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Grupo puntual En geometría y cristalografía, un grupo puntual es un grupo de simetrías geométricas (grupo de isometría) que mantiene constante por lo menos un punto fijo. Los grupos puntuales pueden existir en un espacio euclidiano de cualquier otra dimensión, y cada grupo puntual en la dimensión d es un subgrupo del grupo ortogonal O(d). Los grupos puntuales pueden ser considerados como un conjunto de matrices ortogonales M que transforman un punto x en un punto y: y= M.x donde el origen es el punto fijo. Los elementos de los grupos puntuales pueden ser: rotaciones (determinante de M= 1) rotaciones impropias, reflexiones, rotaciones-reflexiones, o rotoreflexiones (determinante de M= -1). Todos los grupos puntuales de las rotaciones de dimensiónd son subgrupos del grupo ortogonal especial SO(d). Los grupos puntuales discretos en más de una dimensión se agrupan en familias infinitas, pero por el teorema de

La flor Bauhinia blakeana representada en la bandera de Hong Kong tiene simetría C5; la estrella interior de cada pétalo tiene simetría D5.

restricción cristalográficay por uno de los teoremas de Bieberbach, cada número de dimensiones sólo tiene un número finito de grupos puntuales que son simétricos respecto de una red o retícula con ese número de dimensiones. Estos son los grupos puntuales cristalográficos.

Índice Una dimensión Dos dimensiones Tres dimensiones Véase también Notas Referencias Enlaces externos

Una dimensión Sólo hay dos grupos puntuales unidimensionales, el grupo identidad y el grupo reflexión. Grupo

Coxeter

C1 D1

Diagrama de Coxeter

Orden

Descripción

[ ]+

1

Identidad

[]

2

Grupo reflexión

Dos dimensiones Los grupos puntuales planosson a veces llamadosgrupos de roseta. Se agrupan en dos familias infinitas: 1. Grupos cíclicos Cn o grupos de rotación de ordenn 2. Grupos diedral Dn de rotación de orden n y grupos de reflexión. Aplicando el teorema de restricción cristalográfican queda limitado a los valores 1, 2, 3, 4 y 6 para ambas familias, produciendo 10 grupos. Grupo

Intl

Orbifold

Coxeter

Orden n

Cíclico: rotaciones de ordenn. Extraer el grupo Zn, el grupo de los enteros bajo la adición módulon.

2n

Diedral: cíclico con reflexiones. Extraer el grupo Dih n, el grupo diedral.

Cn

n

nn

[n]+

Dn

nm

*nn

[n]

Descripción

El subconjunto de grupos puntuales de reflexión pura, se define por uno o dos ejes de simetría, también se puede dar por su grupo de Coxeter y polígonos relacionados. Estos incluyen cinco grupos cristalográficos.

Grup0

Coxeter group

Diagrama de Coxeter

Orden

Polígonos relacionados

D3

A2

[3]

6

Triángulo equilátero

D4

BC2

[4]

8

Cuadrado

D5

H2

[5]

10

Pentágono regular

D6

G2

[6]

12

Hexágono regular

Dn

I2(n)

[n]

2n

Polígono regular

D2n

I2(2n)

[[n]]=[2n]

4n

Polígono regular

D2

A12

[2]

4

Rectángulo

D1

A1

[]

2

Dígono

Tres dimensiones Los grupos puntuales tridimensionalesson a veces llamadosgrupos puntuales moleculares por su amplio uso en el estudio de las simetrías de lasmoléculas pequeñas. Se agrupan en siete familias infinitas de grupos axiales o prismáticos, y 7 grupos poliédricos adicionales o grupos platónicos. En notación de Schönflies, Los grupos axiales: Cn, S2n, Cnh, Cnv, Dn, Dnd, Dnh Grupos poliédricos: T, Td, Th, O, Oh, I, Ih Aplicando el teorema de restricción cristalográfica a estos grupos se obtienen los 32 grupos puntuales cristalográficos. Dominios cuyo grupo de simetría se corresponde con los grupos puntuales C1v Orden 2

C2v Orden 4

C3v Orden 6

C4v Orden 8

C5v Orden 10

C6v Orden 12

...

D1h Orden 4

D2h Orden 8

D3v Orden 12

D4h Orden 16

D5h Orden 20

D6h Orden 24

...

Td Orden 24

Oh Orden 48

Ih Orden 120

Octahedral reflection domains.png

Icosahedral reflection domains.png

Intl*

Geo 1

Orbifold

Schönflies

Conway

Coxeter

Orden

Intl*

Geo 1

Orbifold

Schönflies

Conway

Coxeter

Orden

1

1

1

C1

C1

[ ]+

1

1

22

×1

Ci = S2

CC2

[2+,2+]

2

2= m

1

*1

Cs = C1v = C1h

±C1 = CD2

[]

