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GUIA DE EJERCICIOS PARA MATEMATICAS 5

La presente guía representa una herramienta para el estudiante para que practique los temas dictados en matemáticas 5. Se sugiere realizar los ejercicios en equipo para comprar resultados. Tenga presente que algunos ejercicios se escapan de la dificultad del curso sin embargo son importante para ampliar mas el conocimiento de los temas, dicho ejercicios podrían estar señalado y se dará una ayuda para resolverlos. Los temas que se aprecian en la guía son: 1. Funciones de varias variables gráficos y conjuntos. 2. Límites y continuidad. 3. Derivados parciales y diferenciabilidad. 4. Propiedades de la derivada. Regla de la cadena. 5. Gradiente, derivada direccional, plano tangente. 6. Derivadas segundas, derivación implícita. 7. Clasificación de puntos críticos. 8. Extremos condicionados, múltiples de LaGrange. 9. Curvas, longitud de arco, integrales de trayectoria. 10. Integrales dobles. 11. Integrales sobre regiones elementales. Cambio de orden de integración 12. Teorema de Green. 13. Integrales triples 14. Aplicaciones

La guía consta con mas 700 ejercicios.

EXISTEN UN ERROR EN LA IMPRESIÓN DEL DOCUMENTO DONDE SALE EL SIGNO DE INTERROGACION ? DEBE IR UNA “O”.

1

GUIA DE EJERCICIOS

DERIVADAS E INTEGRALES EN EL ESPACIO “η” INDICE.

TEMA

FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES

DERIVADA

PAG 3 3

DERIVADAS PARCIAL

3

LÍMITES Y CONTINUIDAD

6

DIFERENCIABILIDAD

11

LA REGLA DE LA CADENA

15

DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES

13

PLANOS TANGENTE

17

MAXIMOS Y MINIMOS, METODO DE LAGRANGE

19

INTEGRALES

INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES, COORDENAS POLARES APLICACIONES DE LA INTEGRALES DOBLES, AREA DE UNA SUPERFICIE

INTEGRALES TRIPLES, COORDENAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS INTEGRALES DE LINEAS TEOREMA DE GREEN

22 22 25 29 31 35 37

DERIVADA 2

1.1.- Bosqueje la grafica de f.

FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES b.- HIJ, KL M O16 N J P N K P

a.- HIJ, KL M 6 N J N 2K

c.- HIJ, KL M O16 N 4J P N K P

e.- HIJ, KL M Q RS

T RU T

d.- H IJ, KL M 3 N J P N K P

g.- HIJ, K, VL M 9J P N 4K P N V P ; Y [ \ i.- HIJ, K, VL M Q S

T ]U T ]^ T

;Y Z 0

1

f.- HIJ, K, VL M J P W K P W V P ; Y Z 0

h.- HIJ, K, VL M 4J P N 9K P ; Y [ \

2.2.- Determine el dominio de H y dibuje su grafica en \ P . a.- HIJ, KL M O16 N J P N 4K P

c.- HIJ, KL M OJ P W K P N 16

e.- HIJ, KL M

ISRUL S]U

g.- HIJ, KL M sinR_ IJ W KL

b.- H IJ, KL M OJ P N 4K P W 16

d.- HIJ, KL M

_

O_`RS T RaU T

f.- HIJ, KL M ln IJK N 1L

3.3.- El potencial eléctrico en un punto IJ, K, VL del espacio tridimensional es cIJ, K, VL volts, donde c IJ, K, VL M

8

O16J P W 4K P W V P

Las superficies de nivel de V se llaman superficies equipotenciales. Describa estas superficies para 4,2,1 K P _

DERIVADAS PARCIAL

4.4.- Determine todas las primeras derivadas parciales según sea la cantidad de variables presentes.

a.- HIJ, KL M I4J N K P LT d

c.-H IJ, KL M I3J P W K P LRd e

b.- H IJ, KL M Q S cos IKL d.- H IJ, KL M Q SU

1

A continuación se te presenta superficies de nivel. Una superficie de nivel para una función de tres variables es la grafica del conjunto de puntos en el espacio 3 D cuyas coordenadas satisfacen la ecuación HIJ, K, VL M Y donde k es una constante.

3

e.- HIf, gL M ln If P N g P L

j

f.- H Ih, VL M h sinR_ i k ^

S]U

g.- HIl, m L M 3l n cosI2m L

h.- HIJ, KL M

i.- HIJ, KL M J P cosIKL N 2J tan K

j.- l M Q Ro cosIm W pL ;

e

k.- t M IJ P W K P W V P LRT ;

qu

OU T RS T

l.- t M tanR_ JKVh ;

q^

qr

qo

qu

qj

m.- HIJ, K, VL M Q SU sinhI2VL N Q SU cosh I2VL n.- HIl, m, vL M 4l P sinIm L W 5Q r cosIm L sinIvL N 2cos IvL 5.5.- Verifique en los siguientes ejercicios que se cumple la siguiente condición. wPH wPH M wKwJ wJwK a.- HIJ, KL M 2J P K n N J n K x

b.- H IJ, KL M IJ n W K P Lx

c.- HIJ, KL M 3Q PS cosIKL

d.- H IJ, KL M tanR_ IJKL

e.- HIJ, KL M 2J n N 3J P K W JK P

f.- H IJ, KL M Q

g.- HIJ, KL M sinR_

nU

y z

R

U

W ln iS k

h.- H IJ, KL M 4J sinh K W 3K coshIJ L

ST

i.- HIJ, KL M J cosIKL N KQ S

j.- H IJ, KL M 3J coshIKL N sinR_ Q S

6.6.- Calcule la pendiente de la tangente a la curva de intersección de la superficie dada con el plano especificado y el punto dado. a.- {: 36V M 4J P W 9K P b.- {: 3V M O36 N 9J P N 4K P c.- {: 4V M 5√16 N J P

|: J M 3 |: J M 1 |: K M 3

d.- {: 36J P N 9K P W 2V P W 36 M 0 e.- {: J P W K P W V P M 9

|: J M 1 |: K M 2

|g}: I3,2,2L |g}: I1, N2, |g}: i2,3,

√__ L n

x√n P

k

|g}: I1, √12, N3L |g}: I1,2,2L

4

27.7.-

La ecuación de onda  P

qT u qS T

qTu

M

q€ T

y la ecuación del calor 

qT u qS T

M

qu q€

son dos de las ecuaciones más

importantes en física Ic es una constante). Estas se llaman ecuaciones diferenciales parciales. Muestre que: a.- t M cosIJ) cosIg) K t M Q S cosh (g) satisfacen la ecuación de onda. e

yT

b.- t M Q R€ sin(J) K t M g RT Q R‚ƒ„ satisfacen la ecuación del calor. 8.8.- Determine la derivada parcial pedida. a.- H(J, K) M 4J P N 3JK

b.- H (J, K) M 3JK W 6J N K P HU

HS

c.- H(J, K) M JK P N 5K W 6 HU S]PU

d.- H (J, K) M S T RU

c.- H (J, K) M OJ P W K P HS e.- H (J, K, V) M J P K N 3JK P W 2KV HU

HU

f.- H (J, K, V) M J P W 4K P W 9V P HS

g.- H (J, K, V, l, g) M JKl W KVg W Klg W Vlg Hr

h.- H (l, f, g, t, …, h ) M 3l P fg W fg P … N 2gt… P N g…h W 3th P

H†

9.9.- Determine las derivadas parciales de los siguientes ejercicios. HS ; HU U

3

U

‡. N H (J, K) M ˆ ln(f‰Š(g)) ‹g

Œ. NH (J, K) M ˆ Q Ž(€) ‹g

S

S

10.10.- Determine las derivadas parciales que se le piden. a.- H(J, K) M 2J n K W 5J P K P N 3JK P ;

HSUS

HUSS

b.- H(J, K) M 3J n K P W 5J P K n W 2J ;

HUUS

HUSU

c.- H(J, K, V) M sin(JKV) ;

HU^ HSU

d.- H (t, … ) M ln(}f (t N …)) ;

Huu†

H†u†

11.11.- Verifique que h M J P K W K P V W V P J cumple con

wh wh wh W W M (J W K W V)P wJ wK wV

2

Estas ecuaciones son tema de matemáticas 7 muy importantes. Aprenderá a resolverlas por el método de la Transformada de Fourier o La serie de Fourier. SI otra vez series. 3 Este ejercicio hace referencia al Primer Teorema Fundamental del Calculo, aplíquelo para asi obtener la respuesta que se te pide.

5

12.12.- Demuestre que tIJ, KL satisface la ecuación de LaPlace la cual es: a.- tIJ, KL M lnIJ P W K P L c.- tIJ, KL M tanR_ i k W U S

w Pt w P t W M0 wJ P wK P

b.- t IJ, KL M tanR_ i

PSU

S T RU T

k

d.- t IJ, KL M Q S sinIKL W Q U cosIJ L

S

S T ]U T

13.13.- Sea las siguientes funciones definidas a trozos calcule lo que se pide.

Jn W Kn f‰ IJ, KL ‘ I0,0L’ ‡. NH IJ, KL M J P W K P 0 f‰ IJ, KL M I0,0L J P N JK f‰ IJ, KL ‘ I0,0L’ Œ. N HIJ, KL M  J W K 0 f‰ IJ, KL M I0,0L

2JK f‰ IJ, KL ‘ I0,0L’ P I L . N H J, K M J W K P 0 f‰ IJ, KL M I0,0L

JPKP f‰ IJ, KL ‘ I0,0L’ ‹. NH IJ, KL M J a W K a 0 f‰ IJ, KL M I0,0L

Q. NHIJ, KL M •

J P tanR_ 0

HS I0,0L

HU I0,0L

HS I0, KL f‰ K ‘ 0 HSU I0,0L

K J – K P tanR_ f‰ JK ‘ 0’ J K f‰ JK M 0

HS I0,0L

HUS I0,0L ¿ ”J‰fgQŠ?

HSU I0,0L HUS I0,0L ¿ ”J‰fgQŠ? HSU I0,0L HUS I0,0L ¿ ”J‰fgQŠ?

