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GUÍA DE EJERCICIOS Nº 2 MATEMÁTICA II

FEBRERO 2017 MATERIAL PREPARADO POR LA PROF. ISABEL DÍAZ L.

ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. CURVAS DE NIVEL ……………..………………………………………………………………….……………………… EJERCICIOS 1 AL 33

PÁG. 1

2. TASA MEDIA PARCIAL DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES ……………..……………..…………………… EJERCICIOS 34 AL 46

13

4. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR …………………………………………….……………………………..….... EJERCICIOS 84 AL 94

27

3. DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES ………………………………………..….... EJERCICIOS 47 AL 83

¡ ADVERTENCIAS ! 









Esta recopilación de ejercicios y problemas fue realizada con el único propósito de facilitar la coordinación del trabajo que se realiza en las clases de teoría y práctica de Matemática II. Fue concebido como un material complementario de estudio, que de ningún modo es indispensable para lograr los objetivos de la asignatura, ni pretende sustituir el uso de libros u otros recursos para el aprendizaje. De aquí que su utilización sea opcional, a criterio del estudiante. Algunas de las actividades incluidas en esta recopilación describen situaciones hipotéticas sencillas, que simulan escenarios para promover el aprendizaje de los temas de Matemática II. La complejidad propia de las situaciones reales distraería y dificultaría el estudio de los mismos.

Los ejercicios y problemas planteados en un contexto económico fueron diseñados de tal manera que en su solución no se requiere tener conocimientos previos de Teoría Económica. El objetivo principal de estas actividades es mostrar la aplicabilidad de la Matemática en esta disciplina. Se debe tener siempre presente que para dar solución a los ejercicios y problemas que aquí aparecen, es necesario conocer el marco teórico-matemático en el que se fundamentan. Solo así podrá establecerse la estrategia adecuada para responder los planteamientos formulados. Es posible que haya fallas de redacción en algunas de las actividades o errores en la transcripción de sus respuestas. Se agradece cualquier observación o sugerencia al respecto con el fin de introducir los cambios a que diera lugar.

17

CURVAS DE NIVEL (1)

z = f(x,y) definidas en el conjunto H  2. Halla la familia de curvas de nivel z0 de cada función dada. Simplifica la ecuación que relaciona las variables x e y. Si la relación es funcional, expresa a y en términos de x de forma que: y = g(x). Indica cuál es el conjunto posible de valores que puede tomar z0 para que g sea una función real y determina su dominio. Las siguientes son funciones reales

Representa gráficamente tres curvas de nivel.

(A)

2 z  2 (x  1)  y

(F)

z

(B)

z  x1  y

(G)

z

1 y - x-3 x (log y) 2

(3)

2

 (x  y )

(C)

ze

(D)

z  3x 2  y

(E)

(2)

2

z  10

y x2

(para x

0)

2

 x     y 

2

x3

 y  x-3



(y  0  y  1)

1/2

(H)

z

(y  0)

(I)

z  2 x 1/2 y 1/2

(J)

z  3 log (xy) ( xy > 0 ) 3

Halla la curva de nivel que satisface las condiciones dadas en cada caso. Simplifica la ecuación de la curva de nivel. En caso de que exista una relación funcional explícita entre x e y, expresa dicha ecuación utilizando la forma: y = g(x). (A) Pasa por el punto (-3,2) con

f(x,y) = x2 - 3xy + 4x .

(B) Pasa por el punto (e,0) con

f(x,y) = e / x .

(C) Pasa por el punto (8,9) con

f(x,y) = x

(D) Pasa por el punto (10,1) con

f(x,y) = x y - ln y .

y

1/3

y

1/2

.

2

(x,y)2 que satisfacen la ecuación x2 + y2 – 4 = 0 es una curva de nivel de la función f(x,y) = z tal que: f(x, y)  x2  y 2  x2  y 2  5 . Además, halla el nivel de esta curva e indica el significado de la misma. RESP. z = 3 Prueba que el lugar geométrico de todos los puntos

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1

(4)

La figura anexa muestra cuatro curvas de nivel de la función z = f(x,y). Utiliza esta información para contestar las siguientes preguntas justificando, en cada caso, la respuesta dada.

Y 5

(A) ¿Cuál es la solución de las ecuaciones f(3,y)=8 y f(x,5)=6 ?

La figura anexa muestra cuatro curvas de nivel de la función z=f(x,y). Utiliza esta información para contestar las siguientes preguntas justificando, en cada caso, la respuesta dada.

Z=8

2

Z=6

1

RESP. z=4 , x=1 y=2; x=1 y=3

(5)

Z=4

3

RESP. y=2; y=4; No tiene solución

(B) ¿Qué valor máximo puede alcanzar la función f para x=1 y en qué punto(s) lo alcanza?

Z=2

4

1

4

5

X

6

5 4

RESP. y=2 y=4,5; No tiene solución

z=10000

3

(B) ¿Qué valor máximo puede alcanzar la función f para x = 5 y para qué valor lo alcanza?

2

RESP. 1000; (5,3)

1

z=1000 z=100

1

Sea

3

Y

(A) ¿Cuál es la solución de las ecuaciones f(2,y)=100 y f(x,5)= 10000?

