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• Arturo Adame Delgado

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Análisis de Resultados Como pudimos observar la ley de Hooke nos dice que la fuerza que devuelve un resorte a su posición de equilibrio es proporcional al valor de la distancia que se desplaza de esa posición, y nosotros al tomar como referencia nuestro Xo al ir incrementando el peso provocábamos una elongación del resorte. Si este se devolviera a su posición inicial tendríamos como resultado el valor de la distancia el cual fue desplazado. Gracias a esto nosotros podemos observar este suceso al ir colocando peso y tomando mediciones. Esto nos ayuda a hacer nuestros cálculos con la masa, la cual fue colocada y después ir sumándola con el peso de la porta pesas, para así tener la masa resultante. Obtuvimos la fuerza multiplicando la masa por la gravedad obteniéndola en Newton así como el desplazamiento en el eje X. A su vez obtuvimos Delta de x restando desplazamiento con el desplazamiento inicial en metros.

Problemas propuestos

Contenidos: 3.2 El oscilador armónico simple 1)

3.3 Movimiento armónico simple

Un bloque de 3.94 kg estira a un resorte 15.7 cm desde su posición no estirada. El bloque se retira y en su lugar se cuelga un objeto de 0.520 kg . Halle el período de su oscilación.

2)

Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza y después se suelta, oscilará. Si se desplaza 0.120 m de su posición de equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, después de 0.800 s su desplazamiento es de 0.120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de equilibrio una vez. Calcule: a) la amplitud; b) periodo; c) la frecuencia.

3)

Un oscilador consta de un bloque de 512 g de masa unido a un resorte. Cuando es puesto a oscilar con una amplitud de 34.7 cm , se observa que repite su movimiento cada 0.484 s . Hallar: a) Período b) Frecuencia c) Frecuencia angular

1)

4)

d) Constante de fuerza e) Velocidad máxima f) Fuerza máxima ejercida sobre el bloque La frecuencia resonante de un oscilador amortiguado forzado es igual a: a) la frecuencia impulsora b) la frecuencia del oscilador amortiguado pero de oscilador libre c) la frecuencia de un oscilador no amortiguado pero de oscilador libre d) cualquiera de las anteriores porque todas las frecuencias son iguales Una pieza de una máquina está en MAS con frecuencia de 5.00 Hz y amplitud de 1.80 cm . ¿Cuánto tarda la pieza en ir de x  0 a x   1.80 cm ?

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5)

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En una rasuradora eléctrica, la hoja se mueve de un lado a otro sobre una distancia de

2.00 m m . El movimiento es armónico simple, con una frecuencia de 120 Hz . Halle para la hoja: a) La amplitud b) La velocidad máxima c) La aceleración máxima 6)

Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple de acuerdo con la ecuación: x   6.12 m  cos    8.38 rad / s  t  1.92 rad   . Hallar en t  1.90 s. : a) El desplazamiento b) La velocidad

c) La aceleración d) La frecuencia e) El periodo del movimiento

7)

La carátula de una balanza de resorte que lee desde 0 hasta 50.0 lb tiene 4.00 pu lg de longitud. Se observa que un paquete suspendido de la balanza oscila verticalmente con una frecuencia de 2.00 Hz . ¿Cuánto pesa el paquete?

8)

Un objeto de 2.14 kg . cuelga de un resorte. Un cuerpo de 325 g colgado abajo del objeto

9)

estira adicionalmente al resorte 1.80 cm . El cuerpo de 325 g es retirado y el objeto entra en oscilación. Halle el período del movimiento y la velocidad. La posición de una partícula viene dar por x = 4 sen 2t , donde x está en metros y t en segundos. Calcular: a) El valor máximo de

x .

b) El primer instante después de

t =0

c) La velocidad en t = 0 . d) El valor máximo de la aceleración.

en el cual se presenta este valor máximo.

