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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA (Creada por ley N° 25265) FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA – SISTEMAS ESCUELA PR

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA (Creada por ley N° 25265)

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA – SISTEMAS ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

ASIGNATURA: TEORIA DE COMUNICACIONES.

Presentado por:

HUARCAYA YALO, Erick.

PAMPAS – 2019

ANÁLISIS DE SEÑALES: SERIES DE FOURIER TIPOS DE SEÑALES: 1. Señal de energía o potencia. Clasifique y calcule la energía o potencia según el caso de las señales siguientes: Señales de potencia

a)

𝑥(𝑡) = 2 cos(2𝜋103 𝑡) 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝛼 < 𝑡 < 𝛼

Solución: Se utiliza la siguiente expresión: 𝑇

1 2 𝑃 = ∫ (𝑥(𝑡))2 𝑑𝑡 𝑇 −𝑇 2

Por lo tanto: 1 𝛼 𝑃= ∫ (2 cos(2𝜋103 𝑡))2 𝑑𝑡 2𝛼 −𝛼 𝑢

Realizando un cambio de variable, 2𝜋103 𝑡 = 𝑢, 𝑡 = 2𝜋103 𝛼 2 𝑃= ∫ (cos(𝑢))2 𝑑𝑢 2𝛼𝜋103 −𝛼

Aplicando la propiedad trigonométrica 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 =

1+𝑐𝑜𝑠2𝑥 2

𝛼

𝑃=

2 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑢 ∫ 𝑑𝑢 3 2𝛼𝜋10 −𝛼 2

Integrando 𝑃=

2 𝑢 𝑠𝑒𝑛2𝑢 𝛼 [ + ] 2𝛼𝜋103 2 4 −𝛼 𝛼

2 2𝜋103 𝑡 𝑠𝑒𝑛4𝜋103 𝑡 𝑃= [ + ] 2𝛼𝜋103 2 4 −𝛼 𝑃 =2+

𝑠𝑒𝑛(4𝜋103 𝛼) 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 2𝛼𝜋103 RESPUESTA:𝑃 = 2 +

𝑠𝑒𝑛(4𝜋103 𝛼) 𝛼𝜋103

𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠

Señal de potencia 𝑇

b)

𝑓(𝑥) = {

𝑇

1

4cos(2𝜋102 𝑡), − 2 ≤ 𝑡 ≤ 2 ; 𝑇 = 𝐹 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜

Solución: 𝑇

1 2 𝑃 = ∫ (𝑥(𝑡))2 𝑑𝑡 𝑇 −𝑇 2

𝑇

1 2 𝑃 = ∫ (4 cos(2𝜋102 𝑡))2 𝑑𝑡 𝑇 −𝑇 2

𝑢

Realizando un cambio de variable, 4𝜋102 𝑡 = 𝑢, 𝑡 = 4𝜋102 𝑇

2 2 𝑃= ∫ (cos(𝑢))2 𝑑𝑢 2 𝑇𝜋10 −𝑇 2

Aplicando la propiedad trigonométrica 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 =

1+𝑐𝑜𝑠2𝑥 2

𝑇

2 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑢 4 𝑃= ∫ 𝑑𝑢 2 𝑇𝜋10 −𝑇 2 2

Integrando 𝑇

2 𝑢 𝑠𝑒𝑛2𝑢 2 𝑃= [ + ] 𝑇𝜋103 2 4 −𝑇 2

𝑇

4 4𝜋102 𝑡 𝑠𝑒𝑛8𝜋102 𝑡 2 𝑃= [ + ] 𝑇𝜋102 2 4 𝑇 − 2

2

4𝜋10 1 )𝑓 𝑓 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 2𝜋102

𝑠𝑒𝑛( 𝑃 = 8+

RESPUESTA:𝑃 = 8 +

4𝜋102 1 )𝑓 𝑓 2 2𝜋10

𝑠𝑒𝑛(

𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠

Señal de energía 𝑓(𝑥) = {

c)

𝐴 𝑒𝑥𝑝(−𝑎𝑡) , 𝑡 > 0; 𝑎 > 0 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜



𝐸 = ∫ [𝑥(𝑡)]2 𝑑𝑡 −∞ 𝑡 2

𝐸 = ∫[𝐴𝑒𝑥𝑝(−𝑎𝑡) ] 𝑑𝑡 0 𝑡

𝐸 = 𝐴2 ∫ 𝑒𝑥𝑝(−2𝑎𝑡) 𝑑𝑡 0

𝐸=

𝐸=−

𝐴2 𝑡 [𝑒𝑥𝑝(−2𝑎𝑡) ]0 −2𝑎

𝐴2 [𝑒𝑥𝑝(−2𝑎𝑡) − 1] 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 2𝑎 𝐴2

RESPUESTA:𝐸 = − 2𝑎 [𝑒𝑥𝑝(−2𝑎𝑡) − 1] 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 Señales de potencia

d)

