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• Juanma Arias

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COLEGIO MAYOR CIUDAD DE BUGA TRABAJO, VIRTUD Y CIENCIA MODULO PRIMERO Y SEGUNDO PERIODO

ALGEBRA GRADO 9° AÑO LECTIVO 2019-2020 CONCEPTOS BÁSICOS: 1. Término algebraico: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica. Ejemplos: 3x2y ; 45 ; m En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal. 2. Grado de un término: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los exponentes de su factor literal. Ejercicios: Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, determina su signo, coeficiente numérico, factor literal y grado: Ejercicio – 5,9a2b3c



Signo menos

C. numérico 5,9

F. literal a2b3c

Grado 2+3+1=6

3 4 5 hk 3 Abc

xy 2 4 – 8a4c2d3 3. Expresiones algebraicas: Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o más términos algebraicos. Ejemplo:

2 ab 2  5ab  6c 3

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Ing. Gustavo Adolfo Cárdenas V. Docente

4. Cantidad de términos: Según el número de términos que posea una expresión algebraica se denomina: Monomio : Un término algebraico : a2bc4 ; –35z Binomio : Dos términos algebraicos : x + y ; 3 – 5b Trinomio : Tres términos algebraicos : a + 5b -19 Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2 5.

Grado de un polinomio: El grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de alguno de sus términos cuyo coeficiente es distinto de cero.

Ejercicios: Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones algebraicas: Expresión algebraica 2x – 5y3

Grado de la expresión 1; 3 = 3

Número de términos 2: binomio

x2 y3 4 a – b + c – 2d m2 + mn + n2 x + y2 + z3 – xy2z3 VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Veamos un ejemplo: Valoremos la expresión: 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando x = 2; y = –1

No olvidar: 1º 2º 3º 4º

Reemplazar cada variable por el valor asignado. Calcular las potencias indicadas Efectuar las multiplicaciones y divisiones Realizar las adiciones y sustracciones

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Ing. Gustavo Adolfo Cárdenas V. Docente

Veamos el ejemplo propuesto: 5x2y – 8xy2 – 9y3

5x 2 y  8xy 2  9 y 3  5  2 2   1  8  2   1  9   1 2

3

= 5  4  (1)  8  2  1  9  (1)  =  20  16  9  27

Es el valor numérico

Ejercicios: Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando: Expresión algebraica

Reemplazar :a = 2; b =5; c=–3; d=–1; f = 0

Resultado

5a 2  2bc  3d 4 ab – 3 bc – 15d

6a 3 f 2a 2  b3  c3  d 5 3(a  b)  2(c  d ) c b a   3 5 2

(b  c) 2 Términos semejantes: Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal. Ejemplos:  En la expresión 5 a2b + 3abx + 6 a2b3 – 7 a2b , 5 a2b es semejante con – 7 a2b

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Ing. Gustavo Adolfo Cárdenas V. Docente

 En la expresión x2y3 – 8xy2 +

2 2 3 2 2 3 x y , x2y3 es semejante con x y 5 5

Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que les es común. Ejemplos: 1) –3 a2b + 2ab + 6 a2b – 7 ab = 3 a2b – 5 ab 2)

3 3 2 1 2 3 2 2 3 1 3 2 13 3 2 1 2 3 x y  x y  x y  x y  x y  x y 4 2 3 3 12 6 3 1 9  4 13    4 3 12 12



1 2 3 4 1    2 3 6 6

Ejercicios: 1) 8x – 6x + 3x – 5x + 4 – x = 2) 4,5a  7 b  1,4b  0,6 a  5,3b  b = 3)

3 2 1 1 m  2mn  m 2  mn  2mn  2m 2  5 10 3

4)

2 2 3 3 2 1 1 x y  31  xy 2  y 3  x 2 y  xy 2  y 3  6  5 8 5 5 5 4

Uso de paréntesis:

    

En álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Para eliminar paréntesis debes fijarte en el signo que tengan:  Si es positivo , se elimina manteniendo todos los signos que están dentro de él.  Si es negativo, se elimina cambiando todos los signos que están dentro de él. Ejemplos: 1) 2a   x  a  1  a  x  3 

2) 3x – (6x + 1) + (x –3 )

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Ing. Gustavo Adolfo Cárdenas V. Docente

2a  x  a  1  a  x  3  2a  2 x  2

3x – 6x – 1 + x – 3 = –2x –

4 Observación:  Si en una expresión algebraica existen paréntesis dentro de otros, se empiezan a eliminar desde el más interior. Ejemplo:

      7mn  n



 

m 2   7mn   n 2  m 2  3mn  2n 2  m 2   7mn   n 2  m 2  3mn  2n 2 = m2

2



 m 2  3mn  2n 2 

m 2  7mn  n 2  m 2  3mn  2n 2  2m 2  4mn  3n 2 Ejercicios: ( desarrolla en tu cuaderno) 1)  4  x  y   5  x  3 y   2  x  3 y  5   x  y  1  2  x  y   2)   x  y  z    z  x  y    x  y  

Multiplicación en álgebra Para multiplicar expresiones algebraicas , debes observar los siguientes pasos: 1º 2º 3º

Multiplicar los signos ( ley de los signos para la multiplicación ) Multiplicar los coeficientes numéricos. Multiplicar las letras ( multiplicación de potencias de igual base ).

 Estos pasos son válidos para todos los casos de multiplicación en álgebra; esto es, monomios por monomios, monomios por polinomios y polinomios por polinomios. Ejemplos: monomios por monomios

monomios por polinomios

polinomios por polinomios

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( -4a5b4)•( 12ab2)= –48 a6b6

2a  3b3a  7b  7 a4b • ( 2 a3 – a b + 5 b3 )=

6a2–14ab –9ab +21b2 =

14 a7b – 7 a5b2 + 35 a4b4

6a2 –23ab +21b2

x  2x 2  2 x  4 

( a x + b y – c z ) • (- x y )= ( 6

m5n-3p-4)

•(5

mn-1p2)=

– ax2y – bxy2 + cxyz

30 m6n–4p–2 3 4  2 3 1 5 4  a b    ab   a b 4  3  2

x3+2x2 +4x–2x2 –4x –8= x3 –8







 2 2 a  3   5 a 1 5 5a   m     m  m   m 2  2mn  8n 2 m3  3m 2  2  2  5   4 

1 3a  4 m  m 7 a 3 2

¡ hazlo tú !

Factorización Factorizar significa descomponer una expresión en un producto de dos o más partes. Éstas partes en las que se descompone la expresión se llaman factores. La factorización se basa en la propiedad distributiva del producto respecto a la adición, es decir: Ejemplo: El factor que se repite en la expresión a  b  a  c es “a”, luego se puede factorizar, Es decir: Comencemos con el método de factorización, por factor común.

FACTOR COMÚN Procedimiento: 1° Paso: Buscamos el factor común de cada término de la expresión (que debe ser el mayor posible) 2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que resulta de dividir el polinomio dado por el factor común.

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Ing. Gustavo Adolfo Cárdenas V. Docente

Ejemplo: 3 2 3 a) 4a b  2a b

queda



luego el factor común en cada término es 2a 2b y factorizando



2a 2b 2a  b2 si resuelves el producto vuelves a la expresión original

b) 6 xy 2 z  12 xy 3 z 2  18 x 4 y 2 z luego el factor común en cada término es 6 xy 2 z y



dividiendo cada término por el factor común queda 6 xy 2 z 1  2 yz  3x 3



Ejercicios a) 3b – 6x = c) 20u2 – 55u = e) 6x –12y + 18=

b) 5x – 5 = d) 16x – 12 = f) 15x + 20y – 30=

g) 4g2 + 2gh =

h) a2b – ab2 =

i) 6p2q + 24pq2 =

j) 12x3y - 48x2y2 =

k) 9m2n + 18 mn2 – 27mn=

l)