10) Un bloque se une a un resorte de constante 6.5 N /m y se mueve con MAS con una amplitud de 10 cm . Cuando la masa está en la mitad del camino entre su posición de equilibrio y el punto extremo su velocidad es de

+ 30 cm/s

. Calcule:

a) La masa del bloque. b) El período del movimiento. c) La aceleración máxima del bloque

 m  1.22 kg ,

M  8.73 kg 

11) Dos bloques y un resorte de 344 N m están dispuestos sobre una superficie horizontal, sin fricción como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción estática entre los bloques es de 0.42 . Calcule la amplitud máxima posible del MAS sin que ocurra un deslizamiento entre los bloques.

2

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12) Un oscilador consta de un bloque unido a un resorte con k  456 N m . En cierto tiempo t , la posición (medida desde la posición de equilibrio), la velocidad y la aceleración del bloque son 2

respectivamente x  0.112 m ; v  -13.6 m / s ; a  - 123 m / s . Calcule: a) la frecuencia, b) la masa del bloque y c) la amplitud de la oscilación. 13) Un cuerpo está en MAS con un período de cuerpo está en

t = π/10 s

x=0

π /2 s

t =0

y amplitud de 0.400 m . En

el

. ¿A qué distancia se hallará de la posición de equilibrio en

?

14) Un cuerpo vibra con MAS con una amplitud de 18 cm y a 6 Hz . Calcular: a) Los valores máximos de la velocidad y la aceleración. b) La velocidad y la aceleración cuando la elongación es de 9 cm . c) El tiempo necesario para moverse desde la posición de equilibrio a un punto situado a

12 cm de la misma. 15) Un cuerpo de 10 g se mueve con MAS con una amplitud de 24 cm y período de 3 s . La elongación es de  24 cm para

t =0

. Calcular:

a) La posición del cuerpo en t  0.5 s .

b) La magnitud y dirección de la fuerza cuando t  0.5 s c) El tiempo mínimo necesario para que el cuerpo se mueva desde la posición inicial al punto

x = −12 cm

.

d) la velocidad del cuerpo cuando

x = −12 cm

16) Dos resortes están unidos a un bloque de masa m que puede deslizarse libremente sobre una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la figura. Demuestre que la frecuencia de

v

1 2

k1  k2 m



v12  v22

v

v

2 son las oscilación del bloque es , donde 1 y frecuencias a las que oscilaría el bloque si se uniera solamente al resorte 1 ó al resorte 2.

17) Dos resortes unidos entre sí se enlazan al bloque de masa m como se muestra en la figura. Las superficies carecen de fricción. Si los resortes por separado, tienen constantes de fuerza

k1

y

k2

, demuestre que la frecuencia de oscilación del bloque es: 3

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v= v

1 2π

√

k1 k 2 (k 1 + k 2 ) m

=

v1 v2

√ v 21 + v 22

v

donde 1 y 2 son las frecuencias a las que oscilaría el bloque si estuviera unido solamente al resorte 1 o al resorte 2.

18) Un resorte sin masa de constante 3.60 N / cm es cortado en dos mitades. a) ¿Cuál es la constante de fuerza de cada mitad? b) Las dos mitades, suspendidas por separado, soportan un bloque de masa M (véase la figura). El sistema vibra con una frecuencia de 2.87 Hz . Halle el valor de la masa M .

19) Un objeto de 5.13 kg se desplaza por una superficie horizontal sin fricción bajo la influencia de

a) b) c) d)

un resorte con una constante de fuerza de 9.88 N / cm . El objeto se desplaza 53.5 cm y se le imprime una velocidad inicial de 11.2 m / s de regreso a la posición de equilibrio. Encuentre: La frecuencia del movimiento. La energía potencial inicial del sistema. La energía cinética inicial del sistema La amplitud del movimiento

20) Una partícula tiene un desplazamiento dado por metros y t en segundos. Calcular: a) La frecuencia y el período del movimiento. b) La amplitud del movimiento. c) La posición de la partícula en

x  3cos  5 t   

, en donde

x está en

t =0

0 21) Tres vagones de mineral de 10, 000 kg se mantienen en reposo en una pendiente de 26 sobre los rieles de una mina usando un cable paralelo a la pendiente (ver figura). Se observa

que el cable se estira 14.2 cm . Justo antes de que se rompa el acoplamiento, desenganchando a uno de los vagones. Halle: a) La frecuencia de las oscilaciones resultantes de los dos vagones restantes. b) La amplitud de la oscilación.