𝑥(𝑡) = cos(𝑡) + 5 cos(2𝑡) ; 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝛼 < 𝑡 < 𝛼

Solución: Se utiliza la siguiente expresión: 𝑇

1 2 𝑃 = ∫ (𝑥(𝑡))2 𝑑𝑡 𝑇 −𝑇 2

Entonces: 𝑃=

1 𝛼 ∫ (cos(𝑡) + 5 cos(2𝑡))2 𝑑𝑡 2𝛼 −𝛼

1 𝛼 𝑃= ∫ cos 2 (𝑡) 10(cos(𝑡) cos(2𝑡) + 25 cos2 (2𝑡) 𝑑𝑡 2𝛼 −𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 1 2 (𝑡)𝑑𝑡 𝑃= [∫ cos + ∫ 10(cos(𝑡) cos(2𝑡)𝑑𝑡 + ∫ 25 cos 2 (2𝑡) 𝑑𝑡] 2𝛼 −𝛼 −𝛼 −𝛼

𝑃=

1 𝑡 𝑠𝑖𝑛2𝑡 𝛼 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛3𝑡 𝛼 𝑡 𝑠𝑒𝑛4𝑡 𝛼 [[ + ] + 10 [ + ] + 25 [ + ] ] 2𝛼 2 4 −𝛼 2 6 −𝛼 2 8 −𝛼

𝑃 = 13 + 5

𝑠𝑖𝑛𝛼 10𝑠𝑖𝑛3𝛼 25𝑠𝑒𝑛4𝑡 + + 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 𝛼 3𝛼 8𝛼

RESPUESTA:𝑃 = 13 + 5

𝑠𝑖𝑛𝛼 𝛼

+

10𝑠𝑖𝑛3𝛼 3𝛼

+

25𝑠𝑒𝑛4𝛼 8𝛼

𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠

2. Señales de energía. Grafique y calcula la energía de la siguiente señal de energía.

𝒙(𝒕) = 𝑨 𝒆𝒙𝒑

(

|−𝒕| ) 𝑻 ∏(

𝒕 ) 𝟐𝑻

3. Señal de potencia. Calcular la potencia promedio de la señal de potencia dada, con A=10 y T=1 mseg:

4. Señal de energía. Calcular la energía de la señal de energía dada: 𝒘(𝒕) = ∏(𝒕/𝑻𝟎 )

CARACTERIZACIÓN DE SEÑALES

5. Voltaje continuo. Suponga que v(t) es una forma de onda periódica de voltaje, como se muestra en la figura. Sobre el intervalo de tiempo 0 < t < 1, v(t) está descrita por 𝑒 𝑡 . Encuentre el valor de DC y el RMS para esta forma de onda de voltaje.

6. Potencia y valor dBm para señales exponenciales. La forma de onda periódica de voltaje mostrada en la figura anterior (problema 4) aparece a través de una carga resistiva de 600 Ω. Calcule la potencia promedio disipada en la carga y su valor dBm correspondiente.

7. Voltaje continuo. Un generador de funciones produce la forma de onda periódica de voltaje mostrada en la figura. a) Encuentre el valor para el voltaje de DC. b) Encuentre el valor para el voltaje RMS. c) Si esta forma de onda de voltaje se aplica a través de una carga de 1,000 Ω, ¿cuál es la potencia disipada en la carga?

8. El voltaje a través de una carga resistiva de 50Ω es la porción positiva de una onda cosenoidal. Esto es:

donde n es cualquier entero.

a. b. c. d.

Haga un diagrama de las formas de onda de voltaje y de corriente. Evalúe los valores de DC para el voltaje y la corriente. Encuentre los valores RMS para el voltaje y la corriente. Encuentre la potencia promedio total disipada en la carga.

9. Potencia de entrada. El voltaje 1RMS2 a través de las terminales de entrada de 300 Ω de una antena en un receptor de FM es de 3.5 uV.

a. Encuentre la potencia de entrada 1en watts2. b. Evalúe la potencia de entrada como se mide en decibeles por debajo de 1 mW 1dBm2. c. ¿Cuál sería el voltaje de entrada 1en microvolts2 para la misma potencia de entrada si la resistencia de entrada fuera de 75Ω en lugar de 300?

10. Voltaje continuo. Dada la forma de onda periódica de voltaje mostrada en la figura. a. Encuentre el valor de DC para esta forma de onda. b. Encuentre el valor RMS para esta forma de onda. c. Encuentre la serie exponencial compleja de Fourier. d. Encuentre el espectro de voltaje para esta forma de onda.