LÍMITES Y CONTINUIDAD

14.14.- Determine el límite indicado o diga si no existe.

a.- limIS,UL—IRP,_L IJK n N JK W 3K P L c.- limIS,UL—I˜,˜L

™š›S T ]U T œ nS T ]nU T

e.- limIS,UL—I˜,˜L S ‚ RU‚ S T ]U T

b.- limIS,UL—IR_,PL IS]U]_LT SURU d

d.- limIS,UL—I ˜,˜L

žš›S T ]U T œ S T ]U T

f.- limIS,UL—I˜,˜L S T]U T S ‚ RU ‚

6

15.15.- Describa el mayor conjunto S donde sea correcto decir que la función f es continua. a.- HIJ, KL M

c.- HIJ, KL M

b.- H IJ, KL M ln I1 N J P N K P L

S d ]SURx S T ]U T ]_

d.- H IJ, KL M •

S T ]nSU]U T URS T

e.- HIJ, KL M I4 N J P N K P LRT e

16.16.- Sea

IaL

IbL IcL

HIJ, KL M

™šISUL SU

1

f‰ JK ‘ 0’

f‰ JK M 0

J PK J a W KP

Muestre que HIJ, KL — 0 cuando IJ, KL — I0,0L a lo largo de cualquier recta K M ŸJ

Muestre que HIJ, KL — cuando IJ, KL — I0,0L a lo largo de la parábola K M J P _ P

¿Qué conclusión da estos dos resultados?

17.17.- Sea

J P N 4K P J ‘ 2K’ HIJ, KL M  J N 2K ¡IJL J M 2K

Si la función es continua en todo el plano, encuentre una fórmula para gIxL.

18.18.- Cual de las siguientes funciones son continua en I0,0L y cuales son discontinuas. ILeer referencia final de la páginaL4 a.- HIJ, KL M

SU

OS T ]U T

d.- H IJ, KL M JK.

S T RU T S T ]U T

b.- HIJ, KL M

e.- HIJ, KL M

SU

S T ]U T

STUT

S T ]U ‚

c.- HIJ, KL M

f.- HIJ, KL M

¢

Sd

S T ]U T SU T

S T ]U ‚

En ocasiones, es más fácil analizar la continuidad de HIJ, KL pasando a coordenadas polares. Sea J M l cosIpL ; K M l sin IpL las sustituciones correspondientes al cambio polar. Tenga en cuenta que se asume todos los valores entre -1 y 1 en cada vecinda del origen.

4

7

19.19.- Sea

H IJ, KL M JK

JP N KP JP W KP

Si IJ, KL ‘ 0 y HI0,0L M 0. Muestre que HSU I0,0L ‘ HUS I0,0L mediante lo siguientes pasos. IaL

IbL IcL

IdL

Muestre que HS I0, KL M lim£—˜

¤I˜]£,ULR¤I˜,UL £

M NK para todo y.

De manera análoga, muestre que HU IJ, 0L M J para toda x. Muestre que HUS I0,0L M lim£—˜

¤z I˜]£,˜LR¤z I˜,˜L £

M1

De manera análoga, muestre que HSU I0,0L M N1

20.20.- Muestre que la función definida no es continua en I0,0,0L

a.- HIJ, K, VL M S d ]Ud ]^ d ¥‡l‡ IJ, K, VL ‘ I0,0,0L K H I0,0,0L M 0 SU^

b.- HIJ, K, VL M IK W 1L S T ]^ T ¥‡l‡ IJ, K, VL ‘ I0,0,0L K HI0,0,0L M 0 S T R^ T

21.21.- Determine el límite dado aplicando los teoremas de límites.

a.- limIS,UL—IP,nL I3J P W JK N 2K P )

b.- limIS,UL—IR_,aL I5J P N 2JK W K P L

d.- limIS,UL—I˜,_L

e.- limIS,UL—I_,_L

c.- limIS,UL—IP,R_L

nSRPU S]aU

S ‚ RIUR_L‚ S T ]IUR_LT

c.- limIS,UL—IRP,aL K. OJ n W 2K d

‚

‚

ISR_Ld RIUR_Ld T

T

ISR_Ld ]IUR_Ld

22.22.- Establezca el límite determinado una ¦ Z 0 para cualquier § Z 0 tal que se cumpla la definición de límite. a.- limIS,UL—In,PL I3J N 4KL M 1

c.- limIS,UL—IR_,nL I3J N 2K) M N9

b.- limIS,UL—IRP,_L I5J W 4KL M N6

d.- limIS,UL—IP,aL I5J N 3KL M N2

23.23.- Demuestre que el límite a la función dado no existe. lim(S,U)—(˜,˜) H(J, K)

a.- H(J, K) M c.- H(J, K) M

ST

S T ]U T

b.- H (J, K) M

S ‚ ]nS T U T ]PSU d (S T ]U T )T

S T UT

S ‚ ]U ‚

8

24.24.- Demuestre que el límite a la función dada existe. limIS,UL—I˜,˜L HIJ, KL

a.- HIJ, KL M c.- HIJ, KL M

b.- H IJ, KL M S T ]U T

S T U]SU T

S d ]U d

S T ]U T

d.- H IJ, KL M

SU

OS T ]U T

25.25.- Determine si el limite existe o no. STU T

a.- limIS,UL—I˜,˜L S T ]UT c.- limIS,UL—I˜,˜L S T ]U T

S T ]PSU

OS T ]U T

b.- limIS,UL—I˜,˜L S ‚ ]U‚ STU ‚

d.- limIS,UL—I˜,˜L S d ]U d

S T ]U

S TUT

26.26.- Calcule el límite aplicando propiedades. a.- limIS,UL—IP,PL tanR_ S

b.- limIS,UL—I¨š n,¨š PL Q SRU

U

c.- limIS,UL—Ia,PL ©

d.- limIS,UL—IRP,nL ª5J W K P «

_

_

nSRaU

P

27.27.- Determine todos los puntos en los que la función es continua. a.- HIJ, KL M

c.- HIJ, KL M

d.- HIJ, KL M cos R_ IJ W KL

xSU T ]PU

_`RS T RaU T

e.- HIJ, KL M •

PS T U

S ‚ ]U T

g.- HIJ, KL M

b.- HIJ, KL M ln IJK P L

_

SRU

f‰ IJ, KL M I0,0L

0

f‰ IJ, KL ‘ I0,0L’

S d ]U d

•S T ]UT

i.- HIJ, KL M •

0 f‰ IJ, KL M I0,0L

STUT

|S d |]|U d |

f‰ IJ, KL ‘ I0,0L’

0 f‰ IJ, KL M I0,0L

k.- HIJ, KL M sec R_ JK R_ I

m.- HIJ, KL M sin

o.- HIJ, KL M •

f‰ IJ, KL ‘ I0,0L’

JKL

›S T ]U T œ SRU

JNK

f‰ J ‘ K’

f‰ IJ, KL ‘ I0,0L’ f.- H IJ, KL M ¬ST ]U T 0 f‰ IJ, KL M I0,0L S]U

f‰IJ, KL ‘ I0,0L’

SU |S|]|U| ¬

h. HIJ, KL M

j.- H IJ, KL M

0 f‰ IJ, KL M I0,0L

SU

O_`RS T RU T

l.- H IJ, KL M sinR_ IJ W KL W ln IKL

n.- H IJ, KL M •

f‰ J M K

9

™šIS]UL S]U

1

f‰ J W K ‘ 0’

f‰ J W K M 0

28.28.- La función es discontinua en el origen debido a que HI0,0L no existe. Determine si la discontinuidad es removible o esencial. Si la discontinuidad es removible, redefina HI0,0L de modo que esta nueva función sea continua en el punto. a.- HIJ, KL M

d.- H IJ, KL M

b.- H IJ, KL M

S

S T ]U T

e.- H IJ, KL M

PU T RnSU OS T ]U T

c.- H IJ, KL M

S TU T

S T ]U T

S d RaSU T

S dU T

S ® ]U ‚

S T ]U T

29.29.- Use las definiciones y teoremas de límites para probar que limIS,U,^L—I˜,˜,˜L HIJ, K, VL no existe. a.- HIJ, K, VL M S ‚ ]UT ]^ ‚

b.- H IJ, K, VL M S T]U T]^ T

S d ]US T

c.- HIJ, K, VL M

S T ]U T R^ T

d.- H IJ, K, VL M S ® ]U ®]^ ®

S ‚ ]US d ]^ T S T

S T U T^ T

S ‚ ]U ‚ ]^ ‚

30.30.- Utilice las definiciones y los teoremas de límites y continuidad para determinar todos los puntos en los que la función dada es continua. a.- HIJ, K, VL M

S^

OS T ]U T ]^ T R_

c.- HIJ, K, VL M •

nSU^

f‰ IJ, K, VL ‘ I0,0,0L’

S^RU T

f‰ IJ, K, V, L ‘ I0,0,0L’

S T ]U T ]^ T

d.- H IJ, K, VL M •

b.- H IJ, K, VL M ln I36 N 4J P N K P N 9V P )

0 f‰ IJ, K, VL M I0,0,0L

S T ]U T ]^ T

0

f‰ IJ, K, V, L M I0,0,0L

31.31.- Suponga que f y g son funciones de dos variables que satisfacen las condiciones siguientes.

Ia) HIgJ, gKL M g ¯ HIJ, KL; ¡IgJ, gKL M g ¯ ¡IJ, KL para alguna n y para toda t. IbL ¡I1,1L ‘ 0 K ¡I1,0L ‘ 0

IcL ¡I1,1L. HI1,0L ‘ ¡I1,0L. HI1,1L

Demuestre que NO EXISTE.