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Contenido 3.5 Energía en el movimiento armónico simple 22) Un sistema oscilatorio de bloque-resorte tiene una energía mecánica de 1.18 J , una amplitud de 9.84 cm y una rapidez máxima de 1.22 m / s . Calcule: a) La constante de fuerza del resorte. b) La masa del bloque c) La frecuencia de la oscilación 23) Un deslizador de 0.500 kg , conectando al extremo de un resorte ideal con constante de

fuerza k  450 N / m , está en movimiento armónico simple con una amplitud de 0.040 m . Calcule: a) La rapidez máxima del deslizador b) A la rapidez cuando está en x   0.015 m c) La magnitud de la aceleración máxima

d) La aceleración en x   0.015 m e) La energía mecánica total en cualquier punto de su movimiento. 24) Un juguete de 0.150 kg está en MAS en el extremo de un resorte horizontal con

k  300 N / m Cuando el objeto está a 0.0120 m de su posición de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 m / s Calcule: a) La energía total del objeto en cualquier punto de su movimiento b) La amplitud del movimiento c) La velocidad máxima alcanzada por el objeto durante su movimiento

25)

En el movimiento armónico simple:

x

Cuando el desplazamiento es la mitad de la amplitud m ¿qué parte de la energía total es cinética y qué parte es potencial en el movimiento armónico simple? b) ¿En qué desplazamiento es una mitad de la energía cinética y la otra mitad es potencial?

a)

26)

Una resortera grande (e hipotética) se estira 1.53 m para lanzar un proyectil de 130 g con

 11.2 km / s 

suficiente rapidez para escapar de la Tierra . a) ¿Cuál es su constante de fuerza, si toda la energía potencial la convertimos en energía cinética? b) Suponga que una persona común puede ejercer una fuerza de 220 N . ¿Cuántas personas se necesitan para estirar la resortera? 27) Una partícula de 12.3 kg experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de

1.86 m m y aceleración máxima de 7.93 k m / s 2 . a) Encuentre el periodo del movimiento. 5

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b) ¿Cuál es su aceleración máxima? c) Calcule la energía mecánica total de este oscilador armónico simple. Contenido 3.6 Aplicaciones del movimiento armónico simple 28) Obtenga la longitud de un péndulo simple cuyo periodo es 1.00 s en un lugar donde

g  9.82 m s 2 . 29) Un péndulo simple de 1.53 m de longitud realiza 72 oscilaciones en 180 s en cierto lugar. Encuentre la aceleración debida a la gravedad en ese punto. 30) El hecho de que g varíe de un lugar a otro en la superficie terrestre atrajo la atención cuando en 1672 Jean Richer llevó un reloj de péndulo de París a Cayena, la Guayana Francesa, y 2 descubrió que perdía 2.5 min/ día . Si g  9.81m s en París, calcule g en Cayena.

31) El

periodo

T  2

de

un

L  1  1  2 sen g  2

péndulo simple está dado  32 2 m 4 m 2



2 24 2



sen

2

por

la

serie

en

la

ecuación

 .....  .

a) ¿Para qué valor de m es el segundo término de la serie igual a 0.02? b) ¿Qué valor tiene el tercer término de la serie en esta amplitud? 32) Una bola de demolición de 2500 kg oscila del extremo de una grúa, como se aprecia en la figura. El segmento oscilante del cable mide 17.3 m . Encuentre el periodo de oscilación suponiendo que el sistema puede tratarse como un péndulo simple.

