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• Mauri Iván Portilla

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Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Facultad de Ciencias Instituto de Física Guía de problemas #2: Campo Eléctrico.

y ─4q

L

(01) Considere las siguientes cargas puntuales, ubicadas en los puntos que se indican: ─4q en (─L, L), +2q en (─L, ─L) y ─q en (L, 0),

L

donde L>0. Encuentre el campo eléctrico en el punto en el punto

x

─q

(L, L). +2q

(02) Dado el sistema de cargas, que muestra la figura, determine un

6 μC

2,5 μC

punto distinto al infinito donde el campo eléctrico es nulo.

1m

(03) Considere un número infinito de cargas idénticas (cada una con carga q) colocadas a lo largo del eje x a distancias a, 2a, 3a,… del origen. Encuentre el campo eléctrico en el origen debido a esta distribución. (Nota: Aproveche que 1+

2 1 1π .) + + � � � = 2 2 32 6

(04) La carátula de un reloj tiene cargas puntuales negativas ‒q, ‒2q, ‒3q,..., ‒12q fijas en las posiciones de los números correspondientes. Las manecillas del reloj no perturban el campo. Si el horario apunta en la misma dirección que el campo eléctrico en el centro de la carátula, encuentre qué hora es.

(05) Tres cargas puntuales idénticas, se localizan a lo largo de una

y

q

q

circunferencia de radio R, con ángulos de 30º, 150º y 270º como se muestra en la figura. Encuentre el campo eléctrico resultante

30º

30º

x

en el centro de la circunferencia.

q

(06) Una esfera plástica está cargada con una carga de valor absoluto Q y se cuelga de un hilo aislante de longitud  , en una región donde existe un campo eléctrico uniforme E, tal como lo muestra la

E

g θ

 m

figura. Calcule la masa de la esfera, si permanece en equilibrio en un ángulo θ entre la vertical y el hilo. (07) Una esfera plástica está cargada con una carga de valor absoluto

g

Q y se cuelga de un hilo aislante de longitud , en una región donde existe un campo eléctrico de la forma E = Ax$ + By$ , siendo A y

θ

y

E



B constantes positivas, tal como lo muestra la figura. Si la esfera x

permanece en equilibrio en un ángulo θ entre la vertical y el hilo,

m

encuentre (a) la carga de la esfera y (b) la tensión en la cuerda.

z

q6

q1 q2

(08) Considere un cubo de lado L donde en siete de sus vértices existe

q7 L

una carga puntual. Encuentre el campo eléctrico neto en el origen del sistema de coordenadas. Considere q1 = q4 = q5 = q7 = +q y q2 =

q5

q3 = q6 = ‒q. x

q3

y

q4 y

(09) Considere un sistema formado por cuatro cargas, tal como lo muestra la figura. Si L >> d, muestre que el campo eléctrico en el +q

─q ─q +q

P

‒d

d

L

2

punto P es

E=

6qd $ (x). (Ayuda: use la aproximación 4πε 0L2

1 (1+x) n �1+nx+ n(n - 1)x 2 . ) 2

y

(0, L)

(10) Una sucesión de N+1 cargas alternadas entre positiva y negativa se encuentran en x = 0, d, 2d,…, Nd. Encuentre el campo eléctrico neto en y = L donde L >> Nd.

x

‒q

+q

N+1 cargas.

─q

‒5d/2 ‒3d/2 ‒d/2

0

x d/2

3d/2 5d/2

(11) Considere dos cargas puntuales iguales q, separadas una distancia de 2L y un alambre rectilíneo de longitud L, uniformemente cargado, de manera que ambas cargas queden en equilibrio electrostático. Determine cómo colocar el alambre y qué carga total, que debe tener (incluyendo el signo). Q A

Q

B L

L

(12) Un alambre rectilíneo AB tiene una longitud L y carga Q>0. Colineal a éste, a una distancia L del extremo B, se ubica una carga puntual del mismo valor Q. Encuentre un punto donde el y

campo eléctrico sea nulo. (13) La figura muestra una distribución uniforme de carga en forma de ele, la cual tiene una carga Q > 0. Calcule el módulo y dirección del campo eléctrico en el punto P = (2L, 0).

L P L

L

y

(14) Un alambre de longitud L, que muestra la figura, está cargado con una densidad λ = Ay, donde A es una constante positiva.

