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• MELENDEZ HERNANDEZ MONICA GUADALUPE

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Gu´ıa de Ondas Mec´anicas Lic. Leoncio Hern´adez Le´on M. en C. Vladimir Santini Barrera M. en C. Zeferino Mart´ınez Elena Ing. Eduardo David L´opez Romero Dr. Damasio Morales Cruz

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1. Se suelta un p´endulo con una longitud de 1 m desde un ´angulo inicial de 15◦ , despu´es de 1000 segundos, su amplitud se ha reducido, a causa del rozamiento hasta 5.50◦ . ¿Cu´al b es el valor de 2m ? 2. Un p´endulo f´ısico con forma de cuerpo plano est´a animado por un M.A.S., con una frecuencia de 0.450 Hz. Si el p´endulo tiene una masa de 2.20 kg y el pivote est´a situado a 0.350 m del centro de la masa, determine el momento de inercial del p´endulo alrededor del punto del pivote. 3. Un hombre tiene la necesidad de conocer la altura de una torre, pero la oscuridad no permite ver con claridad el cielorraso. Sin embargo el hombre sabe que hay un p´endulo largo que cuelga del cielorraso casi hasta el piso y que su periodo es de 12 s. a) ¿Qu´e altura tiene la torre? b) Si se redujese a la mitad, la longitud del p´endulo, ¿cu´al ser´ıa el periodo de vibraci´on? 4. En la Figura 1, se muestra una balanza de torsi´on sencilla. Suponga que se tiene una barra de 0.5 cm de longitud y de masa despreciable que tiene a dos part´ıculas id´enticas de 50 g de masa en sus extremos y que est´a atada del un hilo de la balanza. Si el periodo de la oscilaci´on es de 50 s. ¿Cu´al es la constante de torsi´on de la balanza?

Figura 1: Balanza de torsi´on

5. Un autom´ovil nuevo, va a ser probado en una simulador con imperfecciones controladas (topes), que est´a programado para generar una simulaci´on de topes en forma de funci´on sinusoidal. El veh´ıculo sin pasajeros pesa 1.5 toneladas y tiene una suspensi´on de cuatro resortes iguales, de constante de restituci´on k. Al subirse 5 pasajeros (en promedio 65 kg por persona), de igual peso, cada pasajero, el sistema simulador entra en acci´on. Un ingeniero que est´a atr´as de la ventana de observaci´on del simulador percibe que la llanta delantera del veh´ıculo con pasajeros sube, baja y vuelve a subir, totalmente, en un tiempo de 383.85 × 10−3 s. Suponga que la suspensi´on del veh´ıculo se puede ver como un solo resorte, debido a las caracter´ısticas que tiene el simulador. Diga: 2

a) ¿Cu´al es la constante de restituci´on del sistema de suspensi´on del auto? b) ¿Cu´al es su frecuencia angular del sistema de suspensi´on del auto? c) ¿Cu´al es el peso total de los pasajeros que van en el veh´ıculo y el paso de cada uno de ellos si dos son mujeres? d ) Obtenga la altura que sube el veh´ıculo al salir los pasajeros del mismo. 6. Una part´ıcula de masa m empieza estando en reposo en x = +25 cm y oscila alrededor de la posici´on de equilibrio en x = 0 con un per´ıodo de 1.5 s (ver figura 2). Escribir las ecuaciones para a) la posici´on x en funci´on del tiempo t, b) la velocidad v en funci´on de t, y c) la aceleraci´on en funci´on de t.

Figura 2: Resorte

Figura 3: Circunferencia

7. Una part´ıcula se mueve sobre una circunferencia de radio 40 cm con una velocidad constante de 80 cm s (Figura 3). Hallar a) la frecuencia, y b) el per´ıodo del movimiento. c) Escribir una ecuaci´on para la componente x de la posici´on de la part´ıcula en funci´on de tiempo t, suponiendo que la part´ıcula est´a sobre el eje x en el instante t = 0. 8. Las puntas de un diapas´on rotulado “392 Hz” est´a vibrando con una amplitud de 0.600 mm. a) ¿Qu´e rapidez m´axima tiene una punta?