(6)

2

2

3

4

z=10

5

6

X

g una función real de variable real tal que y = g(x) siendo: k

y Se sabe que

2 x

2

(x  0  k : constante real)

g representa la familia de las curvas de nivel correspondientes a la función z = f(x,y).

(A) Halla las curvas de nivel CP y CQ que pasan, respectivamente, por los puntos P(1,2) y Q(2,2). (B) Representa gráficamente las curvas de nivel CP y CQ. (C) Determina explícitamente la ecuación de la función f. (D) ¿Qué característica tienen todos los puntos (x,y)Df , que están sobre la curva de nivel CP ?

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2

(7)

Sea

g una función real de variable real tal que y = g(x) siendo:  2 y   1 + log  k x  con k  (0,  )  

Se sabe que

g representa la familia de las curvas de nivel correspondientes a la función z = f(x,y).

(A) Halla las curvas de nivel CP y CQ que pasan, respectivamente, por los puntos P(1,0) y

Q(-1,-2).

(B) Representa gráficamente las curvas de nivel CP y CQ. (C) Determina explícitamente la ecuación de la función f. (D) ¿Qué característica tienen todos los puntos (8)

Sea la función real

(x,y) Df , que están sobre la curva de nivel CP ?

z = f(x,y) tal que: x  1

z  5 .2

y

con y  0

(A) Determina la ecuación y =

g(x) que define la familia de curvas de nivel de f. (B) Halla las curvas C1, C2 y C3 de nivel 10, 20 y 40 respectivamente. (C) Representa gráficamente las curvas de nivel C1, C2 y C3 . (D) ¿Qué característica tienen todos los puntos (x,y) Df , que están sobre la curva de nivel C1? (9)

Dada la función

f: H  2   tal que z = f(x,y) donde z x2 - x2 - zy - y = 0.

(A) Determina analíticamente el dominio de f y represéntalo gráficamente (Df ). (B) Halla dos puntos P y Q tales que

P Df y Q Df . Argumenta tu respuesta. (C) ¿Cuál es la familia de las curvas de nivel de f ? (D) Halla las curvas de nivel 1, 1/3 y -1/3 de f y luego represéntalas gráficamente. (E) ¿Qué característica tienen todos los puntos (x,y) Df, que están sobre la curva de nivel 1? (10)

Sea

g una función real de variable real tal que y = g(x) siendo:   y   

Se sabe que

 k  log    a  b

     

2

- x2

(con a,b,k constantes positivas)

g representa la familia de las curvas de nivel k correspondientes a la función z = f(x,y).

(A) Halla las curvas de nivel CP, CH y CQ que pasan, respectivamente, por los puntos: P(1,-1), H(0,4) y Q(2,-3). (B) Representa gráficamente las curvas de nivel CP, CH y CQ . (C) Determina explícitamente la ecuación de f, halla su dominio y represéntalo gráficamente. (D) Halla dos puntos M y T tales que

M  Df y T  Df . Argumenta tu respuesta. (E) ¿Qué característica tienen todos los puntos (x,y) Df , que están sobre la curva de nivel CQ? CÁTEDRA DE MATEMÁTICA DE LA ESCUELA DE ECONOMÍA DE LA UCV - MATEMÁTICA II GUÍA DE EJERCICIOS N 2 – FEBRERO 2017

3

(11)

Dada la función

f: H  2   tal que z = f(x,y) donde:

2

z

4

2- x  y

f y represéntalo gráficamente (Df ). (B) Halla dos puntos P y Q tales que P Df y Q Df . Argumenta tu respuesta. (C) Determina la familia de las curvas de nivel de f. (A) Determina analíticamente el dominio de

2 de f y luego represéntalas gráficamente.

(D) Halla la curvas de nivel 1, 2 y

(E) ¿Qué característica tienen todos los puntos (12)

Dada la función real: z

= f(x,y) = 4 x

(A) Determina la ecuación y =

1/2 1/3

y

(x,y) Df, que están sobre la curva de nivel

2 ?

.

g(x) que define la familia de curvas de nivel de f.

(B) Representa gráficamente en un mismo plano a, al menos, tres curvas de nivel de f. (C) Suponiendo que las cantidades x e y se restringen: 0  x  40 y 0  y  30, usa las curvas de nivel para ubicar el punto (x0,y0) que produce el valor máximo de la función f. Halla la curva de nivel correspondiente a ese punto. (13)

Dada la función

f : H   2   tal que f(x, y)  z , siendo:

x  y  z 2  log 2 x  y



si x  0



si x  0

(A) Determina la familia de curvas de nivel k de f. (B) Halla las curvas de nivel 0, 1 y 2. Represéntalas gráficamente en un mismo plano XY. (C) ¿Por el punto M(4,-8) pasa una curva de nivel de f ? En caso afirmativo, halla la ecuación de esta curva y explica qué representa. En caso negativo, explica por qué por el punto M no pasa una curva de nivel de f. (14)

Sea la función

f :  2   tal que f(x, y)  z , donde:

 x 2  y 2 si x  0 z si x  0  y (A) Determina la familia de curvas de nivel de f. (B) Halla las curvas de nivel 1, 2 y 3 y represéntalas gráficamente en un mismo plano XY. (C) Demuestra que por el punto (-3,0) pasa una curva de nivel y represéntala gráficamente en el mismo plano XY que utilizaste en la pregunta anterior. RESP. Y=0 PARA TODO X