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• Isa Guevara Escorcia

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Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre 1.

MARCO CONCEPTUAL

1

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre En este paso 07, se deben aplicar el modelo correspondiente si el caso es de Incertidumbre Total o Parcial, o Sin Experimentación o Con Experimentación.

1.1. Introducción. La teoría de decisiones es un conjunto de conceptos que permiten estudiar tipos de decisiones bajo condi ciones de incertidumbre, parcial o total. En este tipo de decisiones la no certeza de los resultados se presenta porque el agente tomador de decisiones debe escoger una alternativa de solución entre varias, y el éxito o fracaso estará determinado por el es tado de la naturaleza, que en todos los caso tiene un comportamiento aleatorio. Para mayor claridad de este concepto, se presentan los siguientes ejemplos de procesos de toma de decisión bajo condiciones incertidumbre: 

 

Una vez se completa este paso, se procede a seleccionar la alternativa de decisión que máxima el objetivo del agente racional tomador de decisiones. Seguidamente, tenemos los pasos 08 y 09 que no dependen del agente tomador de decisiones, sino de la naturaleza. Paso 08: La naturaleza elegirá uno de los estados de la naturaleza posible. Paso 09: Se selecciona el pago relacionado a la intersección de la alternativa. de decisión seleccionada y el estado de la naturaleza seleccionado.

Un fabricante introduce un nuevo producto al mercado. ¿Cuál será la posible reacción de los consumidores? ¿Cuánto debe producir? ¿Necesita realizar pruebas previas en mercados pequeños? Una persona invierte en los mercados bursátiles. ¿Cuál sería el comportamiento de las acciones? ¿En cuál empresa deberá invertir? Una empresa agrícola selecciona los cultivos para un periodo del año. ¿Las condiciones climáticas favorecerán a la empresa?

1.3. Construcción de un árbol de decisión. Es una herramienta de la investigación de operaciones que permite plantear claramente un problema de tal manera que todas sus alternativas de solución sea analizadas de manera conjunta con todas las consecuencias de las posibles decisiones, ya que utiliza un esquema que cuantifica el costo de los resultados y las probabilidades de que los diferentes resultados aparezcan 1 .

1.2. Método para la toma de decisiones Las características de un árbol de decisión son: Paso 01: Seleccionar las alternativas de decisiones del agente racional. Paso 02: Seleccionar los estados de la naturaleza. Paso 03: Construir un árbol de decisiones. Paso 04: Definir la función de pago. Paso 05: Construir la matriz de pago. Paso 06: Encontrar las probabilidades de ocurrencia de los estados de la naturaleza en caso de que sea posible. Paso 07: El agente racional selecciona una de las alternativas de decisiones entre las opciones posibles.

2.



Permite analizar de manera sistémica todas las posibles alternativas de solución con sus respectivas consecuencias.



Provee de un esquema cuantitativo para analizar la ganancia o el costo del resultado y su probabilidad de uso.

Caso de Estudio

Todos los conceptos desarrollados se presentarán a través de la siguiente situación problema: British Petroleum es una empresa inglesa encargada dela explotación de petróleo y gas. Actualmente están en proceso de diseño de una

1 Tomado de “La técnica de Árbol de decisiones” (2011), tomadodehttps://niefcz.wordpress.com/2011/07/25/la-tecnic a-de- arbol-de-d ecisiones/

2

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre herramienta que mejore el proceso de toma decisiones al momento de decidir si explotar un terreno en busca de petróleo, o ceder la explotación a otra empresa francesa. El costo de cesión está avaluado en 90.000 USD y en 100.000 USD el costo de la perforación. Si encuentra petróleo el ingreso neto sería de 800.000 USD. La probabilidad de encontrar petróleo es del 5%.

3.1. Sin experimentación → Incertidumbre total. La toma de decisiones bajo incertidumbre, implica la escogencia de una alternativa, y su éxito o fracaso depende del estado de la naturaleza (aleatorios). En el caso de incertidumbre total no hay información alguna acerca de las probabilidades de ocurrencia de los estados de la naturaleza,por lo que no es posible establecer distribuciones de probabilidad que permitan modelar estadísticamente los estados de la naturaleza.

