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OPERACIONES CON INTERES SIMPLE

Prof. Noel Reyes Alvarado

DOCUMENTO DE APOYO PARA DESARROLLO DEL PROGRAMA DE MATEMATICA FINANCIERA

RECINTO UNIVERSITARIO RUBEN DARIO FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: MATEMATICA FINANCIERA

Elaborado: Prof. Noel Reyes Alvarado

Mayo 2019

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OPERACIONES CON INTERES SIMPLE

Prof. Noel Reyes Alvarado

INTRODUCCION La Matemática Financiera es una asignatura del área profesionalizante de la Carrera de Matemática, se impartirá para ampliar la rama de aplicación de las matemáticas, que el profesional implementará en el campo laboral; el contenido de esta asignatura constituye una herramienta esencial para las instituciones financieras y desarrolladoras de proyectos, ya que facilita información cualitativa y cuantitativa importante para el análisis y toma de decisiones en la evaluación de diversas alternativas de inversión, financieras y de proyectos de inversión. Los objetivos de esta asignatura se orientan hacia el desarrollo de capacidades, destrezas y habilidades en el planteamiento, solución y análisis de operaciones financieras bancarias, aplicando diferentes modelos matemáticos de forma manual y en Excel, los cuales están comprendidos en las 4 unidades a desarrollar. Unidad 1: Operaciones con Interés Simple Unidad 2: La Capitalización con Interés Compuesto. Unidad 3: Las Anualidades Simples y Generales. Unidad 4: Sistemas de Amortización de Deudas. Los valores y actitudes que desarrolla son la indagación, la objetividad, la sistematicidad, la creatividad y la precisión en los cálculos. La asignatura se evalúa a través de: preguntas de control sobre temas estudiados anteriormente (formativa). Solución de problemas en el aula de clases (formativa). Realización de 4 trabajo en pareja en el aula (sumativa 5% c/u). Realización de 4 trabajos en grupo de 4 estudiantes (sumativa 10% c/u). Realización de una prueba parcial individual (sumativa 40%). Las capacidades que desarrolla se utilizan para valorar el dinero invertido, la gestión financiera y la preparación de proyectos.

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TEMA 1:

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1. Conceptos básicos 1.1 Objetivos y alcances de la matemática financiera 1.2 Conceptos: capital, tasa de interés, plazo, interés y monto 1.3 Operación financiera, rentabilidad, diagrama de tiempo valor 2. Operaciones financieras con interés simple 2.1 Interés, monto y valor actual 2.2 Descuento simple y bancario 2.3 Interés por mora 3. Pagos parciales y ecuaciones de valor 3.1 Regla de los saldos insolutos o americana 3.2 Regla comercial 3.3 Regla comercial con cuotas iguales 3.3 Ecuaciones de valor

GUÍA DE AUTOAPRENDIZAJE No. 1 DATOS GENERALES:   

Carrera: Matemática Asignatura: Matemática Financiera Número y Nombre de Unidad: Tema 1. Operaciones con interés simple

INTRODUCCIÓN En este tema estudiaremos el interés simple como un método de cálculo financiero utilizado en el mundo de las finanzas, para efectuar operaciones financieras de corto plazo, las cuales se implementan en los negocios financieros para medir la rentabilidad de corto plazo de las inversiones relacionados con depósitos, pagaré, certificados a plazo y títulos valores que emiten las empresas del sector público y privado. El interés simple, parte del hecho de que solo el capital o principal produce intereses. Usamos el Interés Simple, si deseamos saber los ingresos de un determinado capital invertido para un periodo de 2 años a través de un bono que paga intereses semestralmente (cupón) a una cierta tasa de interés y no se capitalizan los intereses, en este caso, se dice que es de periodicidad 2.

OBJETIVOS 1. Conocer la importancia del estudio de las matemáticas financieras como herramienta de cálculo para la valoración del dinero en el tiempo. 2. Conocer las leyes del cálculo financiero para tomar decisiones en condiciones de certeza. 3

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3. Analizar el concepto de operación financiera, sus elementos y la clasificación. 4. Valorar la importancia del proceso de inversión como elemento importante para el crecimiento del capital. 5. Analizar el concepto de valor cronológico del dinero a través de la aplicación de las leyes financieras. 6. Construir diagramas de tiempo valor de flujos de caja de capitales para la interpretación y solución de una operación financiera. 7. Realizar operaciones financieras de cálculo de interés simple, monto, capital y tasas de interés. 8. Apropiarse de los conceptos, formulas y procedimientos para desarrollar habilidades de cálculos financieros de interés simple para la toma de decisiones.

CONTENIDOS

1. Conceptos básicos Introducción El estudio de las matemáticas financieras es importante para todas aquellas personas que deseamos saber cuánto ganamos o cuanto perdemos en una inversión. El propósito esencial del estudio de esta asignatura es que podamos evaluar la equivalencia del valor del dinero en diferentes tiempos y en diferentes circunstancias de la manera más sencilla posible. Estudiar matemáticas financieras significa analizar un conjunto de técnicas y procedimientos de carácter cuantitativo. La misión principal del estudio, es la medición del valor del dinero en el tiempo pasado, presente y futuro para que nos ayude a tomar decisiones financieras acertadas, es decir; para valorar el premio de prescindir por cierto tiempo, a cierta tasa de interés, de un determinado capital.

1.1 Capital Financiero. El capital financiero es una cantidad de unidades monetarias asociada a un momento dado de tiempo. Como lo afirma (De las Heras, 2008),” es la expresión del valor de cualquier bien económico mediante esas dos componentes (cantidad y vencimiento) elementos importantes para el estudio del fenómeno financiero y la solución de intercambios entre capitales a través de la valoración financiera” En una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cantidades, valores y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a capitales financieros equivalentes.

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1.2 Operación Financiera. Una operación financiera es la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes, mediante la aplicación de una ley financiera. Cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cantidades que se suceden en el tiempo. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a un cliente supone para este último un cobro inicial (el importe del préstamo) y unos pagos periódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operación. Por parte del banco, la operación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos. La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan tres elementos importantes: a) Sustitución de un o unos capital (es) por otro u otros. b) Equivalencia de capitales, debido al resultado de la aplicación de una ley financiera. c) Aplicación de un régimen financiero en forma de determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan la operación.

Elementos de una operación financiera a. Prestamista o acreedor: Es el que entrega el primer capital que interviene en la operación. b. Prestatario o deudor: Es el que recibe el primer capital de la operación. c. Prestación: Es el capital o conjunto de capitales que cede o entrega prestamista. d. Contraprestación: Es el capital o conjunto de capitales que cede o entrega el prestatario. e. Inicio u origen: Fecha en que vence el primer capital que interviene en la operación. f.

Vencimiento o final: Fecha en que vence el último capital que interviene en la operación.

g. Plazo o duración: Intervalo en el cual se intercambian los capitales que intervienen en la operación, distancia entre el inicio y el vencimiento.

Incertidumbre de capitales 1.

Operaciones ciertas: Son aquellas en que todos los capitales son conocidos y no hay dudas sobre su realización, su valor o su vencimiento. La mayoría de las operaciones financieras bancarias son ciertas.

2.

Operaciones aleatorias: Son aquellas en las que al menos algún capital de la operación ofrece dudas sobre su realización, ya sea en valor, en vencimiento o en ambas variables. Son llamados capitales financieros – aleatorios. La mayoría de las operaciones financieras de seguros son aleatorias.

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1.3 Inversión Una inversión es el aplazamiento del consumo actual de ciertos recursos financieros (capitales), con el objetivo colocarlos en una actividad económica para que genere utilidades y obtener un mayor consumo real en el futuro. La inversión procura la producción de bienes y servicios para satisfacer necesidades y resolver problemas. La efectividad se mide por su rentabilidad, la cual la podemos calcular a través de la diferencia entre el consumo futuro y actual o presente divido por el consumo actual. Supongamos que hoy tenemos $100 y se nos presentan dos opciones. La primera, es el gasto de los $100 adquiriendo 5 productos a un costo unitario de $20. La segunda opción es prestar a un amigo los $100 a plazo de un año a cambio que al final del plazo devuelva $125. Si los 5 productos, después de un año no han aumentado de precio, se mantendrán en $20; entonces podremos comprar 6.25 unidades, generando una rentabilidad del 25% de lo invertido en el préstamo. Esto lo podemos apreciar en el siguiente cálculo de la rentabilidad. i  i

Consum o futuro  Consum opresente Consum o presente 6.25  5 5

 25%

1.4 El valor cronológico del capital A menudo decimos que el capital produce capital. Esta aseveración es realmente verdadera, si nosotros elegimos invertir dinero hoy, ya sea en un banco o en una corporación de ahorro y préstamo, mañana habremos acumulado más dinero que el que hemos invertido originalmente. Este cambio en la cantidad de dinero en un período de tiempo es lo que se conoce como el valor cronológico del dinero. El concepto de valor del dinero o capital en el tiempo, adquiere una importancia de primer orden, ya que, es el objeto de estudio de las matemáticas financieras. Por ejemplo, si una persona o empresa pide hoy dinero prestado a un banco, mañana tendrá que pagar una cantidad mayor. El valor del dinero lo podemos determinar de dos formas:

1.5 Flujos de caja Los capitales que las personas y empresas tienen como ingresos, (rentas) y pagos (costos) que particularmente ocurren en cada período de tiempo dado, se denominan flujos de caja. Por lo general, todos los flujos de caja ocurren al final de cada período, es lo que conocemos como “convención fin de período” de lo contrario debemos especificar si ocurren al inicio. Para efectos de análisis financiero, los ingresos y egresos que se producen de forma anual en la actividad económica de una empresa, se registran al final de cada año en el flujo de

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caja o diagrama tiempo valor, independientemente que dichos flujos se produzcan en otro momento del año. Los flujos de caja o movimiento de capital se caracterizan por su signo, es positivo si es un ingreso y es negativo si es un egreso o desembolso. Flujos de caja positivos: Estos representan todas las entradas de dinero de la empresa independientemente del origen de donde provengan. En el diagrama tiempo valor, los flujos positivos los señalamos con una flecha hacia arriba. Figura 1.1

Figura 1.1 Flujos de caja negativos: Estos representan todas las salidas o egresos de dinero de la empresa independientemente del concepto que los origine. En el diagrama tiempo valor, los flujos negativos los señalamos con una flecha hacia abajo. Figura 1.1 Utilizaremos algunos símbolos para representar la moneda de los flujos de capital, por ejemplo: C$: Córdoba de Nicaragua. $: Dólar de los Estados Unidos de Norteamérica. €: Euro de Unión Europea. Para efectos de simplicidad no usaremos en los gráficos o diagramas de tiempo valor, el símbolo de la unidad monetaria. Solamente usaremos el símbolo cuando abordemos casos específicos y en la solución final de las operaciones financieras.

