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Descarga de un condensador Juan Ernesto Palo Tejada 5 de mayo de 2020

1.

Competencia

Al terminar la practica el estudiante debe ser capas de diseñar, analizar y simular circuitos que permitan estudiar la carga y descarga en un condensador utilizando software de simulación de circuitos eléctricos y análisis estadístico de datos

2.

Fundamento teórico.

Los condensadores tienen interés tecnológico por su capacidad para almacenar carga eléctrica. Consta de dos conductores enfrentados y separados por un aislante (dieléctrico). Figura 9.1: Esquema de un condensador de placas paralelas En la figura (1-A) se muestra un condensador de láminas planas paralelas, de sección A, y separación d. Se define la capacidad C de un condensador como el cociente entre la carga almacenada, Q, y la diferencia de potencial V entre las placas: C = Q/V . Su unidad de medida es el faradio (F ). Para un condensador de placas paralelas puede demostrarse que A C =· (1) d donde  es la constante dieléctrica de la lámina aislante. En los condensadores comerciales (figura 1-B) las láminas planas son alargadas y muy delgadas, y se enrollan sobre sí mismas, formando cilindros, para ahorrar espacio.

Figura 1: A) Esquema de un condensador de placas paralelas, B) Condensador electrolítico Características de un condensador comercial: Capacidad nominal, según el fabricante, que suele darse con una tolerancia grande (± 20 %). en la figura 1-A es de 1000 uF Diferencia de potencial máxima que es capaz de soportar sin que se produzca la ruptura del dieléctrico. En la figura 1-B es de 35 V Polaridad (polos positivo y negativo). Los condensadores electrolíticos, en la figura 1-B se indica con - el terminal negativo

1

Circuito de descarga de un condensador La figura (2) muestra el circuito de descarga de un condensador. En t = 0 la fuente esta directamente conectada al condensador por lo que este se carga a la tensión de la fuente V0 , en t = 1 segundo el interruptor S1 se abre y permite que el condensador se descarga a trabes de la resistencia R1 , las leyes de kirchoff en la malla RC nos permiten escribir: ˆ Q 1 t 0 = I(t) · R + I(t)dt (2) = I(t) · R + C C 0 ´ donde utilizamos Q = I(t)dt al derivar la ecuación 2 tenemos 1 dI(t) + I(t) = 0 (3) dt C Tenga en cuenta que en t = 0 la corriente en el circuito sera I(0) = I0 utilizando esta condición e integrando la ecuación 3 R·

ˆ

I

I0

dI 1 =− I RC

ˆ

t

dt

(4)

t RC

(5)

0

ln(I) − ln(I0 ) = − t

(6)

I(t) = I0 e− RC

Para encontrar la caída de tensión en el condensador notemos que la capacidad del condensador se define como C = dQ/dV y como dQ = ∂Q ∂t dt = I(t)dt escribimos ˆ

V

dV = V0

1 C

ˆ

t

I(t)dt = 0

1 C

ˆ

t

t

I0 e− RC dt

(7)

0

En la figura 2 cuando se abre el interruptor S1 el condensador tiene el voltaje de la fuente Vc (0) = V0 = I0 R. Integrado la ecuación 7 obtenemos t

V (t) = V0 · e− RC

(8)

El producto RC tiene dimensiones de tiempo, y se conoce como tiempo característico del proceso de carga. τ = R · C = 100KΩ · 1000µF = 100s

Figura 2 Circuito de descarga del condensador

2

(9)

3.

Material necesario

Para realizar la practica virtual necesitamos de software de simulación de circuitos eléctricos y software de análisis de datos Qucs Qtiplot

4.

Método operativo

La parte experimental de esta practica puede realizarse en laboratorio, lo que implicaría armar el circuito en una tarjeta de prototipos, conectarlo a una fuente, utilizar volatineros, amperimetros y un cronometro para tomara, tabular y graficar los datos. el enfoque en esta practica es utilizar software de simulación lo que nos permite estudiar el comportamiento del circuito sin tener que armarlo.

4.1.

