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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA _________________________________________________________________________ GUÍA DE PROBLEMAS EVALUADOS. INFERENCIA ESTADÍSTICA __________________________________________________________________ PROBLEMA 1. Por estadísticas que se tienen, se ha podido establecer que más del 40% de los jóvenes toman regularmente Coca-Cola, cuando tienen sed. Una muestra aleatoria de 450 jóvenes reveló que 162 de ellos solían tomar dicha bebida cuando tenían sed. i. ¿Cuál podría ser su conclusión al nivel del 1% de significancia acerca de lo que muestran las estadísticas? ii. ¿Cuál podría ser su conclusión al nivel del 5% de significancia acerca de lo que muestran las estadísticas? PROBLEMA 2. La media de una muestra es de 49 y el tamaño de la muestra es de 49, la desviación estándar es 3. Utilice el nivel de significancia de 0.02 para probar las siguientes hipótesis: 𝐻0 : 𝜇 = 50 𝐻1 : 𝜇 ≠ 50 PROBLEMA 3. La cadena de restaurante “Campero” afirma que el tiempo de espera para el servicio de atención tiene una distribución normal, con una media de 3 minutos y una desviación 1 minuto. El departamento de aseguramiento de calidad descubrió en una muestra de 50 clientes que el tiempo medio de espera es de 2 minutos, en el nivel de significancia de 0.05 ¿Se puede llegar a la conclusión de que el tiempo de espera en promedio es menos de tres minutos? PROBLEMA 4. De un análisis exhaustivo de lo obra de un cierto autor, un investigador concluye que este autor escribe frases cuya longitud siguen una distribución normal con media μ = 31.5 palabras y desviación estándar σ=7.8 palabras. El investigador ahora lee otro escrito tal vez por el mismo autor, en el cual la longitud promedio de 90 frases es 36 palabras. Pruebe si la longitud media de la nueva obra es consistente con el trabajo del conocido autor. Enuncie la hipótesis nula y alternativa y presente claramente su conclusión. PROBLEMA 5. Sea X una variable aleatoria distribuida según una N (μ;9). A partir de la muestra: 6, 5, 8, 3, 7, 9, 7, 8, 9, 1, 7, 5, 9, 4, 9, 7, contraste, con un nivel de significación de 0.05, la hipótesis de que la media real sea 5. Página 1 de 8

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA _________________________________________________________________________ GUÍA DE PROBLEMAS EVALUADOS. INFERENCIA ESTADÍSTICA __________________________________________________________________ PROBLEMA 6. Se sabe que el promedio de las calificaciones de los estudiantes en la asignatura de Estadística en los últimos dos años ha sido de 5.6. Tras tomar una muestra aleatoria de 30 estudiantes del presente curso, se obtuvo un promedio de 6.4 y una desviación típica de 1.25. Suponiendo que se distribuyen normalmente, ¿se puede afirmar que los alumnos de este año obtuvieron calificaciones por encima de lo habitual? PROBLEMA 7. Se sabe que ciertas piezas de una máquina tienen una vida media de 1940 horas. Al variar uno de sus componentes se observa que una muestra de 100 piezas ha dado una duración media de 2000 horas y una desviación típica de 150 horas. ¿Se puede afirmar a un nivel de significación del 10% que el componente modificado ha supuesto un cambio significativo en la duración media de las piezas? PROBLEMA 8. Se tiene que reparar una máquina en cierta fábrica si produce más del 10% de artículos defectuosos del gran lote de producción de un día. Una muestra aleatoria de 100 artículos de la producción contiene 15 defectuosos y el supervisor decide que debe repararse la máquina. ¿La evidencia de la muestra apoya la decisión del supervisor? Utilice un nivel de significancia del 1 %. PROBLEMA 9. El fabricante de un determinado aparato de medida garantiza que este tiene una desviación típica de 0.25 unidades. Transcurrido un periodo de 9 meses, una muestra de 20 medidas proporcionó una desviación típica de 0.32 unidades. ¿Puede afirmarse con un nivel de significación del 5% que el aparato de medida está estropeado?¿Y con un 1% de significación? PROBLEMA 10. Durante 100 años la desviación típica de las temperaturas anuales máximas de una ciudad ha sido de 16ºF. Pero en los últimos 12 años se estuvo tomando la temperatura máxima los días uno de cada mes y dio una desviación típica de 10ºF. Supuesto que la temperatura se distribuya normalmente, ¿se puede afirmar con un 95% de fiabilidad que la variabilidad de las temperaturas ha disminuido?

