• Author / Uploaded
• esther2017

• Categories
• Exponenciación
• Ciencia
• Raíz cuadrada
• Número natural
• Física y matemáticas

Citation preview

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

1

ESO

Números naturales

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *Esta programación la podrás encontrar también en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 1

Números naturales

En esta unidad se repasan y consolidan los conocimientos ya adquiridos por los alumnos en cursos anteriores sobre los números naturales: sus usos, sus propiedades y las operaciones en que intervienen. Además se profundiza en el manejo de las potencias y sus propiedades y se introduce la raíz cuadrada. Es importante que los alumnos realicen correctamente las operaciones básicas –suma, resta, producto y división– con números naturales, tanto aisladas como combinadas. Para ello es fundamental que aprendan, asimilen y utilicen las reglas de jerarquía, incluyendo el uso de paréntesis. No hay que olvidar que este mismo esquema se repetirá después al tratar los números enteros, fraccionarios y decimales. Aunque los alumnos ya han trabajado con potencias de exponente natural, debe ser en este curso cuando consoliden el manejo de las mismas y de sus propiedades básicas, como antesala para extender el concepto de potencia al caso de exponentes no naturales en cursos posteriores. Algo similar se puede decir respecto de la raíz cuadrada, si bien en este caso es preferible que aprendan a calcular las raíces exactas y enteras de los números naturales, antes incluso de conocer el algoritmo de cálculo. Las diferencias y analogías entre los diferentes sistemas de numeración deben ser entendidas y apreciadas por los alumnos, tomando como ejemplos los sistemas romano y decimal. En el caso de este último deben conocer en profundidad su estructura y sus reglas, ya que es el sistema que han aprendido desde el comienzo de su escolaridad y el que constituye la base del desarrollo matemático y su aplicación a la vida cotidiana, a la ciencia y a la técnica.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Saber reconocer los números naturales y su necesidad y utilidad para representar la realidad.

1.1 Identificar y relacionar los números racionales en situaciones cotidianas y utilizarlos para contar, medir, ordenar y codificar.

2. Ser capaces de realizar con los números naturales las operaciones aritméticas básicas.

2.1 Estimar y calcular el valor de expresiones numéricas que involucren números naturales y las operaciones elementales.

3. Conocer el concepto de potencia de base y exponente natural.

3.1 Conocer y aplicar las propiedades de las potencias de números naturales.

4. Conocer el concepto de raíz cuadrada de un número natural.

4.1 Saber calcular raíces exactas y enteras de números naturales.

5. Reconocer la necesidad de los sistemas de numeración para representar cantidades.

5.1 Conocer las características de los sistemas de numeración decimal y romano.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Números naturales • Sistema de numeración posicional

• Utilización de los números naturales para contar, medir, ordenar y codificar

• Sistema de numeración decimal

• Símbolos y reglas del sistema de numeración decimal

• Sistema de numeración aditivo

• Símbolos y reglas del sistema de numeración romano

• Sistema de numeración romano

• Operaciones con números naturales

• Propiedades de las operaciones con números naturales

• Operaciones combinadas. Jerarquía de las operaciones

• Potencias de exponente natural

• Jerarquía en la calculadora

• Concepto de raíz cuadrada

• Propiedades de las potencias

• Raíz cuadrada exacta y entera

• Reconocimiento de cuadrados perfectos • Cálculo de raíces enteras de números naturales

2

Unidad 1

Números naturales

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Todo lo tratado desde primaria sobre números naturales. En particular las operaciones básicas, suma, resta, multiplicación, división y potencias.

2. Previsión de dificultades Al haberse trabajado la operatividad con números naturales en primaria, no es previsible que se encuentren especiales dificultades al desarrollar la mayor parte de este tema, excepto en lo que se refiere a las operaciones combinadas con utilización del paréntesis, donde hay que tratar ejemplos de mayor dificultad que los de cursos anteriores. En cuanto a las potencias, hay que tener presente que no siempre se trabajan con la misma profundidad en el último ciclo de primaria, por lo que puede haber diferencias importantes en el nivel del alumnado. Por último, es probable que les resulte difícil la distinción entre los sistemas de numeración posicionales y aditivos, y también el concepto de raíz cuadrada.

3. Vinculación con otras áreas Aunque en las orientaciones dadas en los epígrafes se concreta más este punto, conviene insistir a los alumnos en la idea de la gran importancia del cálculo numérico en todos los campos de la ciencia, la técnica y la actividad social en general.

4. Esquema general de la unidad Al comenzar la unidad, la sección “Desarrolla tus competencias” propone una actividad que les resultará muy cercana sobre el uso de los números naturales en el comercio. Inmediatamente se repasan los diferentes usos de los números naturales a través de ejemplos y actividades sencillas y de interpretación directa. El siguiente epígrafe repasa las características del sistema de numeración decimal, contraponiéndolas con las de los sistemas aditivos. Este tema se tratará después con mayor profundidad en la sección “Matemáticas y sociedad”, en donde se repasan algunos sistemas de numeración de importancia histórica. Los epígrafes 3, 4 y 5 repasan las operaciones aritméticas básicas con los naturales, para terminar con ejemplos y ejercicios de operaciones combinadas. En este punto se hace referencia al uso de la calculadora y a la importancia de conocer sus reglas y la forma de operar con ella. Para terminar, se trabajan los contenidos más novedosos de la unidad. Las potencias de naturales y sus propiedades se tratan en los epígrafes 6 y 7, y se acaba en el 8 con el concepto de raíz cuadrada y el cálculo de raíces exactas y enteras.

NÚMEROS NATURALES Usos

Operaciones

Contar

Suma, resta, producto y división

Medir Ordenar

Operaciones combinadas

Codificar

Potencias

Expresión

Raíz cuadrada

Sistemas de numeración

Posicional

Sistema decimal

Aditivo

Sistema romano

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en nueve sesiones: 1.ª Usos de los números naturales 2.ª Sistemas de numeración decimal y romano 3.ª Operaciones con números naturales 4.ª Operaciones combinadas con números naturales 5.ª Potencias. Propiedades 6.ª Concepto de raíz cuadrada. Cálculo de la raíz entera 7.ª Actividades de repaso y de consolidación 8.ª Pon a prueba tus competencias 9.ª Matemáticas y sociedad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad. Números naturales

Unidad 1

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias”, “Pon a prueba tus competencias” y “Matemáticas y sociedad”, y en general, los problemas con enunciado contextualizado, desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a los números reales y sus operaciones, es la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos la que más presencia tiene.

Competencia para la interacción con el mundo físico Hay a lo largo de la unidad varias referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real.

Competencia social y ciudadana A través del tema de entrada a la unidad y de la actividad final asociada se trabaja esta competencia en relación con el progreso tecnológico y científico, a través de los descriptores conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo y ejercitar los derechos, libertades, responsabilidades y deberes cívicos, desarrollar actitudes de cooperación y defender los derechos de los demás.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprender a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de “conciencia y control de las propias capacidades” y de “conocimiento del propio proceso de aprendizaje”.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja intentando estimular en el alumno el rechazo a la pseudociencia y la superstición (ver página siguiente).

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 1

Números naturales

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción – Usa los números naturales en diferentes contextos.

Matemática

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Conoce y utiliza el sistema de numeración decimal. – Realiza operaciones básicas con números enteros. – Conoce y utiliza las potencias de exponente natural. – Calcula raíces cuadradas exactas de números naturales. Toda la unidad

Interacción con el mundo físico

Conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad.

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Demostrar espíritu crítico en la observación de la realidad y en el análisis de los mensajes informativos y publicitarios.

Desarrollo personal y social.

Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

Competencia social y ciudadana

– Entiende la importancia de los sistemas de numeración para el desarrollo eficaz de la actividad científica, técnica y comercial. Matemáticas y sociedad – Conoce cómo nuestra propia configuración física ha influido en el desarrollo de los sistemas de numeración. Actividad 17 – Sitúa hechos y períodos históricos relevantes para el progreso científicotécnico. Matemáticas y sociedad – Conoce la historia del olimpismo y los valores asociados a ella. Pon a prueba tus competencias: 128

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Ejercitar los derechos, libertades, responsabilidades y deberes cívicos, desarrollar actitudes de cooperación y defender los derechos de los demás.

– Interpreta correctamente la publicidad y las facturas para ser un consumidor responsable. Actividades: 8, 37 y 45

– Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades: 18, 46, 71 y 81 Autoevaluación – Interpreta datos dados en forma de tablas y gráficas. Pon a prueba tus competencias: 128

Competencia de autonomía e iniciativa personal

Desarrollo de la autonomía personal.

Reconocer, integrar y gestionar las emociones en relación a sí mismo y a los demás.

Liderazgo.

Tener confianza en uno mismo.

– Distingue las supersticiones numerológicas de los hechos con base científica. Actividad 2

Números naturales

Unidad 1

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación ciudadana: actividades 8, 37 y 45 • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y que sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Matemáticas básicas – Unidad 1. Números naturales Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso Bibliográficos

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO SM

– Unidad 1. Números naturales • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 1: Números naturales – Unidad I. Números naturales. Operaciones – Unidad II. Potencias y raíces • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I

Otros

B. GÓMEZ.: Numeración y cálculo. Madrid, Síntesis. Colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, 1988. www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/1esomatmrd01

Otros

Números racionales en la página de educación digital a distancia del Ministerio de Educación:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatmrd02

6

Unidad 1

• Juegos de dominó en los que intervengan operaciones combinadas con el mismo resultado. • Bingo donde los alumnos tengan que hallar previamente los 15 números del cartón como resultado de operaciones combinadas de números naturales. • Calculadoras para realizar operaciones combinadas con números naturales.

Números naturales

Sugerencias didácticas Entrada La foto de la entrada permite trabajar la competencia matemática, haciendo reflexionar a los alumnos sobre la importancia y el uso de los números en la vida cotidiana. Podemos pedir a los alumnos que saquen su carnet del instituto y describan los diferentes números que en él aparecen, tales como:

8. El análisis de la factura que se presenta en la actividad puede servir para proponer a los alumnos que estudien facturas reales que tengan en casa y analicen los diferentes conceptos que en ellas aparecen. Después se puede realizar una puesta en común en clase para que a todos les queden claras las partes comunes que presentan este tipo de documentos.

ACTIVIDADES POR NIVEL

– N.º de expediente.

Básico

1 a 4, 6 a 9, 82 y 83

– Código del centro.

Medio

5

– Los números que aparecen en su dirección: portal, piso y puerta. Guiando a los alumnos, enumeraremos ejemplos de diferentes codificaciones existentes en la sociedad en las que intervengan los números naturales, trabajando de este modo la competencia en interacción con el mundo físico y social y ciudadana: – DNI. – Código postal. – Números de vuelo. – Códigos de barras.

Desarrolla tus competencias 1. Esta actividad trabaja la competencia lingüística a través de la interpretación y la ordenación lógica de la información para poder responder a las diferentes actividades. 2. La realización de esta actividad permite que los alumnos aprecien que las matemáticas están presentes en diferentes culturas. Podemos realizar una comparación entre el sistema de numeración decimal y el romano, destacando principalmente que el primero es posicional, y el segundo, aditivo. Para que aprecien las ventajas del sistema de numeración decimal trataremos de escribir un número mayor que un millón en números romanos, así verán que no se puede y, sin embargo, con el sistema de numeración decimal es inmediato.

1. Los usos de los números. Números naturales • Podemos indicar que ya desde sus orígenes el hombre primitivo tuvo necesidad de contar y ya desde la antigüedad existían los conceptos de 1, 2 y 3. • Conviene hacer ver a los alumnos que cuando se utilizan los números naturales para codificar situaciones de la vida real, no se pueden realizar con ellos operaciones aritméticas. 2. La realización de esta actividad abre la puerta a plantear una discusión y debate entre los alumnos sobre la diferencia entre superstición y realidad. A partir de ella hay que intentar aumentar la seguridad del alumno en sus propios recursos y que consiga desterrar en él actitudes de refugio en supercherías irracionales.

2. El sistema de numeración decimal • Conviene iniciar el epígrafe indicando que un sistema de numeración no es más que un conjunto finito de símbolos que, junto con unas reglas sencillas para combinarlos, nos permite representar todos los números. • Aunque los alumnos ya conocen el sistema de numeración y su significado, no está de más recordar que una decena son 10 unidades, una centena equivale a 10 decenas o 100 unidades… y la importancia del valor posicional de la cifra y distinguirlo del valor intrínseco. Para reforzar esta idea podemos escribir todos los números de tres cifras diferentes que pueden construirse, por ejemplo, con las cifras 2, 5 y 7. • A modo de ampliación podemos introducir los números grandes, definiendo el millón, el millardo y el billón, y estableciendo las relaciones que hay entre ellos: – 1 millón: 1000 millares. – 1 millardo: 1000 millones. – 1 billón: 1000 millardos. 17. Esta actividad nos sirve para explicar que el sistema de numeración es decimal porque en las manos tenemos 10 dedos, y con ellos es con los que inicialmente se contaba. Podemos aprovechar la actividad para establecer un pequeño debate en el que se valore la evolución de las matemáticas y el aprovechamiento que de ello hacemos en la vida cotidiana.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

10 a 14, 17, 84 a 90

Medio

15 y 16

3. La suma y la resta • Los alumnos ya saben sumar y restar números naturales de cursos anteriores. En este epígrafe conviene hacer hincapié en lo útiles que son las propiedades para la resolución de problemas. • Para que entiendan la propiedad conmutativa de la suma podemos proponerles el siguiente ejemplo. Seleccionamos primero a cinco chicas de la clase y luego a cuatro chicos, formando así un grupo de 9 personas. Si en vez de escoger primero a las cinco chicas, hubiéramos escogido a los cuatro chicos y en último lugar a las cinco chicas, el grupo final estaría formado por los mismos 9 estudiantes. Números naturales

Unidad 1

7

Sugerencias didácticas

• Conviene que los alumnos identifiquen y manejen con soltura los diferentes términos de la resta. • Podemos reforzar el cálculo mental enseñándoles diferentes técnicas: 83 − 17 = (83 − 3) − (17 − 3) = 80 − 14 = 66 18 + 36 = (18 + 2) + (36 − 2) = 20 + 34 = 54 Las actividades 27 y 28 de razonamiento y comunicación están enfocadas para que los alumnos deduzcan por sí mismos las propiedades que aquí aplicamos. Trabajando de este modo la competencia aprender a aprender.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

19 a 26, 29, 91 a 93

Medio

27 y 28

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

38 a 42, 104 a 107 y 109 a 11

Medio

43 a 45, 108 y 111 a 115

6. Las potencias • Conviene detenerse en el concepto de potencia de base y exponente natural, entendido como una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales. Con numerosos ejemplos, los alumnos deben identificar como base el factor que se repite y como exponente el número de veces que se repite dicho factor, ya que es muy frecuente que multipliquen la base y el exponente. • Es importante detenernos en los cuadrados para agilizar el trabajo en el posterior cálculo de raíces.

4. La multiplicación y la división

• También se introducen las potencias de base 10, debido a la utilidad que tienen para expresar números grandes.

• En este epígrafe, lo que realmente hay que reforzar son las propiedades de la multiplicación y remarcar su utilidad para simplificar cálculos mentales.

ACTIVIDADES POR NIVEL

• Después de repasar el algoritmo de la división y de diferenciar entre división exacta y entera, conviene que los alumnos distingan los diferentes términos que intervienen y que sepan calcular cualquiera de ellos. • Con el fin de preparar el terreno para la unidad de divisibilidad, es importante que los alumnos vean que el cociente de una división exacta no es más que el factor desconocido de una multiplicación. 37. A raíz de este problema podemos establecer un debate sobre cómo realizar una dieta sana para el organismo y las consecuencias que puede tener sobre la salud el no llevarla. Asimismo se puede trabajar el concepto de consumo responsable y la influencia de la publicidad de los comercios en nuestras compras.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

30 a 34, 37, 94 a 96

Medio

35, 36, 97, 99

Básico

47 a 51, 53, 56 a 58, 116 a 122

Medio

52, 54 y 123

Alto

59 y 60

7. Propiedades de las potencias • Para que los alumnos entiendan las propiedades de las potencias conviene comprobarlas con ejemplos sencillos, tal y como aparecen en el desarrollo del epígrafe. Realizar estas comprobaciones posibilita que, si en algún momento determinado los alumnos olvidan la propiedad, sean capaces de deducirla.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

61 a 65 y 67

Medio

66, 68 a 70 y 124

8. La raíz cuadrada 5. Operaciones combinadas. El uso de la calculadora • Poner ejemplos que ilustren cómo el no respetar las reglas de jerarquía lleva a resultados erróneos. • Comprobar que las calculadoras de los alumnos respetan la jerarquía. Llevar alguna que no cumpla esta regla. • Para explicar la propiedad distributiva se podría resolver el ejercicio resuelto de otra forma: Yogures de fresa: 4 ⋅ 3 = 12 Yogures de limón: 4 ⋅ 2 = 8 Total de yogures: 12 + 8 = 20 45. Con esta actividad se puede trabajar la competencia lingüística en el análisis de los mensajes publicitarios y también la influencia que dichos mensajes tienen sobre nuestras decisiones de consumo. 8

Unidad 1

Números naturales

• Los alumnos van a calcular las raíces cuadradas por tanteo, de ahí la importancia que se dio en el epígrafe 6 al cálculo de los cuadrados perfectos. • Para calcular las raíces cuadradas enteras se buscarán siempre los dos cuadrados perfectos entre los que se encuentra el radicando y se escogerá el menor. • Para calcular raíces de números superiores a 100, si el alumno no está familiarizado con los cuadrados perfectos mayores que 100, es bueno seguir los pasos que aparecen en el cuaderno n.º 1 de la colección de cuadernos de Matemáticas 1.º de ESO, “Números naturales”: 3126 1.º Se divide el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha: 31, 26. 2.º Se calcula la raíz del primer grupo: 31 = 5. La primera cifra de la raíz de 3126 es 5.

Sugerencias didácticas

3.º Se va probando hasta obtener el mayor número que elevado al cuadrado es menor que el radicando: 512 = 2601 542 = 2916 552 = 3025 562 = 3136 > 3126 La raíz cuadrada entera es 55.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar y que este sea evaluable.

4.º Se calcula el resto: 3126 − 552 = 101

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

72 a 75, 77 y 125 a 127

Medio

76 y 78 a 80

Actividades de consolidación y aplicación

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias aprender a aprender y autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.

Síntesis de la unidad

Estas actividades son un complemento fundamental a las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad.

Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo.

Pon a prueba tus competencias

Matemáticas y sociedad

128. Con esta actividad trabajamos varias competencias básicas.

Los contenidos de esta sección son un desarrollo completo de los que aparecieron en la entrada. Al hacer un recorrido histórico por diferentes sistemas de numeración, los alumnos percibirán que las matemáticas han ido evolucionando a medida que se desarrollaban las diferentes civilizaciones.

La competencia de tratamiento de la información y la competencia digital, ya que los alumnos deben interpretar diversas tablas de datos para poder responder a las preguntas. Además podemos pedirles que busquen información sobre los Juegos de Atenas, recopilando el mismo tipo de datos que los que aparecen en la actividad: ¿cuántos países participaron?, ¿cuántos atletas?, ¿cuántas medallas se repartieron? La competencia cultural y artística, valorando el importante legado que dejó la cultura griega. La competencia social y humana, valorando la importancia del olimpismo en la mejora de la convivencia internacional y del desarrollo de elementos de competitividad sanos entre los diferentes países.

Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Además de los sistemas que aquí aparecen, podemos pedir a los alumnos que busquen información sobre el sistema de numeración chino. Es importante destacar la evolución histórica de los sistemas de numeración y cómo surgieron en diferentes contextos históricos y geográficos sistemas convergentes en su estructura. Relacionándolo con la competencia digital, también podemos explicar, para los alumnos más avanzados, el sistema binario.

Números naturales

Unidad 1

9

Actividades de refuerzo Unidad 1

Números naturales

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Al finalizar esta unidad bastará con que los alumnos hayan adquirido destreza a la hora de realizar operaciones con números naturales y tengan claros los conceptos de exponente natural y raíz cuadrada. Por ello es importante: • Potenciar el cálculo mental con cantidades sencillas. Durante el desarrollo de la unidad se pueden dedicar todos los días cinco minutos, al inicio de la clase, a ejercitar el cálculo mental de los alumnos haciendo rondas de operaciones encadenadas. • Enseñar el significado de las operaciones aritméticas, planteando problemas de enunciado sencillo y cercano a los alumnos, para que estos puedan asociar a situaciones concretas el cálculo aritmético. • Introducir el concepto de potencia con el cálculo del cuadrado y del cubo de números naturales, relacionándolo con el cálculo de la superficie de un cuadrado y el volumen de un cubo. Es importante hacer hincapié en la diferencia entre cuadrado y doble de un número, y entre cubo y triple de un número. • Introducir las raíces cuadradas asociándolas al concepto de cuadrado de un número, realizando actividades del tipo: a es raíz de b porque a2 = b.

ACTIVIDAD DE GRUPO Construcción de un dominó con operaciones combinadas Para esta actividad se necesitan cartulina y tijeras. Se divide la clase en 7 grupos, que numeraremos del 0 al 6. Al grupo 0 se le encarga que obtenga de 8 maneras diferentes el número 0, empleando operaciones combinadas. Del mismo modo, se le encarga al grupo 1 que obtenga de 8 maneras diferentes el número 1, y así al resto de los grupos.

0

0

0

1

0

2

0

3

0

4

0

5

0

6

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

2

2

2

3

2

4

2

5

2

6

3

3

3

4

3

5

3

6

4

4

4

5

4

6

5

5

5

6

6

6

Una vez obtenidos los números del 0 al 6 de ocho formas diferentes, se recopilan todos los resultados en una hoja que se fotocopia y se entrega una a cada grupo. Junto con las operaciones se entregará también a cada grupo una cartulina de color diferente para que realicen su propio dominó. Cuando los grupos tengan el dominó realizado, los recogeremos y en una sesión posterior se repartirán de tal manera que a ningún grupo le toque el dominó que ha construido.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Corazón partido 2. Número de butacas: 18 ⋅ 20 = 360 Número de alumnos: 11 ⋅ 27 = 297 Por tanto, sobran butacas. 3. Primer paso: 1539

Segundo paso: 42

Tercer paso: 7266

Cuarto paso: 3718

Quinto paso: 286

4. 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 34 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 25 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43 5 ⋅ 5 = 52 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 76 5. Se colocan formando un cubo, con cuatro yogures en cada arista, por lo que hay 43 = 64 yogures en cada torre. 6. a) 5 < 27 < 6

b) 12 < 150 < 13

c) 10 < 105 < 11

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 1

Números naturales

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 1

Números naturales

1. Realiza las siguientes operaciones. Colorea las regiones en las que aparezcan los resultados obtenidos y averiguarás el título de la canción favorita de María. a) 2257 − 1943

d) 39 ⋅ 304

b) 235 ⋅ 87

e) 8539 + 12583

c) 2557 + 1943

f) 3586 − 2718

802

21 045

19 446

20 045

20 445 314

10 856

1 326

20 022

1 326 878

1 314

868 21 122

4 500 316 4 400 11 856

4 490

858

858

315

316

2. En el salón de actos de un instituto hay 18 filas con 20 butacas cada una. Se va a celebrar una conferencia sobre el reciclaje, y queremos saber si tendrán butacas todos los alumnos de ESO. Si hay 11 clases de 27 alumnos cada una, ¿faltarán o sobrarán butacas? 3. Sigue los pasos indicados, responde a las preguntas y marca en la tabla las respuestas. El último paso te ayudará a averiguar cuál es la película que Andrea ha regalado a Javier. 1.er paso: número posterior a 1538. 2.º paso: cociente que resulta de dividir el resultado anterior entre 36. 3.er paso: producto que se obtiene de multiplicar el cociente del paso 2.º por 173. 4.º paso: resultado de restarle al producto anterior el número 3548. 5.º paso: resto que queda al realizar la división del resultado obtenido en el paso 4.º entre 312. 1.er paso

2.º paso

3.er paso

4.º paso

1537

39

6785

3167

1540

42

7785

4167

1539

45

7266

3818

117 → Spiderman

1436

46

7166

3718

127 → Up

1538

41

6966

3237

286 → Shrek

5.º paso 101 → Crepúsculo 84 → Harry Potter

4. Asocia a cada producto su potencia. Producto

Potencia

3⋅3⋅3⋅3

•

•

25

2⋅2⋅2⋅2⋅2

•

•

43

4⋅4⋅4

•

•

52

5⋅5

•

•

76

7⋅7⋅7⋅7⋅7⋅7 •

•

34

5. En un supermercado, los paquetes de cuatro yogures se colocan unos encima de otros formando una torre de 4 pisos, y se agrupan para que la planta forme un cuadrado con 4 yogures en cada lado.

Página fotocopiable

Con ayuda del dibujo, expresa con una potencia el número de yogures que hay en cada formación. 6. Indica entre qué dos valores se encuentran las siguientes raíces. a) … < 27 < …

b) … < 150 < …

c) … < 105 < …

Números naturales

Unidad 1

11

Actividades de ampliación Unidad 1

Números naturales

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS En esta unidad no se aborda nada nuevo, ya que lo que se persigue es reforzar los conceptos ya adquiridos por los alumnos en cursos anteriores, para que lleguen a dominarlos por completo. Para motivar a estos alumnos conviene: • Realizar simplificaciones de expresiones aritméticas complicadas, utilizando las propiedades de las potencias y la relación existente entre raíz cuadrada y cuadrado de un número. • Calcular igualdades numéricas que involucren potencias, raíces y elementos desconocidos, aplicando adecuadamente las propiedades de las potencias. • Plantear actividades en las que, a partir de ejemplos sencillos, sean capaces de descubrir propiedades numéricas no estudiadas en la unidad. • Enseñarles a desarrollar el pensamiento matemático en la elaboración de estrategias para la resolución de problemas de ingenio matemático que involucren el manejo del conjunto de los números naturales.

ACTIVIDAD DE GRUPO El juego del 2 El material necesario para este juego es un tablero como el de la figura y un dado. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

La clase se divide en equipos de 2 y 3 personas, y a cada equipo se le entrega un dado y una copia ampliada del tablero. El juego consiste en tachar números del tablero utilizando potencias de 2 según las siguientes reglas: • Un jugador tira un dado y le sale, por ejemplo, 3. Entonces, utilizando 3 potencias de 2 y sumas y restas, deberá obtener números del tablero y tacharlos. Ejemplo: 20 + 21 + 23 = 1 + 2 + 8 = 11. • Cada jugador anotará en un papel sus operaciones durante los dos minutos que dura su turno. Al finalizar el turno tachará los números obtenidos y dará paso a otro jugador. • El ganador será el que consiga tachar más números.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

4. a) 12 = 1

5 7

112 = 121 1113 = 12321

3

6

11114 = 1234321 b) 111111112 = 123456787654321

4

c) Se comprueba que coinciden. 2

9

1

8

5. 71 soldados

2. 105 veces aparece el número 2.

6. a) 54

3. a) 3 + (2 + 5) ⋅ 3 − 8 + 6 = 22

7. P + 1

b) (5 ⋅ 3 + 9) : 3 − 3 − 18 : (3 + 6) = 3

b) 24

8. La b)

Más recursos en tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 1

Números naturales

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 1

Números naturales

1. Coloca los números naturales del 1 al 9 en los círculos del triángulo de modo que todos los lados de este sumen 20.

2. En un hotel numeran las habitaciones con tres cifras. La primera indica la planta, y las dos siguientes, el número de habitación. Por ejemplo, 115 indica la habitación 15 de la primera planta, y 315, la habitación 15 de la tercera planta. Si el hotel tiene en total 5 plantas con 35 habitaciones por planta, ¿cuántas veces habrán utilizado la cifra 2 para numerar todas las habitaciones?

3. Coloca los paréntesis donde sea necesario para que se cumplan las igualdades de las siguientes expresiones. a) 3 + 2 + 5 ⋅ 3 − 8 + 6 = 22 b) 5 ⋅ 3 + 9 : 3 − 3 − 18 : 3 + 6 = 3 4. a) Calcula los siguientes cuadrados. 12 =

1112 =

112 =

11112 =

b) ¿Qué regularidad observas? ¿Eres capaz de predecir el resultado del cuadrado de 11111111? c) Realiza el producto 11111111 ⋅ 11111111 para comprobar si el resultado que has anticipado en el apartado anterior es correcto. 5. Juan tiene una colección de soldados de plomo. Los quiere colocar formando un cuadrado perfecto, pero no puede. Al tratar de colocarlos así le sobran 7, y si aumenta un soldado por fila, le faltan 10. ¿Cuántos soldados tiene? 6. Observa el ejemplo y reduce las siguientes expresiones a una única potencia. 2 2 123 ⋅9 (2 ⋅ 3) ⋅ 3 26 ⋅ 33 ⋅ 32 = = 6 = 36 192 26 ⋅ 3 2 ⋅3 2

a)

125⋅10⋅6 12

b)

43 ⋅ 32 8

8. Pedro escribe, en cierto orden y en 5 columnas, todos los números naturales desde el 0 hasta el 109 como demostramos. Uno de los siguientes trozos de cuadrícula no aparece en la cuadrícula de Pedro. ¿Cuál? a)

68 65 67 69 78

b) 65 67 87 89

2

4

6

8

1

3

5

7

9

10 12 14 16 18

c) 43 45

76 78

0

54 56 57 59

11 13 15 17 19 20 22 24 26 28 21

Números naturales

Unidad 1

Página fotocopiable

7. Si 4355 ⴢ 4357 ⴝ P, entonces 4356 ⴢ 4356 es igual a………………. .

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 1

Números naturales

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. En el número 42.809: a) ¿Qué posición ocupa el 2? b) ¿Cuántas centenas completas hay? c) ¿Cuántas unidades hay que restar al número para que tenga una centena menos? 2. Completa las siguientes igualdades indicando qué propiedad se aplica en cada caso. a) 8 ⋅ (9 ⋅ ) = ( ⋅ 9) ⋅ 5

b) 7 +  = 4 + 

3. Aplica la propiedad distributiva para expresar las siguientes operaciones como producto de dos factores. a) 3 ⋅ 8 + 3 ⋅ 7

b) 15 ⋅ 10 − 8 ⋅ 15

4. Realiza las siguientes operaciones. a) 9 + 15 − 11 + 8

b) 5 ⋅ 3 + 36 : 9 − 7

c) 2 + 5 ⋅ 3 − 7 + 4 ⋅ 6

d) (5 + 3 ⋅ 12 − 1) : 5 − 4

e) 5 + (3 ⋅ 12 − 1) : 5 − 4

f) 5 + 3 ⋅ 12 − (13 + 3) : 4

5. Ángel tiene 48 cromos distintos de una colección de 250. Le regalan 3 sobres de 5 cromos cada uno, de los cuales tiene 8 repetidos. ¿Cuántos cromos le faltan para completar la colección? 6. Completa la siguiente tabla. Producto

Potencia

Base

Exponente

5

2

Se lee

Valor

2⋅2⋅2 34 10 a la quinta 7. Expresa el resultado de cada una de las siguientes operaciones como una sola potencia. a) 23 ⋅ 24

b) (23)

c) 28 : 23

d) 82 : 42

e) 64 : 62

f) 43 ⋅ 23

g) 23 ⋅ 24 ⋅ 23

h) ((22) )

4

8 2

8. Determina el valor de las siguientes expresiones, escribiendo el resultado como una única potencia. a) (23 ⋅ 24) : (26 : 22)

b) 39 : 34 : 33

c) (145 : 75) : 23

9. Calcula la raíz cuadrada exacta de las siguientes cantidades.

Página fotocopiable

a) 38

14

b) 16

c) 10 000

d) 250 000

10. Un aula de 1.º de ESO tiene 25 alumnos. El tutor ha decidido colocarles formando un cuadrado para hacer un debate. Responde a las preguntas con ayuda de dibujos. a) ¿Cuántos alumnos habrá colocado a cada lado del cuadrado? b) ¿Es posible distribuirles a todos formando dos cuadrados?

Unidad 1

Números naturales

Propuesta de evaluación Unidad 1

Números naturales

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) Unidades de millar

b) 428

c) 100

2. a) 8 ⋅ (9 ⋅ 5) = (8 ⋅ 9) ⋅ 5. Se ha aplicado la propiedad asociativa de la multiplicación. b) 7 + 4 = 4 + 7. Se ha aplicado la propiedad conmutativa de la suma. 3. a) 3 ⋅ 8 + 3 ⋅ 7 = 3 ⋅ (8 + 7) = 3 ⋅ 15

b) 15 ⋅ 10 − 8 ⋅ 15 = 15 ⋅ (10 − 8) = 15 ⋅ 2

4. a) 9 + 15 − 11 + 8 = 24 − 11 + 8 = 13 + 8 = 21 b) 5 ⋅ 3 + 36 : 9 − 7 = 15 + 4 − 7 = 19 − 7 = 12 c) 2 + 5 ⋅ 3 − 7 + 4 ⋅ 6 = 2 + 15 − 7 + 24 = 17 − 7 + 24 = 10 + 24 = 34 d) (5 + 3 ⋅ 12 − 1) : 5 − 4 = (5 + 36 − 1) : 5 − 4 = 40 : 5 − 4 = 8 − 4 = 4 e) 5 + (3 ⋅ 12 − 1) : 5 − 4 = 5 + (36 − 1) : 5 − 4 = 5 + 35 : 5 − 4 = 5 + 7 − 4 = 12 − 4 = 8 f) 5 + 3 ⋅ 12 − (13 + 3) : 4 = 5 + 36 − 16 : 4 = 5 + 36 − 4 = 41 − 4 = 37 5. Número de cromos que le regalan: 3 ⋅ 5 = 15 Cromos no repetidos: 15 − 8 = 7 Número de cromos que tiene: 48 + 7 = 55 Número de cromos que le faltan para completar la colección: 250 − 55 = 195 6.

Producto

Potencia

Base

Exponente

Se lee

Valor

2⋅2⋅2

2

3

2

3

2 al cubo

8

3⋅3⋅3⋅3

34

3

4

3 a la cuarta

81

2

5

2

5 al cuadrado

25

10

5

10 a la quinta

100 000

5⋅5

5

10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10

105

7. a) 23 ⋅ 24 = 27 4

b) (23) = 212

c) 28 : 23 = 25

e) 64 : 62 = 62

g) 23 ⋅ 24 ⋅ 23 = 210

d) 82 : 42 = 22

f) 43 ⋅ 23 = 83

h) ((22) ) = 232

c) 100

d) 500

8 2

8. a) (23 ⋅ 24) : (26 : 22) = 27 : 24 = 23 = 8 b) 39 : 34 : 33 = 35 : 33 = 32 = 9 c) (145 : 75) : 23 = 25 : 23 = 22 = 4 9. a) 34 = 81

b) 4

10. a) 5 alumnos por lado Página fotocopiable

b) Sí, en un cuadrado de 3 alumnos por lado y en otro de 4.

Números naturales

Unidad 1

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

2

ESO

Divisibilidad

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *Esta programación la podrás encontrar también en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 2

Divisibilidad

La unidad retoma los conceptos de múltiplos y divisores, ya conocidos por los alumnos de la etapa anterior, pero este es el momento de afianzar y profundizar estos conceptos. Es conveniente tener en cuenta los siguientes aspectos. • Relacionar el concepto de múltiplo y divisor de un número: los alumnos tienen que identificar que cuando un número es múltiplo de otro número dado, también se cumple que el número dado es múltiplo del divisor. • Es muy importante afianzar los criterios de divisibilidad para facilitar y adquirir rapidez en los cálculos. • Intentar que los alumnos prescindan del cálculo de todos los divisores o de los primeros múltiplos para luego elegir el mayor de los divisores comunes o el menor de los múltiplos comunes. Para poder utilizar el algoritmo de cálculo que se propone en esta unidad es necesario que previamente dominen la descomposición factorial de un número natural.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1 Reconocer si un número es múltiplo o divisor de otro. 1.2 Calcular todos los divisores de un número.

1. Conocer y aplicar a la resolución de problemas los conceptos de múltiplos y divisores.

1.3 Plantear y resolver problemas en los que haya que utilizar el concepto de múltiplo o divisor de un número.

• Matemática • Interacción con el mundo físico

1.4 Manejar los criterios de divisibilidad y aplicarlos a la hora de descomponer un número en factores primos.

• Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital

1.5 Descomponer en factores primos un número natural.

2. Conocer y aplicar a la resolución de problemas el cálculo del máximo común divisor y del mínimo común múltiplo.

2.1 Calcular, utilizando la descomposición factorial, el m.c.d. y el m.c.m. de dos números. 2.2 Resolver problemas utilizando el m.c.d. o el m.c.m.

CONTENIDOS • Relación de divisibilidad • Múltiplo de un número • Divisor de un número • Números primos • Números compuestos • Descomposición factorial de un número • Criterios de divisibilidad del 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 y 11

2

Unidad 2

Divisibilidad

• Divisores comunes de varios números • Máximo común divisor de dos números • Algoritmo para el cálculo del m.c.d. • Múltiplos comunes de varios números • Mínimo común múltiplo de dos números • Algoritmo para el cálculo del m.c.m.

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para el correcto desarrollo de esta unidad es necesario que los alumnos dominen la división exacta y entera de números naturales. Por ello es conveniente comenzar la unidad realizando mentalmente divisiones exactas sencillas para que los alumnos apliquen la propiedad fundamental de la división, e identifiquen en ella que el cociente y el divisor son divisores del dividendo, y que el dividendo es múltiplo del divisor y del cociente. Del mismo modo, hace falta repasar el concepto de potencia de un número natural y las propiedades de las operaciones con potencias, en especial el producto de potencias con la misma base, pues resulta necesario a la hora de realizar la descomposición factorial de un número.

2. Previsión de dificultades Los alumnos ya conocen el concepto de múltiplo y divisor de primaria, en este curso es mucho más importante centrarse en la relación de divisibilidad. También suelen conocer el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, pero no utilizan la descomposición factorial para hallarlos. Es importante insistir en la utilidad de este método, para ello se pueden utilizar ejemplos donde vean sus ventajas.

3. Vinculación con otras áreas En las orientaciones dadas en cada epígrafe se concreta más este punto, pero puede ser útil recordar la importancia que han tenido los números primos a lo largo de la historia, así como la relación que tienen con las nuevas tecnologías a la hora de transmitir información codificada.

4. Esquema general de la unidad Al comenzar la unidad, la sección “Desarrolla tus competencias” propone dos actividades basadas en la esfera de un reloj en las que los alumnos tienen que empezar a aplicar los conceptos de múltiplo y divisor.

MÚLTIPLOS Y DIVISORES Múltiplos

El primer epígrafe empieza definiendo la relación de divisibilidad para después recordar el concepto de múltiplo y divisor de un número. Estos dos conceptos se utilizan para construir múltiplos y divisores de un número dado.

Números primos y compuestos Criterios de divisibilidad

El siguiente epígrafe utiliza el concepto de divisor para introducir los números primos y compuestos. Posteriormente se pasa a descomponer un número en factores primos y a recordar los criterios de divisibilidad. Es posible que no todos los alumnos conozcan todos los criterios. Para terminar, se trabaja el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor. Lo más novedoso es la forma de calcularlos, aquí se introduce el algoritmo que utiliza la descomposición factorial para su cálculo.

Divisores

Descomposición factorial

Máximo común divisor de dos números Mínimo común divisor de dos números

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en nueve sesiones: 1.ª Relación de divisibilidad: múltiplos y divisores 2.ª Cálculo de los múltiplos y divisores de un número 3.ª Números primos y compuestos 4.ª Descomposición factorial 5.ª Criterios de divisibilidad 6.ª Divisores comunes. Cálculo del m.c.d. 7.ª Múltiplos comunes. Cálculo del m.c.m. 8.ª Actividades de repaso y de consolidación 9.ª Pon a prueba tus competencias. Matemáticas y sociedad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Divisibilidad

Unidad 2

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias. No obstante, al estar dedicada esta unidad a la divisibilidad y sus propiedades, es la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos la que más presencia tiene.

Competencia para la interacción con el mundo físico Hay a lo largo de la unidad varias referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real.

Competencia social y ciudadana A través del tema de entrada a la unidad se trabaja esta competencia desarrollando un valor crítico ante las diferentes manifestaciones artísticas, a través de los descriptores conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo y ejercitar los derechos, libertades, responsabilidades y deberes cívicos, desarrollar actitudes de cooperación y defender los derechos de los demás.

Competencia cultural y artística A partir del estudio del cuadro de la página de entrada se puede trabajar esta competencia, especialmente desarrollando en el alumno una sensibilidad artística.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprender a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias conciencia y control de las propias capacidades y conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 2

Divisibilidad

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción

Uso de elementos y herramientas matemáticos. Matemática

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

Razonamiento y argumentación.

Poner en práctica procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de la información.

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad. Diferenciar y valorar el conocimiento científico frente a otras formas de conocimiento.

Interacción con el mundo físico

Social y ciudadana

Cultural y artística

Aplicación del método científico en diferentes contextos.

Realizar predicciones con los datos que se poseen, obtener conclusiones basadas en pruebas y contrastar las soluciones obtenidas.

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Ser consciente de la dimensión individual y colectiva de la salud, con actitudes de responsabilidad y respeto hacia los demás y hacia uno mismo.

Desarrollo personal y social.

Tomar decisiones y responsabilizarse de las mismas.

Sensibilidad artística. Conocimiento y aprecio del hecho cultural en general y del artístico en particular.

Adquirir sensibilidad y sentido estético para comprender, apreciar, emocionarse y disfrutar con el arte y otras manifestaciones culturales. Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad

– Conoce y calcula los divisores de un número. – Conoce y aplica la relación de divisibilidad. – Utiliza el concepto de divisor en la elaboración de un razonamiento que resuelve un problema. Toda la unidad

– Descubre las relaciones de multiplicidad que existen en el calendario y los problemas que conllevan. Actividad 8 – Reconoce la utilidad de la relación de divisibilidad a la hora de resolver problemas. Actividad 61 – Analiza la relación existente entre los múltiplos de un número y la posibilidad de ser primos. Actividad 16

– Analiza la periodicidad y coincidencia de las dosis de varios medicamentos. Actividad 71 – Analiza las posibles soluciones del problema eligiendo la más ventajosa. Pon a prueba tus competencias: 72

– Valora y reconoce las regularidades en el arte. Actividades de entrada

– Analiza las distintas formas de organizar información en una superficie. Actividades 24 y 72 – Busca en diferentes páginas de internet para completar información. En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 9, 17 y 35 Autoevaluación

Divisibilidad

Unidad 2

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación intercultural: actividad 8 • Educación medioambiental y ciudadana: actividad 69 • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Matemáticas básicas – Unidad 1. Números naturales Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO – Unidad 1. Números naturales • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 1: Números naturales – Unidad III. Divisibilidad • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I

Otros

SIERRA, M.: Divisibilidad. Madrid, Síntesis, colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, 1989. www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/1esomatmrd03

Otros

Página de la Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatmrd04

6

Unidad 2

• Vídeo Números de Fibonacci y números primos, número 17 de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida por Metrovideo Española, S. L.

Divisibilidad

Sugerencias didácticas Entrada La foto de la entrada permite trabajar la competencia artística mostrando un cuadro basado en la regularidad. Podemos pedir a los alumnos que investiguen sobre la obra de Andy Warhol y que busquen más obras donde aparezcan regularidades de este tipo. Por ejemplo, se puede trabajar con la obra de Warhol 100 Cans. Se puede seguir trabajando esta competencia realizando una investigación sobre los distintos autores que han utilizado este tipo de repeticiones en su obra o proponiendo un mural o dibujo basado en estas repeticiones utilizando distintos múltiplos y divisores.

Desarrolla tus competencias 1. Esta actividad trabaja la competencia matemática mediante el uso de las matemáticas para estudiar y comprender la situación propuesta. 2. Esta actividad vuelve a trabajar la competencia matemática de la misma forma que la actividad anterior. Además, con esta actividad se puede trabajar también la competencia cultural y artística, debatiendo sobre la belleza del reloj, o la social y ciudadana, por ejemplo, al realizar una investigación sobre las principales características del Renacimiento italiano.

1. Múltiplos y divisores • Conviene recordar los conceptos de múltiplo y divisor con ejemplos sencillos de la vida cotidiana. Se puede pedir a los alumnos que aporten su experiencia particular. Dado que es posible que no sean capaces de encontrar alguna situación en la que se utilice esta idea, conviene tener presentes algunos ejemplos como: – El número de cromos de una colección que se pueden comprar si en cada sobre entran 6 cromos. – La distribución de los 24 alumnos de una clase en grupos de 6, 3 y 4, respectivamente. – El precio de un determinado número de kilos de manzanas, sabiendo que un kilo cuesta 2 euros. • Una vez que hayan recordado los conceptos de múltiplo y divisor de un número, conviene que identifiquen la relación que hay entre ambos. Es interesante que, a partir de una división exacta, y después de haber aplicado la propiedad fundamental, se establezcan las relaciones posibles: D=d·c D es múltiplo de d y también de c. D y c son divisores de D. D es divisible por d y también por c. • Para calcular los múltiplos de un número es interesante que los alumnos los identifiquen con la tabla de multiplicar de ese número, pero en este caso no acaba en el 10, sino que los múltiplos de un número se encuentran en la tabla infinita del mismo. • Para calcular todos los divisores de un número, les indicaremos que lo más práctico es hacerlo por parejas y,

sobre todo, de un modo ordenado. Para ello conviene poner más ejemplos que los que vienen en el epígrafe del libro. Cuando se trate de calcular los divisores de números grandes se puede aconsejar la ayuda de la calculadora. Se va dividiendo por 2, 3, 4… hasta que el cociente obtenido sea menor que el divisor, anotando los divisores y cocientes cuando la división sea exacta. 8. La realización de esta actividad puede abrir una discusión y debate sobre el motivo por el que se creó el calendario gregoriano y, sobre todo, por la relación y la importancia de las matemáticas en ese cambio. Otra posibilidad es realizar un trabajo sobre otros calendarios que han existido en la antigüedad o con otros calendarios que conviven con el nuestro, por ejemplo, el calendario chino. De esta forma además podemos trabajar la competencia cultural y artística a través de la sensibilización para interactuar con las diversas culturas aceptando las diferencias.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1, 2, 4, 36, 37 y 67

Medio

3, 5 a 8, 38 a 40 y 60

2. Números primos y números compuestos • Es prioritario que los alumnos conozcan la importancia que tienen los números primos en las matemáticas, así como la relación con otras áreas. Por este motivo es aconsejable dedicar bastante tiempo al ejercicio sobre la criba de Eratóstenes, siendo muy útil la elaboración de un mural que se puede colgar en el aula. • En cuanto a la descomposición factorial, hay que dejar claro que es muy importante agrupar los factores iguales como potencias, para poder utilizarlo en el siguiente epígrafe. • Antes de empezar con los criterios de divisibilidad, conviene saber cuáles son los que recuerdan y, sobre todo, qué criterios son nuevos para ellos, a fin de trabajarlos de una forma más intensa. • Los criterios de divisibilidad se pueden introducir escribiendo una lista con múltiplos del número que estamos estudiando y su criterio, y buscar regularidades. Se puede empezar por el criterio de divisibilidad del 5, que se observa fácilmente; después, pasar al criterio de divisibilidad del 2, con el que posiblemente necesiten alguna ayuda. Es posible que los alumnos no sean capaces de descubrir el resto de criterios, pero se les puede ir dirigiendo hasta que lo consigan. • Una vez que se hayan visto los criterios de divisibilidad, se volverá a reforzar el concepto de número primo, ahora utilizando estos criterios. 16. Con este ejercicio, además de la competencia de interacción con el mundo físico, se puede trabajar la competencia social y ciudadana mediante el conocimiento y la comprensión de la realidad histórica y su carácter evolutivo. Se pueden trabajar los conocimientos matemáticos y el momento histórico en que Eratóstenes elaDivisibilidad

Unidad 2

7

Sugerencias didácticas

boró este algoritmo de búsqueda de números primos, así como la utilidad y la vigencia después del transcurso de los años. También podemos trabajar la competencia digital completando la información del margen sobre la criptografía o informar a los alumnos de que desde 1951, todos los nuevos números primos encontrados han sido hallados con ayuda del ordenador.

veniente mezclar los ejercicios que se resuelven con máximo común divisor o con mínimo común múltiplo para que los alumnos analicen cuál de los dos conceptos resuelve el problema.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

25, 26, 31 y 56 a 59

Medio

27 a 30, 32 a 34, 63 y 64

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

10 a 13, 41 y 43 a 49

Medio

14 a 16, 42, 50 y 51 68

Alto

3. Divisores comunes de dos números • Habitualmente, los alumnos tienden a prescindir del algoritmo, a escribir todos los divisores de cada número y a elegir los divisores comunes para después elegir el mayor de ellos. Se les tiene que hacer ver la utilidad del nuevo algoritmo proponiendo el cálculo del máximo común divisor de números grandes, donde la elaboración de la tabla con los múltiplos sea pesada. • Para que no se olviden del algoritmo, habrá que explicarlo un poco, indicando que se toman los factores comunes porque se quiere que sea divisor de todos, y que se toma el menor exponente precisamente por la misma razón. • Habrá que hacer múltiples ejemplos, para que vuelvan a practicar la descomposición factorial y para que después no la confundan con el cálculo del mínimo común múltiplo. 24. Trabajamos la importancia del tratamiento de la información sobre todo en el apartado d de esta actividad. Aquí relacionamos la actividad con las distintas formas que tienen los planos, atlas o callejeros de organizar la información.

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 65 a 71 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos. 61. Con esta actividad también podemos trabajar la competencia aprender a pensar potenciando el pensamiento creativo. Se puede preguntar si algún lado de la caja puede contener 5 botellas de aceite, si, por ejemplo, puede darse el caso de que la caja sea cuadrada… De esta forma vamos construyendo una forma de pensar hasta llegar a ver la utilidad de emplear la divisibilidad para resolver este problema y otros similares. 71. Podemos utilizar esta actividad para trabajar la competencia para la interacción del mundo físico a través de la importancia de las dosis de los medicamentos. Al trabajar esta actividad se desarrolla en el alumno una conciencia sobre la dimensión de la salud, creando una actitud de responsabilidad ante el uso de los fármacos.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

18, 19, 52 y 53

Medio

20 a 22, 24, 54, 62, 69 y 71

Alto

23 y 70

4. Múltiplos comunes de dos números • Este epígrafe tiene las mismas sugerencias de trabajo que el epígrafe de máximo común divisor, hay que concienciar a los alumnos de la necesidad de aprenderse y entender el algoritmo de cálculo para el mínimo común múltiplo. • Para que lo logren aprender mejor, también se puede explicar, como en el algoritmo del máximo común divisor, por qué motivo se eligen todos los factores y por qué son al mayor exponente. • Una vez explicado tanto el mínimo común múltiplo como el máximo común divisor, habrá que hacer varios problemas en los que se utilice el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo para su resolución. Es con8

Unidad 2

Divisibilidad

Pon a prueba tus competencias 72. Con esta actividad trabajamos varias competencias básicas. La competencia de tratamiento de la información y competencia digital, a través de la transformación de la información que aparece en el enunciado del problema, ya que los alumnos tienen que obtener la información que aparece en el texto y transformarla en un modelo geométrico, y en otra ocasión lo contrario: la información aparece en el modelo geométrico y deben extraerla, analizarla e interpretarla correctamente para encontrar la solución. La competencia lingüística, ya que el alumno utiliza el lenguaje escrito como un instrumento para leer y buscar la información que contiene el texto del enunciado. La competencia para la autonomía personal la trabaja el alumno al planificar el proceso que resuelve el problema, ya que ha de ser capaz de analizar las distintas posibilidades que tiene de resolver el problema valorando la solución más óptima.

Sugerencias didácticas

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias aprender a aprender y autonomía e iniciativa personal. Los

alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Divisibilidad

Unidad 2

9

Actividades de refuerzo Unidad 2

Divisibilidad

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS El concepto de divisibilidad ya se ha tratado en cursos anteriores, pero hay alumnos a los que les cuesta asimilar la terminología y los procedimientos que involucra. Por ello es conveniente: • Recordar los conceptos de múltiplo y divisor con ejemplos cercanos a los alumnos; por ejemplo, se pueden utilizar las distintas formas en las que se puede distribuir una cantidad de objetos formando rectángulos. • Asociar los criterios de divisibilidad con las series numéricas de los múltiplos de 2, 3, 5, 10 y 11, para que una vez vistos los 20 primeros elementos de cada serie, los alumnos puedan comprenderlos y automatizarlos mejor. • Intentar que las primeras descomposiciones de factores que se planteen sean de números sencillos como 12, 18, 20… para que puedan empezar a hacerlas mentalmente, y luego, enseñarles a hacerlas de una forma ordenada, indicando la importancia de empezar con orden desde el 2 e ir recorriendo todos los números primos: 3, 5, 7…

ACTIVIDAD DE GRUPO Crucigrama sobre divisibilidad Fermat fue un matemático del siglo XVII que revolucionó la teoría de números. En este crucigrama, en el que muchas de las respuestas están relacionadas con la divisibilidad, los alumnos descubrirán el año de nacimiento del genial matemático.

