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• Alexis Garcia

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE DEPARTAMENTO DE INGENIERIA. GUIA DE EJERCICIOS Nº 3. (MATEMATICA IV DE INGENIERIA) A)

B)

C)

Calcule las siguientes integrales iteradas . 2

1

1

2

1)

∫−2 ∫0 (9 – x2) dy dx

3)

∫−1 ∫1 (x2 + y2) dx dy

5)

∫0 ∫0 xexy dy dx

7)

∫0 ∫0

9)

∫0 ∫0 2x √x 2 + y dx dy

1

1

3

1

y

2

1 +

x2

dy dx

1

4

2

2)

∫−1 ∫1 (x + y2) dy dx

4)

∫0

6)

∫0 ∫0

8)

∫−1 ∫0 xex dx dy

ln 3

1

1

𝜋

ln 2

∫0

1

ex + y dy dx y

(xy + 1)2 1

dx dy

2

3

10) ∫0 ∫0 y cos2 x dy dx

Evalúe la integral doble sobre la región rectangular R indicada . 1)

∫∫xy3 dA R

R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 1 , -1 ≤ y ≤ 1}

2)

∫∫(x2 + y2) dA R

R = {(x , y) : -1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2}

3)

∫∫sen (x + y) dA R

R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ π/2 , 0 ≤ y ≤ π/2}

4)

∫∫xy √1 + x 2 dA

R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ √3 , 1 ≤ y ≤ 2}

Evalúe ∫∫f(x , y)dA sobre la región R indicada . R 1)

f( x , y) = 4x + 10y

R = {(x , y) : 3 ≤ x ≤ 5 , -x ≤ y ≤ x2}

2)

f(x , y) = 2yex

R = {(x , y) : 0 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ y2}

3)

f(x , y) = x2

R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 3x}

4)

f(x , y) = y

R = {(x , y) : 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x – 1}

5)

f(x , y) = x2 + y2

R = {(x , y) : -3 ≤ y ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ 3y}

6)

f(x , y) = x2 – y3

R = {(x , y) : -3 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x}

7)

f(x , y) = xey

8)

f(x , y) =

9)

f(x , y) = cos (πx2)

3

3 x2 + y2

2

R = {(x , y) : 1 ≤ y ≤ 3 , -y ≤ x ≤ 2y} R = {(x , y) : 1 ≤ x ≤ 5 , 0 ≤ y ≤ x} R = {(x , y) : 0.5 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2x}

10) f(x , y) = e−x

R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 2 , -x ≤ y ≤ x}

11) f(x , y) = ex cos y

R = {(x , y) : 0 ≤ y ≤ π/2 , 0 ≤ x ≤ sen y}

12) f(x , y) =

y2

R = {(x , y) : 1 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ x2}

x

13) f(x , y) = x + y

R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ √4 − x 2 }

14) f(x , y) = √y 2 + 16

R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ y , 0 ≤ y ≤ 3}

2

15) f(x , y) = e−x 16) f(x , y) =

sen y y

17) f(x , y) = sen x2 18) f(x , y) =

1 x4 + 1

R = {(x , y) : y ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1} R = {(x , y) : 0 ≤ x ≤ π , x ≤ y ≤ π} R = {(x , y) : y ≤ x ≤ √π , 0 ≤ y ≤ √π } R = {(x , y) : y ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}

D)

Por medio de integrales dobles determine el área de la región limitada por las curvas que se indican . 1

1)

y = 3 – x2

y=0

entre x = 0 y x = 3

2)

y = 5x – x2

y=0

entre x = 1 y x = 3

3)

y = (x – 4)(x + 2)

y=0

entre x = 0 y x = 3

4)

y = x2 – 4x – 5

y=0

entre x = -1 y x = 4

5)

y = (x2 – 7)

y=0

entre x = 0 y x = 2

6)

y = √x

y=0

entre x = -2 y x = 2

7)

y = √x - 10

y=0

entre x = 0 y x = 9

8)

y = x2 – 2x

y = -x2

9)

x = 8y – y2

x=0

3

1 4 3

10) x = -6y2 + 4y

x + 3y – 2 = 0

11) x = y2 – 2y

x–y–4=0

12) 4y2 – 2x = 0

4y2 + 4x – 12 = 0

13) y = x + 6

y = x3

2y + x = 0

14) El triángulo de vértices A(-1 , 4) , B(2 , -2) y C(5 , 1) 15) y = |x – 1| + 3

y=0

entre x = -2 y x = 4

16) y = |x + 1| + |x|

y=0

entre x = -2 y x = 3

17) y = sen x

y = -sen x entre x = −

π 2

y x=

π 2

E)

Determine el volumen del sólido que se encuentra bajo la superficie z = f(x , y) y sobre la región que se indica . 1)

z=x+y+1

x=0

x=1

y=1

y=3

2)

z = 2x + 3y

x=1

x=2

y=0

y=4

3)

z = x2 + y2 + 2

x = -1

x=1

y=0

y=1

4)

z = 4 – x2

y=2

Primer octante

5)

El tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano 3x + 6y + 4z – 12 = 0 .

6)

El tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano z = 6 – 2x – 3y .

7)

El paraboloide circular z = x2 + y2 , el cilindro x2 + y2 = 4 y los planos coordenados .

8)

La cuña acotada por los planos coordenados y los planos x = 5 y y + 2z – 4 = 0 .

9)

El sólido en el primer octante acotado por los planos coordenados y los planos 2x + y – 4 = 0 y 8x + y – 4z = 0 .

10) El sólido en el primer octante acotado por las superficies 9x2 + 4y2 = 36 y el plano 9x + 4y – 6z = 0 . 11) El sólido en el primer octante acotado por la superficie z = 9 – x2 – y2 y los planos coordenados . 12) El sólido en el primer octante acotado por el cilindro y = x2 y los planos x = 0 , z = 0 y z + y = 1 . 13) El sólido acotado por el cilindro parabólico x2 =4y y los planos z = 0 y 5y + 9z – 45 = 0 . 14) El sólido en el primer octante acotado por el cilindro z = ex – y , el plano x + y = 1 y los planos coordenados .

15) El sólido en el primer octante acotado por la superficie 9z = 36 – 9x2 – 4y2 y los planos coordenados . 16) El sólido en el primer octante acotado por los cilindros circulares x2 + z2 = 16 , y2 + z2 = 16 , y los planos coordenados . 17) El sólido en el primer octante acotado por los planos x = y + 2z + 1 y 3y + z – 3 = 0 . 18) El sólido acotado por el cilíndro x2 + y2 = 4 , por el plano z = 0 y por el plano z = x + 4 . 19) El sólido (esfera) acotado por x2 + y2 + z2 = r2 . 20) El sólido en el primer octante acotado por los paraboloides z = x2 + 2y2 y z = 12 – 2x2 – y2 .

F)

G)

Determine el área de la región polar encerrada por la curva indicada , utilice integración doble en CP . 1)

r=a , 0