1.6 Diagrama de tiempo valor Un diagrama de tiempo valor lo podemos definir de varias formas: 1) Es la representación gráfica en una escala, de ingresos y egresos de capitales que ocurren en un periodo específico de una actividad económica, personal, comercial, productiva o cualquier otra. 2) Es el resultado gráfico de la solución mental de un problema relacionado a una operación financiera. 3) Es el movimiento de capitales en dos sentidos que muestra los valores dados y los que debemos encontrar como incógnitas, tomando en cuenta el momento en que ocurren. 7

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4) Es un instrumento visual para el análisis financiero y que facilita resolver el problema observando únicamente el dibujo del diagrama del flujo. 5) Es un paso importante para solución exitosa de un problema de matemática financiera, se asegura que “quien puede construir correctamente el diagrama de flujo de caja, puede resolver el problema planteado”. Para la construcción del diagrama tiempo valor de flujos de capitales se requiere de habilidad en la lectura comprensiva, lo cual ayuda a identificar todos los elementos que intervienen en el diseño del diagrama. Por ejemplo. Una inversión proporciona el flujo neto de capitales dados en la tabla 1.1. Resulta sencillo elaborar el diagrama que se muestra en la figura 1.2. Año Ingresos Egresos

O

1 $5,000

2 $6,000

3 $7,000

4 $8,000

5 $9,000

$20,000

Tabla 1.1

Figura 1.2 En el diagrama de la figura 1.2, la fecha 0 (cero) es el momento actual (hoy). La fecha 1, es el final del período 1. La fecha 2, es el final del período 2. La fecha 3, es el final del período 3 y así sucesivamente hasta el final del periodo de interés n. El final del periodo n = 5 años es el vencimiento. En vista de que asumimos que el flujo de capital ocurre al final de cada período (salvo cuando se diga lo contrario), solamente debemos considerar las fechas marcadas de 0, 1, 2,…, n para registrar los flujos en el diagrama. La dirección de las flechas en el diagrama de los flujos de caja es importante para la solución del problema. En la figura 1.2 utilizamos flechas hacia arriba para indicar un flujo positivo (ingreso) y flecha hacia abajo para indicar un flujo negativo (egreso).

1.7 Interés: I ¿Qué entendemos por interés? Cuando disponemos de una cantidad de dinero, podemos destinarlo al consumo o gasto –satisfaciendo alguna necesidad –, o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o menos próximo, según se acuerde. Estaremos dispuestos a invertir el dinero, siempre y cuando la compensación económica nos resulte atractiva. Por tanto, el interés I se puede definir como la retribución por el 8

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aplazamiento en el tiempo del consumo, esto es, el precio por el alquiler o uso del dinero durante un período de tiempo que ha estado invertido. La cuantificación de los intereses, depende de las variables, a saber: 1) 2) 3) 4) 5)

La cantidad de capital prestado o ahorrado. El plazo que dura la operación. La tasa de interés establecida o negociada. El régimen de capitalizar intereses. La forma de liquidar intereses: anticipados o vencidos

a) Capital: P Es la cantidad de dinero cuantificable (capital financiero) que se tiene disponible para la inversión.

b) Plazo: n Es el tiempo programado para realizar la operación financiera. El periodo de tiempo es el año y dividido en sub periodos anuales como: Periodo y sub periodos Año Semestre Cuatrimestre Trimestre Bimestre Mes Quincena Semana

Frecuencia anual (m) 1 2 3 4 6 12 24 52

c) Tasa de interés: i Es el tanto por cien unidades de dinero prestado o ahorrado, aplicado en cada periodo o sub periodo de tiempo de la operación financiera. Así, 2% mensual significa que $100.00 unidades prestados, ganan $2.00 de interés, entonces la tasa es i = 2% mensual. De igual manera la podemos definir para un año. 1) Tasa de interés activa. Es la tasa cobrada por los bancos y las instituciones financieras en la colocación de dinero, o sea; en el otorgamiento de préstamos a las personas naturales y jurídicas para el financiamiento de las actividades económicas. Las tasas de interés corriente y moratorias son tasas activas.

2) Tasa de interés pasiva. Es la tasa pagada por los bancos y las instituciones financieras a los ahorristas, en la captación de dinero (ahorros en sus diversas formas).

d) Régimen de capitalizar intereses Es la ley que se adopta para el cálculo de interés de una operación financiera, puede ser régimen de capitalización simple o compuesta. 9

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e) Liquidación de intereses Es la forma de pagar intereses puede ser a inicio o al final de periodo o sub periodo, es decir, liquidar intereses anticipados o vencidos.

f) Monto: F Es el valor calculado al final del plazo de la OF que incluye el capital y los intereses devengados.

2. Operaciones con interés simple La ley financiera de capitalización simple o de interés simple es aquella que en cualquier periodo de tiempo genera los mismos intereses que son proporcionales al plazo y al capital colocado. El capital P al final de cada período es el mismo, los intereses generados en cada período son improductivos. De esta forma, la evolución del interés devengado en cada período es el siguiente: Periodo 1:

I1 = P i

Período 2:

I2 = P i + P i = P (i + i) = P2i = P i 2

Período 3:

I3 = P i + P i + P i = P (i +i + i) = P3 i = P i 3

Periodo 4:

I4 = P i + P i + P i + P i = P (i +i + i + i) = P 4 i = P i 4

…

…

…

…

In = P i + P i + P i + P i … = P (i +i + i + i…) = P n i = P i n

Periodo n:

De esta manera, el interés simple para n periodos está dado por la fórmula [1.1].

I Pin

[1.1]

Las variables de esta fórmula las podemos definir: I: P: i: n:

Interés acumulado o devengado. Capital o principal (cantidad prestada o ahorrada). Tasa de interés del periodo (día, mes, trimestre, semestre, año. Plazo o número de periodos (día, mes, trimestre, semestre, año.

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En el siguiente ejemplo analizaremos el proceso de capitalización del método de interés simple que presentamos en la tabla 1.2. Ejemplo 1.1 Un depósito de $3,000 a plazo de 1.5 años devenga una tasa de 2.5% trimestral, con intereses liquidables por trimestre. En la tabla 1.2 se presenta la capitalización del depósito. Periodos 1 2 3 4 5 6

Capital inicio P 3,000.00 3,000.00 3,000.00 3,000.00 3,000.00 3,000.00

Interés: I = Pin 3,000(0.025)(1) 3,000(0.025)(1) 3,000(0.025)(1) 3,000(0.025)(1) 3,000(0.025)(1) 3,000(0.025)(1)

= 75.00 = 75.00 = 75.00 = 75.00 = 75.00 = 75.00

Monto F 3,075.00 3,150.00 3,225.00 3,300.00 3,375.00 3,450.00

Tabla 1.2 En el ejemplo anterior, podemos observar en la tabla 1.2 que el capital inicial permanece invariable durante el plazo de la operación financiera con interés simple, los intereses que no son retirados en cada periodo se capitalizan pero no son productivos, es decir; no generan nuevo interés. Para calcular el interés simple a través de la fórmula [1.1] tendremos en cuenta lo siguiente aspectos: a) Las variables que representan el plazo n y la tasa de interés i, deben estar definidas en el mismo período de tiempo. b) Si la tasa de interés i está definida en año y el plazo en k días, usamos el factor (k/360) para anualizar el plazo. c) Si la tasa i está en años y el plazo en k meses, usamos el factor (k/12) para anualizar el plazo. d) Si el plazo está comprendido entre dos fechas, calculamos los k días efectivos entre las fechas respectivas y usamos el factor (k/360). e) Si el plazo está dado en k meses, cada mes se compone de 30 días comerciales, usamos el factor [K(30)/360] o bien (k/12) para anualizar el plazo. Ejemplo 1.2 Calculemos el plazo de una operación financiera que inicia el 12 de octubre y vence el 26 de marzo del año siguiente. Entonces el plazo en año comercial está dado por:

 k   165  n       0.4583333  360   360 

año comercial

Observemos que el número de días efectivos entre el 12 de octubre y el 26 de marzo es k = 165. Este dato lo podemos constatar consultando la tabla de días.

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El plazo en año comercial de una operación financiera que dura un año exacto, o sea de 365 días, está dado por:  k   365  n      1.0138888  360   360 

años comercial

2.1 Interés simple comercial El interés calculado sobre la base del año comercial de 360 días, y cada mes 30 días, se le llama interés simple comercial u ordinario. Si el plazo n está dado en k días entonces usaremos la fórmula 1.2.

 k  Pi    360 

I 

[1.2]

Este cálculo incide en la variación de la fecha de vencimiento de un préstamo, ya que no coincide exactamente con la fecha formalización. Así, un préstamo que se otorgó el 15 de enero a plazo de un año comercial, entonces vence el día 10 de enero del próximo año, 5 días antes de la fecha de inicio, debido a que se utiliza el año comercial compuesto de 360 días. Este sistema es usado por las instituciones financieras, ya que aumentan el interés devengado. El interés calculado sobre la base anual de 360 días se conoce en la práctica comercial como interés bancario. En este texto calcularemos el interés simple comercial en tanto no se diga lo contrario.

2.2 Interés simple exacto El interés calculado sobre la base anual de 365 días se llama interés exacto. Por otra parte, el tiempo lo podemos calcular de manera exacta y de manera aproximada, por consiguiente para determinar el interés, las dos partes involucradas deudor y acreedor deben ponerse de acuerdo respecto al procedimiento que se utilizará. El interés simple exacto es de poco uso y en este texto no lo calcularemos. I 

 k  Pi    365 

[1.3]

Ejemplo 1.3 Calculemos el interés que devenga un depósito de $25,000 a plazo fijo de que inicia el 12 de noviembre y finaliza el 16 de abril del siguiente año, a una tasa de interés simple de 2.6%. Solución Datos:

P = $25,000, n = 155/360 = 0.430555 año, i = 2.6% anual.

Por la fórmula (2.1) resulta: I 

 n   155  Pi    25,000 0.026    $279.86 360    360 

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Ejemplo 1.4 Una persona solicita un préstamo de $180,000 a 18 meses de plazo a una tasa de interés simple del 30%. Calculemos la cantidad que pagará en concepto de interés al final del plazo. Solución Datos:

P = $180,000,

n = 18/12 años,

i = 0.30 años.

 n  18  P i    180,000 0.30    $81,000  12   12 

I 

Ejemplo 1.5 Determinemos el valor de los intereses que devenga un préstamo de $40,000 a una tasa de interés de 22% anual a plazo de un año exacto de 365 días. a) Interés simple comercial b) Interés simple exacto Solución a) Datos:

P = $40,000,

n = 365 días,

i = 22% anual.

Por la fórmula 2.1 tenemos:

I  Solución b) Datos:

 365  40,000 0.22     $8,922.22  360 

P = $40,000,

I 

n = 365 días,

i = 22% anual.