A

B

C

D

E

HORIZONTALES 1. Tercer múltiplo de 12. m.c.m.(60, 90). 2. Primer número primo de dos cifras. Único número que no es primo ni compuesto. 3. Cuarto múltiplo de 3 dividido por 6. Dos a la sexta. El primer número primo. 4. Primer número de tres cifras divisible por 3, 5 y 7. Dos al cubo. 5. El cuadrado perfecto siguiente a 100. Cualquier número natural elevado a cero. 6. Nada. m.c.m.(36, 120).

F

1 2 3

VERTICALES A. m.c.d.(3, 6). El II romano. Una decena. B. Primer número comprendido entre 60 y 70 que al dividirlo por 2 da de resto 1. m.c.d.(24, 60). C. Año en que nació Fermat. D. El anterior al dos. m.c.m.(9, 15). El anterior al número romano IV. E. Tres elevado a la cuarta. La mayor potencia de 2 que divide a 80. F. Nada. m.c.m.(77, 44) dividido por 11. Nada.

4 5 6

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. La palabra que forman es circo. 2. El segundo día les quedan 24 cromos: – 1 fila de 24 cromos. – 2 filas de 12 cromos. – 3 filas de 8 cromos. – 4 filas de 6 cromos. 3. m.c.m.(44, 66) = 132 m.c.m.(150, 225) = 450 m.c.m.(135, 540) = 540 m.c.m.(12, 72) = 72 Ha viajado en globo.

m.c.d.(44, 66) = 22 m.c.d.(150, 225) = 75 m.c.d.(135, 540) = 135 m.c.d.(12, 72) = 12

Solución de la actividad de grupo

1

A

B

3

6 1

2 3

2

4 5

1

6

0

C

D

E

F

1

8

0

1

1

6

4

2

1

0

5

8

2

1

1 3

6

0

4. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 36 y 60. Divisores de 36: 1, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 2

Divisibilidad

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO

Divisibilidad

Unidad 2

1. Con motivo de la celebración del Día Mundial de la Paz, el centro escolar de Joaquín y Mireia ha organizado una competición. Ayúdales a superar esta prueba. “¿Qué palabra se puede formar con las letras de las tarjetas que tienen un número múltiplo de 6?”. 12 C

21 O

120 R

66 O

222 I

266 P

15 P

206 A

200 E

134 S

286 A

1 008 C

2. Entre Marta y Aldair reúnen 60 cromos de los jugadores de fútbol más importantes de los últimos 10 años. Los van a vender en el mercadillo que el colegio ha organizado a fin de recaudar dinero para la Cruz Roja. Para que sus compañeros puedan verlos bien, quieren colocarlos extendidos formando filas de igual número de cromos. a) ¿De cuántas formas distintas los pueden colocar? b) Si el primer día han venido 36 cromos, ¿de cuántas formas los pueden colocar el segundo día del mercadillo? Solución a) Se trata de colocar los cromos en filas sin que sobre ninguno: 1 fila de 60 cromos, 2 filas de 30 cromos, 3 filas de 20 cromos, 4 filas de 15 cromos, 5 filas de 12 cromos, 6 filas de 10 cromos. 3. En el siguiente dibujo está escondido el medio de transporte que ha utilizado Pilar para viajar por su comunidad autónoma. Para descubrirlo, colorea las casillas según se indica a continuación. • De color rojo las casillas en las que aparezcan el m.c.d. y el m.c.m. de 44 y 66.

18

36

• De verde las casillas en las que aparezcan el m.c.d. y el m.c.m. de 150 y 225.

20

24

132

75

27 135

• De amarillo las casillas en las que aparezcan el m.c.d. y el m.c.m. de 135 y 540.

25

540

132

144

• De marrón las casillas en las que aparezcan el m.c.d. y el m.c.m. de 12 y 72.

54

450 22

120

72 36

• De azul las casillas restantes. 18

9

22

33

9 6

12

66

11

25

4. Rodea con una circunferencia los múltiplos de 4, y con un cuadrado los divisores de 36.

42 9 6

59 4

1

16

12 20

24 8

Página fotocopiable

18

28

36 13

60

Divisibilidad

Unidad 2

11

Actividades de ampliación Unidad 2

Divisibilidad

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los conceptos relacionados con la divisibilidad de esta unidad son un repaso de lo ya visto en cursos anteriores y es posible que algunos alumnos ya los dominen. Con estos alumnos se pueden realizar otros trabajos como: • Problemas de matemática lúdica sobre distribuciones, para que elaboren sus propias estrategias. De esta forma potenciamos su pensamiento matemático y trabajamos la competencia matemática. • Trabajar criterios de divisibilidad distintos de los que aparecen en la unidad. Mediante ejemplos se pueden describir los criterios del 4, del 6 y del 15. • Demostrar propiedades sobre los divisores de un número no estudiadas en la unidad.

ACTIVIDAD DE GRUPO Crucigrama sobre divisibilidad Fermat fue un matemático del siglo XVII que revolucionó la teoría de números. En este crucigrama, en el que muchas de las respuestas están relacionadas con la divisibilidad, los alumnos descubrirán el año de nacimiento del matemático.

A

B

C

D

1 2 3

E

F

HORIZONTALES 1. Tercer múltiplo de 12. m.c.m.(60, 90). 2. Primer número primo de dos cifras. Único número que no es primo ni compuesto. 3. Cuarto múltiplo de 3 dividido por 6. Dos a la sexta. El primer número primo. 4. Primer número de tres cifras divisible por 3, 5 y 7. Dos al cubo. 5. El cuadrado perfecto siguiente a 100. Cualquier número natural elevado a cero. 6. Nada. m.c.m.(36, 120). VERTICALES A. m.c.d.(3, 6). El II romano. Una decena. B. Primer número comprendido entre 60 y 70 que al dividirlo por 2 da de resto 1. m.c.d.(24, 60). C. Año en que nació Fermat. D. El anterior al dos. m.c.m.(9, 15). El anterior al número romano IV. E. Tres elevado a la cuarta. La mayor potencia de 2 que divide a 80. F. Nada. m.c.m.(77, 44) dividido por 11. Nada.

4 5 6

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Como d es divisor de a y b, a = p ⋅ d y b = q ⋅ d. a) d es también divisor de la suma de a y b, pues: a + b = p ⋅ d + q ⋅ d = (p + q) ⋅ d b) d es también divisor de la resta de a y b, pues: a − b = p ⋅ d − q ⋅ d = (p − q) ⋅ d

4. El 28 es un número perfecto. Los divisores de 28 son: 1, 2, 4, 7, 14 y 28. La suma de los divisores es : 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 5.

2. a) Son divisibles por 7: 182, 2.184 y 1.477 b) 574, 1.071 y 3.535 3. Es preciso aplicar los criterios más de una vez: • Por 3: La suma de sus cifras es 36, que es múltiplo de 3. • Por 7: 4.115.865 − 12 = 4.115.853; 411.585 − 6 = 411.579; 41.157 − 18 = 41.139; 4.113 − 18 = 4.095; 409 − 10 = 399; 39 − 18 = 21 = 7 ⋅ 3 • Por 11: (6 + 6 + 5 + 1) − (4 + 1 + 8 + 5) = 0

6. a) 123.123 = 7 ⋅ 17.589 = 11 ⋅ 11.193 = 13 ⋅ 9.471 b) Los números así obtenidos son múltiplos de 1.001, y 1.001 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13. (7 ⋅ 11 ⋅ 13) ⋅ abc = 1.001 ⋅ abc = = (1.000 + 1) ⋅ abc = 1.000 ⋅ abc + abc = abc abc

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 2

Divisibilidad

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 2

Divisibilidad

1. Si el número d es un divisor de otros dos números, a y b: a) ¿Es d divisor del número que resulta al sumar a y b? b) ¿Y del número que resulta de restar a y b? Acompaña tus respuestas de ejemplos concretos.

2. Para averiguar (sin tener que comprobar que la división es exacta) si un número es divisible por 7, le suprimimos la cifra de las unidades, y al número que queda le restamos el doble de la cifra que hemos quitado. Si el resultado de la resta es un número múltiplo de 7, entonces también lo es el número inicial. A veces es necesario aplicar el proceso varias veces. Observa el siguiente ejemplo. 8.715 → 871 − (2 ⋅ 5) = 871 − 10 = 861 861 → 86 − (2 ⋅ 1) = 84 Como 84 = 12 ⋅ 7 es múltiplo de 7, tenemos que el número inicial 8.715 es divisible por 7. a) Señala cuáles de los siguientes números son divisibles por 7: 182

2.184

1.477

2.108

b) Completa los siguientes números para que sean divisibles por 7. 57

107

3

35

3. Comprueba, aplicando los criterios de divisibilidad, que el número 41.158.656 es divisible por 3, 7 y 11.

4. Un número es perfecto si la suma de sus divisores menores que él es igual a dicho número. Por ejemplo, el número 6 es perfecto porque sus divisores son: 1, 2, 3 y 6. La suma de los divisores que son menores que 6 da de resultado 6: 1 + 2 + 3 = 6. Señala cuál de los siguientes números es perfecto. a) 12 b) 15 c) 24 d) 28

5. ¿Eres capaz de distribuir a 18 personas en 6 filas de modo que en cada fila haya el mismo número de personas?

6. Toma un número de tres cifras distintas, por ejemplo, 123. Considera el número de seis cifras consistente en repetir el mismo número a continuación del anterior, 123.123. a) Comprueba que el número obtenido es divisible por 7, 11 y 13.

Página fotocopiable

b) Este fenómeno se repite con cualquier número de tres cifras. Intenta explicar por qué.

Divisibilidad

Unidad 2

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN

Divisibilidad

Unidad 2 APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Escribe tres múltiplos y tres divisores de los siguientes números. a) 10

b) 24

c) 15

d) 30

2. Escribe todos los divisores de los siguientes números. a) 72

b) 30

3. Razona si los siguientes números son primos o compuestos. a) 8

b) 49

c) 13

d) 43

e) 27

f) 97

4. Descompón estos números en producto de números primos. a) 1.200

b) 630

5. Señala en la tabla si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 u 11: Divisible por

2

3

4

5

6

9

10

11

660 1.212 505 700 6. Un agricultor ha recolectado 360 kilogramos de naranjas. ¿De cuántas maneras las puede empaquetar todas en bolsas iguales, teniendo en cuenta que la bolsa de mayor capacidad es de 10 kilogramos? 7. Una ONG ha organizado una “operación kilo” para recaudar comida no perecedera. A la hora de distribuir esta por cajas, han comprobado que se puede empaquetar en cajas de 15, 20 ó 30 kilogramos cada una. ¿Cuántos kilogramos consiguieron si además sabemos que la cantidad que han recaudado está comprendida entre 175 y 200 kilogramos? 8. Calcula el máximo común divisor de 12 y 30.

Página fotocopiable

9. Calcula el mínimo común múltiplo de 30 y 36.

14

10. Para liquidar una papelería, sus dueños quieren hacer lotes iguales que contengan bolígrafos rojos y azules. Tienen 150 bolígrafos azules y 90 rojos. ¿Cuál es el número mayor de lotes que pueden hacer? 11. Antonio y José han coincidido esta mañana en el laboratorio. Si se tienen que hacer análisis cada 18 y 12 días, respectivamente, ¿cuándo volverán a coincidir?

Unidad 2

Divisibilidad

Propuesta de evaluación Unidad 2

Divisibilidad

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) múltiplos: 20, 30, 40 divisores: 1,2, 5 c) múltiplos: 30, 45, 60 divisores: 3, 5, 30

b) múltiplos: 48, 72, 96 divisores: 2, 4, 8 d) múltiplos: 60, 90, 120 divisores: 2, 5, 15

2. a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72 b) 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30

3. Son números primos: 13, 43 y 97. 4. a) 1200 = 24 ⋅ 3 ⋅ 52 b) 630 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 5. 660 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 10 y 11. 1.212 es divisible por 2, 3, 4 y 6. 505 es divisible por 5. 700 es divisible por 2, 4, 5 y 10.

6. Hay que buscar los divisores de 360 menores que 10. Puede empaquetar las naranjas del siguiente modo: En 36 bolsas de 10 kilos, en 40 bolsas de 9 kilos, en 45 bolsas de 8 kilos, en 60 bolsas de 6 kilos, en 72 bolsas de 5 kilos, en 90 bolsas de 4 kilos, en 120 bolsas de 3 kilos, en 180 bolsas de 2 kilos o en 360 bolsas de un kilo. 7. Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, 195… Múltiplos de 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200… Múltiplos de 30: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210… Han recaudado 180 kilos. 8. 12 = 22 ⋅ 3 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 m.c.d.(12, 30) = 2 ⋅ 3 = 6 9. 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 36 = 22 ⋅ 32 m.c.m.(30, 36) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180 10. Hay que calcular el máximo común divisor de 150 y 90. 150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52 90 = 2 ⋅ 32 ⋅ 5 m.c.d.(90, 150) = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30 Se formarán 30 lotes de 5 bolígrafos azules y 3 rojos en cada lote.

Página fotocopiable

11. Hay que calcular el mínimo común múltiplo de 18 y 12. 12 = 22 ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 32 m.c.m.(12, 18) = 22 ⋅ 32 = 36 Coincidirán al cabo de 36 días.

Divisibilidad

Unidad 2

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

3

ESO

Fracciones

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *Esta programación la podrás encontrar también en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 3

Fracciones

Esta unidad continúa con la ampliación de los conjuntos numéricos. Después de estudiar los números naturales, ahora es el momento de introducir el concepto de fracción o número fraccionario. Las operaciones con números naturales como la multiplicación, la división y el cálculo del mínimo común múltiplo, estudiadas en la unidad anterior, se aplicarán en esta para que el alumno adquiera la destreza necesaria en la manipulación de las fracciones. Por este motivo, en esta unidad son muy importantes los siguientes aspectos: • Conseguir que los alumnos asimilen el concepto de fracción y sus distintas aplicaciones: como parte de la unidad, como cociente y como parte de una cantidad. • Manejar la relación de equivalencia entre fracciones. Esto permitirá abordar con sencillez aspectos como la comparación, la ordenación y las operaciones básicas con fracciones. • Reforzar la reducción de fracciones a común denominador. Este es uno de los aspectos que más dificultades suscitan entre los alumnos. Es importante que sientan la necesidad de conseguir fracciones con el denominador común lo más pequeño posible, es decir, utilizando el mínimo común múltiplo.

OBJETIVOS

CRITERIOS EVALUACIÓN

1. Utilizar de forma adecuada las fracciones para recibir y producir información.

1.1 Utilizar de manera adecuada las distintas interpretaciones de una fracción.

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.2 Determinar si dos fracciones son equivalentes. 1.3 Utilizar la amplificación y la simplificación para la obtención de fracciones equivalentes.

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico

1.4 Obtener la fracción irreducible a una dada.

• Social y ciudadana

1.5 Ordenar y comparar un conjunto de fracciones.

• Autonomía e iniciativa personal

2. Calcular expresiones numéricas en las que intervengan las fracciones.

2.1 Realizar operaciones con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones.

3. Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana en los que intervengan las fracciones.

3.1 Plantear y resolver problemas en los que se utilicen las operaciones con fracciones.

• Tratamiento de la información y competencia digital

CONTENIDOS • Fracción como parte de una unidad • Fracción como cociente indicado • Fracción como parte de una cantidad • Fracciones equivalentes • Ampliación y simplificación de fracciones • Fracción irreducible • Comparación y ordenación de fracciones • Suma de fracciones con el mismo y con distinto denominador

2

Unidad 3

Fracciones

• Resta de fracciones con el mismo y con distinto denominador • Multiplicación de fracciones • División de un número natural por una fracción • División de fracciones • Fracciones inversas • Operaciones combinadas con fracciones

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Al comenzar la unidad es necesario que los alumnos tengan claro el concepto de unidad fraccionaria, que manejen con soltura los elementos de una fracción y sepan qué significado tiene cada uno. Del mismo modo, es importante que sepan leer y representar gráficamente fracciones de forma adecuada. Por último, sería recomendable recordar cómo se calcula el mínimo común múltiplo de varios números, para aplicarlo al cálculo de sumas y restas de fracciones con distinto denominador.

2. Previsión de dificultades La principal dificultad que tienen los alumnos es la tendencia a no reducir las fracciones a común denominador antes de sumarlas. Hay que hacerles ver la obligatoriedad de que solo se pueden sumar o restar partes iguales, es decir, fracciones con el mismo denominador. Otra de las principales dificultades, al igual que en la unidad 1, es la jerarquía de las operaciones: suelen sabérsela de memoria, pero no logran aplicarla de modo continuo, es necesario repetirla muchas veces.

3. Vinculación con otras áreas En las orientaciones dadas en cada epígrafe se concreta más este punto; de todas formas, las fracciones están presentes en la mayor parte del resto de las áreas.

4. Esquema general de la unidad Al comenzar la unidad, la sección “Desarrolla tus competencias” propone dos actividades en las que están muy presentes las fracciones. La primera hace referencia a las horas, expresiones como menos cuarto o y media hacen referencia a la parte de una hora que ha pasado o falta por pasar. Otro uso de las fracciones aparece en las balanzas, donde el peso viene representado como una fracción del total de la esfera. El primer epígrafe de la unidad pretende que los alumnos entiendan el concepto de fracción y sus distintas interpretaciones para poder resolver problemas sencillos. A continuación se definen fracciones equivalentes y se explican dos métodos, amplificación y simplificación, para obtener fracciones equivalentes a una dada. También se introduce dentro de este apartado el concepto de fracción irreducible.

FRACCIONES Significado

Parte de una unidad

Fracciones equivalentes

Operaciones Suma

Comparación de fracciones

Resta

Cociente Multiplicación Parte de una cantidad

División Operaciones combinadas

Posteriormente se pasa a la comparación de fracciones con el mismo y con distinto denominador. Como aplicación de estos conceptos se desarrollan los procedimientos para realizar operaciones básicas con fracciones: suma y diferencia de fracciones con el mismo y distinto denominador, y multiplicación y división de números fraccionarios. La unidad acaba trabajando las operaciones combinadas con fracciones.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en diez sesiones: 1.ª y 2.ª Interpretación de una fracción. Identificación de fracciones equivalentes 3.ª y 4.ª Cálculo de fracciones equivalentes. Fracción irreducible 5.ª Comparación de fracciones 6.ª Suma y resta de fracciones 7.ª Multiplicación y división de fracciones 8.ª Operaciones combinadas con fracciones 9.ª Actividades de repaso y de consolidación 10.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Fracciones

Unidad 3

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a las fracciones, es la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos la que más presencia tiene.

Competencia para la interacción con el mundo físico Hay a lo largo de la unidad varias referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. La página de entrada puede enlazar con el deshielo de los polos y trabajar esta competencia concienciando a los alumnos sobre la influencia de las personas en el medioambiente a través de las diferentes actividades humanas.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprender a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias conciencia y control de las propias capacidades y conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja intentando introducir las fracciones a la hora de planificar y realizar proyectos personales.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 3

Fracciones

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción

Lingüística

Matemática

Interacción con el mundo físico

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Comunicación escrita (lectura, escritura, interacción y mediación) en diferentes contextos.

Conocer y comprender diferentes tipos de textos con distintas intenciones comunicativas.

Uso de elementos y herramientas.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

Autonomía e iniciativa personal.

– Conoce los distintos usos de las fracciones. – Realiza operaciones con fracciones. Toda la unidad

– Interpreta en forma de fracción el número de latidos del corazón.

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento.

Aplicación del método científico en diferentes contextos.

Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos (académico, personal y social).

– Calcula, interpreta y compara partes de la superficie terrestre. Pon a prueba tus competencias: 91

Desarrollo personal y social.

Conocer y comprender la realidad histórica y social del mundo y su carácter evolutivo.

– Interpreta la realidad social que rodea al alumno a través de las fracciones como parte de la unidad. Actividad 23 – Trabaja con el tangram, juego de origen chino. Actividad 6

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Ejercitar los derechos, libertades, responsabilidades y deberes cívicos. Desarrollar actitudes de cooperación y defender los derechos de los demás.

– Calcula la parte de los ingresos que supone un gasto en una familia analizando su posible viabilidad. Actividad 39

Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

– Transforma una información utilizando fracciones. Desarrolla tus competencias: 1 y 2 Actividad 51 – Expresa una parte de una superficie como una fracción. Actividades 31, 43 y 44 – Establece una relación entre la escala musical y las fracciones. Actividad 95

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en diferentes páginas de internet para completar información. En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 17, 33 y 52 Autoevaluación

Conocer y poner en práctica las fases de desarrollo de un proyecto. Planificar, identificar objetivos y gestionar el tiempo con eficacia.

– Analiza el gasto de gasolina a la hora de planificar un viaje. Actividad 92

Social y ciudadana

Tratamiento de la información y competencia digital.

– Analiza e interpreta correctamente las fracciones que aparecen en unas instrucciones. Pon a prueba tus competencias: 93 y 96

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Planificación y relación de proyectos.

Actividad 15

Fracciones

Unidad 3

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación en comunicación: actividades 93 y 96 • Educación intercultural: actividad 91 • Educación medioambiental: actividad de entrada • Educación ciudadana: actividad 39

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación por competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Matemáticas básicas – Unidad 1. Números naturales

Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO – Unidad 3. Fracciones y decimales • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 2: fracciones y decimales – Unidad I. Números fraccionarios • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I

Otros

Internet

SM

LINARES, S. y SÁNCHEZ, M. V.: Fracciones. Madrid, Síntesis, colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, 1989. www.smconectados.com www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/1esomatmrd05

Otros

El programa informático Clic 3.0, cuya distribución es gratuita para usos educativos y no comerciales. Se puede descargar de la página web:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatmrd06

6

Unidad 3

• Vídeo Fracciones y porcentajes, número 3 de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida por Metrovideo Española, S. L. • Dados, ruletas, dominós y el tangram, que puede resultar un elemento motivador, pues sus fichas se relacionan unas con otras mediante fracciones.

Fracciones

Sugerencias didácticas Entrada La foto de la entrada permite trabajar la competencia para la interacción con el mundo físico. Podemos relacionar dicha foto con el problema del deshielo de los polos por el cambio climático. De esta forma creamos en el alumno una sensibilización ante los cambios que está produciendo la actividad humana. Podemos seguir en esta línea proponiendo a los alumnos que investiguen sobre la fracción de los polos que ha desaparecido por el deshielo o que busquen la relación que existe entre el deshielo de los polos y la subida del nivel del mar, con los problemas que puede conllevar.

Esta actividad también trabaja la competencia para el tratamiento de la información transformando la relación entre cada pieza y el total en una fracción.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1 a 4, 7, 53 a 58 y 60

Medio

6, 59, 72 a 75, 81 y 89

Alto

90

2. Fracciones equivalentes Desarrolla tus competencias 1. Esta actividad trabaja la competencia de tratamiento de la información a través de la transformación de la información que suministra la esfera de un reloj a una fracción para posteriormente interpretarla. 2. Al igual que en la actividad 1, esta actividad trabaja la competencia del tratamiento de la información a través de la transformación de la información suministrada por la esfera de la balanza a una fracción para posteriormente compararla e interpretarla.

1. Interpretación de una fracción • Es necesario presentar a los alumnos situaciones de la vida diaria en las que aparezcan fracciones, para que vean la importancia y utilidad que tiene el manejo de las mismas. • Sería aconsejable dividir la clase en grupos y que cada uno de ellos proponga varias situaciones cercanas donde aparezcan las fracciones para posteriormente debatir en clase cuál de los usos presentados en este epígrafe corresponde a las fracciones de sus ejemplos. • A la hora de trabajar la fracción como una parte de la unidad, las representaciones gráficas que aparezcan, si es posible, es mejor que se realicen en hojas cuadriculadas para que sean lo más exactas posible. • Una vez explicadas todas las posibilidades de las fracciones, es conveniente realizar ejercicios donde se mezclen los distintos usos de ellas. Al mezclar los distintos usos de las fracciones e identificar el uso que se hace de ellas, se aclaran las tres posibilidades que se presentan en este epígrafe. 6. Esta actividad permite trabajar la competencia social y ciudadana al realizar una labor de investigación sobre el origen del juego del tangram. De esta forma podemos acercar a nuestros alumnos a otras culturas distintas. A la hora de realizar esta actividad puede ser conveniente la presencia física de un tangram para que los alumnos puedan establecer la relación entre las distintas piezas que lo forman. Con esta actividad además estamos trabajando la competencia matemática al establecer la práctica de procesos de razonamiento que lleven a la solución del problema y a obtener la información necesaria.

• Es conveniente detenerse en la definición de fracciones equivalentes: “representan una misma parte de la unidad”, y poner bastantes ejemplos tanto numéricos como gráficos. • El método de los productos cruzados para comprobar si dos fracciones dadas son o no equivalentes no debe introducirse hasta que los alumnos hayan asimilado bien el concepto de fracciones equivalentes. • Hay una tendencia generalizada a confundir la definición de fracciones equivalentes con el método para comprobar cuándo dos fracciones son equivalentes. • En cuanto a la fracción irreducible, hay que trabajar la conveniencia de utilizar el máximo común divisor para llegar a ella en un solo paso. También conviene razonar cuál es el motivo de dividir por el máximo común divisor para llegar a la fracción irreducible, tan solo hay que recordarles a los alumnos que estamos dividiendo por el mayor de los divisores comunes el numerador y el denominador, es decir, no puede existir otro número mayor que simplifique la fracción. 15. Con esta actividad trabajamos la competencia de interacción con el mundo físico a través del conocimiento del cuerpo humano. Podemos decir a los alumnos que se cuenten las pulsaciones que tienen en 10 segundos y observar si hay algún alumno que tiene un número alto de pulsaciones y analizar cuál es el motivo.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

8 a 11, 13 a 15, 61 y 62

Medio

12, 16, 63 y 84

Alto

83

3. Comparación de fracciones • Cuando las fracciones que vayamos a comparar tengan los mismos numeradores o los mismos denominadores, es recomendable que los alumnos realicen la representación gráfica de las mismas para que de este modo lleguen por sí solos a las conclusiones que les permitan enunciar la regla general. • Para comparar fracciones con distinto denominador, insistiremos en que deben reducirlas a denominador común por alguno de los métodos estudiados: ampliación, reducFracciones

Unidad 3

7

Sugerencias didácticas

ción y, sobre todo, mediante el cálculo del mínimo común múltiplo de los denominadores. 23. A raíz del estudio del diagrama de sectores podemos establecer un debate sobre la importancia de realizar un deporte para llevar una vida saludable; de esta forma, además de la competencia social y ciudadana, podemos trabajar la competencia de interacción con el mundo físico.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

18, 19, 64 y 65

Medio

20 a 23 22

Alto

ocurrirá a ellos mismos en un futuro– tiene que dedicar una fracción de sus ingresos a pagos tan importantes como la hipoteca de una vivienda. En este momento, partiendo de un sueldo medio podemos analizar cuáles son los gastos de una casa y asignarles una fracción para después calcular cuánto dinero sobraría al mes. 43 y 44. En estos ejercicios podemos trabajar la competencia de tratamiento de la información de la misma forma que lo hemos hecho en el ejercicio 31 del epígrafe anterior.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

34 a 37, 43, 68, 78 y 79

Medio

38 a 42 y 44

4. Suma y resta de fracciones • Comenzaremos haciendo sumas y restas con el mismo denominador y después pasaremos a realizarlas con distinto denominador, insistiendo en la reducción a común denominador. • Resulta muy útil poner ejemplos numéricos sencillos apoyados en las representaciones gráficas correspondientes. 31. Este tipo de actividad aparece numerosas veces en la unidad, tenemos que traducir una información geométrica a una información numérica a través de las fracciones interpretadas como una parte de la unidad. Para trabajar este ejercicio es conveniente dar a los alumnos una fotocopia de la figura para que puedan recortarla y ver qué relaciones tiene cada una respecto del total.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

24 a 28, 66, 67, 76, 77, 80 y 86

Medio

29, 30, 32, 85 y 87

Alto

31 y 82

5. Multiplicación con fracciones • Conviene primero trabajar el producto de un número por una fracción para después relacionar el producto de dos fracciones con lo anteriormente explicado. • Es importante recordar a los alumnos la necesidad de poner el punto que indica la multiplicación, que ha de estar siempre a la altura de las líneas de las fracciones y nunca en los numeradores o denominadores. • El concepto de fracción inversa es importante relacionarlo con el elemento neutro de la multiplicación y recordar que no solo hay una fracción inversa, ya que existen infinitas fracciones equivalentes. La fracción que se obtiene intercambiando los términos de la fracción es tan solo una de ellas, aunque es la más rápida de conseguir. 39. Con este ejercicio podemos trabajar la competencia social y ciudadana debatiendo sobre el problema actual de la vivienda. La mayoría de las familias –igual que les 8

Unidad 3

Fracciones

6. División con fracciones • Al igual que en las multiplicaciones, empezaremos con la división de un número natural por una fracción para después relacionar la división de fracciones con lo anterior. • Se puede utilizar la inversa de una fracción para convertir la división entre fracciones en una multiplicación. • Habrá que recordar otra vez dónde se ponen los signos de operación entre fracciones. • Las operaciones combinadas con fracciones posiblemente sean lo que más cueste a los alumnos. Es útil, antes de realizar este tipo de actividad con fracciones, recordar alguno de los ejercicios ya hechos en la primera unidad con números naturales, para que perciban que no es nada nuevo, tan solo hay que volver a aplicar la jerarquía de operaciones ya aprendida. Lo normal es que se aprendan de memoria el orden en el que tienen que efectuar las operaciones, pero que no sean constantes en su aplicación. Suele ser muy útil, siempre que se corrija un ejercicio, preguntar en cada paso cuál es la siguiente operación que hay que hacer. 51. Con esta actividad, al transformar el modo de expresar una cantidad, trabajamos la competencia de tratamiento de la información. Una vez acabada esta actividad, se pueden sugerir nuevas actividades cambiando el contenido de las botellas.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

45 a 48, 69, 70 y 88

Medio

49 a 51 y 71

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 72 a 90 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral los contenidos

Sugerencias didácticas

adquiridos en la unidad, aplicarlos a contextos más cotidianos. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos.

Pon a prueba tus competencias 91. Con esta actividad trabajamos la competencia de interacción con el mundo físico desde varios aspectos. Primero, al calcular la parte de superficie que ocupan distintos continentes estamos utilizando las fracciones para analizar e interpretar la relación que existe entre la superficie de los distintos continentes. Otro punto de vista vendría a la hora de ampliar la infor1 mación del ejercicio sobre cómo está repartido ese 5 de agua en la superficie terrestre. Podemos hacer ver a los alumnos que la fracción que representa el agua dulce de fácil acceso es muy pequeña, y contribuir de esta forma a la adquisición, por parte del alumno, de un compromiso activo a la hora de conservar un recurso bastante escaso en algunas partes del planeta como es el agua potable. 92. Podemos continuar trabajando esta actividad ampliándola a otras situaciones en las que intervienen las fracciones a la hora de realizar un viaje. Por ejemplo, podemos pedir a los alumnos que dividan un viaje de varios días en etapas, de forma que en los primeros días se realicen tramos mayores que en los últimos; dividir en partes el presupuesto asignado al viaje…

los textos que aparecen en las instrucciones de construcción de la cometa o de elaboración de la pizza. En ambos casos hay que extraer y analizar la información numérica que aparece, para después utilizar la fracción necesaria. 95. Con esta actividad trabajamos la relación entre dos lenguajes distintos, el matemático y el musical. Además podemos trabajar la competencia social y ciudadana proponiendo un trabajo de investigación sobre el origen de la escala pitagórica. De esta forma damos a conocer a los alumnos la realidad histórica y su carácter evolutivo.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con esta actividad desarrollamos las competencias aprender a aprender y autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.

Además de esta competencia, también se trabaja la competencia de tratamiento de la información a través de la obtención de información mediante una fracción.

Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo.

93 y 96. Con estas actividades, aparte de la competencia matemática, que está implícita en las mismas, también se trabaja la competencia lingüística analizando

Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Síntesis de la unidad

Fracciones

Unidad 3

9

Actividades de refuerzo Unidad 3

Fracciones

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS En esta unidad sería suficiente si los alumnos aprendieran los conceptos básicos para trabajar los números decimales, sobre todo, el uso de una fracción como cociente, para luego poder establecer las equivalencias entre fracciones y números decimales. Por ello es importante trabajar los siguientes aspectos: • Insistir en la lectura y escritura de fracciones. • Realizar numerosos ejercicios en los que se practique la ordenación de fracciones con igual denominador, igual numerador y, por último, distinto denominador. • Tratar de que los alumnos sean capaces de realizar, con cierta soltura, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, procurando no mezclar operaciones que tengan distinta jerarquía.

ACTIVIDAD DE GRUPO Regletas de colores Haremos grupos de tres o cuatro alumnos y repartiremos a cada grupo regletas de colores como las siguientes. negra roja amarilla azul violeta verde

A continuación propondremos las siguientes actividades. 1. Encontrar (y expresar con fracciones) la relación que hay entre las distintas regletas. Solución: Si consideramos que la regleta de color negro representa la unidad, las relaciones son: 1 1 1 1 1 regleta roja = regleta amarilla = regleta azul = regleta violeta = regleta verde = 3 2 4 5 10 2. Encontrar fracciones equivalentes. Por ejemplo: 3 Si tengo tres regletas de color violeta, , ¿cuántas necesito de color verde para que midan lo mismo? 5 3 6 son fracciones equivalentes. Solución: Necesito 6 regletas verdes. Por tanto, y 5 10

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

3. a)

b) +

4. a) 3 porque no se 4 ha dividido la unidad en 4 partes iguales.

2. El pentágono no representa la fracción

5. a)

43 30

c) +

=

b)

3 2

c)

1 7

=

d)

–

11 18

b)

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 3

Fracciones

=

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 3

Fracciones

1. Colorea cada una de las figuras para que representen las fracciones que se indican. 2 5 3 a) b) c) 3 8 5

3 2. ¿Cuál de los siguientes dibujos no representa la fracción ? Razona tu respuesta. 4 a) b) c)

3. Las siguientes fichas de dominó representan sumas y restas de fracciones. Añade a las fichas que están en blanco los puntos necesarios para que se cumplan las igualdades. a)

b) +

=

c) +

=

–

=

4. Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones con distinto denominador. 3 5 2 5 a) + b) + 5 6 3 6 c)

5 12 − 7 21

d)

8 5 − 9 18

5. Observa cómo realizamos gráficamente el producto de fracciones

1 3 ⋅ . 3 5

3 — 5

3 — 5 1 — 3 1 — 3

1 3 3 ⋅ = 3 5 15

Página fotocopiable

¿Serías capaz de realizar gráficamente los siguientes productos de fracciones? 1 2 1 3 a) ⋅ b) ⋅ 2 3 4 5

Fracciones

Unidad 3

11

Actividades de ampliación Unidad 3

Fracciones

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Estos alumnos han alcanzado un nivel satisfactorio de conocimientos; por tanto, necesitarán algunas actividades con un grado de dificultad mayor. Con estos alumnos conviene trabajar los siguientes aspectos: • Aumentar la complejidad de los problemas de fracciones, para obligarles a que piensen un poco más. • Trabajar bastante las operaciones combinadas. Es muy importante que se acuerden de que hay que respetar la jerarquía de las mismas. • Se puede trabajar el concepto de número mixto, que suele aparecer cada vez con menos frecuencia y, sin embargo, está presente en numerosas situaciones de la vida cotidiana cercanas al alumno, como puede ser comprar un kilo y medio (1 ½ kg) de carne picada.

ACTIVIDAD DE GRUPO Regletas de colores Haremos grupos de tres o cuatro alumnos y repartiremos a cada grupo regletas de colores como las siguientes. negra roja amarilla azul violeta verde

A continuación propondremos las siguientes actividades. 1. Encontrar (y expresar con fracciones) la relación que hay entre las distintas regletas. Solución: Si consideramos que la regleta de color negro representa la unidad, las relaciones son: 1 1 1 1 1 regleta roja = regleta amarilla = regleta azul = regleta violeta = regleta verde = 3 2 4 5 10 2. Encontrar fracciones equivalentes. Por ejemplo: 3 Si tengo tres regletas de color violeta, , ¿cuántas necesito de color verde para que midan lo mismo? 5 3 6 Solución: Necesito 6 regletas verdes. Por tanto, y son fracciones equivalentes. 5 10

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Almudena ha dejado a deber más dinero.

5. María es la que más ha comido, y Juan, el que menos.

2. Tienen razón María y Jesús.

6. Le faltan 27 euros.

3. Javier y David tuvieron la misma eficacia.

7. Hay muchas posibilidades. Una de ellas:

4. a) b)

2 4 4 7

<
> > 2 6 3 12

6. Ángel encestó;

Como

8. a)

9. a)

10.

3 4

2 3

143

+

1 4

104

>

=

13

143 8

12

10 ⋅ 11

=

13 ⋅ 11

=

110 143

José encestó;

=

8 ⋅ 13 11 ⋅ 13

=

104 143

, Ángel ha obtenido mejores resultados.

+

3 4

=

11

b)

12

8 3 24 ⋅ = =2 3 4 12

b)

2 3

−

3 5

=

10 15

−

9 15

=

1 15

4 2 12 2 : = = 9 3 18 3

⎛5 1⎞ 2 2 2 1 3 + ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = + = + = = 1 ⎟ ⎜ 3 ⎝6 2⎠ 3 6 3 3 3

2

+

8 11

b)

2 3

⎛ 5 1⎞ 2 15 30 5 ⋅ ⎜⎜⎜ : ⎟⎟⎟ = ⋅ = = ⎜⎝ 4 3 ⎟⎠ 2 3 4 12

3 ⎛⎜ 2 1⎞ 3 3 7 3 21 87 ⋅ ⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = + ⋅ = + = ⎟ 2 ⎝⎜ 3 5⎠ 4 2 15 4 30 60

11. Habrá leído

2 7

+

1 5

=

17 35

Le quedará por leer 1 −

Página fotocopiable

7. a)

110

10

. 17 35

=

18 35

.

Fracciones

Unidad 3

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

4

ESO

Números decimales

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *Esta programación la podrás encontrar también en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 4

Números decimales

Antes de comenzar con la unidad es necesario hacer ver a los alumnos que con los números naturales y los números enteros no podemos resolver todas las situaciones que se nos presentan en la vida cotidiana. De ahí que necesitemos de los números decimales. Existen muchos ejemplos que muestran la utilidad y el manejo diario de los números decimales, como: • Al calcular la nota media obtenida en una evaluación. • Al leer titulares de la prensa relacionados con marcas deportivas, como “El jamaicano Usain Bolt ganó la medalla de oro en los Juegos Olímpicos de Beijing en los 100 metros lisos con una marca de 9.58, récord del mundo incluido”. Los números decimales también están relacionados con conceptos estudiados en unidades anteriores, como son la división no exacta de números naturales y las fracciones. Al acabar la unidad es importante que los alumnos sepan leer, escribir e identificar los números decimales, pudiendo aparecer de forma directa o mediante el resultado de dividir el numerador de una fracción entre el denominador.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS 1. Utilizar de forma adecuada los números decimales para recibir y producir información en actividades relacionadas con la vida cotidiana.

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1 Identificar y descomponer números decimales, teniendo en cuenta el valor posicional de cada una de sus cifras. 1.2 Relacionar fracciones decimales con números decimales. 1.3 Comparar y ordenar números decimales.

• Matemática • Interacción con el mundo físico

1.4 Representar números decimales. 2. Utilizar las aproximaciones eligiéndolas y valorándolas de forma conveniente en la resolución de problemas.

2.1 Realizar redondeos y truncamientos de números decimales para aproximarlos a las unidades, décimas, centésimas…

3. Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana en los que intervengan los números decimales, utilizando las cuatro operaciones básicas.

3.1 Realizar de forma correcta sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números decimales asociados a contextos cotidianos.

• Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

CONTENIDOS • Números decimales: órdenes decimales • Unidad decimal • Fracción decimal • Ordenación de números decimales • Representación de números decimales • Suma de números decimales • Resta de números decimales

2

Unidad 4

Números decimales

• Multiplicación de números decimales y por la unidad seguida de ceros • División de números decimales y por la unidad seguida de ceros • Paso de fracción a decimal • Redondeo de números decimales • Truncamiento de números decimales

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Al comenzar la unidad es fundamental que los alumnos recuerden conceptos sencillos y básicos como pueden ser las fracciones decimales o las unidades decimales. También necesitaremos que reconozcan las dos partes que componen un número decimal (entera y decimal), así como los distintos contextos en los que pueden surgir estos números: cociente de una división no exacta, fracciones decimales o la medida de ciertas cantidades. Para trabajar este último aspecto puede ser enriquecedor que los alumnos lleven al aula distintos recortes de prensa en los que aparezcan números decimales, para así comentar las distintas situaciones de la vida diaria en las que podemos encontrarlos.

2. Previsión de dificultades La mayor parte de los contenidos ya son conocidos por el alumno y es posible que no se presenten grandes dificultades en esta unidad. El único problema que se puede presentar viene a la hora de pasar de fracción a decimal. Si la fracción da origen a un número periódico, cualquier error a la hora de realizar la división nos llevará a no poder hallar las cifras del período. Es aconsejable en este tipo de ejercicio limitar el número máximo de decimales que tienen que sacar los alumnos en la división, para evitar que pierdan mucho tiempo en estas actividades.

3. Vinculación con otras áreas En las orientaciones dadas en cada epígrafe se concreta más este punto; de todas formas, los números decimales están presentes en la mayor parte del resto de las áreas.

4. Esquema general de la unidad Se comienza la unidad tratando las diferentes formas de escribir un número decimal, así como la descomposición en su parte entera y su parte decimal, y la distinción entre el valor posicional de cada cifra, lo cual servirá para introducir los procedimientos que permitirán ordenar un conjunto de números decimales y representar cada uno de ellos en la recta numérica. Posteriormente se pasa a estudiar las operaciones básicas con decimales, se presta especial atención a la multiplicación y división por 10, 100, 1.000…, ya que resultan muy útiles a la hora de efectuar cálculos mentalmente. Todas estas operaciones las aplicaremos a la resolución de problemas cercanos de la vida cotidiana. Se continúa con el truncado y redondeo de números decimales. Es conveniente que vean la importancia de redondear los números decimales a la hora de realizar operaciones con muchos factores en las que no nos interesa el resultado exacto, sino una aproximación del mismo. Se finaliza analizando cómo la calculadora redondea o trunca el número decimal que resulta de una operación.

NÚMEROS DECIMALES Unidades decimales Fracciones decimales

Aproximaciones

Operaciones Suma y resta

Paso de fracción a decimal Ordenación y representación

Multiplicación División

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Unidades decimales y fracciones decimales 2.ª Ordenar y representar decimales 3.ª Suma, resta y multiplicación de números decimales 4.ª División de números decimales 5.ª Paso de fracción a decimal 6.ª Aproximar números decimales 7.ª Actividades de repaso y de consolidación 8.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Números decimales

Unidad 4

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a los números decimales, es la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos la que más presencia tiene.

Competencia para la interacción con el mundo físico Hay a lo largo de la unidad varias referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. La página de entrada puede enlazar con el deshielo de los polos y trabajar esta competencia concienciando a los alumnos sobre la influencia de las personas en el medioambiente a través de las diferentes actividades humanas.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas, en particular a la hora de aproximar los números decimales que aparecen como resultado de alguna operación en la calculadora.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprender a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias conciencia y control de las propias capacidades y conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja intentando introducir las fracciones a la hora de planificar y realizar proyectos personales.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 4

Números decimales

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

1.er nivel de concreción 2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad.

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

Matemática

Adoptar una disposición a una vida física saludable en un entorno social. Interacción con el mundo físico

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Ser consciente de la dimensión individual y colectiva de la salud, con actitudes de responsabilidad y respeto hacia los demás y hacia uno mismo.

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Ejercitar los derechos, libertades, responsabilidades y deberes cívicos.

Compromiso solidario con la realidad personal y social.

Comprometerse con la mejora de la sociedad y la defensa de los desfavorecidos.

– Conoce la relación que existe entre los números decimales y las fracciones. – Realiza operaciones con números decimales y fracciones. – Realiza aproximaciones de números decimales. – Utiliza los números decimales en la resolución de situaciones cotidianas. Toda la unidad – Analiza y ordena los resultados de una carrera de atletismo y valora los beneficios de la práctica deportiva. Actividad 79 – Interpreta la medida que muestra un termómetro clínico. Desarrolla tus competencias: 1 – Analiza información para elegir la mejor opción de compra y ejercer así un consumo responsable. Pon a prueba tus competencias: 80

Social y ciudadana – Calcula la suma total de alimentos de una campaña de donación. Actividad 73 – Transforma una medida de tiempo expresada en minutos en forma decimal a minutos y segundos, y viceversa. Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión. Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Actividad 5 – Organiza y compara información expresada en decimales o fracciones, utilizando su expresión decimal. Actividades 17 y 38 – Busca en diferentes páginas de internet para completar información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 9, 18, 24, 29, 39 y 47 Autoevaluación

Autonomía e iniciativa personal

Desarrollo de la autonomía personal.

Desarrollar la capacidad de elegir con criterio propio en el ámbito personal y social.

– Calcula el importe de una lista de la compra. Actividad 23

Números decimales

Unidad 4

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación ciudadana: actividades 73 y 80.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Matemáticas básicas – Unidad 3. Números decimales Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO – Unidad 3. Fracciones y decimales • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 2: Fracciones y decimales – Unidad II. Números decimales • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I

Otros

Internet

SM

Otros

SERRANO MARUGÁN, E.: ¿Ojalá no hubiera números? Madrid, Nívola, 2002. www.smconectados.com www.librosvivos.net El programa informático Clic 3.0, cuya distribución es gratuita para usos educativos y no comerciales. Se puede descargar de la página web

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatmrd06

6

Unidad 4

• Vídeo Investigación sobre los decimales, número 12 de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida por Metrovideo Española, S. L. • Vídeo número 10 de Investigaciones matemáticas, que trata sobre los números decimales. Producido por BBC Enterprises Limited y distribuido por Mare Nostrum. • Prensa diaria, facturas de compra, recibos de luz, de agua, etc.

Números decimales

Sugerencias didácticas Entrada La foto de entrada permite trabajar la competencia de interacción con el mundo físico, se puede analizar y valorar cómo el desarrollo científico ha influido en el deporte. Por ejemplo, gracias al mejor conocimiento del cuerpo humano se han desarrollado nuevas técnicas de entrenamiento que permiten mejorar las marcas. Otro ejemplo que podemos trabajar es analizar cómo la tecnología ha mejorado la forma de medir los tiempos en cualquier tipo de competición. La exactitud de estas mediciones permite registrar quién llega más rápido a la meta o logra saltos más largos.

Desarrolla tus competencias 1. Esta actividad trabaja la competencia de interacción con el mundo físico a través del estudio de la información que nos da un termómetro clínico. Podemos hacer que los alumnos investiguen sobre los intervalos de temperaturas que corresponden a diferentes estados de salud. Después podemos inventarnos varias temperaturas corporales de posibles pacientes y decir cuál sería su estado de salud. Los intervalos que relacionan temperatura corporal y enfermedad son los siguientes: – Normal: entre 36,5 y 37,5 °C. – Hipotermia: inferior a 36 °C. – Febrícula: entre 37,1 y 37,9 °C. – Hipertermia o fiebre: igual o superior a 38 °C. 2. Esta actividad trabaja la competencia del tratamiento de la información relacionando la información suministrada por la esfera de la balanza con un número decimal.

2. Ordenación y representación de números decimales • La ordenación de los números decimales no suele tener ningún problema para los alumnos, es un concepto bastante trabajado en primaria y tan solo hay que recordarlo. • En cuanto a la representación de los números decimales, hay que hacer especial hincapié en la limpieza y claridad a la hora de representarlos. Es aconsejable que los alumnos utilicen instrumentos de dibujo, como mínimo, una regla graduada. 17. Con esta actividad, además de la competencia de tratamiento de la información, podemos trabajar la competencia para la autonomía e iniciativa personal estableciendo un debate sobre al afán de superación que existe en los atletas, en especial entre los que corren los 100 metros lisos. De esta forma intentamos trasladar al alumno ese espíritu de superación y esfuerzo existente en el atletismo.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

10 a 14, 16, 17, 50, 51 y 76

Medio

15 y 52

3. Suma, resta y multiplicación de números decimales • Antes de comenzar a sumar y restar números decimales es importante tener en cuenta los siguientes aspectos: – La necesidad de añadir ceros (completar con ceros) en la parte decimal para que los dos términos de la suma o resta tengan el mismo número de cifras decimales. – La de colocar los términos de la operación uno debajo de otro con las comas alineadas.

1. Los números decimales • Para introducir el epígrafe se puede llevar al aula una colección de ejemplos y problemas que se presentan en la vida diaria y que no se pueden resolver con los números naturales. Por eso debemos utilizar otros: los números decimales. • Aunque en la unidad no se trabajan números con más de tres cifras decimales, es aconsejable que se repase cómo se leen estos órdenes decimales. • Asociaremos cada número decimal con su fracción decimal, pero también aprovecharemos para ver que existen otras fracciones ordinarias que tienen asociado el mismo número decimal. De esta forma recordaremos el concepto de fracción equivalente, visto en la unidad anterior. 5. Con esta actividad trabajamos la competencia de tratamiento de la información, pues pretendemos crear en los alumnos una actitud crítica ante la información recibida. Los alumnos suelen confundir el sistema decimal con el sexagesimal al expresar las medidas de tiempo.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1 a 4, 7, 8, 48, 49, 62 y 63

Medio

5y6

Si ambos aspectos se ilustran convenientemente con ejemplos concretos que muestren la importancia de hacerlo correctamente, los alumnos se darán cuenta, de un modo práctico, del error que se comete cuando esto no se tiene en cuenta. • La multiplicación de dos números decimales la realizarán como si fueran números naturales y pondrán la coma en el producto, teniendo en cuenta que las cifras decimales son la suma del número de cifras decimales de los factores del producto. • La multiplicación por 10, 100, 1.000… consiste en desplazar la coma hacia la derecha. De la misma forma, si no hay dígitos suficientes, completaremos con ceros. • Se pueden utilizar estrategias de cálculo mental para una mayor agilidad en la realización de algunas multiplicaciones y otras estudiadas en cursos anteriores, como, por ejemplo: – Multiplicar por 0,5 equivale a dividir entre 2. – Multiplicar por 0,25 equivale a dividir entre 4. – Multiplicar por 2,5 equivale a multiplicar por 10 y luego dividir entre 4. – Multiplicar por 0,75 equivale a multiplicar por 3 y luego dividir entre 4.