Adicionalmente, la empresa puede adquirir un estudio previo que puede mejorar el proceso de toma de decisiones por un valor de 10.000 USD, puesto que se tendría una probabilidad más acertada respecto a la presencia o no de petróleo y gas. El estudio previo consta de una herramienta que permite realizar sondeos sísmicos que indica si el terreno es favorable para la presencia de petróleo y gas. De acuerdo a estudios previos, cuando se tiene certeza que en el terreno hay petróleo y gas el estudio ha acertado en un 85% de las veces; por el contrario, cuando se tiene certeza de que en el terreno no hay petróleo y gas el estudio ha acertado en un 90% de las veces. ¿La empresa debe

𝑠1

𝑠2

…

𝑠𝑛

𝑎1

𝑝11 (𝑎1 , 𝑠1 )

𝑝12 (𝑎1 , 𝑠1 )

…

𝑝1𝑛 (𝑎1 , 𝑠1 )

𝑎2

𝑝21 (𝑎2 , 𝑠1 )

𝑝22 (𝑎2 , 𝑠2 )

…

𝑝2𝑛 (𝑎2 , 𝑠𝑚 )

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

𝑎𝑚

𝑝𝑚1 (𝑎𝑚 , 𝑠1 )

𝑝𝑚2 (𝑎𝑚 , 𝑠2 )

…

𝑝𝑚𝑛 (𝑎𝑚 , 𝑠𝑛 )

contratar este estudio adicional? 3.

Supongamos que:

Desarrollo Conceptual.

𝑎𝑖 = Alternativas de decisión del agente racional, para i=1, 2,3,…, m. 𝑠𝑗 = Estados de la naturaleza, para j=1, 2,3,…, n.

Estrategia: Alternativa de solución a un problema determinado. Tomador de Decisiones: Agente racional que selecciona una estrategia entre

𝑝𝑖𝑗 = Pago relacionado a la estrategia i y al estado de la naturaleza j.

una lista de dos o más alternativas de solución.

Entonces, tenemos una matriz de pago de tamaño MxN, que se resuelve con los siguientes criterios de decisi ón:

Estado de la Naturaleza: Diferentes situaciones posibles que dependen de factores aleatorios fuera del control del tomador de decisiones. Con los estados de la naturaleza se puede establecer una función de probabilidad donde la variable aleatoria está conformada por cada una de las posibles situaciones. A continuación se presenta un ejemplo con base en el caso de estudio de la sección 02. 𝑠 𝑓 (𝑥) = { 1 𝑠2

Criterio Optimista (Maximax) → 𝒎𝒂𝒙 𝒊 { 𝒎𝒂𝒙 𝒋 {𝒑𝒊𝒋 }} Este criterio está basado en una actitud optimista, enfocada en obtener el mejor pago posible. Para realizar este criterio se selecciona el mejor pago por

𝑃(𝑠1 ) = 0.05 𝑃(𝑠2 ) = 0.95

fila, y posteriormente se escoge el mejor de los pagos seleccionados. Criterio Pesimista (Maximin-Wald) → 𝒎𝒂𝒙 𝒊 { 𝒎𝒊𝒏𝒋 {𝑷𝒊𝒋 }} .

3

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre Poisson, por una Distribución Normal, entre otras. Teniendo en cuenta la formulación presentada en la sección 3.1, para resolver el problema de Toma de Decisiones con Incertidumbre Parcial se realiza la siguiente formulación matemática:

Este criterio está basado en una actitud pesimista o conservadora, enfocada en obtener el mejor pago de los peores posibles. Para realizar este criterio se selecciona el peor pago por fila, y posteriormente se escoge el mejor de los pagos seleccionados. Criterio Equiprobabilidad (Laplace)

Para cada estrategia se debe calcular el valor esperado de la ganancia o del costo, suponiendo que se conoce la probabilidad de ocurrencia de cada estado de la naturaleza de la siguiente manera:

El criterio de Laplace se basa en que, dado que no se conoce la distribución de probabilidad de los estados de la naturaleza, no hay razón alguna para creer que las probabilidades asociadas sean diferentes. Para realizar este criteriose

𝑃 (𝑠1 ) = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑧𝑎 𝑠1 . 𝑃 (𝑠2 ) = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑧𝑎 𝑠2 . ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑃( 𝑠𝑛 ) = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑧𝑎 𝑠1 .

debe calcular el valor esperado por cada una de las estrategias a i, donde: 1

𝑉𝐸𝑖 = . ∑𝑗 𝑝𝑖𝑗 → 𝑚𝑎𝑥 {𝑉𝐸𝑖 } 𝑛

Criterio de Perdida de oportunidad (Savage) Entonces, el valor esperado para cada estrategia de calcula de la siguiente manera:

El criterio de Savage se basa en minimizar el arrepentimiento de tomar una decisión. Para realizar este criterio se selecciona el mejor pago por columna , seguidamente se resta este valor a cada pago por columna construyendo una

𝑚

𝑉𝐸𝑖 = ∑ 𝑃(𝑠𝑗 ). 𝑝𝑖𝑗 (𝑎𝑖 , 𝑠𝑗 )

matriz de perdidas, y finalmente se le aplica el criterio pesimista.

Posteriormente se selecciona el mejor pago, entre todos los valores de 𝑉𝐸𝑖 . Este resultado se le conoce como GECOR (Ganancia esperada bajo condiciones de riesgo) o CECOR (Costo esperado bajo condiciones de riesgo).