λ

Encuentre (a) la carga total del alambre y (b) el módulo y dirección del campo eléctrico en el punto (a, 0).

x

L P x

a

(15) Una varilla delgada de longitud L que se encuentra sobre el eje x entre x = ‒L y x = +L tiene una densidad lineal determinada por l = l 0 x/L, donde λ0 es una constante positiva. Encuentre el campo eléctrico para cualquier punto x > L. B

(16) Tres alambres rectilíneos muy largos y paralelos entre sí, pasan por los vértices de un triángulo equilátero de lado L, perpendicularmente al plano del triángulo. Las densidades de carga de los alambres que pasan por los vértices A y C son, respectivamente, λA y λC. Determine la distancia x a la que debe

λ=¿?

P A

x=¿?

ubicarse una carga puntual q>0 y la densidad lineal del alambre

C

q

que pasa por el vértice B, para que el campo eléctrico sea nulo en

y

el punto P. A

(17) Una carga total Q < 0, se distribuye uniformemente entre cuatro alambres rectilíneos de longitud L, tal como lo muestra la figura.

B

O

C

D

E

x

Se sabe que ODE ^ OBA, BC//DE y AB//CD. Encuentre el módulo y dirección del campo eléctrico en el punto O.

y

λ

(18) Una varilla delgada no conductora, se dobla en la forma de arco circunferencial de radio R y subtiende un ángulo 0 respecto del θo

centro de la circunferencia. Si al densidad lineal de carga, λ, es uniforme, encuentre el campo eléctrico en el centro del arco.

R x

O y

(19) Un anillo de radio R tiene una distribución lineal de carga dado

R

por l = l 0 ( 1+ cos() ) como se muestra la figura, siendo λ0 una

θ

x

constante. Determine el campo eléctrico en el centro del anillo.

y

R

(20) Un anillo de radio R tiene una densidad lineal de carga de la � forma λ = Aθ, donde A es una constante y 0θ� 2π.

Determine

x

θ

el campo eléctrico en el punto (0, 0, L). P

L

z

+λ

─λ

(21) Los dos anillos coaxiales de radio R se cargan uniformemente con densidades +λ y ─λ, respectivamente, tal como lo muestra la figura. Calcule el módulo y dirección del campo eléctrico en los

A R

C

B

R

y

puntos A, B, C y D, sabiendo que AB=BC=CD=R . x

D

(22) El alambre de la figura está formado por una porción semicircular BCD, de radio R, y por dos rectilíneas de longitudes AB=2R y DE=R. Los tramos BC y CD están uniformemente cargados con cargas Q>0 y Q 0. En el plano determinado por ellos se ubica un alambre en forma

R

de arco de circunferencia de centro en O y radio R, con una densidad de carga −λ. Encuentre el módulo y dirección del vector de campo eléctrico que produce esta distribución de carga en el

O R

R

punto P, ubicado a una distancia R de 0, sobre el eje de ella, tal como lo muestra la figura. Considere el sistema cartesiano usual P para las coordenadas. (24) Un alambre está formado por dos segmentos rectilíneos de longitud L, cada uno de los cuales tiene una carga total Q,

L, Q

uniformemente distribuida, y por un cuarto de circunferencia de

C

radio L, como muestra la figura. Encuentre la carga que debe distribuirse, también de forma uniforme, sobre el arco de circunferencia, de manera que el campo eléctrico sea nulo en el centro C.

L L, Q

(25) Considere un alambre formado por dos segmentos rectilíneos, AB y CD,

C

ambos de longitud L, y por dos arcos de −λ

circunferencia con centro en O, tales que OA=OD=L. Si λ > 0 y

λ

D

es una constante, encuentre el valor del ángulo α, tal que el campo eléctrico sea nulo en centro O.

λ

(26) Una carga Q>0 se distribuye uniformemente lo largo de todo el alambre ABC, formado por un segmento rectilíneo AB de

 O

A

−λ C

longitud 2R y un arco de circunferencia BC de radio R, determinado por el ángulo α, tal como lo muestra la figura.

α

Encuentre las componentes del campo eléctrico que produce A esta configuración en el centro O.

O

B

(27) Una carga de Q>0 se reparte uniformemente sobre cada uno de los alambres rectilíneos perpendiculares, de longitud OA=OB=L , que muestra la figura. Encuentre la carga que debe distribuirse, � , tal también uniformemente, sobre el arco de circunferencia BA

C

A

que el campo eléctrico sea nulo en su centro C.

B

L

L

(28) Un alambre uniformemente cargado con una densidad λ>0, está R

formado por los segmentos rectilíneos AB=2R, BC=DA=R y por la

semicircunferencia

� , CD

tales

que

BC // DA

y

D

C

O

R DAB=R ABC=π 2, tal como lo muestra la figura. Encuentre el módulo y dirección del campo eléctrico que produce esa configuración en el punto O, centro de la semicircunferencia.