Números decimales

Unidad 4

7

Sugerencias didácticas

23. Esta actividad permite trabajar la competencia para la autonomía personal a través de un debate sobre el tipo de responsabilidades que tienen los alumnos en su casa. Por ejemplo, la realización de la lista de la compra semanal y un posterior análisis de los precios en distintos establecimientos puede conllevar un ahorro familiar. Ampliando la actividad de esta forma también estamos trabajando la competencia social y ciudadana a la hora de analizar y elegir el establecimiento que ofrece una compra más barata y con más calidad. Los alumnos están tomando decisiones y se responsabilizan de las mismas.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

19 a 23, 53 a 57, 65, 69, 70, 73, 77 y 78

Medio

66, 67 y 71

4. División de números decimales • Hay que insistir en la necesidad de que en la división de números decimales, el divisor no debe tener cifras decimales, por este motivo transformamos la división en otra equivalente multiplicando el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el divisor. • Es aconsejable, para una mayor agilidad en la realización de algunas divisiones, recurrir a estrategias de cálculo mental, como, por ejemplo: – Dividir por 0,5 equivale a multiplicar por 2. – Dividir por 0,25 equivale a multiplicar por 4. – Dividir por 0,75 equivale a multiplicar por 4 y dividir entre 3.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

25, 26, 58, 59, 74 y 75

Medio

27, 28, 79 y 80

5. Paso de fracción a decimal • La relación entre las fracciones y los números decimales ya es conocida por los alumnos en la etapa anterior. Conviene reforzar este concepto realizando actividades en las que el cociente sea un número decimal exacto. Es importante, una vez se hayan encontrado diferentes expresiones decimales exactas, proponer algunas fracciones en las que se vea que el resto se estabiliza para hacer comprender a los alumnos que no todas las fracciones tienen una expresión decimal exacta. En este momento introducimos los números periódicos. • Aunque en el texto no se cita, conviene trabajar la diferencia entre los números periódicos puros y los periódicos mixtos realizando distintas actividades en las que al dividir aparezcan números decimales de los dos tipos. • También puede ser útil pedir a los alumnos que busquen la expresión decimal de una fracción cuyo resultado sea un número periódico con un período compuesto por muchas cifras; por ejemplo, se puede proponer el cociente que también se va a proponer en el epígrafe sobre la 8

Unidad 4

Números decimales

calculadora, 3.737 : 3.367; de esta forma, los alumnos comprueban la diferencia entre hacerlo a mano y con ayuda de la calculadora u ordenador. 38. Podemos utilizar esta actividad para mostrar a los alumnos la presencia de las fracciones en situaciones cotidianas. La actividad permite trabajar la competencia con el mundo físico al aplicar las fracciones en diferentes contextos, y la competencia de tratamiento de la información a la hora de transformar e interpretar la información que nos suministran las fracciones.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

30 a 36, 60 y 68

Medio

37 y 38

6. Aproximación de números decimales. La calculadora • Hay que hacer ver a los alumnos la simplicidad del truncamiento, tan solo hay que prescindir de la parte que no nos interesa. • Es importante remarcar la importancia del redondeo y practicar con numerosas actividades los distintos casos que se pueden presentar. En especial, aquel en que la cifra de la derecha sea un 5, ya que es el caso que más dudas genera en los alumnos. • Una vez explicado el truncamiento y el redondeo, conviene analizar conjuntamente las analogías y las diferencias, y establecer un debate sobre cuál se cree que es mejor o si depende del uso que se le vaya a dar. • En cuanto a la calculadora, lógicamente será necesaria una por alumno para poder practicar con ella. Es conveniente que los alumnos realicen primero la división propuesta en el libro, 1 : 6, para averiguar si su calculadora trunca o redondea los decimales. Con esta actividad, el alumno trabaja la competencia digital al usar la calculadora o el ordenador para realizar cálculos muy tediosos. Podemos ampliar la actividad 46 proponiendo divisiones que den como resultado números decimales con un período largo. Con ayuda del ordenador, se puede hacer de modo rápido y eficiente; sin embargo, utilizando lápiz y papel, los cálculos son larguísimos, y si se produce el más mínimo error, no descubriremos cuál es el período del número. Por ejemplo, podemos utilizar la división 3.737 : 3.367, que nos da como resultado un número decimal con un período formado por 8 cifras.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

40 a 44, 46 y 61

Medio

45

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su rea-

Sugerencias didácticas

lización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad.

• Lingüística: al comprender y analizar la información de textos publicitarios.

En particular, las actividades 62 a 79 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral los contenidos adquiridos en la unidad. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos.

• Matemática: al usar elementos y herramientas matemáticos a la hora de resolver las distintas preguntas de la actividad.

73. Con esta actividad podemos trabajar la competencia social y ciudadana haciendo reflexionar a los alumnos sobre la importancia que tienen las campañas de donación de alimentos. A propósito de esta actividad podemos establecer un debate sobre la necesidad de actitudes de este tipo para crear un compromiso con la mejora de la sociedad y la defensa de los desfavorecidos. 79. Podemos utilizar esta actividad para relacionarla con los beneficios que tiene una vida saludable y la realización de deporte, de esta forma podemos trabajar la competencia de interacción con el mundo físico a través de la disposición de una vida saludable. Esta actividad también trabaja la competencia de tratamiento de la información al organizar y extraer información de datos dispuestos en una tabla.

Pon a prueba tus competencias 80. Podemos decir que esta es una actividad multicompetencial, pues al realizarla trabajamos las siguientes competencias: • Social y ciudadana: al tomar decisiones, valorarlas y analizar las distintas opciones que se tienen. • Tratamiento de la información: al organizar y transformar la información que aparece en el enunciado de la actividad. • Aprender a aprender: al desarrollar en el alumno un pensamiento crítico ante la información que tiene.

• Autonomía e iniciativa personal: al desarrollar en el alumno la capacidad de elegir la opción más beneficiosa en cada circunstancia. • Interacción con el mundo físico: al desarrollar un espíritu crítico a la hora de analizar los mensajes publicitarios.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias aprender a aprender y autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Números decimales

Unidad 4

9

Actividades de refuerzo Unidad 4

Números decimales

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los objetivos mínimos que deberíamos marcarnos en esta unidad han de estar encaminados a que los alumnos dominen el sistema de numeración decimal. Por ello es importante: • Proponer que busquen contextos de la vida cotidiana en los que sea necesario el uso de números decimales, para que sean conscientes de su importancia y utilidad. • Insistir en la lectura, escritura y descomposición de los números decimales. • Incidir en la utilidad del redondeo para aproximar un número decimal por otro con menos cifras decimales. • Trabajar el paso de una fracción a su forma decimal diferenciando si el número que resulta es decimal exacto o decimal periódico.

ACTIVIDAD DE GRUPO El ahorro Para esta actividad necesitamos formar grupos de tres o cuatro alumnos. Necesitamos que cada miembro del grupo lleve a clase un catálogo con las ofertas del supermercado en el que su familia haga la compra o del que se encuentre más próximo a su domicilio. De este modo, cada equipo tendrá tres o cuatro folletos distintos para analizar. • La primera actividad consistirá en comparar precios. Después de examinar y comparar los catálogos, los alumnos seleccionarán (y recortarán) los artículos que aparezcan en más de un folleto. De este modo conseguirán reunir una cantidad suficiente de productos acompañados de dos (e incluso en algunos casos de tres) precios distintos. A continuación propondremos que calculen el valor de una misma compra en la que figuren los artículos que han seleccionado y hallen cuánto dinero pueden ahorrarse simplemente comparando los precios de los productos. Es muy importante que comprendan que, para poder comparar precios, han de comprobar que en la etiqueta figuren exactamente las mismas características: igual marca, modelo, cantidad… Los alumnos se darán cuenta de que el precio de un mismo producto puede oscilar a veces más de lo que sospechaban. • La segunda actividad consiste en agudizar el sentido crítico. Muchas veces supone un ahorro considerable comprar un tamaño mayor de envase o un lote de varias unidades…, pero otras veces no. En este caso se trata de calcular cuánto dinero nos ahorramos en cada unidad cuando compramos lotes de varias unidades o cuánto nos ahorramos en cada litro o kilogramo cuando compramos envases de mayor tamaño. Nos sorprenderá comprobar que en muchas ocasiones, no solo el precio no es el mismo, sino que pagamos más dinero en cada unidad por llevarnos más unidades.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a)

31 = 0,31 100

b)

250 = 2,50 100

3. a) 2,8 + 3,2 = 6 → A b)

2. 19

13

17

62

Redondear a las décimas

4,4

3,6

4,1

7,9

Redondear a las centésimas

4,36

Truncar a la décima

4,3

Truncar a la centésima

4,35

20 = 0,2 → V 100

d) 2,3 ⋅ 10 = 23 → O e) 20 ⋅ 0,1 = 2 → N

c) 17,5 − 10,5 = 7 → I En avión. 4. a) 143,21 + 2,321 + 23,7 = 169,231

3,61

4,12

7,87

b) 49,94 − 25,52 = 24,42 c) 31,93 ⋅ 15,2 = 485,336

3,6 3,60

4,1 4,12

7,8 7,87

3 3 1 12 2 5. Decimal exacto: , , , , 5 8 4 2 5 2 10 1 Decimal periódico: , , 9 33 6

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 4

Números decimales

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 4

Números decimales

1. Fíjate en los ejemplos y completa los huecos con los números correspondientes. a)

parte entera

parte entera

54 ——– = 0,54 100

263 ——– = 2,63 100

parte entera

——– = 0, 100

parte decimal

parte decimal

b)

parte entera

——– = 2, 100

parte decimal

parte decimal

2. Con ayuda de la calculadora, halla el valor de las siguientes raíces cuadradas con 3 cifras decimales y después completa la tabla. 6 Redondear a las décimas

2,4

Redondear a las centésimas

2,45

Truncar a la décima

2,4

Truncar a la centésima

2,44

19

13

17

62

3. Si resuelves las siguientes operaciones y buscas en la tabla la letra asociada a cada resultado, averiguarás cuál es el medio de transporte que va a utilizar Marta para ir a su lugar de vacaciones. a) 2,8 + 3,2 20 b) 100 c) 17,5 − 10,5 d) 2,3 ⋅ 10

1,2 C

10 P

6 A

1,5 B

21 R

25 H

58 E

3,1 J

35 K

0,4 U

2 N

17 M

11 G

0,2 V

98 Y

23 O

3,21 C

7 I

e) 20 ⋅ 0,1 4. Coloca los términos por columnas de manera que las comas estén alineadas y realiza las siguientes operaciones. a)

b)

143,21 + 2,321 + 23,7 =

c)

49,94 – 25,52 =

31,93 x 15,2 =

x – +

3 — 5

2 — 9

3 — 8

1 — 4

10 —— 33

1 — 6

12 —– 2

2 — 5 DECIMAL EXACTO

Página fotocopiable

5. Coloca las fichas en la caja que les corresponde.

PERIÓDICO PURO

Números decimales

Unidad 4

11

Actividades de ampliación Unidad 4

Números decimales

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los alumnos que han alcanzado los objetivos de la unidad deben resolver ejercicios y problemas preparatorios de los que van a encontrarse en cursos posteriores, por eso les podemos proponer ejercicios con un nivel de dificultad mayor y aumentar la proporción de problemas planteados. Con estos alumnos se pueden trabajar los siguientes aspectos: • Introducir cálculos con operaciones combinadas donde sea necesario respetar la jerarquía de las operaciones. • Plantear situaciones extraídas de la prensa u otro medio de comunicación en las que aparezcan números decimales, para su posterior interpretación y manipulación.

ACTIVIDAD DE GRUPO El ahorro Para esta actividad necesitamos formar grupos de tres o cuatro alumnos. Necesitamos que cada miembro del grupo lleve a clase un catálogo con las ofertas del supermercado en el que su familia haga la compra o del que se encuentre más próximo a su domicilio. De este modo, cada equipo tendrá tres o cuatro folletos distintos para analizar. • La primera actividad consistirá en comparar precios. Después de examinar y comparar los catálogos, los alumnos seleccionarán (y recortarán) los artículos que aparezcan en más de un folleto. De este modo conseguirán reunir una cantidad suficiente de productos acompañados de dos (e incluso en algunos casos de tres) precios distintos. A continuación propondremos que calculen el valor de una misma compra en la que figuren los artículos que han seleccionado y hallen cuánto dinero pueden ahorrarse simplemente comparando los precios de los productos. Es muy importante que comprendan que, para poder comparar precios, han de comprobar que en la etiqueta figuren exactamente las mismas características: igual marca, modelo, cantidad… Los alumnos se darán cuenta de que el precio de un mismo producto puede oscilar a veces más de lo que sospechaban. • La segunda actividad consiste en agudizar el sentido crítico. Muchas veces supone un ahorro considerable comprar un tamaño mayor de envase o un lote de varias unidades…, pero otras veces no. En este caso se trata de calcular cuánto dinero nos ahorramos en cada unidad cuando compramos lotes de varias unidades o cuánto nos ahorramos en cada litro o kilogramo cuando compramos envases de mayor tamaño. Nos sorprenderá comprobar que en muchas ocasiones, no solo el precio no es el mismo, sino que pagamos más dinero en cada unidad por llevarnos más unidades.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. 32,31; 32,32; 32,33; 32,34; 32,35; 32,36; 32,37; 32,38 y 32,39

5. a) 2,641 → 2,761 → 2,881 → 3,001 → 3,121 → 3,241 b) 3,24 → 4,23 → 5,22 → 6,21 → 7,2 → 8,19

2. a) 3,225

6. Manchegos: 0,14985 €/día → aprox. 0,15 €/día Baleares: 0,10287 €/día → aprox. 0,10 €/día Aproximadamente, los manchegos gastaron al año 0,05 ⋅ 365 = 18,25 € más que los baleares.

b) 4,250

c) 2,020

d) 5,400

3. 472,82 472,82 472

473

4. a) 12,43 + 321,843 = 334,273 b) 17,15 + 12,43 + 53,47 = 83,05 c) 247,632 − 25,18 = 222,452 d) 4,324 + 15,17 − 9,82 = 9,674

7. El pegamento cuesta: 10 − 3,42 − 5 ⋅ 0,88 = 2,18 €. 8. a) 2,9 + 9,45 − 1,2 = 11,15 b) 3,2 − 0,965 + 1,43 = 3,665 c) 14,1984 + 16,2552 = 30,4536 d) 46 − 4,1339 = 41,661 9. Aproximadamente tocan a 6,07 kg de alimento y 0,28 euros por habitante.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 4

Números decimales

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 4

Números decimales

1. Escribe todos los números comprendidos entre 32,3 y 32,4 que tengan dos cifras decimales.

2. Redondea a las milésimas los siguientes números decimales. a) 3,2246

b) 4,25034

c) 2,01962

d) 5,399521

3. Escribe el número decimal que cumple que: • Tiene cuatro centenas y setenta y dos unidades. • La cifra de las unidades es igual que la cifra de las centésimas. • La cifra de las centenas es la mitad que la cifra de las décimas. Representa en la recta numérica el número decimal anterior.

4. Completa los números que faltan en las siguientes operaciones para que se cumplan las igualdades. a) 12,43 + 321, c) 247,

43 = 334,273

32 − 25,1

b) 17,15 + 12,

= 222,452

3 + 53,4

d) 4,324 + 15,17 − 9,8

= 83,05 = 9,

74

5. Completa los números que faltan en las siguientes series. a) 2,641 → 2,761 → b) 3,24 → 4,23 →

→ →

→ →

→ 3,241 → 8,19

6. En el año 2002, el consumo medio de agua por habitante y día en Castilla-La Mancha se situó en 0,185 metros cúbicos, y en las islas Baleares, en 0,127. Si el precio medio del metro cúbico de agua fue de 0,81 euros, ¿cuánto pagaron en Castilla-La Mancha por el agua que consumieron cada día? ¿Y en las islas Baleares? Redondea a las centésimas las cantidades anteriores y calcula de un modo aproximado cuánto pagó más Castilla-La Mancha que Baleares al cabo del año.

7. Rafael ha comprado en la papelería cinco cartulinas y una barra de pegamento para realizar un trabajo de plástica. Pagó con un billete de 10 euros y le devolvieron 3 euros y 42 céntimos. Calcula cuánto pagó por la barra de pegamento si cada cartulina le costó 0,88 euros.

a) 2,9 + 3,5 ⋅ 2,7 − 1,2

b) 3,2 − 1,93 : 2 + 1,43

c) 2,32 ⋅ 6,12 + 3,12 ⋅ 5,21

d) 9,2 : 0,2 − 43,39 ⋅ 0,1

9. Después de un desastre natural, un país ha solicitado a la comunidad internacional 470 000 toneladas de alimentos y 21,4 millones de euros para atender las necesidades de la población durante un año. Si hay censados un total de 77.431.000 habitantes, ¿cuánto dinero y alimento debería recibir aproximadamente cada uno?

Números decimales

Unidad 4

Página fotocopiable

8. Realiza las siguientes operaciones.

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 4

Números decimales

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Escribe los números decimales formados por: a) Cinco unidades, tres décimas, cuatro centésimas y dos milésimas. b) Ciento cuarenta y siete unidades, dos décimas y tres milésimas. c) Ocho decenas y cuatro milésimas. 2. Realiza la descomposición de los siguientes números en sus distintos órdenes de unidades. 2,37

2,371

2,032

Expresa los números anteriores como suma de números naturales y fracciones. 3. Ordena de menor a mayor los siguientes números. 3,1

3,0012

3,012

3,12

4. Ordena de menor a mayor los siguientes números, representándolos previamente en la recta numérica. 3,25

4,5

5,2

2,75

5. Calcula las siguientes sumas y restas de números decimales. a) 5,231 + 4,58

b) 89,125 − 20,201

c) 2,123 + 123,547

d) 4,5 + 6,32

e) 9,82 − 6,25

f) 5,32 + 6,121

6. Realiza las siguientes multiplicaciones. a) 56,21 ⋅ 2,12

b) 2.003,2 ⋅ 25,25

7. Realiza las siguientes divisiones. a) 854,21 : 20

b) 140,805 : 2,7

8. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones. a) 23,4 ⋅ 100

b) 12,37 ⋅ 10

c) 27,31 : 10

d) 4,3 : 1000

9. La nota media de un alumno de Bachillerato sólo puede tener una cifra decimal, en caso contrario se aplica el redondeo. Almudena ha obtenido las siguientes calificaciones: 8,9; 9,2; 9,1; 8,7 y 8,5. ¿Qué nota media deberá aparecer en su expediente?

Página fotocopiable

10. Una estufa consume 1,2 kilovatios cada hora. Si el precio del kilovatio-hora es 0,083 euros, ¿cuánto pagaremos en el mes de noviembre, si la estufa ha permanecido encendida 2 horas y media cada día?

14

11. Halla la expresión decimal correspondiente a cada una de las siguientes fracciones. 5 10 17 5 a) b) c) d) 4 15 20 18 12. Redondea a las centésimas los siguientes números. a) 6,795

b) 32,698

c) 129,012

d) 23,119

Unidad 4

Números decimales

Propuesta de evaluación Unidad 4

Números decimales

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) 5,342

b) 147,203

c) 80,004 2,37 = 2 + 0,3 + 0,07 = 2 +

2. 2,37 = 2 U, 3 d y 7 c

3 7 + 10 100

2,371 = 2 U, 3 d, 7 c y 1 m

2,371 = 2 + 0,3 + 0,07 + 0,001 = 2 +

2,032 = 2 U, 3 c y 2 m

2,032 = 2 + 0,03 + 0,002 = 2 +

3 7 1 + + 10 100 1.000

3 2 + 100 1.000

3. 3,0012 < 3,012 < 3,1 < 3,12 4.

2,75

3,25

4,5

5,2

2,75 < 3,25 < 4,5 < 5,2 5. a) 5,231 + 4,58 = 9,811

b) 89,125 − 20,201 = 68,924

c) 2,123 + 123,547 = 125,67

d) 4,5 + 6,32 = 10,82

e) 9,82 − 6,25 = 3,57

f) 5,32 + 6,121 = 11,441

6. a) 56,21 ⋅ 2,12 = 119,1652 b) 2.003,2 ⋅ 25,25 = 50.580,8 7. a) 854,21 : 20 = 42,7105 b) 140,805 : 2,7 = 52,15 8. a) 23,4 ⋅ 100 = 2.340

b) 12,37 ⋅ 10 = 123,7

c) 27,31 : 10 = 2,371

d) 4,3 : 1.000 = 0,0043

9. Nota media de Almudena: 8,9 + 9,2 + 91 44,4 , + 8,7 + 8,5 = = 8,88 5 5 Nota redondeada a las décimas: 8,9 10. Horas en funcionamiento: 30 días ⋅ 2,5 h/día = 75 Consumo: 1,2 kW h ⋅ 75 h = 90 kW Pagaremos: 90 kW ⋅ 0,083 €/kW = 7,47 €

c)

5 = 125 , 4

b)

) 10 = 0,6 15

17 = 0,85 20

d)

) 5 = 0,27 18

12. a) 6,80 c) 129,01

b) 32,70 d) 23,12 Página fotocopiable

11. a)

Números decimales

Unidad 4

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

5

ESO

Sistemas de medida

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *Esta programación la podrás encontrar también en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 5

Sistemas de medida

Con esta unidad se pretende una doble finalidad: • Afianzar el manejo de las unidades de medida de las magnitudes fundamentales (longitud, masa y capacidad). • Repasar y reforzar las operaciones con números naturales, racionales y decimales, y el cálculo con porcentajes al realizar cálculos involucrados en la resolución de problemas con cantidades de dichas magnitudes. Es importante establecer la utilidad de que exista un sistema internacional de medidas (sin despreciar los propios de cada comunidad y los existentes en otros países), ya que a la hora de hacer cálculos formales es preciso tomar como referencia una unidad común. No menos importante es hacer notar a los alumnos que las unidades de medida no son algo abstracto, sino que surgieron de un modo natural ante la necesidad que tenía el hombre de cuantificar magnitudes. Es interesante que vean que cada magnitud tiene una unidad establecida y perfectamente determinada con la que se comparan los objetos. Los alumnos deben conocer la estructura del Sistema Métrico Decimal y aprender a deducir por ellos mismos las relaciones de equivalencia existentes entre las diferentes unidades de una misma magnitud. No deben automatizar el uso de equivalencias, sino que, al finalizar la unidad, deben ser capaces de deducir con seguridad las relaciones entre las unidades menos conocidas.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS 1. Conocer la estructura del Sistema Métrico Decimal.

1.1. Reconocer el metro, el metro cuadrado y el metro cúbico como unidades fundamentales de medida de longitud, superficie y volumen, respectivamente, del Sistema Métrico Decimal, y utilizar las equivalencias que hay entre las distintas unidades. 1.2. Reconocer el litro como unidad fundamental de medida de capacidad del Sistema Métrico Decimal y utilizar las equivalencias que hay entre las distintas unidades de capacidad. 1.3. Reconocer el kilogramo como unidad fundamental de medida de masa del Sistema Métrico Decimal y utilizar las equivalencias que hay entre las distintas unidades de masa.

2. Utilizar las unidades del Sistema Métrico Decimal para estimar y efectuar medidas en actividades relacionadas con la vida cotidiana o en la resolución de problemas.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Matemática • Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital

2.1. Plantear y resolver problemas que involucren magnitudes de longitud, superficie, volumen, masa y capacidad.

CONTENIDOS • Sistema Métrico Decimal.

• Cambio de unidades de volumen.

• Estimación de medidas.

• Unidades de masa. El kilogramo: múltiplos y submúltiplos.

• Unidades de longitud. El metro: múltiplos y submúltiplos.

• Cambio de unidades de masa.

• Cambio de unidades de longitud.

• Unidades de capacidad. El litro: múltiplos y submúltiplos.

• Unidades de superficie. El metro cuadrado: múltiplos y submúltiplos.

• Cambio de unidades de capacidad.

• Cambio de unidades de superficie.

• Conversiones monetarias.

• Unidades de volumen. El metro cúbico: múltiplos y submúltiplos. 2

Unidad 5

Sistemas de medida

• Unidades monetarias: el euro.

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Es importante recordar el concepto de magnitud y diferenciarlo del de la unidad de medida de dicha magnitud. Para ello se puede empezar pidiendo a los alumnos que den ejemplos de magnitudes cercanas a ellos y que digan cuál aes la unidad con la que las miden, para que se den cuenta de la importancia de asociar a cada situación la unidad adecuada.

2. Previsión de dificultades Esta unidad ya es conocida por los alumnos, tan solo hay que hacer especial hincapié en los siguientes aspectos: • A la hora de trabajar las unidades de superficie y volumen se les suele olvidar que hay que multiplicar y dividir por 100 o 1000, respectivamente, para cada salto de unidad que sea necesario. • Trabajar con objetos reales la estimación de medidas. Para medidas pequeñas se pueden llevar objetos en los que aparezcan las medidas tapadas y después estimar estas; para medidas grandes se pueden utilizar las estancias del propio centro, por ejemplo, el aula, el gimnasio, etc.

3. Vinculación con otras áreas En las orientaciones didácticas de los epígrafes se concreta más este punto. De todas formas, conviene insistir en que las unidades de medida aparecen en todos los campos de la ciencia y la técnica, y, sobre todo, en infinidad de situaciones de la vida cotidiana.

4. Esquema de la unidad En cursos anteriores, los alumnos ya han estudiado el Sistema Métrico Decimal, por lo que, para motivarles en su repaso y afianzamiento, conviene comenzar la unidad poniendo ejemplos cercanos sobre medidas de diversas magnitudes, como su peso, que se mide en kilos, o su estatura, que se mide en centímetros. La sección “Desarrolla tus competencias” nos sirve como primera toma de contacto con las unidades de medida. En la primera actividad se propone a los alumnos que estimen medidas de objetos pequeños cercanos a ellos, y en la segunda se trabaja el concepto de que, cuando se mide una magnitud, lo que se está haciendo es compararla con otra que se toma como referencia. El primer epígrafe empieza recordando qué es la medida de un objeto, para continuar con la estimación de medidas. El epígrafe acaba con las unidades principales del Sistema Métrico Decimal. El resto de los epígrafes tienen la misma estructura, conviene seguir siempre las mismas pautas de desarrollo:

SISTEMAS DE MEDIDA La medida Sistema métrico decimal

Estimación de medidas

Unidades de longitud, superficie y volumen

Resolución de ecuaciones

Unidades de masa y capacidad

1. Definición de la unidad de la magnitud. 2. Múltiplos y submúltiplos. Equivalencias. 3. Cambio de unidades.

Estimación de medidas

Estimación de medidas

La unidad acaba con las unidades monetarias y el cambio de divisas.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones. 1.ª La medida. El Sistema Métrico Decimal 2.ª Unidades de longitud, superficie y volumen 3.ª Unidades de longitud, superficie y volumen 4.ª Unidades de masa 5.ª Unidades de capacidad 6.ª Unidades monetarias 7.ª Actividades de repaso y consolidación 8.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Sistemas de medida

Unidad 5

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a los sistemas de medida, es la subcompetencia resolución de problemas, relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad la que más presencia tiene.

Competencia para la interacción con el mundo físico Al tratar los sistemas de medida, la unidad tiene constantes referencias a la interacción con el mundo físico a la hora de desarrollar y aplicar el pensamiento científico-técnico para interpretar la información que se recibe.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprender a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 5

Sistemas de medida

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA er

1. nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA 2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3. nivel de concreción

4.º nivel de concreción

er

– Estima medidas. Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y aplicar herramientas matemáticas para interpretar y producir distintos tipos de información.

Matemática

– Utiliza las distintas unidades del Sistema Métrico Decimal. – Expresa una medida en distintas unidades. – Realiza cambios de divisas. Toda la unidad

Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad.

Interacción con el mundo físico

Aplicación del método científico en diferentes contextos.

Aplicar estrategias de resolución de problemas adecuadas a cada situación.

– Analiza distintas técnicas de resolución de problemas.

Identificar preguntas o problemas relevantes sobre situaciones reales o simuladas.

– Crea y analiza unidades de medida ficticias.

Realizar predicciones con los datos que se poseen, obtener conclusiones basadas en pruebas y contrastar las soluciones obtenidas.

– Estima medidas de objetos cercanos al alumno.

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Conocer y comprender los valores en los que se asientan las sociedades democráticas, sus fundamentos, sus modos de organización y su funcionamiento.

Compromiso solidario con la realidad personal y social.

Mantener una actitud constructiva, solidaria y responsable ante los problemas sociales.

Social y ciudadana

Habilidades y actitudes interculturales. Cultural y artística

Sensibilización para interactuar con las diversas culturas aceptando las diferencias.

Interactuar y mediar con las otras culturas.

Toda la unidad

Desarrolla tus competencias: 2

Actividades 5, 6 y 30

– Interpreta correctamente las medidas de magnitudes que aparecen en la publicidad. Actividad 12 – Calcula el gasto diario de agua de una familia. Actividad 80 – Analiza y usa el sistema anglosajón de medidas. Actividad 86 Pon a prueba tus competencias: 89 – Obtiene las medidas de un objeto. Desarrolla tus competencias: 1 – Analiza la conveniencia de utilizar cierta unidad para expresar una medida.

Organizar y analizar la información, trasformándola en esquemas de fácil comprensión. Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Actividad 41 – Transforma una medida expresada en una unidad del Sistema Métrico Decimal al sistema anglosajón. Actividad 86 Pon a prueba tus competencias: 89 – Busca en diferentes páginas de internet para completar información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad

En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 13, 23, 31 y 43 Autoevaluación

Sistemas de medida

Unidad 5

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación para la ciudadanía: actividades 50 y 51 Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

REFUERZO Y AMPLIACIÓN En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

Repaso de contenidos de cursos anteriores • Matemáticas básicas Bibliográficos

– Unidad 6. Sistema Métrico Decimal Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO. – Unidad 7. Medida • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 6: Medida. – Unidad I. Sistema Métrico Decimal • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO. • Cuaderno de resolución de problemas I www.smconectados.com

Internet

SM

Otros

www.librosvivos.net Conjunto de programas encaminados a la práctica del cambio de unidades, que podemos encontrar en la dirección:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatmrd07

6

Unidad 5

• Instrumentos de medida: cinta métrica, balanza, jarras graduadas • Dominós con unidades de medida del Proyecto Sur • Vídeos números 1, Área y volumen, y 15, Medidas, de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida por Metrovideo Española, S. L.

Sistemas de medida

Sugerencias didácticas Entrada La foto y el texto de la entrada permiten introducir las distintas unidades de longitud utilizando un objeto conocido por todos los alumnos. Podemos utilizar también esta foto para dar una breve introducción histórica del metro, ya que fue en París en 1889, en la primera Conferencia General de Pesos y Medidas, donde se implantó ante la necesidad de unificar las medidas. Se pretendía buscar un sistema de unidades único para todo el mundo y de esta forma facilitar el intercambio científico, cultural, comercial de datos. En un principio se definió el metro como la diezmillonésima parte de la distancia entre el Polo Norte y el Ecuador, distancia que se calculó en un principio considerando que la Tierra es esférica. Desde que se demostró que esta es achatada por los polos, se define el metro como la distancia entre dos líneas trazadas en una barra de aleación de platino e iridio que se encuentra en el Museo de Pesas y Medidas de París. En 1960, la Conferencia General de Pesos y Medidas define el metro como 1.650.763,73 veces la longitud de onda de la radiación emitida por el salto cuántico entre los niveles 2p10 y 5d5 de un átomo de kriptón 86. Con esta pequeña introducción histórica además podemos trabajar la competencia social y ciudadana haciendo comprender al alumno la realidad social e histórica del mundo y su carácter evolutivo.

Desarrolla tus competencias 1. La actividad puede continuar trabajando la competencia de interacción con el mundo físico utilizando objetos más grandes, y que el alumno tenga que decidir qué unidad es más adecuada para medir cada objeto. 2. Aparte de la competencia de interacción con el mundo físico, también trabajamos la competencia de tratamiento de la información. Hay situaciones donde el alumno necesita tomar referencias de algún objeto y utilizar unidades creadas por él mismo para obtener información. Por ejemplo, podemos continuar la actividad proponiendo crear una unidad de medida buena para medir el largo y el ancho de su aula.

1. La medida. El Sistema Métrico Decimal • Hay que hacer ver al alumno que al medir un objeto, en realidad lo que se hace es comparar este objeto con otro que se toma como referencia.

• Podemos continuar y ampliar la introducción histórica que se hizo a propósito de la foto de entrada, proponiendo un trabajo de investigación sobre el origen y evolución del sistema métrico decimal. 5 y 6. Con estas actividades se sigue trabajando la estimación de medidas con distintos objetos. Puede ser útil crear un debate con las distintas medidas que propongan los alumnos intentando justificar por qué no son correctas sus estimaciones.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1 a 5, 52 y 53

Medio

6

2. Unidades de longitud • Para establecer el concepto de metro se puede recordar su origen, que ya está establecido en las orientaciones didácticas al comienzo de esta unidad. Se puede llevar al aula un metro de madera en el que estén marcados los decímetros, centímetros y milímetros, para que así los alumnos entiendan el concepto de submúltiplo. • Para efectuar los cambios de unidades conviene recordar brevemente cómo se multiplica y divide por la unidad seguida de ceros y, si es preciso, entretenerse un poco, pues es algo que se va a utilizar continuamente a lo largo de toda la unidad. También es útil que los alumnos identifiquen pasar a unidades mayores con dividir y pasar a menores con multiplicar. • El cambio de unidades de forma compleja a incompleja suele confundir bastante a los alumnos, no logran recordar cuál es la compleja y cuál la incompleja. Para recordarlo suele ser útil decirles que es más complejo expresarlo en varias unidades y menos complejo (incomplejo) expresarlo en una sola unidad. 12. Podemos utilizar esta actividad para establecer un debate sobre la publicidad engañosa. Este se puede empezar preguntando a los alumnos si consideran que la falta de unidades de este anuncio se puede considerar engañosa o tan solo se trata de algo que se puede considerar innecesario. El debate puede continuar con un trabajo de búsqueda de anuncios en los que falten o pasen desapercibidas las unidades de medida, para después realizar en clase una puesta en común de todas las opiniones.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

7 a 10, 12, 54 y 55

Medio

11, 56 y 57

• La estimación de medidas es muy importante y es un recurso que el alumno va a utilizar en su vida cotidiana. Para trabajar esto es conveniente llevar al aula objetos y que los alumnos estimen cuáles pueden ser sus medidas reales y posteriormente medirlos.

3. Unidades de superficie

• También es necesario medir objetos grandes y no solo centrarnos en la utilización del centímetro para objetos pequeños. Es necesario salir del aula y estimar medidas de un edificio, longitud de una calle, distancias entre objetos lejanos…

• Para introducir el concepto de superficie y la necesidad de su medida podemos utilizar los geoplanos o trabajar con figuras dibujadas en papel cuadriculado para que vayan contando el número de cuadraditos que las forman.

Sistemas de medida

Unidad 5

7

Sugerencias didácticas

• Puede ser muy útil construir con papel o cartulina un metro de largo por un metro de ancho, de esta forma los alumnos tienen una referencia de lo que ocupa un metro cuadrado. • Es posible que sea necesario volver a recordar brevemente cómo se multiplica y divide por la unidad seguida de ceros e identificar pasar a unidades mayores con dividir y pasar a unidades menores con multiplicar. • Los alumnos ya han cambiado unidades lineales en el epígrafe anterior. Hay que recordarles todas las veces necesarias que ahora los saltos conllevan dos ceros, se les suele olvidar con mucha facilidad.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

14 a 16, 58 y 59

Medio

17 a 19 y 22

Alto

20 y 21

4. Unidades de volumen

5. Unidades de masa y de capacidad • Una vez introducido el kilogramo como unidad principal de masa, se pueden introducir otras unidades nuevas como el miriagramo, el quintal y la tonelada. • Se debe hacer notar que aunque en esta unidad se ha adoptado el criterio de representar el litro por el símbolo L, también resulta igualmente correcto utilizar el símbolo que viene dado por la letra minúscula l. Aquí se ha elegido la letra mayúscula por unificar criterios con la asignatura de Física. • Una vez establecido el litro como unidad principal de medida de capacidad, así como sus múltiplos y submúltiplos, podemos indicar a los alumnos que existen otras unidades de medida de capacidad, universalmente extendidas y que en la vida cotidiana se utilizan habitualmente: el cuarto de litro y el medio litro. Podemos hablar de la utilidad que tienen llevando al aula botellas de agua de cuarto de litro y de medio litro. • Asimismo se puede hablar de otra unidad universalmente extendida, que es la de 33 cL, capacidad habitual de la mayoría de las latas de refrescos, y que, en contra de lo que cree la mayoría de la gente, no es un tercio de litro.

41. El alumno trabaja la competencia de tratamiento de la información al analizar la información de la composición de este complejo vitamínico. También podemos trabajar la competencia de interacción con el mundo físico, en particular la subcompetencia de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable. Podemos encargar a los alumnos que investiguen cuál es la cantidad diaria recomendada para cada una de las vitaminas y los minerales del compuesto vita• Hay que insistir en que en el caso de las unidades de mínico, analizando posteriormente cuánto se han pasavolumen el factor de conversión es 1.000. Volveremos a do o les falta para llegar a ingerir esta cantidad repetir de la misma forma que en longitud y superficie recomendada utilizando dicho compuesto vitamínico. que el paso a unidades superiores se hace dividiendo por 1.000, y el paso a unidades inferiores, multiplicando ACTIVIDADES POR NIVEL por 1.000. 32 a 35, 39, 65 y 67 Básico • Una vez que los alumnos conocen las unidades de lon36 a 38, 40 a 42, 64 y 66 Medio gitud, superficie y volumen, podemos ayudarnos de la potencias para recordar el factor de conversión de cada una: • Para introducir el concepto de volumen y la necesidad de su medida podemos utilizar los policubos para crear cuerpos geométricos en los que los alumnos vayan contando el número de cubos que los forman. También puede resultar interesante construir un cubo con varillas de un metro de longitud similar al que aparece en el margen del epígrafe, de esta forma los alumnos tienen en el aula una referencia de lo que ocupa un metro cúbico.

– 101 para las unidades lineales.

6. Unidades monetarias

– 102 para las unidades de superficie, unidades cuadra- • Este puede ser un buen momento para que los alumnos realicen una breve historia sobre el euro. La mayoría de das. ellos no han vivido el anterior sistema monetario espa– 103 para las unidades de volumen, unidades cúbicas. ñol. Se puede proponer alguna actividad con precios en 30. La estimación de volúmenes puede resultar más compesetas y hacer el paso a euros o viceversa. El trabajo se pleja que la de longitudes lineales como se hizo en las puede completar viendo cómo han ido aumentando los actividades 5 y 6. Para esta actividad puede ser necepaíses de la zona euro. sario utilizar el cubo que se propone construir en las • En cuanto al cambio oficial de divisas, los alumnos tieorientaciones didácticas del epígrafe. También se puenen que saber que este valor es altamente cambiante. den construir otros cubos más pequeños como el de Es aconsejable que busquen los cambios oficiales vigenun decímetro de arista, para poder realizar el apartates en los días que realicen estas actividades y propodo d. nerles algunas actividades nuevas en las que utilicen estos cambios oficiales.

ACTIVIDADES POR NIVEL

8

Básico

24 a 26 y 60 a 62

Medio

27 a 30 y 63

Unidad 5

Sistemas de medida

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

44 a 46 y 48 a 50

Medio

47, 51 y 68

Sugerencias didácticas

Actividades de consolidación y aplicación

Además de la competencia cultural y artística, estamos trabajando la competencia de tratamiento de la información. Al trabajar con dimensiones tan grandes, los alumnos tienen que interpretar información de unas medidas que no están acostumbrados a tratar.

Estas actividades son un complemento fundamental a las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad.

Autoevaluación

En particular, las actividades 69 a 88 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos.

Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

80. Esta actividad da pie a trabajar la competencia social y ciudadana a través de la concienciación de los alumnos en la necesidad de ahorrar en el consumo de un bien tan escaso como el agua potable. Podemos informar a los alumnos de que tan solo el 1% de todo el agua de la Tierra es potable accesible y que, según la Organización Mundial de la Salud, actualmente en los países desarrollados se gastan unos 300 litros de agua diarios por persona, pero esta misma organización considera que 80 litros de agua por persona serían suficientes. Podemos seguir trabajando este aspecto pidiendo a los alumnos que nos traigan el gasto en agua de su vivienda en el último mes y calculando cuál es el gasto de agua por persona y día. 86. La actividad trabaja la competencia cultural y artística al utilizar medidas en desuso en nuestro país, pero ampliamente utilizadas en países de habla inglesa. Podemos pedir a los alumnos que como complemento a esta actividad y a la 89 realicen un trabajo de investigación sobre las unidades utilizadas en los países de habla inglesa.

Pon a prueba tus competencias 89. Con esta actividad, al igual que en la actividad 86, trabajamos con unidades del sistema anglosajón real. Si no se ha realizado el trabajo propuesto en las orientaciones de la actividad 86, podemos pedir que los alumnos realicen un estudio más breve sobre las unidades de longitud del sistema anglosajón.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Resolución de problemas La resolución de problemas es un punto importante en cualquier curso de matemáticas, y la habilidad para resolverlos es un aspecto que influye en la evaluación. Con esta sección se pretende hacer un repaso sobre distintas técnicas de resolución y proponer actividades para que el alumno pueda desarrollarlas y trabajar a la vez las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.

Sistemas de medida

Unidad 5

9

Actividades de refuerzo Unidad 5

Sistemas de medida

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Esta unidad debe dejar claro a los alumnos la estructura del Sistema Métrico Decimal y lo útil que es su manejo en la vida cotidiana. Por esto es conveniente: • Plantear a los alumnos situaciones concretas de su entorno, en las que estén presentes las unidades de medida de las diferentes magnitudes, para que se den cuenta de la necesidad de cuantificar la realidad que les rodea. • Utilizar diferentes instrumentos de medida: cinta métrica, balanza…, para que los alumnos comprendan que lo que se hace al medir es comparar con algo que sirve de modelo, y entiendan la conveniencia de que ese modelo de referencia sea universal. Se les puede pedir incluso que ideen su propio sistema de medidas, utilizando como unidad de referencia su palmo, su paso, etc. • A la hora de establecer los múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida de las diferentes magnitudes, conviene establecer ejemplos cercanos, para que entiendan mejor su significado, haciendo hincapié en que en todas las magnitudes están presentes los mismos prefijos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Construcción de un dominó de medidas Se divide la clase en seis grupos y cada grupo construirá un dominó diferente, de tal manera que haya dos con medidas de capacidad, dos con medidas de longitud y dos con medidas de masa. En un dominó normal hay 7 resultados, del 0 al 6, cada uno de los cuales se repite 8 veces. A cada grupo se le entregan, en un folio, siete medidas diferentes, con unidades distintas, y se les pide que expresen dichas medidas de ocho maneras diferentes, empleando también unidades complejas. Una vez que lo hayan hecho, los grupos se intercambian las medidas entre ellos, por magnitudes, es decir, los dos grupos de capacidad las intercambian entre ellos, y lo mismo el resto de los grupos; así cada grupo corrige las equivalencias de las unidades dadas al principio. Cuando estén corregidas, cada grupo construirá el dominó correspondiente a esos valores, siguiendo la misma plantilla que se entregó en la actividad de grupo de la unidad 1. En una clase posterior se repartirán los dominós por grupos, para que los alumnos jueguen.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Capacidad del depósito de gasolina de un coche: L

3. Una moneda de 5 céntimos mide 2 cm. Así, 1 m (100 cm de la cadena) está formado por 50 monedas, y en los 100 m que mide la cadena hay 5.000 monedas, que hacen un total de 5 ⋅ 5.000 = 25.000 céntimos, que son 250 euros.

Cantidad de jarabe que tomas cuando tienes tos: mL

4.

1. Distancia entre dos ciudades: km Longitud de la melena: cm Peso de 3 manzanas: kg

2.

1 A B

2

3

2 1

C

4

5

3

0

5

1

0

0

8

0

D

3

4

0

E

5

9

0

F

0

5

1

250 g

25 cg

250 mg

0,25 kg

2,25 hg

2 500 dg

2,5 dg

2,5 kg

2 500 mg

25 dag

0,25 kg

0,025 q

250 mg

0,25 hg

0,00025 t

25 000 cg

3 3 tramos de 13 km 20 dam: 3 ⋅ 13,2 km = 39,6 km 0

3 tramos de 10 km 2 m: 3 ⋅ 10,002 km = 30,006 km En total ha recorrido: 39,6 + 30,006 = 69,606 km

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 5

Sistemas de medida

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 5

Sistemas de medida

1. Relaciona cada situación con la unidad de medida más adecuada. Situación

Unidad de medida

Distancia entre dos ciudades

mL

Longitud de la melena

cm

Peso de 3 manzanas

km

Capacidad del depósito de gasolina de un coche

kg

Cantidad de jarabe que tomas cuando tienes tos

L

2. Resuelve el siguiente crucigrama y averigua en qué año se estableció el Sistema Métrico Decimal. HORIZONTALES A. ¿Cuántos metros hay en 20 dm? Quintales que hay en 3 toneladas.

1

2

3

4

5

A

B. Expresa en decímetros 15 m 1 dm. Nada. C. ¿Cuántos litros son 8 dL? Nada.

B

D. III. Expresa en mililitros 4 dL 3 mL. E. V. ¿Cuántos kilogramos hay en 9 mag? F. ¿Cuántos hectómetros son 5 dam? En el SMD, cada unidad es igual a ___ unidades del orden inmediato inferior.

C D

VERTICALES 1. Uno. Los centímetros que hay en 3,5 m.

E

2. Gramos que hay en un cuarto de kilo. V. 3. Año en que se implantó el SMD. 4. III. Al revés, litros que hay en un daL.

F

5. Al revés, centigramos que hay en 3 dag. Nada.

3. Para ayudar a los damnificados en un desastre natural, los alumnos del instituto han creado en el patio una cadena solidaria. Los eslabones de la cadena son las monedas de 5 céntimos de euro que cada alumno ha aportado. Si la longitud de la cadena formada ha sido de 100 metros, ¿cuánto dinero han recaudado?

a) Encuentra y colorea el camino que ha seguido. b) Si cada uno de los tramos horizontales mide 13 km 20 dam, y cada tramo vertical tiene una longitud de 10 km 2 m, ¿cuál es la distancia total que ha recorrido el motorista?

SALIDA

250 g

25 cg

250 mg

0,25 kg

2,25 hg

2 500 dg

2,5 dg

2,5 kg

2 500 mg

25 dag

0,25 kg

0,025 q

250 mg

0,25 hg

0,00025 t

25 000 cg META

Sistemas de medida

Unidad 5

Página fotocopiable

4. El motorista está situado en la casilla de salida, y para llegar a la meta sólo puede pasar por casillas que tengan cantidades equivalentes.

11

Actividades de ampliación Unidad 5

Sistemas de medida

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS El Sistema Métrico Decimal se ha estudiado en cursos anteriores, por lo que habrá alumnos que dominen plenamente su manejo. El desarrollo de la unidad para este tipo de alumnos puede ir encaminado a los siguientes aspectos. • Ampliar los múltiplos y submúltiplos de alguna magnitud, estableciendo la necesidad de su uso con ejemplos. • Apreciar la existencia de otros sistemas de medida diferentes del Sistema Métrico Decimal, establecidos en otros países, y pedirles que encuentren las equivalencias entre ellos. • Desarrollar un pensamiento lógico con el planteamiento y resolución de problemas de ingenio matemático.

ACTIVIDAD DE GRUPO Construcción de un dominó de medidas Se divide la clase en seis grupos y cada grupo construirá un dominó diferente, de tal manera que haya dos con medidas de capacidad, dos con medidas de longitud y dos con medidas de masa. En un dominó normal hay 7 resultados, del 0 al 6, cada uno de los cuales se repite 8 veces. A cada grupo se le entregan, en un folio, siete medidas diferentes, con unidades distintas, y se les pide que expresen dichas medidas de ocho maneras diferentes, empleando también unidades complejas. Una vez que lo hayan hecho, los grupos se intercambian las medidas entre ellos, por magnitudes, es decir, los dos grupos de capacidad las intercambian entre ellos, y lo mismo el resto de los grupos; así cada grupo corrige las equivalencias de las unidades dadas al principio. Cuando estén corregidas, cada grupo construirá el dominó correspondiente a esos valores, siguiendo la misma plantilla que se entregó en la actividad de grupo de la unidad 1. En una clase posterior se repartirán los dominós por grupos, para que los alumnos jueguen.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Algunos ejemplos serían: la pulgada, que equivale a 0,0254 metros; el pie, que equivale a 0,3048 metros; la yarda, que equivale a 0,9144 metros (3 pies); la milla terrestre, que equivale a 1.760 yardas. 2. En el libro Historia de la matemática, de Carl Boyer (Alianza Editorial), encontraremos información sobre el tema. 3. 0,93 euros 4. a) Las equivalencias de estas unidades son: • La micra, que equivale a la milésima parte del mm, y cuyo símbolo es la letra griega μ. • El nanómetro, que equivale a la millonésima parte del mm, y cuyo símbolo es nm. • El ángstrom, que equivale a una milésima del nanómetro, y cuyo símbolo es Å. b) 13.500 nm = 0,0000135 m 5. Si se sitúan pesas en ambos lados de la balanza, de forma que también puedan ponerse junto con el objeto que queremos pesar, son necesarias solo cuatro pesas: de 1 kg, 3 kg, 9 kg y 27 kg, respectivamente.

23 kg 2 kg 1 kg

3 kg

27 kg

1 kg 3 kg

En los siguientes ejemplos se pesan objetos de 2 y 23 kg, respectivamente. 6. La caja pesa 18,7 kilogramos. 7.

Tamaño

A0

A1

A2

A3

A4

Dimensiones (mm)

841 × 1189

594 × 841

420 × 594

297 × 420

210 × 297

Peso (g)

79,99

39,96

19,96

9,98

4,99

8. Contiene 21.216 pintas.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 5

Sistemas de medida

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 5

Sistemas de medida

1. Existen, además del metro, otras unidades para medir longitudes. Trata de buscar información sobre otros sistemas de medida, estableciendo las equivalencias con el metro y poniendo ejemplos de la vida diaria donde se utilicen.

2. El sistema métrico decimal no se estableció hasta el siglo XVIII. Antiguamente existían otros sistemas. Realiza un trabajo de investigación para ver cómo han ido evolucionando a lo largo de la historia las unidades de medida, estudiando el sistema egipcio, el griego y el romano hasta la actualidad.

3. Un comerciante compra el kilogramo de café a 3,70 euros. Al tostarlo pierde un 25% de masa. ¿A cómo debe vender los paquetes de cuarto kilogramo de café si quiere obtener un beneficio del 35%?

4. En muchas ocasiones es necesario utilizar unidades de longitud más pequeñas que el milímetro, por ejemplo, para medir bacterias y virus. Las más extendidas son la micra, el nanómetro y el ángstrom. a) Busca información sobre la equivalencia de estas medidas. b) Indica cuántos metros son 13.500 nanómetros. 5. Problema de las pesas de Bachet: “¿Qué número mínimo de pesas hay que utilizar en un juego de balanzas para poder pesar cualquier número entero de entre 1 y 40 kilogramos?”.

6. Un litro de agua tiene, aproximadamente, la masa de un kilogramo. ¿Cuántos kilogramos tendrá una caja con una docena de botellas de agua de litro y medio si la masa de cada botella es de 50 gramos, y la del cartón, de 1 hectogramo?

7. Las hojas de papel cumplen el formato DIN. Se parte de una hoja DIN-A0 y los siguientes números se obtienen dividiendo la hoja por la mitad: una hoja DIN-A1 es la mitad de tamaño que la A0, una hoja DIN-A2 es la mitad que la A1, y así sucesivamente como se indica en el dibujo. Las hojas de papel suelen pesar unos 80 gramos el metro cuadrado. Sabiendo que las dimensiones de una hoja de papel DIN-A0 son de 841 × 1.189 milímetros, calcula las dimensiones y el peso de una hoja DIN-A4. A5 A6 A3 A4 A1

A2

8. En Inglaterra, la pinta es una medida de capacidad que equivale a 0,5683 litros. La cisterna del camión tiene forma de cilindro. ¿Cuántas pintas contiene si el depósito está lleno? (Vcilindro    r2  h). Página fotocopiable

6m 80 cm

Sistemas de medida

Unidad 5

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 5

Sistemas de medida

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Indica la unidad del Sistema Métrico Decimal que utilizarías para medir las siguientes magnitudes. a) Distancia de un viaje.

b) Capacidad de un depósito de gasolina.

c) Superficie de una casa.

d) Masa de una sandía.

2. Expresa en metros las siguientes longitudes. a) 23,75 km

b) 3 mm

c) 80 cm

d) 0,0037 dam

3. Expresa en metros las siguientes longitudes. a) 8 km 3 hm 4 m

b) 7 hm 9 m 3 mm

4. Ordena de mayor a menor las siguientes superficies. 351,3 m2

0,03513 km2

0,3513 dam2

351,3 dm2

5. Realiza estas sumas. a) 23 km3 + 363 hm3

b) 253 m3 + 45,32 dam3

6. Ordena de mayor a menor las siguientes capacidades. 1.965 cL

19,65 daL

1,965 kL

196,5 mL

7. Expresa en kilogramos las siguientes masas. a) 7 hg 1 dag 4 g

b) 3 kg 25 hg 31 g

8. En una cafetería se hicieron para el turno de mañana 3 decalitros de café, y para el turno de tarde, 15 litros. Si para cada taza utilizan 15 centilitros de café, ¿cuántas tazas de café sirvieron en todo el día?

9. Una ONG está construyendo un pozo en una zona que no tiene agua potable. La máquina que perfora el terreno avanza por día 1,25 metros. Si necesitan que el pozo tenga una profundidad de 15 metros, ¿cuántos días tardarán en hacer la perforación?