3.2. Sin experimentación → Incertidumbre parcial 3.2.1.

∀𝑖

𝑖

Análisis con variables aleatorias discretas 𝐺𝐸𝐶𝑂𝑅 = max {𝑉𝐸𝑖 } O 𝐶𝐸𝐶𝑂𝑅 = min {𝑉𝐸𝑖 } 𝑖

El análisis con variables aleatorias discretas involucra el estudio de variables que se pueden contar, mas no medir. Por otra parte, l a información parcial para la toma de decisiones, radica en que ahora se tendrá la distribución de probabilidad que describe el comportami ento del estado de la naturaleza. Esta información permite minimizar el impacto de la incertidumbre en la toma de decisiones. Los comportamientos estadísticos pueden estar determinados por una Distribución Empírica, por una Distribución Uniforme, por una Distribuciónde

3.2.2.

𝑖

Valor de la experimentación

Al momento de realizar un experimento para obtener información perfecta respecto a la ocurrencia de los estados de la naturaleza, es necesario conocer cuál sería el valor que se estaría dispuesto a pagar por el.

4

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre 𝑝1 : 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝2 : 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑚𝑎𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑄: 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑜𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑𝑎

Mediante este tipo de experimentos es posible obtener de manera definitiva cual es el verdadero estado de la naturaleza. Para realizar el cálculo de este valor, se debe seguir la siguiente metodología: Paso 01: Elegir la opción con el mejor pago para cada estado de la naturaleza. Paso 02: Calcular el mejor pago ponderado, multiplicando cada pago seleccionado en el paso 01 por su respectiva probabilidad a priori. Este valor se le conoce como GECIP (Ganancia Esperada Bajo Condiciones de Información Perfecta). Paso 03: Calcular la diferencia entre el GECOR o CECOR y el GECIP.

Y por otra parte la variable: 𝑥: 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 (𝐸𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑧𝑎 ) Paso 02: Definir formulación matemática para los Ingresos en función de la cantidad ofertada Q. 𝑄

De manera general se calcula de la siguiente forma:

𝑎

VIP = Pago esperado con información perfecta -pago esperado sin experimentación. 3.2.3.

𝑄

𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 (𝑄) = 𝑝1 ∫ 𝑥𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑝2 ∫ (𝑄 − 𝑥)𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑏

𝑎

+ 𝑝1 ∫ (𝑥 − 𝑄)𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑄

Análisis con variables aleatorias continúas.

𝑐1 : 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑐2 : 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜

El análisis con variables aleatorias continúas involucra el estudio de variables que se pueden medir, mas no contar. La base conceptual para realizar este análisis se encuentra en el estudio del área bajo la curva a través de Integrales definidas. Este análisis parte de la función de densidad de probabilidad de la demanda, que algunos casos son modelados por una distribución de probabilidad, frecuentemente con la Distribución Uniforme. En otros casos es modelado por una función específica.

3.3. Con experimentación → Incertidumbre parcial Para una correcta toma de decisiones con experimentación se debe seguir el siguiente método: Paso 01: Definir estrategias, estados de la naturaleza y opciones de la herramienta. Estrategias de decisión

Para realizar este análisis se debe tener en cuenta la siguiente metodología:

𝑎1 = Explotar el terreno

Paso 01: Definir parámetros para la oferta y los precios de venta, así como la variable aleatoria.

𝑎2 = Ceder el terreno

Sea los siguientes parámetros:

5

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre 𝑃( 𝑇1 ) = 0.85 ∗ 0.05 + 0.10 ∗ 0.95 = 0.1375

Estados de la Naturaleza 𝑠1 = Hay petróleo y gas

𝑃( 𝑇1 ) = 0.1375

𝑠2 = No hay petróleo ni gas La probabilidad de que la herramienta diga que no hay petróleo ni gas en el terreno se puede calcular con el complemento de 𝑃 (𝑇1 ) de la siguiente manera:

Opciones de la Herramienta 𝑇1 = El estudio dice que hay petróleo y gas 𝑇2 = El estudio dice que no hay petróleo ni gas

𝑃( 𝑇2 ) = 1 − 𝑃 ( 𝑇1 ) 𝑃 (𝑇2 ) = 1 − 0.1375 = 0.8625

Es importante tener en cuenta que el número de opciones de la herramienta siempre corresponde al número de estados de la naturaleza, porque lo que se busca con la herramienta es mejorar las probabilidades de ocurrencia de los estados de la naturaleza. Por tanto, siempre las probabilidades a priori y a posteriori serán relaciones entre los estados de la naturaleza y las opciones de la herramienta. Bajo ninguna circunstancia debe involucrar las estrategias

