a*t) >>laplace(f,t) Se obtiene: 1/(a + t)_________________Comprobar con lo obtenido en tablas.

Ejemplo: para la función 𝐷𝐷𝐷𝐷 = >>syms f(t) s >>Df=diff(f) >>laplace(DF,t,s)

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑

Se obtiene: s*laplace(f(t), t, s) - f(0) ______ Comprobar con lo obtenido en tablas. Ejercicio: Obtener las transformadas de Laplace. o Sea la función siguiente: 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = −4𝑡𝑡 2 + 16 + 9 Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________ o Sea la función siguiente: 𝑑𝑑 2 𝑥𝑥 = −9𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 2 Comando: ______________________________________________________________________________ Se obtiene: _________________________________________________________________________ o

Investigar sobre otras transformadas de Laplace.

Ing. Jonathan Sánchez Paredes

14

Facultad de Ingeniería UC

13. CONCLUSIONES:  _  _  _

14. FUENTES: o

Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7ª. ed.). México D.F.: Cengage Learning.

o

Purcell, E. & Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo diferencial e Integral (9ª. ed.). México D.F.: Prentice Hall.

o

Soto, J. (2014). Aplicaciones básicas de Matlab (2da. ed.). Universidad Católica de Murcia.

o

Pérez, C. (2002). Matlab y sus aplicaciones en ciencias e ingeniería. Madrid: Pearson Educación.

o

Mathworks – Página web de asistencia al usuario.

15. TRABAJO:  Presentar un informe sobre el desarrollo del tema. En equipos de tres integrantes.  Dicho informe debe contener los ejercicios propuestos, conclusiones y las investigaciones pedidas, en especial los métodos para trabajar con gráficos, otras formas para resolver ecuaciones diferenciales y transformadas de Laplace aplicadas al control.  Pueden añadir anexos referidos al tema.

Ing. Jonathan Sánchez Paredes

15