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA _________________________________________________________________________ GUÍA DE PROBLEMAS EVALUADOS. INFERENCIA ESTADÍSTICA __________________________________________________________________ PROBLEMA 11. Sea X siguiendo una distribución normal N(μ;𝜎 2 ). Una prueba es necesaria para 𝐻0 : 𝜎 2 = 0.04 contra 𝐻1 : 𝜎 2 ≠ 0.04 basado en una muestra aleatoria de tamaño n =13. Si 𝑆 2 observado es 0.058, ¿se rechaza 𝐻0 al nivel de significancia del 5%? PROBLEMA 12. Un fabricante de televisores afirma que poco menos del 20% de sus tubos de imágenes fallan dentro de 2 años. Se encontró en una muestra aleatoria de tamaño 100 que 18 tubos de imágenes fallaron en 2 años. ¿Es razonable la afirmación del fabricante? PROBLEMA 13. Se sabe que el porcentaje de curación espontánea de una determinada enfermedad es del 30%. Para asegurar la eficacia de un nuevo tratamiento se selecciona aleatoriamente una muestra de 100 enfermos y se les somete a tal tratamiento, obteniéndose que el porcentaje de personas curadas es del 45%. ¿Se puede afirmar la eficacia del mencionado tratamiento con una confianza del 95 %? PROBLEMA 14. Una agencia de empleos, critica el hecho de que el 30% de las personas que son colocadas no pasan la prueba de trabajo en los tres meses. Se quieren comprobar esta crítica y del archivo de colocación de empleados, selecciona una muestra de 25 empleados y se encuentra que 7 no pasaron la prueba. ¿Se puede justificar esta crítica? PROBLEMA 15. En la distribución N (μ,144), contrástese las hipótesis 𝐻0 : 𝜇 = −5 𝐻1 : 𝜇 < −5 En muestras aleatorias de tamaño 9 y con un nivel de significancia de 15%, siendo la muestra extraída: -20.06, 4.56, -17.20, 6.05, 3.17, -0.28, 0.63, -15.26, -3.16. PROBLEMA 16. Contrástese con un nivel de significancia del 20%, las hipótesis 𝐻0 : 𝜎 2 = 4 𝐻1 : 𝜎 2 ≠ 4 Página 3 de 8

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA _________________________________________________________________________ GUÍA DE PROBLEMAS EVALUADOS. INFERENCIA ESTADÍSTICA __________________________________________________________________ Tomemos para esto una muestra aleatoria de tamaño 7, cuyo resultado es: 7.1, 5.3, 4.7, 8.0, 9.9, 3.4 y 3.6. PROBLEMA 17. De una población N (μ;1), se observa una muestra de tamaño 5. Se considera el contraste de hipótesis 𝐻0 : 𝜇 = 1 𝐻1 : 𝜇 = 3 Y la región crítica dada por: C = {𝑋̅ > 2.5} i. Calcular las probabilidades de los dos tipos de error. ii. Para la muestra: 2.5, 3, 1.2, 2.1 y 3.2, ¿qué decisión debe tomarse? PROBLEMA 18. Se sospecha que el medio de una partida de paquetes de garbanzos no llega a un kilo, tal como se indica en el envase. Para ello se selecciona una muestra de 9 paquetes, resultando los siguientes pesos en gramos: 1010, 989, 999, 1005, 956, 989, 992, 1025, 1050 Contrastar la afirmación anterior, para un nivel de significancia del 5%. PROBLEMA 19. Las normas de fabricación impuestas a los fabricantes sobre la resistencia a rotura de un tipo de hilo son μ=300 gramos y σ=20 gramos. Se pretende contrastar estas normas en un nuevo proceso de fabricación con un error del 5%, en los siguientes supuestos: i. En una muestra de 100 bobinas de hilo se comprobó que 𝑥̅ = 305 y S = 22. ii. En una muestra de 10 bobinas donde 𝑥̅ = 316 y S =10. PROBLEMA 20. Contrastar la hipótesis de que el contenido medio de las latas de gasolina de una determinada marca sea 5 litros si los contenidos de 9 recipientes son: 5.1, 4.85, 5.05, 5.15, 5.06, 4.9, 4.95, 5.2, 5.15. Elegir un nivel de significancia del 1%. Se supone que la distribución de los contenidos es normal. PROBLEMA 21. En el paquete de una marca de cigarrillos se afirma que el contenido medio de nicotina no excede los 3.5 miligramos. En una muestra de 10 cigarrillos