Seguidamente se hace aplica el Teorema de Bayes para realizar los cálculos de las probabilidades a posteriori: 𝑃(𝑠1 /𝑇1 ) =

en el cálculo de estas probabilidades. 𝑃 (𝑠1 /𝑇1 ) =

Paso 02: Establecer probabilidades a priori 𝑃(𝑠1 ) =0.05

𝑃(𝑠2 ) =0.95

𝑃(𝑇1 /𝑠1 ) =0.85

𝑃(𝑇2 /𝑠1 ) =0.15

𝑃(𝑇1 /𝑠2 ) =0.10

𝑃(𝑇2 /𝑠2 ) =0.90

𝑃(𝑇1 /𝑠1 ) ∗ 𝑃(𝑠1 ) 𝑃(𝑇1 )

0.85 ∗ 0.05 0.1375

= 0.3090

Por tanto, por complemento se calcula la probabilidad de: 𝑃( 𝑠2 /𝑇1 ) = 1 − 𝑃 (𝑠1 /𝑇1 ) = 0.6901 Por otra parte, se procede a calcular las dos probabilidades a posteriori faltantes:

Paso 03: Calcular las probabilidades a posteriori Para realizar este cálculo se hace uso del Teorema de Bayes y de la Probabilidad Total.

𝑃(𝑠2 /𝑇2 ) =

𝑃 (𝑠2 /𝑇2 ) =

En primera instancia se calcula la probabilidad que tiene la herramienta de decir que hay petróleo y gas en el terreno.

𝑃(𝑇2 /𝑠2 ) ∗ 𝑃(𝑠2 ) 𝑃(𝑇2 )

0.90 ∗ 0.95 0.8625

= 0.9913

𝑃 (𝑠1 /𝑇2 ) = 1 − 𝑃 (𝑠2 /𝑇2 ) = 0.0086

𝑃 (𝑇1 ) = 𝑃(𝑇1 /𝑠1 )𝑃(𝑠1 ) + 𝑃(𝑇1 /𝑠2 )𝑃(𝑠2 )

6

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre Paso 04: Construir el árbol de toma de decisiones. 700.000 USD

147.290 USD

-100.000 USD

90.000 USD

147.290 USD 90.000 USD

90.000 USD

97.877 USD 700.000 USD

-93.110 USD

-100.000 USD

90.000 USD 90.000 USD 92.126 USD 90.000 USD

90.000 USD 700.000 USD

-60.000 USD

-100.000 USD

90.000 USD

90.000 USD

90.000 USD

7

90.000 USD

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre 2.

1. Siguiendo los criterios optimista, pesimista y Laplace. 2. Si la probabilidad de un incremento moderado de la demanda es del 60%, de un incremento elevado es del 30%, y de un incremento muy elevado es del 10%.

EJERCICIOS.

2.1. Se está planteando construir una nueva sección en su negocio de comida rápida, si bien no sabe si hacer la nueva sección grande o pequeña. Al mismo tiempo se plantea si reúne información sobre las ventas previstas o si por el contrario no hace nada. La información sobre las ventas previstas puede aconsejarle un mercado creciente o un mercado decreciente, siendo de 500 euros el coste de dicha información, y la probabilidad de que la información sea favorable del 60%. Si el mercado es creciente las ganancias previstas son de 9.000 euros si la sección es grande y 3.000 si es pequeña. Si el mercado es decreciente puede perder 10.000 euros si la sección es grande y 5.000 si es pequeña. Si no reúne información adicional, la estimación de probabilidades de que el mercado sea creciente es del 60%, contrariamente un informe favorable incrementaría la probabilidad de un mercado creciente al 80% y un informe desfavorable disminuiría la probabilidad de un mercado creciente al 40%. Indique la decisión que debe tomar.

2.3. Warren Buffy es un inversionista muy rico que ha amasado su fortuna con su legendaria perspicacia y quiere hacer una inversión. La primera opción es una inversión conservadora con buen desempeño si la economía mejora y sólo sufrirá una perdida pequeña si la economía empeora. La segunda es una inversión especulativa que se desempeña muy bien si la economía mejora, pero muy mal si empeora. La tercera es una inversión contracíclica que perdería algún dinero en una economía que mejora, pero se desempeñaría muy bien si empeora. Warren cree que existen tres escenarios posibles en las vidas de estas inversiones potenciales: 1) Economía que mejora, 2) Economía estable y 3) Economía que empeora. Es pesimista sobre el rumbo de la economía y ha asignado probabilidades a priori respectivas de 0.1, 0.5 y 0.4, a estos tres escenarios. También estima que sus ganancias en estos escenarios son la que se presentan en la tabla siguiente

2.2. Una empresa está estudiando la construcción de una nueva fábrica que le permita incrementar su capacidad productiva para hacer frente al incremento de la demanda previsto para los próximos años. Las alternativas de localización de la misma son las ciudades de Sevilla,Soria, Valencia, y Orense. Los beneficios estimados para cada alternativa a lo largo de los próximos años se recogen en la tabla.