HIJ, KL IS,UL—I˜,˜L ¡ IJ, KL lim

10

DIFERENCIABILIDAD

32. 32.- Determine el gradiente de la función dada.

b.- H IJ, KL M J P K}fIKL

a.- HIJ, KL M J n K N K n c.- HIJ, KL M sinn J P K

d.- H IJ, K, VL M J P K W K P V W V P J

e.- HIJ, K, VL M JV ln IJ W K W VL1 33. 33.- Determine el vector gradiente de la función dada en el punto indicado p. Luego determine la ecuación del plano tangente en p. a.- HIJ, KL M J P K N JK P

¥ M IN2,3L

b.- H IJ, KL M J n K W 3JK P

¥ M I2, N2L

_

c.- HIJ, KL M cosI°J L sinI°KL W sinI2°KL ¥ M iN1, Pk d.- H IJ, KL M

ST U

¥ M I2, N1L

34. 34.- Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la superficie V M K W J n K en el punto I2,1,9L cuya proyección sobre el plano xy es: a.- Paralela al eje x b.- Paralela al eje y c.- Paralela a la recta J M K 35. 35.- Determine ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la superficie V M J P K n en el punto I3,2,72L cuya proyección sobre el plano xy es: a.- Paralela al eje x b.- Paralela al eje y c.- Paralela a la recta J M NK 36.36.- Calcule la diferencial ‹h a.- h M 4J n N JK P W 3K N 7

b.- h M K tanIJ P L N 2JK

c.- h M J cosIKL N K sinIJL

d.- h M JQ PU W Q RU

e.- h M lnIJ P W K P W V P L

f.- h M

g.- h M J tanR_ IVL N

UT ^

SU^

S]U]^

h.- h M Q U^ N cos IJVL

11

37.37.- Demuestre que f es diferenciable en todos los puntos de su dominio. 5 a.- HIJ, KL M

b.- HIJ, KL M sin i k W cos i k

nSRaU

U

S T ]±U

c.- HIJ, KL M tanR_ IJ W KL W

S

S

d.- H IJ, KL M K lnIJL N

_

SRU

S

U

U

f‰ IJ, KL ‘ I0,0L ’ 38.demuestre que HS I0,0L K HU I0,0L existen y que estas 38.- Sea HIJ, KL M •S T]UT 0 f‰ IJ, KL M I0,0L derivadas parciales no son continuas en I0,0L. nS T U

f‰ IJ, KL ‘ I0,0L’ 39.demuestre que las derivadas parciales con respecto a las 39.- Sea HIJ, KL M •ST]U ‚ 0 f‰ IJ, KL M I0,0L variables evaluadas en I0,0L existen pero f no es diferenciable en I0,0L. SU T

f‰ IJ, K, VL ‘ I0,0,0L’ 40.demuestre que HS I0,0,0L , HU I0,0,0LK H^ I0,0,0L 40.- Sea HIJ, K, VL M •S ‚ ]U ‚]^ ‚ } f‰ IJ, K, VL M I0,0,0L existen y que f no es diferenciable en I0,0,0L SU T ^

41.41.- Aplicando el mismo esquema del ejercicio anterior pero con HIJ, K, VL M

nU^

•S ‚ ]UT ]^ T 0

f‰ IJ, K, VL ‘ I0,0,0L’

f‰ IJ, K, VL M I0,0,0L

42.42.- Demuestre que la función puede ser diferenciable en un punto aunque no se continuamente diferenciable en ese punto.

IaL IbL IcL

IdL

HIJ, KL M 

IJ P W K P L sin ² 0

1

OJ P W K P

³ f‰ IJ, KL ‘ I0,0L’ f‰ IJ, KL M I0,0L

Determine ∆HI0,0L Calcule HS IJ, KL K HU IJ, KL Demuestre que f es diferenciable en I0,0L utilizando la definición de función diferenciable Iestablecida en claseL y el resultado de los apartados anteriores. Demuestre que HS IJ, KL K HU IJ, KL no son continuas en I0,0L.

5

Determine las primeras derivadas parciales con respecto a las variables y si esta resultan ser continua en el dominio entonces la función es diferenciables en sus dominio (teorema)

12

43.43.-Sea

JKV P f‰ IJ, K, VL ‘ I0,0,0L’ HIJ, K, VL M J P W K P W V P 0 f‰ IJ, K, VL M I0,0,0L

Demuestre que f es diferenciable en I0,0,0L.

DERIVADAS DIRECCIONALES Y GRADIENTES

44. 44.- Determine la derivada direccional de f en el punto p en la dirección a. a.- HIJ, KL M K P lnIJL

¥ M I1,4)

‡ M‰Nµ

b.- HIJ, KL M J P N 3JK W 2K P

¥ M IN1,2L

d.- H IJ, K, VL M J P W K P W V P

¥ M I1, N1,2L

‡ M 2‰ N µ

¥ M I1, N1L

c.- HIJ, KL M Q RSU

‡ M N‰ W √3µ ‡ M √2‰ N µ N Y

45. 45.- Determine un vector unitario en la dirección en que f crece mas rápidamente en p. ¿Cuál es la razón de cambio en esta dirección? a.- HIJ, KL M J n N K x

b.- HIJ, KL M Q U sinIJL c.- HIJ, K, VL M J P KV

¥ M I2, N1L

¥Mi

x¶ `

, 0k

¥ M I1, N1,2L

d.- HIJ, K, VL M JQ U^

¥ M I2,0, N4)

46. 46.- ¿En qué dirección u ocurre que HIJ, KL decrece más rápidamente en p? a.- HIJ, KL M 1 N J P N K P

b.- HIJ, KL M sinI3J N K)

¥: IN1,2L

¥: i , k ¶ ¶ ` a

47. 47.- Determine la derivada direccional de HIJ, KL M Q RS cosIKL en i0, n k en la dirección hacia el ¶

origen.

48.48.- Calcule la derivada direccional de la función en la dirección del vector unitario U. 6

a.- HIJ, KL M 3J P W 4K P ;

6

_

_

· M cos in °k ‰ W sin in °k µ

AYUDA: ¸¹ HIJ, K, VL M ·. ºHIJ, K, VL. Donde º es el operador diferencial ºM

13

q

qS

‰W

q

qU

µW

q

q^

Y

b.- HIJ, K, VL M 6J P N 2JK W KV; c.- HIJ, KL M

S T ]U T

a.- HIJ, KL M

S T ]U T

_

;

n

·M ‰N µ n x

· M ‰W µW Y

a

`

»

»

x

49.49.- Calcule el gradiente de la función.

c.- HIJ, K, VL M

P

»

SU

SRU S]^

e.- HIJ, K, VL M Q P^ IsinIJL N cosIKLL

b.- H IJ, KL M Q U tanI2J L

d.- H IJ, K, VL M 3J lnIJ W KL

50.50.- Calcule el valor de la derivada direccional en el punto |˜ para la función en la dirección de U.

a.- HIJ, KL M J P N 2JK P ; · M cosI°L ‰ W sinI°L µ;

|˜ M I1, N2L

_

_

_

b.- HIJ, KL M 3J n K W 4K P N JK; · M cos i °k ‰ W sin i °k µ; a

c.- HIJ, KL M JQ PU ;

_

_

· M P ‰ W P √3µ

n

|˜ M I2,0L _

P

P

d.- H IJ, K, VL M cosIJKL W sinIKVL · M N n ‰ W n µ W n Y; e.- HIJ, K, VL M lnIJ P W K P W V P L ; · M

|˜ M i °, 2k

a

_

√n

f.- H IJ, K, VL M cosI2J L cosI3KL sinhI4VL

‰N

_

√n

·M

µN _

√n

_

√n

‰N

|˜ I2,0, N3L

Y;

_

√n

µW

|˜ I1,3,2L _

√n

Y;

_

|˜ i_P °, 0,0k

51.51.- La densidad en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano xy es ¼IJ, KL kilogramos por metro cuadrado, donde: ¼IJ, KL M

1

OJ P W K P W 3

IaL Calcule la tasa de variación de la densidad en el punto I3,2L en la dirección del vector unitario P

P

cos i °k ‰ W sin i °k µ n

n

IbL Determine la dirección y la intensidad de la máxima tasa de variación de la densidad en I3,2L

14

LA REGLA DE LA CADENA

52. 52.- Determine wh/wg mediante la regla de la cadena. Exprese su respuesta final en términos de t.

a.- h M J P K N K P J ; J M cosIg) K M sin Ig) b.- h M Q S sinIK) W Q U sinIJ) ; J M 3g S

K M 2g

c.- h M ln iUk ;

J M tanIg)

d.- h M sinIJKV P ) ;

J M gn K M gP V M g

K M sec P Ig)

e.- h M JK W KV W JV;

J M gP K M 1 N g P

a.- h M J P N K¾ŠIJ L;

JM€

V M1Ng

53. 53.- Determine wh/wg mediante la regla de la cadena. Exprese su respuesta final en términos de t y s. ¿

b.- h M lnIJ W KL N lnIJ N KL ; c.- h M OJ P W K P W V P ;

d.- h M Q SU]^ ;

K M fPg

J M gQ ¿

J M cosIfgL

J MgWf

K MfNg

K M sinIfgL

54. 54.- Dada la función determine lo pedido. a.- V M J P K, J M 2g W f K M 1 N fg P b.- V M JK W J W K , J M l W f W g

V M f Pg

V M gP ’q^À

;

q€ ¿Á_,€ÁRP

K M lfg

J M ¼ cosIm L sinIvL

c.- h M J P K W V P

K M Q ¿€

q^ ;’ À

q¿ rÁ_,¿ÁR_,€ÁP

qj K M ¼ sinIm L cosIv L ; ’ À

qo ÂÁ_,oÁ¶,ÃÁÄ T

55. 55.- Calcule la derivada parcial indicada en cada caso por medio de dos métodos IaL Utilice la regla de la cadena.

IbL Realice la sustitución correspondiente para J Q K antes de derivar. a.- t M 3J N 4K P ;

b.- t M J P W K P ; c.- c M °J P K ;

J M 5¥Å K M 3¥P N 2Å;

J M cosh(l) cos(g) ;

qu qu

;

qÆ qÇ

K M sinh(l) sin(g) ;

J M cos(V) sin(l) ; K M V P Q € ;

qÈ qÈ

;

q^ qr

15

qu qu qr

;

q€

56. 56.- Obtenga la derivada parcial indicada. qu qu

a.- t M Il P W f P LP W Il P W f P LI3l N 2fL;

;

qr q¿

qu qu

b.- t M IlfLIl P N f P L W IlfLIIl N fLP L W Il P N f P LIl N fLP ; q^

¿

q¿

; q€

qu qu qu

d.- t M ItanR_ IlfgLLIQ R ¨šInɏ]xL L ; r P

;

qu qu

c.- t M sin›I2VQ € LIg P Q R^ Lœ ;

e.- t M i k IlQ ¿ LIlQ R¿ L;

qr

qr

;

q¿

;

q€

qu qu qr

;

q¿

ÊU

57. 57.- Obtenga ÊS mediante la sugerencia dada al final.7 a.- J n W K n M 8JK

b.- 2J n K W 3JK n M 5

c.- J sinIKL W K cosIJL M 1

d.- cosIJ W KL M K sin IJL

58. 58.- Derive implícitamente a z Iz es función de x e yL o utilice la sugerencia al final.8 a.- 3J P W K P W V P N 3JK W 4JV N 15 M 0 b.- V M IJ P W K P Lsin IJVL

c.- K Q SU^ cosI3JVL M 5

d.- VQ U^ W 2JQ S^ N 4Q SU M 3 59. 59.- Sea t M Q U cosIJL

J M 2g; K M g P calcule

qTu q€ T

qTu

60. 60.- Sea t M 9J P W 4K P , J M l cosIm L , K M l sin IθL calcule qr T 61.61.- Si t M H IJ, KL … M ¡IJ, KL, entonces las ecuaciones wt w… wt w… M ; M wJ wK wK wJ