 365  40,000 0.22     $8,800.00  365 

Podemos observar que la diferencia de los intereses es $122.22. En consecuencia, un banco acreedor tendría preferencia en aplicar el interés simple comercial y no el interés simple exacto.

2.3 Plazo con interés simple De la fórmula [1.1] podemos calcular el plazo de las inversiones, según conozcamos el valor de las otras 3 variables. El Plazo en días está dado por [1.4] y el plazo en años comerciales por [1.5]

n 

 I   360     P  i 

[1.4]

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n 

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 I   1    P  i 

[1.5]

Ejemplo 1.6 Una persona invierte el día 12 de febrero la cantidad de $4,000 a 5% de interés semestral. Calcule la fecha de vencimiento, si el interés devengado es de $200. Solución Datos: P = $4,000,

n 

n = ?,

i = 0.05(2) = 0.10 anual. Por la fórmula [1.4] tenemos:

 I   360   200   360         180 días  P   i   4,000   0.10 

La fecha de vencimiento será 180 días después de iniciada la inversión, si inicia el 12 de febrero entonces finaliza el 11 de agosto del mismo año. Ver tabla de días.

2.4 Capital o principal El capital invertido con interés simple en una fecha, lo podemos calcular: a) Si el plazo está dado en días, entonces usamos la fórmula P 

 I   360     i  n 

[1.6]

b) Si el plazo está dado en años comerciales entonces P 

I   i

 1   n

[1.7 ]

Ejemplo 1.7 ¿Cuál es el capital el 28 de enero, si hasta el día 25 de octubre del mismo año, el interés devengado es $900.00 y la tasa de interés es 3% trimestral simple? Solución Datos: P =?, n = 270 días, el principal invertido.

P 

i = 0.03(4) = 0.12 anual. Por la fórmula [1.6] obtenemos

 I   360   900   360         $ 10,000.00  i   n   0.12   270 

De esta manera el valor invertido el día 28 de enero es de $10,000.

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2.5 Tasa de rendimiento con interés simple Si el plazo de la operación financiera está dado en k días vencidos, podemos utilizar el factor comercial y determinar la rentabilidad i o rendimiento anual: 360  360   360            n k días vencidos      

Así, el rendimiento i anualizado con interés simple de una inversión cuando el plazo dado n = k días, está dado por [1.8]

i 

 I   360     P  n 

[1. 8]

También podemos usar [1.9] si el plazo n está dado en años.

i 

 I 1    P n

[1. 9]

La tasa de la fórmula [1.8] sirve para medir el rendimiento simple de títulos - valores que se negocian en la Bolsa de Valores y facilita seleccionar la mejor alternativa de inversión en las operaciones financieras, sobre todo de aquellos títulos que se colocan en el mercado primario con descuento bancario

2.6 Tasa de interés por mora En los contratos de pago de obligaciones financieras se establece una tasa de interés adicional a la corriente. Este porcentaje adicional se denomina, tasa de interés por mora o simplemente tasa de interés moratoria y es el recargo por incumplimiento de pago en la fecha programada. (Tovar, 2008) “Interés por mora se cobra cuando no se ha devuelto o pagado el crédito en la fecha pactada. Su naturaleza es de penalización o de sanción por el incumplimiento incurrido”. El interés por mora se calcula sobre el principal de la cuota atrasada tomando el tiempo transcurrido posterior a la fecha de vencimiento. Las cuotas programadas en un préstamo o deuda están compuestas por dos elementos básicos: Ck = Ak + Ik Ck:

Valor de la cuota o pago

Ak:

Principal de la cuota

Ik:

Intereses corrientes sobre saldo

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Si la cancelación del pago o cuota se retrasa, el interés por mora lo calculamos tomando en cuenta únicamente el principal de la cuota vencida Ak, durante el tiempo demorado del pago. El interés por mora a través del método de interés simple, lo calculamos por la fórmula [1.10] que se deriva de la fórmula [1.1].

t   i  m  Ak m  360 

I  mo



[1. 10]



Donde,

Imo :

Interés por mora

Ak :

Principal de la cuota atrasada

im :

Tasa de interés moratoria

tm : k:

Tiempo de mora de la cuota. Número de cuota

La demora en la cancelación de la cuota, implica el ajuste del interés corriente respecto al saldo anterior de la deuda por el tiempo atrasado. Este ajuste puede ser cobrado junto a la cuota rezagada o bien en la fecha de la próxima cuota. Este cálculo lo realizamos con la fórmula [1.11].

Donde:

I

k´



t   i  m  k  1 c  360 

S





[1.11]

Ik : Interés corriente ajustado de la cuota Ck. Sk-1 :

Saldo anterior a la cuota Ck.

ic :

Tasa de interés corriente.

tm :

Plazo en días atrasados de la cuota Ck.

El interés corriente de la cuota siguiente a la atrasada debe ser ajustado conforme al tiempo reducido que transcurre entre la fecha de cancelación de la cuota atrasada y la fecha programada de la próxima cuota. Este cálculo lo realizamos por la fórmula [1.12]

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I

k´´



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 m   i  ´  k c  360  t

S



[1. 12]



Donde:

Ik´´ :

Interés corriente ajustado de la cuota Ck+1.

Sk :

Saldo en la fecha de pago con mora de la cuota Ck.

ic :

Tasa de interés corriente.

tm´ : Plazo restantes en días de la cuota Ck+1. tm + tm´ : Plazo inicial en días de la cuota Ck+1.

El procedimiento anterior se basa en el cálculo de interés sobre saldo o principal, sin embargo, la banca comercial calcula los intereses por mora en base a una situación contractual (acreedor–deudor), donde se especifican todas las condiciones del préstamo o deuda. Ejemplo 1.8 Una persona obtiene de un banco un préstamo de $2,000 que se pagará en 6 cuotas mensuales constantes, con la tasa de interés corriente sobre saldo de 30% nominal anual y la tasa de interés por mora es de 60% anual. La tabla 1.3 muestra el calendario de pago de la deuda.

Fecha cuota 15-ago 14-sep 14-oct 13-nov 13-dic 12-ene 11-feb

No cuota 0 1 2 3 4 5 6

Días programado 0 30 30 30 30 30 30

Principal Ak 0.00 313.10 320.93 328.95 337.17 345.60 354.24

Interés Ik 0.00 50.00 42.17 34.15 25.93 17.50 8.86

Cuota Ck 0.00 363.10 363.10 363.10 363.10 363.10 363.10

Tabla 1.3 Supongamos que la cuota 4 (Ck= C4) se retrasa 12 días. Calculemos: a) Valor de la cuota 4 con interés moratorio y ajuste de interés corriente. b) Valor de la cuota 5 con ajuste de interés corrientes. Solución a) Datos A4 = 337.17

: Principal de la cuota vencida

ic = 30%

:Tasa de interés corriente 17

Saldo Sk 2,000.00 1,686.90 1,365.97 1,037.02 699.85 354.24 0.00

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im = 60%

:Tasa de interés por mora

tm = 12

: Plazo en días atrasados de la cuota 4

S3= 1,037.02

: Saldo anterior a la cuota 4

Solución Aplicando la fórmula [1.10] calculamos el interés por mora durante 12 días. I  mo

 12  337.17 0.60    $6.74  360 

El ajuste del interés corriente lo calculamos por la fórmula [1.11], esto es:

I

k´



 12  1,037.02 0.30     $10.37  360 

El total a pagar con mora el 25 de diciembre se detalla a continuación: $337.17

Principal de la cuota

$ 25.93

Intereses corrientes de la cuota en mora

$ 6.74

Intereses por mora durante 12 días

$ 10.37

Ajuste de intereses corrientes por 12 días

____________ $ 380.21

Pago total

Solución b) Datos A5 = 345.60

: Principal de la cuota 5

ic = 30%

:Tasa de interés corriente

tm´ = 18

: Plazo restantes en días de la cuota 5.

S4= 699.85

: Saldo en la fecha cuota 4 pagada con mora.

Solución El ajuste del interés corriente de la cuota 5 lo calculamos por la fórmula [1.12], esto es:

18

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I

k´´



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 18  699.85 0.30     $10.50  360 

El total a pagar el 12 de enero de la cuota 5, se detalla a continuación: $345.60

Principal de la cuota

$ 10.50

Ajuste de intereses corrientes por 18 días

__________ $ 356.10

Pago total

2.8 Monto o valor futuro El monto o valor futuro F de una suma de dinero con interés simple, es la cantidad que se acumula al final de cierto período de tiempo que incluye principal más los intereses. Este valor F se calcula en cualquier fecha antes o en la fecha de vencimiento. La figurara 1.3 muestra el movimiento del cálculo a la derecha del punto de partida.

Figura 1.3 El valor actual P de dinero, colocado a un tiempo n y a una tasa de interés simple i, se transforma en el monto F que está dado por:

F 

P  P i n  P  1  i  n

[1. 13]

Lo anterior indica que el valor actual P más los intereses I que devenga en un periodo determinado se llama valor futuro F. A partir de la fórmula [1.13] (denominada fórmula fundamental de la capitalización simple) no solamente podemos calcular montos sino que, conocidos tres datos cualesquiera, podríamos despejar el cuarto restante. Nuevamente, hay que tener en cuenta que la n indica el número de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre debe estar en la misma unidad de tiempo que la tasa de interés.

19

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Ejemplo 1.9 a) El Sr. Martínez deposita en un banco $1,200 a 6 meses de plazo certificados de depósito a término (CDT) a un interés del 12%. Figura 2.3. Determine: b) Los intereses acumulados c) El valor futuro de los certificados. Datos P = $1,200, n = 6 meses,

i = 12%,

I = ?,

F=?

Solución Por la fórmula [1.1] I 

 6  P i n  1,200 0.12     $72.00  12 

Por la fórmula [1.13]   6  F  1,200  1  0.12    $1,272.00  12  

2.9 Capital o valor actual El valor actual P, también llamado capital de una suma de dinero con interés simple, es la cantidad al inicio de la operación, no contiene intereses. Este valor P lo podemos calcular en la fecha de inicio o en cualquier fecha después del inicio de la operación financiera, en la figura 1.4 observamos que el movimiento del cálculo es a la izquierda. En la fórmula [1.13], despejamos P y obtenemos el valor presente, el cual está dado por:

P 

1

F

[1. 14]

 i  n 

Figura 1.4

20

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Ejemplo 1.10 Determinemos el valor inicial que recibió la Sra. Villatoro en concepto de un préstamo, si al final del plazo de 120 días pagó principal e intereses por una cantidad de $43,333.33 a una tasa el de interés de 25%. Datos F = $43,333.33,

n = 120 días,

i = 25%,

P=?