10. En un gran premio de automovilismo, un piloto pierde, de media, el 4% de su peso. La siguiente tabla recoge lo que pesaron los tres primeros clasificados al final de una carrera. Primero

Segundo

Tercero

75 kg 6 hg

6,912 mag

72 kg

Página fotocopiable

¿Cuánto pesaba cada piloto al inicio de la carrera? 11. Observa estas equivalencias entre divisas.

14

Unidad 5

Euros

Dólares

Libras

1

1,4201

0,8834

Calcula a cuántos euros equivalen 3,08 dólares y 2,87 libras. Sistemas de medida

Propuesta de evaluación Unidad 5

Sistemas de medida

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) Kilómetros

b) Litros

c) Metros cuadrados

2. a) 23,5 ⋅ 1.000 = 23.500 m

d) Kilogramos

b) 3 : 1.000 = 0,003 m

c) 80 : 100 = 0,8 m

d) 0,0037 ⋅ 10 = 0,037 m

3. a) 8.304 m

b) 709,003 m

4. Pasamos todo a metros cuadrados. 351,3 m2 0,03513 km2 = 0,03513 · 1.000.000 = 35.130 m2 0,3513 dam2 = 0,3513 · 100 = 35,13 m2 351,3 dm2 = 351,3 : 100 = 3,513 m2 Ordenamos: 0,03513 km2 < 351,3 m2 < 0,3513 dam2 < 351,3 dm2 5. a) 23 km3 + 363 hm3 = 23.000 hm3 + 363 hm3 = 23.363 hm3 b) 353 m3 + 45,32 dam3 = 353 m3 + 45.320 m3 = 45.673 m3 6. Pasamos todo a litros: 1.965 cL = 19,65 L

19,65 daL = 196,5 L

1,965 kL = 1.965 L

196,5 mL = 0,1965 L

Ordenamos: 1,965 kL > 19,65 daL > 1.965 cL > 196,5 mL 7. a) 0,714 kg

b) 5,531 kg

8. Primero calculamos la cantidad de café que se sirvió entre los dos turnos: Mañana: 3 daL = 30 L

Total: 45 L

Tarde: 15 L Cada taza lleva 15 cL. Se utilizaron 45 L = 4.500 cL de café. 4.500 : 15 = 300 Se sirvieron 300 tazas.

9. Al día perforan 1,25 m y quieren perforar 15 m. Tardarán: 15 : 1,25 = 12 días. 10. Primero expresamos en la misma unidad (kilogramos) el peso de los tres pilotos. Primero

Segundo

Tercero

75 kg 6 hg

6,912 mag

72 kg

75,6 kg

69,12 kg

72 kg

Al inicio de la carrera, los pilotos pesaban: Primer clasificado: 75,6 : 0,96 = 78,75 kg Segundo clasificado: 69,12 : 0,96 = 72 kg

11. 3,08 dólares son:

3,08 14201 ,

= 2,17 euros.

2,87 libras son:

2,87 0,8834

Página fotocopiable

Tercer clasificado: 72 : 0,96 = 75 kg = 3,25 euros.

Sistemas de medida

Unidad 5

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

6

ESO

Números enteros

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *También la podrás encontrar en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 6

Números enteros

En esta unidad se introducen los números enteros. Los alumnos ya conocen del curso anterior los números negativos y están familiarizados con situaciones de la vida cotidiana en las que aparecen, pero este concepto les cuesta trabajo asimilarlo. En esta unidad se pretende que refuercen los números enteros, por ello es conveniente consolidar los siguientes aspectos: • Los alumnos tienen que identificar el conjunto de los números enteros como una ampliación de los números naturales. Es conveniente explicarles que esta ampliación surgió por la necesidad de realizar restas dentro del conjunto de los números naturales en las que el sustraendo es un número mayor que el minuendo, y se pone de manifiesto en la representación de los números enteros sobre la recta numérica. • Es importante que desde el comienzo de la unidad comprendan el significado de valor absoluto de un número entero, ya que va a ser imprescindible para realizar las operaciones. • Hay que recordar las operaciones combinadas trabajadas en las unidades anteriores para poder trasladarlas a las operaciones combinadas con números enteros, de esta forma se refuerza la idea de que se vuelve a aplicar lo mismo que ya se sabía.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Manejar y conocer la estructura del conjunto de números enteros.

1.1 Representar números enteros en la recta numérica.

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.2 Ordenar números enteros. 2. Calcular expresiones numéricas de números enteros, aplicando correctamente las reglas de prioridad y haciendo un uso adecuado de signos y paréntesis.

2.1 Calcular el valor absoluto de un número entero. 2.2 Calcular el opuesto de un número entero.

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico

2.3 Realizar operaciones con números enteros.

• Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital

2.4 Realizar operaciones combinadas con números enteros. 3. Utilizar de forma adecuada los números enteros para expresar y entender información en actividades relacionadas con la vida cotidiana.

3.1 Utilizar los números enteros para expresar, representar y resolver situaciones de la vida cotidiana.

CONTENIDOS • Números positivos y negativos • Valor absoluto de un número • Opuesto de un número • Representación de números enteros • Ordenación y comparación de números enteros • Suma de números enteros

2

Unidad 6

Números enteros

• Resta de números enteros • Multiplicación de números enteros. Regla de los signos • División de números enteros. Regla de los signos • Operaciones combinadas de números enteros

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para el buen desarrollo de esta unidad es necesario que los alumnos entiendan el significado y la utilidad de los números naturales para poder dar el salto hacia los números negativos. Antes de empezar a trabajar los números negativos conviene empezar representando en una recta los números naturales, haciendo referencia al orden. A continuación se les pueden proponer algunos ejemplos de restas en las que el sustraendo sea mayor que el minuendo, y que indiquen situaciones de la vida cotidiana donde se presentan dichas operaciones.

2. Previsión de dificultades Aunque los alumnos ya conocen los números enteros de cursos anteriores, posiblemente las operaciones con números enteros, en particular la suma y la resta, sean uno de los conceptos que más trabajo les cueste asimilar durante todo este curso. Es muy importante no pasar de una operación a otra hasta que se tenga dominada la primera y proponer múltiples operaciones con números negativos asociadas a situaciones reales.

3. Vinculación con otras áreas Aunque en las orientaciones dadas en los epígrafes se concreta más este punto, conviene insistir a los alumnos en la idea de que los números enteros tienen presencia en todos los campos de la ciencia, la técnica y la actividad social en general, y que dominar sus operaciones es esencial.

4. Esquema general de la unidad Al comenzar la unidad, la sección “Desarrolla tus competencias” propone varias actividades basadas en situaciones cotidianas en las que aparecen los números enteros. Este es un buen momento para sugerirles que lleven al aula recortes de prensa en los que aparezcan noticias sobre cotizaciones de bolsa, temperaturas máximas y mínimas registradas en la región… De este modo comprobarán que los números enteros se utilizan en situaciones variadas de la vida cotidiana y podrán sentirse motivados para comenzar la unidad. La unidad comienza explicando el significado del cero y la representación de los números enteros en la recta numérica, para pasar a analizar las distintas situaciones en la que aparecen los números enteros.

NÚMEROS ENTEROS Significado y aplicaciones

Operaciones Suma

Valor absoluto Resta Opuesto Multiplicación Comparación

El primer epígrafe acaba con las definiciones de valor absoluto y opuesto de un número entero y la comparación de números enteros. El resto de la unidad se centra en las operaciones con números enteros. Para la suma y la resta, cada epígrafe empieza analizando cómo se realiza la operación y a continuación establece una regla para cada una.

División Operaciones combinadas

Una vez explicadas las cuatro operaciones, la unidad acaba trabajando las operaciones combinadas.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Números enteros 2.ª Valor absoluto. Opuesto. Comparación 3.ª Suma de números enteros 4.ª Resta de números enteros 5.ª Multiplicación y división 6.ª Operaciones combinadas con números enteros 7.ª Actividades de consolidación y aplicación 8.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Números enteros

Unidad 6

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a los números enteros y sus operaciones, es la subcompetencia uso de elementos y herramientas matemáticos la que más presencia tiene.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja especialmente en la sección de “Aprende a pensar con matemáticas”, donde las actividades no son guiadas y requieren aplicar las subcompetencias de innovación y planificación y realización de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno.La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 6

Números enteros

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Lingüística

Matemática

Comunicación escrita.

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Extrae información de un texto científico y emplea en la resolución de problemas reales. Actividad 71

– Utiliza los números enteros en distintos contextos de la vida cotidiana. – Realiza con rigor y precisión operaciones con números enteros. – Aplica los números enteros a la representación de situaciones reales concretas. Toda la unidad

Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos. Interacción con el mundo físico

Social y ciudadana

Aplicación del método científico en diferentes contextos.

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Realizar predicciones con los datos que se poseen, obtener conclusiones basadas en pruebas y contrastar las soluciones obtenidas. Ejercitar los derechos, libertades, responsabilidades y deberes cívicos. Desarrollar actitudes de cooperación y defender los derechos de los demás.

– Calcula una variación de temperaturas en diferentes ciudades. Actividad 69 – Analiza las temperaturas de los distintos planetas del sistema solar. Actividad 72 – Comprende el sistema de husos horarios para calcular la hora en distintos puntos geográficos. Actividad 73

– Analiza el extracto de una cuenta bancaria calculando el saldo en cada momento. Actividades 17, 31 y 70

– Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 9 y 24 Autoevaluación

Tratamiento de la información y competencia digital

– Extrae la información que nos aportan los números enteros en distintas situaciones que nos rodean.

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Desarrolla tus competencias Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

– Interpreta la información que nos dan los números negativos al medir una temperatura. Actividades 16 y 21 – Interpreta los números negativos a la hora de expresar la altura sobre el nivel del mar de un punto geográfico. Actividad 22

Números enteros

Unidad 6

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación ciudadana: 17, 31, 70 • Educación para el desarrollo: 67 • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO Bibliográficos

– Unidad 2. Números enteros SM

• Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 3: Números enteros. Ecuaciones – Unidad I. Números enteros • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I

Otros

Internet

SM

GONZÁLEZ, J. L. (editor): Números enteros. Madrid, Síntesis, colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, 1991. www.smconectados.com www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/1esomatmrd08

Otros

Página del IES Cerdeño, elaborada por los profesores del departamento de Matemáticas Covadonga Castañón y José Antonio Sánchez:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatmrd09

6

Unidad 6

• Recortes de prensa en los que aparezcan números negativos: temperaturas máximas y mínimas en una región, cotizaciones de bolsa… • Vídeo número 6, Números, de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida por Metrovideo Española, S. L. • Herramientas informáticas como WIRIS.

Números enteros

Sugerencias didácticas Entrada La foto de entrada nos permite trabajar la competencia matemática al hacer reflexionar a los alumnos sobre el uso y la presencia de los números enteros en la vida cotidiana. Las plantas subterráneas de un edificio son uno de los posibles contextos en los que aparecen los números negativos, pero podemos pedir a los alumnos que piensen contextos cercanos a ellos en los que también estén presentes estos números.

Desarrolla tus competencias En estas cuatro actividades se trabaja la competencia de tratamiento de la información e interacción con el mundo físico. Las cuatro presentan distintos ejemplos de presencia de los números enteros en los que los alumnos tienen que analizar la diferencia que existe entre la utilización de un número entero positivo y un número entero negativo. Podemos enlazar estas cuatro actividades con la propuesta de contextos que se hizo en la entrada de la unidad. Es posible que algún alumno propusiera como ejemplo de utilización de los números enteros alguno de los utilizados en estas actividades, pero seguro que proponen distintas situaciones y podemos utilizar estos contextos para preparar preguntas que nos sirvan para analizar la presencia de los números enteros. Otra posibilidad es que ahora se les pida a los propios alumnos que además preparen alguna pregunta que sirva para analizar la presencia de los números enteros en ese contexto y la diferencia de uso entre los números positivos y los negativos.

1. Números positivos y negativos • Conviene recordar a los alumnos que los números enteros surgen ante la necesidad de representar situaciones de la vida cotidiana que no se pueden representar con los números naturales. • Una vez que se hayan introducido los números enteros, conviene representarlos en una recta, asociándolos con el panel de un ascensor, tal y como viene en el dibujo. Esta representación servirá además para introducir el concepto de opuesto de un número entero. Se puede aprovechar la noción de simetría implícita en la recta numérica e interpretar los opuestos como simétricos, los que tienen la misma distancia al origen. • Podemos volver a utilizar los mismos contextos propuestos por los alumnos desde el comienzo de la unidad para analizar el significado del 0 en cada uno de ellos. • Para el valor absoluto se pueden utilizar ejemplos del siguiente tipo: Andrés y Marta entran en un edificio. Marta sube hasta la planta 3, y Andrés baja hasta la planta −3. Los tramos de escalera que han subido y bajado Marta y Andrés son, respectivamente, 3. • Para introducir la ordenación de los números enteros, se pueden comparar en primer lugar dos números naturales y ver que el que uno sea mayor que otro se traduce, en la recta numérica, en que está situado más a la derecha. A continuación se extiende esta situación a la recta numérica completada con los enteros y se realizan varios ejemplos; pues a los alumnos les cuesta asimilar la idea

de que entre dos números enteros negativos es mayor el que menor valor absoluto tiene.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1 a 5, 8 y 32 a 44

Medio

6y7

2. Suma de números enteros • La suma de dos números enteros positivos no va a causar ninguna complicación a los alumnos, el problema vendrá cuando se trate de un número negativo y otro positivo, o de dos números negativos. • Si se tiene tiempo, y para no explicar exclusivamente las reglas de cómo se suma, se pueden introducir los diferentes casos interpretándolos como desplazamientos en una carretera: – Se dibuja en la pizarra una recta numérica que represente una carretera. – Se dibuja en la mitad un automóvil. – Si el móvil se desplaza a la derecha, se considera como desplazamiento positivo: avanza. – Si el móvil se mueve hacia la izquierda, se considera como desplazamiento negativo: retrocede. – Se harán diversos ejemplos de dos desplazamientos encadenados, combinando todas las posibilidades, y se anotará la posición final del vehículo. Por ejemplo: 1. Avanza 5 km a la derecha. 2. Retrocede 7 km desde la posición actual. 3. La posición final del móvil es el punto −2. 4. Escribimos la operación asociada a esta situación: (+5) + (−7) = −2 Conviene hacer ejemplos gráficos de todos los casos, para que a los alumnos les resulte más fácil memorizar y automatizar las reglas de la suma de números enteros. 16. En esta actividad se trabaja la competencia de tratamiento de la información al tener que interpretar la información que nos suministran los números enteros expresados en forma gráfica. Esta es una actividad sencilla, ya que la interpretación de la información que nos suministran los termómetros es algo muy normal para los alumnos. Puede resultar útil aprovechar esta unidad para reforzar la representación de números enteros en la recta numérica. Aprovechando que la información que nos suministran los termómetros es muy fácil de entender por los alumnos, podemos considerar la recta numérica como un termómetro infinito en el que se sitúan las distintas temperaturas. 17. El análisis del extracto de una cuenta es una situación ante la cual los alumnos se van a enfrentar en un futuro, además de ser una buena aplicación de los números enteros. Con esta actividad trabajamos la competencia social y ciudadana. También se puede trabajar la competencia de tratamiento de la información al relacionar los gastos como números negativos y los ingresos como números positivos.

Números enteros

Unidad 6

7

Sugerencias didácticas

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

10 a 16 y 45 a 47

Medio

17 y 48

3. Resta de números enteros. Simplificación de signos • Se puede explicar la resta de números enteros con el mismo ejemplo gráfico de la suma, comentando que restar es hacer lo contrario. Así, por ejemplo, si se tiene la resta (+5) − (+7), que se traduce en que el móvil primero avanza 5 kilómetros y luego hace lo contrario de avanzar 7 kilómetros, es decir, retrocede 7 kilómetros, expresándolo con una suma quedaría: (+5) + (−7), que los alumnos ya saben resolver. • Conviene solucionar de modo gráfico todos los casos, para que los alumnos se den cuenta de que restar dos números enteros no es más que sumar al primero el opuesto del segundo. 21. Esta actividad tiene un contexto similar a la actividad 16, se vuelve a trabajar con las temperaturas. La diferencia en este caso viene a la hora de interpretar la información que está expresada en una tabla. La actividad se puede ampliar realizando las mismas preguntas, pero con la información real que aparece en la prensa de un día cercano; en este caso lo podemos hacer con todas las capitales de provincia de España o elegir la información de las capitales de distintos países del mundo, con lo que obtendremos más contrastes en las temperaturas y podremos enlazar estas grandes diferencias para trabajar la competencia de interacción con el mundo físico al estudiar cómo se distribuyen las distintas estaciones por los distintos países del globo terráqueo. 22. La realización de esta actividad nos permite analizar la información sobre el significado de una altitud negativa y de una altura sobre el nivel del mar o bajo el nivel del mar.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

18, 19, 22 y 49

Medio

20, 21, 23 y 50 a 54

4. Multiplicación y división de números enteros • Para explicar la multiplicación de números enteros se puede emplear el mismo ejemplo que se viene utilizando en los epígrafes anteriores. Al igual que en la suma y la resta, se ven los cuatro casos de un modo gráfico para escribir después las reglas de la multiplicación.

8

Unidad 6

Números enteros

A continuación se describen todas las posibilidades:

(+2) ⋅ (+5) = (+10)

Esta operación se traduce en hacer dos desplazamientos a la derecha de 5 km cada uno. La posición final del móvil es el punto kilométrico +10.

(+2) ⋅ (−5) = (−10)

Se traduce en dos desplazamientos a la izquierda de 5 km cada uno.

(−2) ⋅ (+5) = (−10)

Se traduce en dos desplazamientos contrarios a dos desplazamientos de 5 km a la derecha.

(−2) ⋅ (−5) = (−10)

Se traduce en dos desplazamientos contrarios a dos desplazamientos de 5 km a la izquierda.

• Para introducir la división conviene mencionar que es la operación contraria al producto, para que los alumnos deduzcan los signos, teniendo en cuenta la regla de los signos del producto. • Al finalizar el epígrafe conviene detenerse en la realización de varios ejemplos de operaciones combinadas con números enteros. 31. Podemos considerar esta actividad como multicompetencial. Con ella trabajamos las siguientes competencias: – Lingüística, el alumno tiene que leer el texto donde se informa de los movimientos bancarios que hace Óscar. – De tratamiento de la información, al tener que interpretar los gastos como números negativos y los ingresos como números positivos. – Para la autonomía e iniciativa personal, ya que el alumno empieza a tener conciencia de los gastos e ingresos que puede tener en su vida adulta.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

25, 26, 55 y 56

Medio

31, 57 y 58

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las números 59 a 71 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los con-

Sugerencias didácticas

tenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos. 69. Se vuelve a trabajar la presencia de los números enteros en las temperaturas, analizando e interpretando las temperaturas positivas y negativas. También podemos utilizar la prensa diaria para calcular la diferencia de temperaturas durante la semana anterior. 70. Esta actividad vuelve a trabajar la presencia de los números enteros en entornos bancarios. Al igual que en la actividad 31, se vuelven a trabajar la competencia de tratamiento de la información y la de autonomía personal de la misma forma. 71. Con esta actividad se trabaja, entre otras, la competencia lingüística, al tener que leer un par de breves textos en los que los alumnos deben analizar y extraer información para poder hacer las actividades. También se trabaja la competencia de tratamiento de la información al interpretar el distinto sentido que tienen los números positivos y negativos dependiendo de si reflejan la información de un año o de una altura.

Pon a prueba tus competencias 72. Con esta actividad se vuelve a trabajar el sentido que tienen los números enteros a la hora de interpretar temperaturas, en este caso las de nuestro sistema solar. En el último ejercicio, el alumno tiene que prever en qué estado va a estar un líquido basándose en la información que tiene, esta es una forma de aplicar el método científico y trabajar la competencia de interacción con el mundo físico. 73. El sistema de husos horarios suele ser conocido, ya que en España tenemos una zona, Canarias, que está

en otro huso horario. Podemos aprovechar esta actividad para que los alumnos realicen un trabajo de investigación sobre el origen y los problemas del actual sistema de husos horarios.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Números enteros

Unidad 6

9

Actividades de refuerzo

Números enteros

Unidad 6 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los números enteros son imprescindibles para el resto de contenidos del curso. Por este motivo es importante que los alumnos entiendan su significado y utilización. Es conveniente: • Introducir los números enteros con ejemplos de situaciones cotidianas para los alumnos, en los que se utilicen, sobre todo, números negativos. • Utilizar un termómetro graduado en el aula para que los alumnos aprecien la simetría entre números positivos y negativos. • Introducir la suma y resta de enteros haciendo referencia al desplazamiento de un móvil. Si con este ejemplo les cuesta entenderlas, podemos hacer una analogía con subir y bajar escaleras.

ACTIVIDAD DE GRUPO Tiro al blanco: un juego con números enteros 1

2

3

4

5

6

7

8

El material necesario para este juego es un tablero como el de la figura y dos dados de distinto color.

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

Se divide la clase en grupos de tres o cuatro alumnos cada uno.

1

2

3

4

5

6

7

8

El juego consiste en obtener, mediante sumas de números del tablero, el número entero que se obtiene al lanzar los dados.

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1

2

3

4

5

6

7

8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1

2

3

4

5

6

7

8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

Uno de los dados se utilizará para indicar el valor absoluto del número que hay que obtener, y el otro dado, para determinar el signo según el resultado de la tirada sea par o impar. Por ejemplo, se puede establecer que si en ese dado sale un número par, el signo será positivo, y si sale un número impar, el signo será negativo. En cada turno, el jugador tachará del tablero los números empleados para obtener el número que le ha salido al tirar los dados.

El juego terminará cuando se hayan tachado todos los números del tablero. Gana el jugador que más números haya tachado. Por lo que puede resultar útil que cada jugador utilice un código diferente para tachar los números que él haya utilizado (círculos, aspas, sombreado…) o bien un color diferente.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) −3 ºC b) +20 m

3.

–6

–4

–2

0

2

4

6

8

R

E

C

O

N

O

C

E

R

4.

–5

(+

2.

–8

5

2

–3

5

2

5

10

–1

–6

–1

3

–1

–4

–12

–8

–4

1

6

4

–3

–8

–3

–2

1

2

–2

7

–2

–7

–2

3

0

–4

1

1

–5

1

4

7

–2

3

3) (–

6

x

(–

2)

6

5) (– ) x 5 2) x (+ 2) (–

S A L I D A

–3 + 5 – 9

:( 8) (+

(–

1

2) :

(–

4)

:3

–2

)

2–5–4

–4

9

(–2) + (+2) x (–2) 5 + (–1) x (+3)

–6 5–2 ( –

–3

)

M E T A

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 6

Números enteros

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO

Números enteros

Unidad 6

1. Asocia a cada situación el número entero que le corresponde. a) Temperatura de 3 grados bajo cero.

b) El buitre vuela a 20 metros de altura.

2. Sitúate en la casilla de SALIDA con −5 puntos y averigua cuál es el recorrido que te lleva a la META. Ten en cuenta que para desplazarte hacia:

–5

S A L I D A

La derecha debes sumar +3 a la cantidad de la casilla en la que te encuentres. La izquierda debes sumar −5 a la cantidad de la casilla en la que te encuentres. Arriba debes sumar −4 a la cantidad de la casilla en la que te encuentres. Abajo debes sumar +2 a la cantidad de la casilla en la que te encuentres.

6

5

2

–3

5

2

5

10

–1

–6

–1

3

–1

–4

–12

–8

–4

1

6

4

–3

–8

–3

–2

1

2

–2

7

–2

–7

–2

3

0

–4

1

1

–5

1

4

7

–2

3

Además, en cada desplazamiento sólo puedes moverte a la casilla contigua que tenga el resultado correcto.

M E T A

3. Un palíndromo es una palabra o una frase que se lee de igual forma de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. Por ejemplo, la palabra ANA y la frase DÁBALE ARROZ A LA ZORRA EL ABAD son palíndromos. Sigue estas instrucciones para descubrir otro palíndromo. 1.º Calcula el valor de las siguientes expresiones. a) −6 + (2 − 4)

b) (−9 + 1) : 2

c) 6 + 3 ⋅ (− 2)

d) −5 − (2 − 9)

e) 2 − 3 ⋅ (−5) − 11 2.º Representa en la recta numérica los números obtenidos en el paso anterior y sus opuestos. 3.º Asocia a cada número entero representado en la recta numérica la letra que le corresponde según el código siguiente. Letra

R

Número −8, +8

A

E

P

C

I

O

S

N

−7, +7

−6, +6

−5, +5

−4, +4

−3, +3

−2, +2

−1, +1

0

4.º ¿Qué palabra has obtenido? Comprueba que efectivamente es un palíndromo.

4. Construye con los ocho triángulos que se dan a continuación la figura que te indicamos. Para ayudarte, une los lados en que el resultado de las operaciones sea el mismo. 2) (– (+ (–

3)

2)

(+

–

x

–6

1)

2)

(–

x

+ 9 – 5 +

–

9

5 4

–3

–

Página fotocopiable

(+2) x (–5)

(–12) : (–4)

2

(+8) : (–2)

9:3 –4

–3 – (5 – 2)

5

(–2) x (+5)

(–3) x (–2)

Números enteros

Unidad 6

11

Actividades de ampliación

Números enteros

Unidad 6 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Los números enteros, su significado y operaciones ya se han tratado en el último curso de primaria, por lo que habrá alumnos que con esta unidad consolidarán y afianzarán sus conocimientos. Con estos alumnos podemos: • Hacer actividades que involucren un dominio absoluto de la suma y resta de números enteros, planteando situaciones en las que tengan que averiguar sumandos desconocidos. • Pedir que simplifiquen expresiones aritméticas con operaciones combinadas con números enteros, con paréntesis y corchetes. • Intentar que comiencen a deducir por sí mismos propiedades numéricas no estudiadas en la unidad, como son las potencias de base entera y exponente natural. Se empieza con ejemplos sencillos, pidiendo que utilicen únicamente la definición de potencia como un producto de factores iguales y la regla de los signos de la multiplicación de números enteros para calcular las primeras potencias de −2. Una vez que se hayan dado cuenta de la regularidad que se cumple, deberán deducir cómo se calculan las potencias de los números enteros.

ACTIVIDAD DE GRUPO Tiro al blanco: un juego con números enteros 1

2

3

4

5

6

7

8

El material necesario para este juego es un tablero como el de la figura y dos dados de distinto color.

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

Se divide la clase en grupos de tres o cuatro alumnos cada uno.

1

2

3

4

5

6

7

8

El juego consiste en obtener, mediante sumas de números del tablero, el número entero que se obtiene al lanzar los dados.

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1

2

3

4

5

6

7

8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1

2

3

4

5

6

7

8

Uno de los dados se utilizará para indicar el valor absoluto del número que hay que obtener, y el otro dado, para determinar el signo según el resultado de la tirada sea par o impar. Por ejemplo, se puede establecer que si en ese dado sale un número par, el signo será positivo, y si sale un número impar, el signo será negativo.

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

En cada turno, el jugador tachará del tablero los números empleados para obtener el número que le ha salido al tirar los dados.

El juego terminará cuando se hayan tachado todos los números del tablero. Gana el jugador que más números haya tachado. Por lo que puede resultar útil que cada jugador utilice un código diferente para tachar los números que él haya utilizado (círculos, aspas, sombreado…) o bien un color diferente.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

3. a)

–13 27 32 –33 –35

2. a) b) c) d)

–40 –5

65 2

–35 –70

63

35

–133

168

Iguales. 1, 3 y 5. Todos son números impares. 2, 4 y 6. Todos son números pares. Las potencias de exponente impar son negativas, y las de exponente par, positivas.

b)

−15

10

5

20

0

−20

−5

−10

15

−24

18

15

−15

9

−9

−6

0

−3

3

6

−12

12 4. a) −3

−18 −21

21

b) 62

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 6

Números enteros

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 6

Números enteros

1. Completa la pirámide con números enteros de modo que cada casilla contenga la suma de los dos números de las casillas inferiores. –13

27

–5

65

63

2. Completa la siguiente tabla para estudiar cómo son las potencias de los números negativos. Potencia

Exponente

Producto

Valor

(−2)1

1

(−2)

−2

(−2)2

2

(−2) ⋅ (−2)

4

(−2)3 (−2)4 (−2)5 (−2)6 a) ¿Cómo son los valores absolutos de las potencias de (−2) comparadas con las potencias de 2? b) ¿Cuáles son los exponentes de las potencias cuyo valor es negativo? ¿Qué relación guardan entre si? c) ¿Cuáles son los exponentes de las potencias cuyo valor es positivo? ¿Qué relación guardan entre si? d) Completa la siguiente tabla con las conclusiones que has obtenido. Exponente (−2)n

Valor

par negativo

3. Completa los siguientes cuadrados mágicos de manera que cada fila, columna y diagonal sumen la cantidad indicada en cada caso. a) Suman 0. −15

10

b) Suman −6. −24

18 −9

0

0 6

12

Página fotocopiable

4. Calcula el valor de las siguientes expresiones. a) −2 − (−5)2 ⋅ (−2) − [13 − (3 − 18) ⋅ 2 − (−2)3] b) 15 − (15 − 12) ⋅ (8 − 14) + (−1)5 ⋅ [8 ⋅ (−2) + 5 − 3 ⋅ (−6) + 4 ⋅ (2 − 11)]

Números enteros

Unidad 6

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN

Números enteros

Unidad 6 APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Asocia números enteros a las siguientes situaciones. a) Un avión vuela a 3000 metros de altura.

b) Pago de un recibo de 325 euros.

2. Representa en la recta numérica los siguientes números enteros. −8

7

−6

−5

4

−1

3. Escribe entre cada una de estas parejas de números enteros el signo según corresponda. a) −3

−5

b) −10

−8

c) −1

0

d) 0

− 10

4. Escribe los números enteros que son mayores que |-5| y menores que 10. 5. Esta tabla recoge las temperaturas máximas y mínimas que se registraron durante una semana en una localidad. Mín.

Máx.

Lunes

−3 ºC

10 ºC

Martes

0 ºC

12 ºC

Miércoles

−1 ºC

5 ºC

Jueves

−2 ºC

4 ºC

Viernes

−4 ºC

0 ºC

Sábado

−7 ºC

0 ºC

Domingo

−10 ºC

−1 ºC

a) ¿Qué día hizo más frío? b) ¿En qué día fue mayor la variación de temperatura? c) ¿Qué día fue el de menor variación térmica?

6. María ha ido a unos grandes almacenes para hacer las compras navideñas. Primero compra colonia en la planta baja, luego sube cuatro plantas para comprar una blusa a su madre, después baja cinco plantas para comprar leche y finalmente desciende dos plantas más para recoger el coche del garaje. ¿En qué planta aparcó el coche? 7. Realiza las siguientes sumas y restas de números enteros. a) (−7) + (−12)

b) (−7) + 12

c) 7 + (−12)

d) (−17) + 12

8. Halla los resultados de estas operaciones. a) 2 − 5 + 3 − 20 + 17

b) −15 + 16 − 8 + 23 − 5

c) 2 − 5 − 7 + 8 + 20 − 15 − 13

d) −13 + 5 − 7 − 14 + 15

9. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de números enteros. a) (−20) ⋅ 4

b) (−20) ⋅ (−4)

c) 120 : (−40)

d) (−120) : (−40)

Página fotocopiable

10. Realiza las siguientes operaciones.

14

a) −13 − (5 − 7)

b) 5 + (3 − 10 + 4) − (8 − 15)

11. Calcula las siguientes expresiones. a) 8 : (−2) − 1 + 5 · [6 − 40 : (3 + 2) − 3] + 4 · 2 + 1

Unidad 6

Números enteros

b) 10 − [15 − (5 − 17) : 4 − 2 · 3] : 4

Propuesta de evaluación Unidad 6

Números enteros

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) +3000 m 2.

–8

–6 –5

b) −325 € –1

3. a) −3 > −5

4

b) −10 < −8

7

c) −1 < 0

d) 0 > −10

4. 6, 7, 8 y 9 5.

Variación (ºC) Lunes

13

Martes

12

Miércoles

6

Jueves

6

Viernes

4

Sábado

7

Domingo

9

a) Hizo más frío el domingo. b) El día de mayor variación fue el lunes. c) El viernes fue el día de menor variación térmica. 6. +4 − 5 − 2 = −3 Deja el coche en la tercera planta del sótano. 7. a) −19

b) 5

c) −5

d) −5

8. a) 2 − 5 + 3 − 20 + 17 = 22 − 25 = −3 b) −15 + 16 − 8 + 23 − 5 = 39 − 28 = 11 c) 2 − 5 − 7 + 8 + 20 − 15 − 13 = 30 − 40 = −10 d) −13 + 5 − 7 − 14 + 15 = 20 − 34 = −14 9. a) −80

b) 80

c) −3

d) 3

10. a) −13 − (5 − 7) = −13 − (−2) = −13 + 2 = −11 b) 5 + (3 − 10 + 4) − (8 − 15) = 5 + (−3) − (−7) = 5 − 3 + 7 = 9 11. a) 8 : (−2) − 1 + 5 · [6 − 40 : (3 + 2) − 3] + 4 · 2 + 1 = = −4 − 1 + 5 · (6 − 40 : 5 − 3) + 8 + 1 = = −4 − 1 + 5 · (6 − 8 − 3) + 8 + 1 = = −4 − 1 + 5 · (− 5) + 8 + 1 = = −4 − 1 − 25 + 8 + 1 = −21 b) 10 − [15 − (5 − 17) : 4 − 2 · 3] : 4 = Página fotocopiable

= 10 − (15 − (−12) : 4 − 6) : 4 = = 10 − (15 − (−3) − 6) : 4 = = 10 − (15 + 3 − 6) : 4 = = 10 − 12 : 4 = 10 − 3 = 7

Números enteros

Unidad 6

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

7

ESO

Proporcionalidad

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *También la podrás encontrar en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 7

Proporcionalidad

Es esta unidad se trata el concepto de proporcionalidad desde el punto de vista numérico. Dentro del marco de la proporcionalidad, se introducen aspectos como el porcentaje de una cantidad o la escala, conceptos necesarios para que los alumnos sean capaces de desenvolverse adecuadamente en la sociedad actual. Otro aspecto que se trabaja en la unidad es la idea de función. Los alumnos tienen que ser conscientes de la utilidad e importancia de estos nuevos conceptos; por tanto, hay que fijarse como objetivo prioritario que reconozcan y sepan valorar la presencia de las funciones y las gráficas en la vida que los rodea. Por estos motivos es importante: • Partir de situaciones y ejemplos concretos, sencillos y cercanos a los alumnos para formar relaciones que expresaremos en forma de fracciones y que darán lugar a las razones y posteriormente a las proporciones. • Trabajar la identificación de magnitudes directamente proporcionales, observando las condiciones que deben cumplirse y calculando la razón de proporcionalidad directa. • Exponer el concepto de porcentaje y las distintas formas de calcular el porcentaje. • Construir e interpretar gráficas para poder analizar la información que de ellas se pueda extraer.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Identificar relaciones de proporcionalidad a través de información numérica.

1.1 Identificar si dos razones forman una proporción y reconocer sus términos.

2. Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana en los que intervengan magnitudes directamente proporcionales.

2.1 Resolver problemas en los que intervenga la proporcionalidad.

COMPETENCIAS BÁSICAS

2.2 Calcular y aplicar porcentajes. • Lingüística

3. Analizar gráficamente la relación que existe entre dos magnitudes.

2.3 Utilizar las escalas para calcular la medida real de un objeto y viceversa.

• Matemática

3.1 Localizar y representar puntos en el plano a partir de sus coordenadas cartesianas.

• Tratamiento de la información y competencia digital

• Interacción con el mundo físico • Social y ciudadana

3.2 Representar y analizar la relación gráfica que existe entre dos magnitudes. 4. Relacionar las situaciones en las que intervienen dos magnitudes con las funciones.

4.1 Plantear y resolver problemas en los que intervienen funciones que relacionan dos magnitudes.

CONTENIDOS • Razón y proporción numérica • Magnitudes directamente proporcionales • Razón de proporcionalidad • Propiedades de las proporciones • Plano cartesiano • Idea de función • Gráfica de una función • Representación de magnitudes directamente proporcionales

2

Unidad 7

Proporcionalidad

• Representación de magnitudes no proporcionales • Lectura e interpretación de gráficas • Porcentajes • Cálculo de porcentajes, aumentos porcentuales y disminuciones porcentuales • Escalas • Paso de medidas reales al plano y viceversa

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para esta unidad es necesario que los alumnos recuerden el concepto de fracción decimal, fracciones equivalentes y el modo de calcular la fracción de una cantidad. Los epígrafes relacionados con funciones son nuevos para los alumnos, al comenzar es fundamental que manejen con soltura la representación de los números enteros en la recta numérica, ya que es la base para situar puntos en el plano.

2. Previsión de dificultades Uno de los principales errores que cometen los alumnos en esta unidad es confundir el concepto de fracción con el de razón. Hay que recordarles que tanto el numerador como el denominador de una fracción han de ser números enteros, cosa que no tiene que pasar en las razones. En cuanto a las funciones, los alumnos suelen tener grandes dificultades, ya que se trata de un concepto nuevo, y conviene tratarlo despacio y no pasar de un contenido al siguiente si ellos no lo tienen claro.

3. Vinculación con otras áreas Aunque en las orientaciones dadas en los epígrafes se concreta más este punto, conviene insistir a los alumnos en la idea de que la proporcionalidad y las funciones aparecen en la actividad social en general y son esenciales en la vida cotidiana.

4. Esquema general de la unidad La sección “Desarrolla tus competencias” propone dos actividades extraídas de la vida real (el análisis de la composición nutricional de un alimento y el estudio de la relación entre el tiempo de estacionamiento y el precio del aparcamiento) con las que se presenta a los alumnos la utilidad de la proporcionalidad. Los primeros tres epígrafes tratan sobre las magnitudes proporcionales, el primero se centra en la identificación de las magnitudes directamente proporcionales y de su razón de proporcionalidad, y los dos siguientes, en la aplicación a situaciones cotidianas.

PROPORCIONALIDAD Magnitudes directamente proporcionales

Los epígrafes 4 y 5 se centran en el estudio gráfico de la relación entre dos magnitudes. En ellos se introduce la idea de función y su representación gráfica en el plano cartesiano. Los epígrafes 6 y 7 se centran en los porcentajes, el primero, en su cálculo y significado, y el segundo, en las distintas aplicaciones. El último epígrafe se dedica a las escalas, centrándose en su uso en planos y mapas. Se trabaja el paso de medidas reales al plano y viceversa.

Representación gráfica

Cálculo de valores

Aplicaciones Porcentajes

Plano cartesiano

Escalas

Razón de proporcionalidad

Magnitudes directamente proporcionales

Resolución de problemas

Magnitudes no proporcionales

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en nueve sesiones: 1.ª Magnitudes directamente proporcionales. Razón de proporcionalidad 2.ª Cálculo de valores en magnitudes directamente proporcionales 3.ª Resolución de problemas de proporcionalidad 4.ª El plano cartesiano. Representación de magnitudes directamente proporcionales 5.ª Representación de magnitudes no proporcionales. Análisis de gráficas 6.ª Porcentajes y cálculo de porcentajes 7.ª Escalas. Paso del plano a la realidad y viceversa 8.ª Actividades de consolidación y aplicación 9.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Proporcionalidad

Unidad 7

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a la proporcionalidad, son las subcompetencias uso de elementos y herramientas matemáticos y resolución de problemas las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja especialmente en la sección de “Aprende a pensar con matemáticas”, donde las actividades no son guiadas y requieren aplicar las subcompetencias de innovación y planificación y realización de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno.La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 7

Proporcionalidad

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Lingüística

Matemática

Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Analiza la información necesaria de un texto. Pon a prueba tus competencias: 87

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Identifica y calcula valores de magnitudes directamente proporcionales. – Representa gráficamente la relación que existe entre dos magnitudes. – Calcula porcentajes. – Calcula la medida real de un plano o mapa dibujado a escala o viceversa. Toda la unidad

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Desarrollar actitudes de cuidado y respeto hacia el cuerpo humano, partiendo de su conocimiento.

– Analiza la información de la composición nutricional de un alimento. Desarrolla tus competencias: 1 Pon a prueba tus competencias: 89

Medio natural y desarrollo sostenible.

Comprender la influencia de las personas en el medioambiente a través de las diferentes actividades humanas y valorar los paisajes resultantes.

– Calcula la superficie de terreno que se quema en un municipio a lo largo de un año. Actividad 86

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Ejercitar los derechos, libertades, responsabilidades y deberes cívicos. Desarrollar actitudes de cooperación y defender los derechos de los demás.

– Interpreta correctamente la publicidad. Actividades 10 y 41 – Calcula el importe de una multa aplicando descuento o recargo. Actividad 42

Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

– Interpreta la relación de dos magnitudes que está expresada de forma gráfica o en tabla. Desarrolla tus competencias: 2 Actividades 11, 24, 26 y 28 – Expresa gráficamente la relación entre dos magnitudes. Actividad 25 – Extrae las medidas reales de un plano o mapa hecho a escala y viceversa. Actividades 44 y 45 Pon a prueba tus competencias: 88

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en diferentes páginas de internet para completar la información. En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 12, 37 y 43 Autoevaluación

Conocer los diferentes recursos tecnológicos y utilizar los programas informáticos más comunes.

– Conoce y maneja las unidades de medida de memoria de un ordenador. Actividad 36

Interacción con el mundo físico

Social y ciudadana

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Uso de herramientas tecnológicas

Proporcionalidad

Unidad 7

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación para el desarrollo: 69 • Educación ciudadana: 86 y 87 • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso Bibliográficos

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”.1º de ESO – Unidad 8. Tablas, gráficas y proporcionalidad SM

• Cuaderno de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 4: Proporcionalidad, gráficas y estadística – Unidad I. Proporcionalidad – Unidad II. Gráficas • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I

Internet

www.smconectados.com SM

Otros

www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/1esomatmrd10

Otros materiales

• Prensa, revistas de contenido económico, facturas y recibos, propaganda publicitaria de supermercados con ofertas. • Calculadoras para que se vayan familiarizando con la función porcentaje, así como con su aplicación a los problemas de aumentos y disminuciones. • Los siguientes videos: – Investigaciones matemáticas 10, producido por BBC Enterprises Limited y distribuido por Mare Nostrum. En la parte dedicada a la proporción trabaja el reparto proporcional, la comparación de proporciones y los mapas y las escalas. – Gráficos, vídeo número 4 de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida por Metrovideo Española, S. L.

6

Unidad 7

Proporcionalidad

Sugerencias didácticas Entrada El cambio de divisas es una de las aplicaciones de la proporcionalidad posible. Cuando uno realiza un viaje fuera de la zona euro debe cambiar el dinero antes de salir y para ello necesita el valor del cambio y después aplicar la proporcionalidad.

Desarrolla tus competencias 1. En esta actividad trabajamos la competencia de interacción con el mundo físico a través del estudio de la composición nutricional de un alimento, en particular de un yogur. Podemos continuar esta actividad buscando información sobre la cantidad diaria recomendada de cada uno de los componentes estudiados y calcular cuántos yogures necesitaríamos para completar esta cantidad. 2. En la segunda actividad trabajamos la competencia de tratamiento de la información, el alumno tiene que relacionar las magnitudes tiempo de estacionamiento en un aparcamiento y dinero que tenemos que pagar. Podemos pedir que los alumnos busquen otras magnitudes que ellos crean que están relacionadas de la misma forma y posteriormente establecer un debate sobre si realmente lo son.

1. Magnitudes directamente proporcionales • A la hora de razonar y explicar si dos magnitudes son directamente proporcionales, es importante que los alumnos se acostumbren a utilizar términos como: doble, triple, mitad, tercio… en lugar de más o menos, ya que el empleo de estos últimos puede conducirles a error. • Insistiremos en el cálculo de la razón de proporcionalidad para reconocer y comprobar si dos magnitudes son directamente proporcionales.

• Se puede relacionar el método de los productos cruzados con la comprobación de si dos fracciones son equivalentes, pero siempre dejando claro que no estamos trabajando con fracciones, sino con razones. 10. Con esta actividad trabajamos, además de la competencia social y ciudadana, la competencia de tratamiento de la información. Este tipo de información aparece en numerosas situaciones del entorno del alumno y es necesario que las analice y las interprete correctamente. 11. El consumo eléctrico, de gas o de agua son situaciones en las que aparece la proporcionalidad, y el alumno va a necesitar saber interpretarla correctamente en su vida adulta. Podemos pedirles que traigan un recibo de la luz de su casa, que calculen el precio del gasto de su bombilla con el precio por kW h que les cobra la compañía que suministra la electricidad en su casa. También podemos hacer otras simulaciones de facturas con el gasto de agua o gas.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

6 a 9 y 54 a 57

Medio

10 y 11

3. Problemas de proporcionalidad • Puede ser muy útil seguir trabajando las tres actividades del epígrafe ampliando el número de preguntas. Sobre todo, se puede cambiar la magnitud que se pide o cambiar el valor de la magnitud que se da.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

13 a 15

Medio

16 a 18, 58 y 59

• Para que asimilen bien los distintos procedimientos, podemos realizar ejercicios en los que sea necesario completar tablas de proporcionalidad directa.

4. Representación de magnitudes directamente proporcionales

• Es interesante proponer distintas situaciones para que los alumnos razonen si corresponden a magnitudes directamente proporcionales, de este modo comprobarán que hay magnitudes que no guardan ninguna proporción y también podremos preparar el camino para las magnitudes inversamente proporcionales, que se estudian el próximo curso.

• Es conveniente recordar la representación de los números enteros en la recta numérica para después introducir los ejes cartesianos y los puntos del plano.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1 a 4 y 48 a 52

Medio

5 y 53

• Los alumnos suelen confundir los nombres de los ejes, por lo que recordaremos las veces que sea necesario que el eje de abscisas es el horizontal, y el de ordenadas, el vertical. • Analizaremos detenidamente cómo varían los signos de las coordenadas de un punto dependiendo del cuadrante en que se encuentre el punto: – Primer cuadrantes (positivo, positivo) – Segundo cuadrante: (negativo, positivo)

2. Cálculo con magnitudes directamente proporcionales • Hay que insistir a los alumnos en la necesidad de comprobar que las magnitudes son directamente proporcionales antes de empezar a calcular valores de ellas.

– Tercer cuadrante: (negativo, negativo) – Cuarto cuadrante: (positivo, negativo) De este modo será más fácil que entiendan la importancia de no cambiar el orden de las coordenadas, pues obtenemos otro punto distinto, en muchas ocasiones perteneciente incluso a otro cuadrante. Proporcionalidad

Unidad 7

7

Sugerencias didácticas

• Es recomendable hacer las actividades en papel cuadriculado para que podamos exigir a los alumnos que sean precisos.

fracciones. De este modo, hallar el porcentaje de una cantidad se reduce a hallar la fracción de una cantidad, que ya han estudiado en una unidad anterior.

24. Esta es una de las actividades en las que el alumno tiene que extraer información expresada gráficamente. La principal competencia que se trabaja es la de tratamiento de la información.

36. La mayoría de los alumnos está familiarizada con este tipo de actividades, pero es posible que alguno necesite saber cuáles son las unidades de medida de la memoria de un disco duro. Este puede ser un buen momento para trabajar los peligros/beneficios del uso de internet, de esta forma podemos trabajar la competencia para la autonomía e iniciativa personal a través del desarrollo de una responsabilidad en el buen uso de la red.

25. En esta actividad, los alumnos tienen que interpretar la información de una frase para poder expresarla en forma gráfica. Ellos suelen saber interpretar la información cuando está de forma gráfica, es más visual, y sobre todo están más acostumbrados a verla en los medios de comunicación. Aprovechando este ejercicio, podemos establecer el debate sobre cómo se entiende mejor la información, con la frase o con la gráfica, para que los alumnos entiendan que es la misma información, pero expresada de dos formas distintas.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

19, 20, 60 y 61

Medio

21, 24, 25 y 62 23

Alto

5. Representación de magnitudes no proporcionales • Es la primera vez que los alumnos trabajan la idea de función. En este primer contacto se les inicia en la idea aprovechando la relación que existe entre magnitudes dependientes. • Es muy importante trabajar la relación entre tabla y gráfica, los alumnos tienen que comprender que son dos formas de expresar la misma información. • Otra vez es muy importante que los alumnos sean rigurosos a la hora de representar los puntos de la tabla, es conveniente que utilicen papel cuadriculado, sobre todo en las primeras representaciones. 26 y 28. Los ejercicios en los que interpretan gráficas son muy importantes en esta unidad. Podemos continuar trabajando esta actividad con recortes de prensa donde aparezcan algunas gráficas. Para cada recorte que traigan los alumnos podemos hacerles distintas preguntas, como si las magnitudes son directamente dependientes, cuáles son las magnitudes que relacionan…, o podemos pedir que sean los propios alumnos los que piensen posibles preguntas.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

29 a 32, 36 y 63 a 65

Medio

33 a 35

7. Problemas de porcentajes • Podemos plantear multitud de problemas sobre porcentajes basados en contextos cotidianos sin más que pedir a los alumnos que lleven al aula: – Catálogos y folletos con las ofertas de los supermercados de la zona. La mayoría de las veces anuncian que un tanto por ciento del producto es gratis. Los alumnos tendrán la oportunidad de comprobar si es cierto, y de este modo fomentaremos su espíritu crítico como consumidores. – Envases de alimentos. Por ley, en el etiquetado nutricional, toda la información debe expresarse de forma obligatoria por cada 100 gramos o 100 mililitros de producto. Además, siempre que el alimento contenga, por cada 100 gramos o 100 mililitros, un 15% como mínimo de la cantidad diaria recomendada (CDR) de vitaminas y sales minerales, el porcentaje debe incluirse en el etiquetado. 41. La realización de esta actividad nos acerca a una situación muy común, las rebajas en tiendas. Muchas veces, los alumnos se van a encontrar situaciones como esta en las que necesitan saber cuál es el precio del objeto y cuánto se van a ahorrar. Esta actividad se puede continuar trabajando con cualquier folleto de una gran superficie en el que nos podemos inventar posibles descuentos. 42. Simular el pago de multas e impuestos es una forma de trabajar la competencia social y ciudadana mediante la concienciación de los alumnos sobre la necesidad de cumplir las normas de tráfico. Esta actividad da pie a establecer un debate sobre los perjuicios que genera el aparcamiento indebido en las ciudades.

ACTIVIDADES POR NIVEL Medio

26 a 28

6. Porcentajes

8

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

38, 41, 42, 66 a 69 y 72

Medio

39, 40, 70 y 71

• Insistiremos en las distintas formas de expresar un porcentaje: como número decimal y como fracción decimal.

8. Representación a escala

• Si los alumnos asimilan bien que un porcentaje puede expresarse como una fracción decimal, podrán utilizar todas las herramientas que han aprendido para operar con

• Se les puede pedir a los alumnos que lleven al aula, si tienen, distintas maquetas, estas suelen traer la escala a la que están construidas. Como actividad se puede rea-

Unidad 7

Proporcionalidad

Sugerencias didácticas

lizar un concurso con los alumnos, estos tienen que decir la escala a la que está construida una maqueta y gana el que más se aproxime. • Se puede llevar planos de una misma ciudad o zona hechos a distintas escalas, de esta forma los alumnos pueden ver cómo influye la escala. También se puede establecer un debate sobre qué escala utilizada en el plano es mejor según para qué cosas se utilice. 44 y 45. Interpretar un mapa o un plano y extraer la información necesaria es una utilidad de las proporciones que los alumnos seguro van a utilizar en su vida. Estas dos actividades trabajan sobre ello, la primera sobre un típico plano de vivienda y la segunda sobre una zona geográfica, en este caso la isla de Menorca.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

44, 45, 47, 73 y 74

Medio

46

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 73 a 85 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos.

mada respecto a la superficie del municipio, provincia o comunidad autónoma. 87. Con esta actividad básicamente trabajamos la competencia lingüística. El alumno tiene que leer, analizar y extraer la información de un breve texto. 88. En esta actividad se vuelve a trabajar la competencia de tratamiento de la información de forma similar a las actividades 44 y 45. 89. Esta actividad es similar a la actividad primera de “Desarrolla tus competencias”. En este caso se amplía el trabajo con más información nutricional del alimento. Podemos seguir trabajando actividades de este tipo sin más que pedir a los alumnos que traigan la información nutricional de algún alimento.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

Pon a prueba tus competencias

Síntesis de la unidad

86. Con esta actividad podemos crear una conciencia de respeto con el medioambiente, ya que da pie a debatir el grave perjuicio para todos de los incendios forestales. Se puede investigar sobre algún incendio forestal cercano, calculando el porcentaje de superficie que-

Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Proporcionalidad

Unidad 7

9

Actividades de refuerzo Unidad 7

Proporcionalidad

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Para los alumnos que no hayan alcanzado los objetivos mínimos de la unidad, intentaremos que mediante otro tipo de actividades alternativas sean capaces de: • Analizar si dos razones son equivalentes. • Calcular el porcentaje de una cantidad. • Completar tablas de proporcionalidad directa, que pueden ser utilizadas posteriormente en la resolución de problemas sencillos. • Representar gráficamente una relación de proporcionalidad entre dos magnitudes. Es importante que los alumnos se den cuenta de que los contenidos de la unidad proporcionan herramientas útiles para abordar y resolver problemas de la vida cotidiana.