2

22 32 42 52 62 n2

222 223 224 225 226 22n

2 3 4 5 6 n

22 33 44 55 66 nn

C2 C3 C4 C5 C6 Cn

C2 C3 C4 C5 C6 Cn

[2]+ [3]+ [4]+ [5]+ [6]+ [n]+

2 3 4 5 6 n

D2 D3 D4 D5 D6 Dn

D4 D6 D8 D10 D12 D2n

[2,2]+ [2,3]+ [2,4]+ [2,5]+ [2,6]+ [2,n]+

4 6 8 10 12 2n

2 3 4 5 6 n

222 32 422 52 622 n22 n2

22 32 42 52 62 n2

*222 *223 *224 *225 *226 *22n

*22 *33 *44 *55 *66 *nn

C2v C3v C4v C5v C6v Cnv

CD4 CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n

[2] [3] [4] [5] [6] [n]

4 6 8 10 12 2n

±D4 DD12 ±D8 DD20 ±D12 ±D2n / DD4n

8 12 16 20 24 4n

2 3 4 5 6 n

D2h D3h D4h D5h D6h Dnh

[2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]

2mm 3m 4mm 5m 6mm nmm nm

mmm 6m2 4/mmm 10m2 6/mmm n/mmm 2nm2

2/m 3/m 4/m 5/m 6/m n/m

22 32 42 52 62 n2

2* 3* 4* 5* 6* n*

C2h C3h C4h C5h C6h Cnh

±C2 CC6 ±C4 CC10 ±C6 ±Cn / CC2n

[2,2+] [2,3+] [2,4+] [2,5+] [2,6+] [2,n+]

4 6 8 10 12 2n

42m 3m 82m 5m 122m 2n2m nm

42 62 82 10 2 12 2 n2

2*2 2*3 2*4 2*5 2*6 2*n

D2d D3d D4d D5d D6d Dnd

±D4 ±D6 DD16 ±D10 DD24 DD4n / ±D2n

[2+,4] [2+,6] [2+,8] [2+,10] [2+,12] [2+,2n]

8 12 16 20 24 4n

23

33

332

T

T

[3,3]+

12 24

CC4 ±C3 CC8 ±C5 CC12 CC2n / ±Cn

[2+,4+]

4 3 8 5 12 2n n

42 62 82 10 2 12 2 2n 2

2× 3× 4× 5× 6× n×

S4 S6 S8 S10 S12 S2n

[2+,6+] [2+,8+] [2+,10+] [2+,12+] [2+,2n+]

4 6 8 10 12 2n

m3

43

3*2

Th

±T

[3+,4]

43m

33

*332

Td

TO

[3,3]

24 24

432

43

432

O

O

[3,4]+

m3m

43

*432

Oh

±O

[3,4]

48 60 120

532

53

532

I

I

[3,5]+

53m

53

*532

Ih

±I

[3,5]

(*) Cuando el símbolo en la columnaIntl aparece duplicado, el primero es paran par, el segundo para n impar. El subconjunto de grupos puntuales de reflexión pura, definido por 1 a 3 planos de simetría, también se puede dar por su grupo de Coxeter y poliedros relacionados. El grupo [3,3] se puede doblar, notándose como [[3,3]], haciendo coincidir los ejes primero y último uno sobre el otro, duplicando la simetría a orden 48, y resultando isomorfo con el grupo [4,3].

Schönflies

Grupo de Coxeter

Diagrama de Coxeter

Orden

Poliedro regular y prismático relacionado

Td

A3

[3,3]

24

Tetraedro

Oh

BC3

[4,3] =[[3,3]]

48

Cubo, octaedro Octaedro estrellado

Ih

H3

[5,3]

120

Icosaedro, dodecaedro

D3h

A2×A1

[3,2]

12

Prisma triangular

D4h

BC2×A1

[4,2]

16

Prisma cuadrado

D5h

H2×A1

[5,2]

20

Prisma pentagonal

D6h

G2×A1

[6,2]

24

Prisma hexagonal

Dnh

I2(n)×A1

[n,2]

4n

Prisma n-gonal

D2h

A13

[2,2]

8

Cuboide

C3v

A2×A1

[3]

6

C4v

BC2×A1

[4]

8

C5v

H2×A1

[5]

10

C6v

G2×A1

[6]

12

Cnv

I2(n)×A1

[n]

2n

C2v

A12

[2]

4

Cs

A1

[]

2

Hosoedro

Véase también Grupos puntuales bidimensionales Grupos puntuales tridimensionales Cristalografía Grupo puntual cristalográfico Simetría molecular Grupo espacial Difracción de rayos X Red de Bravais

Notas 1. The Crystallographic Space groups in Geometric algebra , D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1] (http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/CrystalGA.pdf)

Referencias Los grupos puntuales. En: Teoría de grupos aplicada para químicos, físicos e ingenieros. Allen Nussbaum.Editorial Reverté, 1975. ISBN 842914109X. H.S.M. Coxeter: Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995,ISBN 978-0-471-01003-6[2] (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] H.S.M. Coxeter and W. O. J. Moser. Generators and Relations for Discrete Groups4th ed, Springer-Verlag. New York. 1980 N.W. Johnson: Geometries and Transformations, Manuscript, (2011) Chapter 11: Finite symmetry groups

Enlaces externos Tutorial sobre grupos puntuales(necesita Java y Flash) Lista de subgrupos (necesita Java) The Geometry Center: 2.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (two dimensions) The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions) Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Grupo_puntual&oldid=94251870 » Esta página se editó por última vez el 11 oct 2016 a las 19:13.

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