Solución Aplicando la fórmula [1.14] obtenemos la solución,

P 

43,333.33   120  1  0.25  360  

  

 $40,000.00

Entonces, la Sra. Villatoro recibió la cantidad de $40,000 por el préstamo. A este valor le llamamos capital prestado y a la cantidad pagada al final del plazo de $43,333.33 se le denomina monto del préstamo.

2.10 Descuentos La operación que consiste en hallar diferencia entre el valor actual de una cantidad a pagar en el futuro, se conoce con el nombre de descuento. Esta diferencia recibe el nombre de descuento racional que no es lo mismo que el descuento bancario ya que este último se le asigna simplemente la palabra descuento. El descuento racional y el descuento bancario se calculan con métodos distintos, de modo que es importante no confundir el uno con el otro. Analizaremos los tipos de descuento racional y bancario. a) Descuento racional En una operación financiera la remuneración o compensación que paga un prestatario a un prestamista puede ocurrir de dos formas: si la remuneración es pagada al inicio del plazo se llama descuento, si se paga al final se llama interés. El descuento racional es lo mismo que el interés simple, es de mucho menor uso que el bancario, porque la cantidad que se descuenta es menor. Por lo general, se utiliza para descontar deudas, pero también se utiliza para colocar títulos valores en el mercado primario de la bolsa de valores, ya que el emisor de los títulos recibe mayor precio por los mismos, que si utilizara el descuento bancario. El descuento racional es la diferencia entre la cantidad futura a pagar F de una cantidad actual P, es decir; D=F–P Donde P lo calculamos por [1.12]. El descuento racional lo podemos calcular directamente por [1.15].

21

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D F

1

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F

[1.15]

 i n 

Ejemplo 1.11 El Ministerio de Hacienda y Crédito Público (MHCP) emite letras que en la calculadora de inversión del Banco Central de Nicaragua (BCN), el inversionista puede calcular el precio a pagar por la letra suministrando los datos siguientes. Datos proporcionados Valor facial de la letra (en US$):

10,000.00

Plazo efectivo (días) de la inversión:

360

Tasa de rendimiento deseada (antes de IR):

12.5 %

Resultados Precio en porcentaje de la letra:

88.889%

Precio a pagar (en US$):

8,888.90

Calculemos los resultados anteriores con las fórmulas: a) El precio de la letra b) El valor del descuento c) La tasa de rentabilidad o rendimiento del inversionista Datos F = $10,000,

i =12.5%,

n = 360 días, D = ?,

P = ?,

i =?

Solución a) Primero calculamos, el valor presente P o precio de la letra a través de la fórmula [1.14], entonces; P

10,000   360    1  0.125  360     

 $8,888.90

b) El valor del descuento D es; D  F  P  10,000  8,888.90  $1,111.11

c) La rentabilidad en este caso coincide con la tasa de descuento y la calculamos con la fórmula siguiente, donde D = I; 22

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 D   360   1,111.11   360  i         12.50% rentabilidad anual  P   k   8,888.90   260 

También el descuento D lo podemos calcular directamente haciendo uso de la fórmula [1.15] de la siguiente manera. La operación la podemos apreciar en la figura 1.5. D  10,000 

10,000   360    1  0.125  360     

 10,000  8,888.90  $1,111.11

Figura 1.5 De tal forma que el MHCP y el BCN adjudican a los inversionistas, la subasta de las letras, utilizando el descuento racional ya que como entes emisores obtienen mejor precio por los instrumentos financieros que venden. b) Descuento bancario El descuento bancario es un procedimiento que utilizan los bancos para descontar instrumentos financieros y se define como la diferencia entre el monto a pagar en el futuro y el valor presente del título-valor. También puede ser utilizado en las operaciones bursátiles con títulos-valores que se negocian y se colocan por un valor más bajo que el señalado nominalmente. Este descuento consiste en la remuneración anticipada de los intereses y se calcula con la fórmula [1.14]. D  F dn

[1.16]

Como D = F – P

pero I = F – P

entonces

D=I

Donde D: F: d: n:

Descuento bancario Valor final, facial, valor redimible al finalizar el plazo Tasa de descuento Plazo del descuento ( 1 < n < 360 días) 23

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Invertir con la modalidad de descuento bancario es atractivo ya que la tasa de rentabilidad es mayor que la tasa de descuento. Esto ocurre debido al hecho de anticipar el pago de intereses. Ejemplo 1.12 Supongamos que el (MHCP) utiliza el descuento bancario para adjudicar las letras a los inversionistas. Resolvamos nuevamente el ejemplo 1.11 y calculemos: a) El descuento b) El precio de la inversión c) La tasa de rentabilidad del inversionista Datos F = $10,000,

d = 12.50%,

n = 360 días, P = ?, D = ?,

i=?

Solución a) Por la fórmula [1.16] podemos calcular el descuento

D 

 360  F d n  10,000 0.125     $1,250.00  360 

b) El valor de la inversión P es; P  F  D  10,000  1,250  $8,750.00

c) La tasa de rendimiento la hallamos con [1.8] donde D = I ;  1,250   360   D   360  i         14.2857% rentabilidad anual P  k   8,750   360 

El inversionista obtiene una tasa de rendimiento de 14.2857% anual, superior a la tasa de descuento de 12.5%. La comparación de los dos descuentos se presenta en la tabla 2.3. Podemos apreciar que los resultados no son iguales, lo que equivale a decir, que en tiempos iguales y a una misma tasa de descuento, el valor actual P con descuento racional es siempre mayor, que el valor actual P con descuento bancario. La diferencia se fundamenta, en que el descuento bancario el interés se paga anticipado y en el descuento simple racional el interés se paga de forma vencida. Al MHCP le conviene utilizar el descuento racional, ya que recibe más dinero $8,888.90 por la venta de la letra. Sin embargo, al Banco le conviene el descuento bancario, pues paga menos al invertir en el mismo instrumento financiero $8,750.00.

24

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Valor futuro Plazo de descuento Tasa de descuento Precio a pagar Valor descontado Tasa de rentabilidad

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Descuento racional $10,000.00 360 días 12.5% $8,888.90 $1,111.11 12.5%

Descuento bancario $10,000.00 360 días 12.5% $8,750.00 $1,250.00 14.2857%

Tabla 1.4

3. Pagos parciales y ecuación de valor Los pagos parciales constituyen un sistema para amortizar deudas a través de pagos que se efectúan en el plazo acordado. En las actividades comerciales, es costumbre utilizar obligaciones financieras en las que se aceptan pagos parciales o abonos, dentro del plazo de la obligación, en lugar de un solo pago en la fecha de vencimiento. En la solución de los problemas en los que intervienen obligaciones y sus intereses, se supone que todo dinero que se recibe o paga, por cualquier concepto, continúa en el proceso financiero dentro de un mismo juego de intereses, hasta la extinción de la obligación. En este tipo de obligaciones se presentan varias alternativas, el análisis y cálculo de los valores en juego deberán hacerse de acuerdo con las condiciones del comercio y la banca local según el país. Para cancelación de obligaciones con pagos parciales utilizaremos dos sistemas muy usuales: a) La regla americana b) La regla comercial.

3.1 Regla americana o saldos insolutos Esta regla conocida como United State Rule o regla americana, el interés se calcula sobre el saldo no pagado o insoluto de la deuda cada vez que se efectúa un pago parcial. Si el pago es menor que el interés vencido, el pago se lleva sin interés hasta que se hagan otros pagos parciales cuyo monto exceda el interés vencido a la fecha del último de dichos pagos parciales.

Algoritmo de la Regla Americana = + = =

Saldo inicial P de la deuda: Interés devengado a la fecha de pago: Monto de la deuda a la fecha de pago: Valor del pago parcial: Saldo insoluto: K : número de pago

25

Sk Ik F Ck Sk

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La regla funciona mediante un proceso iterativo, en el cual se indica que cada vez que se hace un pago debe calcularse el monto de la deuda hasta la fecha del pago y restar a ese monto el valor del pago; así, se obtiene el valor del saldo insoluto en esa fecha. Este proceso se repite hasta calcular el saldo en la fecha de vencimiento, que será igual al último pago parcial y que liquida la deuda. El procedimiento se repite hasta concluir con el saldo igual a cero. La incógnita del procedimiento es hallar el valor del último pago parcial en la fecha de vencimiento. Metodología para resolver un sistema de pago parcial 1. 2. 3. 4.

Dibuje el perfil de flujos. Calcule los tiempos entre pagos en meses o días según se indique. Aplique el algoritmo de la regla americana para hallar el saldo cero. Prepare la tabla de pago.

Ejemplo 1.13 Una empresa factura $50,000.00 por la compra de insumos con una distribuidora el día 12 de enero y deberá pagarse en un plazo que vence el 8 de noviembre del mismo año, a través del sistema de pagos parciales que se detallan: Pago 1 : Pago 2: Pago 3: Pago 4: Pago 5:

$10,000 $12,000 $13,000 $10,500 $¿ ?

13 de marzo 27 de abril 26 de junio 09 de septiembre 08 de noviembre

La tasa de interés corriente es de 26%. Calculemos el quinto pago parcial a través del algoritmo de la regla americana. Solución En el perfil de flujos del sistema de pagos parciales se presenta en la figura 1.6 el valor entre paréntesis representa el número de días entre fechas de pagos.

Figura 1.6 La aplicación del algoritmo de la regla americana lo presentamos en la tabla 2.4. Para hallar el valor del quinto pago parcial, debemos tener presente que los intereses sobre saldo en la fecha de cada pago, los calculamos con la fórmula [2.1] de interés simple. 26

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=Saldo + Interés = Monto -Pago

Pago 1 50,000.00 2,166.67 52,166.67 10,000.00

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Pago 2 42,166.67 1,370.42 43,537.09 12,000.00

Pago 3 31,537.09 1,366.61 32,903.70 13,000.00

Pago 4 19,903.70 1,078.12 20,981.82 10,500.00

Pago 5 10,481.82 454.21 10,936.03 10,936.03

Tabla 1.5 Cada cuota Ck en la tabla 1.5 es la suma de la amortización al principal Ak y los intereses devengados Ik. El subíndice k es un contador y representa el k-ésimo pago parcial con 1  k  N; así, establecemos las relaciones dada a través de las fórmulas siguientes: C A  I k k k

[1.17]

Cuota o pago parcial k

A C  I k k k

[1.18]

Principal de la cuota k

S S  A k k 1 k

[1.19]

Saldo de la cuota k

La amortización de la obligación financiera se presenta en la tabla 1.6, es la forma más práctica ya que facilita tanto al deudor como al acreedor observar la disminución de la deuda periodo a periodo. La tabla contiene seis columnas básicas y suministra la información necesaria para realizar ajustes de los valores programados inicialmente. El uso de la regla americana facilita al prestamista, ganar intereses sobre los intereses capitalizados, en cada fecha de los pagos parciales. En el ejemplo anterior, la obligación devenga intereses del 26% anual, lo que equivale a realizar pagos mensuales con esta regla, se le cobra sobre saldos el 2.1667% mensual con capitalización mensual, es decir intereses compuestos y no simples. Fecha cuota 12-Ene 13-Mar 27-Abr 26-Jun 09-Sep 08-Nov Total

No. de pagos No. 0 1 2 3 4 5

Días prog Dp 0.00 60 45 60 75 60 300

Principal Cuota AK 0.00 7,833.33 10,629.58 11,633.39 9,421.88 10,481.81 50,0000

Interés Pago corriente parcial IK CK 0.00 0.00 2,166.67 10,000.00 1,370.42 12,000.00 1,366.61 13,000.00 1,078.12 10,500.00 454.21 10,936.02 6,436.02 45,981.21

Saldo insoluto SK 50,000.00 42,166.67 31,537.08 19,903.69 10,481.81 0.000 Pagado

Tabla 1.6 Cuando se vence la fecha de pago y este no se efectúa, decimos que el pago cae en mora, en este caso los intereses por mora se calculan sobre el principal de la cuota atrasada Ak, y no sobre la cuota completa Ck, ya que no se pueden cobrar intereses sobre intereses.