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b) Si una mosca com´ un (mosca dom´estica), con masa de 0.0270 g est´a sujeta en el extremo de una de las puntas. Al vibrar la punta, ¿qu´e energ´ıa cin´etica m´axima tiene la mosca? Suponga que el efecto de la masa de la mosca sobre la frecuencia de oscilaci´on es despreciable. 9. Un autom´ovil de 2,200 lb que transporta cuatro pasajeros de 180 lb cada pasajero, se desplaza por una accidentada carretera de terracer´ıa. Las asperezas del terreno se hallan a 13 ft de distancia una de otra. Se observa que el autom´ovil rebota con una amplitud m´axima cuando va a una velocidad de 10 mi h . Ahora se detiene y las cuatro personas salen de ´el. ¿Cu´anto se eleva la carrocer´ıa en su suspensi´on con esta reducci´on de peso? 10. Una part´ıcula se mueve sobre una circunferencia de radio 15 cm, dando una revoluci´ on cada 3 s. a) ¿Cu´al es el m´odulo de la velocidad de la part´ıcula? b) ¿Cu´al es su velocidad angular ω? c) Escribir una ecuaci´on para la componente x de la posici´on de la misma en funci´on de t, suponiendo que est´a sobre el eje x positivo en el instante t = 0. 11. Un bloque de 200 g est´a unido a un resorte horizontal y ejecuta movimiento arm´onico simple con un periodo de 0.250 s. Si la energ´ıa total del sistema es 2 J, encuentre: a) La constante de fuerza del resorte, b) la amplitud del movimiento. 12. Un p´endulo f´ısico consta de una barra de un metro pivotada en un peque˜ no orificio taladrado a trav´es de la barra a una distancia x de la marca de 0.5 m. Se observa que el periodo de oscilaciones es de 3.5 s, hallar a) el momento de inercia, b) la distancia x. 13. Una part´ıcula de masa m se desliza sin fricci´on dentro de un taz´on semiesf´erico de radio R. Demuestre que, si inicia desde el reposo con un peque˜ no desplazamiento desde el equilibrio, la part´ıcula se mueve en movimiento arm´onico √ simple con una fracuencia igual a la de un p´endulo simple de longitud R. Esto es ω = Rg . 14. De la energ´ıa mec´anica total (E = 12 mv 2 + 12 kx2 ) y sabiendo que es constante, encontrar la ecuaci´on de movimiento, es decir, la ecuaci´on diferencial. 15. Un carro 500 g conectado a un resorte ligero, para el que la constante de fuerza es 20 N on. m oscila sobre una mesa de aire horizontal sin fricci´ a) Calcule la energ´ıa total del sistema y la velocidad m´axima del carro si la amplitud del movimiento es 3 cm. 4

b) ¿Cu´al es la velocidad del carro cuando la posici´on es 2 cm? 16. Un cuerpo vibra con una frecuencia de 8 Hz y una amplitud de 5 cm, ¿en qu´e instante despu´es de que se le suelta de x = +5 su velocidad ser´a igual a +2.00 m s? 17. Un p´endulo de torsi´on oscila con una frecuencia de 0.55 Hz. ¿Cu´al es el periodo de su vibraci´on? ¿Cu´al es la aceleraci´on angular cuando su desplazamiento angular es de 60◦ ? 18. Se deja caer una bola desde una altura de 4 m que realiza una colisi´on el´astica con el suelo, si se supone que no hay p´erdida de energ´ıa mec´anica debida a resistencia del aire, a) demuestre que el movimiento resultante es peri´odico, y b) determine el periodo del movimiento. c) ¿El movimiento es arm´onico simple? Explique. 19. Un resorte sin masa de 3.6

N cm

de constante de fuerza es cortado en dos mitades.

a) ¿Cu´al es la constante de fuerza de cada mitad? b) Las dos mitades, suspendidas por separado, soportan un bloque de masa M. El sistema vibra con una frecuencia de 2.87 Hz. Halle el valor de la masa M. 20. Un objeto de 0.5 kg, unido a un resorte con constante de rigidez de 8 movimiento arm´onico smple con una amplitud de 10 cm. Calcule

