Gestion de La Calidad

E. Griful - M.Á. Canela Eulàlia Gríful es Doctora en Matemáticas por la Universitat de Barcelona (UB). Es profesora del

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E. Griful - M.Á. Canela

Eulàlia Gríful es Doctora en Matemáticas por la Universitat de Barcelona (UB). Es profesora del Departamento de Estadística e Investigación Operativa de la Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Terrassa (ETSEIT) de la UPC. Actualmente es subdirectora de Innovación Académica en la ETSEIT y responsable de los estudios semipresenciales de gestión de la calidad. Colabora en los programas de doctorado del Departamento de Estadística e Investigación Operativa, en el Máster de Calidad en la Empresa y en el programa de posgrado Seis Sigma de la UPC. Ha trabajado como consultora de gestión de la calidad en el Departamento de Toxicología Medioambiental de la UPC y en el Institut Català de Tecnologia (ICT). Miguel Á. Canela es Doctor en Matemáticas por la UB. Ha trabajado como profesor en el Departamento de Matemática Aplicada y Análisis de dicha Universidad desde 1976. Ha colaborado como profesor en los programas de doctorado de la Universitat Pompeu Fabra y del IESE, y como consultor de gestión de la calidad en el ICT. Ambos autores han colaborado, en los últimos diez años, en proyectos de asesoramiento y formación en gestión de la calidad en empresas industriales de Cataluña.

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AULA POLITÈCNICA / ORGANIZACIÓN DE EMPRESAS

Eulàlia Griful Ponsati Miguel Ángel Canela Campos

Gestión de la calidad

Gestión de la calidad

Este libro trata de las nociones básicas de la gestión de la calidad y de algunas técnicas estadísticas útiles en el contexto de la ingeniería en organización industrial. Presenta las tendencias actuales sobre gestión de la calidad, incluyendo los modelos más comunes: el Malcolm Baldrige Award, el European Quality Award de la EFQM y las normas de la serie ISO 9000. Proporciona la metodología y la formulación estadística para poder diseñar planes de muestreo de recepción de materiales, construir gráficos de control, realizar estudios de capacidad de un proceso y estudios de control de los equipos de medida. La terminología empleada es la que propone la International Organization for Standardization (ISO), el organismo internacional de normalización (v. ISO 9000). Aunque su orientación es industrial, muchas de las cuestiones que se abordan en este libro también son válidas para empresas de servicios e incluso para la Administración pública.

9 788483 017913

EDICIONS UPC

AULA POLITÈCNICA / ORGANIZACIÓN DE EMPRESAS

Eulàlia Griful Ponsati Miguel Ángel Canela Campos

Gestión de la calidad

EDICIONS UPC

Primera edición: septiembre de 2002 Reimpresión: septiembre de 2005 Diseño de la cubierta: Jordi Calvet ©

Los autores, 2002

©

Edicions UPC, 2002 Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel. 93 401 68 83 Fax 93 401 58 85 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es e-mail: [email protected]

Producción: CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord) La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona Depósito legal: B-35993-2002 ISBN: 84-8301-791-1 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

Este libro trata de las nociones básicas de la gestión de la calidad y de algunas técnicas estadísticas útiles en el contexto de la ingeniería en organización industrial. Presenta las tendencias actuales sobre gestión de la calidad, incluyendo los modelos más comunes: el Malcolm Baldrige Award, el European Quality Award de la EFQM y las normas de la serie ISO 9000. Proporciona la metodología y la formulación estadística para poder diseñar planes de muestreo de recepción de materiales, construir gráficos de control, realizar estudios de capacidad de un proceso y estudios de control de los equipos de medida. La terminología empleada es la que propone la International Organization for Standardization (ISO), el organismo internacional de normalización (v. ISO 9000). Aunque su orientación es industrial, muchas de las cuestiones que se abordan en este libro también son válidas para empresas de servicios e incluso para la Administración pública.

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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.



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Módulo 2.Planes de muestreo

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Módulo 2. Planes de muestreo Capítulo 1. Introducción Capítulo 2. Inspección por atributos 2.1 Planes de muestreo 2.2 Curva característica 2.3 Inspección con rectificación

Capítulo 3. Tablas de muestreo por atributos 3.1 Tablas de muestreo 3.2 Sistema MIL-STD-105 3.3 Sistema ISO 2859-2 3.4 Otras tablas de muestreo

ANEXO A3. Cálculo de probabilidades de aceptación ANEXO A4. Caso práctico ANEXO A5. Ejemplos numéricos