27

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Ejemplo 1.14 En la tabla de pago 1.6, supongamos que el tercer pago de $13,000 el deudor lo cancela hasta el 21 de julio; es decir, se retrasó 25 días. Si la tasa de interés por mora es 40% anual. a) ¿Cuál el valor a pagar en la fecha 21 de julio para ponerse al corriente? b) ¿Cuál el valor del cuarto pago parcial en la fecha 09 de septiembre?

Solución a)

Datos A3 = 11,633.39

Principal de la cuota vencida

ic = 26%

Tasa de interés corriente

im = 40%

Tasa de interés por mora

tm = 25

Plazo en días atrasados de la cuota 3

S2= 31,537.08

Saldo anterior a la cuota 3

Aplicando la fórmula [1.10] calculamos el interés por mora durante 25 días. I  mo

 25  11,633.39 0.40     $323.15  360 

El ajuste del interés corriente lo calculamos por [1.11];

I

k´

 25   31,537.08 0.26     $569.42  360 

El total a pagar con mora el 25 de diciembre se detalla a continuación: $11,633.39

principal de la cuota

$ 1,366.61

intereses corrientes de la cuota en mora

$

323.15

intereses por mora durante 25 días

$

569.42

ajuste de intereses corrientes por 25 días

____________ $ 13,892.57

Pago total

28

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Solución b) Debido que el pago 3 se retrasa 25 días, entonces el plazo programado del pago 4 se reduce 25 días (75-25 = 50) consecuentemente, el interés corriente programado del pago 4 debe ser ajustado de conformidad a 50 días, para determinar el valor del pago 4 en la fecha inicialmente prevista del 09 de septiembre. (Ver tabla 1.6). Datos A4 = 9,421.88

Principal de la cuota 4

ic = 26%

Tasa de interés corriente

tm´ = 50

Plazo restantes en días de la cuota 4

S3= 19,903.69

Saldo en fecha de cuota 3 pagada con mora

El ajuste del interés corriente lo calculamos por la fórmula [1.12];

I

k´´



 50  19,903.69 0.26     $718.74  360 

El total a pagar el 9 de septiembre de la cuota 4 es: $9,421.88

principal de la cuota

$ 718.74

ajuste de intereses corrientes por 18 días

__________ $ 10,140.62

Pago total

3.2 Regla comercial Cuando se aplica el sistema de la regla comercial, “el interés se calcula sobre la deuda original y sobre cada pago parcial a la fecha de vencimiento” (Ayres, 1991) El valor del último pago parcial en la fecha de vencimiento será la diferencia entre el monto de la deuda y suma de todos los demás pagos parciales con sus intereses. La estrategia de solución de este método es la construcción de una ecuación de valor, haciendo que la fecha focal sea la fecha de vencimiento. Ejemplo 1.15 Una deuda de $30,000 a plazo de 12 meses comerciales y con interés del 22%, se liquidará a través de los pagos parciales $10,000 en 4 meses, $12,000 en 6 meses y $5,000 en el mes 10. Hallemos el saldo en la fecha de vencimiento el cual constituye el cuarto pago parcial.

29

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Solución La representación gráfica de la solución se muestra en la figura 1.7.

Figura 1.7 Calcularemos el monto de la deuda a 12 meses de plazo esto es,   12  F  30,000 1  0.22    $ 36,600.00  12  

Calculemos el monto de cada pago parcial a la fecha de vencimiento. Primero determinemos los tiempos de cada pago de $10,000 es 12 – 4 = 8 meses, para $12,000 es 12 - 6 = 6 y para $5,000 es 12 – 10 = 2. Así, el monto de cada pago es:   8  F  10,000 1  0.22    $ 11,466.67  12     6  F  12,000 1  0.22    $ 13,320.00  12  

  2  F  5,000 1  0.22    $ 5,183.33  12  

El cuarto pago parcial es la diferencia de los montos en la fecha de vencimiento lo mostramos en la tabla 2.6: X = $36,000.00 – $29,970.00 = $6,030.00 Deuda $30,000.00

Monto $36,000.00

Total Pago final

$36,000.00

Pagos $10,000.00 $13,000.00 $5,000.00 $6,030.00

Tabla 1.7 30

Montos $11,466.67 $13,320.00 $5,183.33 $29,970.00

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3.3 Regla comercial y pagos periódicos iguales Otra forma de pagar créditos comerciales a plazo, consiste en pagos periódicos iguales con interés simple sobre saldos. Según la regla comercial para pagos parciales estudiada anteriormente, elegimos la fecha focal como la fecha del último pago parcial de la obligación. Para el caso de ventas a plazos, es la fecha de la última cuota de la compra a plazos. Figura 1.8.

Figura 1.8 Dejamos al lector investigar los cálculos de los pagos periódicos iguales con interés simple del ejemplo 1.16 y comprobar los resultados a través de fórmulas de los datos, que muestran en la tabla 1.8. Ejemplo 1.16 Un electrodoméstico tiene un valor de contado de $15,000. Se compra el 10 de mayo, con una cuota inicial $1,000 y el saldo se liquida en 6 cuotas periódicas iguales mensuales con una tasa de interés del 20% anual simple sobre saldo. Calcule el valor de la cuota y elabore la tabla de pago del crédito. Fecha cuota 10-May-19 09-Jun-19 09-Jul-19 08-Ago-19 07-Sep -19 07-Oct-19 06-Nov-19 Total

No. de pagos No. 0 1 2 3 4 5 6

Días proa Dp 0.00 30 30 30 30 30 30 180

Principal Amortizac AK 1,000.00 2,333.33 2,333.33 2,333.33 2,333.33 2,333.33 2,333.33 $14,000.00

Interés corriente IK 0.00 130.67 130.67 130.67 130.67 130.67 130.67

Pago parcial CK 1,000.00 2,464.00 2,464.00 2,464.00 2,464.00 2,464.00 2,464.00

$784.00

$14,784.00

Tabla 1.8

31

Saldo Insoluto SK 14,000.00 11,666.67 9,333.34 7,000.00 4,666.67 2,333.33 0.00 Pagado

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3.4 Ecuación de valor En las operaciones financieras a menudo se nos presentan problemas relacionados con las inversiones equivalentes, es decir; que en tiempo y valor tienen el mismo significado económico; esta situación la podemos expresar a través de las ecuaciones de valor. “Una ecuación de valor es una igualdad de valores, que se ubican en una fecha que se escoge para la equivalencia” (Baca, 1997). A esta fecha se le llama fecha focal que en el diagrama del perfil de flujos de caja lo denotaremos mediante una línea punteada vertical. Todas las cantidades, ya sean deudas o pagos deben ser calculadas a la fecha focal con una tasa de interés que se denomina tasa de rendimiento. Para construir la ecuación con el método de interés simple, la fecha focal debe ser un dato del problema, debido a que los valores de las cantidades varían si las fechas son diferentes. A menudo se nos presentan dificultades en la formulación de la ecuación de valor; la siguiente metodología nos podría ser útil para el planteamiento de dicha ecuación. Para desarrollar los pasos 3 y 4 de la metodología señalada, podemos emplear las fórmulas de valor futuro y de valor presente. En la figura 1.9 observamos que: 

El monto 1 (ingreso) está a la izquierda de la fecha focal, el traslado de dicha cantidad a la fecha focal se realiza con la fórmula de valor futuro.



El monto 2 (ingreso) está a la derecha de la fecha focal, el traslado de dicha cantidad a la fecha focal se realiza con la fórmula de valor presente.



El pago 1 (egreso) está a la izquierda de la fecha focal, el traslado de dicha cantidad a la fecha focal es con la fórmula de valor futuro.



El pago 2 (egreso) está a la derecha de la fecha focal, el traslado de dicha cantidad a la fecha focal es con la fórmula de valor presente.

Figura 1.9

32

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Metodología para construir la ecuación de valor 1ro. Leamos cuidadosamente el enunciado del problema, identificando los flujos de egresos e ingresos. Calculemos los montos de las deudas si no están dados. 2do. Dibujemos el diagrama tiempo valor del perfil de flujos, ubicando ingresos sobre la línea y egresos bajo la línea, la fecha focal será una línea punteada verticalmente. 3ro. Calculemos la suma de ingresos a la fecha focal con la tasa de rendimiento, con las fórmulas del monto y valor actual de interés simple según sea el caso.

F  P  1  i ( n )

;

 1  PF  1  i ( n ) 

4to. Calculemos la suma de egresos a la fecha focal con la tasa de rendimiento, con las fórmulas de interés simple según sea el caso.

F  P  1  i ( n )

;

 1  PF  1  i ( n ) 

5to. Igualemos los resultados de: suma de (3) con la suma de (4) y despejemos la incógnita X que soluciona el problema de equivalencia financiera.

Ejemplo 1.18 Consideremos tres obligaciones, cuyos montos se muestran. Figura 1.10 1) Principal $25,000 a plazo de 4 meses, a 18%, venció hace 3 meses. 2) Principal $28,500 a plazo de 6 meses, a 19%, vence dentro de 4 meses. 3) Monto $22,450.80 vence dentro de 8 meses. Formar una ecuación de valor con fecha focal dentro de 9 meses y tasa de rendimiento de 20%, que recoja las tres obligaciones con las siguientes condiciones: Efectuar hoy un pago de $10,000.00 y tres cuotas iguales, dentro de 6, 12 y 15 meses respectivamente. Solución Siguiendo la metodología descrita tenemos: 1ro. Calculemos los montos de cada una de las deudas a su fecha de vencimiento, ver figura 2.11   4  a) F  P  1 i ( n )  25,000  1  0.18    26,500.00 venció hace 3 meses  12   b)

  6  F  P  1 i ( n )  28,500  1  0.19    31,207.50 vence dentro de 4 meses  12  

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c)

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F  P  1 i ( n )  22,450.80 vence dentro de 8 meses

Figura 1.10 2do. Dibujemos el diagrama tiempo-valor del perfil de flujos, ubicando los montos de las deudas sobre la línea y los pagos bajo la línea, la fecha focal será una línea punteada verticalmente. Figura 2.11.