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA _________________________________________________________________________ GUÍA DE PROBLEMAS EVALUADOS. INFERENCIA ESTADÍSTICA __________________________________________________________________ se ha encontrado una media de 4.1 miligramos con una desviación típica de 1.3. Contrastar la hipótesis con un nivel de significancia del 5%. PROBLEMA 22. Después de un cambio tecnológico, una industria que tiene establecida su producción media en 12000 unidades mensuales, observa su producción durante los 12 meses siguientes, obteniendo las siguientes producciones (en miles de unidades): 12.2, 12.4, 11.6, 13.1, 10.9, 12.4, 11.3, 11.7, 12.2, 12.7, 11.9, 11.8. Contrastar a un nivel de significancia del 5%, si el cambio tecnológico ha afectado a la dispersión de la producción que estaba en σ =1500 unidades por mes. PROBLEMA 23. La oficina de control de tránsito sostiene que el 40% de conductores de vehículos de servicio particular tienen pase de conducción vencida. Se lleva a cabo una muestra de 20 conductores, encontrando que 9 de ellos tienen pase vencido. ¿Al 5% de nivel de significancia, se puede afirmar que el porcentaje es mayor que el señalado por la oficina? PROBLEMA 24. La duración media de una muestra de 10 bombillas es 1250 horas, con una cuasidesviación típica de muestral de 115 horas. Se cambia el material del filamento por otro nuevo y, entonces, de una muestra de 12 bombillas se obtuvo una duración media de 1340 horas, con una cuasidesviación típica de 106. i. ¿Puede aceptarse que las varianzas, antes y después del cambio, son iguales? ¿Bajo qué hipótesis? ii. ¿Ha aumentado la duración media de las bombillas? PROBLEMA 25. Para averiguar si difieren los niveles de una determinada sustancia química en dos grupos de personas, se toman muestras con los siguientes resultados: Muestra n S 𝑋̅ Vitaminas 31 8.5 5.5 Normal 25 4.8 5.1 Suponiendo normalidad, contraste tal hipótesis a un nivel de significación de 0.05. Página 5 de 8

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA _________________________________________________________________________ GUÍA DE PROBLEMAS EVALUADOS. INFERENCIA ESTADÍSTICA __________________________________________________________________ PROBLEMA 26. De dos poblaciones Normales se extraen dos muestras aleatorias X e Y, de tamaño 121 y 41 y cuasivarianzas muestrales 70.2 y 76.8, respectivamente. Realice un contraste para averiguar si existen evidencias para pensar que las dos muestras procedan de poblaciones con varianza diferente, a un nivel de significación del 10 %. PROBLEMA 27. En una encuesta realizada a 200 habitantes de una población A, 95 personas afirmaban que preferían la playa a la montaña para pasar las vacaciones. La misma encuesta realizada a 150 habitantes de otra población B, dio como resultado que 100 personas preferían ir a la playa. ¿Puede pensarse que los habitantes de la población B son más aficionados a la playa que los de la población A? Contrástese dicha hipótesis al 99 %. PROBLEMA 28. En un estudio realizado sobre las tendencias de los fumadores se seleccionó de manera aleatoria una muestra de 400 hombres de los cuales 190 eran fumadores y otra muestra aleatoria de 800 mujeres, de las que fumaban 300. ¿Se puede afirmar que la proporción de fumadores es la misma en hombres que en mujeres con una confianza del 90 %? PROBLEMA 29. Un grupo de personas participan en un estudio nutricional que trata de analizar los niveles de Vitamina C en la sangre de fumadores y no fumadores. Los resultados, en mg/l, fueron. Fumadores 18.3 9.3 12.6 15.7 14.2 13.1 14.3 16.2 18.1 19.4 15.5 No fumadores

