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Universidad del Bío Bío Facultad de Ingeniería DIMec

Trabajo n°2

Sistema De Dos Grados De Libertad

Integrantes

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Gustavo Torres Gonzalo Maureira Dinámica de sistemas Lineales 440124 Claudio Villegas Ulloa 23/12/2016 [email protected]

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Dinámica de sistemas lineales (440124) Tarea n°2 Sistema de dos Grados de Libertad

Resumen

En este trabajo se realizó primeramente se el cálculo de la rigidez de la viga,y motor, se utilizó un sistema simplificado en la pregunta “a”, luego para llegar a su respectiva solución se realizó un sistema de masa resorte y de este modo modelar el respectivo motor, con lo cual se grafica las respuesta de vibraciones en función de la frecuencia. Luego se procedió a calcular la masa de la viga del sistema para sumarla al respectivo a la mitad de la masa del motor y en base a los datos obtenidos se procedió a calcular la frecuencia natural del sistema y graficarlo y poder visualizar que el motor está en una zona de trabajo que está dentro de la líneas rojas graficadas en Matlab y se puede concluir que está en resonancia. Posterior a observar este fenómeno se procede agregar al sistema una masa y rigidez k y m de tal manera que la frecuencia natural sea igual a la del sistema anterior.

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Índice

Resumen ................................................................................. 1 Introducción ............................................................................. 3 Actividades .............................................................................. 4 Descripción del (de los) equipo(s)¡Error! definido.

Marcador

no

Marco teórico ........................................................................... 5 Resultados y discusión ............................................................ 7 Conclusiones ..........................................................................14 Bibliografía y linkografía..........................................................15

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Introducción

Los sistemas estudiados en la mecánica son elementos que se comportan de varias formas y cualidades, por ello el estudio de estos sistemas son importantes para así utilizarlos de una mejor. Este trabajo da relación a un motor, en donde se estudiará el comportamiento al estar sobre una viga la cual, le proporciona una vibración producto del giro del motor, con el fin de lograr conocer factores como desbalanceo, estado de resonancia, son por los cuales se realizaran cálculos de este a base de datos proporcionados. Las soluciones de los problemas para casos de vibración se realizarán en este trabajo mediante cálculos que con el fin de obtener un motor sobre la viga funcionando en un estado que permita, mantener los componentes del motor en las mejores formas sin que se dañen, y produzcan la menor cantidad de problemas a futuro en su funcionamiento. Para esto lograremos estudiar a fondo este caso con el fin de obtener buenos resultados y un análisis correcto.

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Actividades

Elaborar un informe con las siguientes actividades. Utilizar un software para su resolución (sugerencias: Matlab, Labview). 1. Un motor de 150kg, que funciona a 2480rpm, con una variación de un 2% de su velocidad, está montado en el centro de una viga HEA 140 de 2000mm de largo, que puede modelarse como simplemente apoyada. Se estima que el desbalance de la máquina es de 435gr-mm y genera altas vibraciones. Se le solicita: a. Mediante un modelo simplificado, estimar el nivel vibratorio de la máquina y determine si el problema es desbalance o resonancia. ¿Por qué? b. Calcule la masa y la rigidez de un absorbedor de vibraciones para el caso mostrado. ¿Recomendaría la solución planteada? ¿Por qué? c. Grafique la función respuesta del sistema: i. Sin absorbedor. ii. Con absorbedor, utilizando el método directo. iii. Con absorbedor, utilizando el método indirecto. ¿Qué puede concluir de las gráficas c.i-iii?

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Marco teórico La frecuencia de la fuente emisora de ondas coincide con la frecuencia natural del (objeto que oscila) se llega a una condición conocida como resonancia La resonancia se define como la tendencia de un sistema físico a oscilar con una amplitud mayor en algunas frecuencias. La amplitud del sistema oscilante depende de la magnitud de la fuerza que se le aplique periódicamente al emisor de ondas y también está relacionada con las frecuencias de ondas del emisor y la frecuencia natural del sistema oscilante. Si la diferencia entre la frecuencia del emisor y la frecuencia del resonador es grande la amplitud del sistema resonador será mínima. Al igual que mientras más diferentes sean las frecuencias entre el generador y el resonador, se requerirá de mayor cantidad de energía para crear determinadas amplitudes de oscilación. En condición de resonancia, una fuerza de magnitud pequeña aplicada por el emisor puede lograr grandes amplitudes de oscilación en el sistema resonador, creando con ello perturbaciones marcadas en el sistema resonador. w2 

k2  w1 m2

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En los algoritmos de dinámica se requiere frecuentemente invertir la matriz M; por dicha razón, se emplea frecuentemente la matriz de masa concentrada. Este esquema crea una matriz diagonal empleando así menos recursos computacionales. Existen varias formas de generar esta matriz. Un esquema correcto debe preservar la masa total correcta para el elemento y preservar correctamente el centro de gravedad del mismo. Sería deseable también preservar el primer y segundo momento de inercia, pero esto raramente se logra. m 0  M  1   0 m2 