A

B

(29) Un alambre está formado por dos rectas semiinfinitas y un arco de circunferencia de radio R, subtendido por un ángulo α. Si el alambre está uniformemente cargado con una densidad λ, encuentre el módulo y dirección del campo eléctrico que produce

R

 C

R

B

esa configuración en el punto C, centro del arco de circunferencia.

z

(30) Sobre el alambre rectilíneo AB se distribuye uniformemente una −Q

� de radio R se carga Q > 0, mientras que en el alambre DC reparte, también uniformemente, una carga −Q. El alambre

R

� se rectilíneo AB está sobre el eje x, pero el alambre DC C

encuentra en el plano yz con su centro en el origen. Suponiendo que OA=AB=R , calcule el módulo y dirección del campo eléctrico que esta distribución de carga produce en el centro O. x

+Q

y

D

O A

B z

(31) El alambre que muestra la figura consta de una parte curva correspondiente a un cuarto de circunferencia de radio R y dos partes rectas semiinfinitas, una en el plano yz y otra en el plano

R

xy, paralelas al eje y. Todo el alambre está uniformemente R

cargado con una densidad uniforme λ. Encuentre las componentes cartesianas rectangulares del campo eléctrico que produce en el origen de este sistema de coordenadas.

O

y

x

(32) El conductor que se observa en la figura, formado por dos partes rectilíneas paralelas semiinfinitas y una semicircunferencial. O

R

Encuentre el campo eléctrico que produce esta configuración en

y

el centro O de la semicircunferencia de radio R, si la distribución R2 y

x +σ

en valor absoluto son paralelos son paralelos en el plano xy, tal cualquier punto del eje y.

R1

O

(33) Dos planos infinitos con densidades de carga superficial iguales como lo muestra la figura. Encuentre en el campo eléctrico para

θ

z

y=L x

‒σ

lineal de carga es uniforme.

y = ‒L

(34) Se tiene un trozo de disco, de radio interno R 1 y radio externo R2. Si la densidad de carga superficial () es constante, encuentre en el campo eléctrico en el origen del sistema de coordenadas. Considere el ángulo θ = 60°, siendo el eje de la ordenada la bisectriz de dicho ángulo.

z

(35) Una placa conductora circular, de radio R, tiene una densidad de

P

carga superficial no uniforme σ dada por σ = σ 0 ( r / R ) , en que 2

σ0 es una constante y r es la distancia desde el centro de la placa. Determine el campo eléctrico para cualquier punto del eje z

R

x

positivo.

y

y

(36) El alambre de longitud L que muestra la figura está cargado con una densidad λ=Ay2, donde A es una constante positiva.

λ

Encuentre (a) la carga total del alambre y (b) el módulo y dirección de la fuerza que ejerce sobre una carga puntual q>0,

L

ubicada en el punto (a, 0).

q x

a

(37) La figura muestra dos alambres rectilíneos de longitud L, a una distancia L/2, uniformemente cargados con densidades +λ1 y +λ2. Determine la fuerza entre ellos. +λ1 L

+λ2 L/2

L

y D

(38) El alambre AB tiene una longitud 2L y es perpendicular al alambre CD, de longitud L, como lo muestra la figura. Si cada

C

uno tiene una carga Q distribuida de forma uniforme, encuentre el

L

módulo y dirección de la fuerza que uno de ellos ejerce sobre el otro.

Q

L

Q

A

B L

L

x

λ

(39) Considere un alambre rectilíneo infinito a una distancia R del centro de un alambre semicircunferencial de radio R, como se

R

muestra en la figura. Ambos están uniformemente cargados con la misma densidad de carga λ. Muestre que se repelen con una 2 fuerza de módulo F=λ πε 0.

R

λ

(40) Considere un plano infinito con densidad superficial de carga σ, el cual tiene una perforación circular de radio R. A lo largo del eje

σ R

de la perforación hay una varilla de largo L y densidad lineal λ.

L

Encuentre la fuerza sobre la varilla. d

z

(41) Encuentre la fuerza que ejercen dos anillos coplanares B

concéntricos, de radios R y 2R, uniformemente cargados con densidades λ > 0 y λ < 0, respectivamente, sobre el alambre

A

rectilíneo AB que muestra la figura, el que también se encuentra

2R

+λ

‒λ

uniformemente cargado con una densidad λ > 0. Suponga que OA= AB = R.

z

R

y

x

z

(42) Un disco circular de radio R2, con un agujero concéntrico de radio

M, L, λ

R1 < R2, está uniformemente cargado con una densidad σ. En su

B σ

centro se ubica una carga puntual q, del mismo signo que el disco

g

A

con agujero. Sobre su eje se coloca un alambre de masa M, largo AB = L, a una distancia OA = H. Encuentre la densidad lineal que debe tener el alambre para que permanezca en equilibrio en la posición indicada.