24.9

16

26.3 25.5 19.3 16.8 15.7 24.6 19.9

9.4

17.4

Admitiendo que, en ambos casos, los niveles siguen distribuciones normales, contraste las siguientes hipótesis H0 :μ1 ≥ μ2 frente a H1 :μ1 < μ2 con un nivel de significancia del 5%. PROBLEMA 30. Con el propósito de saber si debe poner neumáticos diferentes en los trenes delanteros (D) y traseros (T) de sus vehículos, un fabricante ha medido el desgaste producido en 20 de ellos después de 15000 Kms, obteniendo los siguientes resultados: Página 6 de 8

11.7

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA _________________________________________________________________________ GUÍA DE PROBLEMAS EVALUADOS. INFERENCIA ESTADÍSTICA __________________________________________________________________ D 23.4 21.7 18 23.2 16.8 19.1 18.7 19.8 25 21.5 T 22.8 24.9 18 22.7 22.3 18.3 22.1 23.9 17.4 19 i. ii.

Suponiendo normalidad, ¿confirman los datos, con un nivel de significación de 0.05, la hipótesis de que el desgaste medio en el tren delantero es de 21 unidades? ¿Se puede afirmar que los neumáticos sufren el mismo desgaste en los dos trenes?

PROBLEMA 31. Cuando un proceso de producción de bolas de rodamientos funciona correctamente, el peso de las bolas tiene una distribución normal con media cinco gramos y desviación típica 0,1 gramos. Se lleva a cabo una modificación del proceso, y el director de la fábrica sospecha que esto ha incrementado el peso medio de las bolas producidas, sin modificar la desviación típica. Se toma una muestra aleatoria de 16 bolas, y se comprueba que su peso medio es de 5,038 gramos. Contrastemos a los niveles de significación 0,05 y 0,10 (es decir, al 5% y al 10%) la hipótesis nula de que el peso medio en la población es 5 gramos frente a la alternativa de que es mayor. PROBLEMA 32. Como parte de un proceso de ensamblaje, se usa un taladro para hacer agujeros en una lámina de metal. Cuando el taladro funciona adecuadamente, los diámetros de estos agujeros tienen una distribución normal con media dos centímetros y desviación típica 0,06 centímetros. Periódicamente, se miden los diámetros de una muestra aleatoria de agujeros para controlar que el taladro funciona adecuadamente. Asumamos que la desviación típica no varía. Una muestra aleatoria de nueve medidas da un diámetro medio de 1,95 centímetros. Contrastaremos la hipótesis nula de que la media poblacional es dos centímetros frente a la alternativa de que no sea así. Usaremos un nivel de significación del 5%, y encontraremos también el p-valor del contraste.

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA _________________________________________________________________________ GUÍA DE PROBLEMAS EVALUADOS. INFERENCIA ESTADÍSTICA __________________________________________________________________ PROBLEMA 33. Un fabricante afirma que mediante el uso de un aditivo en la gasolina, los automóviles podrían recorrer por término medio, tres kilómetros más por litro. Se usa una muestra aleatoria de 100 automóviles para evaluar este producto. El incremento medio muestral alcanzado fue 2,4 kilómetros por litro, con una desviación típica de 1,8 kilómetros por litro. Contrastar la hipótesis nula de que la media poblacional es al menos 3 kilómetros por litro. Hallar e interpretar el p-valor de este contraste. PROBLEMA 34. Cuando funciona correctamente, un proceso produce frascos de champú cuyo contenido pesa, en promedio, 200 gramos. Una muestra aleatoria de nueve frascos de una remesa presentó los siguientes pesos (en gramos) para el contenido: 214 197 197 206 208 201 197 203 209 Asumiendo que la distribución de la población es normal, contrastar al nivel del 5%, la hipótesis nula de que el proceso está funcionando correctamente frente a la alternativa bilateral. PROBLEMA 35. En una empresa los operarios de planta constituyen un colectivo de 528 empleados, de los cuales 79 sufren problemas de espalda. Los administrativos, por el contrario, son 32, de los cuáles 7 sufren problemas de espalda. ¿Se tienen evidencias de que los administrativos sufren más problemas de espalda que los operarios de planta? (Utilícese un nivel de significancia del 5 %). PROBLEMA 36. Se desea estimar la diferencia ente los salarios semanales promedios de empleados y obreros. Se toman dos muestras independientes de 61 personas cada una obteniéndose: Empleados

Obreros

Media

$150.000

$100.000

Varianza

100.000

81.000

Construya un intervalo del 95% de confianza para estimar la diferencia de medias (suponer normalidad). Página 8 de 8