ACTIVIDAD DE GRUPO 1

31

32

32

Dominó de ecuaciones Formaremos grupos de un máximo de cuatro alumnos. Cada grupo deberá fabricar un tablero como el que se propone a continuación.

2

30

3

29

4

36

3,2 37

3 13 ¿ — = —– ? 12 2

0,32

3 18 — = —– 54 x

26

38

25

39

SI

7

• Situar todas las fichas en la casilla número 1. Comenzará el jugador que obtenga mayor puntuación al lanzar el dado.

35

27

4 6

30 35

28

5

• Cada grupo necesitará un dado y una ficha de distinto color para cada jugador.

34

80 100 —–– = —– 4 x

20 % de 200

Reglas del juego:

33

x % de 40 = 12

23 8

32 —— = ___ % 100

0,023 = ___ %

24

40

40

• En cada turno se avanza la ficha tantas casillas como indica la puntuación obtenida en el dado.

NO

9

23

162 10

• Cuando un jugador caiga en una casilla en la que haya formulada una pregunta, deberá localizar la casilla que tenga la respuesta correspondiente para situar en ella su ficha. Hay que tener en cuenta que algunas casillas contienen respuestas que no corresponden a ninguna de las preguntas formuladas.

2 8 ¿ — = —– ? 3 12

11

2 4 ¿— = — ? 4 6

13

42

21

370 —— 100

43

20

? 37 % = —– ?

44

5 ? —– = — 15 3 9 23

19

45

NO

• Si un jugador falla o no conoce la respuesta, retrocederá tres casillas y pasará el turno al siguiente jugador.

2,3

22

9 12

41

37 —— 100

2

14

1

18

46

SI 15

16

8 % de 25

17

25

M E T A

4

• Gana la partida el primer jugador que llega a la META.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 3. Opción A: Compra 8 camisetas y paga 6 → 6 · 10 = 60 €. Opción B: 8 camisetas cuestan 80 €.

1. a) La ficha dos − seis b) La ficha tres − dos c) Hay dos posibilidades: la ficha uno − dos y la ficha tres − seis. 30 3 = 2. a) Coloreamos 30 cuadrados: 30% = . 100 10 b) Coloreamos 25 cuadrados: 25% =

25 1 = . 100 4

Descuento: 0,25 · 80 = 20 € → 80 − 20 = 60 € Las dos ofertas son iguales para 8 camisetas. 4. 1 2 3 4

O R

I

G E N

R A Z Ó N P O R C E N T A J E D O B L E

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 7

Proporcionalidad

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 7

Proporcionalidad

1. Para hacer esta actividad vamos a utilizar las fichas del dominó excepto las blancas. Consideramos cada ficha como una razón de proporcionalidad (en realidad, dos), por ejemplo: 4 3 y 3 4 Observa el ejemplo y añade en cada caso una ficha de dominó para que las dos fracciones sean equivalentes. a)

?

b)

?

?

4 1 = 4 1

c)

?

?

1 ? = 3 ?

?

6 ? = 4 ?

2 ? = 4 ?

2. Observa el ejemplo y colorea en cada caso el número de cuadrados necesarios para que se cumplan las igualdades.

50% =

50 1 = 100 2

a) ___% =

? 3 = 100 10

b) ___% =

? 1 = 100 4

3. Marta va a comprar la equipación del equipo de baloncesto de su clase y en la tienda le ofrecen estas dos ofertas. A)

COMPRA 4 Y PAGA 3

B)

OFERTA 25% DE DESCUENTO

Si cada equipación cuesta 10 euros y tiene que comprar 8 equipaciones, ¿qué oferta tiene que elegir? 4. Si completas correctamente el crucigrama, obtendrás en las casillas azules el valor del 0,4% de 2.750.

2. Cociente entre dos valores correspondientes cualesquiera de las magnitudes directamente proporcionales.

1 2

3. Una cantidad de cada cien se llama _________.

3

4. Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una de ellas al _________, la otra aumenta al doble.

4

Página fotocopiable

1. Punto donde se cortan perpendicularmente los ejes de un plano cartesiano.

Proporcionalidad

Unidad 7

11

Actividades de ampliación Unidad 7

Proporcionalidad

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los alumnos que han alcanzado los objetivos de la unidad deben resolver ejercicios y problemas preparatorios de los que van a encontrarse en cursos posteriores. Por ello incrementaremos el número y la dificultad de los problemas planteados sobre proporciones y porcentajes. Además, podría ser interesante pedir a estos alumnos que diseñen por completo un juego de mesa como el que se propone en la actividad de grupo de las actividades de refuerzo. Posteriormente, cada grupo jugará con el que haya confeccionado otro equipo, y de este modo podrán detectar posibles errores o fallos de sus compañeros

ACTIVIDAD DE GRUPO Hundir la flota Dividimos la clase en grupos de dos alumnos, cada uno de los cuales tiene que dibujar un eje de coordenadas como el de la figura.

Y

Cada jugador tiene que dibujar tres barquitos que han de cubrir una, dos y tres coordenadas de forma horizontal o vertical.

1

O

Barco bien colocado

X

1

Barco mal colocado

Se elige al azar el jugador que comienza y, por turnos, cada uno indica una coordenada, el otro jugador tiene que decir “hundido” si se han descubierto todas las coordenadas del barco, “tocado” si en la coordenada hay un barco pero quedan coordenadas del mismo por descubrir, y “agua” si en esa casilla no hay un barco. Gana el jugador que descubre dónde están todos los barcos del contrario.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1.

Goles

5

2

Euros

4

x

5. a) No b) Pedro ha pagado 1 céntimo por mensaje. c) Juan ha pagado 10 céntimos por mensaje.

5 2 = ⇒ x = 160 , € 4 3

6. a) II b) III c) I

2. 3 120 = ⇒ x =160 4 x 3.

7. 25% de 96 = 24 ⇒ 96 − 24 = 72 ⇒ Se ahorra 1 € si lo compra en la tienda que está de ofertas.

Litros

700

8.000

Minutos

14

x

700x = 14 · 8.000 ⇒ x = 160 minutos

8. 20% de 70 € = 14 € a) No lo han aplicado bien. b) 70 −14 = 56 €

4. a) x2 = 3 · 27 ⇒ x = 81 = 9 b) y2 = 54 · 6 ⇒ y = 324 = 18

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 7

Proporcionalidad

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

Proporcionalidad

Unidad 7

1. Yago juega como delantero en un equipo de fútbol. Cada semana recibe como paga una cantidad de dinero que es directamente proporcional al número de goles que ha marcado en el partido de la liga del barrio. Una semana que marcó 5 goles recibió 4 euros. ¿Cuánto dinero recibe si mete 2 goles? 2. La razón de proporcionalidad entre dos números es 3 , y el menor de los dos es 120. ¿Cuál es el otro 4 número? 3. Una bomba de llenado arroja 700 litros de agua cada 14 minutos a una piscina cuya capacidad es de 8 metros cúbicos. Si el ritmo de llenado se mantiene constante, ¿cuánto tardará en llenarse la piscina? 4. Calcula los términos que faltan en las siguientes proporciones si sabemos que corresponden a dos números iguales. a)

x 27 = 3 x

b)

54 y = y 6

Precio (cont)

5. Cuatro amigos han anotado en la siguiente gráfica el número de mensajes que se han enviado y el precio que les han costado.

Juan

a) ¿Todos han pagado lo mismo por cada mensaje?

María Paula

b) ¿A quién le cuesta menos cada mensaje? Pedro

c) ¿A quién le cuesta más cada mensaje?

5

O

N.° de mensajes

1

6. Relaciona cada situación con las siguientes gráficas. a) Altura de una persona según su edad. b) Dinero que pago por el alquiler de una película según el tiempo que la tengo. c) Distancia a la que estoy de mi casa durante 24 horas. I)

II)

Y

1

O

III)

Y

1 1

X

O

Y

1 1

X

O

X

1

7. El reproductor de música que quiere comprar Ruth cuesta 73 euros en unos grandes almacenes y 96 euros en una tienda en la que hacen un descuento del 25%. ¿Cuánto dinero se ahorrará si lo compra en el sitio más barato? 8. En un supermercado tienen la siguiente oferta: Por compra hasta 30 euros: 10% de descuento. Por compra de 30 a 60 euros: 15% de descuento. Juan ha realizado la compra semanal en este supermercado. Si ha gastado 70 € y le han cobrado 59,50. a) ¿Le han aplicado bien el descuento? b) ¿Cuánto debería haber pagado?

Proporcionalidad

Unidad 7

Página fotocopiable

Por compras superiores a 60 euros: 20% de descuento.

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN

Proporcionalidad

Unidad 7 APELLIDOS: FECHA:

NOMBRE: CURSO:

GRUPO:

1. Determina, utilizando los productos cruzados, cuáles de las siguientes parejas de razones son equivalentes. a)

1 5 y 2 6

b)

3 9 y 7 21

2. Halla el término desconocido en cada una de las siguientes igualdades entre razones. a)

1 50 = 5 a

b)

b 4 = 3 2

3. Indica cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales. a) El número de goles conseguido por un equipo y el número de aficionados que van al campo. b) El tiempo empleado en la construcción de un puente y el número de obreros que trabajan en ella. c) Los litros de aceite producidos en una cosecha y el número de garrafas que se pueden llenar. 4. Calcula a y b para que estas dos series de números sean directamente proporcionales y señala cuál es la razón de proporcionalidad. 80

100

b

16

a

32

5. Ángel trabaja como camarero en los meses de verano. Por 20 días de trabajo ha cobrado 300 euros. ¿Cuánto cobrará por 40 días? ¿Y por 30? 6. Representa en el plano los siguientes puntos de coordenadas. F(0, –2)

G(–2, 0)

7. La gráfica muestra el número (en miles) de alumnos matriculados en estudios universitarios. a) ¿En qué curso hubo más alumnos matriculados en la universidad? Aproximadamente, ¿cuántos alumnos estuvieron matriculados ese curso? b) ¿En qué período de tiempo se produjo un aumento en las matrículas?

H(–3, 3) N.° de alumnos matriculados (en miles)

E(2, –2)

1 600 1 550 1 500 1 450 1 400 1 350 1 300

I(3, 3)

01 02

02 03

03 04

04 05 06 07 05 06 07 08 Curso escolar

08 09

09 10

10 11

8. Calcula los siguientes porcentajes. Página fotocopiable

a) 35% de 1.000

14

b) 25% de 400

c) 50% de 2.132

d) 7% de 4.900

9. En un municipio de 400 habitantes, el 40% de la población se dedica a la agricultura, y el 50%, a la ganadería. ¿Cuántos habitantes se dedican a otras actividades?

Unidad 7

Proporcionalidad

Propuesta de evaluación Unidad 7

Proporcionalidad

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. Forman una proporción las razones del apartado b, puesto que el producto de medios es igual al producto de extremos. 2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: a)

1 50 = ⇒ a = 250 5 a

b)

b 4 = ⇒ 2b = 12 ⇒ b = 6 3 2

3. Son magnitudes directamente proporcionales las del apartado c, pues si aumenta o disminuye una de ellas, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción.

4. Calculamos la razón de proporcionalidad

80 = 5. 16

100 = 5 ⇒ 5a = 100 ⇒ a = 20 y a

5. Ángel cobra

b = 5 ⇒ b = 32 ⋅ 5 = 160 32

300 = 15 € / día. 20

En 40 días cobrará: 15 · 40 = 600 € Y en 30 días: 15 · 30 = 450 € 6.

Y I

G

1

O

X

1

F

E

H

7. a) En el curso 06-07. Aproximadamente 1.600.000 alumnos matriculados. b) Desde el curso 01-02 hasta el 06-07. 8. a) 35% de 1.000 = 0,35 · 1.000 = 350 b) 25% de 400 = 0,25 · 400 = 100 c) 50% de 2.132 = 0,5 · 2.132 = 1.066 d) 7% de 4.900 = 0,07 · 4.900 = 343 9. Agricultura: 0,4 · 400 = 160 habitantes Ganadería: 0,5 · 400 = 200 habitantes

Página fotocopiable

Otras actividades: 400 − (200 + 160) = 40 habitantes

Proporcionalidad

Unidad 7

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

8

ESO

Lenguaje algebraico

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *También la podrás encontrar en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 8

Lenguaje algebraico

En esta unidad se produce el primer encuentro de los alumnos con el álgebra, rama de la matemática que será de vital importancia en su futura formación. En este curso sólo ocupa una unidad, pero a lo largo de los años incrementará su peso en el currículo. Es importante que los alumnos tomen conciencia de la gran utilidad que tiene el álgebra y en particular las ecuaciones para resolver problemas tanto de la vida cotidiana como relacionados con la ciencia y la tecnología. Podemos plantear algunos problemas del entorno habitual que sean sencillos de resolver mediante ecuaciones y no tanto sin la ayuda de estas, de modo que inicialmente los alumnos intenten resolverlos por medios aritméticos y que posteriormente se resuelvan por métodos algebraicos, mostrando así cómo se puede reducir y simplificar el lenguaje ordinario a través del algebraico. Una posibilidad de abordar las ecuaciones es apoyarnos en la utilización de balanzas, se trata de un buen recurso para que los alumnos entiendan la resolución de ecuaciones como una búsqueda del equilibrio de dos miembros de la ecuación. Es muy importante que al principio comprueben la solución de la ecuación, de esta forma se aseguran de que el ejercicio o problema está bien resuelto. Por último, como motivación, se pueden plantear problemas cercanos al alumno, cuya solución sea difícil de intuir y, sin embargo, con ecuaciones fáciles de resolver.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1 Diferenciar en una expresión algebraica los términos, la parte literal y los coeficientes. 1. Expresar situaciones propuestas utilizando el lenguaje algebraico y las ecuaciones de primer grado.

1.2 Hallar el valor numérico de una expresión algebraica. 1.3 Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita mediante la obtención de soluciones equivalentes.

2. Resolver ejercicios y problemas de la vida cotidiana mediante la formulación de expresiones algebraicas sencillas y ecuaciones de primer grado con una incógnita.

2.1 Usar el lenguaje algebraico para representar situaciones de la vida cotidiana, de la ciencia y de la técnica.

• Lingüística • Matemática • Interacción con el mundo físico • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

2.2 Plantear y resolver problemas sencillos por medio de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

CONTENIDOS • Expresión algebraica • Términos, parte literal y coeficiente • Suma y resta de términos semejantes • Producto de términos por una constante • Valor numérico de una expresión algebraica

2

Unidad 8

Lenguaje algebraico

• Ecuación • Miembros de una ecuación • Solución de una ecuación • Ecuaciones equivalentes • Resolución de ecuaciones

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Antes de empezar la unidad es necesario recordar a los alumnos la doble lectura que puede hacerse (de derecha a izquierda y de izquierda a derecha) de una expresión con el signo igual. Para la resolución de ecuaciones es necesario que manejen con soltura las propiedades de las operaciones.

2. Previsión de dificultades Esta unidad suele presentar grandes dificultades, ya que se trata de una de las primeras veces en las que los alumnos se enfrentan al trabajo con letras. No cabe duda de que el paso de la aritmética al álgebra, de lo concreto a lo abstracto, puede presentar serias dificultades en algunos alumnos, así que, en primer lugar, se tiene que dar importancia a la traducción de una situación del lenguaje ordinario al algebraico mediante ejemplos de contextos cercanos al alumno, para después mostrarle las reglas básicas para poder operar en este nuevo terreno.

3. Vinculación con otras áreas Aunque en las orientaciones dadas en los epígrafes se concreta más este punto, conviene insistir a los alumnos en que el álgebra se utiliza en todos los campos de la ciencia y la técnica.

4. Esquema general de la unidad Al comenzar la unidad, la sección “Desarrolla tus competencias” propone varias actividades donde se introduce el álgebra, en todas ellas se utilizan las letras que sustituyen a ciertas informaciones. Los primeros dos epígrafes introducen las expresiones algebraicas, el primero hace un recorrido con distintos ejemplos del uso de las letras. En el segundo se formaliza matemáticamente, se definen los términos, la parte literal y los coeficientes de una expresión algebraica. Este epígrafe acaba con las operaciones con expresiones algebraicas (suma, resta y multiplicación por una constante) y el valor numérico de una expresión algebraica. El epígrafe 3 introduce las ecuaciones, define el concepto de ecuación, sus miembros y su solución, y acaba con las ecuaciones equivalentes y la obtención de las mismas. En el último epígrafe se analizan los pasos que hay que seguir a la hora de resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, y se trabaja la resolución de problemas mediante ecuaciones.

LENGUAJE ALGEBRAICO Expresiones algebraicas

Ecuaciones

Ecuaciones equivalentes

Términos Operaciones

Resolución de ecuaciones

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones: 1.ª Expresiones algebraicas: uso de las letras 2.ª Expresiones algebraicas: términos y operaciones 3.ª Ecuaciones 4.ª y 5.ª Resolución de ecuaciones 6.ª Actividades de consolidación y aplicación 7.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Lenguaje algebraico

Unidad 8

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje. Esta unidad en particular trabaja la comunicación escrita al tener que leer y sintetizar la información de una frase o texto para después pasarlo al lenguaje algebraico o tener que argumentar un texto como traducción de una expresión algebraica.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad al álgebra, son las subcompetencias uso de elementos y herramientas matemáticos y relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. En concreto, se trabaja la subcompetencia obtención, transformación y comunicación de la información a la hora de organizar y sintetizar la información de una situación para su traducción al lenguaje algebraico.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. La actividad 65 trabaja con programas informáticos, en particular, la hoja de cálculo.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja especialmente en la sección de “Aprende a pensar con matemáticas”, donde las actividades no son guiadas y requieren aplicar las subcompetencias de innovación y planificación y realización de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 8

Lenguaje algebraico

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar, procesar y sintetizar la información contenida en un texto para contribuir al desarrollo del pensamiento crítico.

– Analiza el significado de un breve texto para posteriormente expresar esa información mediante una expresión algebraica. Actividades 1 a 3 y 58 a 61 – Crea un texto que exprese el significado de una expresión algebraica. Actividad 4

Uso de elementos y herramientas matemáticos. Matemática Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad.

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

– Maneja y opera expresiones algebraicas. – Plantea y resuelve problemas mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita. Toda la unidad

Aplicación del método científico en diferentes contextos.

Conocer y manejar el lenguaje científico para interpretar y comunicar situaciones en diversos contextos (académico, personal y social).

– Utiliza el lenguaje algebraico para comunicar diferentes relaciones entre magnitudes físicas o geométricas.

Conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable.

Ser consciente de la dimensión individual y colectiva de la salud, con actitudes de responsabilidad y respeto hacia los demás y hacia uno mismo.

– Utiliza una fórmula para calcular la dosis de una medicina en la que aparece el peso del paciente.

Interacción con el mundo físico

Tratamiento de la información y competencia digital

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Uso de herramientas tecnológicas

Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

Actividad 64

Actividad 65 – Utiliza una fórmula para recoger la información sobre un juego y establecer una puntuación. Actividad 62 – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Autoevaluación

Comunicar la información y los conocimientos adquiridos empleando diferentes lenguajes y recursos tecnológicos.

– Utiliza una fórmula para establecer un sistema que relacione el precio de un artículo con una cantidad de puntos.

Conocer los diferentes recursos tecnológicos y utilizar los programas informáticos más comunes.

– Utiliza la hoja de cálculo para realizar operaciones.

Actividad 63

Actividad 65

Lenguaje algebraico

Unidad 8

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación ciudadana: 63 • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO Bibliográficos

– Unidad 4. Álgebra SM

• Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 3: Números enteros. Ecuaciones – Unidad II. Ecuaciones • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I

Otros

Internet

SM

GRUPO AZARQUIEL: Ideas y actividades para enseñar el álgebra. Madrid, Síntesis, colección Matemáticas, Cultura y Aprendizaje, 1991 www.smconectados.com www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/1esomatmrd01

Otros

El programa informático Clic 3.0, cuya distribución es gratuita para usos educativos y no comerciales. Se puede descargar de la página web:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatmrd06

6

Unidad 8

• Calculadora para comprobar si es correcta la solución de una ecuación. • Balanzas para trabajar la idea de ecuación. • Vídeo Ecuaciones y fórmulas, número 2 de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshire TV y distribuida por Metrovideo Española, S. L.

Lenguaje algebraico

Sugerencias didácticas Entrada La foto de entrada da pie a trabajar con cantidades desconocidas. Situaciones como esta son muy utilizadas por los medios de comunicación. Todos los alumnos entienden que si en una carrera llegaron a la meta la mitad de los participantes, se trataba de una carrera dura, y en ningún caso se ha citado el número de participantes en la carrera ni los que llegaron. Podemos pedir a los alumnos que traigan situaciones similares a la del texto. Con todas ellas podemos realizar un debate sobre el uso de un álgebra encubierta en los medios de comunicación y en el lenguaje del día a día.

Desarrolla tus competencias Con estas cuatro actividades se presenta al alumno la posibilidad de trabajar con letras y la utilidad de ello. En las dos primeras actividades, las letras son datos desconocidos que el alumno debe descubrir. Las dos últimas se pueden trabajar de forma más sencilla si se utilizan letras para las cantidades desconocidas. Podemos resolver estas actividades de una forma más tradicional y después mediante un método más algebraico.

1. Expresiones algebraicas • Los alumnos deben adquirir las expresiones algebraicas de manera progresiva. Deben entender que se trata de buscar expresiones válidas a muchas situaciones particulares. En este intento conviene pasar por varias fases: identificación y comprensión de expresiones algebraicas; escritura de expresiones algebraicas a partir de situaciones reales sencillas; transformación de expresiones algebraicas en operaciones matemáticas. Para ello es necesario practicar con actividades donde se traduzcan expresiones del lenguaje ordinario al algebraico y viceversa. • Los alumnos ya conocen del curso pasado la utilización de letras para representar números en las fórmulas del cálculo del área y del perímetro de figuras geométricas, pero el grado de abstracción de esta unidad es mucho mayor. Están acostumbrados a utilizar la fórmula para algo, en este caso, para calcular el área. Ahora, sin embargo, se les pide que creen una fórmula para utilizarla en la resolución de un problema. Por este motivo es conveniente proponer distintos ejemplos similares a los tres que hay en el epígrafe y no pasar de un ejemplo a otro rápidamente. • Para afianzar el paso al lenguaje algebraico es útil realizar dictados algebraicos en los que los alumnos tienen que pasar al lenguaje algebraico las frases dichas por el profesor. 1, 2 y 3. El lenguaje algebraico es por sí solo un lenguaje que los alumnos tienen que empezar a comprender. Con actividades de este tipo estamos trabajando dos competencias a la vez: – La competencia lingüística. Es muy importante que los alumnos comprendan el significado de la frase que quieren expresar en lenguaje algebraico. Es muy útil

trabajar con ellos la diferencia entre el doble y la mitad, el triple y la tercera parte. También es conveniente proponerles frases muy parecidas, pero con un sentido algebraico muy distinto, por ejemplo: Un número más su doble. El doble de un número. Uno más el doble de un número. El doble de un número más uno. – La competencia de tratamiento de la información. En estas actividades hay que analizar la información que expresa una frase o un breve texto para después expresarla de una forma más manejable matemáticamente. Los alumnos suelen fallar a la hora de analizar e interpretar la información, y expresan algo distinto a lo que realmente significa la frase. Suele funcionar ir leyendo poco a poco, analizar y traducir una parte, para posteriormente continuar leyendo. 4. Esta actividad vuelve a trabajar las mismas competencias que las anteriores, pero en cuanto a la competencia lingüística, ahora se trata de expresar y comunicar lo que los alumnos entienden de una frase expresada en lenguaje algebraico. No todos los alumnos van a expresar lo mismo, es conveniente leer en clase varias de las respuestas y analizar la idoneidad de cada una.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1, 4 y 5

Medio

2, 3, 6 y 7

2. Términos y operaciones • Una vez que los alumnos han empezado a utilizar las letras, es muy importante que sepan realizar sumas y restas con ellas. Es el paso previo para poder resolver ecuaciones. • La suma y resta de letras les cuesta muchísimo. En general, suelen tener dos fallos: – Sumar todo, letras con números, letras diferentes… Suele funcionar volver a leer la operación, pero cambiando las letras por cosas; por ejemplo, 5x − 3x se puede traducir por 5 manzanas menos 3 manzanas, en este caso todos los alumnos responden 2 manzanas. – Al sumar o restar letras con coeficientes enteros, el problema se suele arrastrar de la operaciones con enteros. Aquí es mejor volver a repetir la operación, pero sin la letra. De todas formas, es posible que se necesiten repasar las operaciones con números enteros. También es interesante que en algunas actividades no se pueda reducir la expresión algebraica. • El concepto de valor numérico de una expresión algebraica no suele ser difícil para los alumnos, pero sí se pueden presentar dificultades a la hora de calcularlo, por cometer errores en las operaciones aritméticas, sobre todo cuando se sustituyen números negativos. • Se pueden poner ejemplos en los que distintas expresiones tengan siempre el mismo valor numérico.

Lenguaje algebraico

Unidad 8

7

Sugerencias didácticas

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

8 a 12 y 16

Medio

13 a 15 y 17

3. Ecuaciones • Tenemos que acostumbrar a los alumnos a identificar ecuaciones con distintas incógnitas, porque si no, al final solo saben reconocer y resolver ecuaciones en las que la incógnita es x, y si se les cambia la letra, empiezan a tener problemas. • Podemos introducir una clasificación sencilla de las ecuaciones: grado 1 (primer grado), grado 2 (segundo grado), grado 3 (tercer grado), etc., y mostrar algunos ejemplos de estas para que asimilen mejor el concepto de ecuación de primer grado. • Conviene detenerse para enseñar a los alumnos a diferenciar los términos y los miembros de una ecuación. • Para afianzar el concepto de solución de una ecuación es importante mostrar al alumno ecuaciones en las que se vea claramente que no hay solución, x + 1 = x − 1; ecuaciones con infinitas soluciones, x + 1 = 1 + x, y ecuaciones en las que su única solución se observa rápidamente, x + 1 = 2. • El concepto de ecuaciones equivalentes es básico y fundamental para que posteriormente los alumnos entiendan las manipulaciones que se hacen para resolver una ecuación. Por eso es necesario trabajarlo hasta que quede claro.

ACTIVIDADES POR NIVEL

• Acostumbrarles a que comprueben si el resultado obtenido tiene sentido como solución del problema propuesto.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

27

Medio

28 a 32

Alto

33 y 34

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. 58 a 61. Volvemos a trabajar la competencia lingüística de la misma forma, los alumnos necesitan primero analizar la información para poder traducirla después mediante lenguaje algebraico y finalmente resolver la ecuación. Es conveniente proporcionar algún método de trabajo a la hora de resolver problemas mediante ecuaciones. Uno de los posibles es el siguiente: 1.° Leer atentamente el enunciado, identificando los datos y la incógnita. 2.° Plantear la ecuación que exprese las condiciones del problema.

Básico

19 y 20

3.° Resolver la ecuación

Medio

21 a 23

4.° Comprobar la solución.

Alto

24 a 26

4. Resolución de ecuaciones • Es importante empezar resolviendo ecuaciones sencillas en las que sea necesario utilizar exclusivamente una de las reglas (la de la suma o la del producto), para que posteriormente entiendan por qué se dice: “Lo que está sumando pasa restando o viceversa, y lo que está multiplicando pasa dividiendo o viceversa”. • Resulta muy enriquecedor llevar al aula balanzas para que comprendan la regla de la suma a través de la manipulación. • Insistiremos en la necesidad de quitar los paréntesis antes de aplicar las reglas de la suma y el producto para resolver las ecuaciones. • Debemos insistir en que tengan cuidado con los signos negativos cuando están delante de paréntesis. • En esta unidad, lo importante es que los alumnos asimilen bien el proceso que se sigue para resolver problemas con ecuaciones. En cursos posteriores irán adquiriendo soltura en la resolución.

8

• Insistir en la importancia de sacar los datos que nos ofrece el problema y hacer un esquema o dibujo para resolverlo.

Unidad 8

Lenguaje algebraico

Además de todos estos pasos es importante que los alumnos observen si la solución que les sale tiene sentido; por ejemplo, si se trata de hallar un precio, este no puede salir negativo; si es un número de elementos, no puede salir decimal…

Pon a prueba tus competencias 62. Con esta actividad, los alumnos comprueban la utilidad del álgebra en distintos ámbitos, como, por ejemplo, al establecer un ranking de puntuación de un videojuego. Podemos continuar esta actividad proponiendo que cada alumno exprese la importancia de los juegos de cada apartado y realice una nueva clasificación de los juegos de la actividad. Al finalizar todas las actividades podemos ver cómo ha ido cambiando el primer puesto con las diferentes propuestas de los alumnos. 63. Los alumnos vuelven a codificar y transformar información mediante el uso del álgebra. En este caso no aparece la letra, pero en realidad estamos dando un valor al significado de la palabra punto. Para trabajar también la competencia de autonomía e iniciativa personal podemos hacer que los alumnos trai-

Sugerencias didácticas

gan recortes de imágenes de muebles para realizar un catálogo de muebles basados en los puntos; posteriormente se les da un presupuesto y tienen que amueblar su casa basándose en el mismo. 64. Con esta actividad acercamos a los alumnos al principal uso del álgebra, las fórmulas que relacionan magnitudes físicas o geométricas. Es conveniente centrarnos en las fórmulas conocidas por los alumnos, como las de los perímetros, y explicar detenidamente relaciones más complejas que es posible que todavía no hayan trabajado en otras áreas, como la densidad y la velocidad media. De todas formas, en el apartado 2 sólo tienen que hallar el valor numérico de una expresión algebraica. Con esta actividad estamos trabajando la competencia de interacción con el mundo físico, y también la de tratamiento de la información, al codificar e interpretar la información que nos aporta la fórmula. 65. La utilización de las nuevas tecnologías suele motivar a los alumnos. Hay que aprovechar el funcionamiento de la hoja de cálculo para que entiendan que cada valor que se introduce en una celda se identifica con el nombre de la celda, y si se cambia el valor, también se cambia en cualquier fórmula en la que aparece esta celda. Podemos continuar esta actividad proponiendo nuevas fórmulas o dejando que los alumnos experimenten creando la suyas propias y hallando valores numéricos.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar… con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Lenguaje algebraico

Unidad 8

9

Actividades de refuerzo Unidad 8

Lenguaje algebraico

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS En esta unidad se introduce el lenguaje algebraico y en particular el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita. Es conveniente trabajar bastante el lenguaje algebraico antes de empezar a manipular las ecuaciones. En cuanto a las ecuaciones, sería suficiente con que los alumnos aprendieran el significado del concepto básico de ecuación de primer grado con una incógnita, así como los procedimientos elementales para su resolución. Para ello es conveniente: • Realizar “dictados algébricos”: las frases que el profesor va diciendo debe escribirlas el alumno como expresión algebraica. • Proponer ecuaciones con soluciones naturales o enteras. • Con estos alumnos hay que insistir en que comprueben la solución de los ejercicios y problemas, ya que, además de verificar si los han realizado correctamente, les ayuda a ejercitarse en la operatividad de la aritmética básica. • Los problemas deben ser sencillos y realistas, en el sentido de que los alumnos puedan reproducir fácilmente las situaciones que se les planteen.

ACTIVIDAD DE GRUPO Dominó de ecuaciones Para esta actividad necesitamos contar con un dominó en el que cada una de sus fichas esté compuesta, en una parte, por una ecuación, y en la otra, por un número. Formamos grupos de tres alumnos y pedimos que cada grupo construya un dominó: pueden utilizar el modelo que se adjunta (que consta únicamente de 15 fichas), o podemos proponer que cada grupo construya su propio dominó (en este caso debemos revisar que cada ecuación tenga su solución correspondiente). Se reparten las fichas entre los jugadores y empieza el juego el alumno que tenga una ficha doble, es decir, con el mismo número en las dos partes de la ficha (en nuestro ejemplo, el 1 doble). El juego consiste en hacer corresponder cada ecuación con su solución o viceversa. Si por cualquier circunstancia no se puede seguir jugando en un momento determinado, ganará el alumno cuya suma de soluciones sea menor. 1–x=3

2

–2x + 7 = 1

6

3x + 2 = 14

0

x+4=0

4

6x = 24

1

5x + 1 = 6

–2

6x –2 = –2

3

7x = 14

–4

x — =3 2

2

x 2=— 5

5

2x + 4 = 8

10

x+3=2

4

2x – 1 = 1

1

x–1=4

1

4x + 1 = 5

–1

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) Una pesa de 10 kg b) Una pesa de 5 kg y una de 2 kg c) Una pesa de 5 kg y una de 1 kg d) Una pesa de 10 kg y una de 2 kg 2. a) Quitamos la pesa de 5 kg de un platillo, y cinco pesas de 1 kg del otro. El paquete pesa 1 kg. b) Quitamos las dos pesas de 2 kg de un platillo, y cuatro pesas de 1 kg del otro. El paquete pesa 2 kg. 3. Si quitamos de los dos platillos tres pesas de 10 g y una taza tenemos que una taza pesa 20 g.

4. a) Ecuación: x + 3 = 7 x+3=7 ⇒ x=7−3 ⇒ x=4 Solución: el paquete pesa 4 kg. b) Ecuación: x + 20 = 2 ⋅ 150 + 50 x + 20 = 2 ⋅ 150 + 50 ⇒ x + 20 = 350 ⇒ ⇒ x = 350 − 20 ⇒ x = 330 Solución: el paquete pesa 330 g. 5. a) x = 3 b) x = −2 c) x = −5 d) x = 2

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 8

Lenguaje algebraico

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO

Lenguaje algebraico

Unidad 8

1. Equilibra las balanzas utilizando únicamente estas pesas.

1 kg

a)

1 kg

b)

10 kg

2 kg

5 kg

2 kg

5 kg

c)

7 kg

10 kg

10 kg

2 kg

d)

8 kg

3 kg 15 kg

2. Observa las balanzas en equilibrio y calcula cuánto pesa cada uno de los paquetes. a)

b)

1 kg

1 kg 1 kg 1 kg

1 kg 1 kg 5 kg

1 kg 1 kg 1 kg

1 kg 1 kg 1 kg

2 kg 2 kg

3. Esta balanza está en equilibrio. Calcula el peso de cada una de las tazas si sabemos que todas pesan lo mismo. 10 g 10 g 10 g 10 g 10 g

10 g 10 g 10 g

4. Escribe las ecuaciones que representan cada una de estas balanzas y calcula el peso de cada paquete. a)

b) 3 kg

7 kg

50 g 20 g

150 g 150 g

5. Resuelve las siguientes ecuaciones. Página fotocopiable

a) 3x + 5 = 6 + x + 5 b) −4x + 3 = −8x + x − 3 c) 3x + 12 − 2 = 2x + 5 d) x + 1 − 3x = −7 + 2x

Lenguaje algebraico

Unidad 8

11

Actividades de ampliación Unidad 8

Lenguaje algebraico

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Los alumnos que han alcanzado los objetivos de la unidad deben resolver ejercicios y problemas preparatorios de los que van a encontrarse en cursos posteriores. Por ejemplo, podemos: • Proponer ejercicios con un nivel de dificultad mayor, en los que necesiten resolver ecuaciones que tengan paréntesis y denominadores de forma simultánea. • Plantear problemas que puedan resolverse con una ecuación de primer grado con una incógnita, pero que resulten mucho más sencillos de resolver si se plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, para introducirles de este modo en el manejo de los sistemas de ecuaciones.

ACTIVIDAD DE GRUPO Dominó de ecuaciones Para esta actividad necesitamos contar con un dominó en el que cada una de sus fichas esté compuesta en una parte por una ecuación, y en la otra, por un número. Formamos grupos de tres alumnos y pedimos que cada grupo construya un dominó: pueden utilizar el modelo que se adjunta (que consta únicamente de 15 fichas), o podemos proponer que cada grupo construya su propio dominó (en este caso debemos revisar que cada ecuación tenga su solución correspondiente). Se reparten las fichas entre los jugadores y empieza el juego el alumno que tenga una ficha doble, es decir, con el mismo número en las dos partes de la ficha (en nuestro ejemplo, el 1 doble). El juego consiste en hacer corresponder cada ecuación con su solución o viceversa. Si por cualquier circunstancia no se puede seguir jugando en un momento determinado, ganará el alumno cuya suma de soluciones sea menor. 1–x=3

2

–2x + 7 = 1

6

3x + 2 = 14

0

x+4=0

4

6x = 24

1

5x + 1 = 6

–2

6x –2 = –2

3

7x = 14

–4

x — =3 2

2

x 2=— 5

5

2x + 4 = 8

10

x+3=2

4

2x – 1 = 1

1

x–1=4

1

4x + 1 = 5

–1

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS x =5 ⇒ x=2 2

1. a) 3 x −

5. a) x = 1

b) c = −4

c) x =

22 7

d) x = −6

b) 2x + (2x + 2) + (2x + 4) = 18 ⇒ x = 2

c)

Los números buscados son 4, 6 y 8.

6. Ángel tiene 6 canicas, y Marta, 18.

x x + = 7 ⇒ x = 12 4 3

7. En el corral hay 15 gallinas y 32 conejos.

d) 6x + 2 = 14 ⇒ x = 2

8. 45 litros del aceite de 2 euros el litro y 5 litros del aceite de 3 euros el litro.

2. Es la ecuación b. 3. a) No

b) Sí

c) No

d) Sí

4. a) a = 3

b) b = 2

c) x = 2

d) x = 0

9.

1 x = 11 ⇒ x = 33 3 En total hay 33 alumnos.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 8

Lenguaje algebraico

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 8

Lenguaje algebraico

1. Escribe y resuelve las ecuaciones que corresponden a las frases siguientes. a) El triple de un número menos la mitad del mismo es cinco. b) La suma de tres números pares consecutivos es 18. c) La suma de la cuarta parte de un número y la tercera parte del mismo número es siete. d) Al dividir 14 entre un número se obtiene 6 como cociente y 2 como resto.

2. Indica cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a esta frase: Si aumentamos un número en 2 unidades, obtenemos el doble del número y además una unidad. a) x + 2 = 2(x + 1)

b) x + 2 = 2x + 1

c) 2x + 2 = x + 1

3. Indica cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes a 3 ⋅ (x + 4) − 2 = 5x + 3. a) 3x + 11 = 5x + 3 c)

3x + 4 10 x + 6 −1= 4 2

b) 6x + 20 = 10x + 6 d) x + 4 −

2 5x = +1 3 3

4. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 5 − 2 ⋅ (a − 1) + 5 = 3 ⋅ (a − 1)

b) 6 ⋅ (b − 3) − 3 ⋅ (2b − 1) = 2 ⋅ (b − 9) − 1

c) 5 x + 1 − 2 ⋅ ( x − 3) − 13 = 0

d) 6 x + 2 ⋅ ( x − 5) + 4 − 3 ⋅ (2 x − 5) = 3 x + 9

5. Halla la solución de las siguientes ecuaciones. a)

x x +1 3−x 1 + = 1+ − 4 3 2 3

2 c) 4 ⋅ ( x − 1) − ⋅ (1 − x ) = 3 x 5

b)

3c + 2 c +1 2 − = − +c 2 5 5

d) x − 1 − x + 3 = 1 4 2 8

⎛x + 3 x+ ⋅ ⎜⎜⎜ − ⎜⎝ 2 4

8 ⎞⎟⎟ ⎟ ⎠⎟

6. Ángel le dice a Marta: “Tú tienes el triple de canicas que yo, pero si me dieras 10, yo tendría el doble que tú”. Averigua cuántas canicas tiene cada uno.

8. En una cooperativa tienen dos tipos de aceite: uno lo venden a 2 euros el litro, y otro, a 3 euros el litro. Quieren preparar 50 litros de una mezcla de los dos tipos de aceite. ¿Cuántos litros deben poner de cada clase para conseguir que cada litro de la mezcla cueste 2,10 euros?

9. En una clase de 1.° de ESO han asistido hoy dos terceras partes de los alumnos. Si han faltado 11 de ellos, ¿cuántos alumnos habrá en clase el día que vayan todos?

Lenguaje algebraico

Unidad 8

Página fotocopiable

7. En una granja hay conejos y gallinas, contándose en total 158 patas y 47 cabezas. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN

Lenguaje algebraico

Unidad 8 APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Escribe las siguientes frases en lenguaje algebraico. a) Un número más dos

c) Un número más su doble

b) Un número más su cuadrado

d) Un número más su mitad

2. Expresa en forma de ecuación cada una de las siguientes frases. a) El doble de un número más 5 es 11. b) La mitad del dinero de Marta más 10 euros es igual a 20 euros. 3. Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones. a) 3x + 12, para x = 4

b) 3 − 5z − 1, para x = −2

4. Indica el número de incógnitas que posee cada una de las siguientes ecuaciones. a) 3x + 2y − 4z = 5

b) a3 − 3a4 = a

c) z + 4 = 5

d) x ⋅ (x + 3) = x − 6

5. Determina cuáles de las siguientes ecuaciones son de primer grado. a) 3x + 2(1 − x) = 3

b) 3x2 + 6(x − 2) = 4

c) 42 ⋅ 5(x − 2) = 3

d) 3 + 2x + 5 = 6(22 − 1)

6. Relaciona cada ecuación con su solución. Ecuación

Solución

3x + 2 = 2x + 4

1

5x + 1 = 2x + 4

2

4x + 3 − 2x = 5 − 3x

5

3(x + 1) − 2 = 16

−2

7. Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 8x + 3 = 7x + 2

b) 3x − 2 = 2x + 1

c) 2x − 5 = 3x + 1

d) 4x + 3 = 5x − 2

8. Resuelve las siguientes ecuaciones. a)

3x =6 2

b)

x =4 3

c)

4x =5 3

d)

3x 12 = 2 4

Página fotocopiable

9. Halla la solución de las siguientes ecuaciones.

14

a) 3x + 5 = 6 + x + 5

b) −4x + 3 = −8x + x − 3

c) 5x + 6 − 2 = 5 + 4 − 7 + 4x

d) 14x + 12 = 12x

10. David y Almudena tienen entre los dos 225 euros. Calcula cuánto dinero tiene cada uno si Almudena posee 75 euros más que David. 11. En un garaje hay 168 vehículos entre coches y motos. Si en total hay 422 ruedas, ¿cuántos coches y cuántas motos hay en dicho garaje?

Unidad 8

Lenguaje algebraico

Propuesta de evaluación

Lenguaje algebraico

Unidad 8

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) x + 2

b) x + x2

2. a) 2x + 5 = 11

b)

3. a) 24

b) 12

4. a) Tres (x, y, z)

b) Una (a)

x 2

c) x + 2x

d) x +

c) Una (z)

d) Una (x)

x + 10 = 20 2

5. a, c y d son ecuaciones de primer grado, puesto que el exponente de la incógnita es 1. 6. Colocando cada solución al lado de su ecuación, la tabla quedaría de la siguiente forma: Ecuación

Solución

3x + 2 = 2x + 4

2

5x + 1 = 2x + 4

1

4x + 3 − 2x = 5 + 3x

−2

3(x + 1) − 2 = 16

5

7. a) 8 x + 3 = 7 x + 2 ⇒ 8 x − 7 x = 2 − 3 ⇒ x = −1 b) 3 x − 2 = 2 x + 1 ⇒ 3 x − 2 x = 1 + 2 ⇒ x = 3 c) 2 x − 5 = 3 x + 1 ⇒ −5 − 1 = 3 x − 2 x ⇒ −6 = x d) 4 x + 3 = 5 x − 2 ⇒ 3 + 2 = 5 x − 4 x ⇒ 5 = x 8. a)

3x = 6 ⇒ 3 x = 12 ⇒ x = 4 2

b)

x = 4 ⇒ x = 12 3

c)

4x 15 = 5 ⇒ 4 x = 15 ⇒ x = 4 3

d)

3x 12 = ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2 2 4

9. a) 3 x + 5 = 6 + x + 5 ⇒ 3 x − x = 6 + 5 − 5 ⇒ 2 x = 6 ⇒ x =

6 =3 2

b) −4 x + 3 = −8 x + x − 3 ⇒ − 4 x + 8 x − x = −3 − 3 ⇒ 3 x = −6 ⇒ x =

−6 = −2 3

c) 5x + 6 − 2 = 5 + 4 − 7 + 4x ⇒ 5x − 4x = 5 + 4 − 7 − 6 + 2 ⇒ x = −2 d) 14 x + 12 = 12 x ⇒ 14 x − 12 x = −12 ⇒ 2 x = −12 ⇒ x =

−12 = −6 2

Página fotocopiable

10. David: x, Almudena: 75 + x. Planteamos la ecuación: x + (75 + x) = 225. Resolviendo: x = 75. Solución: David tiene 75 €, y Almudena, 150 €. 11. Coches: x, motos: 168 − x. Planteamos la ecuación: 4x + 2(168 − x) = 422. Resolviendo: x = 43. Por tanto, en el garaje hay 43 coches y 125 motos.

Lenguaje algebraico

Unidad 8

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

9

ESO

Estadística y probabilidad

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *También la podrás encontrar en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 9

Estadística y probabilidad

Tenemos que intentar transmitir la importancia y la utilidad de los conceptos que se van a tratar en esta unidad; uno de nuestros objetivos debe ser que los alumnos reconozcan y sepan valorar la presencia de la estadística y la probabilidad en la vida que les rodea. En esta unidad podemos trabajar muchas situaciones del entorno escolar: la elección del delegado de una clase, las respuestas de una encuesta sobre los gustos y preferencias de los alumnos… Tampoco debemos olvidar que la prensa escrita es muy útil para la búsqueda de ejemplos que nos puedan ayudar en el desarrollo de todos los contenidos de la unidad. Es importante hacer hincapié en los siguientes aspectos: • Tratar de obtener el recuento de un conjunto de datos, para poder construir una tabla estadística con las frecuencias absolutas y relativas. • Utilizar las representaciones más usuales de datos: los diagramas de barras con el polígono de frecuencias asociado y los diagramas de sectores. • Introducir la noción de probabilidad, identificando fenómenos aleatorios y, en ellos, asignando la probabilidad a algunos de sus sucesos.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1 Organizar un conjunto de datos mediante la construcción de una tabla estadística con frecuencias absolutas y relativas.

1. Utilizar técnicas sencillas de recogida y organización de la información sobre fenómenos y procesos reales.

1.2 Elaborar diagramas de barras y diagramas de sectores asociados a una tabla estadística. 1.3 Analizar y extraer información de distintos gráficos estadísticos.

• Lingüística

1.4 Calcular la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos.

• Interacción con el mundo físico

1.5 Elaborar diagramas estadísticos y calcular la media de un conjunto de datos utilizando la hoja de calculo Excel. 2. Identificar situaciones donde aparece el azar.

3. Aplicar la fórmula de Laplace para asignar la probabilidad de un suceso.

• Matemática

• Social y ciudadana • Tratamiento de la información y competencia digital

2.1 Identificar experimentos aleatorios y determinar en ellos su espacio muestral. 3.1 Calcular la probabilidad experimental de un suceso. 3.2 Calcular la probabilidad de sucesos asociados a experimentos aleatorios.

CONTENIDOS • Variables estadísticas. Cuantitativas y cualitativas • Frecuencia absoluta • Frecuencia relativa • Tablas estadísticas • Gráficas estadísticas: diagrama de barras y diagrama de sectores • Interpretación de gráficos • Media

2

Unidad 9

Estadística y probabilidad

• Mediana • Moda • Estadística con Excel • Experimentos aleatorios • Espacio muestral • Sucesos • Probabilidad de un suceso

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Al comenzar la unidad es fundamental que manejen los conceptos relacionados con los sectores circulares y los grados como unidades de medida de ángulos. Si se considera oportuno, pueden retomarse algunas de las nociones básicas sobre la proporcionalidad directa, ya que serán de utilidad para poder asignar la medida adecuada a cada uno de los sectores de un gráfico circular. Por último, deben recordar el porcentaje o tanto por ciento de una cantidad por su relación con la frecuencia relativa de un conjunto de datos.

2. Previsión de dificultades Se trata de una unidad nueva para los alumnos, pero tanto la estadística como la probabilidad ya han sido utilizadas por ellos en múltiples ocasiones y están acostumbrados a oír hablar de ella, sobre todo en prensa y televisión.

3. Vinculación con otras áreas Aunque en las orientaciones dadas en los epígrafes se concreta más este punto, conviene insistir a los alumnos en que la probabilidad y la estadística están presentes en numerosos aspectos de la vida cotidiana y en distintos campos de la ciencia y la técnica.

4. Esquema general de la unidad La sección “Desarrolla tus competencias” comienza la unidad con el estudio de una encuesta. Situaciones como esta están presentes la mayor parte de los días en prensa y televisión. El primer epígrafe comienza con los conceptos y procedimientos relacionados con la agrupación de datos en tablas de frecuencias absolutas y relativas, y la representación de estos datos mediante gráficos estadísticos: diagramas de barras y diagramas de sectores. Finalmente, se interpretan distintos tipos de gráficos estadísticos. El último epígrafe dedicado a la estadística se centra en el manejo de una hoja de cálculo, en particular Excel, para la realización de gráficos estadísticos y el cálculo de la media. Los dos últimos epígrafes de la unidad se centran en el estudio de la probabilidad. En el primero se analizan los experimentos en los que tiene sentido calcular probabilidades, experimentos aleatorios, y se define el espacio muestral asociado a dichos experimentos. El epígrafe acaba con la definición de suceso. En el último epígrafe se cuantifica la probabilidad y se calcula la probabilidad de sucesos en experimentos equiprobables y mediante probabilidad experimental.

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Estadística

Probabilidad

Tablas estadísticas

Frecuencias relativa y absoluta

Gráficos estadísticos

Gráficos estadísticos

Cálculo de media, mediana y moda

Estadística con Excel

Experimentos aleatorios

Probabilidad de un suceso

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en once sesiones: 1.ª Recogida y organización de datos 2.ª Elaboración de gráficos 3.ª Interpretación de gráficos 4.ª Media 5.ª Mediana y moda 6.ª Estadística con Excel 7.ª Experimentos aleatorios. Cálculo de probabilidades 8.ª Actividades de consolidación y aplicación 9.ª Pon a prueba tus competencias 10.ª y 11.ª Resolución de problemas En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Estadística y probabilidad

Unidad 9

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a la probabilidad y estadística, es la subcompetencia relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad la que más presencia tiene.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos expuestos a situaciones y problemas de la vida real. En concreto, en la sección “Pon a prueba tus competencias” se trata el tema de las necesidades energéticas y las cantidades diarias recomendadas en una dieta equilibrada.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. Se trabaja especialmente la competencia uso de herramientas tecnológicas al utilizar la hoja de cálculo, en particular Excel, para elaborar gráficos y calcular parámetros estadísticos.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja especialmente en las secciones “Aprende a pensar con matemáticas” y “Resolución de problemas”, donde las actividades no son guiadas y requieren aplicar las subcompetencias de innovación y planificación y realización de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 9

Estadística y probabilidad

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación escrita.

Uso de elementos y herramientas matemáticos. Matemática

Interacción con el mundo físico

Social y ciudadana

Adquirir el hábito de la lectura y aprender a disfrutar con ella considerándola fuente de placer y conocimiento.

– Reflexiona mediante el análisis de una encuesta sobre los hábitos de lectura.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Recoge y organiza los datos en una tabla estadística.

Desarrolla tus competencias: 1, 2 y 3 Actividad 6

– Elabora e interpreta gráficos estadísticos. – Calcula la media, mediana y moda de un estudio estadístico. – Utiliza la hoja de cálculo Excel para realizar estudios estadísticos.

Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad.

Usar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

Medio natural y desarrollo sostenible.

Tomar decisiones sobre el mundo físico y sobre los cambios que la actividad humana produce en el medioambiente y la calidad de vida de las personas.

– Realiza un estudio estadístico sobre una encuesta sobre el tipo de residuos que se tiran a la basura.

Practicar la ciudadanía democrática a través del ejercicio de los derechos y deberes propios y ajenos.

– Realiza un estudio estadístico sobre un tema social o ciudadano.

Participación cívica, convivencia y resolución de conflictos.

Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

– Calcula la probabilidad de sucesos. Toda la unidad

Actividad 48

Actividades 19 y 41

– Analiza la información que suministra un gráfico estadístico. Actividades del epígrafe 3 y actividad 61

Obtención, transformación y comunicación de la información.

Comunicar la información y los conocimientos adquiridos empleando diferentes lenguajes y recursos tecnológicos.

Actividades 9 y 61 – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

Tratamiento de la información y competencia digital

– Transforma la información de una tabla de datos en un gráfico estadístico.

En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 10, 18 y 33 Autoevaluación

Uso de las herramientas tecnológicas.

Conocer los diferentes recursos tecnológicos y utilizar los programas informáticos más comunes.

– Utiliza la hoja de cálculo para calcular parámetros y realiza gráficos estadísticos.

Uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas.

Tener una actitud crítica y reflexiva en la valoración de la información disponible.

– Analiza críticamente el significado de un dato o gráfico estadístico.

Actividades 19, 20, 22, 52 y 53

Actividades 15 y 47

Estadística y probabilidad

Unidad 9

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación mediambiental: 48. • Educación ciudadana: 19, 41 y 55 • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.° de ESO

Bibliográficos

– Unidad 9. Estadística y probabilidad SM

• Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 4: Proporcionalidad, gráficas y estadística – Unidad III. Estadística • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.° de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I

Otros

Internet

SM

Otros

SANCHÍS, C.; SALILLAS, J.; RIERA, T., y FONTANET, G.: Hacer estadística. Madrid, Alhambra-Longman, Biblioteca de Recursos Didácticos, 1986 DÍAZ GODINO, J.; BATANERO, M.ª C., y CAÑIZARES, M.ª J.: Azar y probabilidad. Madrid, Síntesis, colección Matemáticas: Cultura y Aprendizaje, 1991 www.smconectados.com www.librosvivos.net El Instituto Canario de Estadística dispone de material para trabajar la estadística con datos procedentes de las islas Canarias:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatmrd11

6

Unidad 9

• Recortes de prensa para la interpretación de gráficos estadísticos que ya están construidos. • Material de dibujo: regla, papel cuadriculado, transportador de ángulos, etc., para realizar las representaciones y gráficos estadísticos. • Hojas de cálculo Calc, integrada en OpenOffice, y Excel, integrada en Microsoft Office.

Estadística y probabilidad

Sugerencias didácticas Entrada El tema de la foto de entrada nos permite introducir la estadística mediante un ejemplo de utilización cercano a la mayoría de los alumnos. El deporte es uno de los ámbitos donde más uso se le da a la estadística, para conocer la evolución de los deportistas o de los equipos. La media suele ser conocida por todos los alumnos, pero este ejemplo nos da pie a reflexionar sobre la necesidad de más parámetros para conocer mejor cómo es el jugador. Podemos utilizar la prensa o anuarios deportivos para analizar jugadores de distintos deportes, calculando medias y analizando los distintos datos y gráficos que aparecen.

Desarrolla tus competencias A la hora de analizar el resultado de la encuesta podemos trabajar la competencia lingüística estableciendo un debate sobre la importancia de la lectura en la formación del propio alumno.

1. Recogida y organización de datos • Es necesario que los alumnos diferencien las variables aleatorias continuas y discretas, para esto hay que poner multitud de ejemplos donde queden claras las diferencias. También puede resultar útil que los alumnos realicen una lista con distintos estudios estadísticos sobre variables aleatorias discretas y continuas. • Es conveniente concienciar al alumno de la importancia de la elección de la muestra, pues una mala elección hace que todo el trabajo realizado sea erróneo. Se puede comentar algún tipo de error cometido a la hora de elegir la muestra; por ejemplo, si se quiere realizar una encuesta sobre el número de parados en una localidad, no saldrán los mismos resultados si se efectúa a las siete de la mañana en una parada de transporte público o a las doce de la mañana en el parque. • Es importante que, antes de confeccionar la tabla de las frecuencias absolutas, los alumnos se acostumbren a anotar el recuento de datos, es decir, las veces que cada dato aparece. • Recordar la relación existente entre las frecuencias relativas y los porcentajes. • Es interesante que asimilen que una buena forma de asegurarse de que no se han dejado ningún dato por contabilizar es comprobar que la suma de las frecuencias absolutas coincide con el número total de datos. Del mismo modo, es necesario que exijamos a los alumnos que comprueben que la suma de las frecuencias absolutas es uno, y la de los porcentajes, cien. Las rectas coincidentes hay que explicarlas bien para que los alumnos no piensen que es una sola recta, sino dos. 6. Esta actividad está ligada a la página “Desarrolla tus competencias”, volvemos a trabajar la competencia lingüística a través de una encuesta sobre los hábitos de lectura. Podemos realizar las preguntas que propone esta actividad a los alumnos y establecer un debate sobre cómo la lectura puede ser una fuente de placer y conocimiento.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1, 2, 5 a 7, 34 a 36 y 39 a 41

Medio

3, 4, 37, 38, 42 y 43

2. Elaboración de gráficos • Es importante que los alumnos tengan claro que para la construcción de un diagrama de barras, sobre el eje horizontal se pondrán los datos, y en el eje vertical, la frecuencia absoluta de cada uno de ellos. • Para dibujar los diagramas de sectores puede ser de ayuda recordar las nociones básicas de la proporcionalidad directa, puesto que la amplitud de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta de los datos. • Para facilitar la valoración positiva que puedan hacer los alumnos de la importancia e interés de los gráficos estadísticos para interpretar y organizar la información acerca de los fenómenos de tipo social, científico, económico… resulta interesante llevar al aula (o pedir que sean los propios alumnos quienes se encarguen de realizar la aportación) recortes de publicaciones, periódicos y revistas en los que aparezcan gráficos de barras y sectores que presenten información de interés general. • La mayoría de los diagramas de barras tiene asociado el polígono de frecuencias o solo aparece el polígono de frecuencias. Se puede ampliar el epígrafe con la construcción de este polígono de frecuencias, tan solo hay que obtener el punto medio de los extremos superiores de cada una de las barras del diagrama y después unirlos. 9. Con esta actividad se trabaja la competencia de tratamiento de la información a la hora de intercambiar información gráfica en numérica y viceversa. Hay que concienciar a los alumnos de que estudios como este se realizan en numerosos ámbitos. Podemos continuar la actividad estableciendo un debate sobre cómo se interpreta mejor la información, en forma gráfica o en forma de tabla. De este modo también podemos trabajar la competencia social y ciudadana mediante la participación en el debate.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

44 y 45

Medio

8y9

3. Interpretación de gráficos • La mayoría de las veces, la información estadística aparece en forma de gráficos. Es importante que el alumno conozca los distintos tipos de gráficos que hay, su construcción e interpretación. • Antes de realizar las actividades propuestas en este epígrafe conviene realizar un estudio matemático de los gráficos que se van a estudiar. – Pirámide de población. – Diagramas semicirculares. – Pictogramas. Estadística y probabilidad

Unidad 9

7

Sugerencias didácticas

– Gráficos de líneas – Climogramas. • Puede ser interesante que los alumnos acudan a clase con periódicos y buscar en ellos gráficos o tablas estadísticas, para trabajarlos e interpretarlos. Con ello podrán darse cuenta de que las matemáticas no son una ciencia aislada, sino que aparecen a menudo en diferentes ámbitos de nuestra vida.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

46 y 47

Medio

48

4. Media, mediana y moda • Además de insistir en la utilidad de colocar los datos en una tabla para calcular la media, hay que recordarles que deben respetar la jerarquía de las operaciones a la hora de calcular las medias para evitar errores, es decir, deben realizar primero las multiplicaciones y después las sumas. • Conviene hacerles ver que al igual que los gráficos nos permiten sacar conclusiones rápidas e importantes de un grupo de datos, también hay unos valores numéricos que nos aportan mucha información sobre los datos. Asimismo es interesante mostrarles la influencia de datos extremos o anómalos en el cálculo de la media y su posterior interpretación. • Seguir insistiendo en la importancia de los gráficos y la representación de los datos en un único valor numérico. En este caso, el propio significado de la palabra moda ayudará y dejará claro a los alumnos qué es lo que nos indica este valor y su interpretación. Sería conveniente poner un ejemplo donde hubiese más de una moda. Podríamos introducir en estos casos las palabras bimodal (conjunto de datos con dos modas), trimodal (conjunto de datos con tres modas), etc., para que los alumnos se vayan familiarizando con el vocabulario estadístico. Resaltar que si en un conjunto de datos todos los elementos tienen la misma moda, entonces decimos que esta no existe. • Para la mediana hay que repetirles muchas veces la necesidad de que los datos estén ordenados para poder saber cuál es el valor que está en la posición central. 15. Informaciones de este tipo suelen aparecer en la prensa, conviene analizar este dato y proponer situaciones similares que los alumnos hayan detectado en la prensa o en la televisión.

tario acerca de la barra de herramientas de Excel y de cómo se introducen valores y fórmulas en las celdas. • No es necesario utilizar la hoja de cálculo Excel, cualquier hoja de cálculo tiene un funcionamiento muy similar al de esta. Por ejemplo, se puede utilizar OpenCalc, la hoja de cálculo de OpenOffice, que es un paquete ofimático publicado como software libre. • Es aconsejable distribuir a los alumnos en grupos homogéneos en cuanto al conocimiento del programa a la hora de realizar las actividades propuestas. También se pueden formar grupos en los que un alumno tenga conocimientos de Excel y sus compañeros no tengan muchos conocimientos, aunque el mayor problema de este agrupamiento está en si las actividades solo las realiza la persona que ya sabía y el resto no hace nada. 19. Con esta actividad, los alumnos comprenden la necesidad y utilidad de las encuestas, es una forma de conocer la opinión de un grupo de personas. Mediante la contestación de encuestas, los alumnos pueden practicar la ciudadanía y expresar su opinión. 19, 20 y 22. Al utilizar el programa informático Excel, los alumnos están trabajando la competencia digital. Una vez realizada la actividad, se puede proponer que cambien los datos para que vean la inmediatez de los cambios en los gráficos, cosa que no ocurre cuando se hacen a mano.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

19 y 20

Medio

21 y 22

6. Experimentos aleatorios. Sucesos • Es importante que los alumnos identifiquen los experimentos aleatorios y que vean que solo en ellos tiene sentido asignar probabilidades. Para esto es aconsejable citar diversos experimentos previsibles analizando por qué lo son y proponer el cálculo de una probabilidad en cualquiera de ellos. • Lo que deseamos en este apartado es que el alumno se vaya familiarizando con los conceptos básicos de la probabilidad. Intentaremos que domine con soltura los términos experimento aleatorio, espacio muestral y suceso.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

23, 26 y 54

Medio

25 y 27

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

11, 12, 52 y 53

Medio

13 a 17

5. Estadística con Excel • Es posible que haya muchos alumnos que ya conocen el manejo de la hoja de calculo Excel, pero conviene, antes de empezar con las actividades, hacer un breve comen8

Unidad 9

Estadística y probabilidad

7. Probabilidad de un suceso aleatorio • Es importante relacionar la probabilidad con cuantificar la “posibilidad de que ocurra algo”. Para ello debemos comenzar con problemas sencillos en los que se calcule la probabilidad de extraer una carta, una bola, etc. • Puede ser útil realizar en una cartulina la escala de probabilidad que aparece en el libro, cada alumno tiene que escribir un suceso en un post-it o una cartulina pequeña que tiene que pegar en el lugar que corresponda en la escala.

Sugerencias didácticas

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

29 y 55

Medio

28, 29, 31 y 32

Alto

analizar y obtener estos datos. Podemos también trabajar la competencia social y ciudadana al comentar los problemas que existen con el agua, el desaprovechamiento en algunas zonas y la escasez en otras.

56

Autoevaluación Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 57 a 60 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas.

Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.

41. Con esta actividad se puede trabajar la importancia que tiene el Consejo escolar. Este puede ser un buen momento para concienciar a los alumnos de sus derechos y sus responsabilidades, así como de la importancia que tiene representar a sus compañeros en el Consejo escolar. De esta forma trabajamos la competencia social y ciudadana a través de la participación democrática en el funcionamiento del centro escolar.

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

47. El uso de los pictogramas está muy extendido en la prensa, con esta actividad realizamos un análisis critico de esta información valorando la exactitud de los datos que aporta.

Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo.

48. Podemos enlazar está actividad con la necesidad de reciclar para poder conservar mejor los recursos que tenemos. Puede ser útil realizar una encuesta sobre si las familias de los alumnos reciclan y sobre el tipo de residuos que separan.

Síntesis de la unidad

Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Resolución de problemas

Pon a prueba tus competencias

La resolución de problemas es un punto importante en cualquier curso de matemáticas, y la habilidad para resolverlos es un aspecto que influye en la evaluación.

61. Esta actividad vuelve a intercambiar el origen de la información, los alumnos tienen que analizar datos expresados en tablas numéricas, en gráficas y en un dibujo como es el climograma. Trabajamos la competencia de tratamiento de la información al tener que

Con esta sección se pretende hacer un repaso sobre distintas técnicas de resolución y proponer actividades para que el alumno pueda desarrollarlas y trabajar a la vez las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal.

Estadística y probabilidad

Unidad 9

9

Actividades de refuerzo Unidad 9

Estadística y probabilidad

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Trataremos de que los alumnos, al acabar esta unidad, consigan los siguientes objetivos fundamentales: • Hacer el recuento de datos y construir tablas de frecuencias para poder representar gráficamente un conjunto de datos en un diagrama de barras o un diagrama de sectores. • Calcular la media, la mediana y la moda de un conjunto de datos numéricos. • Calcular la probabilidad de sucesos sencillos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Vamos a las carreras Para esta actividad se necesita un tablero como el de la figura, dos dados cúbicos de distinto color y fichas de colores. Se agrupan los alumnos en grupos. Debería haber un mínimo de cinco alumnos y un máximo de diez en cada grupo para cubrir las distintas probabilidades que se pueden asignar a los distintos números. El juego consiste en que cada miembro del grupo elija una casilla, lanzar sucesivamente los dos dados y avanzar una posición su ficha el jugador que haya elegido la casilla cuyo número coincida con el resultado de la tirada. Es aconsejable repetir varias veces el juego para que los alumnos vean que la probabilidad de cada casilla es distinta. 2 3 4 5

M

6

E

7

T

8

A

9 10 11 12

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. N.° de veces que se repite un dato: frecuencia absoluta. Cociente entre la frecuencia absoluta y el n.° total de datos: frecuencia relativa. Uno: suma de las frecuencias relativas. N.° total de datos: suma de las frecuencias absolutas. 2.

Estado

F. absoluta

F. relativa

%

Soltero

324

0,27

27

Casado

384

0,32

32

Viudo

120

0,10

10

Divorciado

372

0,31

31

3. a) En el año 1999 b) En el año 1997 c) 60 alumnos d) 50 + 40 + 30 + 60 + 80 = 260 alumnos 4. 1.er vagón: 72° 2.° vagón: 144° 3.er vagón: 108° 4.° vagón: 36° 5. Salir 6 → Poco probable Salir par → Probable Salir mayor que 7 → Imposible Salir menor que 7 → Seguro

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 9

Estadística y probabilidad

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 9

Estadística y probabilidad

1. Relaciona las dos columnas. Número de veces que se repite un dato • Cociente entre la frecuencia absoluta y el • número total de datos Uno • Número total de datos •

• Frecuencia relativa • Frecuencia absoluta • Suma de las frecuencias absolutas • Suma de las frecuencias relativas

2. En un periódico hemos leído que en un pueblo español en el que viven 1200 hombres, un 27% de ellos son solteros; un 32%, casados; un 10%, viudos, y un 31%, divorciados. Observa el ejemplo y completa la siguiente tabla estadística. Estado civil

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

Soltero

27% de 1200 = 0,27 ⋅ 1200 = 324

27 : 100 = 0,27

27%

Casado Viudo Divorciado

a) ¿En qué año hubo una mayor participación? b) ¿En qué año hubo una menor participación? c) ¿Cuántos alumnos participaron en 1998? d) ¿Cuántos alumnos han participado entre los cinco años?

N.° de alumnos

3. La siguiente gráfica de barras muestra el número de alumnos de 1.° de ESO que han participado en la Olimpiada Matemática entre los años 1995 y 1999. 80 70 60 50 40 30 20 10 1995

1996

1997 Años

1998

1999

4. Señala cuál de los dos diagramas de sectores representa el modo en que los viajeros se han repartido entre los cuatro vagones del tren. 36 ° 72 ° 140 ° 144 °

108 ° 40 °

110 °

70 °

Relaciona cada vagón con el sector del gráfico que le corresponde.

40 pasajeros

80 pasajeros

60 pasajeros

20 pasajeros

5. María ha tirado un dado cúbico y quiere cuantificar la probabilidad de los siguientes sucesos. Ayúdala relacionando cada suceso con la columna de la derecha. Salir par •

• Imposible Página fotocopiable

Salir 6 •

• Seguro

Salir mayor que 7 •

• Poco probable

Salir menor que 7 •

• Probable

Estadística y probabilidad

Unidad 9

11

Actividades de ampliación Unidad 9

Estadística y probabilidad

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Estos alumnos deben resolver problemas preparatorios de los que van a encontrarse en cursos posteriores. Por ejemplo, podemos: • Aumentar el nivel de dificultad en las actividades relacionadas con el agrupamiento de datos en tablas. • Aportar gráficos de barras o diagramas de sectores (si es posible, sacados de la prensa o de cualquier otro medio), para pedir que los interpreten y realicen algún comentario crítico. • Calcular la probabilidad de sucesos más complejos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Vamos a las carreras Para esta actividad se necesita un tablero como el de la figura, dos dados cúbicos de distinto color y fichas de colores. Se agrupan los alumnos en grupos. Debería haber un mínimo de cinco alumnos y un máximo de diez en cada grupo para cubrir las distintas probabilidades que se pueden asignar a los distintos números. El juego consiste en que cada miembro del grupo elija una casilla, lanzar sucesivamente los dos dados y avanzar una posición su ficha el jugador que haya elegido la casilla cuyo número coincida con el resultado de la tirada. Es aconsejable repetir varias veces el juego para que los alumnos vean que la probabilidad de cada casilla es distinta. 2 3 4 5

M

6

E

7

T

8

A

9 10 11 12

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) Desde 1990 hasta 1994 y desde 2003 hasta 2008. b) En 2008. 2.

4. a) Mejor media, la clase 1: 1,51 b) Moda clase 1: 5

DATOS

F. ABSOLUTA

F. RELATIVA

%

A

7

0,28

28

B

6

0,24

24

C

8

0,32

32

D

4

0,16

26

TOTAL

21

1

100

3. La media es de 8,65 euros.

Moda clase 2: 3

a)

1 6

b)

1 2

c)

1 2

d) 0

Ruleta II: a)

1 6

b)

1 2

c)

1 6

d)

1 3

Ruleta III: a)

1 6

b)

1 2

c)

2 3

d)

1 6

Ruleta IV: a)

1 6

b)

1 2

c) 0

d)

1 2

5. Ruleta I:

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 9

Estadística y probabilidad

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

a) ¿Cuáles son los dos períodos en que más rápidamente descendió el número de muertos en carretera? b) ¿En qué año se alcanzó el menor número de víctimas mortales?

6000 5000 4000 3000 2000

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

1. Según la Dirección General de Tráfico, la siguiente gráfica recoge el número de muertos que se han producido en las carreteras españolas entre los años 1990 y 2008.

5035 4653 4026 4220 3998 4034 4289 4280 4295 4026 4029 3511 3332 3017 2742 2181

Estadística y probabilidad Muertos en carretera

Unidad 9

2. Completa la siguiente tabla de frecuencias. DATOS

F. ABSOLUTA

A

7

F. RELATIVA

B

%

0,24

C D

4

TOTAL

25

1

100

3. Se ha hecho un estudio sobre el precio medio de una entrada de cine en algunos países europeos y se han obtenido los siguientes datos: Países

Suecia Dinamarca

Precio (€)

9,36

Reino Bélgica Unido

9,84

9,60

Grecia

8,63

Alemania Francia Italia Irlanda España

8,75

7,48

9,26

7,34

9,34

6,93

Clase 1

7 6 5 4 3 2 1 0

N.° de alumnos

N.° de alumnos

4. Las siguientes gráficas representan las notas obtenidas por dos clases en el último examen de Matemáticas.

0

1

2

3

4 5 6 Notas

a) ¿Cuál tiene mejor media?

7

8

9 10

7 6 5 4 3 2 1 0

Clase 2

0

1

2

3

4

5 6 Notas

7

8

9 10

b) ¿Cuál es la moda de cada una de las clases?

5. Calcula la probabilidad de que la aguja de la ruleta marque los siguientes casos. II)

1 6 5

2

6

3

5

4

III)

1

4

IV)

1

2

6

3

5

1

2

6

3

5

4

a) La casilla 2.

c) Casilla blanca y par.

b) Una casilla blanca.

d) Casilla impar y blanca.

2 3 4

Página fotocopiable

I)

Estadística y probabilidad

Unidad 9

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 9

Estadística y probabilidad

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Estas han sido las temperaturas máximas (en °C) alcanzadas en una región durante los últimos días: 14 10

15 13

10 13

9 12

14 15

15 14

15 9

14 9

9 10

14 12

Efectúa el recuento de datos y construye una tabla de frecuencias absolutas y frecuencias relativas. 2. En la votación para elegir al delegado de la clase, el reparto de los 30 votos entre los candidatos fue el siguiente: Ana: 40%

Pedro: 10%

Juan: 30%

Carmen: 20%

Construye una tabla estadística en la que aparezcan las frecuentas absolutas y relativas de los votos. 3. La tabla recoge los resultados obtenidos en un estudio del grupo sanguíneo realizado a 30 alumnos. Grupo

A

O

B

AB

N.° de alumnos

8

10

7

5

a) Representa los datos en un diagrama de barras. b) Representa los datos en un diagrama de sectores. 4. Indica cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios. a) Sacar una carta de una baraja española. b) Tirar una piedra desde una altura de 10 metros y comprobar cuánto tarda en caer. c) Anotar el último número de las matriculas de los coches que pasan por una carretera. d) Tirar un dado trucado. 5. Escribe el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios. a) Sacar una bola de una urna con bolas rojas, blancas y negras. b) Tirar un dado con 12 caras. c) Sacar una carta de una baraja y mirar el palo. d) Tirar una moneda. 6. Calcula la probabilidad de salir bola oscura en cada una de las siguientes urnas. b)

Página fotocopiable

a)

14

Unidad 9

Estadística y probabilidad

c)

d)

Propuesta de evaluación

Estadística y probabilidad

Unidad 9

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1.

2.

Datos

F. absoluta

F. relativa

9 °C

4

0,2

10 °C

3

0,15

12 °C

2

0,1

13 °C

2

0,1

14 °C

5

0,25

15 °C

4

0,2

TOTAL

20

1

Candidatos

F. absoluta

F. relativa

%

Ana

12

0,4

40

Pedro

3

0,1

10

Carmen

6

0,2

20

Juan

9

0,3

30

30

1

100

TOTAL 3. a)

b)

N.° de alumnos

12 10

AB

8

A

6 4

B

2 O A

O

B

AB

Grupo

4. Son experimentos aleatorios los de los apartados a y c. 5. a) {roja, blanca, negra} b) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} c) {oros, copas, espadas, bastos}

6. a)

4 1 = 8 2

b)

2 1 = 8 4

c)

5 8

d)

8 =1 8 Página fotocopiable

d) {cara, cruz}

Estadística y probabilidad

Unidad 9

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

10

ESO

Rectas y ángulos

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *También la podrás encontrar en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 10

Rectas y ángulos

La geometría está muy presente en la vida de los alumnos, puesto que todo lo que nos rodea suele estar formado por figuras geométricas. Es importante que consigan interiorizar que las rectas son ilimitadas, mientras que los segmentos son finitos. A la vez es conveniente que asimilen la importancia de que por dos puntos solo puede pasar una recta, o lo que es lo mismo, que dos puntos definen una recta. En los últimos cursos de la Educación Primaria han manejado los ángulos y su clasificación, pero resultará necesario insistir en los ángulos complementarios y suplementarios, y trabajarlos tanto gráfica como numéricamente. Si las características del grupo de alumnos lo permiten, podemos profundizar en la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo como lugar geométrico, ya que estas propiedades serán de gran utilidad en otras ocasiones.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

OBJETIVOS

1. Conocer los conceptos de recta, semirrecta y segmento, así como las posiciones relativas de dos rectas.

COMPETENCIAS BÁSICAS

1.1 Distinguir y reconocer rectas, semirrectas y segmentos. 1.2 Estudiar las posiciones relativas de dos rectas. 1.3 Dibujar la mediatriz de un segmento. 2.1 Reconocer y clasificar distintos tipos de ángulos según su medida.

2. Conocer y distinguir los distintos tipos de ángulos y realizar operaciones con ellos.

2.2 Dibujar la bisectriz de un ángulo. 2.3 Calcular la medida de ángulos complementarios y suplementarios. 2.4 Identificar ángulos iguales en construcciones geométricas.

3. Utilizar las unidades fundamentales para medir ángulos y tiempos.

4. Manejar el programa informático GeoGebra.

• Lingüística • Matemática • Cultural y artística. • Tratamiento de la información y competencia digital

3.1 Expresar ángulos y tiempos en forma compleja e incompleja. 3.2 Realizar operaciones con medidas de ángulos y medidas de tiempo. 4.1 Dibujar segmentos, rectas, rectas paralelas y perpendiculares con GeoGebra. 4.2 Dibujar y medir ángulos con GeoGebra.

CONTENIDOS • Plano, recta, semirrecta, segmento • Rectas paralelas y secantes • Mediatriz de un segmento • Ángulos. Clasificación según la medida • Bisectriz de un ángulo • Ángulos adyacentes • Ángulos complementarios y suplementarios

2

Unidad 10

Rectas y ángulos

• Medidas de ángulos y de tiempo • Forma compleja e incompleja de medidas de ángulos y de tiempo • Operaciones con medidas de ángulos y de tiempo • Dibujo de segmentos y rectas con GeoGebra • Dibujo de rectas paralelas y perpendiculares con GeoGebra • Dibujo y medida de ángulos con GeoGebra

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos No es imprescindible que los alumnos conozcan el sistema sexagesimal con los grados, minutos y segundos, pero dado que puede que lo hayan estudiado en cursos anteriores, conviene detenerse para detectar posibles ideas previas equivocadas.

2. Previsión de dificultades Aunque esta es la primera unidad de geometría del presente curso, para los alumnos no es novedosa, pues la mayor parte de los contenidos que se trabajan en ella ya los han visto en los cursos de Educación Primaria. Por este motivo se prevé que no encuentren ningún tipo de dificultades.

3. Vinculación con otras áreas En las orientaciones dadas en los epígrafes se concreta más este punto, conviene insistir a los alumnos en que las rectas y los ángulos se presentan como figuras principales sin las cuales no se pueden entender configuraciones geométricas básicas.

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con la sección “Desarrolla tus competencias”, en la que se analiza la presencia de rectas y ángulos en una obra de arte.

ÁNGULOS Y RECTAS

El primer epígrafe se centra en el estudio de rectas, semirrectas y segmentos, para después analizar las posiciones relativas de dos rectas en el plano y acabar con el análisis y trazado de la mediatriz de un segmento.

Rectas en el plano

Ángulos en el plano

Medidas de tiempo y ángulos

Los epígrafes 2 y 3 tratan del estudio de los ángulos. En el primero se definen y clasifican según su medida, pasándose a realizar las construcciones geométricas de un ángulo igual a otro, la bisectriz y la suma y resta de ángulos. El siguiente epígrafe se centra en la identificación de ángulos, el complementario y suplementario, y los determinados al cortar dos rectas paralelas por una secante.

Posiciones relativas

Clasificación

Forma compleja e incompleja

En el epígrafe 4 se trabaja el sistema sexagesimal para medir ángulos y tiempo. Se pasan ángulos y tiempos expresados en forma compleja a incompleja, y viceversa, y se operan ángulos y medidas de tiempo.

Construcciones Mediatriz de un segmento

Operaciones Identificación

Geometría con GeoGebra

En el epígrafe 5 se estudia el programa informático GeoGebra como herramienta de dibujo y medida de figuras geométricas. Primero se analiza la barra de herramientas del programa, para después dibujar segmentos, rectas y rectas paralelas, y medir ángulos.

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Rectas en el plano. 2.ª Ángulos en el plano. Operaciones con ángulos. 3.ª Ángulos en el plano. Identificación de ángulos. 4.ª y 5.ª Medidas de ángulos y tiempo. 6.ª Geometría con GeoGebra. 7.ª Actividades de consolidación y aplicación. 8.ª Pon a prueba tus competencias. En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Rectas y ángulos

Unidad 10

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a las rectas y ángulos, es la subcompetencia relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad la que más presencia tiene.

Competencia cultural y artística Mediante el análisis de la presencia de rectas y ángulos en diferentes obras artísticas y arquitectónicas se trabaja esta competencia en particular. Se pretende que el alumno conozca y aprecie diferentes manifestaciones artísticas.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. En esta unidad, al introducir el epígrafe haciendo geometría con GeoGebra, es la subcompetencia uso de las herramientas tecnológicas la que más presencia tiene.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja especialmente en la sección de “Aprende a pensar con matemáticas”, donde las actividades no son guiadas y requieren aplicar las subcompetencias de innovación y planificación y realización de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 10

Rectas y ángulos

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción – Realiza el dibujo del rumbo de un barco siguiendo las indicaciones de un texto.

Lingüística

Comunicación escrita.

Leer, buscar, recopilar y procesar la información.

Actividad 75 – Extrae la información que nos suministra un texto sobre las coordenadas geográficas. Actividad 76

Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad.

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

Matemática

Cultural y artística

Sensibilidad artística. Conocimiento y aprecio del hecho cultural en general y del artístico en particular.

Comprender y utilizar de forma básica las principales técnicas, recursos y convenciones de los diferentes lenguajes artísticos.

– Estudia la posición relativa de dos rectas en el plano. – Identifica ángulos en figuras y clasifica según su medida. – Realiza operaciones con medidas de ángulos y de tiempo. – Dibuja rectas, segmentos y ángulos, y mide ángulos con GeoGebra. Toda la unidad

– Analiza la utilización de rectas y ángulos en la pintura. Desarrolla tus competencias – Analiza desde el punto de vista geométrico una obra arquitectónica o artística. Actividades 69 y 70

Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión. Obtención, transformación y comunicación de la información.

Tratamiento de la información y competencia digital

Buscar y seleccionar información, con distintas técnicas según la fuente o el soporte, y utilizar nuevas fuentes a medidas que van apareciendo.

– Extrae información del plano de una ciudad o de un plano topográfico. Actividades 6, 73 y 76 – Busca en diferentes páginas de internet para completar información. En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividad 28 Autoevaluación

Uso de herramientas tecnológicas.

Conocer los diferentes recursos tecnológicos y utilizar los programas informáticos más comunes.

Uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas.

Evaluar la calidad y fiabilidad de las fuentes de información. Valorar de forma crítica y reflexiva la información disponible y las fuentes de las que procede.

– Dibuja rectas y ángulos, y realiza medidas con el programa informático GeoGebra. Actividades 29 a 39

– Valora críticamente la información que nos suministran los medios de comunicación. Actividad 26

Rectas y ángulos

Unidad 10

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Matemáticas básicas Bibliográficos

– Unidad 4. Rectas y ángulos Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso SM

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.° de ESO – Unidad 5. Geometría • Cuadernos de matemáticas. 1.° de ESO: N.° 5: Geometría – Unidad I. Elementos geométricos del plano • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.° de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/3esomatmrd01

Otros

Página con información del programa de software libre GeoGebra. Incluye un enlace para descargarte el programa:

Otros materiales

www.e-sm.net/3esomatmrd12

6

Unidad 10

• Elementos clásicos de dibujo: regla, escuadra, cartabón, compás y transportador de ángulos

Rectas y ángulos

Sugerencias didácticas Entrada La foto y el texto de la entrada permiten trabajar las competencias matemática y cultural y artística, haciendo reflexionar a los alumnos sobre la utilización de las rectas y los ángulos en distintas obras artísticas. Podemos utilizar la obra artística que aparece en la entrada para que los alumnos marquen y busquen distintos tipos de ángulos en la pintura. Por ejemplo, podemos dividir la clase en grupos y que cada grupo se centre en buscar ángulos de un tipo: un grupo, agudos; otro, obtusos, y otro, rectos. También podemos continuar la actividad proponiendo un debate sobre la sensación que transmite en cada alumno esta obra, centrándonos más en la competencia artística. Para acabar, podemos proponer a los alumnos la búsqueda de otras obras en las que también se utilizan las rectas y los ángulos en su composición; por ejemplo, realizar un estudio sobre la obra de Piet Mondrian.

Desarrolla tus competencias Esta sección vuelve a trabajar la competencia artística a través del estudio de otra obra artística, en este caso La santa cena, de Leonardo da Vinci. En esta obra se trabaja la utilización de rectas y ángulos para conseguir profundidad. Con esta actividad podemos trabajar la competencia social y ciudadana, en particular la subcompetencia desarrollo personal y social, proponiendo un estudio sobre el personaje de Leonardo da Vinci. Podemos centrar este trabajo en los aspectos matemáticos o hacerlo de una forma más general sobre su vida y obras. De este modo estamos contribuyendo a que el alumno comprenda y conozca la realidad histórica del mundo y su carácter evolutivo. Otra posibilidad de trabajo para esta actividad es buscar información de cómo distintos artistas han ido investigando y creando distintas formas para conseguir la sensación de profundidad en sus obras, mediante la utilización de rectas y ángulos.

1. Rectas en el plano • Los conceptos aquí estudiados son ya conocidos por los alumnos. Sin embargo, hay que insistir en que dos puntos determinan una recta. Se les puede dar tres puntos no alineados y pedirles que dibujen todas las rectas posibles que pasen por ellos. • Las rectas coincidentes hay que explicarlas bien para que los alumnos no piensen que es una sola recta, sino dos. • Es conveniente que sean capaces de trazar con destreza rectas paralelas y secantes a una dada. Para este fin, se les puede recordar cómo utilizar la escuadra y el cartabón. También es importante, antes de construir ángulos iguales, que los alumnos se familiaricen con el uso del compás; puede ser muy útil que practiquen en una hoja el dibujo de circunferencias con distintos radios y el dibujo de arcos con distinta amplitud y distinto radio. • Es importante que los alumnos comprendan la propiedad de que todos los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento, y no solo el punto que lo divide en dos. Por eso es bueno que escojan algún pun-

to de la misma y hagan las mediciones oportunas para comprobarlo. Los alumnos deben ser capaces de dibujar con agilidad la mediatriz, y de paso hay que recordarles que al utilizar el compás, lo que dibujamos son puntos que están a la misma distancia del lugar donde hacemos centro. 6. En esta actividad se trabajan dos competencias. En primer lugar, el alumno debe extraer información de un plano, para ello ha de organizarse en la búsqueda y analizar la información que tiene y cómo quiere transmitirla o utilizarla. En segundo lugar se trabaja la competencia de interacción con el mundo físico a la hora de saber moverse por una ciudad con ayuda de un mapa, plano o callejero. Podemos ampliar esta actividad analizando desde el punto de vista geométrico el plano de la ciudad donde viven o, por ejemplo, cómo transmitirían la información para ir de un punto a otro a una persona que no conoce la ciudad.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1 a 3, 5, 6 y 40 a 43

Medio

4, 63, 64, 69 y 70

2. Ángulos y operaciones con ángulos • La fotografía es una herramienta muy útil en geometría, al permitirnos estudiar con tranquilidad y precisión figuras geométricas del entorno del alumno. Podemos pedirles que traigan fotografías en las que hayan marcado distintos ángulos para después poder crear distintos murales clasificando las fotos en agudos u obtusos y en convexos o cóncavos. • Para comprobar que la bisectriz divide el ángulo en dos partes iguales se puede recortar un ángulo (cuanto más grande, mejor), trazar la bisectriz y luego doblar el ángulo por ella y comprobar que sus dos lados coinciden. Los alumnos deben ser capaces de dibujar con agilidad la bisectriz, hay que recordarles otra vez que al utilizar el compás, lo que dibujamos son puntos que están a la misma distancia del lugar donde hacemos centro. • A la hora de sumar ángulos es posible que sea necesario recordar a los alumnos cómo se utiliza el transportador de ángulos.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

7, 8, 11, 44, 45 y 47

Medio

9, 10, 12 y 46

3. Identificación de ángulos • Los conceptos de ángulos tratados en este epígrafe suelen ser nuevos para muchos alumnos, por eso hay que dedicarles una atención especial y más tiempo. Los alumnos suelen confundirlos entre sí, por eso es conveniente tratar uno y no introducir el otro hasta que no dominen el primero. Rectas y ángulos

Unidad 10

7

Sugerencias didácticas

• Una posible forma de trabajar este epígrafe es dibujar los ángulos en cartulina y que los alumnos comprueben físicamente que se da esta igualdad entre ángulos.

meras no pueden tener resto, ya que el resto se lo pasamos a la unidad inferior, y la última, la división de los segundos, sí puede tener resto.

• Otra vez hay que hacer hincapié en la correcta utilización de los instrumentos de dibujo y en la limpieza y orden a la hora de realizar los dibujos.

26. Con esta actividad se puede crear en los alumnos una conciencia crítica hacia la información que reciben, trabajando la competencia de tratamiento de la información.

• Se puede volver a utilizar la fotografía para poder ver esta igualdad de ángulos en el entorno del alumno. Podemos volver a realizar murales con las fotos que traen los alumnos, los podemos clasificar por situaciones, por ejemplo: – Mural con ángulos complementarios frente a ángulos suplementarios. Podemos colocar una foto en la que aparece una situación con ángulos suplementarios frente a otra situación en la que aparecen los ángulos complementarios. – Mural con ángulos que se forman por dos rectas secantes. Podemos imprimir las fotos en blanco y negro y colorear con el mismo color los ángulos iguales.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

13 a 15 y 48

Medio

16 a 18 y 49 a 52

Alto

19

4. La medida de los ángulos y del tiempo • Antes de empezar el epígrafe conviene recordar las bases de los sistemas de numeración posicionales y la existencia de los sistemas no posicionales como, por ejemplo, el romano. Una vez que los alumnos recuerdan qué es un sistema posicional de numeración, también hay que hacerles ver que no todos los sistemas posicionales son de base 10; por ejemplo, el binario, de base 2, es el que manejan los ordenadores. En este momento, los alumnos están preparados para empezar a trabajar el sistema de numeración que se emplea para medir el tiempo y los ángulos, el sexagesimal. • En cuanto a la forma compleja e incompleja, los alumnos suelen tener problemas a la hora de recordar cuál es una y cuál es la otra. Se les puede enseñar el truco de que es más complejo expresar una magnitud en varias unidades, y menos complejo, es decir, más incomplejo, expresarla en una sola unidad. • En cuanto a las operaciones, los alumnos no suelen tener grandes problemas a la hora de sumar, restar y multiplicar. En la suma y la multiplicación hay que recordarles que siempre el resultado de los minutos y segundos tiene que ser menor o igual que 60, en caso contrario hay que sumar alguna unidad superior. Para la resta, el caso es el contrario: si el minuendo es menor que el sustraendo, hay que tomar prestada una unidad superior. Los alumnos suelen tener muchos más problemas a la hora de hacer divisiones, se les puede hacer ver que en realidad hay que hacer tres divisiones, pero las dos pri-

8

Unidad 10

Rectas y ángulos

Una forma de que vean el error que se produce es expresar, por ejemplo, una hora y media como 1,5 horas, y ver que realmente esto no es 1 hora y 50 minutos, sino 1 hora y 30 minutos. La mayoría de las veces que los alumnos cometen este error es al expresar medidas de ángulos. En este caso se puede utilizar el mismo ejemplo, pero como medida del tiempo, que es algo mucho más utilizado por ellos y rápidamente caen en el error cometido.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

20, 21, 24 y 27

Medio

22, 23, 25 y 26

5. Haciendo geometría con GeoGebra • GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación. Se trata básicamente de un procesador geométrico y algebraico, es decir, un software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo. En GeoGebra pueden hacerse construcciones con puntos, segmentos, líneas… a través del ratón o mediante instrucciones con el teclado, y todo esto modificable de forma dinámica. • Antes de comenzar a trabajar, los alumnos deben familiarizarse con la barra de herramientas, que es desplegable y tiene distintas opciones. Puede ser muy útil entregarles una fotocopia con las distintas opciones que tiene cada uno de los botones que aparecen en la barra del menú. • Es conveniente que todos los alumnos realicen las tres actividades de ejemplo por sí solos antes de pasar a realizar las actividades propuestas en el epígrafe. 29 a 39. Con todas estas actividades básicamente estamos trabajando la competencia digital al utilizar el programa informático GeoGebra como ayuda a la hora de construir distintas figuras geométricas basadas en rectas y ángulos e investigar sus propiedades.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

29 a 31

Medio

32 a 39

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad.

Sugerencias didácticas

En particular, las actividades 63 a 73 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos. 69 y 70. Con estas actividades se vuelven a analizar en distintas obras la presencia de rectas y el uso de los ángulos para crear composiciones artísticas. En la actividad 69 se trata de una obra arquitectónica, y en la 70, de una obra pictórica. En las dos actividades se pueden continuar buscando nuevas obras, en particular en la 69, pues es la primera vez que se realiza este estudio sobre obras arquitectónicas, ya que hay otras actividades donde también se estudian pinturas. Por ejemplo, se les puede llevar una fotografía de alguna obra de Rafael Moneo, donde predominan las líneas rectas, y alguna de Frank Gehry, donde predominan las curvas. 73. Con esta actividad trabajamos la competencia de tratamiento de la información. Habitualmente, los alumnos están más acostumbrados a obtener información de medidas expresadas en el sistema decimal y no analizan bien la información cuando se trata de medidas expresadas en el sistema sexagesimal.

Pon a prueba tus competencias 75. Con esta actividad se trabaja la competencia lingüística al tener que realizar una breve lectura que requiere que el alumno ejercite su competencia lingüística para que interprete el texto y extraiga de él la información relevante para resolver los problemas que se plantean. Además, trabaja la competencia de tratamiento de la información al tener que obtener e interpretar la información que le suministra el rumbo que ha de seguir. 76. En esta actividad se vuelven a trabajar las mismas competencias que en la anterior, en este caso tiene que

interpretar la información que le dan las coordenadas geográficas, lo que exige un grado más alto de abstracción al intentar trasladar la información que da una figura en un plano a un cuerpo geométrico como es la esfera terrestre. Para completar esta actividad suele ser muy útil llevar un globo terráqueo y un mapamundi para que los alumnos sen capaces de entender este sistema de referencia.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Rectas y ángulos

Unidad 10

9

Actividades de refuerzo Unidad 10

Rectas y ángulos

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Al finalizar esta unidad, es muy importante que los conceptos que se trabajan en ella queden claros, de ahí que para conseguirlo, además de repetirlos las veces que sea necesario, podemos: • Empezar por la construcción de cada elemento y, partiendo del dibujo, mediante la observación y preguntas orientadas, estudiar sus propiedades y las relaciones con otros elementos. • Habituar a los alumnos a representar gráficamente la situación planteada en cada ejercicio, indicando los datos y lo desconocido. • Incitarles a que busquen los elementos geométricos estudiados en su entorno inmediato: centro de estudios, vivienda, lugar de residencia… así como en las artes, principalmente en la arquitectura, donde son abundantes. • Utilizar materiales alternativos: plegado, recortables, programas de ordenador, páginas web…

ACTIVIDAD DE GRUPO El juego de los complementarios y suplementarios Antes de jugar, hay que crear los materiales de este juego. Para ello formaremos grupos de tres personas y cada grupo dibujará (con la ayuda de un transportador) ángulos de 8 centímetros de lado tal y como se indica a continuación. • En cartulina azul, dos ángulos de cada una de las siguientes medidas, indicando dentro de cada uno su medida: 15°, 30°, 40°, 45°, 50°, 60° y 75°. • En cartulina roja, un ángulo de cada una de las siguientes medidas, y en este caso se anota la medida de cada uno en la parte posterior: 15°, 30°, 40°, 45°, 50°, 60°, 75°, 90°, 105°, 120°, 130°, 135°, 140°, 150° y 165°. Una vez elaborado el material, se recortan los ángulos y se ponen todos sobre la mesa sin que se vean sus medidas. Cada jugador, en su turno, elige dos ángulos de los construidos en cartulina azul, muestra su medida y los reparte entre los otros dos jugadores de su grupo, que tendrán que encontrar entre los construidos en cartulina roja el ángulo complementario y el suplementario de estos. Cuando hayan elegido los ángulos candidatos, formarán los ángulos contiguos con los de la cartulina azul para verificar si se forma el ángulo recto o llano correspondiente. En caso afirmativo, después de comprobarlo con la suma de las medidas, cada jugador se anotará un punto. Si alguno (o los dos jugadores) falla, su punto se añadirá al jugador que propuso los ángulos iniciales. Para la jugada siguiente se devuelven todas las tarjetas a la posición inicial y continúa otro jugador. Gana la partida el primero en conseguir 10 puntos.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS ˆ, Bˆ, Cˆ, Eˆ, Fˆ, Gˆ, Hˆ, ˆI , Kˆ y Lˆ. 4. a) Son agudos los ángulos A b) Son obtusos los ángulos Dˆ y Jˆ.

1. A: Complementarios B: Secantes

c) Parejas de ángulos complementarios: ˆ y Bˆ, Eˆ y Fˆ, Hˆ e ˆI , Kˆ y Lˆ. A

C: Perpendiculares D: Suplementarios E: Paralelas 2. a) F

b) F

c) V

d) V

3. Aunque parecen rectas secantes, en realidad son rectas paralelas. Se trata de una ilusión óptica.

d) Parejas de ángulos suplementarios: Cˆ y Dˆ, Dˆ y Gˆ, Gˆ y Jˆ, Jˆ y Gˆ. 5. Solo se ha trazado la mediatriz en los segmentos AB y GH.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 10

Rectas y ángulos

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 10

Rectas y ángulos

1. Completa el siguiente crucigrama.

A. Ángulos consecutivos que suman 90°.

E

B. Rectas que se cortan en un punto. D

C. Rectas que al cortarse forman ángulos rectos. D. Ángulos consecutivos que suman 180°. C

E. Rectas que no tienen ningún punto en común.

B

A

2. Escribe V o F según sean verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a) Tres puntos alineados determinan dos rectas. b) Un número infinito de segmentos forman una recta. c) Cualquier ángulo obtuso es mayor que uno agudo. d) Dos ángulos obtusos no pueden ser suplementarios. 3. Con ayuda de una regla, prolonga las rectas de este dibujo para comprobar si son paralelas o secantes.

4. Encuentra en la siguiente figura: ^

a) 2 ángulos agudos.

^

A

b) 2 ángulos obtusos.

^

E

B ^

D ^

^

G

C

c) 4 parejas de ángulos complementarios.

^

F

^

d) 4 parejas de ángulos suplementarios.

J

^

L

^

^

^

K

I

H

A

B

C

D

E

F

G

H

Rectas y ángulos

Unidad 10

Página fotocopiable

5. En los siguientes segmentos se han trazado distintas rectas. Explica en cuáles se ha dibujado la mediatriz y en cuáles no.

11

Actividades de ampliación Unidad 10

Rectas y ángulos

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Nuestros alumnos ya dominan todos los conceptos básicos de la unidad, por eso hay que proponerles actividades que les permitan descubrir nuevas propiedades de estos elementos geométricos. Así, entre otras muchas posibilidades, podemos: • Orientarles para que con las herramientas básicas vistas hasta el momento obtengan resultados más complejos e interesantes. • Guiarles para que en los problemas comprendan la utilidad de los elementos estudiados y distingan claramente cada uno de los pasos necesarios para realizarlos.

ACTIVIDAD DE GRUPO A la caza del ángulo obtuso En los edificios que nos rodean es muy fácil encontrar segmentos, rectas paralelas, secantes, perpendiculares… Algo más complicado es encontrar ángulos agudos, aunque lo que resulta más difícil, pero no imposible, es encontrar ángulos obtusos; esa es la actividad que se propone. En grupos de tres o cuatro personas deben localizar en su entorno situaciones que ilustren el concepto elegido (ángulos obtusos, en este caso). Cuando ya tengan buscados unos cuantos (por ejemplo, 5), se analizarán en conjunto y se decidirá qué fotos son las que se van realizar y entregar posteriormente. Para esta actividad resulta conveniente recoger por escrito las ideas surgidas en la puesta en común de manera que toda la clase disponga de ellas. También resulta de gran ayuda, para la búsqueda de situaciones, entregarles una ficha en la que tengan que anotar: • ¿Qué busco? • Descripción gráfica de la situación elegida. • Descripción con palabras. • Posibles títulos de la futura foto.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Primero se trazan las mediatrices de los segmentos AB y BC. Obtenemos un punto P intersección de ambas. Este punto es el centro de la circunferencia buscada. Trazamos con el compás la circunferencia con centro en P y radio PA.

3. Son dos rectas perpendiculares. C

4.

Mediatriz de AB 2,5 cm

B C A P

A

6 cm

5. a) 35° b) 75° c) 15° 6. Bˆ = Fˆ = Dˆ = Hˆ = 128° Cˆ = Eˆ = Gˆ = Jˆ = Kˆ = 55°

B

d) 155°

ˆI = Lˆ = 35°

2. No es posible porque la mediatriz de un segmento es una recta, y no se puede trazar la mediatriz de una recta. Solamente tiene sentido trazar mediatrices de segmentos.

ˆ y 25°, luego A ˆ mide 25°, y Gˆ 7. Opuestos por el vértice: A y Hˆ, que miden 155°. Lados paralelos: Cˆ y 115°, luego Cˆ mide 115°, y Eˆ y 40°, luego Eˆ mide 40°.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 10

Rectas y ángulos

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 10

Rectas y ángulos

1. Dibuja la circunferencia que pasa por estos tres puntos. B C A

2. ¿Se puede trazar la mediatriz de la mediatriz de un segmento? ¿Por qué?

3. Dibuja dos rectas secantes y traza las bisectrices de los ángulos que se forman. ¿Qué posición relativa tienen las dos rectas que obtienes?

4. Dibuja un triángulo isósceles cuya base mida 6 cm, y su altura, 2,5 cm.

5. Calcula la medida de los siguientes ángulos. a) El complementario del complementario de un ángulo de 35°. b) El suplementario del suplementario de un ángulo de 75°. c) El complementario del suplementario de un ángulo de 105°. d) El suplementario del complementario de un ángulo de 65°.

ˆ mide 55°. ¿Cuánto miden los demás ángulos de la figura? 6. El ángulo A ^

J

^

B ^

C ^

F

^

I

^

A ^

D

^

E

^

G ^

L

^

H

^

K

7. En la siguiente figura hay ángulos opuestos por el vértice y ángulos de lados paralelos. Indica cuáles son y cuánto miden. ^

G ^

C

^

A

^

25°

Página fotocopiable

40°

115° E^ H

Rectas y ángulos

Unidad 10

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 10

Rectas y ángulos

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Dibuja: a) Una recta s paralela a r que pase por el punto A.

r

A

b) Una recta t secante a r que pase por el punto A. c) Una recta w perpendicular a r que pase por el punto A.

2. Dibuja 5 puntos, tres de ellos alineados, y traza las diferentes rectas que determinan. ¿Cuántas hay?

3. Clasifica los siguientes ángulos en agudos, rectos, obtusos o llanos, y explica qué criterio has utilizado para clasificarlos.

^

A

^

B

^

^

D

C

^

F

^

E

^

G

4. Dos ángulos contiguos miden 34° y 56°, respectivamente. ¿Son suplementarios? ¿Por qué? Acompaña tu respuesta de un dibujo.

5. Dos ángulos son complementarios y uno es 5 veces mayor que el otro. Ayúdate de un dibujo para averiguar cuánto mide cada ángulo.

ˆ suplementario de otro ángulo Bˆ, sabiendo que este es el comple6. Calcula cuánto medirá el ángulo A mentario de un ángulo que mide 28°. Representa la situación con un dibujo.

7. ¿Qué longitud tiene cada una de las partes que la mediatriz determina en un segmento de 5 centímetros de longitud? ¿Por qué? Dibuja un segmento de 5 centímetros de longitud, traza su mediatriz y comprueba que se cumple la respuesta que has dado.