Se denominan ecuaciones de Cauchy – Riemann. Demuestre que estas ecuaciones son satisfecha si 1 t M lnIJ P W K P L 2

7

K … M tanR_ i k J

Si f es una función diferenciable de la variable x tal que y=f(X) y f está definida implícitamente por la ecuación F(x,y)=0, y si F es

diferenciable y ÌU IJ, KL ‘ 0 QŠg}ŠQf 8

K

q^

qS

MN

Íy IS,UL ÍÎ IS,UL

;

q^

qU

MN

ÊU

MN

ÊS Íz IS,UL

Íy IS,UL

Íz IS,UL

ÍÎ IS,UL

16

62. 62.- Un kilomol de un gas real obedece la ecuación de Van der Walts: si P,V y T son respectivamente, las medidas de la presión, volumen y temperatura absoluta, entonces i| W

‡ k Ic N Œ) M \Ð cP

Donde R es la constante universal de los gases y a y b son constantes que depende del gas particular. Si Ñ es el coeficiente de la expasion del volumen y κes el coeficiente de compresibilidad, entonces. ÑM

Demuestre que

1 wc Ó Ô K c wÐ

1 wc ÕMN Ó Ô c w|

wÑ wÕ MN wÐ w|

PLANOS TANGENTE

63. 63.- Determine la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado. a.- 8J P W K P W 8V P M 16; c.- J P W K P N V P M 4; e.- V M JQ RPU ; I1,0,1L

i1,2,

I2,1,1L

√P k P

b.- J P N K P W V P W 1 M 0; d.- V M

ST a

e

W

UT a

;

I1,3, √7L

I2,2,2)

e

f.- V M J T W K T ; (1,4,3)

64. 64.- Determine todos los puntos sobre la superficie V M J P N 2JK N K P N 8J W 4K donde el plano tangente es horizontal. 65. 65.- Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva de intersección de las superficies H(J, K, V) M 9J P W 4K P W 4V P N 41 M 0

Y

¡(J, K, V) M 2J P N K P W 3V P N 10 M 0

En el punto (1,2,2).9 66. 66.- Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva de intersección de las superficies J M V P K K M V n en (1,1,1). 9

Sugerencia: Esta recta es perpendicular a ºH(1,2,2) K º¡(1,2,2)

17

67. 67.- Una abeja sentada en el punto (1,2,1L sobre el elipsoide J P W K P W 2V P M 6. En g M 0 comenzó a

volar a lo largo de la recta normal, a una rapidez de 4 ¿Ö×. ¿Cuando y donde toco el plano 2J W 3K W V M ¤€

49?

68. 68.- Obtenga una ecuación de la recta normal a la superficie en el punto dado. a.- 4J P W K P W 2V P M 26 ; I1, N2,3L

b.- J P W K P N V P M 6; I3, N1,2L

c.- K M Q S cos(V) ;

d.- V M Q nS sin(3KL ;

e

e

e.- V M J T W K T ;

(1, Q, 0)

e

I1,1,2L

e

_

I0, °, 1L `

e

f.- J T W K T W V T M 4 (4,1,1L T

g.- VJ P N JK P N KV P M 18 I0, N2,3L

T

T

h.- J d W K d W V d M 14 ; IN8,27,1L

69. 69.- Si las dos superficies se interceptan en una curva, determine ecuaciones de la recta tangente a la curva de intersección en el punto indicado; si las dos superficies son tangentes en el punto dado, demuéstrelo. a.- J P W K P N V M 8;

J N K P W V P M N2

c.- J M 2 W cos(°KV)

K M 1 W sin(°JV)

b.- J P W K P N 2V W 1 M 0 ;

d.- K M Q S sin(2°VL W 2

JP W KP N VP M 0

(0,1,1L

(3,1,2L

V M K P N lnIJ W 1L N 3

e.- J P N 3JK W K P M V f.- J P W K P W V P M 8

I2, N2,0)

2J P W K P N 3V W 27 M 0

KV M 4

I0,2,1L

(1, N2,11L

(0,2,2L

70. 70.- Utilice el gradiente para obtener una ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto indicado. a.- 9J n N K n M 1

(1,2L

c.- 2J n W 2K n N 9JK M 0 (1,2L

b.- 16J a W K a M 32

I1,2L

d.- J a W 2JK N K n M 4

(2, N2L

71. 71.- Demuestre que las superficies 4J P W K P W 9V P M 108 y JKV M 36 son tangentes en el punto (3,6,2L

72. 72.- Se dice que dos superficies son perpendiculares en un punto de intersección |˜ si los vectores normales a las superficies en |˜ son ortogonales. Demuestre que en el punto (1, N1,2L la superficie J P N 2KV W K n M 4 es perpendicular a cada miembro de la familia de superficies. J P W (4 N 2LK P N V P W 1 M 0

18

MAXIMOS Y MINIMOS, METODO DE LAGRANGE

73. 73.- Determine todos los puntos críticos. Indique si cada uno de estos puntos da un máximo local o un mínimo local o si es un punto silla. (Ver referencia pie de página)10 a.- HIJ, K) M J P W 4K P N 2J W 8K N 1 c.- H(J, K) M JK

e.- HIJ, K) M JK W W P

S

a

b.- HIJ, K) M JK P N 6J P N 3K P d.- H(J, K) M J n W K n N 6JK f.- H (J, K) M Q R›S

U

¶

g.- H(J, K) M cos(J) W cos(K) W cos(J W K) ; 0 Ø J Ø P , 0 Ø K Ø

h.- H (J, K) M J P W ‡P N 2‡J cos(K) ; N° Ø K Ø °

T ]U T RaUœ

¶ P

74. 74.- Encuentre el valor máximo global y el valor mínimo global de f en S e indique donde aparece cada uno. a.- H(J, K) M J P W K P

b.- HIJ, K) M J P N K P W 1

{ M Ù(J, K): 0 Ú J Ú 1; N1 Ú K Ú 1Û { M ÙIJ, K); J P W K P Ú 1Û

c.- HIJ, K) M J P N 6J W K P N 8K W 7

{ M ÙIJ, K): J P W K P Ú 1Û

75. 75.- Encuentre los extremos relativos de la función de f y localice los puntos silla, si los tiene.

a.- H(J, K) M J n W K P N 6J P W K N 1

c.- H(J, K) M K P N J P W 2J N 4K W 3 _

e.- H(J, K) M N S

`a U

W JK

b.- H IJ, K) M 18J P N 32K P N 36J N 128K N 110 d.- H (J, K) M J P N K P W 2J N 4K W 3

f.- H(J, K) M J P N 4JK W K n W 4K

g.- H(J, K) M 4JK P N 2J P K N J

h.- H(J, K) M K a N 4K n W 2J P W 8JK

k.- H(J, K) M Q SU

l.- H (J, K) M J n W K n N 18JK

i.- H(J, K) M J n W K n W 3K P N 3J N 9K W 2

j.- H(J, K) M Q S sin (K)

Teorema; Suponga que H(J, K) tiene segundas derivadas parciales continuas en una vecindad de (J˜ , K˜ ) y que ºH(J˜ , K˜ ) M 0. Sea ¸ M ¸(J˜ , K˜ ) M HSS (J˜ , K˜ )HUU (J˜ , K˜ ) N H P SU (J˜ , K˜ ) Entonces: a.- {‰ ¸ Z 0 K HSS (J˜ , K˜ ) Ø 0, H(J˜ , K˜ ) Qf tŠ …‡¾}l Ÿ‡J‰Ÿ} ¾}‡¾. b.- {‰ ¸ Z 0 K HSS (J˜ , K˜ ) Z 0, H(J˜ , K˜ ) Qf tŠ …‡¾}l Ÿ‰Š‰Ÿ} ¾}‡¾. c.- {‰ ¸ Ø 0, H(J˜ , K˜ ) Š} Qf tŠ …‡¾}l QJglQŸ} ((J˜ , K˜ ) Qf tŠ ¥tŠg} f‰¾¾‡) d.- {‰ ¸ M 0, Q¾ gQ}lQŸ‡ Š} Qf }Š¾tKQŠgQ. 10

19

76. 76.- Obtenga los extremos absolutos de la función cuyo dominio es la región acotado y cerrada R del plano xy. a.- La función 2 W 2J W 6K N J P N K P R es la región triangular cuyos lados son el eje J, el eje K y la recta J W K M 5 b.- H(J, K) M J P N 2JK W 2K; \ es la región acotada por la parábola K M 4 N J P y el eje x.

c.- H(J, K) M K n W J P N 3K R es la región limitada por la circunferencia J P W (K N 1)P M 1.

d.- H (J, K) M sin(J) W sin (K) R es la región acotado por el cuadrado cuyos vértices son (0,0); (°, 0); (0, °); (°, °)

77. 77.- Obtenga tres números positivos cuyo producto sea 24 de manera que su suma sea lo más pequeña posible. 78. 78.- Encuentre el punto del plano 3J W 2K N V M 5 que este mas cerca al punto (1, N2,3L y calcule la distancia mínima.

79. 79.- Obtenga los puntos de la curva de intersección del elipsoide J P W 4K P W 4V P M 4 y el plano J N 4K N V M 0 que estén más cerca del origen y calcule la distancia mínima.

80. 80.- Calcule el volumen del mayor paralelepípedo rectangular que pueda inscribirse en el elipsoide 36J P W 9K P W 4V P M 36 si las aristas deben ser paralelas a los ejes coordenados. 81. 81.- Determine el mínimo de H(J, K) M J P W K P sujeta a la restricción ¡(J, K) M JK N 3 M 0

82. 82.- Determine el máximo de H(J, K) M 4J P N 4JK W K P sujeta a la restricción ¡(J, K) M J P W K P M 1

83. 83.- Determine el mínimo de H(J, K) M J P W 4JK W K P sujeta a la restricción ¡(J, K) M J N K N 6 M 0

84. 84.- Determine el mínimo de H(J, K, V) M J P W K P W V P sujeta a la restricción ¡(J, K, V) M J W 3K N 2V M 12

85. 85.-Determine el máximo de H(J, K, V) M 4J N 2K W 3V sujeta a la restricción ¡(J, K, V) M 2J P W K P N 3V M 0 86. 86.- Determine la mínimo distancia entre el origen y el plano J W 3K N 2V M 4.