Sevilla Soria Valencia Orense

Economía en mejoría

Economía estable

Economía que empeora

Inversión $30 millones $5 millones -$10 millones conservadora Inversión $40 millones $10 millones -$30 millones especulativa Inversión -$10 millones 0 $15 millones contracíclica Probabilidad 0.1 0.5 0.4 a priori ¿Qué inversión debe hacer Warren según los siguientes criterios?

Incremento de la demanda. Moderado Elevado Muy elevado 100.000 400.000 650.000 140.000 350.000 450.000 150.000 570.000 1.000.000 200.000 500.000 950.000

a) Criterio optimista b) Criterio pesimista

Determine la ubicación óptima de la nueva planta:

8

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre c) Criterio Laplace d) Criterio Savage e) Regla de decisión de Bayes

c)

2.4. Dwight Moody es el administrador de un rancho con 1000 hectáreas de tierra cultivable. Para mayor eficiencia, Dwight siempre cosecha un tipo de cultivo a la vez. Ahora debe decidir entre cuatro cultivos para la próxima temporada. En el caso de cada cultivo ha obtenido las siguientes estimaciones sobre la cosecha y los precios por bushel con diferentes condiciones del clima:

Clima Seco Moderado Húmedo Ingreso neto por bushel

2.5. Una empresa está considerando la compra de una nueva máquina. Existe también la posibilidad de reconstruir la existente, o de arreglárselas con ella sin reconstruirla. Las máquinas trabajandeforma diferente con los dos grados en los que puede clasificarse la materia prima. Dado que la máquina nueva y la reconstruida trabajan a mayor velocidad, dañan al producto cuando el grado de los insumos es malo; pero cuando es bueno su velocidad resulta en una ganancia sustancialmente incrementada si la comparamos con la vieja máquina.La tabla de ganancias (anotaciones en $1000) es como sigue:

Utilidad esperada, bushels/acre Cultivo 1 Cultivo 2 Cultivo 3 Cultivo 4 30 25 40 60 50 30 35 60 60 40 35 60 $3.00

$4.50

$3.00

Calidad de Entrada Buena Mala

$1.50

Después de estudiar los registros meteorológicos, estima las siguientes probabilidades a priori sobre el clima durante la temporada: Seco Moderado

0.2 0.5

Húmedo

0.3

Use la regla de decisión de Bayes para realizar un análisis de sensibilidad respecto de las probabilidades a priori de clima moderado y clima húmedo (sin cambiar la probabilidad a priori de clima seco) al resolver de nuevo cuando la probabilidad a priori de clima moderado es 0.2, 0.3, 0.4 y 0.6.

Nueva máquina 50 -20

Máquina reconstruida 18 5

Máquina vieja 10 5

Hay un 70% de probabilidades de obtener buena materia prima. Es posible también hacer una prueba preliminar, con un costo de $600, pero, desgraciadamente, ésta no es infalible. La verdadera calidadpuede sólo ser determinada durante el proceso. En el pasado, las pruebas se han caracterizado por las probabilidades condicionales que semuestran en la tabla siguiente (Prov. condicionales de validez):

a)

Desarrolle una formulación para el análisis de decisiones en este problema mediante la identificación de las acciones, los estados de la naturaleza y la matriz de pagos. b) Utilice la regla de decisión de Bayes para determinar cuál cosecha plantar.

9

Pr (Tj/Si)

Q1 (Buena)

Q2 (Mala)

T1 (Buena)

0.9

0.2

T2 (Mala)

0.1

0.8

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre 2.6. Un empresario adquiere pescado fresco en el mercado central para su posterior venta. Cada caja de pescado la identifica como excelente o no excelente con igual porcentaje. Una caja de pescado excelente contiene un 90% de pescado de alta calidad, mientras que una caja de pescado no excelente contiene solo un 20% de pescado de alta calidad. Una caja de pescado excelente genera un beneficio de 100 euros, mientras que una caja de pescado no excelente causa unas pérdidas de 100 euros por la mala imagen de la empresa que se llevan los clientes. Antes de comprar una caja el empresario puede comprobar la calidad de la misma extrayendo un ejemplar de pescado con el objetivo de verificar si se trata o no de pescado de alta calidad. Establezca la estrategia que debe seguir el empresario, así como el coste de la información.

estancia, su calidad se determina antes de que el producto final salga de la planta. En principio el fabricante puede ya sea inspeccionar cada artículo del lote con costo de 10 dólares por articulo y reemplazar los defectuosos, o bien utilizarlos sin inspección. Si elige esta acción, el costo al tener que volver a hacer el ensamble es de 100 dólares por artículo defectuoso. Como la inspección debe programar inspectores y equipo, la decisión de realizarla o no debe tomarse dos días antes. Sin embargo, se puede tomar un artículo de un lote e inspeccionarlo; su calidad (defectuoso o aceptable) se informa antes de tomar la decisión de inspeccionar o no. El costo de la inspección inicial es de 125 dólares, así como la probabilidad de que esta inspección detecte la p correcta es del 90%. ¿Qué decisión le sugiere a la compañía?