SERIES DE FOURIER 11. Grafica del espectro. Grafique el espectro de la señal rectificada de media onda señalando hasta la quinta armónica:

12. Grafica del espectro. Grafique el espectro de la señal diente de sierra señalando hasta la cuarta armónica. Explique porque no tiene componente continua.

13. Coeficiente de Fourier. Encuentre la serie de Fourier de la señal periódica del problema 4. Sobre el intervalo de tiempo 0 < t < 1, v(t) está descrita por 𝑒 𝑡 .

14. Coeficiente de Fourier. Encuentre las expresiones para los coeficientes de la serie trigonometrica de Fourier que representan la forma de onda mostrada en la figura. SOLUCION: Datos:  𝑻 = 𝟑𝒔

𝑥(𝑡) = {

2.0, −1.0,

0≤𝑡≤2 2≤𝑡≤3

Calculando 𝒂𝟎 : 𝑻

𝟏 𝒂𝟎 = ∫ 𝒙(𝒕)𝒅𝒕 𝑻 𝟎

𝟑

𝟐

𝟏 𝒂𝟎 = (∫ 𝟐𝒅𝒕 + ∫ −𝟏 𝒅𝒕) 𝟑 𝟎

𝟐

𝒂𝟎 =

𝟏 𝟐 𝟑 [( 𝟐𝒕 | ) + (−𝒕 | )] 𝟑 𝟎 𝟐

𝒂𝟎 =

𝟏 (𝟒 − 𝟏) 𝟑

𝒂𝟎 =

𝟑 =𝟏 𝟑

Calculando 𝒂𝒏 : 𝑻

𝟐 𝒂𝒏 = ∫ 𝒙(𝒕)𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒕) 𝒅𝒕 𝑻 𝟎

𝟑

𝟐

𝒂𝒏 =

𝟐 𝟑

(∫ 𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝒏𝒕)𝒅𝒕 + ∫ −𝟏 𝒄𝒐𝒔 (𝒏𝒕)𝒅𝒕) 𝟎

𝒂𝒏 = 𝒂𝒏 =

𝟐 𝟑

𝟐

𝟐

𝟑

𝟎

𝟐

[( 𝟐 𝒔𝒆𝒏 (𝒏𝒕) | ) + (−𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒕) | )]

𝟐 [(𝟏. 𝟖𝟏 ) + (𝟎. 𝟕𝟔)] 𝟑 𝒂𝒏 = 𝟏. 𝟕𝟏𝟑

Calculando 𝒃𝒏 : 𝑻

𝟐 𝒃𝒏 = ∫ 𝒙(𝒕)𝒔𝒆𝒏 (𝒏𝒕)𝒅𝒕 𝟑 𝟎

𝟑

𝟐

𝟐

𝒃𝒏 = (∫ 𝟐 𝒔𝒆𝒏 (𝒏𝒕)𝒅𝒕 + ∫ −𝟏 𝒔𝒆𝒏 (𝒏𝒕)𝒅𝒕) 𝟑

𝟎

𝒃𝒏 =

𝟐 𝟑

𝟐

𝟐

𝟑

𝟎

𝟐

[(− 𝟐𝒄𝒐𝒔 (𝒏𝒕) | ) + (𝒄𝒐𝒔 (𝒏𝒕) | )]

𝟐

𝒃𝒏 = [(𝟐. 𝟖𝟑 ) + (−𝟎. 𝟓𝟕)] 𝟑

𝒃𝒏 =

𝟐 ∗ 𝟐. 𝟐𝟔 𝟑

𝒃𝒏 = 𝟏. 𝟓𝟎𝟔

15. Coeficiente de Fourier. Encuentre los coeficientes de la serie compleja de Fourier para la forma de onda periódica rectangular mostrada en la figura P2-54 como una función de A, T, b y 𝑇0 .

16. Coeficiente de Fourier. Para la forma de onda mostrada en la figura P255, encuentre (a) La serie compleja de Fourier. (b) La serie en cuadratura de Fourier.

17. Grafica del espectro. Suponga que v(t) es una forma de onda triangular, como se muestra en la figura.

a. Encuentre la serie compleja de Fourier para v1t2. b. Calcule la potencia promedio normalizada. c. Calcule y grafique el espectro de voltaje 18. Coeficiente de fourier. Calcular el coeficiente de fourier Xn de las siguientes señales periódicas y desarrolle como series de fourier con A=8. a) Señal triangular periódica. b) Señal diente de sierra periódica.

19. Coeficiente de fourier. Para la señal periódica mostrada en la figura, determinar el coeficiente de fourier Xn. Calcular la potencia promedio de x(t) para A= 10. La señal x(t) pasa por un filtro pasabajo, de ganancia unitaria y ancho de banda de 45 Hz. Si T=0.1 seg y A=10, calcular la potencia de salida del filtro.