N m,

vibra en

a) el m´aximo valor de su rapidez y aceleraci´on. b) La rapidez y aceleraci´on cuando el objeto est´a a 6 cm de la posici´on de equilibrio, y c) el intervalo de tiempo requerido para que el objeto se mueva de x = 0 a x = 8 cm. 21. Un ingeniero quiere calcular la inercia rotacional de un objeto de forma extra˜ na de 11.3 kg que gira alrededor de un eje transversal de su centro de masa. El objeto sostenido por un alambre en su centro de masa y sobre el eje deseado. El alambre tiene una constante torsional k = 0.513 N endulo oscila 20.0 ciclos durante m . El ingeniero observa que este p´ 48.7 s. ¿Qu´e valor se calcula para la inercia rotacional? 22. Dos resortes unidos entre s´ı se enlazan al bloque de masa m como se muestra en la figura 3. Las superficies carecen de fricci´on. Si los resortes, por separado tienen constantes de fuerza k1 y k2 ; demuestre que la frecuencia de oscilaci´on del bloque es: √ k1 k2 ν1 ν2 1 =√ 2 ν= 2π (k1 + k2 )m ν1 + ν22 donde ν1 y ν2 son las frecuencias a las que oscilar´ıa el bloque si estuviera unido solamente al resorte 1 o al resorte 2. (La analog´ıa el´ectrica de este sistema es una combinaci´on en paralelo de dos capacitores).

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23. Una pelota cuelga de un hilo de 3 m de longitud, se desv´ıa de la vertical un ´angulo de 3◦ ; se suelta y se observan sus oscilaciones. Calcule la velocidad, la aceleraci´on, la energ´ıa cin´etica y la energ´ıa potencial de la pelota cuando pasa por la posici´on de equilibrio suponiendo que sus oscilaciones son arm´onicas no amortiguadas y que la masa de la pelota es de 50 g. 24. Si una fem alterna E = E0 sen(ωt) es aplicada a un circuito en serie RLC, la corriente alterna resultante en el circuito es dado por i = I sen(ωt − ϕ) a) Determine la amplitud de corriente I y la constante de fase ϕ. b) Muestre que la amplitud de corriente I tiene un valor m´aximo (resonancia) cuando 1 ω = ω0 , donde ω0 = √LC es la frecuencia natural. c) Muestre que el valor de I y el ´angulo de fase ϕ en resonancia son respectivamente.

E0 R

y cero

25. Una part´ıcula oscila arm´onicamente sobre el eje X junto a la posici´on de equilibrio x = 0. La frecuencia de las oscilaciones ω0 = 4.00 rad on s . En cierto momento la posici´ cm es de 25 cm y su velocidad 100 s . Halle la posici´on de la part´ıcula y su velocidad 2.40 s m´as tarde si a) no existe rozamiento, b) el rozamiento es tal que el amortiguamiento es cr´ıtico. 26. Un objeto de 50 g se mueve en el extremo de un resorte con k = 25 N m , su desplazamiento inicial es de 0.300 m, una fuerza amortiguadora act´ ua sobre el objeto y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5 s. Calcule la constante de amortiguaci´on. 27. Para un oscilador arm´onico de 100 gramos de masa, con una constante de 30 coeficiente de amortiguamiento b = 0.02 kg s , calcula

N m

y un

a) la frecuencia de oscilaci´on y la frecuencia natural, b) el per´ıodo y el n´ umero de oscilaciones requeridas para reducir la amplitud a la mitad de su valor original. 28. Un objeto de 10.6 kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2.05 × 104 N m . el efecto de la resistencia del aire se representa mediante el coeficiente de amortiguamiento b = 3 Nms . a) Calcule la frecuencia de oscilaci´on amortiguada. b) ¿En qu´e porcentaje disminuye la amplitud de la oscilaci´on en cada ciclo? c) Encuentre el intervalo de tiempo que transcurre mientras la energ´ıa del sistema cae a 5 % de su valor inicial.

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Kg 29. En un oscilador amortiguado, se m = 250 g, k = 85 N antos m , y b = 0.070 s . ¿En cu´ periodos de oscilaci´on ser´ıa la energ´ıa mec´anica del oscilador igual a la mitad de su valor inicial?

30. Un resorte vertical tiene una constante de resorte k = 50 N m . En t = 0 una fuerza F (t) = 48 cos(7t) dada en newtons, es aplicada a un peso de 20 N el cual cuelga en equilibrio en la parte final del resorte. Encuentre la posici´on del peso en alg´ un tiempo t despreciando el amortiguamiento. 31. Se tiene un objeto de 400 kg que se mueve unido a un resorte sobre una superficie horizontal sin fricci´on y es impulsado por una fuerza externa dada por: F = (300N ) cos(2πt) Si la frecuencia natural del sistema es de 2,236 suponiendo que el amortiguamiento es 3.4.