87. 87.- Determine la distancia mínima del origen a la recta de intersección de los dos planos JWKWV M8

2J N K W 3V M 28

;

88.88.- Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los puntos críticos de la función sujeta a la restricción. a.- H(J, K) M 4J P W 2K P W 5

\: J P W K P N 4K M 0

20

b.- HIJ, K, VL M J P W K P W V P

\: 3J N 2K W V N 4 M 0

c.- H(J, K, VL M J P W K P W V P

\: K P N J P M 1

89.89.- Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los extremos absolutos de f sujeta a la restricción. También determine los puntos en los que ocurren los extremos. a.- HIJ, KL M J P K

\: J P W 8K P M 24

b.- HIJ, K, VL M JKV

\: J P W 2K P W 4V P M 4

c.- HIJ, K, VL M K n W JV P

\: J P W K P W V P M 1

90.90. Calcule los valores máximos y mínimos absolutos de f en la región indicada. a.- H(J, KL M J P K

\: J P W 8K P Ú 24

b.- HIJ, K, VL M K n W JV P

\: J P W K P W V P Ú 1

91.91. Utilizando LaGrange calcule el valor mínimo absoluto de f si H(J, K, VL M J P W K P W V P con las dos restricciones J W K W 2V M 1 K 3J N 2K W V M N4

21

INTEGRALES INTEGRALES DOBLES E ITERADAS SOBRE RECTANGULOS

1.- Evalué ÜÝ HIJ, KL ‹Þ, donde f es la función dada, y \ M ÙIJ, KL: 1 Ú J Ú 4, 0 Ú K Ú 2Û. N1 a.- HIJ, KL M ß 2 2 I L c.-H J, K M • 3 1 2.- Suponga

2 b.- HIJ, KL M •1 3

1 Ú J Ú 4, 0 Ú K Ú 1’ 1 Ú J Ú 4, 1 Ú K Ú 2

1 Ú J Ú 4, 0 Ú K Ø 1 1 Ú J Ø 3, 1 Ú K Ú 2’ 3 Ú J Ú 4, 1 Ú K Ú 2

\ M ÙIJ, KL: 0 Ú J Ú 2, 0 Ú K Ú 2Û

Suponga, además que

1 Ú J Ø 3, 0 Ú K Ø 1 1 Ú J Ø 3, 1 Ú K Ú 2 ’ 3 Ú J Ú 4, 0 Ú K Ú 2

; \_ M ÙIJ, KL: 0 Ú J Ú 2, 0 Ú K Ú 1Û

\P M ÙIJ, KL: 0 Ú J Ú 2, 1 Ú K Ú 2Û

à H IJ, KL‹Þ M 3 Ý

; à ¡IJ, KL‹Þ M 5 K à ¡(J, KL M 2 Ý

Ýe

Usando estas suposiciones evalué cada una de las siguientes: a.- ÜÝ ›3HIJ, KL N ¡IJ, KLœ‹Þ

b.- ÜÝ ›2HIJ, KL W 5¡(J, KLœ‹Þ

c.- ÜÝ ¡IJ, KL‹Þ

d.- ÜÝ I2¡IJ, KL W 3L‹Þ

T

e

3.- Calcule ÜÝ I6 N KL‹Þ, donde \ M ÙIJ, KL: 0 Ú J Ú 1, 0 Ú K Ú 1Û. 11 4.- Calcule ÜÝ I1 W JL‹Þ, donde \ M ÙIJ, KL: 0 Ú J Ú 2, 0 Ú K Ú 1Û

11

Sugerencia. La integral representa un sólido básico, dibuje y determine su área usando teoría fundamental.

22

5.- Evalué la integral iterada. P

PS

b.- ᘠᘠ‹K‹J

a

U

d.- áR_ á_

U

a

U

a

U

_

_

a.- á_ ᘠJK n ‹K‹J c.- ᘠᘠO9 W K P ‹J‹K U

e.- á_ áUT ©S ‹J‹K

U

_

Öy S

S

‹K‹J

f.- á_ áS T ©S ‹K‹J n

g.- ᘠᘠ|J N K| ‹K‹J ¶

a

S

h.- ᘠᘠJ P Q SU ‹K‹J UT

¶

S

i.- á¶/P ᘠsin I4J N K) ‹K‹J

U

j.- á¶/P ᘠsin i k ‹J‹K S

6.- Calcule el valor de la integral doble dada. a.- ÜÝ sinIJL ‹Þ ;

_

\ Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ‡}g‡‹‡ ¥}l ¾‡f lQg‡f K M 2J; K M P J K J M °

b.- ÜÝ cosIJ W KL ‹Þ; \ Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ‡}g‡‹‡ ¥}l ¾‡f lQg‡f K M J K J M ° K Q¾ QµQ J. c.- ÜÝ J P O9 N K P ‹Þ ; \ Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ‡}g‡‹‡ ¥}l ¾‡ ‰ltŠHQlQŠ‰‡ J P W K P M 9 d.- ÜÝ

UT ST

‹Þ ; \ Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ¾‰Ÿ‰g‡‹‡ ¥}l ¾‡f lQg‡f K M J; K M 2 K ¾‡ ≥QlŒ}¾‡ JK M 1

7.- Utilice integrales dobles para calcular el area de la región limitada por las curvas del plano xy. Dibuje la región. a.- K M J n K K M J P

b.- K P M 4J

K J P M 4K

c.- K M J P N 9 K K M 9 N J P

d.- J P W K P M 16 K K P M 6J

8.- Exprese como una integral iterada la medida del volumen del solido limitado por el elipsoide. J P KP VP W W M1 ‡P ŒP  P 9.- Cambie el orden de integración y realice la integral indicada. a

a

_

_

a.- ᘠá√S sinI°K n L ‹K‹J T

b.- ᘠáU Q S ‹J‹K 10. 10.- Evalué cada una de las integrales iteradas. P

n

a.- ᘠá_ J P K ‹K‹V

a

P

_

b.- áR_ á_ IJ W K P L ‹K‹J

P

c.- áR_ á_ IJ P W K P L ‹J‹K 23

¨š n

d.- á˜

_

¨š P

á˜

_

g.- ᘠá˜

_

Q S]U ‹K‹J

_

_

e.- ᘠᘠJ Q SU ‹K‹J

U ‹J‹K ISU]_LT

_

P

h.- ᘠá˜

U

_]S T

_

f.- ᘠᘠ2J OJ P W K ‹J‹K

‹K‹J

11. 11.- Evalué la integral iterada doble en R.

a.- ÜÝ JK n ‹Þ ; \ M ÙIJ, KL: 0 Ú J Ú 1, N1 Ú K Ú 1Û b.- ÜÝ IJ P W K P L‹Þ ;

\ M ÙIJ, KL : N 1 Ú J Ú 1, 0 Ú K Ú 2Û

c.- ÜÝ JK √1 W J P ‹Þ ; \ M ãIJ, KL: 0 Ú J Ú √3 , 1 Ú K Ú 2ä

12. 12.- Bosqueje el sólido cuyo volumen es la integral iterada dada. a.- ᘠᘠ‹J‹K P _

PS

d.- ᘠᘠI4 N K P L ‹K‹J P

P

b.- ᘠᘠI2 N J N KL‹K‹J _

c.- ᘠᘠIJ P W K P L ‹K‹J

_

P

13. 13.- Muestre que si HIJ, KL M HIJL. âIKL entonces. å

Ê

å

P

Ê

ˆ ˆ H IJ, KL‹J‹K M ˆ ¡IJL ‹J. ˆ âIKL‹K æ



æ



14. 14.- Utilizando la propiedad anterior determine el valor de la integral. 15. 15.- Evalué

ˆ

√¨š P

˜

_

JKQ S ˆ ‹K‹JJ P ˜ 1WK _

_

T

ˆ ˆ JKQ S ˜

˜

T ]U T

‹K‹J

16. 16.- Calcule el volumen del solido encerrado entre la superficie V M cosIJ ) cos IK) y el plano xy, donde – ° Ú J Ú °, N° Ú K Ú ° 17. 17.- Evalué la integral iterada. a.- áRP áR_|J P K n | ‹K‹J P

_

P

_

c.- áRP áR_çJ P è|K n | ‹K‹J

b.- áRP áR_çJ P èK n ‹K‹J P

_

24

18. 18.- Evalué ˆ

√n

˜

_

ˆ

˜

IJ P

8J ‹K‹J W K P W 1)P

INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES NO RECTANGULARES, COORDENAS POLARES

19. 19.- Evalué las integrales que se le presentan continuación. ˜

nS

n

PU

¶/é

á¶/a sec P Im) ‹m‹l

a.- á_ ᘠJ P ‹K‹J d

d.- á_ áRU JQ U ‹J‹K g.- á˜

nr

P

SR_

K ‹K‹J

c.- áRn ᘠIJ P N K n )‹K‹J

x

S

n

f.- ᘂ á√P

b.- á_ ᘠe.- á_ á˜

S T ]U

Ä

‹K‹J T

™š IU)

h.- á˜T á˜

_

Ä

S

√PŽ Io)

Q S cos IK) ‹J‹K

l ‹l‹m

¶/P

™š IoL

i.- á¶/` á˜

20. 20.- Evalué la integral doble dada cambiándola por una integral iterada.

6l cosIm L ‹l‹m

a.- Üê JK‹Þ : { Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ‡}g‡‹‡ ¥}l K M J P K M 1.

b.- Üê IJ W K L‹Þ :

{ Qf ¾‡ lQ¡‰}Š gl‰‡Š¡t¾‡l }Š …Qlg‰Qf (0,0L; I0,4); (1,4)

c.- Üê (J P W 2K)‹Þ : { Qf ¾‡ lQ¡‰}Š QŠglQ K M J P K M √J d.- Üê (J P N JK)‹Þ : { Qf ¾‡ lQ¡‰}Š QŠglQ K M J K M 3J N J P e.- Üê i

P

_]S T

f.- Üê J‹Þ :

k ‹Þ:

{ Qf ¾‡ lQ¡‰}Š gl‰‡Š¡t¾‡l }Š …Qlg‰Qf QŠ (0,0L; I2,2); (0,2)

{ Qf ¾‡ lQ¡‰}Š QŠglQ K M J K M J n . 12

21. 21.- Bosqueje el sólido dado. Luego determine el volumen mediante integración doble.

a.- Tetraedro acotado por los planos de coordenadas y el plano V M 6 N 2J N 3K

b.- Tetraedro acotado por los planos de coordenadas y el plano 3J W 4K W V N 12 M 0

c.- La cuña acotada por los planos de coordenadas y los planos J M 5 y K W 2V N 4 M 0

d.- El sólido en el primer octante acotado por los planos de coordenadas y los planos 2J W K N 4 M 0 y 8J W K N 4V M 0 12

Observar que esta grafica se divide en dos partes.