2.7. Una empresa está considerando la posibilidad de contratar un expertoen ingeniería industrial para la planificación de su estrategia deoperaciones. Una adecuada planificación supondría a la empresa unos beneficios de 1.000.000 de euros, mientras que si la planificación no fuera correctamente elaborada, la empresa estima unas pérdidas de 600.000 euros. El director industrial estima que la probabilidad de que el experto realice una adecuada planificación es del 75%. Antes de contratar al experto, la empresa tiene la opción de realizar unas pruebas para determinar la idoneidad del candidato, dichas pruebas tienen una fiabilidad del 80% a la hora de determinar el éxito potencial del candidato en la realización de la planificación de las operaciones de la empresa yuna fiabilidad del 90% a la hora de determinar el fracaso potencial del candidato. Determine la decisión óptima para la empresa, así como el coste que puede asumir la empresa por real izar la prueba de idoneidad.

2.9. Químicos del Atlántico S.A.S está ubicado en Barranquilla, en la Vía 40 con calle 80. Uno de sus insumos principales es el agua del rio Magdalena, el cual de acuerdo a los registros históricos tiene tres niveles de cloruro de sodio: 2.00 g/cm³, 2.16 g/cm³ y 3.00 g/cm³. Estos niveles varían de acuerdo a los niveles de lluvia: elevado, moderado y bajo respectivamente. Cuando hay un nivel de lluvia bajo, el caudal del rio disminuye considerablemente, lo que da paso a un fenómeno conocido como “Cuña Marina”. Este se da cuando el nivel del agua del mar penetra el nivel del agua del rio, generando como consecuencia el aumento de los niveles de cloruro de sodio en el agua dulce. Para la empresa es permitido niveles entre 2.00 g/cm³ y 2.16 g/cm³, y un valor de 3.00 g/cm³ genera grandes pérdidas monetarias, por lo que la empresa diariamente debe decidir si aplica una revisión de niveles de cloruro de sodio o no. La revisión que hace la empresa consiste en tomar una muestra correspondiente al 5% de la producción diaria y aplicarle unas revisiones de sus propiedades químicas, cuyo costo es de $230.000 por cada kg inspeccionado. Si se reali za la revisión y el nivel de cloruro de Sodio es igual a 3.00 g/cm³ se deja de vender el 5% de la producción diaria, en los demás

2.8. Una compañía produce artículos que tienen una probabilidad p de salir defectuosos. Se forman lotes de 150 artículos. La experiencia indica que el valor p es 0.05 o 0.25 y que en 80% de los lotes que se producen p es igual a 0.05. Estos artículos se utilizan después en un ensamble y en última

10

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre caso se vende la totalidad. Si no se realiza la revisión y el nivel de cloruro de Sodio es igual a 3.00 g/cm³ se deja de vender el 40% de la producción

Una distribuidora de Pollos, “La principal de Magangué” le solicita diariamente 2 Ton de Pollo, pero como en el proceso de distribución se presenta la merma, Pollos del Caribe no puede enviar la cantidad exacta, por lo que debe decidir qué cantidad debe enviar diariamente entre 2050 kg, 2100 kg y 2150.

diaria, en los demás caso se vende la totalidad. Por otra parte, se tiene que el volumen diario de producción de químicos es de 1.5 Ton con un costo por cada kg de $260.000 y un precio de venta de $500.000. Finalmente sabe que la probabilidad de que el nivel de lluvia

El costo del kilo de Pollo es de $5000 y se vende a $7500; si la distribuidora recibe más Pollo del solicitado, no compra la cantidad excedente y Pollos del Caribe debe realizar un proceso de devolución donde se incurre en un costo fijo de $200.000. Por otra parte, si a la distribuidora de Pollos llega menos Pollo del demandado, esta solo

sea alto es del 50% y que sea moderado es del 45 %, a) Definir las alternativas de decisión y los estados de la naturaleza. b) Construir la Matriz de Pago. c) ¿Cuál sería la decisión a tomar teniendo en cuenta el caso de incertidumbre total?

factura lo recibido y no se reponen los kilos faltantes. a) Construir la matriz de Pago. b) ¿Cuál es la cantidad optima a enviar diariamente para optimizar las ganancias? c) ¿Cuál es la cantidad optima a enviar diariamente para optimizar las ganancias si se conoce que la merma tiene una probabilidad de 0.5 de ser del 2% y del 0.25 de ser de 5%? d) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por conocer la información perfecta respecto a la ganancia respecto a los estados de la naturaleza? e) La empresa a contrato a una empresa consultora para realizar un estudio respecto al clima en la ciudad de origen del Pollo, en la ruta y en la ciudad de destino. Con este estudio se puede tener un estimado más cercano del % de merma que se puede presentar diariamente.

d) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por la información perfecta? Es posible contratar una plataforma tecnológica que podría entregar información acerca de los niveles de lluvia. Por estudios previos esta empresa le comunica a Químicos del Atlántico S.A.S que tiene una probabilidad del 98% de acertar el nivel de lluvia y la probabilidad restante se divide en iguales proporciones entre los otros dos estados de la naturaleza. e) Construir el árbol de decisiones. f) Realizar el cálculo de las probabilidades de predicción. g) ¿Cuál es la decisión con base en la experimentación? 2.10. La merma de un proceso es la disminución o reducción del volumen o la cantidad de una cosa. En el caso de Poll os del Caribe S.A.S la merma del proceso se debe a que el Pollo congelado por efecto de la variación de temperatura en su cadena de frio sufre un proceso de deshiele (Por ejemplo de la empresa se envían 10 Ton y al cliente le llegan 9.5 Ton). La empresa a través de estudios realizados a estimado que el porcentaje de

Como es una empresa nueva en el mercado y no presenta datos históricos, han decidido realizar una prueba piloto donde detectaron que la probabilidad de detectar la merma del 2% era del 95%, del 5% del 93% y del 7% del 98%. Las probabilidades de falla son iguales para los otros estados de la naturaleza.

merma puede ser de 2%, de 5% o de 7%.

11

Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre f) g)

¿Cuál es la decisión a tomar? ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esta herramienta para usarla en un año (360 días)?

proceso se debe a que el Pollo congelado por efecto de la variación de temperatura en su cadena de frio sufre un proceso de deshiele (Por ejemplo de la empresa se envían 10 Ton y al cliente le llegan 9.5 Ton). La empresa a través de estudios realizados ha estimado que el porcentaje de merma puede ser de 2%, de 5% o de 7%.

2.11. La Fuerza Aérea comprará un nuevo tipo de avi ón y debe determinar el número de motores de repuesto que va a ordenar. Estos motores de repuesto se deben ordenar en lotes de cinco y se puede elegir sólo entre 15, 20 o 25 repuestos. El proveedor de motores tiene dos plantas y la Fuerza Aérea debe tomar sus decisiones antes de saber qué planta usará. Por experiencia, la Fuerza Aérea sabe que dos tercios de los motores de todos tipos se producen en la planta A y sólo un tercio en la planta B. la Fuerza Aérea también sabe que el número de motores de repuesto requeridos cuando se lleva a cabo la producción en la planta A seaproxima a una distribución Poisson con media λ=21, mientras que el número de motores de repuesto que se requiere cuando la producción se lleva a cabo en la planta B se aproxima por una distribución Poisson con media λ=24.El costo de un motor de repuesto comprado ahora es de 400.000 dólares, pero si se compra después será de 900.000 dólares. Los repuestos siempre se surten si se piden y las máquinas que no se usen serán chatarra cuando los aviones caigan en la obsolescencia. Los costos de mantener un inventario y del interés pueden despreciarse. A partir de estos datos se calculó el costo total (pagos negativos) de la siguiente forma:

Alternativa Ordenar 15 Ordenar 20 Ordenar 25

Una distribuidora de Pollos, “La principal de Magangué” le solicita diariamente 2 Ton de Pollo, pero como en el proceso de distribución se presenta la merma, Pollos del Caribe no puede enviar la cantidad exacta, por lo que debe decidir qué cantidad debe enviar diariamente entre 2050 kg, 2100 kg y 2150. El costo del kilo de Pollo es de $5000 y se vende a $7500; si la distribuidora recibe más Pollo del solicitado, no compra la cantidad excedente y Pollos del Caribe debe realizar un proceso de devolución donde se incurre en un costo fijo de $200.000. Por otra parte, si a la distribuidora de Pollos llega menos Pollo del demandado, esta solo factura lo recibido y no se reponen los kilos faltantes. a) Construir la matriz de Pago. b) ¿Cuál es la cantidad optima a enviar diariamente para optimizar las ganancias? c) ¿Cuál es la cantidad optima a enviar diariamente para optimizar las ganancias si se conoce que la merma tiene una probabilidad de 0.5 de ser del 2% y del 0.25 de ser de 5%? d) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por conocer la información perfecta respecto a la ganancia respecto a los estados de la naturaleza? e) La empresa a contrato a una empresa consultora para realizar un estudio respecto al clima en la ciudad de origen del Pollo, en la ruta y en la ciudad de destino. Con este estudio se puede tener un estimado más cercano del % de merma que se puede presentar diariamente.