rad s

calcule la amplitud del movimiento

32. a) Una part´ıcula vibra arm´onicamente con una amplitud de 4 cm; si la energ´ıa total de las vibraciones es de 5 × 10−7 J, ¿Cu´al ser´a su elongaci´on cuando la fuerza que act´ ua sobre ella es de 3.25 × 10−6 N? b) Una part´ıcula est´a vibrando en el extremo de un resorte que pasa por su posici´on al ser´a la de equilibrio con una velocidad de 3 m s . Si la amplitud es de 15 mm, ¿Cu´ frecuencia y el periodo del resorte? 33. a) Demuestre que la funci´on y(x, t) = x2 + v 2 t2 es una soluci´on de la ecuaci´on de onda. b) Demuestre que la funci´on en la parte (a) se puede escribir como f (x+vt)+g(x−vt), y determinar las formas funcionales de f y g. c) Repita las partes (a) y (b) para la funci´on y(x, t) = sen(x) cos(vt). a bajo una tensi´on de 100 34. Una cuerda con una densidad de masa lineal de 0.100 kg m est´ N. ¿Cu´anta potencia se deber´a aplicar a la cuerda para generar una onda sinusoidal de una amplitud de 2.00 cm y una frecuencia de 120 Hz? 35. Una cuerda de 3.00 m de largo, sujeta en ambos extremos, tiene una masa de 6.00 g. Si usted quisiera establecer una onda estacionaria en esta cuerda con una frecuencia de 300 Hz y tres antinodos, ¿a qu´e tensi´on deber´a sujetar la cuerda? 36. Una onda viaja a lo largo de una cuerda en direcci´on x positiva con 30.0 m s . La frecuencia de la onda es de 50.0 Hz. En x = 0 y t = 0 la velocidad de la onda es de 2.50 m s y el desplazamiento vertical es y = 4.00 mm. Escriba la funci´on y(x, t) para la onda. 37. Una onda estacionaria en un tubo con ambos extremos abiertos tiene una frecuencia de 440 Hz. El siguiente sobretono m´as alto tiene una frecuencia de 660 Hz. a) Determine la frecuencia fundamental. b) ¿Qu´e longitud tiene el tubo? 7

38. Dos cables de densidades de masa lineal distintas se encuentran uno a continuaci´ on del otro y despu´es se estiran a una tensi´on FT (la tensi´on es la misma para los dos cables). La velocidad de una onda en el primer alambre es el doble que en el segundo. Cuando una onda arm´onica que se trasmite por el primer alambre llega a la uni´on de los alambres, la onda reflejada tiene la mitad de la amplitud de la onda trasmitida. a) Si la amplitud de la onda incidente es Ain ¿Cu´ales son las amplitudes de las ondas reflejada y trasmitida? b) ¿Qu´e fracci´on de la potencia incidente se reflejada en la uni´on y que fracci´on se trasmite?

Figura 4: Cable bajo tensi´on

39. Si el ladrido de un perro se supone alrededor de P1 = uniformemente en todas direcciones,

dW1 dt .

Si esta potencia se distribuye

a) ¿cu´al es el nivel de intensidad sonora a una distancia r? b) ¿Cu´al ser´ıa el nivel de intensidad de 3 perros ladrando al mismo tiempo?, si dos de ellos tiene la mitad de la intensidad de del perro con la intensidad I1 , y ¿cu´al es el nivel de intensidad de los tres perros anteriores a una distancia de cinco veces m´as lejos que la que ten´ıan al principio? NOTA: I0 es intensidad m´ınima audible, P =

W t

yI=

P¯ A.

40. Un rayo de luz forma un ´angulo de incidencia de α sobre una placa de vidrio cuyo ´ındice de refracci´on es n1 y tiene A cm de grueso. Directamente por debajo de ´esta se encuentra otra placa cuyo ´ındice de refracci´on es n2 . a) ¿Cu´ales son los ´angulos de incidencia y de refracci´on en la frontera entre las dos placa y a la salida de la segunda? b) Si la segunda placa tiene B cm de grueso, determine el desplazamiento lateral total del rayo despu´es de que emerge del sistema. 41. El nivel de sonido en decibeles se expresa normalmente como β = 10 log(I/I0 ), pero puesto que el sonido es una onda de presi´on, el nivel de sonido se puede expresar en t´erminos de una diferencia de presi´on. La intensidad depende de la amplitud al cuadrado, as´ı que la expresi´on es β = 20 log(P/P0 ), donde P0 es la diferencia de presi´on m´as peque˜ na apreciable por el o´ıdo: P0 = 2.00 × 10−5 Pa. Un concierto de rock de mucho ruido tiene un nivel de sonido de 110 dB. Encuentre la amplitud de la onda de presi´on generada por ese concierto. 8