8. Completa la siguiente tabla con medidas en forma compleja e incompleja de tiempos y ángulos.

Página fotocopiable

Compleja

14

Incompleja

32° 7’ 12” 2,35 h 254,98 h 47,23°

Unidad 10

Rectas y ángulos

Propuesta de evaluación

Rectas y ángulos

Unidad 10

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. La recta secante t puede ser cualquiera de las infinitas que cortan r en el punto A. A

r

s

t

w

2. La situación es similar a esta. Se pueden trazar 9 rectas. El ángulo Dˆ es recto, y el Eˆ, llano. A B

E D C

ˆ, Cˆ y Gˆ. Son obtusos los ángulos Bˆ y Fˆ. Es recto el ángulo Dˆ y llano el ángulo Eˆ. 3. Son agudos los ángulos A Son agudos los ángulos que miden menos de 90°, obtusos los que miden más de 90°, rectos los que miden 90° y llanos los que miden 180°. 4. No son suplementarios, sino complementarios ya que suman 90°. ˆ + 5A ˆ = 90° Uno mide 15°, y el otro, 75°. 5. A 6. Bˆ + 28° = 90° ⇒ Bˆ = 62° ˆ + Bˆ = 180° ⇒ A ˆ = 118° A

7. La mediatriz determina dos partes de 2,5 cm cada una.

8.

2,5 cm

Compleja

Incompleja

32° 7’ 12”

32,12°

2 h 21 min

2,35 h

254 h 58 min 48 s

254,98 h

47° 13’ 48”

47,23°

Página fotocopiable

2,5 cm

Rectas y ángulos

Unidad 10

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

11

ESO

Figuras planas

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 *También la podrás encontrar en el CD Programación.

Programación de aula Unidad 11

Figuras planas

Una vez conocidos los elementos básicos de la geometría plana, pasamos a estudiar las figuras planas construidas con ellos: los polígonos y las figuras circulares. Es importante que los alumnos sean capaces de clasificar los polígonos por el número de lados y por el tipo de ángulos. No debemos limitarnos a los polígonos regulares, sino que debemos ofrecerles gran variedad de ellos. En cuanto a los triángulos, es importante realizar clasificaciones combinadas; por ejemplo, los alumnos tienen que reconocer la existencia de triángulos rectángulos isósceles. También es importante hacer hincapié en las propiedades de los puntos notables de los triángulos. Respecto a la circunferencia, nunca es suficiente recordar a los alumnos la diferencia entre circunferencia y círculo. Hay que utilizar ejemplos cotidianos para que asimilen plenamente estos conceptos. Los alumnos tienen que ser capaces de identificar figuras simétricas, así como sus ejes de simetría.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Identificar las figuras planas, reconociendo sus elementos y características.

1.1 Clasificar los triángulos según sus lados y sus ángulos, y los cuadriláteros según el paralelismo de sus lados.

COMPETENCIAS BÁSICAS

2.1 Identificar y construir triángulos iguales. 2. Reconocer los triángulos, conocer sus características y propiedades y realizar su construcción.

3. Comprender la relación que existe entre la circunferencia y el círculo, y describir con precisión sus elementos.

2.2 Reconocer, trazar y utilizar las propiedades de las rectas y de los puntos notables de un triángulo. 3.1 Describir con precisión los elementos de la circunferencia y los diferentes recintos del círculo. 3.2 Identificar los diferentes ángulos de una circunferencia y la relación que existe entre ellos.

• Matemática • Interacción con el mundo físico • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Aprender a aprender

4.1 Describir los elementos de un polígono regular. 4. Identificar y construir polígonos regulares.

5. Identificar simetrías en figuras planas reconociendo su eje de simetría.

4.2 Dibujar polígonos regulares inscritos en una circunferencia. 5.1 Reconocer y describir figuras simétricas respecto de un eje.

CONTENIDOS • Línea poligonal • Polígonos. Clasificación • Clasificación de triángulos • Clasificación de cuadriláteros • Criterios de igualdad de triángulos • Rectas y puntos notables de un triángulo • Circunferencia. Elementos principales • Círculo. Recintos del círculo

2

Unidad 11

Figuras planas

• Ángulos en una circunferencia: central e inscrito • Polígonos regulares inscritos en una circunferencia • Construcción de polígonos regulares • Simetrías en polígonos • Simetrías en figuras planas • Ejes de simetría

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Para algunas partes de la unidad es necesario que los alumnos manejen con soltura los instrumentos habituales de dibujo: regla, escuadra, cartabón y compás. También es necesario recordar cómo se utilizan estos instrumentos para trazar rectas perpendiculares y paralelas.

2. Previsión de dificultades Las mayores dificultades suelen venir a la hora de realizar las diferentes construcciones geométricas. Hay que hacer hincapié en el orden y la limpieza.

3. Vinculación con otras áreas En las orientaciones dadas en los epígrafes se concreta más este punto, conviene insistir a los alumnos sobre la necesidad del estudio de figuras planas en numerosas situaciones de la vida cotidiana.

4. Esquema general de la unidad La sección “Desarrolla tus competencias” analiza la presencia de figuras planas en dos situaciones cercanas a los alumnos, las diferentes formas planas que aparecen en un plano de una ciudad y la utilización de figuras planas en los anagramas de coches. En el primer epígrafe se introducen los polígonos, clasificándolos y estudiando sus elementos principales. En el segundo se realiza una clasificación más precisa de dos tipos de polígonos: los cuadriláteros y los triángulos.

FIGURAS PLANAS Polígonos

Los epígrafes 3 y 4 se centran en el estudio del triangulo. En el 3 se estudian los criterios de igualdad de dos triángulos, explicando cómo se pueden construir triángulos utilizando cada uno de los tres criterios explicados. En el 4 se estudian y se dibujan las rectas y puntos notables de un triángulo. Los epígrafes 5 y 6 se dedican al estudio de la circunferencia y el círculo. En el 5 se trabaja la diferencia entre circunferencia y círculo y se definen las figuras circulares: sector circular, segmento circular y corona circular. El epígrafe acaba con el cálculo de la longitud de una circunferencia. Para el epígrafe 6 se dejan los ángulos en una circunferencia (central e inscrito) y los polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

Circunferencia y círculo

Triángulos y cuadriláteros

Longitud

Clasificación

Ángulos

Estudio del triángulo

Simetrías en figuras planas

Rectas y puntos notables

Ejes de simetría

En el epígrafe 7 se trabaja la construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia. El último epígrafe se centra en la simetría de figuras planas, se comienza con la simetría en polígonos, para acabar con la simetría en todo tipo de figuras planas.

Criterios de igualdad

Polígonos regulares en una circunferencia

Construcción

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en diez sesiones: 1.ª Polígonos: elementos y clasificación 2.ª Clasificación de triángulos y cuadriláteros 3.ª Igualdad de triángulos 4.ª Rectas y puntos notables 5.ª y 6.ª Circunferencia y círculo. Ángulos en la circunferencia 7.ª Polígonos regulares en una circunferencia. Construcción 8.ª Simetrías en figuras planas 9.ª Actividades de consolidación y aplicación 10.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad. Figuras planas

Unidad 11

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia lingüística Esta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovechamiento de la misma. En particular, las secciones “Desarrolla tus competencias” y “Pon a prueba tus competencias”, y, en general, los problemas con enunciado contextualizado desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comunicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad al estudio de figuras planas, es la subcompetencia relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad la que más presencia tiene.

Competencia cultural y artística Mediante el análisis de la presencia de las figuras planas en diferentes obras artísticas y arquitectónicas se trabaja esta competencia. En particular se pretende que el alumno conozca y aprecie diferentes manifestaciones artísticas.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas. En esta unidad hay actividades que hacen uso del programa informático GeoGebra, por este motivo es la subcompetencia uso de las herramientas tecnológicas la que más presencia tiene.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje. Además, actividades como la 13 y la 39 fomentan el uso de la observación y el registro sistemático de relaciones matemáticas trabajando de esta forma la subcompetencia manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja especialmente en la sección de “Aprende a pensar con matemáticas”, donde las actividades no son guiadas y requieren aplicar las subcompetencias de innovación y planificación y realización de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 11

Figuras planas

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA

SUBCOMPETENCIA

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

1.er nivel de concreción

2.º nivel de concreción

3.er nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad.

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

– Reconoce y clasifica los polígonos.

– Identifica y relaciona los ángulos en una circunferencia.

Uso de elementos y herramientas matemáticos.

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

Matemática

– Identifica y construye triángulos iguales. – Dibuja y comprende las rectas y puntos notables de un triángulo.

– Dibuja polígonos regulares. – Encuentra simetrías en figuras planas Toda la unidad – Identifica los elementos de una circunferencia en diferentes objetos reales.

Conocer y valorar la aportación del desarrollo de la ciencia y la tecnología a la sociedad. Interacción con el mundo físico

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.

Actividad 38 – Analiza la presencia de triángulos y su utilidad como elemento estructural en diferentes ejemplos arquitectónicos. Pon a prueba tus competencias: 103 – Busca e identifica simetrías en la naturaleza.

Conocer los procesos científicotecnológicos más importantes.

Actividades 66 y 67 – Conoce el significado de las constelaciones e identifica en ellas líneas poligonales. Actividad 98

Cultural y artística

Sensibilidad artística. Conocimiento y aprecio del hecho cultural en general y del artístico en particular.

– Descubre los trazados poligonales en una obra arquitectónica. Comprender y valorar críticamente diferentes manifestaciones culturales y artísticas.

Actividad 5 – Sitúa obras arquitectónicas de referencia y reconoce simetrías en ellas. Actividades 67 – Busca en diferentes páginas de internet para completar información.

Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 14, 30 y 49 Autoevaluación

Uso de herramientas tecnológicas.

Aprender a aprender

Buscar y seleccionar información, con distintas técnicas según la fuente o el soporte, y utilizar nuevas fuentes a medida que van apareciendo.

Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generar conocimiento.

Conocer los diferentes recursos tecnológicos y utilizar los programas informáticos más comunes.

Fomentar la observación y el registro de hechos y relaciones para conseguir un aprendizaje significativo.

– Dibuja polígonos, medir sus lados y sus ángulos, y calcula su área con GeoGebra. Actividades 95, 96 y 97 – Construye la fórmula que nos da la suma de los ángulos interiores de un polígono a partir de la de un triángulo. Actividad 13 – Busca la relación entre el perímetro y el diámetro en objetos con una sección circular. Actividad 39

Figuras planas

Unidad 11

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación medioambiental: 66 • Educación ciudadana: Desarrolla tus competencias. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Matemáticas básicas – Unidad 5. Polígonos y círculos Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO SM

– Unidad 5. Geometría • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 5: Geometría – Unidad II. Polígonos – Unidad III: Circunferencias y círculos – Unidad IV: Construcción de polígonos regulares • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I

Internet

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/3esomatmrd01

Otros

Página con información del programa de software libre GeoGebra. Incluye un enlace para descargarte el programa:

Otros materiales

www.e-sm.net/3esomatmrd02

6

Unidad 11

• Elementos clásicos de dibujo: regla, escuadra, cartabón, compás y transportador de ángulos

Figuras planas

Sugerencias didácticas Entrada La foto y el texto de la entrada permiten trabajar las competencias matemáticas, de interacción con el mundo físico y social y ciudadana, haciendo reflexionar a los alumnos sobre la importancia de la elaboración de proyectos urbanísticos y de las matemáticas en la fase de su diseño.

Desarrolla tus competencias 1. Esta actividad está relacionada directamente con la foto de entrada, aquí se vuelven a trabajar las mismas competencias, pero esta vez podemos establecer un debate de cómo han ido evolucionando los diseños de los nuevos barrios en la ciudades, sobre todo podemos hacer un análisis desde un punto de vista geométrico. Otra posibilidad de trabajo es realizar un estudio urbanístico de la ciudad o barrio donde está ubicado el centro escolar. Usando la herramienta informática Google Maps podemos obtener un plano para analizar y debatir la conveniencia o no del diseño y establecer un debate sobre si ha existido un plan urbanístico o se han ido añadiendo calles sin un motivo aparente. 2. Con esta actividad trabajamos la competencia matemática y la cultural y artística. Al analizar los anagramas de las marcas de coches, los alumnos estudian la utilización de figuras planas y el diseño de anagramas y logotipos. Tienen que descubrir, desde el punto de vista artístico, la belleza y simplicidad de los anagramas, y desde el punto de vista matemático, las figuras planas que los componen. Podemos ampliar esta actividad proponiéndoles que traigan analizados desde los dos puntos de vista, el artístico y el geométrico, distintos anagramas y logotipos de empresas o marcas conocidas.

1. Los polígonos. Elementos • Los alumnos ya conocen las clasificaciones de los polígonos, pero suelen estar acostumbrados a trabajar con polígonos regulares. Por este motivo es importante mostrarles otros tipos de polígonos y propiciar que trabajen con ellos. Puede ser muy útil llevar al aula distintos tipos de polígonos recortados en cartulina para que los alumnos los clasifiquen y marquen en ellos los lados, ángulos y vértices de cada uno de ellos. • Puede que sea necesario completar la actividad 2 con más polígonos, se pueden crear grupos en la clase para dibujar polígonos cóncavos y convexos, y después clasificarlos por el número de lados que tienen. • Los conceptos de área y perímetro, aun siendo totalmente distintos, suelen confundir al alumno y los mezcla. Se pueden realizar ejercicios en los que los alumnos vean la diferencia de marcar el borde o rellenar el polígono. Este puede ser un buen momento para recordar las unidades de longitud y las de superficie. De todas formas, en la unidad siguiente es donde se trabajan las áreas y perímetros de las figuras planas. 5. Esta actividad relaciona la presencia de las líneas poligonales con la belleza que pueden generar. Es conve-

niente realizar una pequeña salida del centro para analizar la presencia de las líneas poligonales y polígonos en la mayoría de los edificios que nos rodean. Con una cámara fotográfica se pueden realizar fotos en las que con algún programa de retoque fotográfico remarquemos estas figuras geométricas para después imprimirlas y exponerlas en clase.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1 a 5 y 68 a 71

Medio

6 y 72

2. Clasificación de triángulos y cuadriláteros • Es un epígrafe de repaso, y todos los conceptos que aparecen en el mismo ya los han visto los alumnos en cursos anteriores, pero conviene mostrarles que pueden combinarse las clasificaciones, usando ejemplos muy claros: triángulo isósceles rectángulo, trapecio rectángulo, trapecio isósceles… • También se puede mostrar algún cuadrilátero cóncavo para que refuercen la clasificación estudiada en el epígrafe anterior. • Para reforzar las ideas conviene que los alumnos describan las características que los triángulos (cuadriláteros) tienen en común y las que tienen diferentes. • También es importante que se den cuenta de que una figura continúa siendo la misma aunque se cambie de posición (giros, traslaciones, simetrías…); así, si giramos un cuadrado 45º, sigue siendo un cuadrado, y no un rombo como a menudo piensan la mayoría de los alumnos. • Otro aspecto importante es considerar que el cuadrado es un caso especial de los rectángulos, ya que cualquier cuadrado cumple con todas las propiedades de los rectángulos y además se le añade una: que sus lados sean iguales. 13. Con esta actividad se pretende que los alumnos trabajen la competencia de aprender a aprender a través de un proceso inductivo. Es posible que algunos necesiten dibujar polígonos de más lados para poder dar el salto al polígono general de n lados. Se puede aprovechar esta actividad para informar a los alumnos de lo típico de este proceso y de que hay muchas más situaciones donde un método similar nos lleva a demostrar propiedades.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

7 a 9, 11 y 12

Medio

10 y 73 a 78

Alto

13

3. Igualdad de triángulos • Es muy importante que los alumnos entiendan los criterios de igualdad de triángulos. Para ello será conveniente trabajar con un triángulo en distintas posiciones y que se den cuenta de que se trata del mismo triángulo. Esto Figuras planas

Unidad 11

7

Sugerencias didácticas

adquiere especial relevancia con los triángulos rectángulos, ya que normalmente solo los identifican cuando se encuentran en una posición determinada. Suele ser muy útil tener dibujados en una hoja varios triángulos rectángulos iguales, entregar una fotocopia a cada alumno y pedirles que los recorten y peguen en sus cuadernos en distintas posiciones. • Cuando dibujen triángulos iguales, conviene que utilicen la regla y el transportador de ángulos para que luego puedan realizar la comprobación. De este modo, el aprendizaje será mucho más significativo.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

15 a 19, 79 y 80

Medio

20 a 23 y 81

4. Rectas y puntos notables • Como los alumnos ya conocen de la unidad anterior la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, en esta unidad habrá que insistir en las alturas y las medianas de un triángulo. • Hay que procurar que entiendan bien el concepto de altura (tan necesario para el cálculo de las áreas), por eso se deben poner distintos ejemplos para que comprueben cómo se traza esta. También hay que proponer muchos ejemplos de triángulos obtusángulos y rectángulos para que descubran las peculiaridades que tienen: en un caso hay que prolongar uno de los lados para trazar la altura, y en el otro, dos de las alturas coinciden con los catetos. • Respecto de los puntos notables, es mejor que los alumnos comprueben con su propia experiencia que las tres rectas se cortan en un punto. Hay que procurar trabajar con todo tipo de triángulos para que observen que hay casos en que alguno de los puntos queda fuera del triángulo. • Hay que repasar las propiedades de la mediatriz y la bisectriz para que los alumnos puedan deducir las propiedades del circuncentro y el incentro, respectivamente.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

24 a 28 y 82

Medio

29, 83 y 84

5. La circunferencia y el círculo • Hay que volver a insistir en la diferencia entre la circunferencia y el círculo, pues a estas alturas todavía hay alumnos que confunden ambos conceptos. • Es interesante recalcar que dos radios determinan dos sectores circulares, y una cuerda determina dos segmentos circulares, ya que los alumnos suelen fijarse solo en los delimitados por el arco menor. • Muchos alumnos ya conocen la fórmula para hallar la longitud de una circunferencia. Por eso hay que insistir, sobre todo, en que la comprendan. 8

Unidad 11

Figuras planas

Si es posible, sería conveniente realizar experiencias como las que se proponen en el epígrafe del libro, medir el perímetro de una vela u otro objeto circular, para que mediante la toma de distintas mediciones comprueben de un modo experimental que en cualquier circunferencia, la relación entre la longitud y el diámetro es algo mayor que 3. También hay que hacer mucho hincapié para que sepan utilizar la fórmula tanto si se tiene la longitud del radio como si se tiene la del diámetro. • Hay que insistir en que el valor de ␲ es aproximado: tomamos 3,14 (ó 3,1416 en otros cursos), pero en ningún caso se trata de un valor exacto, ya que ␲ tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales. Puede resultar una buena ocasión para trabajar con la calculadora científica. Muchas de ellas tienen una tecla con el símbolo de ␲, podemos mostrarles cómo al pulsarla aparecen más de dos cifras decimales, y así, de paso, trabajar el redondeo. 38. Esta actividad permite trabajar dos competencias: por un lado, trabajamos la competencia de interacción con el mundo físico mediante la observación de la presencia de elementos de la circunferencia y el círculo en diferentes objetos reales. Por otro, podemos realizar un análisis artístico de la presencia de circunferencia, círculo o parte de ellos en los mismos objetos. 39. A través de la observación y la experimentación intentamos que el alumno compruebe la relación que existe entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia. Es posible que algunos alumnos no se crean esta relación, para convencerlos se les puede pedir que repitan este experimento con más objetos circulares.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

31, 32, 38 y 85

Medio

34 a 37, 39 y 86

6. Ángulos y polígonos en la circunferencia • El concepto de ángulo central es importante porque luego se utiliza en otras unidades y en otras figuras. Hay que señalar que el ángulo central mide lo mismo que el arco de circunferencia que abarca, ya que se va a utilizar en cálculos posteriores y en cursos siguientes para introducir el radián. • Para trabajar el ángulo inscrito, lo mejor es empezar dibujando un ángulo central y un ángulo inscrito, y que los alumnos comprueben con el transportador de ángulos que uno es la mitad que el otro. También resulta interesante que observen que, dado un arco determinado, se puede trazar más de un ángulo inscrito y todos ellos miden lo mismo. Para conseguirlo, basta con realizar el dibujo de una circunferencia suficientemente grande para no encontrar problemas en la medición de los ángulos. • En el segundo subepígrafe hay que centrarse más en la idea de polígonos regulares inscritos en una circunferencia.

Sugerencias didácticas

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

40 a 45, 87 y 88

Medio

46 a 48, 89 y 90

7. Construcción de polígonos regulares • Es muy importante insistir en el buen uso de los materiales de dibujo. Antes de empezar la construcción de cualquier polígono hay que recordar el uso del compás y cómo trazar rectas paralelas. • Hay que procurar que los alumnos dibujen algún caso (para así comprobar las propiedades sobre un ejemplo concreto); el del cuadrado resulta uno de los más sencillos, pues una vez trazado el cuadrado, se halla el punto de corte de las diagonales y se obtiene el centro de la circunferencia. En cualquier caso, hay que procurar no poner polígonos de muchos lados para que no se centren en hacer un buen dibujo y se pierda el fin matemático de la actividad.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

50 a 55 y 91

Medio

56 a 58 y 92

95, 96 y 97. Antes de comenzar esta actividad es posible que sea necesario recordar la barra de menú y los botones de GeoGebra estudiados en el epígrafe 5 de la unidad 10. Con esta actividad se vuelve a trabajar la competencia digital a través del uso de programas informáticos específicos. 98. Esta actividad se puede utilizar para fomentar en los alumnos la curiosidad a la hora de observar el cielo y buscar en él las distintas formas poligonales que componen las constelaciones. Podemos seguir trabajando la competencia de interacción con el mundo físico analizando el motivo por el que se ven distintas constelaciones en el hemisferio norte y el sur o por qué vemos distintas constelaciones dependiendo de la hora de observación.

Pon a prueba tus competencias 103. En primer lugar, esta actividad trabaja la competencia de interacción con el mundo físico a través de la presencia que tienen las formas triangulares en la mayor parte de las estructuras. Se puede ampliar la actividad proponiendo que los alumnos realicen fotografías de diferentes estructuras y analicen el tipo de triángulos que las forman. Esto también da pie a poder realizar un análisis artístico de la estructura y trabajar la competencia cultural y artística.

8. Simetrías en figuras planas • Es aconsejable dibujar polígonos en papel y, mediante dobleces, localizar los distintos ejes de simetría. Una vez localizados en los polígonos, podemos pasar a distinguir figuras simétricas y, con el mismo método, localizar sus ejes de simetría. 66 y 67. Con estas actividades estamos trabajando la competencia de interacción con el mundo físico. Para hacerla más cercana a los alumnos, se puede pedir que busquen simetrías en hojas que recojan y que estudien las simetrías que presenta algún edificio singular de su ciudad.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

59 a 63, 66, 67 y 93

Medio

64, 65 y 94

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 98 a 102 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Figuras planas

Unidad 11

9

Actividades de refuerzo Unidad 11

Figuras planas

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Al finalizar esta unidad, lo más importante es que los alumnos sean capaces de distinguir, clasificar y dibujar los distintos tipos de polígonos, en particular los triángulos y cuadriláteros, la circunferencia, el círculo y las distintas figuras circulares. Para lograrlo podemos: • Habituarles a representar gráficamente la situación planteada en cada ejercicio, indicando los datos y lo desconocido. • Empezar por la construcción de cada elemento y, partiendo del dibujo, mediante observación y preguntas orientadas, estudiar sus propiedades y las relaciones con otros elementos. • Incitarles a que busquen los elementos geométricos estudiados en su entorno inmediato: centro de estudios, vivienda…, así como en las artes, principalmente en la arquitectura, donde son abundantes. • Utilizar herramientas informáticas (que tanto motivan a los alumnos) para realizar construcciones geométricas y visualizar los contenidos estudiados.

ACTIVIDAD DE GRUPO Construir un tangram El tangram es un rompecabezas chino de gran utilidad para muchas actividades matemáticas. Se vende comercialmente, pero es interesante que los alumnos construyan el suyo propio. • Para construirlo por completo, deben partir de un cuadrado, y marcando los puntos medios de los lados oportunos, llegar a obtener una figura como la adjunta. • Pero también podemos proporcionarles nosotros la plantilla (una fotocopia ampliada de la figura adjunta, que guarde las proporciones), pedirles que la peguen en una cartulina para que sea más consistente y luego que la recorten. Puede ser útil que pinten cada pieza de un color diferente para poder reconocerlas más fácilmente. Una vez construido el tangram, podemos pedirles que: 1. Estudien las piezas del puzle y clasifiquen los triángulos y cuadriláteros que le dan forma. 2. Comprueben si hay piezas iguales.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Las tres figuras son hexágonos cóncavos. 2. a) Triángulo acutángulo isósceles. III b) Triangulo escaleno rectángulo. I c) Triángulo obtusángulo isósceles. II 3. a) Ortocentro

b) Incentro

c) Baricentro

d) Circuncentro

ˆ = 25º; Bˆ = 40º 4. A 5. a)

b) e

e

c)

d)

e

e

6. Hexágono

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 11

Figuras planas

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO

Figuras planas

Unidad 11

1. Observa las siguientes figuras planas y señala qué tienen en común.

2. Cada una de las clasificaciones corresponde a uno de los siguientes triángulos. Complétalas y asocia a cada figura su clasificación. a) Triángulo ________ isósceles b) Triángulo escaleno ________ c) Triángulo obtusángulo ________ I)

II)

III)

3. Paula ha dibujado la construcción del baricentro, el ortocentro, el incentro y el cicuncentro, pero no recuerda en qué orden lo ha hecho. a)

b)

c)

d)

Ayuda a Paula e indica qué construcción ha realizado en cada caso. ˆ y Bˆ siguientes. 4. Pon una medida a cada uno de los ángulos A a)

b) A

20º

50º

B

5. Completa las siguientes figuras en las que aparecen sus ejes de simetría. a)

b)

e

c)

d)

e

e

e

6. En los siguientes dibujos, el segmento AB corresponde con el lado de un polígono regular inscrito en una circunferencia. ¿Cuál es el polígono al que nos referimos en cada caso? Página fotocopiable

A

B

Figuras planas

Unidad 11

11

Actividades de ampliación Unidad 11

Figuras planas

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Nuestros alumnos ya manejan con soltura y rapidez los conceptos elementales trabajados en esta unidad. Son capaces de clasificar triángulos y cuadriláteros, saben dibujar triángulos conociendo solo algunos datos, y manejan sus rectas y puntos notables, saben dibujar polígonos regulares y buscar simetrías en figuras planas. Además, conocen y dominan los ángulos en las circunferencias y cómo calcular la longitud de una circunferencia. Por eso ha llegado el momento de dar un paso más y aprovechar todos estos conocimientos para intentar resolver problemas algo más complejos. • Proponer actividades de utilización de los criterios de igualdad en las que los triángulos tengan posiciones diferentes. • Aplicar las propiedades de las rectas y puntos notables del triángulo para resolver problemas geométricos. • Siempre que sea posible, trabajar con el entorno para plantear y resolver ejercicios en los que intervengan los conceptos y propiedades estudiados.

ACTIVIDAD DE GRUPO Trabajo de investigación: la recta de Euler Una vez que conocen los puntos notables del triángulo, un paso añadido es obtener la recta de Euler. Se presenta la actividad como un trabajo de investigación guiado de forma que al final construyan la recta y conozcan sus propiedades. 1. Cada grupo tiene que dibujar en una cartulina un triángulo escaleno. Es importante que cada grupo dibuje un triángulo diferente para comprobar que la recta de Euler es independiente del triángulo dibujado. 2. Sobre el triángulo deben localizar y señalar con lápiz los cuatro puntos notables: ortocentro (O), baricentro (G), circuncentro (C) e incentro (I). 3. Ahora trazarán la recta que determinan el ortocentro y el baricentro. Les pediremos que comprueben si pasa por algún otro punto notable más. 4. Es el momento de la puesta en común; los distintos grupos compartirán los resultados obtenidos y descubrirán que en cualquier triángulo, el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están alineados. 5. Pediremos que cada grupo mida la longitud de los segmentos GO y GC, y tras anotar en la pizarra los resultados, llegaremos a la conclusión de que se cumple que la distancia entre el baricentro y el ortocentro es el doble que la distancia entre el baricentro y el circuncentro, es decir: GO = 2 · GC. Como continuación del trabajo de investigación, se les puede proponer que averigüen en qué triángulos el incentro está también en la recta de Euler y que comprueben qué ocurre en los triángulos equiláteros.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Hay 6 trapecios rectángulos y 3 isósceles.

A

6.

B

2. Hay 26 cuadrados: 15 de 1 × 1, 8 de 2 × 2, 3 de 3 × 3. Hay 22 rectángulos de 2 × 1, 14 de 3 × 1, 6 de 4 × 1, 3 de 5 × 1, 10 de 3 × 2, 4 de 4 × 2, 2 de 5 × 2, 2 de 3 × 4 y 1 de 3 × 5. 3. a) x = 40º b) x = 20º 4. T1 y T2 son iguales por tener iguales los lados y el ángulo comprendido entre ellos.

7. El ángulo central correspondiente al inscrito de 40º mide 80º y abarca un arco de circunferencia de 18 cm. Así: 360º : 80º = 4,5 ⇒ 18 · 4,5 = 81 La circunferencia tiene 81 cm de longitud. 8. a)

b)

5. Los dos son triángulos rectángulos que tienen la misma hipotenusa, pues tienen un ángulo inscrito que abarca una semicircunferencia.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 11

Figuras planas

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 11

Figuras planas

1. ¿Cuántos trapecios hay en la siguiente figura y de qué tipo son?

2. ¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?

3. Determina el valor de x en los siguientes polígonos. a)

140° x

b)

100°

6x

2x

150° 160° 20°

4. En un pentágono se han dibujado dos de sus diagonales, d y D, como se ven en la figura. Demuestra que son iguales.

D T5

d T1

5. Observa estos dos triángulos y señala las características comunes que encuentres.

6. Dibuja un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de radio 1,5 centímetros. 7. Un ángulo inscrito de una circunferencia mide 40º y abarca un arco de circunferencia de 18 centímetros. Calcula la longitud de la circunferencia.

a)

e

b)

Página fotocopiable

8. Completa la siguiente figura para que sea simétrica respecto de los ejes de simetría. e

Figuras planas

Unidad 11

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 11

Figuras planas

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Dibuja los siguientes polígonos. a) Un hexágono cóncavo.

b) Un pentágono convexo.

2. Dibuja las siguientes figuras. a) Un triángulo rectángulo isósceles.

b) Un trapecio rectángulo.

3. Construye con regla y compás un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 3 centímetros cada uno y el ángulo comprendido entre ellos mida 80º. 4. Escribe V o F según sean verdaderas o falsas estas afirmaciones. a) El baricentro de un triángulo está situado a la misma distancia de los 3 vértices. b) El incentro de un triángulo está situado a la misma distancia de los 3 lados. c) El circuncentro de un triángulo está situado a la misma distancia de los 3 vértices. d) El incentro de un triángulo es el centro de la circunferencia inscrita. 5. Indica cómo se llaman los siguientes recintos circulares. a)

b)

c)

6. Las siguientes circunferencias están divididas en 8 partes iguales. Calcula el valor del ángulo señalado en cada una de ellas. a)

b)

7. Identifica el polígono regular que se está construyendo.

Página fotocopiable

8. Indica qué figuras son simétricas y dibuja en ellas sus ejes de simetría.

14

a)

Unidad 11

b)

Figuras planas

c)

d)

Propuesta de evaluación Unidad 11

Figuras planas

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a)

b)

2. a)

b)

3. cm

3

3

cm

80º

4. a) F

b) V

c) V

5. a) Corona circular

b) Segmento circular

c) Sector circular

6. a) 135º

b) 67,5º

d) V

7. Un pentágono regular 8. Son simétricas las figuras de los apartados b y c. c)

Página fotocopiable

b)

Figuras planas

Unidad 11

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

12

ESO

Área de figuras planas

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *También la podrás encontrar en el CD Programación.

Área de figuras planas

Unidad 12

Programación de aula Unidad 12

Área de figuras planas

Esta es la última unidad que estudia la geometría del plano; en ella se realizan cálculos de perímetros y áreas de figuras planas. Una vez que los alumnos han conocido todos los elementos y figuras del plano, han aprendido a medir y usar las medidas, saben manejar triángulos rectángulos y el teorema de Pitágoras, se pasa a estudiar los perímetros y superficies, diferenciando los polígonos de los círculos. El primer paso es tener una idea clara y precisa de los conceptos de perímetro y área con la medida, respectivamente, del borde y del interior de una figura, y usar de forma adecuada las unidades de medida correspondientes a cada situación. Es importante distinguir entre el perímetro de los polígonos, para los cuales se usarán fórmulas específicas (y cuando sea necesario, se aplicará el teorema de Pitágoras para calcular distancias entre dos puntos), y, por otra parte, la fórmula para hallar la longitud de la circunferencia. También es importante que los alumnos sean capaces de entender la importancia de las fórmulas para la obtención de las áreas de las figuras planas sencillas, insistiendo en las del triángulo, los cuadriláteros y el círculo. En el área de los polígonos es preciso distinguir dos partes bien diferenciadas y hacérselo ver a los alumnos: • Polígonos regulares: en los que hay que aplicar la fórmula correspondiente a cada caso. Es necesario que entiendan bien el concepto de apotema. • Polígonos irregulares: en los que debemos realizar una descomposición en figuras más sencillas de las que seamos capaces de calcular su área.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Utilizar correctamente las fórmulas para el cálculo de perímetros de figuras planas.

1.1 Calcular el perímetro de un polígono o utilizarlo para obtener la medida de alguno de sus lados. 1.2 Utilizar la fórmula de la longitud de la circunferencia para calcular longitudes en figuras planas.

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Matemática

2. Saber utilizar correctamente las fórmulas del cálculo de áreas de figuras planas.

2.1 Calcular el área de figuras planas utilizando las fórmulas y los métodos adecuados.

• Interacción con el mundo físico

3. Conocer los conceptos de semejanza y proporción, y aplicarlos a los perímetros y áreas.

3.1 Resolver problemas métricos de perímetros y áreas de polígonos utilizando la semejanza.

• Autonomía e iniciativa personal

4. Resolver problemas matemáticos relacionados con la vida cotidiana utilizando los conocimientos geométricos.

4.1 Aplicar las fórmulas del cálculo de áreas de figuras planas para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana.

• Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital

CONTENIDOS • Perímetro y área de un polígono • Descomposición de figuras • Triangulación de un polígono • Área del rectángulo y del cuadrado • Área del romboide • Área del rombo • Área del trapecio • Altura y base de un triángulo 2

Unidad 12

Área de figuras planas

• Área del triángulo • Área de un polígono regular • Área de un polígono no regular • Área del círculo • Semejanza de polígonos • Razón entre perímetros • Razón entre áreas

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Como en esta unidad se calculan los perímetros y las áreas de figuras planas, es fundamental que los alumnos sepan reconocer y manejen con soltura sus principales elementos: base y altura de un triángulo, de un paralelogramo y de un trapecio; apotema de un polígono regular y radio de un círculo y una circunferencia. Es imprescindible, antes de comenzar la unidad, recordar estos elementos, pues son los que intervienen en las fórmulas para el cálculo de las áreas de las figuras correspondientes.

2. Previsión de dificultades En esta unidad no deberían presentarse grandes dificultades, ya que trabaja sobre los mismos elementos que la anterior, pero desde un punto de vista métrico. Las principales complicaciones se suelen encontrar en la abstracción del área de un triángulo a la de un polígono regular (por esta razón conviene comenzar por el hexágono), y especialmente en los polígonos no regulares. Los alumnos comprenden el procedimiento de triangulación, pero suelen mostrar algunas dificultades para aplicarlo en la práctica. Por último, la semejanza es un concepto intuitivo, pero utilizarla para el cálculo de perímetros y áreas puede resultar abstracto para algunos alumnos en este nivel.

3. Vinculación con otras áreas Por su carácter aplicado, el cálculo de áreas y perímetros de las figuras planas está presente en muchas materias y en la vida cotidiana: tamaño de las células en biología, diseño de objetos en plástica, cálculo de las dimensiones de la planta de las construcciones arquitectónicas, cálculo de la superficie construida y útil de una vivienda o diseño urbano (plazas, calles, parques, etc.).

4. Esquema general de la unidad La unidad comienza con tres actividades sobre deportes, apoyadas en la fotografía de una cancha de baloncesto, para motivar al alumno a reconocer las figuras planas e introducirlo en los contenidos que vamos a estudiar. El primer epígrafe se dedica a definir los conceptos de perímetro y área, así como a recordar las unidades de superficie, que se usarán constantemente. Los epígrafes 2, 3 y 4 tratan el cálculo del área de polígonos: cuadriláteros, triángulos y el caso general, incluyendo los polígonos no regulares por triangulación. El epígrafe 5 se dedica al área del círculo, y se expone su relación con la de los polígonos regulares conforme aumenta el número de lados. En el último epígrafe se trabaja la semejanza de los polígonos, la razón entre sus perímetros y entre sus áreas, y se aplica a la resolución de problemas concretos.

ÁREA DE FIGURAS PLANAS Cálculo de áreas

Semejanza

Polígonos sencillos

Razón entre perímetros

Polígonos irregulares

Razón entre áreas

Círculo

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en diez sesiones: 1.ª Perímetro y área de un polígono 2.ª y 3.ª Área de los cuadriláteros 4.ª Área del triángulo 5.ª Área de un polígono cualquiera 6.ª Área del círculo 7.ª Semejanza y proporción 8.ª Actividades de consolidación y aplicación 9.ª Pon a prueba tus competencias 10.ª Matemáticas y sociedad En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Área de figuras planas

Unidad 12

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a la geometría, de gran aplicación práctica, son las subcompetencias uso de elementos y herramientas matemáticos y relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos a situaciones y problemas de la vida real. En concreto, se trabaja la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico, en especial en su vertiente de aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

Competencia cultural y artística Las secciones “Pon a prueba tus competencias” y “Matemáticas y sociedad” trabajan extensivamente la aplicación de los contenidos de la unidad a la arquitectura y el urbanismo, en este caso a través de la comprensión del diseño del Ensanche de Barcelona y de los diferentes tipos de arco. Con ello se pretende trabajar la subcompetencia de utilización del hecho cultural y artístico como fuente de enriquecimiento y disfrute personal y colectivo, concretamente en su vertiente de conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas, trabajando así la obtención, transformación y comunicación de la información. Asimismo, se trabaja el uso de las herramientas tecnológicas en las actividades 72 a 74, que están diseñadas para ser resueltas con el programa matemático GeoGebra.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja especialmente en la sección de “Aprende a pensar con matemáticas”, donde las actividades no son guiadas y requieren aplicar las subcompetencias de innovación y planificación y realización de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 12

Área de figuras planas

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA er

1. nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA 2.º nivel de concreción

Uso de elementos y herramientas matemáticos. Matemática Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad.

Interacción con el mundo físico

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3. nivel de concreción

4.º nivel de concreción

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana.

– Domina el cálculo de las áreas de los polígonos y los círculos.

er

Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

Aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

– Plantea y resuelve problemas en contextos científicos o cotidianos utilizando el cálculo de las áreas de figuras planas. Toda la unidad

– Utiliza el cálculo de áreas para resolver problemas de diferentes materias y de la vida cotidiana, incluyendo deportes, geografía, arquitectura o urbanismo, entre otras. Entrada Desarrolla tus competencias: 1 y 2 Actividades 11, 21 y 78 Pon a prueba tus competencias: 83

Cultural y artística

Patrimonio cultural y artístico. Utilización del hecho cultural y artístico como fuente de enriquecimiento y disfrute personal y colectivo.

Conocer las principales instituciones, obras y manifestaciones del patrimonio cultural, y fomentar el interés por participar en la vida cultural.

– Comprende y valora el diseño arquitectónico y urbanístico a través de las formas planas que utiliza. Actividades 21 y 82 Pon a prueba tus competencias: 83 – Conoce los distintos tipos de arcos, su importancia cultural y su construcción geométrica. Matemáticas y sociedad

Obtención, transformación y comunicación de la información. Tratamiento de la información y competencia digital

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad.

– Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 23 y 41

Uso de herramientas tecnológicas.

Innovación.

Autonomía e iniciativa personal Planificación y realización de proyectos.

Hacer uso de los recursos tecnológicos disponibles para aplicarlos en diferentes entornos y resolver problemas reales. Afrontar los problemas y situaciones de cambio como retos que requieren soluciones innovadoras. Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.

Pon a prueba tus competencias – Utiliza GeoGebra para resolver problemas de cálculo de áreas de polígonos y círculos. Actividades 72 a 74

– Resuelve problemas no guiados que requieren enfoques innovadores y la elaboración de estrategias y planificación. Aprende a pensar con matemáticas

Área de figuras planas

Unidad 12

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación intercultural: “Pon a prueba tus competencias”, “Matemáticas y sociedad”. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuaderno de Matemáticas básicas – Unidad 5. Polígonos y círculos Bibliográficos

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO SM

– Unidad 5. Geometría • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 5: Geometría – Unidad II. Polígonos – Unidad III. Circunferencias y círculos – Unidad IV. Construcción de polígonos regulares • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I

Internet

SM

www.smconectados.com www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes:

Otros

www.e-sm.net/1esomatmrd01 Ejercicios interactivos de cálculo de áreas con GeoGebra:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatmrd13

6

Unidad 12

• Tramas de puntos, hojas cuadriculadas, instrumentos de dibujo (regla, escuadra, cartabón, compás y transportador de ángulos). • Geoplanos, pentominós y otros juegos geométricos similares. • Herramienta informática GeoGebra, para la representación de figuras planas y la realización de cálculos sobre ellas.

Área de figuras planas

Sugerencias didácticas Entrada La foto y el texto de la entrada están concebidos para captar la atención de los alumnos y hacer que relacionen el cálculo de áreas con algo muy cotidiano para ellos: las pistas de diferentes deportes. Con ello trabajaremos la interacción con el mundo físico, estableciendo un vínculo entre el diseño de las canchas y las figuras planas desde un punto de vista matemático. La primera actividad es de reconocimiento visual y sirve a modo de introducción. Los alumnos deberían reconocer rectángulos, círculos, semicírculos, circunferencias y semicircunferencias. En la segunda actividad, el interés competencial está en que los alumnos hablen entre sí para averiguar cuál es la zona de tres segundos (el rectángulo azul más el semicírculo verde). Una vez averiguado esto, pueden utilizar el ancho de la pista para hacer una aproximación del área de esta zona. No es necesario que sea exacta. Por último, la tercera actividad requiere un poco de investigación por parte de los alumnos, lo que incidirá en la interacción con el mundo físico y en el tratamiento de la información. Pueden obtener los datos de donde prefieran: internet, el profesor de educación física, manuales o enciclopedias, etc.

Desarrolla tus competencias En la primera actividad volvemos a trabajar la competencia de interacción con el mundo físico relacionando cuatro objetos de la vida real (una carta, una moneda, una colchoneta y un tablero de ajedrez) con sus correspondientes perímetros y superficies. Aunque los alumnos pueden buscar estos objetos y medirlos, lo ideal es que respondan de acuerdo con un razonamiento deductivo. El segundo apartado nuevamente requiere un poco de investigación o imaginación por parte de los alumnos. Debemos animarlos a que busquen objetos de superficies similares pero formas distintas, dentro de lo posible. En la segunda actividad insistimos una vez más en la competencia de interacción con el mundo físico, esta vez interpretando un mapa y aplicando las matemáticas para aproximar la superficie del parque natural, que tiene forma irregular, utilizando formas cuyas áreas conocen.

• Para introducir el concepto de área de una figura se pueden utilizar figuras dibujadas en papel cuadriculado para que vayan contando el número de cuadraditos que las forman. • Resulta muy interesante proponer actividades para que comprueben que el concepto de perímetro no necesariamente va ligado al concepto de área: – Figuras con el mismo perímetro y distinta área. – Figuras con la misma área y distinto perímetro.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

1, 4 y 49 a 51

Medio

2, 3, 5, 52 a 54, 75 y 76

2. Área de los cuadriláteros • Las fórmulas para hallar las áreas del rectángulo, el cuadrado, el rombo, el romboide y el trapecio ya las han visto los alumnos en el último curso de Educación Primaria. Resulta conveniente, antes de volver a recordarlas, intentar que las obtengan ellos mismos. Para ello podemos entregarles una copia en papel cuadriculado con multitud de paralelogramos dibujados, con una gran variedad de formas y medidas, y pedirles que calculen sus áreas. • En los casos del romboide y el trapecio hay que asegurarse de que saben distinguir la altura y no la confunden con la longitud de uno de los lados oblicuos. 11. Siguiendo la línea de la entrada de la unidad, en esta actividad trabajamos la interacción con el mundo físico a través de las dimensiones de una pista de tenis. Más allá de los cálculos matemáticos (que deben realizar correctamente), el foco competencial está en que los alumnos se interesen por las dimensiones de las pistas de tenis y de otros deportes, busquen información, hagan cálculos y los comparen. Si no hay tiempo para extender demasiado la actividad, podemos pedirles que calculen la superficie del área de juego de un partido de dobles, de la de saque, etc., y que averigüen qué porcentaje supone sobre el total de la pista.

ACTIVIDADES POR NIVEL

1. Perímetro y área de un polígono

Básico

6 a 9, 55 y 60

• Es importante que los alumnos interioricen el concepto de perímetro. Para que el aprendizaje resulte más significativo es conveniente que calculen el perímetro de objetos del entorno que les rodea, tomando las medidas que en cada caso resulten necesarias. Les pediremos que midan carpetas, cuadernos, tapaderas de cajas de bombones, de botes de mermelada…

Medio

10, 11, 56 a 59, 61, 62 y 77 a 80

• De este modo es más fácil que ellos mismos descubran alguna estrategia para ahorrarse el tomar alguna medición: en los cuadrados basta con medir un lado, en los rectángulos basta con medir dos, en los polígonos regulares solo hay que medir uno… • A los alumnos más aventajados se les pueden proponer ejercicios que requieran la utilización del teorema de Pitágoras para calcular alguna distancia.

3. Área del triángulo • Como es habitual, se presenta el área del triángulo como la mitad del área de un paralelogramo. Por eso se puede pedir a los alumnos que dibujen en cartulina dos triángulos iguales, los recorten, le den la vuelta a uno y los junten para comprobar que se forma un paralelogramo. • De este modo podrán obtener experimentalmente la fórmula para calcular el área de un triángulo, con lo que el aprendizaje resultará más significativo, ya que la fórmula habrá sido obtenida por ellos mediante el razonamiento; posiblemente les costará más trabajo, pero será más difícil que la olviden.

Área de figuras planas

Unidad 12

7

Sugerencias didácticas

• De igual forma (dibujando en cartulina y recortando) se puede trabajar para hallar la fórmula del área del trapecio del epígrafe anterior. • La manipulación en estas edades ayuda a fijar los conceptos, ideas y, en nuestro caso, fórmulas. 21. En esta actividad trabajamos la competencia de interacción con el mundo físico. Para ello debemos hacer notar a los alumnos que el área de los triángulos (y de las figuras geométricas en general) no es una mera abstracción, sino que tiene una aplicación directa en la realidad; podemos preguntarles por la utilidad de conocer la superficie de un edificio (calcular su precio, saber cuántas viviendas u oficinas se pueden hacer, averiguar la cantidad de solado o moqueta que necesita, etc.). Por otra parte, desde el punto de vista cultural y artístico es interesante hacer notar a los alumnos la rareza de un edificio triangular. Para trabajar esta competencia con cierta profundidad, podemos pedirles que busquen ejemplos de edificios con formas geométricas peculiares y que formulen su opinión sobre si les resultan más atractivos y por qué.

• Para que las asocien de forma correcta es práctico que observen las unidades que resultan en cada caso: 2 ⋅ π ⋅ r dará unidades de longitud (r en cm, por ejemplo), y π ⋅ r 2 dará unidades de superficie (por ejemplo, cm2). • Hay que hacer mucho hincapié para que sepan utilizar la fórmula tanto si se tiene la longitud del radio como si se tiene la del diámetro. • Hay que insistir en que el valor de π es aproximado: tomamos 3,14 (o 3,1416 en otros cursos), pero en ningún caso se trata de un valor exacto, ya que π tiene una cantidad ilimitada de cifras decimales. • Puede resultar una buena ocasión para trabajar con la calculadora científica. Muchas de ellas tienen una tecla con el símbolo de π; podemos mostrarles cómo al pulsarla aparecen más de dos cifras decimales, y así trabajar el redondeo.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

30 a 34 y 69

Medio

35 a 40, 70, 71 y 74

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

12 a 16, 20, 21 y 64

6. Semejanza y proporción

Medio

17 a 19, 22 y 65

• Resulta fundamental que los alumnos adquieran las nociones de que los ángulos de un polígono no se ven alterados por la semejanza, que la razón entre perímetros es igual a la razón entre los lados y, lo que suele confundirlos, que la razón entre las áreas es el cuadrado de la razón entre los lados.

4. Área de un polígono cualquiera • Es conveniente e interesante que los alumnos observen que las fórmulas para hallar las áreas de figuras complicadas se van obteniendo por deducción a partir de las más sencillas, de área conocida. • En los polígonos regulares resulta algo complicado obtener la fórmula, por eso lo mejor es centrarnos en el hexágono regular (es el más sencillo de dibujar) y realizar la triangulación del mismo desde su centro. Una vez obtenida el área de cada triángulo, basta sumar el área de todos y hacer ver a los alumnos que el resultado está relacionado con el perímetro del polígono. • Una vez conocida la fórmula para hallar el área de cualquier polígono regular, la resolución de los problemas asociados a ella no presentará ninguna dificultad para los alumnos. • En los polígonos irregulares se puede insistir en la triangulación, aunque no siempre es posible conocer la base y altura de los triángulos obtenidos. Por eso se les puede orientar para que intenten descomponer la figura en otras más sencillas de medidas conocidas para calcular el área de cada una de ellas.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

24 a 26, 66 y 68

Medio

27 a 29, 67, 72, 73 y 82

5. Área del círculo • Aunque algunos alumnos conocen la fórmula para hallar el área del círculo, la mayoría suele confundirla con la de la longitud de la circunferencia.

8

Unidad 12

Área de figuras planas

• Debemos insistir en que los recíprocos no son siempre ciertos: que dos polígonos tengan los mismos ángulos no implica que sean semejantes, que el área de uno sea el cuadrado del área del otro tampoco, etc. • Un aspecto crucial de este epígrafe es su relación con la unidad de proporcionalidad. Debemos hacer ver a los alumnos que la razón de semejanza no es otra cosa que una aplicación de la proporcionalidad que ya conocen, lo que nos ayudará a reforzar ambos conceptos simultáneamente.

ACTIVIDADES POR NIVEL Básico

42 a 45

Medio

46 a 48 y 81

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 72 a 82 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral todos los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos, o comprobar si solo se han limitado a memorizar técnicas.

Sugerencias didácticas

72 a 74. Estas actividades están concebidas para ser resueltas con el programa matemático GeoGebra (o, con una ligera adaptación, con Cabri). En ellas se trabajan diferentes problemas de cálculo de áreas de polígonos y círculos. En particular, aprovechando esta herramienta podemos hacer ver a los alumnos cómo las áreas de los polígonos regulares van convergiendo al área del círculo a medida que su número de lados aumenta. 78. Con esta actividad trabajamos la competencia de interacción con el mundo físico, puesto que una vez más llevamos el cálculo de áreas a un contexto posible y cercano al alumno. Como extensión de esta actividad, podemos proponerles que analicen el suelo de su propia habitación, realicen un plano similar al que se presenta y expliquen de qué manera se ha resuelto el solado, incluyendo los cálculos matemáticos que sean necesarios. 82. Destacamos esta actividad porque resulta muy completa tanto desde el punto de vista matemático como desde el competencial. Además de trabajar el cálculo de áreas, la proporcionalidad, las escalas y los porcentajes, todos estos conceptos se relacionan con la realidad cotidiana del alumno. La extensión artística de esta actividad es pedir a los alumnos que dibujen un plano a escala de su casa y calculen su área. Deben tener en cuenta los tabiques, los muros y las bajantes, y discriminar entre superficie construida y útil, como se describe en el texto. Debemos valorar no solo la corrección de los cálculos, sino también el esmero y la pulcritud del plano, y avisarlo así a los alumnos al encargarles la actividad.

Pon a prueba tus competencias 83. En esta actividad a página completa se refuerza el tratamiento de las competencias cultural y artística y de interacción con el mundo físico mediante el estudio del Ensanche de Barcelona. Asimismo, realiza un tratamiento bastante extensivo de los contenidos explicados en la unidad. Para realizarla de forma completa es recomendable que los alumnos se agrupen en equipos de dos o tres y se repartan las tareas, puesto que involucra cierta cantidad de cálculos y la realización de un diseño original por su parte. La competencia de interacción con el mundo físico se trabaja al insistir en el urbanismo y en la importancia del cálculo de superficies en la construcción de los edificios. Por su parte, la competencia cultural y artística aparece al relacionar estos contenidos con una obra arquitectónica particular, el Ensanche, que forma parte del patrimonio de Barcelona y es una excelente muestra de la geometría aplicada al urbanismo en el siglo XIX.