O

y

x q

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Facultad de Ciencias Instituto de Física Guía de problemas #2: Campo Eléctrico. [Respuestas]. (01) E=

{

}

q $ + ( 2 - 8)(y) $ ( 2 - 8)(x) 32πε 0L2

(02) 1,82 m a la izquierda de la carga negativa. πQ $ (- x) 2 24ε 0 a

(03) E = (04) 9:30

(05) El campo eléctrico en O es nulo. QE ctg(θ) g mg mgA (07) (a) q = (b) T = Actg(θ)+B A cos(θ)+Bsen(θ) (06) m=

(08) E=

q � 1 1 1 $ 1 1 1 $ 1 1 1 $� (1 + )(x)+(-1 + )(y)+( + - 1)(z) � 2 � 4πε 0L � 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2

N (10) E = (-)

qNd $ (y) 4πε 0L3

(11) Sobre la simetral de la recta que une las cargas, siendo la carga del alambre igual a - 5q/8. (12) Sobre la misma recta, a una distancia L/3 del punto B. (13) E x =

(1+1 5)Q (1 - 2 5)Q , Ey = 2 16πε 0 L 16πε 0 L2

�L+ L2 +a 2 � A � a A � L � 1+ln � (14) (a) Q=AL /2 (b) E x = � �, E y = � a 4πε 0 � a 2 +L2 � 4πε 0 � L2 +a 2 � � 2

� � � � � � � �

(15) E = (16) x=

�$ λ 0 � �x - L � 2Lx ln � + � �(x) � 4πε 0L � �x+L � (x - L)(x+L) 3qL/4λ C , λ=λ A

( 2 - 4)Q , θ=π/4 32πε 0 L2 λ �θ � $ sen � 0 � ( - y) (18) E= 2πε 0R �2 � (17) E=

(19) E=

λ0 $ (- y) 4ε 0 L

(20) E =

{

}

A 2 $ $ con A = Q 2πR 2 (x)+2π LR(z) 2 2 3/2 4πε 0 (R +L ) 2π 2R

(21) E A =E C =

λ λ 3 � λ $ E = $ E =� $ (x), (x), 1( - x). B D � � 5 5ε0 R 2 2ε 0 R � 5 5 �4 2ε 0 R

(22) Q´=10Q/3 (23) E=

)(

)

λ(3 - 2)Q � � π �$ $ $� 4 - �x+ 3 - 2 2 y+z � � � 8 2πε 0R � � 2�

(

(24) Q´= –πQ/2 (25) α = 2arctg(1/3) (26) E x =

λ �2 λ Q �$ $ ; l= (x), E y = cos() 1 - sen()(y) . � +sen() 1 - sen() � 4πε 0 R �3 4πε 0 R (π - 2 + 2)R �

(27) Q´= –πQ (28) El campo eléctrico en O es nulo. λ (cos(α/2)+sen(α/2)), en la dirección de la bisectriz de α. 2πε 0 R Q $ $ (30) E=πx+2z 2 8πε 0 R λ (31) E x =E y =E z = 2πε 0R (32) E = 0 (29) E=

{

}

$ y > L: E = 0 � (33) y < L: E = ( /ε 0 )(- y), (34) E =

�R � $  ln � 2 � (- y) 4pe0 �R1 �

�$ σ 0 z �R 2 +2z 2 - 2z � (z) 2 � 2ε 0 R � R 2 +z 2 �

(35) E=

(36) (a) Q=AL /3 (b) Fx = 3

�L+ L2 +a 2 qAa � L � +ln � � a 4πε 0 � L2 +a 2 � �

(37) F =

l1l 2 ln (9/5) 4pe0

(38) F =

� 5 - 1 �$ Q2 ln � � 2 �y 4pe0 L � �2( 2 - 1 �

(40) F=

σ0λ 2ε 0

(41) F = (42)

(

)

$ R 2 +(d+L) 2 - R 2 +d 2 (z)

λ2 �1 3 �$ z � ε0 � 2 2 5 � �

� � � qA � 2 2 a2 �, Fy = L +a + - 2a � � � � � 4πε 0 � L2 +a 2 � � �