42. Un avi´on vuela a Mach 1.30, y su onda de choque llega a un hombre 3.14 s despu´es de que el avi´on pasa directamente encima. Suponga que la velocidad del sonido es de 343.0 m s. a) ¿Cu´al es el ´angulo de Mach? b) ¿Cu´al es la altitud del avi´on? 43. La potencia de salida en cierto sistema de altavoces es de 6.00 W. Suponga que emite igualmente en todas direcciones. a) ¿Dentro de qu´e distancia del altavoz es que el sonido causa dolor al o´ıdo? b) ¿A qu´e distancia del altavoz es que el sonido ser´ıa apenas audible? 44. Los niveles de intensidad de las ondas sonoras difieren en (a) 10 db, (b) 20 db. Hallar el cociente entre sus intensidades y entre sus amplitudes de presi´on. 45. Un avi´on de propulsi´on a chorro pasa sobre un punto situado en la tierra a una altura de 5140 m y a una velocidad de 1.52 Match (1.52 veces la velocidad del sonido). a) Halle el ´angulo formado por la onda de choque con la l´ınea de movimiento del avi´on. b) ¿Cu´anto tiempo tardar´a en llegar a la tierra la onda de choque despu´es de que el avi´on ha pasado sobre el punto? Use 331 m s como velocidad del sonido. 46. Un gato gatillero quiere matar a Mickey Mouse con un rifle barret 50. El gato asesino se encuentra en un edificio a una altura de 20 m respecto al suelo y su objetivo se encuentra a 500 m de su posici´on de tiro. Al disparar el arma el gato, la bala sale a una velocidad constante (considere despreciable la fricci´on del aire), y atina a su objetivo. Sin embargo, el disparo es detectado por un micr´ofono ambiental del DPNY (Polic´ıa de Nueva York) el cual est´a situado a unos 100 m de la distancia de donde se genera el disparo con y con una altura de 5 m al nivel del suelo. Si la distancia que hay entre la bala y el micr´ofono de 13.81 m. a) ¿Cu´al ser´a el ´angulo del cono que genera el movimiento de la bala? b) ¿Qu´e velocidad lleva la bala hasta llegar a su objetivo? c) ¿Qu´e tiempo tarda el micr´ofono en detectar el sonido de la onda de choque de la bala? d ) ¿Cu´anto tiempo tiene el rat´on Miguelito para esconderse de no ser lastimado por el proyectil? 47. Calcule la velocidad de propagaci´on del sonido en el hidr´ogeno H2 , Nitr´ogeno N2 y el ox´ıgeno O2 a 0◦ C. Compare con los resultados experimentales mostrados en cualquier texto. Considere γ = 1.4 para los tres gases.

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48. Una onda longitudinal con frecuencia de 220 Hz viaja por una varilla de cobre de 8.00 mm de radio. La potencia media de la onda es de 6.50 µW . a) Calcule la longitud de onda. b) Calcule la amplitud de la onda. c) Determine la velocidad longitudinal m´axima de una part´ıcula en la varilla. kg 11 N ) transmite ondas 49. Una barra de acero (ρ = 7.80 × 103 m 3 y Y = 2.00 × 10 m2 longitudinales por medio de un oscilador acoplado a uno de sus extremos. La barra tiene un di´ametro de 4.00 mm. La amplitud de las oscilaciones es 0.100 mm y la frecuencia de oscilaci´on es de 10 oscilaciones por segundo. Halle la ecuaci´on de las ondas que se propagan a lo largo de la barra.