33) Un aro circular de 65.3 cm de radio y 2.16 kg de masa está suspendido de un clavo horizontal. a) Calcular la frecuencia de oscilación para desplazamientos pequeños desde el equilibrio. b) ¿Cuál es la longitud del péndulo simple equivalente? 34) Un ingeniero desea hallar la inercia rotacional de un objeto de forma irregular de 11.3 kg de masa respecto a un eje que pase por su centro de masa. El objeto está soportado con un alambre que pasa por su centro de masa y a lo largo del eje deseado. El alambre tiene una

N m rad . El ingeniero observa que este péndulo de torsión constante de torsión efectúa 20 ciclos completos en 48.7 s . ¿Qué valor se calcula para la inercia de rotación? k  0.513

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35) Un péndulo físico consta de un disco sólido uniforme de masa M  563 g y radio

R  14.4 cm soportado en un plano vertical por un pivote situado a una distancia d  10.2 cm

del centro del disco, como se muestra en la figura. El disco se desplaza un pequeño ángulo y luego se suelta. Halle el período del movimiento armónico simple resultante.

36) Una esfera sólida de 95.2 kg con un radio de 14.8 cm está suspendida de un alambre

vertical unido al techo de una sala. Se requiere una torca de 0.192 N  m para retorcer a la esfera en un ángulo de 0.850 rad . Halle el período de oscilación cuando la esfera se suelte desde está posición.

37) Se cuelga un aro delgado de un clavo horizontal y realiza una oscilación completa con ángulo pequeño una vez cada 2.0 s , ¿qué radio debe tener el aro? 38) Una llave inglesa de 1.80 kg está pivotada a 0.250 m de su centro de masa y puede oscilar como péndulo físico. El periodo para oscilaciones de ángulo pequeño es de 0.90 s . a) ¿Qué momento de inercia tiene la llave respecto a un eje que pasa por el pivote?; b) Si la llave inicialmente se desplaza 0.400 rad de la posición de equilibrio, ¿qué rapidez angular tiene al pasar por dicha posición? 39) Un péndulo físico consta de una barra de un metro pivotada en un pequeño orificio

taladrado a través de la barra de una distancia x de la marca de 50.0 cm . Se observa que el período de oscilación es de 2.50 s . Halle la distancia x .

40) Un péndulo físico en forma de cuerpo plano exhibe un MAS con una frecuencia de 1.5 Hz . Si el péndulo tiene una masa de 2.2 kg y el pivote se localiza a 0.35 m del CM. Calcule el momento de inercia del péndulo. 41) Una barra uniforme se halla pivoteada en un extremo. Si la barra oscila con MAS, calcule su longitud para que su período sea igual al de un péndulo simple de 1m de longitud.

42) Un péndulo consta de un disco uniforme de 10.3 cm de radio y 488 g de masa unido a una barra de 52.4 cm de longitud que tiene una masa de 272 g ; ver figura. Calcule: a) la inercia 7

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rotacional del péndulo respecto al pivote; b) ¿Cuál es la distancia entre el pivote y el centro de masa del péndulo?, c) calcule el período de oscilación para ángulos pequeños.

43) Se forma un péndulo al pivotar una barra larga de longitud L y masa m en torno a un punto en la barra que está a una distancia “ d ” sobre el centro de la varilla. a) Halle el período de pequeña amplitud de este péndulo en términos de d , L , m y g . b) Demuestre que el período tiene un valor mínimo cuando d  0.289 L . Contenido 3.7 Movimiento armónico amortiguado 44) En el sistema mostrado en la figura, el bloque tiene una masa de 1.52 kg y la constante de

fuerza es de 8.13 N / m . La fuerza de fricción está dada por - b ( dx / dt ) , donde b  227 g / s . Supóngase que el bloque se jala hacia un lado una distancia de 12.5 cm y luego se suelta. Calcule: a) el intervalo de tiempo necesario para que la amplitud disminuya a un tercio de su valor inicial; b) ¿Cuántas oscilaciones efectúa el bloque en este tiempo?