Autoevaluación Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

Aprende a pensar... con matemáticas Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades. Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Matemáticas y sociedad Esta sección refuerza los contenidos culturales de la unidad y da lugar a un tratamiento competencial de las figuras planas que los alumnos han trabajado. La presentación de los arcos y puentes más comunes en la arquitectura relaciona directamente las matemáticas con otras materias, como educación plástica o historia, lo que dota de significado a la geometría estudiada y puede servirnos para motivar a los alumnos. En esta línea, podemos pedir a los alumnos que vayan más allá de los cálculos y el sencillo dibujo técnico que les proponemos y que busquen en su entorno edificios, puentes o incluso portales donde aparezcan estos arcos, que los fotografíen e identifiquen, y que con ellos realicen un breve informe. De este modo fijarán los conceptos matemáticos y al tiempo estarán conociendo su entorno y el patrimonio cultural desde una óptica distinta a la habitual. Al igual que en la actividad 83, puede resultar interesante que los alumnos realicen este trabajo en equipo, para estimular la colaboración entre ellos y hacerles ver que trabajando entre varios se obtienen resultados más ricos y de mejor calidad que individualmente.

Área de figuras planas

Unidad 12

9

Actividades de refuerzo

Área de figuras planas

Unidad 12 ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Al acabar la unidad, los alumnos deben tener clara la diferencia entre perímetro y área de una figura plana, utilizando adecuadamente las unidades de medida en cada caso. También deben conocer y aplicar correctamente las fórmulas para hallar el área de las figuras más sencillas. Por ello es importante: • Proponer actividades en las que se deba calcular el área y el perímetro de figuras geométricas representadas en una cuadrícula de unidad conocida. • Insistir en que realicen un esquema con las fórmulas que aparecen en la unidad para que se las aprendan. • Realizar gran número de actividades de cálculo de áreas y perímetros para que, a base de repetición, sean capaces de dominar las fórmulas más elementales. Hay que procurar que los datos sean números sencillos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Para realizar la actividad que se propone es necesario formar grupos de tres o cuatro alumnos y que cada grupo tenga una cartulina en la que haya pegado una hoja de papel cuadriculado (resulta ideal que la cuadrícula sea de 1,5 cm de lado). 1. Explicamos que un trominó es una figura formada por 3 cuadrados iguales unidos por sus lados de forma que al menos un lado de cada cuadrado coincida con el lado de otro cuadrado, y dibujamos en la pizarra los 2 trominós posibles. 2. Explicamos que un tetrominó es una figura formada del mismo modo pero con 4 cuadrados, y pedimos que intenten dibujar todos los tetrominós posibles. Después, en una puesta en común, analizamos las 5 posibilidades. 3. Planteamos que investiguen cuántos pentominós (poliminós formados por 5 cuadrados) diferentes existen, para posteriormente, en una puesta en común, analizar los 12 posibles. 4. Cada alumno se construirá en la cartulina cuadriculada su propio juego de pentominós y recortará las piezas. Cada grupo formará un tablero cuadrado de 8 × 8 cuadrículas. 5. Se propone el siguiente juego para jugar por equipos: a. Un jugador pone una de sus piezas sobre el tablero, el jugador de su derecha pone otra pieza (de las suyas) sin que se superponga con la anterior, y así sucesivamente hasta que uno de los jugadores no pueda poner ninguna pieza. b. Este jugador queda eliminado y los restantes empiezan de nuevo el juego hasta eliminar a otro jugador. c. Gana el jugador que consiga eliminar a los restantes del equipo.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) P = 22 cm; A = 10 cm2 b) P = 20 cm; A = 13 cm2 c) P = 24 cm; A = 17 cm2 2. a) 9 + 10 + 15 = 34 cm

b) 2 · 5 + 2 · 14 = 40 cm

3. a) 8 · 8 = 64 cm2

b) 12 · 5 = 60 cm2

4.

c) 7 · 4 = 28 cm 18 · 10 = 90 cm2 c) 2

d) 8 + 6 + 10 + 13 + 12 + 11 = 60 cm d) 3,14 · 62 = 113,04 cm2 Triángulos

Rectángulos Base

10 cm

23 cm

12 cm

4m

5m

16 cm

18 cm

22 cm

7m

8 cm

Altura

8 cm

13 cm

5 cm

3m

1m

12 cm

15 cm

5 cm

6m

2 cm

12 m2

5 m2

96 cm2

135 cm2

55 cm2

21 m2

8 cm2

Área

80 cm2 299 cm2 60 cm2

5. En las tres figuras, la superficie de la región sombreada es la misma. 6. a)

b) A=4·2+

(2 + 5) ⋅ 2 = 15 cm

2

2

A = 10 · 5 −

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 12

Área de figuras planas

8⋅3 2

= 38 cm2

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 12

Área de figuras planas

1. Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras. 1 cm

2. Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a)

b)

10 cm

c)

d)

7 cm

8 cm

6 cm

6 cm 10 cm

9 cm 11 cm

14 cm 15 cm

12 cm

13 cm

3. Calcula el área de las siguientes figuras. a) Un cuadrado de 8 metros de lado b) Un rectángulo de 12 centímetros de base y 5 centímetros de altura c) Un triángulo de 18 centímetros de base y 10 centímetros de altura d) Un círculo de 6 centímetros de radio 4. Rellena las siguientes tablas en las que aparecen las dimensiones de distintas figuras. Rectángulos Base

10 cm

23 cm

Altura

8 cm

13 cm

12 cm

5m 3m

60 cm2

Área

Triángulos

12 m2

16 cm

18 cm

12 cm

15 cm

5 m2

22 cm

8 cm 6m

55 cm2

21 m2

8 cm2

5. En las siguientes figuras, la circunferencia mayor tiene 24 centímetros de diámetro, y la circunferencia menor, 6 centímetros de radio. Señala cuál de ellas tiene mayor superficie sombreada y en cuál la superficie sombreada es menor.

6. Calcula el área de las siguientes figuras, descomponiéndolas previamente en polígonos regulares. 2 cm

b) 2 cm

4 cm

7 cm

3 cm 5 cm

Página fotocopiable

2 cm

a)

10 cm

Área de figuras planas

Unidad 12

11

Actividades de ampliación Unidad 12

Área de figuras planas

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Si los alumnos ya manejan con soltura las áreas y los perímetros de las figuras planas, debemos aprovechar para dar un paso más. Por ejemplo, podemos: • Proponer figuras en las que, para calcular su área, los alumnos deban aplicar los conocimientos que han adquirido en otras unidades, por ejemplo, el teorema de Pitágoras, para obtener la medida de alguno de los elementos. • Pedir que calculen el área de figuras planas que requieran de una descomposición en más de dos figuras elementales. • Plantear ejercicios basados en situaciones reales, en los que el alumno, para calcular el área, tenga que realizar mediciones de objetos para obtener los datos.

ACTIVIDAD DE GRUPO Para realizar la actividad que se propone es necesario formar grupos de tres o cuatro alumnos, y que cada grupo tenga una cartulina en la que haya pegado una hoja de papel cuadriculado (resulta ideal que la cuadrícula sea de 1,5 cm de lado). 1. Explicamos que un trominó es una figura formada por 3 cuadrados iguales unidos por sus lados de forma que al menos un lado de cada cuadrado coincida con el lado de otro cuadrado, y dibujamos en la pizarra los 2 trominós posibles. 2. Explicamos que un tetrominó es una figura formada del mismo modo pero con 4 cuadrados, y pedimos que intenten dibujar todos los tetrominós posibles. Después, en una puesta en común, analizamos las 5 posibilidades. 3. Planteamos que investiguen cuántos pentominós (poliminós formados por 5 cuadrados) diferentes existen, para posteriormente, en una puesta en común, analizar los 12 posibles. 4. Cada alumno se construirá en la cartulina cuadriculada su propio juego de pentominós y recortará las piezas. Cada grupo formará un tablero cuadrado de 8 × 8 cuadrículas. 5. Se propone el siguiente juego para jugar por equipos: a) Un jugador pone una de sus piezas sobre el tablero, el jugador de su derecha pone otra pieza (de las suyas) sin que se superponga con la anterior, y así sucesivamente hasta que uno de los jugadores no pueda poner ninguna pieza. b) Este jugador queda eliminado y los restantes empiezan de nuevo el juego hasta eliminar a otro jugador. c) Gana el jugador que consiga eliminar a los restantes del equipo.

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. A =

3,14 · 242 2

− 3,14 · 122 = 452,16 cm2

2. Lado del patio: 64 = 8 metros

5. Ic =

16,42 2

11,60 m

Á. cuadrado: 11,602 = 134,56 m2

Diámetro del estanque: 8 − 2 · 1,5 = 5 metros

Á. círculo: 3,14 · 8,22 = 211,13 m2

a) Radio del estanque: 2,5 metros

Á. sup. sombreada:

b) Área del estanque = 3,14 · 2,52 = 19,625 m2 3. 24 · 18 − (24 · 2,8 + 18 · 2,2 − 2,8 · 2,2 + 3,14 · 1,252) = = 432 − (67,2 + 39,6 − 6,16 + 4,90625) = 326,45 m2 4. A =

3,14 ⋅ 32 2

+

3,14 ⋅ 42 2

⎛ 314 , ⋅ 52 6 ⋅ 8 ⎞⎟⎟ 2 − ⎜⎜⎜ − ⎟ = 24 cm ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠

21113 , − 134,56 2

= 38,29 m2

6. Apotema hexágono: 62 = a2 + 32 ⇒ a = 27 = 5,2 cm Á. círculo: 3,14 · 62 = 113,04 cm2 6 ⋅ 6 ⋅ 5,2

= 93,6 cm2 2 113,04 − 93,6 Á. segmento circ.: = 3,24 cm2 2 Á. hex:

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 12

Área de figuras planas

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 12

Área de figuras planas

1. Calcula el área de la superficie en oscuro coloreada en la siguiente figura.

12 cm

2. En un patio cuadrado de 64 metros cuadrados van a construir un estanque circular. Si quieren que la distancia entre el estanque y las paredes del patio sea de 1,5 metros: a) ¿Cuánto debe medir el radio del estanque? b) ¿Cuál será su área? 3. Un jardín rectangular de 24 metros de largo por 18 de ancho está cruzado por dos caminos perpendiculares. El camino más largo mide 2,8 metros de ancho, y el corto, 2,2. Además, en una de las esquinas hay una fuente circular de 2,5 metros de diámetro. ¿Cuál es la superficie útil que queda en el jardín para plantar césped? 4. El triángulo inscrito en la circunferencia de la figura es rectángulo, y las regiones sombreadas reciben el nombre de lúnulas de Arquímedes. Calcula su área.

8 cm 6 cm 10 cm

5. El radio de la circunferencia de la figura mide 8,2 metros. Calcula el área de la superficie sombreada.

6. Calcula el área del segmento circular representado en la siguiente figura.

Página fotocopiable

6 cm

Área de figuras planas

Unidad 12

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 12

Área de figuras planas

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Calcula el perímetro de las siguientes figuras. a)

b)

17 cm

c)

10 m

4 1,

9 cm

dm

11 cm 7m 3 cm 14 cm

2. Calcula el área de los siguientes cuadriláteros y triángulos. 10 cm

c)

4 cm

5 cm

b)

d) 3 cm

6 cm

a)

10 cm

4 cm

7 cm

4 cm

3. Calcula el área de las siguientes figuras. a) Un triángulo isósceles de 14 centímetros de base y 12 centímetros de altura b) Un trapecio de 4 metros de altura cuyas bases miden 10 y 7 metros, respectivamente c) Un hexágono regular de 20 centímetros de lado y apotema 17,32 cm 4. Un campo de fútbol tiene 320 metros de perímetro y 62 metros de ancho. ¿Cuánto mide de largo el terreno de juego? 5. En una habitación de 3,8 metros de largo, 2,8 de ancho y 2,5 de alto hay una puerta de 2 metros de alta por 70 centímetros de ancha y una ventana cuadrada de 80 centímetros de lado. ¿Cuánto tendrán que pagar por pintar las paredes de la habitación si cada metro cuadrado cuesta 8 euros? 6. ¿Cuál es el área de un círculo de 21 centímetros de radio? 7. Las ruedas de una bicicleta tienen 40 centímetros de diámetro. ¿Cuántas vueltas tienen que dar para recorrer un kilómetro? 8. Calcula el área de las siguientes figuras. 8 cm

b) 4 cm

a)

Página fotocopiable

4 cm

14

2 cm

4 cm

9. Las áreas de dos cuadrados semejantes son 4 cm2 y 36 cm2. ¿Cuál es la razón de semejanza?

Unidad 12

Área de figuras planas

Propuesta de evaluación Unidad 12

Área de figuras planas

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) 9 cm + 3 cm + 11 cm + 14 cm + 17 cm = 54 cm b) 2 · 7 + 2 · 10 = 34 m c) 5 · 1,4 = 7 dm

(6 + 10) ⋅ 5 = 40 cm

2. a) A =

2

2

10 ⋅ 4

b) A =

7⋅3

c) A =

2

= 10,5 cm2

4⋅4

d) A = 3. a) A =

= 8 cm2

2

14 ⋅ 12 2

= 84 cm2

(10 + 7) ⋅ 4

b) A = c) A =

= 20 cm2

2

2 6 ⋅ 20 ⋅ 17,32 2

= 34 m2 = 1.039,2 cm2

4. 2 · l + 2 · 62 = 320 ⇒ 2l = 196 ⇒ l = 98 m 5. Superficie que hay que pintar: 2 · (3,8 · 2,5) + 2 · (2,8 · 2,5) − 2 · 0,7 − 0,8 · 0,8 = 19 + 14 − 1,4 − 0,64 = 30,96 m2 Precio: 30,96 · 8 = 247,68 euros. 6. A = 3,14 · 212 = 1384,74 cm2 7. En una vuelta se recorre: 2 · 3,14 · 20 = 125,6 cm, es decir, 1,256 m. 1000 : 1,256 = 796,18 Para recorrer un kilómetro son necesarias 797 vueltas. 8. a) Al área de un rectángulo de 8 centímetros de largo y 4 de alto hay que restarle el área de una circunferencia de radio 2 centímetros. A = 8 · 4 − 3,14 · 22 = 19,44 cm2 b) Podemos descomponer la figura como la suma de las áreas de dos semicírculos de 6 y 4 cm de radio, y luego restar el área de un semicírculo de 2 cm de radio. 3,14 ⋅ 62 2

+

314 , ⋅ 42 2

−

314 , ⋅ 22 2

= 87,92 cm2 Página fotocopiable

A=

9. La razón es la raíz cuadrada del cociente de las áreas. r=

36 4

=3

Área de figuras planas

Unidad 12

15

GU Í A DI DÁC T IC A

U N I DA D

13

ESO

Cuerpos geométricos

1 CONTENIDO

1 Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6 Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 *También la podrás encontrar en el CD Programación.

Cuerpos geométricos

Unidad 13

Programación de aula Unidad 13

Cuerpos geométricos

Con esta unidad se empieza a trabajar la geometría del espacio. Nos introducimos en un mundo que los alumnos no dominan muy bien: el de las tres dimensiones. Hay que poner especial cuidado en que vean adecuadamente las figuras, las comprendan y sean capaces de trabajar con ellas. Es solo una primera aproximación para preparar el terreno a lo que se trabajará en el segundo curso de ESO. Por ello es necesario que los conceptos queden claros y bien asimilados por los alumnos. Hay que insistir para que no confundan el volumen de los cuerpos geométricos con el área de sus caras laterales, error muy frecuente entre los alumnos. Hay que tener en cuenta que cuando dibujamos en la pizarra estamos distorsionando la realidad, ya que realizamos una proyección de tres dimensiones a dos dimensiones, y, por consiguiente, algunos alumnos no son capaces de visualizar bien las ideas que queremos trabajar. Por eso es importante en esta unidad que los alumnos puedan manipular físicamente los cuerpos geométricos (verlos y tocarlos) para que adquieran una mayor comprensión de los mismos. De este modo les resultará más sencillo entender los conceptos trabajados.

OBJETIVOS

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Identificar los distintos cuerpos geométricos.

1.1 Diferenciar entre prismas y cuerpos redondos, clasificando e identificando los elementos que los determinan.

2. Comprender los conceptos de área de las caras y volumen de un cuerpo geométrico.

3. Aplicar los conocimientos geométricos para comprender y analizar el mundo físico que nos rodea.

2.1 Calcular el área de las caras y el volumen de prismas y pirámides. 2.2 Expresar una cantidad de volumen en la unidad principal, el metro cúbico, o en uno de sus múltiplos o submúltiplos. 3.1 Resolver situaciones sencillas de carácter geométrico, relacionadas con las propias matemáticas o la vida cotidiana, que requieran la aplicación de las herramientas estudiadas para el cálculo del área o el volumen de un cuerpo geométrico.

CONTENIDOS • Poliedros. Elementos • Tipos de poliedros • Cuerpos redondos • Prismas. Elementos • Paralelepípedos y ortoedros • Área de un prisma

2

Unidad 13

Cuerpos geométricos

• Unidades de volumen • Volumen del prisma • Pirámides. Elementos • Tipos de pirámides • Área de la pirámide • Volumen de la pirámide

COMPETENCIAS BÁSICAS

• Matemática • Interacción con el mundo físico • Cultural y artística • Tratamiento de la información y competencia digital • Autonomía e iniciativa personal

Programación de aula

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS 1. Conocimientos previos Antes de iniciar esta unidad es importante recordar algunos de los conceptos geométricos que se han trabajado en primaria y que será necesario manejar a lo largo de toda ella, en especial las longitudes y áreas de los polígonos y los círculos. También es conveniente recordar los poliedros que hayan estudiado, y en particular el cubo, que será un elemento de referencia en toda la unidad.

2. Previsión de dificultades La principal dificultad en esta unidad es la visión espacial. El salto de calcular las áreas de figuras planas a las áreas laterales y los volúmenes de cuerpos geométricos resulta complicado para algunos alumnos. Por ello debemos insistir en este punto y tratar de realizar actividades manipulativas en las que utilicen sólidos o, si el tiempo lo permite, construyan los suyos propios a partir de los desarrollos planos.

3. Vinculación con otras áreas Aunque se trata de una unidad introductoria para conceptos que se desarrollarán más adelante, la conexión con otras materias y con la vida cotidiana ya está presente: la construcción de prismas y pirámides en plástica y tecnología, la arquitectura, el diseño de envases e incluso de objetos decorativos.

4. Esquema general de la unidad

Cuerpos Geométricos

Comenzamos con un recordatorio de qué es un poliedro aplicado a los rascacielos de Hong Kong, y en “Desarrolla tus competencias” trabajamos de forma intuitiva los conceptos de cuerpo geométrico y su volumen. El primer epígrafe define los poliedros, sus elementos y clasificación, e introduce los cuerpos redondos más comunes: cilindro, cono y esfera. Los epígrafes 2 y 3 tratan sobre los prismas: se trabajan sus elementos, su desarrollo plano y el cálculo de su área y volumen, con un breve recordatorio de las unidades de volumen en el Sistema Internacional. Por último, en el epígrafe 4 trabajamos de forma análoga las pirámides (desarrollo plano, área y volumen), con especial atención a su relación con los prismas.

Poliedros

Cpos. Redondos

Prismas

Tipos

Pirámides

Cilindro Cono

Áreas y volúmenes

Esfera

5. Temporalización Se propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en ocho sesiones: 1.ª Poliedros y cuerpos redondos 2.ª Prismas 3.ª Áreas de primas 4.ª Volumen de un prisma 5.ª Pirámides 6.ª Áreas de pirámides 7.ª Actividades de consolidación y aplicación 8.ª Pon a prueba tus competencias En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de los que se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades. Por supuesto, el contexto de la clase es también un factor determinante para fijar el número de sesiones necesarias para desarrollar la unidad.

Cuerpos geométricos

Unidad 13

3

Programación de aula

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática Esta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas las subcompetencias y descriptores. No obstante, al estar dedicada esta unidad a la geometría, de gran aplicación práctica, son las subcompetencias uso de elementos y herramientas matemáticos y relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad las que más presencia tienen.

Competencia para la interacción con el mundo físico A lo largo de la unidad se presentan numerosas referencias a la aplicación de los contenidos matemáticos a situaciones y problemas de la vida real. En concreto, se trabaja la subcompetencia de conocimiento y valoración del desarrollo científico-tecnológico, en especial en su vertiente de aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

Competencia cultural y artística En esta unidad se aprovechan los desarrollos planos de los cuerpos geométricos para realizar actividades manuales, como el diseño de cajas, tetra briks y otros envases, entrenando así la competencia artística. En particular, se pretende trabajar la subcompetencia de expresión artística: expresión y comunicación personal y colectiva mediante códigos artísticos, concretamente en su vertiente de realizar representaciones artísticas de forma individual y cooperativa.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digital La unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interactivas, trabajando así la obtención, transformación y comunicación de la información. Dentro de la misma subcompetencia se trabaja también el indicador de organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión, dado que los alumnos tienen que extraer los datos necesarios para resolver las actividades a partir de diagramas, ilustraciones y fotografías, realizando un ejercicio de abstracción para transformarlos en información útil.

Competencia para aprender a aprender A partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en las secciones de “Autoevaluación” y “Aprende a pensar con matemáticas”, se puede trabajar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a las subcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia para la autonomía e iniciativa personal Se trabaja especialmente en la sección de “Aprende a pensar con matemáticas”, donde las actividades no son guiadas y requieren aplicar las subcompetencias de innovación y planificación y realización de proyectos.

Otras competencias de carácter transversal Aprender a pensar El proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido crítico del alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno un ejercicio reflexivo y crítico. En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunas actividades de reflexión y debate.

4

Unidad 13

Cuerpos geométricos

Programación de aula

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDAD A lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidad, en concreto, sugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores competenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA er

1. nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA 2.º nivel de concreción

Uso de elementos y herramientas matemáticos. Matemática Resolución de problemas. Relacionar y aplicar el conocimiento matemático a la realidad.

Interacción con el mundo físico

Conocimiento y valoración del desarrollo científicotecnológico.

DESCRIPTOR

DESEMPEÑO

3. nivel de concreción

4.º nivel de concreción

er

Conocer y utilizar los elementos matemáticos básicos (distintos tipos de números, medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana. Utilizar las matemáticas para el estudio y comprensión de situaciones cotidianas.

Aplicar soluciones técnicas a problemas científico-tecnológicos basadas en criterios de respeto, de economía y eficacia, para satisfacer las necesidades de la vida cotidiana y el mundo laboral.

– Conoce los poliedros y los cuerpos redondos, y clasifica e identifica sus elementos. – Domina el cálculo de las áreas y volúmenes de prismas y pirámides. – Plantea y resuelve problemas en contextos científicos o cotidianos utilizando prismas y pirámides. Toda la unidad

– Utiliza el cálculo de áreas y volúmenes de poliedros para resolver problemas de diferentes materias y de la vida cotidiana, incluyendo arquitectura, diseño, mineralogía, etc. Desarrolla tus competencias: 1 y 2 Actividad 49 Pon a prueba tus competencias: 50 y 51

Cultural y artística

Expresión artística. Expresión y comunicación personal y colectiva mediante códigos artísticos.

Realizar representaciones artísticas de forma individual y colectiva.

Buscar y seleccionar información con distintas técnicas según la fuente o el soporte, valorando su fiabilidad. Tratamiento de la información y competencia digital

Obtención, transformación y comunicación de la información.

– Realiza construcciones de maquetas y diseños con manualidades partiendo de desarrollos planos de cuerpos geométricos. Actividad 23 – Busca en diferentes páginas de internet para complementar la información. En la red – Visita la página librosvivos.net para realizar distintas actividades. Actividades 7 y 24

Organizar y analizar la información, transformándola en esquemas de fácil comprensión.

– Extrae de diagramas, ilustraciones y fotografías los datos necesarios para resolver problemas sobre figuras geométricas. Desarrolla tus competencias: 1, 2 y 3 Actividades 5, 6 y 12 Pon a prueba tus competencias: 50 y 51

Innovación.

Autonomía e iniciativa personal Planificación y realización de proyectos.

Afrontar los problemas y situaciones de cambio como retos que requieren soluciones innovadoras. Afrontar los problemas de forma creativa, aprender de los errores, reelaborar los planteamientos previos, elaborar nuevas ideas, buscar soluciones y llevarlas a la práctica.

– Resuelve problemas no guiados que requieren enfoques innovadores y la elaboración de estrategias y planificación. Aprende a pensar con matemáticas

Cuerpos geométricos

Unidad 13

5

Programación de aula

EDUCACIÓN EN VALORES Tanto los contenidos de la unidad como las actividades ya citadas para el trabajo específico de las competencias nos permiten, además, desarrollar algunos de los aspectos que el currículo recoge como educación en valores: • Educación intercultural y ciudadana: Entrada, actividades 46 y 49, Pon a prueba tus competencias. • Las actividades para realizar en grupo que se proponen en las sugerencias didácticas permiten desarrollar la educación para la convivencia y la educación en comunicación.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno y permiten trabajar la diversidad del alumnado. • Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido. • Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cada unidad del libro. • Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asimilación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados. • Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para evaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situaciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS Repaso de contenidos de cursos anteriores • Cuaderno de Matemáticas básicas – Unidad 6. Sistema métrico decimal

Bibliográficos

– Unidad 7. Longitudes y áreas Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso • Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 1.º de ESO SM

– Unidad 6. Cuerpos geométricos • Cuadernos de matemáticas. 1.º de ESO: N.º 6: Medida – Unidad I. Sistema Métrico Decimal – Unidad II. Perímetros y áreas de figuras planas – Unidad III. Cuerpos geométricos • Cuaderno de matemáticas para la vida. 1.º de ESO • Cuaderno de resolución de problemas I www.smconectados.com

Internet

SM

www.librosvivos.net Página del proyecto Descartes: www.e-sm.net/1esomatmrd01

Otros

Sólidos platónicos y arquimedianos para rotar interactivamente:

Otros materiales

www.e-sm.net/1esomatmrd14

6

Unidad 13

• Los instrumentos de dibujo no serán imprescindibles, ya que no se requiere que los cuerpos geométricos en tres dimensiones se representen con precisión; bastará con un esquema para representar la situación y anotar los datos. • Colecciones de figuras de madera o plástico de los principales cuerpos geométricos. • Aplicaciones informáticas con herramientas que permitan realizar construcciones geométricas en tres dimensiones y calcular volúmenes. En este sentido, el programa Descartes puede ser de gran utilidad.

Cuerpos geométricos

Sugerencias didácticas Entrada La utilización de los cuerpos geométricos en la arquitectura puede resultarnos muy útil a la hora de visualizar cuerpos geométricos. Podemos pedir a los alumnos que busquen en internet o entre sus fotos objetos cuya forma sea algún cuerpo geométrico. Estas fotos se pueden guardar hasta el final de la unidad y en ese momento clasificar el cuerpo geométrico que aparece, calcular su volumen, su área total… Si no tienen fotos propias, como sugerencia, les podemos hacer buscar imágenes en internet o en libros de arquitectura de algunas de las edificaciones más importantes de arquitectos como Frank Gehry, Rafael Moneo o Álvaro Siza.

hexágonos para que comprueben cómo con hexágonos no se puede construir ningún poliedro, ya que el hexágono rellena el plano. • Con un hilo atado a un triángulo, a un cuadrado y a un círculo, girándolos podemos hacer que los alumnos vean cómo se generan los cuerpos redondos. 5 y 6. Estas dos actividades trabajan la competencia de tratamiento de la información de la misma forma, los alumnos tienen que extraer información de un modelo plano para imaginarse el objeto en tres dimensiones y poder contestar a las preguntas.

ACTIVIDADES POR NIVELES Básico

5, 6, 25 y 26

Medio

1 a 3 y 27

Desarrolla tus competencias 1. Para poder realizar las actividades de esta unidad, el alumno necesita desarrollar su percepción espacial. Además trabaja dos competencias, la de tratamiento de la información y la de interacción con el mundo físico, ya que tiene que extraer la información que nos da el dibujo y predecir los datos necesarios para poder contestar a los distintos apartados. 2. La actividad trabaja la competencia de tratamiento de la información. El alumno tiene que extraer la información necesaria de las fotografías. También podemos utilizar la actividad para trabajar la confusión que tienen los alumnos entre las magnitudes capacidad y volumen. El volumen de un objeto es el espacio que ocupa este objeto, y la capacidad es lo que cabe en el objeto. Para que los alumnos puedan comprenderlo mejor, se les pueden dar estas indicaciones: – No tiene sentido hablar de la capacidad de un dado. Los objetos sólidos no tienen capacidad, solo tienen volumen. – Es erróneo decir qué vaso tiene más volumen que otro, lo correcto es decir que tiene más capacidad que otro. 3. Esta actividad vuelve a trabajar la percepción espacial, el alumno tiene que imaginarse cómo es el objeto para comprobar cómo está formado.

1. Poliedros y cuerpos redondos • Además de utilizar los dibujos de la unidad como apoyo a la explicación, es aconsejable llevar modelos de cada poliedro para que los alumnos puedan tocar las caras, aristas y vértices en cada caso. También es aconsejable hacer que los alumnos construyan los distintos poliedros a través de sus desarrollos planos. • Existen juegos de piezas encajables para construir poliedros. Podemos utilizar las piezas que son polígonos regulares de la siguiente forma: primero les damos solo triángulos equiláteros y les pedimos que construyan los poliedros posibles. Aquí les podemos ayudar diciéndoles que piensen cuántos triángulos pueden concurrir en un vértice. Después les dejamos solo cuadrados y que vuelvan a construir los poliedros posibles. Hacemos lo mismo con los pentágonos, y por último les dejamos

2. Prismas • Los alumnos no suelen tener problemas en identificar los prismas rectos; sin embargo, con los prismas oblicuos sí los tienen, sobre todo en su desarrollo. Por este motivo es aconsejable construir con cartulina algún prisma recto y alguno oblicuo para que vean físicamente sus diferencias, sobre todo en las caras laterales que los forman. • El mismo problema se suele tener con los paralelepípedos y los ortoedros. El ortoedro es muy fácil para ellos, es un cuerpo geométrico muy cercano, prácticamente cualquier tipo de caja es un ortoedro. Los paralelepípedos, que no son ortoedros, suelen dar muchos problemas de identificación. En particular, los romboedros, paralelepípedos con sus caras rómbicas, y los romboidedros, paralelepípedos con sus caras romboides, son difíciles de imaginar. Es muy conveniente llevar un modelo de ellos para que los alumnos vean cómo son realmente y cómo son las caras que los forman. • Hay otro paralelepípedo conocido y utilizado por ellos, el cubo o hexaedro. Es un caso particular de paralelepípedo del que los alumnos desconocen que también se llama hexaedro. 12. Podemos ampliar esta actividad pidiendo a los alumnos que traigan distintos envoltorios de objetos del mercado. En principio, es aconsejable obligarles a no traer la típica caja, es decir, el ortoedro, y que busquen diferentes prismas. Una vez que todos tengan el prisma, podemos realizar en el aula, con ayuda de una regla para medir, las mismas actividades que se proponen en esta actividad. La actividad también da pie a trabajar la competencia artística, podemos pedir a los alumnos que realicen un análisis desde el punto de vista artístico de los envases que hayan llevado. Podemos preguntarles cuál es el más estético para ellos, cuál ha aprovechado mejor su capacidad o cuál creen que ha sido mejor diseñado.

ACTIVIDADES POR NIVELES Básico

9, 10, 12, 28 y 29

Medio

8, 11 y 31

Alto

30

Cuerpos geométricos

Unidad 13

7

Sugerencias didácticas

3. Volumen de un prisma • Este puede ser un buen momento para retomar la confusión entre el volumen y la capacidad. Puede ser bueno recordar los ejemplos que se utilizaron al principio de la unidad. • Es posible que sea necesario recordar lo explicado en la unidad 5, sistemas de medida, en especial el epígrafe 4, dedicado a las unidades de volumen. Se puede volver a realizar alguna de las actividades propuestas cuando se trató la unidad. • Ocurre a veces que aunque sepan cómo calcular los volúmenes, los alumnos se bloquean cuando les presentamos la fórmula general con letras. Será necesario detenerse hasta que todos la hayan entendido, poniendo todos los ejemplos numéricos que sean necesarios. • Resulta interesante la actividad que consiste en que cada uno lleve a clase una caja de cartón con forma de ortoedro (galletas, zapatos…) y calcular su volumen midiendo sus aristas. Así también trabajaremos el hecho de que es irrelevante la posición en que esté colocado el ortoedro (caja), ya que el volumen es el mismo. • Es conveniente insistir en que, para hacer los cálculos, todas las medidas tienen que estar expresadas en las mismas unidades. Para ello podríamos proponerles algún ejercicio en que una de las dimensiones estuviese en una unidad distinta, y posiblemente la mayoría lo resolvería mal. Al analizar el error cometido estamos creando vínculos en sus conocimientos que les pueden ayudar a no cometer más veces ese fallo. • Se debe seguir insistiendo en que al final de los cálculos siempre hay que poner la unidad de volumen correspondiente.

ACTIVIDADES POR NIVELES Básico

14, 15, 16 y 35

Medio

13, 17, 34, 36 y 37

Alto

18

4. Pirámides • Los alumnos no suelen reconocer fácilmente los elementos de una pirámide oblicua, por este motivo puede ser necesario llevar al aula algún modelo de pirámide de este tipo para que vean cómo son estos elementos. • Hay que trabajar muchas veces el concepto de apotema de la pirámide, marcarlo en un modelo físico de pirámide hasta que los alumnos vean que se trata de la altura de las caras. Los alumnos suelen confundirlo con la altura de la pirámide. También es importante que comprendan que solo se puede hablar de apotema de la pirámide si la pirámide es regular, ya que en este caso todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. • Resulta muy útil realizar el experimento que se propone como explicación del volumen de la pirámide. Los alumnos se suelen sorprender al ver que exactamente se necesite el volumen de tres pirámides para rellenar el prisma. Si no se dispone de modelos de prismas y pirámides rellenables, se pueden construir con cartulina y rellenarse con arena en vez de agua.

8

Unidad 13

Cuerpos geométricos

23. Con esta actividad se trabajan las competencias de interacción con el mundo físico, cultural y artística y de tratamiento de la información. Cada una de ellas la podemos continuar trabajando de la siguiente forma: • Interacción con el mundo físico: aprovechando el recurso de la fotografía, se les puede pedir a los alumnos que traigan fotos de pequeñas construcciones en las que aparezcan diferentes cuerpos geométricos, estimar las dimensiones del objeto de la fotografía y calcular su área y su volumen. • Cultural y artística: de la misma forma que en la actividad 12, podemos crear un mural con todas las fotos recibidas y establecer un debate más centrado en los aspectos artísticos. También podemos dar una puntuación estética de cada foto y crear una lista con las más valoradas. • Tratamiento de la información y competencia digital: intercambiamos las fotos de los alumnos de forma que cada uno no tenga la que ha traído. A partir de la foto, y tomando como referencia algún otro objeto conocido que aparezca, el alumno tiene que estimar las dimensiones necesarias para calcular el área y el volumen. Posteriormente compararemos las dimensiones con las que dio el alumno que hizo la foto y vio realmente cuáles eran las dimensiones del objeto.

ACTIVIDADES POR NIVELES Básico

21

Medio

19, 20, 22 y 38

Alto

39

Actividades de consolidación y aplicación Estas actividades son un complemento fundamental de las ya efectuadas a lo largo de los epígrafes, por lo que su realización, total o parcial, debe ser un objetivo básico antes de cerrar el estudio de la unidad. En particular, las actividades 40 a 49 están concebidas para que los alumnos trabajen de forma integral los contenidos adquiridos en la unidad, aplicados a contextos más cotidianos o visuales. Por tanto, es muy recomendable realizarlas para evaluar en qué medida han comprendido los contenidos y son capaces de aplicarlos. 49. La primera competencia que se trabaja en la actividad es la lingüística. El alumno tiene que leer, analizar y extraer información de dos breves textos de forma individual y comparar la información que ofrecen conjuntamente. Una vez que ha extraído la información necesaria, la tiene que utilizar para realizar los cálculos que se piden en la actividad, de esta forma trabajamos la competencia de interacción con el mundo físico. Al igual que otras actividades, este tipo de construcciones da pie a realizar un análisis desde el punto de vista artístico, creando en los alumnos una forma distinta de mirar y buscando en ellos una sensibilidad artística. Podemos llevar o proyectar diferentes fotografías donde se aprecie, desde distintos puntos, la pirámide de entrada y la composición que forman la pirámide de entrada, las piscinas triangulares y las pirámides pequeñas.

Sugerencias didácticas

Pon a prueba tus competencias

Autoevaluación

50. La actividad comienza trabajando la competencia lingüística, el alumno tiene que analizar correctamente el encargo que tiene de un cliente. Esta es una situación en la que se puede ver el alumno en su futuro laboral. Podemos establecer un debate sobre cuáles pueden ser los problemas que surgirían ante una mala interpretación de un encargo de este tipo: costes perdidos por la producción de las cajas erróneas, tiempo perdido en su fabricación…

Es muy conveniente estimular e insistir a los alumnos para que realicen la autoevaluación, como medio de que tomen conciencia de hasta qué punto han adquirido los conocimientos y destrezas trabajados en la unidad. Se puede utilizar como un trabajo para entregar que sea evaluable.

La competencia de interacción con el mundo físico y la de tratamiento de la información se trabajan al tener que extraer la información que nos dan los dibujos de las cajas y utilizarla para calcular las áreas y volúmenes.

Con estas actividades desarrollamos las competencias de aprender a aprender y de autonomía e iniciativa personal. Los alumnos deberán aplicar los contenidos del tema, decidiendo cuáles son los más apropiados para resolver cada una de las actividades.

51. La primera parte de la actividad trabaja la competencia social y ciudadana. El alumno, al trabajar el origen de los tetra briks, está conociendo el desarrollo histórico y su carácter evolutivo. Podemos completar la actividad proponiendo que los alumnos realicen un estudio de cómo ha ido variando el diseño de los tetra briks a lo largo de su historia. La última pregunta de la actividad nos permite realizar un debate sobre la necesidad de conservar nuestros recursos naturales, en particular los bosques. Podemos dirigir el debate hacia la necesidad de reciclar y realizar una investigación sobre la relación entre la cantidad de tetra briks que se reciclan y la cantidad de árboles que se ahorran de talar.

Aprende a pensar… con matemáticas

Asimismo, deberán elaborar sus propias estrategias para resolver los problemas, dado que estos no son guiados ni se ajustan a patrones preestablecidos que ya conozcan, lo que puede resultarles muy estimulante aunque al comienzo les asuste un poco.

Síntesis de la unidad Los alumnos deben comprender la importancia de un esquema y aprender a elaborarlo. Para que el esquema les resulte más útil, conviene repasarlo con ellos, completando cada apartado con ejemplos proporcionados por ellos mismos.

Cuerpos geométricos

Unidad 13

9

Actividades de refuerzo Unidad 13

Cuerpos geométricos

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Es muy importante que al acabar esta unidad, los alumnos tengan clara la diferencia entre el área y el volumen de un cuerpo geométrico. Para conseguir esto, debemos insistir en: • Proponer actividades en las que no haya que calcular áreas o volúmenes de cuerpos geométricos, sino solo hacer recuento de las unidades básicas que forman las figuras. Esto puede ser difícil si se las damos dibujadas, ya que no todos los alumnos consiguen el paso de dos a tres dimensiones. Para estos alumnos sería muy interesante que pudieran manipular las figuras y contar físicamente cuántos cubos las forman. • Realizar muchos ejercicios de cálculo de áreas y volúmenes con números muy sencillos, para que no se sientan presionados por las operaciones y puedan centrarse en la aplicación de la fórmula.

ACTIVIDAD DE GRUPO Del plano al espacio: los hexaminós Esta actividad pretende que los alumnos den el paso de dos a tres dimensiones de una forma lúdica y manipulando los materiales. Es necesario que hayamos trabajado la actividad en grupo de la unidad 12, ya que esta es la continuación. Se formarán grupos de tres o cuatro alumnos y se les darán las siguientes pautas: 1. Recordaremos qué son los poliminós y en particular los 12 pentaminós obtenidos en la unidad 12. 2. Les entregaremos una cuadrícula de un tamaño grande (1,5 × 1,5 cm sería ideal) y les pediremos que, de forma individual, intenten dibujar todos los hexaminós que sea posible. 3. Cuando hayan finalizado, les comunicaremos que hay 35 hexaminós diferentes, y en ese momento empezará la labor del grupo. 4. Entre los miembros del grupo deberán intercambiarse los dibujos obtenidos para ver cuáles son los que les faltan y completar la colección. 5. Cuando el grupo haya conseguido los 35 hexaminós, les pediremos que los dibujen todos juntos de un modo limpio y ordenado para poder realizar la actividad final. 6. Explicaremos que de esos 35 hexaminós, solo 11 corresponden al desarrollo de un cubo (si no manejan ese concepto, habrá que detenerse y aclararlo). Su trabajo entonces consistirá en encontrar esos 11 hexaminós, para lo cual les proporcionaremos cartulina, tijeras y cinta adhesiva, a fin de que los recorten y puedan tratar de formar los cubos…

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) Cilindro

b) Cubo

5.

1

2

A

1

2

B

8

C

5

3

4

2. a) 10 unidades de volumen b) 4 unidades de volumen c) 24 unidades de volumen d) 27 unidades de volumen 3. Todas las figuras tienen 27 unidades de volumen salvo la c, que tiene 24. 4. Los 6 ortoedros tienen el mismo volumen: 1.440 cm3. a) Todos tienen el mismo volumen.

D

1 8

7

6

2

4

0

6

b) Las medidas de sus tres dimensiones coinciden salvo en el orden. El resultado es el mismo por la propiedad conmutativa del producto. Se trata del mismo ortoedro en distintas posiciones.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

10

Unidad 13

Cuerpos geométricos

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de REFUERZO Unidad 13

Cuerpos geométricos

1. Identifica el cuerpo geométrico que aparece en cada objeto. a)

b)

2. Calcula el volumen de las siguientes figuras tomando como unidad de volumen un cubo. a)

b)

c)

d)

3. Encuentra la figura que tiene distinto volumen que el resto. a)

b)

c)

d)

4. Completa la siguiente tabla y contesta a las preguntas. Largo

Ancho

Alto

Ortoedro 1

15 cm

12 cm

8 cm

Ortoedro 2

15 cm

8 cm

12 cm

Ortoedro 3

12 cm

15 cm

8 cm

Ortoedro 4

12 cm

8 cm

15 cm

Ortoedro 5

8 cm

15 cm

12 cm

Ortoedro 6

8 cm

12 cm

15 cm

Volumen

a) ¿Qué relación hay entre el volumen de los 6 ortoedros? b) ¿A qué crees que es debido? 5. Completa el siguiente crucigrama. HORIZONTALES 1 A B

2

3

4

A. Número de aristas de un ortoedro. Litros que equivalen a un dm3. B. Número de vértices de un ortoedro. Volumen en m3 de un ortoedro de dimensiones 40 dm × 20 dm × 10 m. C. Volumen de un ortoedro de medidas 12 × 8 × 6 cm. D. Los tres primeros números pares.

D

1. Área de la base de un ortoedro de 6 cm de altura y 1.110 cm3 de volumen. 2. Longitud de la arista de un cubo de 8 m3 de volumen. Volumen de un ortoedro de dimensiones 3 × 4 × 6 cm. 3. Volumen de un ortoedro de 6 cm de altura y base cuadrada de 12 cm de lado. 4. Litros contenidos en 10.000 cm3. Número de caras de un ortoedro. Cuerpos geométricos

Unidad 13

Página fotocopiable

VERTICALES C

11

Actividades de ampliación Unidad 13

Cuerpos geométricos

ORIENTACIONES METODOLÓGICAS Cuando los alumnos dominen los conceptos estudiados en esta unidad, daremos el paso siguiente, que puede consistir en: • Proponerles figuras complejas dibujadas en dos dimensiones de las que tengan que hallar su área o volumen. Así desarrollaremos su capacidad de abstracción y visión espacial. • Expresar los datos con distintas unidades de medida, para que pongan especial atención y acepten que son una parte más de las actividades. • Proponerles problemas de la vida cotidiana para que sigan descubriendo la utilidad y necesidad de las matemáticas en general y de la geometría en particular a la hora de enfrentarse a situaciones de la vida diaria y resolverlas.

ACTIVIDAD DE GRUPO Del plano al espacio: los hexaminós Esta actividad pretende que los alumnos den el paso de dos a tres dimensiones de una forma lúdica y manipulando los materiales. Es necesario que hayamos trabajado la actividad en grupo de la unidad 12, ya que esta es la continuación. Se formarán grupos de tres o cuatro alumnos y se les darán las siguientes pautas: 1. Recordaremos qué son los poliminós y en particular los 12 pentaminós obtenidos en la unidad 12. 2. Les entregaremos una cuadrícula de un tamaño grande (1,5 × 1,5 cm sería ideal) y les pediremos que, de forma individual, intenten dibujar todos los hexaminós que sea posible. 3. Cuando hayan finalizado, les comunicaremos que hay 35 hexaminós diferentes, y en ese momento empezará la labor del grupo. 4. Entre los miembros del grupo deberán intercambiarse los dibujos obtenidos para ver cuáles son los que les faltan y completar la colección. 5. Cuando el grupo haya conseguido los 35 hexaminós, les pediremos que los dibujen todos juntos de un modo limpio y ordenado para poder realizar la actividad final. 6. Explicaremos que de esos 35 hexaminós, solo 11 corresponden al desarrollo de un cubo (si no manejan ese concepto, habrá que detenerse y aclararlo). Su trabajo entonces consistirá en encontrar esos 11 hexaminós, para lo cual les proporcionaremos cartulina, tijeras y cinta adhesiva, a fin de que los recorten y puedan tratar de formar los cubos…

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. a) 26 A; 13 B;

26

C 3 b) 39 A; 19,5 B; 13 C

2. Volumen de las cajas: 120 · 60 · 36 = 259.200 cm3 Volumen del paquete de chicles: 8 · 6 · 3 = 144 cm3 259.200 : 144 = 1.800 En cada caja caben 1.800 paquetes de chicles. 3. Como 4 = 64, el lado del cubo mide 4 cm. 3

Área de una cara lateral: 4 · 4 = 16 cm2 Área total: 16 · 6 = 96 cm

2

4. Se trata de un cubo de 1000 cm3 de volumen. 5. Va = 2x · y · z = 2xyz Vr = x · 1,5y · 1,5z = 2,25xyz Vr 2,25 xyz = = 1125 , Va 2 xyz La capacidad de la caja roja es 1,125 veces mayor que la de la caja azul.

6. Apotema base: ap = 82 − 42 = 6,93 cm ⎛ 6 ⋅ 8 ⋅ 6,93 ⎞⎟ ⎟⎟ + 6 ⋅ 8 ⋅ 10 = 646,32 cm2 a) ATotal = 2 ⋅ ⎜⎜⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ 2 V=

6 ⋅ 8 ⋅ 6,93

b) ATotal =

2

⋅ 10 = 1.663,2 cm3

6 ⋅ 8 ⋅ 6,93 2

+6⋅

8 ⋅ 12,17 2

= 458,4 cm2

⎛ 6 ⋅ 8 ⋅ 6,93 ⎞ V = ⎜⎜⎜ ⋅ 10⎟⎟⎟ : 3 = 554,4 cm3 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 7. Se divide la figura en dos prismas, uno de base rectangular y otro de base triangular. Vbase rectangular = 15 · 18 · 32 = 8.640 m3 ⎛18 ⋅ 5 ⎞⎟ ⎟⎟ ⋅ 32 = 1.440 m3 Vbase triangular = ⎜⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ El volumen de la figura es de 10.080 m3.

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

12

Unidad 13

Cuerpos geométricos

Más recursos en tu carpeta

ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN Unidad 13

Cuerpos geométricos

1. Tomando como unidad de medida los siguientes modelos. A.

B.

C.

Calcula el volumen de las siguientes figuras. a)

b)

10 cm

10 cm

8 cm

8 cm

2. Diego está colocando paquetes de chicles dentro de cajas de cartón. Las dimensiones de las cajas son: 1,2 metros de largo, 6 decímetros de ancho y 36 centímetros de alto. Las dimensiones de los paquetes de chicles son: 8 centímetros de largo, 6 de ancho y 3 de alto. ¿Cuántos paquetes puede colocar en cada caja sin que sobren huecos?

3. Calcula el área lateral de las 6 caras de un cubo si sabemos que tiene un volumen de 64 centímetros cúbicos.

4. Halla el volumen de un ortoedro sabiendo que su base es un cuadrado de 10 centímetros de lado y que el área de sus cuatro caras laterales es cuatro veces el área de la base.

5. David tiene dos cajas, una azul y otra roja. La caja azul es el doble de alta que la roja, pero la caja roja es una vez y media más ancha y más larga que la caja azul. ¿Cuál de ellas tiene mayor capacidad?

6. Halla el área lateral y el volumen de las siguientes figuras. a)

b)

10 cm

10 cm

8 cm

8 cm

Página fotocopiable

7. Calcula el volumen de la siguiente figura.

20 m 15 m 32 m

18 m

Cuerpos geométricos

Unidad 13

13

PROPUESTA de EVALUACIÓN Unidad 13

Cuerpos geométricos

APELLIDOS:

NOMBRE:

FECHA:

CURSO:

GRUPO:

1. Escribe el nombre que falta en los siguientes cuerpos geométricos. a)

I.

II.

b)

I.

III.

II.

2. Dibuja el cuerpo que generan las siguientes figuras al girar sobre el eje. a) Un cuadrado que gira sobre un lado.

b) Un triángulo rectángulo que gira sobre un cateto.

3. Tomando como unidad de volumen un cubo, calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a)

b)

c)

d)

4. Calcula el área y el volumen de los siguientes objetos. a) Caja de zapatos con forma de ortoedro con dimensiones 15, 20 y 36 centímetros. b) Caja de bombones en forma de cubo de 12 centímetros de arista. 5. El volumen de un ortoedro es de 216 metros cúbicos. Calcula sus dimensiones si sabemos que un lado de la base mide el doble que el otro y la altura del ortoedro mide el doble que el lado mayor de la base. 6. La suma de las áreas de la caras laterales de un cubo es de 96 centímetros cuadrados. Calcula su volumen. 7. Una pirámide de base triangular tiene un área de 16 centímetros cuadrado. Calcula su altura sabiendo que su volumen es 56 centímetros cúbicos. 8. Calcula el área total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a) 4 cm

Página fotocopiable 14

b) 4 cm

5 cm

6 cm 6 cm

Unidad 13

Cuerpos geométricos

6 cm 6 cm

Propuesta de evaluación Unidad 13

Cuerpos geométricos

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN 1. a) I. Vértice

b) I. Altura

II. Arista

II. Base

III. Cara 2. a)

b)

3. a) 6 · 4 = 24 unidades de volumen b) 3 + 6 · 4 = 27 unidades de volumen c) 2 + 10 + 15 = 27 unidades de volumen d) 6 · 2 + 5 · 3 = 27 unidades de volumen 4. a) ATotal = 2 · (20 · 36) + 2 · (20 · 15) + 2 · (36 · 15) = 3.120 cm2 V = 15 · 20 · 36 = 10.800 cm3 b) ATotal = 6 · 122 = 864 cm2 V = 123 = 1.728 cm3 5. Sea x el lado menor. Así tenemos que: x · 2x · 2(2x) = 8x3 = 216 ⇒ x 3 =

216

= 27 ⇒ x = 3 8 Los lados de la base del ortoedro miden 3 y 6 metros, respectivamente, y la altura del ortoedro, 12 metros.

6. Área de una cara del cubo: 96 : 6 = 16 cm2 Lado del cubo: 16 = 4 cm Volumen del cubo: 43 = 64 cm3

7. V =

ABase ⋅ h 3

⇒ 56 =

16 ⋅ h 3

⇒h=

56 ⋅ 3 16

= 10,5 cm

⎛ 6 ⋅ 5 ⎞⎟ ⎟⎟ = 96 cm2 8. a) ATotal = 62 + 4 ⎜⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 62 ⋅ 4 3

= 48 cm3 Página fotocopiable

V=

b) ATotal = 2 · 62 + 4 · (6 · 4) = 168 cm2 V = 62 · 4 = 144 cm3

Cuerpos geométricos

Unidad 13

15