50. a) Determine el nivel de intensidad del sonido de un coche cuando la intensidad del sonido es de 0.500 µW . m2 b) Calcule el nivel de intensidad del sonido cuando la amplitud de presi´on del sonido es de 0.150 Pa y la temperatura es de 20◦ C. 51. Durante la propagaci´on de una onda sonora en el aire, la velocidad de desplazamiento de las part´ıculas del medio alrededor de su posici´on de equilibrio es −1.7 × 10−11 m s al tiempo t = 1.2 ms en la posici´on x = 2.3 m de haberse empezado a propagar un tren de ondas sonoras el cual posee una longitud de onda igual a λ = 0.75 m. ¿Cu´al es el valor del desplazamiento para las part´ıculas del medio (alrededor de su posici´on de equilibrio) para t = 1.2 ms con la posici´o x = 2.3 m? 52. Se tiene el siguiente diagrama, en donde 2 coches intentan pasar el cruce. El conductor del coche 2 que se mueve a una velocidad de 13 m s (siendo esta su velocidad inicial) ha visto la se˜ nal del sem´aforo en rojo y est´a dispuesto a infringirla, por lo tanto, acelera a partir de que vio la se˜ nal a a = 1.1 sm2 . El conductor del coche 1 posee una velocidad constante de 15 m s y se ha dado cuenta de inmediato de las intenciones del otro conductor, por lo que sin cambiar la velocidad empieza a emitir el sonido de su clax´on (que posee una frecuencia de f = 3584 Hz) desde el tiempo t = 0 (cuando el conductor del coche 2 empez´o a acelerar) hasta 5 segundos despu´es de pasar el cruce. ¿Cu´al ser´a la frecuencia aparente con el cual el conductor del coche 2 escucha el clax´on del coche 1 a 2 segundos de que el conductor del coche 2 comenzara a acelerar? 53. Se tiene un nivel de sonido N S = 54.8 dB estando a 3 m de una bocina. ¿Cu´antos watts de potencia est´a suministrando la bocina? 54. Se observa que una cuerda tensa vibra con una frecuencia de 30 Hz en su modo fundamental cuando sus extremos, fijos, est´an separados una distancia de 60 cm. La amplitud del antinodo es de 3 cm. Determinar: a) La ecuaci´on de onda de la onda estacionaria que tiene lugar en las condiciones descritas, b) La velocidad de propagaci´on de una onda transversal en dicha cuerda, 10

Figura 5: Autos

c) La velocidad m´axima del punto medio de la cuerda. 55. La funci´on Ψ (x, t) =

0.8 (4x + 5t)2 + 5

representa un pulso, donde x y y estan en metros y t en segundos. Encuentre a) la velocidad de la onda, b) la distancia viajada en 2s, c) y dibuje la forma del pulso. kg 56. Una barra de acero (Y = 2 × 1011 N m , ρ = 7850 m3 ) transmite ondas longitudinales generadas mediante un oscilador acoplado en un extremo. La barra tiene un di´ametro D = 4 m. La amplitud de las oscilaciones es A = 0.1 mm y la fecuencia es f = 10 oscilaciones por segundo. Encuentre

a) La funci´on de la onda que se propaga por la barra. b) La energ´ıa por unidad de volumen en la barra. c) La potencia media que se propaga a trav´es de una secci´on cualquiera de la barra. 57. Una onda de sonido con amplitud 1 × 10−3 mm y frecuencias 650 Hz se propaga en kg un gas ideal de densidad ρ = 1.29 m on 105 mN2 . El radio de las capacidades 3 y presi´ especificas es 1.41. Encuentre la amplitud de la presi´on ac´ ustica de la onda.

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58. La velocidad de fase v de las ondas transversales en un cristal de separaci´on at´omica a es dada por ( ( )) sin ka ( ka 2) v=c 2

donde k es el n´ umero de onda y c es constante. Muestre que el valor de la velocidad de grupo es ( ) ka c cos . 2 59. Una cuerda atada entre x = 0 y x = l vibra en el modo fundamental. La amplitud A, tensi´on T y la masa por unidad de longitud µ est´an establecidos en la funci´on y = A sin kx cos ωt. [( ) [ ( )2 ] ] 2 µ ∫l ∂f 2 dx Encuentre la energ´ıa total de la cuerda E = 2 0 + v ∂f ∂t ∂x 60. Una cuerda perfectamente el´astica de longitud l la cual est´a bajo tensi´on T y fijada en sus extremos, tiene una masa por unidad de longitud µ. Es jalada en el punto x = a a una altura h y soltada desde el reposo. La cuerda ejecuta vibraciones transversales, y su forma est´a dada por la siguiente funci´on { xh 0≤x≤a a , h(x) = h(l−x) a≤x≤l l−a , dibuje la funci´on h(x), y encuentre la energ´ıa potencial

( ( )2 ) ∫l U = 0 12 T ∂f dx ∂x

61. Determine la serie de Fourier: { f (x) =

0, 5,

−5≤x≤0 0≤x≤5

62. Determine la serie de Fourier coseno de la siguiente funci´on: f (x) = sen x, 63.

12

0≤x≤π