1 1 1 ma  mb  mc 4 4 4

FACTOR COMÚN POR GRUPOS Se aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos. Procedimiento 1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dicho factor común en cada uno de los grupos. 2° Paso: Debe quedar un paréntesis común. 3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común

Ejemplo:

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a) ac  ad  bc  bd se agrupan según sus factores (puede ser)

(ac  ad )  (bc  bd ) Se extrae factor común de cada paréntesis

a(c  d )  b(c  d ) Resultando otro factor común en cada término c  d  y factorizando queda

(a`b)(c  d ) b) a 2c 2  a 2d 2  b2c 2  b2 d 2 agrupamos

(a 2 c 2  a 2 d 2 )  (b2 c 2  b2 d 2 ) Extraemos factor común a 2 (c 2  d 2 )  b2 (c 2  d 2 ) Factorizando (a 2  b2 )(c 2  d 2 ) Lo puedes comprobar, multiplicando y logras la expresión original

Ejercicios: a) 14mp + 14mq + 9np + 9nq = x  3 y  2

b) 21ax + 35ay + 20y + 12x =

R:

c) 175ax + 75ay – 25bx – 15by=

d) 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d =

R:

10ab  30b 2c  3d  2

e) ma  c   a  c

R: a  c m  1

2abx2  4aby 2 5  2b

f) 10abx2 + 4ab2x2 – 40aby2 – 8ab2y2 =

g) xy – 2x + 3y – 6 =

h) ap + aq + bp + bq=

i) x2 + xy + xz + yz=

j) 15 + 5x + 3b + xb =

k) ab + a – b – 1 =

R: b  1a  1

m) 3x3 + 12x2 – 2x – 8 =

3x  2x

2

4

l) px + py + qx + qy = n) 3x3 + 2x2 + 12x + 8 =



R:

R:

o) xy − 2x − 3y +6 = R: x  3 y  2

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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Recuerdo: “Cuadrado de un Binomio”

p  q2  

p 2  2 pq  q 2

c  d 2

; : c 2  2cd  d 2 

Producto notable

Factorización

Procedimiento: 1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante. Y se calculan sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases. 2° Paso: Luego se calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto figura en el trinomio dado, 3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizamos como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases. OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES:  Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.  Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuesto Ejercicios: a) g2 + 2gh + h2 = c) x2 + 2xy + y2 = e) a2 – 2a + 1 = g) 9x2 –12xy + 4y2 =

R: g  h 2

b) 225 – 30b + b2 = d) p2 – 2pq + q2 = f) m2 – 6m + 9= h) 36n2 + 84pn + 49p2 =

R:

6n  7 p 

2

i) x 2  10 x  25 _

j) 9 x 2  14 x  49 

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DIFERENCIA DE CUADRADOS Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados

 p  q p  q 

p2  q2

; :

x2  y2 

x  y x  y 

Producto notable

Factorización

Procedimiento: 1° Paso: Debemos identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos. 2° Paso: Calculamos las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno) 3° Paso: Transformamos la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.

Ejercicios: a) d 2  p 2

b) 4 2  c 2

c) 9  p 2 p 2

d)

e)  c 2  b2

f) a 8  b16

g)

1 16 a  b8 16

i) 25x 2 1

1 4 a  a2 4

1  1  R:  a 8  b 4  a 8  b 4  h)  4  q 4 4  4  j) 36 x 6  49

Facto r i za las s i g ui entes ex pr es i o nes : 1) x2 – y2 = 3) 49b2 – 9c2 =

2) 144a2 - 25 4) 225z2 – 4e4 =

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5) 2x2 + 6x + 8x3 -10x4=

6) 20m3 + 30m4 - 40 m2 - 50m5=

7) x2a - x3 + 3x4 =

8) a + 8a3 – 5 a5 =

9) z12 – 169x6 =

10) 100z8 - 16 =

11) 5x2y3 + 7xy4 - 8x2y7 - 9x5y2=

12) 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 -

16p5q2= 13) x2 + 4x + 4 = 15)