Las propiedades de rigidez del material son compilados en una única ecuación matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que pueden ser determinados resolviendo esta ecuación. El método directo de la rigidez es el más común en los programas de cálculo de estructuras k  k K  1 2   k2

 k2  k2 

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Resultados y discusión

a- Mediante el modelo simplificado masa-resorte se modelo un motor, obteniendo la siguiente grafica de vibraciones

“Vibraciones en el espacio temporal”

Para poder determinar si el problema es de resonancia o desbalance, se debe analizar el modelo en el espacio de la frecuencia. En la siguiente grafica se muestra la función de vibraciones en función de la frecuencia

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Las líneas rojas muestran la variación del 2% en la velocidad de trabajo del motor, como se puede observar, la zona de trabajo se encuentra en la zona resonante. Para poder solucionar este problema es necesario agregar un absolvedor de vibraciones, ósea una masa más una rigidez. R: Para el primer caso se puede comprobar gracias a la gráfica 1 que el motor se encuentra en la zona de resonancia por lo cual el motor llega a alcanzar grandes amplitudes y no producto de un desbalance

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b-se le agrega al sistema anterior una masa y una rigidez, cambiando el sistema de 1 grado de libertad a un sistema de 2 grados de libertad. Los parámetros m2 y k 2 se calculan de tal forma que w2 

k2  w1 esto es para que desaparezca la zona resonante. m2

Haciendo m2  10* m1 se puede calcular el k2  w22 * m2 . Como se puede observar en los gráficos de respuesta frecuencia ya no existe la zona resonante. R: se escogió la una masa para así obtener la rigidez a base de igualar la frecuencia natural de la viga con el motor, y la frecuencia natural de nuestro absolvedor, al igualar esto se puede obtener la rigidez 2 del absolvedor y la masa con ellos nos permitirá crear un sistema de dos grados de libertad en donde, permitirá sacar del estado de resonancia el motor para que trabaje en un valor aproximado a la anti resonancia. Se recomendaría esta ya que, al agregar el absolvedor saca del estado de resonancia del motor generando un trabajo suave de este, ya que al estar trabajando en resonancia las amplitudes de este se diparan, creando problemas mecánicos del motor. En conclucion esta solución es recomendada para solucionar el problema

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“respuesta en frecuencia masa 1”

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“respuesta en frecuencia masa 2”

c- En el caso anterior se utilizó el método directo para calcular la respuesta de las vibraciones ante frecuencia. Al ser un sistema de dos grados de libertad acoplado y sin amortiguación es posible desacoplar las variables. Primero se necesitan las matrices M , K y P m 0  M  1   0 m2 

k  k K  1 2   k2

 k2  k2 

Ahora se calculan los modos de vibración media vectores propios [E EE] = eig(M^-1*K)

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X=E Luego se calcula las matrices  ,  ,P   X T MX

  X T KX P  XTF

La frecuencia de cada modo wi 

 ii ii

Posteriormente se cambia al espacio coordenadas q

x  X q Donde es sistema queda finalmente ii qi   ii qi  Pi

El cual se resuelve como un sistema de orden 1

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Conclusiones Se pudo apreciar claramente la diferencia que puede producir el absolvedor de vibraciones al aplicarlo a un sistema como este, el cual permitió sacar el sistema que se encontraba en la zona de resonancia a una zona cercana a la anti resonancia, con lo cual cambia nuestro sistema en donde, el motor trabaja con una gran vibración y amplitudes que se disparaban al lograr una velocidad velocidad, lo que se generaba que la frecuencia natural del motor se acercara a la de la viga, pero con la solución se logró que las amplitudes disminuyen notoriamente logrando obtener los objetivos.

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Bibliografía y linkografía [1] C Villegas. Apuntes de Dinamica 440124. Universidad del Bío Bío, Chile, 2016 [2] http://bionanouni.wdfiles.com/local--files/teaching-mc571-horario/C15-01.pdf (3)http://oa.upm.es/1506/1/MONO_AROCA_2002_04.pdf

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