Simulación

Para realizar la parte experimental, utilizamos el software de simulación de circuitos eléctricos Qucs, los enlaces de descarga están disponibles en el aula virtual del curso. ejecutamos el software y en la pantalla de edición de esquemas dibujamos el circuito que se muestra en la 3. el software permite varios tipos de simulación, pero en nuestro caso como queremos investigar la respuesta transitoria del circuito después de cerrar el interruptor S1 debemos seleccionar simulación transitorio.

Figura 3 Software de simulación Qucs Los resultados de la simulación de descarga del condensador que corresponden al circuito mostrado en la figura 2 se muestran en la tabla 1, la primera columna muestra el tiempo en segundos, la segunda columna muestra el voltaje en el condensador, como esperamos al iniciar la simulación el t condensador tiene el voltaje de la fuente 12V. note que si hacemos t = τ = RC en V (t) = V0 · e− RC

3

tenemos que V (τ ) = V0 e−1 = 4,4(V ) y según los datos de la simulación presentados en la tabla 1 esto sucede a los 100 s Tabla 1 :Resultados de la simulación T iempo(s) 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

4.2.

V c(V ) 12 7.35133 4.45869 2.70426 1.64018 0.994792 0.603357 0.365945 0.221952 0.134617 0.0816479

ln(V c/Vo ) 0 -0.4900254005522 -0.9900516488739 -1.490078342384 -1.990100657877 -2.490128258691 -2.990152867428 -3.490178879885 -3.990200786492 -4.990245829219 -4.990245829219

Análisis de datos

Los resultado de la simulación se muestran en las figura 4-A y 4-B, si graficamos el voltaje del condensador en función del tiempo obtenemos la gráfica 4-A que es consistente con la aplicación de las leyes dekirchoff al circuito de la figura 2 como se muestra en la ecuación 8

Figura 4: gráficas de Vc y ln(Vc /V0 )de la tabla 1 . La gráfica en la figura 4-B es una linea recta que podemos escribirla como ln(

V )=B·t+A V0

(10)

Los parámetros B y A son la pendiente e intercepto obtenidos mediante mínimos cuadrados utilizando el software de análisis de datos Qtiplo B = −0,0099 (s−1 )

A = 0,0068

Tomado logaritmos en la ecuación 8 tenemos ln(

V 1 )=− ·t+0 V0 RC

(11)

1 Comparando de la ecuación 10 y 11 tenemos que la pendiente B ≡ − RC lo que mostraría que el modelo teórico se corresponde con los datos experimentales. de los valores nominales de los componentesR = 100 KΩy C = 1000µF obtenemos que la constante de tiempo τ = RC = 100 (s), la constante de tiempo experimental puede estimarse de la pendiente

τo = −B −1 = 0,099−1 = 101,01 (s)

4

(12)

4.3.

Comparación de resultados

Comparamos la constante de tiempo τ obtenida teóricamente con la constante de tiempo τo obtenida experimentalmente τo − τ × 100 % = 1 % τ por lo que el error porcentual cometido es del uno por ciento. δτ =

5.

(13)

Practica

Ponga en practica todo lo aprendido para estudiar la carga de un condensador realizando las siguientes actividades 1. Proponga un circuito que permita la carga de un condensador de 2200µF 2. Plante y resuelva las ecuaciones del circuito propuesto 3. utilice el software de simulación Qucs para comprobar el modelo descrito por las ecuaciones 4. Graficar los resultados teóricos y experimentales del voltaje en función del tiempo en el condensador en una misma gráfica, utilice Qtiplo 5. Dibuje el logaritmo natural de V /V0 en función del tiempo y halle la pendiente e intercepto de la gráfica, utilice Qtiplo 6. Compare la constante de tiempo teorice con la encontrada por medio de la simulación y análisis de datos

6.

Preguntas

1. Los valores nominales de los componentes no tiene error por tratarse de una simulación entonces ¿cual es el significado del resultado mostrado en la sección 5 ? 2. Como explicamos en la sección 1 un condensador es básicamente dos placas paralelas conductoras separadas por un dieléctrico. ¿Pasa corriente a trabes del condensador ? explique 3. Utilizando lo aprendido proponga un método para determinar experimentalmente la capasitancia de un condensador

7.

Bibliografía

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