14) x2 – 2x + 1 =

16 2 x  49 = 25

16)

17) 0,01c2x4z10 – 0,25b14=

18) 196 – k4=

24 2 4 36 3 48 a b  a b  ab 4  81 27 9

19)

225 4 25 2 h  b = 144 49

20)

21) 2xa + 2ay + 3bx + 3by=

2 8 xy  x 4 y  9 9

22) 3mp + 3mq - np - nq=

23) 4x(x - y) - 6z(x - y)

24) 25x2 - 80xy + 64y2

25) 256 x8 – 25c2=

26) 361 – 81x12 c8=

27) 3h (a - 3)+ 4k (a - 3)=

28) 144a6 – 81 b2 =

29) 9m(5x – 4) + 5n (5x – 4) =

30) 15a + 25 b =

31) 6pm + 4pn + 3mq + 2nq=

32) 5xZ + 5yZ + 7bx + 7by=

S o luci o nes : 1) x  y x  y  7b  3c7ba  3c





4) 15z  2e 2 15z  2e 2



2) 12a  512a  5





5) 2 x x  3  4 x 2  5x 3

10m2 2m  3m 2  4m5  4m3



3)



6)

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

7) x 2 a  x  3x 2







8) a 1  8a 2  5a 4







9) z 6  13x 3 z 6  13x 3



  11) xy 2 5xy  7 y 2  8xy 5  9x4  1 3) x  2x  2 14) x  1x  1 2 p 2 q 2 5q  p  9 p 2 q  8 p 3 

10) 10z 4  4 10 z 4  4 12)

4  4  15)  x  7  x  7  5  5 

5  15 5   15 16)  h 2  b  h 2  b  7  12 7   12





17) 0,1cx 2 z 5  0,5b7 0,1cx 2 z 5  0,5b7

12  2 3  ab ab  a 2  4b3  9 9 

19)

21) 2a  3bx  y 





27) 3h  4k a  3 29) 9m  5n 5x  4 31) 3m  2n 2 p  q

20)





18) 14  k 2 14  k 2



2 xy 1  4 x 3 y 9





22) 3m  n  p  q 24) 5x  8 y 2

23) 4 x  6z x  y  25) 16 x 4  5c 16 x 4  5c





   28) 12a 3  9b12a 3  9b 26) 19  9 x 6c 4 19  9 x 6c 4

30) 53a  5b 32) 5z  7bx` y 

Unos gustan decir lo que saben; otros lo que piensan. - J. Joubert

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Los números naturales Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (ordinal). El conjunto de los números naturales está formado por: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural. La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo. Ejemplos: 5−3 3−5 El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la división es exacta. Ejemplo: 6:2 2:6 Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

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La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre cuando la raíz es exacta.

Los números enteros Los números enteros son del tipo: = {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades con respecto al nivel del mar, etc. La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número entero. El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre cuando la división es exacta. Ejemplo 6:2 2:6 Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural. Ejemplo

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La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.

Los números racionales Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.

Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto) son números racionales; pero los otros números decimales ilimitados no. La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es otro número racional. Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero. ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

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La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.

Los números irracionales Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. = 3.141592653589... Otros números irracionales son: El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos. e = 2.718281828459... El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

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intervalo Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se llaman extremos del intervalo.

Intervalo abierto: Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x

/ a < x < b}

Intervalo cerrado Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = {x

/ a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. (a, b] = {x

/ a < x ≤ b}

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Ing. Gustavo Adolfo Cárdenas V. Docente

Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. [a, b) = {x

/ a ≤ x < b}

Nomenclatura para varios conjuntos Cuando queremos nombrar un conjunto de puntos formado por dos o más de estos intervalos, se utiliza el signo unión) entre ellos. Las semirrectas están determinadas por un número. En una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él.

x>a (a, +∞) = {x

/ a < x < +∞}

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x≥a [a, +∞) = {x

/ a ≤ x < +∞}

x