25

e.- El sólido en el primer octante acotado por la superficie V M 9 N J P N K P y los planos coordenados.

f.- El sólido acotado por el cilindro parabólico J P M 4K y los planos V M 0 5K W 9V N 45 M 0

g.- El sólido en el primer octante acotado por la superficie V M Q SRU , el plano J M K J M 1 K M 0

h.- El sólido en el primer octante acotado por los cilindros circulares J P W V P M 16,

K P W V P M 16 y los planos coordenados.

22. 22.- Cambie el orden de integración de las integrales iteradas.13

a.-

_ S ᘠᘠHIJ, KL ‹K‹J _

S

d.- á_/P áSd H IJ, KL‹K‹J

b.-

P PU ᘠáUT H IJ, K L‹J‹K _

c.-

U

e

_ S‚ ᘠáST HIJ, KL ‹K‹J ˜

OU]_

f.- áR_ áROU]_ HIJ, KL‹J‹K

e.- ᘠáRU HIJ, KL ‹J‹K

23. 23.- Evalué à sin IK n L ‹Þ ê

Donde S es la región acotada por K M √J, K M 2 K J M 0

14

24. 24.- Evalué las integrales iteradas. ¶/P

a.- á˜

¶

Ž IoL P

á˜

l sin ImL ‹l‹m

™š IoL P

c.- ᘠá˜

l ‹l‹m

¶/P

b.- á˜

¶

™š IoL

á˜

_RŽ IoL

d.- ᘠá˜

l ‹l‹m l sin ImL ‹l‹m

25. 25.- Calcule el área de la región dada S calculando Üê l‹l‹m. Primero dibuje la región. a.- { Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ‹QŠgl} ‹Q¾ ‰lt¾} l M 4 cosImL K HtQl‡ ‹Q¾ ‰lt¾} l M 2 b.- { Qf ¾‡ ŸQŠ}l lQ¡‰}Š ‡}g‡‹‡ ¥}l m M

¶ `

K l M 4 sin ImL

13

OJO, no basta con solo invertir los diferenciales de lugar, también debe cambiar el orden de integración, no se deje llevar y tan solo los cambie, debe DIBUJAR la figura para ver como se determina los NUEVOS límites de integración. ALGUNAS VECES ES PREFERIBLE CAMBIAR EL ORDEN DE INTEGRACION PARA QUE LA INTEGRAL SEA MAS SENCILLA DE RESOLVER. 14 Piense detalladamente este ejercicio. Recuerde que si no logra resolver la integral siempre puede invertir el orden de integración para así obtener una integral más sencilla. Deténgase a pensar cual orden es el más apropiado.

26

c.- { Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ‹QŠgl} ‹Q¾ ‡l‹‰}‰‹Q l M 6 N 6sin ImL

d.- { Qf ¾‡ lQ¡‰}Š HtQl‡ ‹Q¾ ‰lt¾} l M 2 K ‹QŠgl} ‹Q ¾‡ ¾QŸŠ‰f‡g‡ l P M 9cos I2mL

26. 26.- Realice el cambio a coordenadas polares y evalué la integral. Bosqueje la región de integración. a.- Üê Q S

T ]U T

‹Þ , {: J P W K P M 4

b.- Üê O4 N J P N K P ‹Þ, { Qf Q¾ fQg}l ‰lt¾‡l ‹Q¾ ¥l‰ŸQl t‡‹l‡ŠgQ ‹Q¾ ‰lt¾‡l J P W K P M 4 QŠglQ K M 0 K K M J

c.- Üê K‹Þ , { Qf Q¾ lQg‡Š¡t¾} ¥}¾‡l ‹Q¾ ¥l‰ŸQl t‡‹l‡ŠgQ ‹QŠgl} ‹Q J P W K P M

4 K HtQl‡ ‹Q J P W K P M 1 _

O_RU T

d.- ᘠá˜

√PSRS T

P

sinIJ P W K P L ‹J‹K

e.- á_ á˜

e

IJ P W K P LRT ‹K‹J

27. 27.- Calcule el volumen del sólido en el primer octante abajo del paraboloide V M J P W K P y dentro del cilindro J P W K P M 9 usando coordenadas.

28. 28.- Use coordenadas polares para calcular el volumen del solido acotado por arriba por 2J P W 2K P W V P M 18, abajo por V M 0 y lateralmente por J P W K P M 4

29. 29.- Cambie a coordenadas rectangulares y luego evalué. a¶ n

ˆ

n¶ a

ˆ

Rxë IoL

˜

l n sinP ImL ‹l‹m

30. 30.- Sean c M à sin iOJ P W K P k ‹Þ ê

K ì M à Àsin iOJ P W K P kÀ ‹Þ ê

Donde S es la región dentro del círculo J P W K P M 4° P

a.- Sin calcular, determine el signo de V b.- Evalué V

c.- Evalué W.

27

Coordenadas polares.

31. 31.- Utilice integrales doble para calcular el área de la región indicada.

a.- La región ubicada dentro del cardiode l M 2(1 W sin(m)) b.- Una hoja de la rosa l M ‡ cos (2m)

c.- La región ubicada dentro de la cardiode l M ‡(1 W cos(m)) y fuera de la circunferencia de l M ‡.

d.-La región ubicada dentro de la circunferencia l M 1 y fuera de la lemniscata l P M cos (2m)

e.- La región ubicada dentro del caracol l M 3 N cos (m) y fuera de la circunferencia l M 5 cos(m )

32. 32.- Obtenga el volumen del sólido.

a.- El sólido limitado por el elipsoide V P W 9l P M 9

b.- El sólido cortado en la esfera V P W l P M 16 por el cilindro l M 4 cos (m)

c.- El sólido sobre el plano polar limitado por el cono V M 2l y el cilindro l M 1 N cos (m) d.- El sólido limitado por el paraboloide V M 4 N l P , el cilindro l M 1 y el plano polar.

33. 33.- Evalué por medio de coordenadas polares la integral à Ý

J

OJ P W K P

‹Þ

Donde R es la región del primer cuadrante limitada por la circunferencia J P W K P M 1 y los ejes coordenados. 34. 34.- Calcule el are de la porción de la superficie de la esfera J P W K P W V P M 4J cortada por un manto del cono K P W V P M J P

35. 35.- Determine el área de la porción de la superficie de la esfera J P W K P W V P M 36 que se encuentra dentro de cilindro J P W K P M 9

36. 36.- Calcule el área de la porción de la superficie de la esfera J P W K P W V P M 4V que se encuentra dentro del paraboloide J P W K P M 3V.

37. 37.- Calcule el área de la superficie cortada en el paraboloide hiperbolico K P N J P M 6V por el cilindro J P W K P M 36. 28

APLICACIONES DE LA INTEGRALES DOBLES, AREA DE UNA SUPERFICIE

38. 38.- Determine la masa Im) y el centro de masa IJí , Kî) de la lamina acotada por las curvas dadas y con la densidad indicada. a.- J M 0, J M 4, K M 0 , K M 3, ¦ (J, K) M K W 1 b.- K M 0, K M O4 N J P ; ¦(J, K ) M K

c.- K M 0, K M sin(J ) , 0 Ú J Ú °; ¦ (J, K) M K

d.- K M

_

S

, K M J , K M 0 , J M 2 , ; ¦ (J, K ) M J

e.- K M Q S , K M 0, J M 0, J M 1 ; ¦ (J, K ) M 2 N J W K f.- l M 1 W cos(m ) ;

¦ (J, K) M l

39. 39.- Determine los momentos de inercia ïS , ïU Q ï^ para la lámina acotada por las curvas dadas y la densidad indicada. a.- K M √J, J M 9 , K M 0; ¦ (J, K) M J W K b.- K M J P , K M 4; ¦ (J, K) M K

c.- El cuadrado con vértices (0,0); (0, ‡ ); (‡, ‡ ); (‡, 0) ; ¦ (J, K) M J W K d.- El triangulo con vértices (0,0); (0, ‡ ); (‡, 0); ¦ (J, K) M J P W K P

40. 40.- Determine el radio de giro de la lámina del problema I39.c) con respecto al eje x. 41. 41.- Recuerde la lamina del problema (39.c) para la que encontramos ïU M Ia) Ib) Ic)

Masa Jí ïð donde L es una recta que pasa por IJí , Kî) paralela al eje y.

xæ T _P

. Calcule

42. 42.- Determine el área de la superficie indicada. En cada caso dibuje la región.

a.- La parte del plano 3J W 4K W 6V M 12 que esta arriba del rectángulo del plano xy con vértices (0,0); (2,0); (2,1); (0,1)

b.- La parte del plano 3J N 2K W 6V M 12 acotada por los planos J M 0, K M 0 K 3J W 2K M 12

c.- La parte de la superficie V M O4 N K P directamente arriba del cuadrado en el plano xy con vértices (1,0); (2,0); (2,1); (1,1) 29

d.- La parte de la superficie V M O4 N K P en el primer octante que está directamente arriba del círculo J P W K P M 9 en el plano JK. e.- La parte de la superficie V M

ST a

W 4 cortada por los planos J M 0, J M 1, K M 0, K M 2

f.- La parte de la esfera J P W K P W V P M ‡ P dentro del cilindro elíptico Œ P J P W ‡ P K P M ‡ P Œ P , ‹}Š‹Q 0 Ø Œ Ú ‡ g.- La parte del cilindro J P W K P M ‡K dentro de la esfera J P W K P W V P M ‡ P , ‡ Z 0. 15

h.- La superficie del solido dado por la intersección de los dos cilindros sólidos J P W V P Ú ‡ P K J P W K P Ú ‡ P 16

43.43.- Una lamina tiene la forma de una región rectangular limitada por las rectas J M 3 y K M 2 y los ejes coordenados. La densidad superficial en cualquier punto es JK P kilogramos por metro cuadrado. 44.44.- Una lamina tiene la forma de la región del primer cuadrante limitada por la parábola K M J P y la recta K M 1 y eje y. La densidad superficial en cualquier punto es (J W K).

45.45.- Una lámina tiene la forma de la región limitada por la curva K M Q S , la recta J M 1 y los ejes coordenados. La densidad superficial varía como la distancia desde el eje x. 46.46.- Una lámina tiene la forma de la región limitada por la curva K M √J y la recta K M J. La densidad superficial varia como la distancia desde el eje y. 47.47.- Calcule el momento de inercia de la lámina homogénea con respecto al eje indicado.

a.- La lamina limitada por 4K M 3J, J M 4 y eje x con respecto a la recta J M 4

b.- Una lámina tiene la forma de la región limitada por la parábola J P M 4 N 4K y el eje x, con respecto al eje x. c.- Una lamina tiene la forma de la región acotada por un triangulo cuyos lados miden ‡ metros, Œ metros y  metros; con respecto al lado que mide ‡ metros.