Figura 2.11 3ro. Calculemos la suma de los montos de las deudas a la fecha focal dentro de 9 meses, con la tasa de rendimiento de 20%. Utilizaremos la fórmula de valor futuro dado que las cantidades están a la izquierda de la fecha focal    12   5  26,500.00  1  0.20    31,207.50  1  0.20     12   12      1  22,450.80  1  0.20    31,800.00  33,808.13  22,824.98   12   88,433.11

4to. Calculemos la suma de los montos de los pagos a la fecha focal dentro de 9 meses, con la tasa de rendimiento de 20%. Utilizamos las fórmulas de valor futuro y valor presente dado que las cantidades están a la izquierda y derecha de la fecha focal

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      1  9   3   10,000.00  1  0.20    x  1  0.20    x   3    12   12     1  0.20  12          1   1,500.0 0  x (1.05)  x (0.9524)  x (0.9090)  x  6    1  0.20  12      = $11,500 + x (2.9114)

5to. La ecuación la obtenemos igualando los resultados de 3 y 4 (valores en círculos) y despejando la incógnita x, obtenemos: 88,433.11  11,500  x (2.9114)

x

88,433.11  11,500 2.9114



76,933.11 2.9114

 $26,424.14

Así, cada pago tendrá un valor de $26,424.14 a efectuarse dentro de 6, 12 y 15 meses respectivamente, con los cuales se transforman las tres obligaciones en una Tabla de días En las operaciones financieras de corto plazo es común establecer plazos entre dos fechas, y se pueden presentar dos situaciones: 1. El plazo está en el mismo año, en este caso, para obtener el número exacto de días comprendidos entre cualquier fecha de un mes y de cualquier otro mes, hallamos el número de la tabla situado en la columna encabezada por el mes terminal y restar el número de días en la columna correspondiente del mes inicial. Ejemplo. Calculemos (tabla 1.9) los días efectivos del 23 de febrero al 12 de noviembre del mismo año. 12 de noviembre = 316 mes terminal 23 de febrero = - 54 mes inicial ______ 262 Total días del plazo 2. El plazo está comprendido en dos años, en este caso, para obtener el número exacto de días comprendidos entre cualquier fecha de un mes del año anterior y de cualquier otro mes del año siguiente, hallamos el número de días del año que finaliza y sumamos el número de días del año que inicia. Ejemplo. Determinemos el número de días entre el 12 de septiembre y el 29 de abril del año siguiente. 31 de diciembre

=

365 35

año que finaliza

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12 de septiembre = - 255 mes que inicia operación ______ 110 días del año que finaliza 29 de abril

No ENE FEB

=

119

mes que finaliza operación

MAR ABR

MAY

JUN

JUL AGO SEP

OCT

NOV

DIC

No.

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

32 33 34 35 36

60 61 62 63 64

91 92 93 94 95

121 122 123 124 125

152 153 154 155 156

182 183 184 185 186

213 214 215 216 217

244 245 246 247 248

274 275 276 277 278

305 306 307 308 309

335 336 337 338 339

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

6 7 8 9 10

37 38 39 40 41

65 66 67 68 69

96 97 98 99 100

126 127 128 129 130

157 158 159 160 161

187 188 189 190 191

218 219 220 221 222

249 250 251 252 253

279 280 281 282 283

310 311 312 313 314

340 341 342 343 344

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

11 12 13 14 15

42 43 44 45 46

70 71 72 73 74

101 102 103 104 105

131 132 133 134 135

162 163 164 165 166

192 193 194 195 196

223 224 225 226 227

254 255 256 257 258

284 285 286 287 288

315 316 317 318 319

345 346 347 348 349

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

16 17 18 19 20

47 48 49 50 51

75 76 77 78 79

106 107 108 109 110

136 137 138 139 140

167 168 169 170 171

197 198 199 200 201

228 229 230 231 232

259 260 261 262 263

289 290 291 292 293

320 321 322 323 324

350 351 352 353 354

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

21 22 23 24 25

52 53 54 55 56

80 81 82 83 84

111 112 113 114 115

141 142 143 144 145

172 173 174 175 176

202 203 204 205 206

233 234 235 236 237

264 265 266 267 268

294 295 296 297 298

325 326 327 328 329

355 356 357 358 359

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30 31

26 27 28 29 30 31

57 58 59 -

85 86 87 88 89 90

116 117 118 119 120 -

146 147 148 149 150 151

177 178 179 180 181 -

207 208 209 210 211 212

238 239 240 241 242 243

269 270 271 272 273 -

299 300 301 302 303 304

330 331 332 333 334 -

360 361 362 363 364 365

26 27 28 29 30 31

Tabla 1.9

36

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Cuestionario para auto estudio Lea, reflexione y responda las siguientes preguntas para profundizar y reafirmar los conocimientos adquiridos en el estudio del tema. 1. ¿En qué consiste el interés simple como método de cálculo financiero? 2. ¿Cuál es la diferencia entre el interés simple exacto y el interés simple comercial? 3. Explique la diferencia entre rédito y tasa de interés. Dar ejemplos. 4. ¿Qué es la tasa de interés por mora? y ¿Cuándo se aplica? 5. ¿Cómo se calcula el interés por mora? 6. ¿Por qué el monto simple es una progresión aritmética y no geométrica? 7. ¿Cuál es la diferencia entre monto y valor actual con interés simple? 8. ¿Qué es el descuento bancario o comercial? ¿Cuándo ese utiliza? 9. ¿A qué se le llama descuento simple racional? ¿Cuándo se utiliza? 10. Explique la diferencia entre descuento simple racional y descuento bancario. 11. ¿En qué consiste la regla de los saldos insolutos en el sistema de pagos parciales? 12. ¿Cuál es la esencia de la regla comercial y los pagos iguales periódicos con interés simple? 13. ¿Es posible pagar una deuda en cuotas iguales periódicas con interés simple sobre saldos? 14. ¿Qué es una ecuación de valor con interés simple y para qué sirve?

4. Ejercicios propuestos para auto estudio Los siguientes ejercicios se resolverán de forma individual o en colectivo y les servirá para desarrollar habilidades en el planteamiento y resolución de operaciones financieras con interés simple. Se podrán usar fórmulas, tablas de días, calculadora y plantillas de Excel que el estudiante debe elaborar. Cada problema presenta su respuesta para comprobar los resultados del conocimiento adquirido.

Interés, monto, valor actual, tasa de interés y plazo 1. Calcule el interés simple comercial y el monto de las siguientes inversiones: a) De $800 a plazo de 180 días a 3% semestral. R $24.00 $824.00. b) De $1,500 desde el 11 de enero al 11 de diciembre del mismo año a 2% bimestre. R $167.00 $1,667.00. c) De $5,000 durante 10 meses y 25 día a 1.3% mensual. R $704.17, $5,704.17. d) De $3,500 desde el 18 de noviembre al 28 de abril del siguiente año, con 0.73% mensual. R $137.12, $3,637.12. e) De $10,000 desde 20 de abril hasta 20 de abril del año siguiente a 0.068493% diario. R $2,500.00, $12,250.00. f)

De $1,250 desde el 22 de septiembre al 18 de mayo del año siguiente a 1.2% trimestral. R $39.67, $1,289.67.

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g) De $2,500 con tasa de 1.6% bimensual desde el 8 de enero al 2 de junio del año siguiente. R $ 340.00, $2,840.00. h) De $12,000 durante el mes de agosto a 8%. i)

R $82.67,

De $3,600 a plazo de 7 meses comerciales a 7%. R

$12,082.67.

$147.00,

$3,747.00

2. Halle el monto y la fecha de vencimiento de un depósito de $3,000 que inicia el día 12 de septiembre a plazo de 180 días e interés de 2.8% simple anual. R $3,042, vence el día 11 de marzo siguiente. 3. Una persona obtiene dos pagaré: No. Valor nominal Tasa 1 $24,000 8.4% 2 $15,000 7.25%

Plazo 16 noviembre hasta 25 mayo año siguiente 13 septiembre hasta 25 mayo año siguiente

a) Calcule el monto total que recibe. R $40,831.29. b) ¿Cuál es nuevo monto? Si el monto anterior se reinvierte a 12% durante 3 meses R $42,056.22. 4. ¿A qué tasa de interés el monto de $20,000 será $20,925.40 a 5 meses de plazo? R 11.1048% 5. Determine la tasa de interés que gana una persona que invierte $4,000 a plazo de 8 meses, si el interés devengado es de $333.33. R 12.5% 6. Una inversión de $ 15,000 genera intereses pagaderos al final de cada seis meses comerciales por la cantidad de $ 1,147.50 durante 18 meses. Calcule la tasa de rendimiento sobre la inversión. R 15.30% 7. En cada caso, calcule la tasa de interés anual que pagan los comerciantes de cierto mercado a dos prestamistas que les conceden préstamos a plazo de un mes. a) Una cooperativa de ahorro y préstamos les aplica una comisión deducible de 8% a sus socios por cada $1,000 prestados. R 104.35% b) Un prestamista les concede dinero a condición de que por cada $1,000 prestados devuelvan $1,200. R 240% c) Un programa de gobierno presta $5,000 a plazo de un año y cada mes pagan los usuarios $450. R 8% 8. Calcular la tasa de interés anual a la cual el monto de $10,000 es $11,483.33 en 10 meses. R 17.80% 9. Calcule la tasa de rendimiento y la fecha de vencimiento de una inversión de $5,000 que inicia el 20 de noviembre a plazo de 8 meses y que genera una ganancia de $266.67 por intereses. R 8%, vence 18 de julio. 10. ¿Cuánto tardarán $1,000 a) en ganar $100 a 15% $1,200 a 13.5%. R a) 8 meses b) 534 días

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b) en aumentar cuando menos a

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11. Calcule el tiempo en años, meses y días talque un capital de $ 20,000. a) Produce $4,850 a 18% de interés simple?