Estado de la naturaleza λ=21 λ=24 1.155 x 10 7 1.414 x 10 7 1.012 x 10 7 1.207 x 10 7 1.047 x 10 7 1.135 x 10 7

Determine la acción óptima según la regla de decisión de Bayes. 2.12. La merma de un proceso es la disminución o reducción del volumen o la cantidad de una cosa. En el caso de Pollos del Caribe S.A.S la merma del

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Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre Como es una empresa nueva en el mercado y no presenta datos históricos, han decidido realizar una prueba piloto donde detectaron que la probabilidad de detectar la merma del 2% era del 95%, del 5% del 93% y del 7% del 98%. Las probabilidades de falla son iguales para los otros estados de la naturaleza. ¿Cuál es la decisión a tomar? f)

La empresa tiene que decidir cada mañana cuantas botellas nuevas debe comprar antes que arriben a la empresa las botellas usadas que se han recolectado en ese día. El costo de cada botella a precio normal es de $35, y la empresa puede ordenar diariamente: 0, 500 o 1000 unidades. De acuerdo a la anterior información: a) Defina las estrategias y los estados de la naturaleza. b) Construya la matriz de pago. c) Responda: ¿Cuál decisión sugiere usted para cada día?

¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esta herramienta para usarla en un año (360 días)?

2.13. La empresa Embotelladora del Atlántico distribuye bebidas gaseosas enla ciudad de Barranquilla. Su proceso de producción tiene dos insumos principales, el envase y la solución gaseosa, siendo el primero el insumo crítico, puesto que se necesita diariamente recolecta r botellas usadas en las tiendas de la ciudad, y el número de botellas recolectadas es aleatorio. A continuación se presentan los datos históricos del último mes de botellas recolectadas: 10000

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2.14. Pollos del Caribe S.A.S procesa aves y las distribuye en toda la región Caribe. En esta ocasión la empresa está interesada en conocer cuál sería la mejor configuración de la flota de transporte para realizar sus repartos en la zona Norte-Centro Histórico en la ciudad de Barranquilla. La empresa debe decidir una flota con dos camiones o tres camiones. El éxito o el fracaso de la decisión depende de diferentes factores, entre ellos la densidad del flujo vehicular, fallas en los vehículos, accidentes en la vía, entre otras causas, pero la empresa, para efectos de simplificar el estudio de toma de decisiones que desea realizar, ha determinado que los posibles eventos que pueden ocurrir son: No hay contratiempos (No falla ningún vehículo y tampoco hay flujo denso vehicular), falla en uno de los vehículos, falla en los dos vehículos y alto flujo vehicular. Si la empresa decide realizar el reparto con dos camiones, y falla uno de los camiones, el 20% de las entregas llegan retrasadas generando una devolución del 50% de la mercancía que no llega a tiempo. Si por el contrario, fallan dos camiones, el 70% de las entregas llegan retrasadas generando una devolución del 30% de la mercancía que no llega a tiempo. Si hay un flujo vehicular denso, se genera un retraso del 15% de la

La empresa tiene una producción diaria de 13000 gaseosas. Las botellas sobrantes generan un sobre costo de $10 por concepto de almacenamiento, y de $40 por concepto de botellas faltantes, por tanto la empresa debe comprar en algunas ocasiones nuevas botellas para envasar su solución gaseosa. Las botellas sobrantes pueden ser parte de las recolectadas y/o de

mercancía, generando una devolución del 60% de estas. Por otra parte, si la empresa decide realizar el reparto con tres camiones, y falla uno de los camiones, el 10% de las entregas llegan retrasadas generando una devolución del 50% de la mercancía que no llega a tiempo.

las nuevas que se compran.

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Investigación de Operaciones II Teoría de Decisiones Bajo Condiciones de Incertidumbre Si por el contrario, fallan dos camiones, el 40% de las entregas llegan retrasadas generando una devolución del 30% de la mercancía que no llega a tiempo. Si hay un flujo vehicular denso, se genera un retraso del 5% de la mercancía, generando una devolución del 80% de estas. Finalmente, si no ocurre ningún contratiempo todos los productos son entregados a tiempo. Para este último caso no se presentan devoluciones, puesto que estas se presentan cuando un producto llega retrasado, y en ese lapso de retraso la competencia les ha vendido a los cli entes parte de la cantidad demandada de Pollo. La empresa lo ha contratado a usted para tomar la decisión, por lo que esta le entrega la información de los costos, precios de venta y tamaño de lote. El reparto diario es de 2.5 Ton; el costo de usar un cami ón es de $120.000; el costo de un Kg de Pollo es de $5500; el precio de venta del kilo de Pollo es de $7300. El Pollo que se devuelve no se factura, es decir genera costos más no ingresos. De acuerdo a la anterior información: a) Construya la matriz de pago. b) Responda, ¿Qué le recomendaría realizar a la empresa?

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