48.48.- Calcule el área de la superficie del primer octante cortada en el cono J P W K P M V P por el plano J W K M 4 49.49.- Obtenga el área de la porción de superficie del cilindro J P W V P M 4 que esta dentro del cilindro J P W K P M 4. 15 16

Proyecte sobre el plano yz para obtener la región de integración. ¶RPo

áI1 W sinImLLR_ ‹m M N tan i

a

kWñ

30

50.50.- Determine el área de la porción de superficie del cono J P W K P M V P que se encuentra dentro del cilindro J P W K P M 2J.

51.51.- Obtenga el área de la porción del plano J M V que esta entre los planos K M 0 K K M 6 y dentro del hiperboloide 9J P N 4K P W 16V P M 144. INTEGRALES TRIPLES, COORDENAS CARTESIANAS, CILINDRICAS Y ESFERICAS

52. 52.- Evalué las integrales iteradas. »

PS

SR_

a.- áRn ᘠáU

‹V‹K‹J

d.- ᘠáRP á_ 6JK P V n ‹J‹K‹V x

f.-

a

P

Ä T

^ U ᘠᘠᘠsinIJ Ä

h.- á˜T ᏙšIP^L ᘠ˜

sin i k ‹J‹K‹V S

a

nU]S

e.- ᘠá_ á˜

W K W VL ‹J‹K‹V

PU^

P

b.- ᘠáR_ ᘠP

g.-

^

OS/^

‹J‹K‹V

2JKV ‹K‹J‹V Tz

a S]_ © y áRP áSR_ á˜

a

P^

U]P^

c.- á_ á^R_ á˜

‹J‹K‹V

3JKV ‹V‹K‹J

U

53. 53.- Bosqueje el sólido S. Luego escriba una integral iterada para ò H IJ, K, V)‹c ê

a.- { M ó(J, K, V): 0 Ú J Ú 1, 0 Ú K Ú 3, 0 Ú V Ú I12 N 3J N 2KLô _ `

b.- { M ãIJ, K, V): 0 Ú J Ú O4 N K P ; 0 Ú K Ú 2, 0 Ú V Ú 3ä n

c.- { M óIJ, K, V): 0 Ú J Ú OK; 0 Ú K Ú 4, 0 Ú V Ú Jô P d.- { M ãIJ, K, V): 0 Ú J Ú K P ; 0 Ú K Ú √V; 0 Ú V Ú 2ä

e.- S es la región del primer octante acotada por la superficie V M 9 N J P N K P y los planos de coordenadas. f.- S es la menor región acotada por el cilindro J P W K P N 2K M 0 y los planos J N K M 0, V M 0KV M3

31

54. 54.- Use integrales iteradas para determinar las cantidades indicadas.

a.- El volumen del sólido en el primer octante acotado por K M 2J P K K W 4V M 8

b.- El volumen del sólido en el primer octante acotado por el cilindro elíptico K P W 64V P M 4 y el plano K M J c.- El volumen del solido acotado por los cilindros J P M K K V P M K y el plano K M 1

d.- El centro de masa del tetraedro acotado por los planos J W K W V M 1, J M 0, K M 0 K V M 0 si la densidad es proporcional a la suma de las coordenadas del punto.

e.- El centro de masa del solido acotado por el cilindro J P W K P M 9 y los planos V M 0 K V M 4 si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia al origen.

f.- El momento de inercia ïS en torno del eje x del solido acotado por el cilindro K P W V P M 4 y los planos J N K M 0, J M 0 K V M 0 si la densidad ¦ (J, KL M V. 17 55. 55.- Cambie el orden de integración, como se te indica. a.- ᘠᘠ_

O_RU T

b.- ᘠᘠP

aRPU

c.- ᘠᘠP

éRS T

d.- ᘠᘠP

éRST

O_RUT R^ T

á˜

á˜

aRPUR^

á˜

PRS PRS

á˜

HIJ, K, VL ‹J‹V‹K

H IJ, K, VL ‹J‹V‹K ;

H IJ, K, VL ‹V‹K‹J ;

; ‹V‹K‹J

‹V‹K‹J

‹K‹J‹V

HIJ, K, VL ‹V‹K‹J ; ‹V‹J‹K

56. 56.- Una lata de refresco llena, de altura h, esta sobre el plano JK. Perfore un agujero en la base y observe Ví Ila coordenada z del centro de masaL cuando el refresco se derrama. Comenzando en , Ví baja gradualmente a un mínimo luego sube a cuando la lata esta vacía. Muestre que Ví £

£

P

P

es mínimo cuando coincide con la altura de la lata ¿valdría la misma conclusión para una botella de refresco? 57. 57.- Use coordenadas cilíndricas para determinar la cantidad indicada.

a.- El volumen del solido acotado por el paraboloide V M J P W K P y el plano zM4

b.- El volumen del solido acotado por arriba por la esfera J P W K P W V P M 9, abajo por el plano zM0 y lateralmente por el cilindro J P W K P M 4

17

Tendrá que desarrollar su propia formula: rebanar, aproximar, integrar.

32

c.- El volumen del solido bajo la superficie V M JK, por arriba del plano JK y dentro del cilindro J P W K P M 2J

d.- El centro de masa del solido homogéneo acotado por arriba por V M 12 N 2J P N 2K P y abajo por V M J P W K P

e.- El centro de masa del solido homogéneo dentro de J P W K P M 4, fuera de J P W K P M 1 y abajo por V M 12 N J P N K P y arriba V M 0

58. 58.- Determine la masa de un sólido dentro de una esfera de radio 2‡ y fuera de un cilindro circular de radio a cuyo eje es diámetro de la esfera si la densidad es proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la esfera. 18 59. 59.- Utilice coordenadas esféricas pero resolver la integral n

ˆ ˆ

ÎRS T

ˆ

ÎRST R^ T

Rn RÎRST RÎRS T R^ T

n

(J P W K P W V P )P ‹K‹V‹J

60. 60.-Muestre que el jacobiano para el cambio de coordenadas cartesianas a cilíndricas tiene valor l

61. 61.- Muestre que el jacobiano para el cambio de coordenadas cartesianas a esféricas tiene valor ¥P sin (v) ST

UT

^T

62. 62.- Determine el volumen del elipsoide æT W åT W  T Ú 1 haciendo el cambio de variable

J M t‡, K M …Œ, V M h

Determine también el momento de inercia de este solido en torno del eje z, suponiendo que tiene densidad constante k. 63.63.- Evalué la integral iterada o la integral triple. _]UT

_

_]S

áPU

P

UT

¨š (S)

a.- ᘠá˜

c.- á_ áU á˜

P

S

S]SU

P

U

√n^

J ‹V ‹K ‹J

b.- á_ ᘠá_

KQ ^ ‹V‹J‹K

d.- ᘠᘠá˜

e.- õê (J P W V P )‹c

^

S T ]^ T

‹J‹V‹K

f‰ { Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ¾‰Ÿ‰g‡‹‡ ¥}l Q¾ gQgl‡Q‹l} H}lŸ‡‹} ¥}l

12J W 2K W 15V M 60 K ¾}f ¥tŠg}f }}l‹QŠ‡‹}f.

18

JK ‹V‹K‹J

Use coordenadas esféricas para determinar lo que se pide.

33

f.- õê KV‹c f‰ { Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ‡}g‡‹‡ ¥}l Q¾ gQgl‡Q‹l} tK}f …Qlg‰Qf f}Š

I0,0,0); (1,1,0); (1,0,0); (1,0,1L

g.- õê J‹c; f‰ { Qf Q¾ gQgl‡Q‹l} ¾‰Ÿ‰g‡‹} ¥}l ¾}f ¥¾‡Š}f J W 2K W 3V M 6 ; J M 0 ; K M 0 ; V M 0 h.- õê K P ‹c; f‰ { Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ‡}g‡‹‡ ¥}l ¾}f ‰¾‰Š‹l}f J P W K M 1 ; V P W K M 1 K Q¾ ¥¾‡Š} K M 0

i.- õê JKV‹c f‰ { Qf ¾‡ lQ¡‰}Š ‡}g‡‹‡ ¥}l ¾}f ‰¾‰Š‹l}f J P W K P M 4 ; J P W V P M 4

64.64.- Calcule el volumen del solido del primer octante limitado inferiormente por el plano JK, superiormente por el plano V M K y lateralmente por el cilindro K P M J y el plano J M 1

65.65.- Determine el volumen del solido del primer octante acotado por el cilindro J P W V P M 16 y el plano J W K M 2 y los tres planos coordenados. 66.66.- Obtenga el volumen del solido del primer octante limitado por los cilindros J P W K P M 4 y J P W 2V M 4 y los tres planos coordenados.

67.67.- Calcule el volumen del solido acotado poro el cono elíptico 4J P W 9K P N 36V P M 0 y el plano V M 1.

68.68.- Determine el volumen del solido ubicado sobre el paraboloide elíptico 3J P W K P M V y debajo del cilindro J P W V M 4.

69.69. Calcule la masa del solido limitado por la superficie V M JK y los planos J M 1 K M 1 V M 0

La densidad volumétrica en cualquier punto del solido es 3OJ P W K P kilogramos por metro cubico. 70.70. Evalué la integral iterado por coordenas cilíndricas y esféricas. ¶/a

a.- ᘠ¶

æ

rö¿(o)

ᘠá˜

a

lfQ n (m) ‹V‹l‹m

_

c.- ᘠáP ᘠlQ ^ ‹V‹l‹m ¶/a

e.- á˜

PžŽ (o)

á˜

P¶

ᘠ¼P sin (m) ‹v‹¼‹m

¶/a

b.- ᘠP¶

¶

PŽ (o)

r¿÷¯(o) P

áP™š (o) á˜

l cos (m) ‹V‹l‹m

P

d.- ᘠᘠᘠ¥ n sin (v) ‹¥‹v‹m ¶/P

Ã

æ  (o)

f.- á¶/a á¶/a á˜

¼n sinP (m) sin (v) ‹¼‹m‹v

71.71.- Si S es el sólido del primer octante limitado por la esfera J P W K P W V P M 16 y los planos coordenados evalué la integral õê JKV‹c (Utilice los diferentes tipos de coordenadas). 34

72.72.- Determine el volumen del solido limitado por el paraboloide J P W K P W V M 1 y el plano JK.