R 1 año, 4 meses, 5 días

b) Alcanza un monto de $27,076.67 a 11% semestral de interés simple? R 1 año, 7 meses, 9 días c) Produce $1,564.44 a 4% trimestral de interés simple? R 5 meses y 26 días. d) Alcanza un monto de $22,666.67 a 20% de interés simple. R

240 días.

e) Alcanza un monto de $28,400 a 3% bimestral de interés simple. R 2 años y 4 meses 12. Seleccione la oferta que deberá tomar de mayor ingreso actual la señora González, si al momento de vender su casa firma un contrato y se le presentan dos opciones a 20% de interés. a) $10,000 en la firma del contrato y $8,000 a los 9 meses después. R $16,956.52 b) $8,000 en la firma del contrato y $10,000 después de un año. R $16,333.33 Entonces la mejor opción es la a) ya que presenta mayor ingreso actual, es decir, mayor costo para el comprador 13. Si el rendimiento del dinero es de 9.3%, analice que oferta es más conveniente para un comprador que adquiere una mercadería de un distribuidor. a) $51,200 de contado. R $51,200.00 b) $10,000 al contado y dos cuotas $30,000 mes 6 y 12,000 en el mes 12. R $49,645.95 c) $5,000 al contado y tres cuotas de $15,000, $20,000 y $14,000 en los meses 4, 10 y 15 respectivamente. R $50,652.45. La mejor oferta es b) por ser de menor costo actual. 14. Si el monto de un préstamo es de $15,000 que vence dentro de 8 meses, a una tasa de interés de 25%. Calcule su valor: a) El día de hoy. R $12,857.14 b) Dentro de un año y 22 días. R $16,479.17 c) Dentro de 3 meses. R $13,584.91 d) Dentro 1 meses y 25 días. R $13,292.31 e) Dentro de 260 días. R $15,208.33 15. Si un bono de valor nominal $65,000 es comprado a 97% de su valor nominal de periodicidad 2, (pago de intereses semestral) y que produce en cada período $6,550 ¿Cuál es la tasa de rentabilidad anual del bono? R 20.777% 16. ¿Cuánto debe invertir un padre de familia el 12 de septiembre en una cuenta que devenga una tasa de 19.8%, para disponer de $16,000 el 15 de diciembre siguiente? R $15,213.46. 17. Determine el valor de un depósito que debe efectuar una empresa el 10 de febrero en un banco para que sea agotado a través dos retiros, el primero el 18 de mayo por $15,200 y el segundo el 12 de septiembre por $20,500 todas la fechas corresponden al mismo año y la tasa de interés del depósito es 18.4% simple. R $ 32,960.84.

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18.

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¿Cuánto paga por intereses un distribuidor de abarrotes si el 10 de junio compra mercancías por $16,500, hace un anticipo del 30% y paga el resto el 25 de septiembre con recargos de 30.5% de interés simple? R $1,047.04

19. Una persona obtiene el día 25 de agosto un préstamo por $15,780 para pagarlo el día 10 de marzo del año siguiente junto con los intereses corriente del 25%. El préstamo no fue liquidado en el vencimiento del plazo, sino hasta el día 5 del mes siguiente con el 20% de recargo por mora, más comisión del 1% sobre principal vencido. ¿Qué cantidad pagó? R $18,609.44. 20. Una empresa debió pagar hace 6 meses la suma de $20,372.65 y dentro de 10 meses deberá pagar $18,256.95. Si por la deuda no pagada le cobran intereses corrientes del 23% IS y moratorio de 18% y por la deuda por pagar le cobran intereses corrientes del 20%, determine el valor de las dos deudas en un pago único que efectuará la empresa dentro de 3 meses. R $42,986.75 Pagos parciales, regla comercial 21. Haga uso de la regla americana y calcule el valor del último pago parcial en la fecha 20Ene-10 y elabore la tabla de pago de la deuda, con interés corriente de 30% Deuda $15,000.00 25-Ene-09 C1 $5,000.00 27-May-09 C2 $6,000.00 10-Sep-09 C3 $ ¿? 20-Ene-10 a) Calcule el tercer por la regla americana y elabore la tabla de pago. R $7,262.77 b) Suponga que el primer pago se liquida con 20 días de atraso, si el interés por mora es 40% calcule el valor del pago 1 y el valor del pago 2 en la fecha 10-Sep-09. R C1 = $5,327.22, C2 = $5,807.92 22. Para comprar una casa que tiene un costo de $50,000 se paga una cuota inicial de $10,000 y el saldo se amortiza a través del sistema de pagos parciales en un plazo total de 15 meses con 25%: C1 C2 C3 C4

$12,000 $15,000 $15,000 $ ¿?

mes 2 mes 7 mes12 mes 15

a) Halle el valor del pago 4 por el método de la regla americana y elabore la tabla de pago, escriba la fecha de cada pago. R $4,894.54. b) Suponga que el deudor se atrasa 28 días para liquidar el pago 1, si la tasa de interés por mora es 55% calcule el valor a pagar, además calcule el ajuste del pago 2 en su fecha programada. R C1 = $13,219.81, C2 = $14,423.15 23. Una deuda que contrae un comerciante a 30% de interés corrientes, se detalla a continuación: Deuda inicial

$50,000

12-Ene-15 40

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C1 C2 C3 C4 C5

$12,000 $10,000 $12,000 $10,000 $ ¿?

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26-Feb-15 27-Abr-15 27-Jul-15 09-Sep-15 08-Nov-15

a) Calcule el quinto por la regla americana y elabore la tabla de pago. R $13,757.73 b) Suponga que el pago 3 se atrasa 25 días ¿Cuál es el valor a pagar, si la tasa de interés por mora es 60%? R $13,063.24 ¿Cuál es el valor del pago 4 ajustado? R $9,535.72 24. Una persona adquiere una propiedad valorada en $200,000 a través un pago de inicial de $60,000 cinco meses después $50,000, seis meses más tarde $70,000. ¿Cuál será el importe del pago que tendrá que hacer 1.5 año después de iniciada la operación financiera para liquidar totalmente el saldo con interés de 30%? Use el método de regla americana para hallar el pago final y haga la tabla de pago. R $ 63,009.38 25. Calcule el saldo en la fecha de vencimiento de un documento de $100,000 a un año de plazo a 30% si es reducido mediante dos pagos iguales de $30,500 cada uno, efectuados 5 meses y 8 meses antes de la fecha de vencimiento. Use el método de la regla americana y haga la tabla de pago. R $ $61,832.81 26. El Sr. Alvarado da de cuota inicial $2,500, por la compra de una casa cuyo precio de contado es de $12,500. Posteriormente pagará $2,500 al final de cada trimestre durante 3 trimestres. Halle el saldo insoluto al final del año aplicando el método de la regla americana con intereses de 20% sobre saldos, haga la tabla de pago. R $3,879.75 27. En el ejercicio anterior suponga que la casa no se canceló al finalizar el año, sino que se canceló 46 días después. Si la tasa de interés moratoria es 10%, halle el valor del pago que liquida totalmente la casa y haga nuevamente la tabla de pago. R $4,021.39 28. El día 7 de febrero Sr. Guerrero obtuvo un préstamo por la cantidad de $30,000 córdobas con mantenimiento de valor y que venció el 7 de febrero siguiente. Acordó pagar $10,000 córdobas el día 5 de mayo, $12,000 córdobas el día 20 de septiembre. Si el interés corriente es 25% sobre saldo, el interés por mora de 30% y mantenimiento de valor 6%, calcule usando la regla americana. a) El saldo al día 7 de febrero siguiente b) El saldo al día 16 de mayo año siguiente

R $14,445.36 R $16,586.02

29. Un préstamo de $4,000 (córdobas) con mantenimiento de valor es concedido el día 3 de enero de 2007. Se liquida en 3 pagos: el primero el 3 de febrero por $1,800 el segundo el 3 de marzo por $1,500. Si los intereses corrientes son del 25% sobre saldo, por mora de 32% y mantenimiento de valor 6%. Calcule por la regla americana. a) El saldo al día 3 de abril siguiente. R $ 885.41 b) El saldo al día 28 de abril siguiente. R $ 923.14 30. Hace 5 meses obtuve un préstamo por $5,000 a 18%. Pagué $1,500 hace 3 meses, hoy pagaré $950, quiero saber cuánto pagaré dentro de 2.5 meses para saldar la deuda. Use la regla americana. R $2,971.66

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31. Una empresa debe en la actualidad una deuda $25,000 a una institución bancaria, conviene en pagarla en un plazo de 2 años a través de los siguientes pagos parciales: a lo inmediato paga $5,000 a los 6 meses paga $9,000, a los 18 meses paga $12,000 y el saldo a los 24 meses. Con interés de 16% halle el valor del último pago utilizando el método de la regla americana. R $2,825.28 32. Calcule el quinto pago parcial en la fecha de vencimiento para liquidar una deuda con el Banco Pacífico por $162,500 a 1.5 años de plazo a 27%, si es reducido mediante un pago a lo inmediato por $20,000 seguido de tres pagos parciales: el primero por $40,500, el segundo por $45,000 y el tercero por $50,000, efectuados 4, 7 y 12 meses antes de la fecha de vencimiento. Use el método de la regla americana. R $50,078.30. 33. El 5 de enero se compra un equipo de cómputo que se paga con una prima de $6,000, un pago de $8,000 el 20 de febrero y el otro el 19 de marzo para liquidar el resto ¿por cuánto será este pago si el precio del equipo fue de $20,600 y se cargan intereses de 26% simple anual? R $7,223.20. 34. Una computadora tiene un valor de contado de $1,800. Si usted la compra y paga una cuota inicial $200 y el saldo en 18 pagos periódicos iguales mensuales con una tasa de interés de 48% anual. Calcule el valor de la cuota y elabore la tabla de pago del crédito hasta la cuota 6. R $114.09 35. Un cliente paga una deuda de $10,000 con una casa comercial. La cuota inicial es $500 y el saldo se cancela en 9 cuotas periódicas iguales trimestrales con una tasa de interés de 54% anual. Calcule el valor de la cuota y elabore la tabla de pago de la deuda. R $1,518.22 36. Determine el valor de la cuota constante quincenal periódica en un plazo de 2 años para pagar una deuda de $15,000 con tasa de interés anual de 36%. R $397.41. 37. En el problema anterior, suponga que las cuotas son periódicas constantes semanales, donde un año se compone de 52 semanas ¿Cuál es el valor de la cuota? R $182.87. 38. Si una persona presta hoy $10,000 para pagarlo en 6 cuotas iguales periódicas mensuales con interés simple de 30% anual. Calcule el valor de la cuota y elabore la tabla de pago del préstamo. R $1,803.53. 39. Tomás prestó $5,000 el 5 de enero. Pagó $1,000 el 30 de abril y $2,000 el 31 de agosto. El saldo lo paga en dos cuotas iguales a efectuarse el 15 de octubre y 15 de diciembre respectivamente. Haga uso de la regla comercial y calcule el valor de las cuotas con tasa de interés de 22%. (Todas las fechas corresponden al mismo año) R $1,365.41 Descuento bancario y racional 40. El monto de una deuda de la empresa AA dentro 5 años será de $153,756.80 a favor del Banco Anglo. Este monto será vendido al Banco Pacífico mediante un descuento racional simple 22.5% aparte de 1.2% por comisiones de venta del agente o corredor de bolsa y el 1% del Puesto de Bolsa. Calcule: a) La cantidad que pagará el Banco Pacífico. R $72,356.14 b) Las comisiones del agente. R $868.27 c) Las comisiones al puesto de bolsa. R $723.56 42

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d) Valor líquido del banco Anglo.