45) Un oscilador armónico amortiguado consta de un bloque (m  1.91 kg) , un resorte

( k  12.6 N / m) , y una fuerza de amortiguamiento F  - bv . Inicialmente, oscila con una amplitud de 26.2 cm ; a causa del amortiguamiento, la amplitud disminuye a tres cuartas partes de este valor inicial después de cuatro ciclos completos. a) ¿Cuál es el valor de b ? b) ¿Cuánta energía se ha “perdido” durante estos cuatro ciclos?

46) Un ratón de 0.300 kg , se mueve en el extremo de un resorte con constante de fuerza

k  2.50 N / m , sometido a la acción de una fuerza amortiguadora F x  bv x . a) si b  0.900 kg / s , ¿qué frecuencias de oscilación tiene el ratón?; b) ¿con qué valor de b la

amortiguación será critica?

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47) Un huevo duro (cocido) de 50.0 g se mueve en el extremo de un resorte con k  25.0 N / m

F  bvx actúa sobre el su desplazamiento inicial es de 0.300 m . Una fuerza amortiguadora x huevo, y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5.00 s . Calcule la constante de amortiguación b .

48) Una masa de 0.400 kg se mueve en el extremo de un resorte con k  300 N / m , sometido a

F  - b la acción de una fuerza amortiguadora x . Si b  9.00 kg / s a)¿Qué frecuencia de oscilación tiene la masa? b)¿Con qué valor de b la amortiguación será crítica?

49) Una masa de 0.200 kg se mueve en el extremo de un resorte con k  400 N / m . Su desplazamiento inicial es de 0.300 m . Una amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en

5.00 s . Calcule la constante de amortiguación b .

o 50) Un péndulo de 1.00 m de longitud se suelta desde un ángulo inicial de 15.0 . Después de

1000 s , debido a la fricción su amplitud se ha reducido a 5.5 0 . ¿Cuál es el valor de b / 2m ? Contenido 3.8 Oscilaciones forzadas y resonancia 51) Una masa de 2.00 kg unida a un resorte es accionada por una fuerza externa en newton,

dada por F  3.00 c os (2  t ) . Si la constante de fuerza del resorte es 20.0 N / m y no hay amortiguamiento determine: a) El período b) La amplitud del movimiento.

52) Un peso de 40.0 N se suspende de un resorte cuya constante de fuerza es de 200 N / m . El sistema es no amortiguado y se somete a una fuerza armónica de 10.0 Hz de frecuencia, lo que origina una amplitud de movimiento forzado de 2.00 cm , determine el valor máximo de la fuerza. 53)

Calcule la frecuencia de resonancia de: a) Una masa de 2 kg unida a un resorte de constante 240 N / m . b) Un péndulo simple de 1.5 m de longitud.

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DESARROLLO DE LA DISCUSIÓN No 3 (Primera Parte) UNIDAD III: OSCILACIONES (3.1 a 3.5.2) SEMANA 6 TIEMPO 100 minutos

ACTIVIDAD El docente inicia la actividad dando lugar a la participación de los estudiantes tal como se explica en el programa; sección IV.2 Discusión de problemas.

CONTENIDOS B: 1, 2, 3 y 4 C: 1, 2, 4, 7 y 8 D: 1, 3, 7, 10, 14, 22 y 26

DISCUSIÓN No 3 (Segunda Parte) UNIDAD III: OSCILACIONES (3.6 a 3.8.2) SEMANA 7 TIEMPO 100 minutos

ACTIVIDAD El docente inicia la actividad dando lugar a la participación de los estudiantes tal como se explica en el programa; sección IV.2 Discusión de problemas.

CONTENIDOS B: 5, 6, 8, y 10 C: 9, 13, 15 y 19 D: 32, 37, 39, 48, y 57

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