73.73.- Calcule el volumen del solido limitado por el cilindro J P W K P M 2K el paraboloide J P W K P M 2V y el plano JK.

74.74.- Determine el volumen del solido ubicado dentro de la esfera J P W K P W V P M 4V y que se encuentra arriba del cono J P W K P M V P

75. 75.- Obtenga el volumen del sólido que se encuentra dentro de la esfera J P W K P W V P M 2V y arriba del paraboloide J P W K P M V 76.76.- Evalué la integral iterada empleando coordenadas cilíndricas o coordenadas esféricas. √éRS T

a

n

_

O_RU T

a.- ᘠᘠᘠc.- ᘠá˜

OJ P W K P ‹K‹J‹V

OPRST RU T

áOST ]UT

V P ‹V‹J‹K

77. 77.- Evalué cada integral de línea.

√_RS T

á˜

O_RS T RUT

P

OaRU T

á˜

d.- ᘠá˜

OaRS T RU T

_

‹V‹K‹J

S T ]U T ]^ T

‹V ‹K‹J

INTEGRALES DE LINEAS

_

ù

b.- áø JK ù ‹f;

ñ Qf ¾‡ tl…‡ J M g , K M g T , 0 Ú g Ú 1

c.- áø JQ U ‹f;

ñ Qf Q¾ fQ¡ŸQŠg} ‹Q lQg‡ ‹Q (N1,2)‡ (1,1L

P

d.- áø IJ P W K P W V P L‹f; e.- áø K‹J W J P ‹K ; f.- áø K n ‹J W J n ‹K ; g.- áø K‹J W J‹K ;

^

OS T ]U T

ñ Qf ¾‡ tl…‡ J M 3g, K M g n , 0 Ú g Ú 1

a.- áø (J n W K )‹f; T

_

b.- ᘠá˜

ñ Qf ¾‡ tl…‡ J M 4 cos(g) , K M 4 sin(g) , V M 3g, 0 Ú g Ú 2° ñ Qf ¾‡ tl…‡ QŠ ‡Š¡t¾} lQg‡ ‹Q (0, N1L‡ I4, N1L‡ I4,3)

ñ Qf ¾‡ tl…‡ J M 2g, K M g P N 3, N2 Ú g Ú 1 ñ Qf ¾‡ tl…‡ K M J P , 0 Ú J Ú 1

h.- áø JV‹J W (K W V)‹K W J‹V;

ñ Qf ¾‡ tl…‡ J M Q € , K M Q R€ , V M Q P€ , 0 Ú g Ú 1

35

78. 78.- Resuelva ˆ IJ W K W V)‹J W IJ N 2K W 3VL‹K W I2J W K N VL‹V;

ø

ñ Qf Q¾ fQ¡ŸQŠg} ‹Q lQg‡ ‹Q I0,0,0)‡ (2,3,4)

79. 79.- Sea Ì IJ, KL M IJ P N K n L‰ W JK P µ; ñ Qf ¾‡ tl…‡ J M g P , K M g n . N 1 Ú g Ú 0, calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C.

80.- Sea Ì (J, KL M Q S ‰ N Q RU µ; ñ Qf ¾‡ tl…‡ J M 3 lnIgL , K M lnI2gL , 1 Ú g Ú 5 calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C.

81. 81.- Sea ÌIJ, K, VL M I2J N KL‰ W 2V µ W IK N VLY; ñ Qf Q¾ fQ¡ŸQŠg} ‹Q lQg‡ ‹Q I0,0,0)‡ (1,1,1L

calcule el trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C.

82. 82.- Sea Ì IJ, K, VL M K ‰ W V µ W J Y; ñ Qf ¾‡ tl…‡ J M g, K M g P , V M g n , 0 Ú g Ú 2 calcule el

trabajo realizado por el campo F sobre una particular al moverse en C.

83. 83.- Evalué la integral de línea sobre la curva C.

a.- áø K‹J W J‹K ;

ñ: \ (g) M g‰ W g P µ ; 0 Ú g Ú 1

b.- áø 2JK ‹J N 3J ‹K ;

ñ: \ (g) M 3g P N gµ;

c.- áø 2JK‹J W IJ N 2KL‹K ; d.- áø JK ‹J N K P ‹K ;

}ÚgÚ1

ñ: \(g) M sin(g) ‰ N 2 cos(g) µ; 0 Ú g Ú °

ñ: \(g) M g P ‰ W g n µ, ‹Qf‹Q Q¾ ¥tŠg} I1,1L‡¾ ¥tŠg} I4, N8)

e.- áø IJ N K)‹J W IK W J)‹K ; f.- áø (J N 2KL‹J W JK‹K;

ñ: J P W K P M 4, ¥‡lg‰QŠ‹} ‹Q I2,0)fQŠg‰‹} â}l‡l‰}. _

ñ: \(g) M 3 cos(g) ‰ W 2 sin(g) µ; 0 Ú g Ú ° P

_

g.- áø K sin(J ) ‹J N cos(J)‹K ; ñ: fQ¡QŸQŠg} ‹Q lQg‡ ‹Q i °, 0k ‡ (°, 1L P

h.- áø 9J P K‹J W I5J P N K)‹K;

ñ: K M J n W 1 ‹Qf‹Q I1,2L‡ I3,38)

i.- áø (J P W JK )‹J W (K P N JK )‹K; ñ: K M J ‹Qf‹Q (0,0)‡ (2,2L j.- áø IJ P W JK L‹J W IK P N JK L‹K; ñ: J P M 2K ‹Qf‹Q I0,0)‡ (2,2L

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k.- áø IJK N VL‹J W Q S ‹K W K‹V; ñ: fQ¡ŸQŠg} ‹Q lQg‡ ‹Q (1,0,0)‡ (3,4,8L l.- áø IJK N VL‹J W Q S ‹K W K‹V; ñ: \ (g) M (g W 1)‰ W g P µ W g n Y ; 0 Ú g Ú 2 TEOREMA DE GREEN

84. 84.- Use el Teorema de Green para evaluar la integral de línea dada. Dibuje la región dada. S

a.- úø 2JK‹J W K P ‹K, donde C es la curva cerrada formada por K M y K M √J entre P

(0,0)K (4,2L

b.- úø OK‹J W √J‹K, donde C es la curva cerrada formada por K M 0, J M 2 y K M

ST P

c.- úø I2J W K P L‹J W IJ P W 2KL‹K, donde C es la curva cerrada formada por K M 0, J M

2 K KM

Sd a

d.- úø JK‹J W IJ W KL‹K, donde C es el triangulo con vértices (0,0), (2,0) y (0,1) e.- úø (J P W 4JK)‹J W (2J P W 3K)‹K, donde C es la elipse 9J P W 16K P M 144

f.- úø (Q nS W 2K)‹J W (J P W sin(K))‹K, donde C es el rectángulo con vértices (2,1) (6,1) (6,4) y (2,4) 85. 85.- Determine el área de la región indicada S. Haga un bosquejo.19 a.- S esta acotada por las curvas K M 4J K K M 2J P _

b.- S esta acotada por las curvas K M J n K K M J P P

86. 86.- Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea. a.- úø (J W K)‹J W JK‹K, donde C es la curva cerrada determinada por el eje x, la recta J M 2 y la curva 4K M J n b.- úø K P ‹J W J P ‹K, donde C es la curva cerrada determinada por el eje x la recta J M 1 y la curva K M J P 19

_

Para determinar este tipo de área se aplica el teorema de Green y se obtiene la siguiente igualdad. Þ(f) M úø NK ‹J W J‹K P

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c.- úø INJ P W J L‹K donde C es la curva cerrada determinada por la recta J N 2K M 0 y la parábola J M 2K P

d.- úø IJ P W KL‹J , donde C es la curva cerrada determinada por el eje x y la parábola K M 4 N JP

e.- úø (cos(K ))‹J W cos(J ) ‹K, donde C es el rectángulo cuyos vértices son _

_

_

_

(0,0); i °, 0k ; i °, °k ; i0, °k n

n

a

a

f.- úø Q S]U ‹J W Q S]U ‹K, donde C es la circunferencia J P W K P M 4 g.- úø (sina (J ) W Q PS )‹J W (cosn (K ) N Q U )‹K, donde C es la curva J a W K a M 16 87.87.- Utilizando el teorema de Green determine el área que se le indica.

a.- La región limitada por el cuadrilátero cuyos vértices son I0,0); (4,0); (3,2L; I1,1L b.- La región cuya frontera es la circunferencia J P W K P M ‡ P

c.- La región limitada por las graficas K M J P ; K M √J

d.- La región acotada por la parábola K M 2J P y la recta K M 8J

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PUNTOS FINALES.

1.- Matemáticas 5 corresponde a lo que sería el curso de matemáticas 1,2 pero en esta se estudias funciones de dos o más variables.

2.- En cuanto los limites, le recomiendo ver bien como acotar los límites por definición porque sucede que si son acotado muchos el límite no existe IQ. µ |sin Ip)| Ú 1) como primera aproximación podría acotar la función seno a 1, pero hay casos en que no se puede hacer, preste mucha atención a estos pequeños detalles.

3.- En cuanto a la integración, siempre dibuje las funciones para que tenga una idea de los límites de integración, y si va a utilizar métodos de coordenadas polares o cilíndricas tenga en mente de cambiar los diferenciales mas el jacobiano que aparecen en este tipo de integración. 4.- Para finalizar el teorema de Green le será muy útil para desarrollar ejercicios a futuro Imatemáticas 6) por los momentos debe Ud. Verificar las hipótesis del teorema para luego proceder a aplicar sus resultados. SIRVASE DE AYUDA PARA PRATICAR MATEMATICAS 5. PRIMER PARCIAL Y SEGUNDO PARCIAL. CUALQUIER ERROR TIPOGRAFICO O DE REDACCION FAVOR AVISAR A [email protected] PARA SU CORRECCION, MENCIONE NUMERO DE PAGINA, EJERCICIO QUE DICE Y QUE DEBERIA DECIR. REFERENCIA BIBLIOGRAFICA.

J. Marsden y A. Tromba. Cálculo Vectorial. 4ta edición. Addison-Wesley. T. Apostol. Calculus. Volumen II. 2da edición. Editorial Reverté. Revise:

PARA MAYOR INFORMACION.

Purcell, Varbery, CALCULO Pearson, Prentice Hall, Octava edición, Capítulos 15 y 16. Leithold, El Cálculo, séptima edición capítulos 12 y 13.

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