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R $70,764.

41. Un certificado de inversión negociable de valor facial de $15,000 a plazo de 300 días, se vende al público a través de una tasa de descuento bancario de 12.2%. Si usted compra el certificado, calcule: a) Valor de la inversión. R $13,475 b) La tasa de rentabilidad. R 13.5807% 42. En el ejercicio anterior suponga que el documento usted lo vende a los 145 días después y le aplican un descuento bancario de 12.4% y además paga comisiones de 0.5% tanto al puesto de bolsa como al agente de bolsa. Determine: a) El valor líquido que usted recibe. R $14,057.17 b) La tasa de rentabilidad. R 10.7226% 43. Una empresa emite un certificado de inversión por $10,000 dólares el cual se oferta al público con una tasa de descuento bancario de 12% a plazo de 270 días, calcule: a) El precio que pagaría por el certificado. R $9,100.00 b) La tasa de rendimiento que obtiene. R 13.1868% 44. En el ejercicio anterior, suponga que transcurrido 144 días el documento es vendido a una Financiera que le ofrece un descuento racional de 13% anual sobre el valor facial. Determine: a) El valor de la inversión de la financiera. R $9,564.80 b) La tasa de rentabilidad del vendedor por 144 días de su inversión. R 12.7692%. 45. La empresa NSP emitió un certificado de valor facial y final de $100,000 a plazo de un año comercial que hace 145 días fue adquirido por Gato´s Inversiones SA a través de un descuento bancario de 13%. Por razones de iliquidez, hoy Gato´s tiene en venta el certificado y existen dos ofertas para la compra. Analice la opción que le conviene a Gato´s través de: a) El valor que recibe por la venta. b) La tasa de rentabilidad que obtiene. 1) El comprador ofrece un descuento bancario de 13.90%. 13.4086% 2) El comprador ofrece un descuento racional de 14.30%. 14.6446%

R

R $91,698.61

y

$92,131.70

y

46. Un certificado de inversión de valor facial y final de $25,000 a plazo de 270 días, es comprado por el inversionista A con una tasa de descuento bancario de 12%. Encuentre: a) El valor de la inversión. R $22,750.00 b) La rentabilidad de A. R 13.1868% 47. En el ejercicio anterior, suponga que el documento se vende 120 días antes de su vencimiento con descuento bancario de 13.7% y es adquirido por el inversionista B. calcule: a) El valor de la inversión de B. R $23,858.33 b) La tasa de rentabilidad de B. R 14.3556% c) La tasa de rentabilidad de A. R 11.6923% 43

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48. Una sociedad invierte en un certificado emitido por un banco nacional a una tasa de descuento bancario de 13.70% a plazo de 300 días. Si el valor facial del certificado es de $30,000. Calcule: a) El valor de la inversión. R $26,575.00 b) La tasa de rendimiento de la Sociedad. R 15.4657% 49. En el ejercicios anterior, suponga que la Sociedad traspasa el certificado a los 160 días al Grupo Delta con descuento racional de 13.20%. Encuentre: a) La cantidad que recibe por la venta. R $28,535.19 b) La tasa de rentabilidad de la Sociedad R 16.5962% 50. El Sr. Díaz invierte en un Certificado de Inversión emitido por el DNB a una tasa de descuento bancario de 14.10% a plazo de 300 días y con valor facial y final de $50,000. Determine: a) El valor de la inversión. R $44,125.00 b) La tasa de rendimiento del Sr. Díaz. R 15.9773% 51. En el ejercicio anterior, suponga que los 150 días de haber comprado el certificado, el Sr. Díaz lo traspasa a Financiera Sur con descuento bancario de 13.80%. Calcule: a) La cantidad que recibe por la venta el Sr. Díaz. R $47,125.00 b) La tasa de rentabilidad del Sr. Díaz. R 16.3172% 52. Inversiones Continental compra una letra del tesoro en el mercado de valores, de valor nominal $18,000 a plazo de 9 meses comerciales, con interés simple de 18.5% sobre nominal. Determine, el interés de la inversión. R $2,497.50 53. En el ejercicio anterior suponga que Inversiones Continental decide vender el documento a los 140 días de haberlo adquirido con descuento racional de 20%. Calcule: a) El valor que recibe Inversiones Continental por la venta. R $19,116.84 b) La tasa de rendimiento que obtiene sobre la inversión inicial. R 15.9548% 54. El Ministerio de Hacienda emite y vende letras del tesoro de valor nominal y final de $10,0000 a plazo de 180 días con tasa de descuento racional de 8.50%. Calcule: a) El valor líquido a pagar. R $9,592.33 b) La tasa de rentabilidad de la inversión. R 8.50% Ecuación de valor 55. Una persona realiza una transacción con un Banco y le queda debiendo $12,000 con vencimiento en 6 meses y $9,400 con vencimiento en 8 meses. Calcule el valor de los pagos para saldar las deudas, si la nueva transacción gana intereses de 20%: a) Se cancelan en un pago único inmediato. R $19,203.21 b) Se cancelan en dos pagos iguales, el primero dentro de 6 meses y el segundo dentro de un año. Fecha focal dentro un año. R $11,060.32 c) Se cancelan en 3 pagos iguales, el primero dentro de 6 meses, el segundo dentro de 9 meses y el tercero dentro de un año. Fecha focal dentro de un año. R $7,373.55.

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56. La empresa Agropecuaria San Bernardino ubicada en el municipio de “San Bartolomé de Aguas” tiene tres deudas pendientes con una institución financiera local de la siguiente manera: 1. $10,000 a plazo de 1 año con el 20% de interés y vence dentro de 5 meses 2. $8,500 a plazo de 1.5 años con interés de 22% y vence dentro de 9 meses 3. $12,000 a plazo de 8 meses con interés de 19.5% y vence el día de hoy La empresa no puede asumir el pago de las deudas de la forma programada, debido a esto el banco le concede una extensión de 1.5 años de plazo a partir de hoy para que cancela las 3 deudas con tasa de rendimiento de 26% debiendo escoger uno de los siguientes sistemas de pagos: a) Un pago de $5,000 el día de hoy y 3 pagos iguales en los meses 6, 12 y 18, con fecha focal en 5 meses. R $12,138.05 b) Tres pagos en los meses 6, 12 y 18 en la siguiente forma, el segundo es mayor que primero en $3,000 y el tercero es mayor que el segundo en $2,000, fecha focal en el mes 6. R $11,787.73, $14,787.73, $16,787.73 c) Un pago dentro de 6 meses por $4,600 y 4 pagos iguales en los meses 9, 12, 15 y 18, fecha focal en 9 meses. R $9,738.52 d) Cuatro pagos iguales, en los meses 0, 6, 12 y 18 fecha focal en el día de hoy. R $9,960.86 e) Cinco pagos crecientes en $2,500 cada uno, en los meses 6, 9, 12, 15 y 18 fecha focal en el mes 12. R $3,863.60, $6,363.60, $8,863.60 $11,363.60, $13,863.60 57. Hace 9 meses una empresa prestó $25,000 a 18% que vence dentro de 3 meses. Para cancelar la deuda acuerda los siguientes pagos: dentro de 2 meses $10,000 y dos pagos iguales dentro de 6 y 12 meses respectivamente. Con fecha focal dentro de 6 meses y tasa de rendimiento del 18%, halle los pagos iguales. R $10,549.27 58. Una deuda de $20,000 a plazo de 10 meses con 20% de interés vence dentro de 5 meses, para pagarla se acuerda los siguientes pagos: dentro de 2 meses $8,000 y dos pagos iguales dentro de 6 y 12 meses respectivamente. Con fecha focal dentro de 6 meses y tasa de rendimiento de 25%, halle el valor de los pagos. R $8,022.05 59. Una empresa prestó $15,000 a plazo de 15 meses al 20% que vence dentro de 8 meses. Para pagar la deuda se acuerdan los siguientes pagos: dentro de 4 meses $5,000 y dos pagos talque el segundo es decreciente en $1,000 en relación al primero, estos pagos se efectuarán dentro de 10 y 16 meses respectivamente. Con fecha focal dentro de 10 meses y tasa de rendimiento del 25%, halle el valor de los pagos. R $7,832.72 y $6,832.72 60. La Sra. Díaz tiene dos opciones para pagar un préstamo: puede pagar $200 en 5 meses y $300 a final de 10 meses, o bien puede pagar $X al final de 3 meses y $2X al final de 6 meses. Si las opciones son equivalentes y el dinero vale 12%, calcule X usando como fecha focal. a) El final de 6 meses R $161.87 45

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b) El final de 3 meses.

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R $161.96

61. Si una persona presta hoy $10,000 para pagarlo en 6 cuotas iguales mensuales con interés simple del 30% anual ¿Cuál es el valor de la cuota? a) La fecha focal es el mes 3? R $ 1,811.84 b) La fecha focal es el mes 0? R $ 1,809.76 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Después de la sesión o encuentro y como estudio independiente realice las siguientes actividades, previo una lectura comprensiva: 1. Construya un formulario o resumen de fórmulas de interés, asociando una figura que muestre el flujo respectivo. 2. Elabore tablas o plantillas de Excel para calcular los diferentes valores de interés simple. 3. Construya diagramas de tiempo valor a partir de los datos generales de cada problema a resolver. 4. Analice cada uno de los ejemplos desarrollados en el texto básico para que sirvan como modelos en la solución de los problemas propuestos. 5. Establezca las semejanzas y diferencias entre los distintos modelos de interés simple para la realización de cálculos y valoración de resultados. 6. Investigar el tema de interés simple en la bibliografía complementaria o cualquier otra que se encuentre disponible en internet.

FORMA DE EVALUACIÓN: La presente guía será evaluada a través de: 1. Preguntas individuales como control de lectura sobre temas específicos y señalados previamente por el profesor. 2. Resolución de ejercicios en pareja en el aula de clases. 3. Prueba corta individuales sobre temas específicos señalados por el profesor previamente. 4. Trabajo independiente realizado en grupo de 3, consistente en la solución de ejercicios propuestos con antelación. 5. Cada estudiante debe contar (si puede) con una Lap Top para ejecutar las funciones de Excel, de lo contrario podrá utilizar las formulas y calculadora científica para realizar cálculos manuales.

BIBLIOGRAFÍA 1. Libro texto. Noel Reyes Alvarado. Matemática Financiera. (2015) UNAN Managua. 2. Los estudiantes también podrán utilizar los apuntes suministrado por el profesor 46

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como fuente de información primaria y básica. 3. Los estudiantes, podrán consultar la bibliografía relacionada con los temas en estudio, disponible en internet de fuente confiable.

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