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Gestión de la calidad

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1. INTRODUCCIÓN El propósito de este módulo es familiarizar al lector con los sistemas de muestreo para la inspección de hardware. En la terminología normalizada (ISO), el término hardware designa cualquier producto formado por unidades que no pueden dividirse ni unirse. Estas unidades se inspeccionan para verificar que cumplen unos requisitos de calidad, que se han especificado de forma que cada unidad puede ser cumplirlos o no independientemente de las otras. Cuando una unidad cumple estos requisitos, decimos que es conforme. Una no conformidad es cualquier aspecto de una unidad del producto que hace que no cumpla alguno de los requisitos, y, por tanto, que sea no conforme. Como normalmente los requisitos afectan a más de una característica del producto, hay no conformidades de varios tipos, y a veces una unidad puede presentar varias no conformidades del mismo tipo. Por ejemplo, un requisito de calidad de un tapón para un frasco de perfume puede ser que no se observe en él ninguna raya, pero un tapón no conforme puede presentar una o varias rayas. Se usa aquí, como es costumbre en la literatura del control de la calidad, la expresión no conformidad, evitando expresamente el término defecto, más habitual en el lenguaje ordinario, pero que implica cierta subjetividad. Un producto puede así tener requisitos distintos para clientes distintos, pudiendo cumplir los de un cliente y no los del otro, independientemente de que consideremos que tiene “defectos''. Los métodos que se comentan en este texto se aplican para tomar decisiones sobre la aceptación o el rechazo de conjuntos (en general grandes) de unidades de un producto, propio o ajeno. El conjunto aceptado o rechazado se llama lote, y, en general, ha sido producido en condiciones estables, de forma que se puede suponer en él cierta homogeneidad, y tiene sentido aceptarlo o rechazarlo globalmente. En este contexto, se llama productor a quien suministra el lote sobre el cual se ha de decidir y consumidor a quien realiza la inspección para tomar la decisión de aceptar o no el lote. Debe tenerse en cuenta que la inspección, por sí misma, no influye sobre la calidad del producto, que es consecuencia de la fabricación. En la inspección para la aceptación o rechazo de lotes se trata simplemente de recoger datos a partir de los cuales se toma una decisión, no habiendo posibilidad de mejora en el caso de que ésta sea negativa. Su objetivo no es evaluar la calidad del lote, sino decidir si se acepta o no. En general, el muestreo es la selección de una parte o muestra dentro de un conjunto o población. La expresión inspección por muestreo se refiere a la inspección que se limita a una muestra extraída de un lote, a partir de cuyos resultados se decide la aceptación o rechazo de la totalidad. En el contexto de la inspección por muestreo, la población es, a veces, el lote que se acepta o rechaza, y, otras veces, el conjunto de la producción del proveedor. Cuando la inspección consiste en la medición de una característica medible, que varía de forma continua, como la longitud, el grosor, el peso, etc., se habla de inspección por variables. La aceptación o rechazo de un lote se basa en la media y la desviación típica de los valores que toma esa característica en las unidades inspeccionadas. En la inspección por atributos, en cambio, consiste en examinar si la unidad que se inspecciona presenta o no disconformidades, como agujeros, rayas, abolladuras, etc. Entonces, la aceptación o rechazo se basa en la cantidad de no conformidades halladas en la muestra. En general, en la inspección por variables se trabaja con muestras menores, el coste de la inspección es menor. No obstante, los métodos de muestreo por variables presuponen la validez de determinadas hipótesis estadísticas, lo que, en general, es poco realista. En la práctica, la inspección por muestreo se realiza casi siempre por atributos. En este módulo nos limitamos a la inspección por atributos. Se describen con algún detalle los métodos de la norma ISO 2859 (atributos). En cuanto al resto de métodos de muestreo que se mencionan, nos limitamos a un breve comentario.

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La referencia básica sobre la inspección por muestreo es Schilling (1982), que cubre casi todos los métodos. Duncan (1986) y Wadsworth et al. (1986) tratan el control de la calidad en general, y en particular los planes de muestreo. En la bibliografía se han incluido algunas referencias que pueden ser útiles para el lector que esté interesado en otros métodos, como las reglas skip-lot, o el muestreo continuo.

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2. INSPECCIÓN POR ATRIBUTOS 2.1 Planes de muestreo En la inspección por atributos se supone definido un criterio inequívoco para determinar la conformidad de las unidades del producto, y, en ella, la aceptación o rechazo del lote resulta del número de unidades no conformes halladas en la muestra inspeccionada. En algunos casos, no obstante, una misma unidad puede presentar varias no conformidades, por lo que la aceptación o rechazo del lote se decide en función del número total de no conformidades halladas en la muestra. Ambos problemas se tratan igual en los planes de muestreo. Designamos por p el porcentaje de unidades no conformes, o porcentaje no conforme, aunque todo lo que se dice se puede aplicar a la situación en que p designa el número de no conformidades por 100 unidades, sin más que pequeños cambios de terminología. A menudo, en el control de la calidad se distingue entre no conformidades más y menos graves, y se considera razonable una mayor permisividad para las de menor gravedad. La norma MIL-STD-105, por ejemplo, distingue entre no conformidades críticas, mayores y menores, y en la ISO 2859-1, entre las de clase A y clase B (se puede ampliar la clasificación añadiendo la clase C). A veces se inspeccionan muestras distintas que pueden tener distinto número de unidades para aplicar distintos criterios de aceptación, referidos a distintos tipos de no conformidad, aunque es poco frecuente. Normalmente los distintos tipos de no conformidad se examinan en una misma muestra, a la que se aplican varios criterios de aceptación diferentes. La inspección por muestreo se lleva a cabo siguiendo planes de muestreo. Un plan de muestreo consta de dos partes: •

Instrucciones sobre cómo extraer la muestra



Criterio para aceptar o rechazar un lote según los resultados obtenidos

Un plan de muestreo por atributos indica el número de unidades de cada lote que se tienen que inspeccionar, que es el tamaño de la muestra, designado habitualmente por n, y el criterio para aceptar o rechazar el lote, que habitualmente se concreta en el número de aceptación (Ac) y el número de rechazo (Re). Si el número de unidades no conformes no supera Ac, se acepta el lote. Al alcanzar Re, se rechaza. Se puede distinguir entre distintos tipos de planes de muestreo. En los planes simples, que son los más usados, sólo se inspecciona una muestra. El plan especifica el tamaño de muestra y el criterio de aceptación. En los planes dobles, se inspecciona una muestra y, en función del resultado, se acepta el lote, se rechaza o se inspecciona otra muestra. El plan especifica el tamaño y el criterio de aceptación y rechazo para cada muestra. El criterio de aceptación para la segunda muestra se refiere a la unión de ambas muestras. Ejemplo 1 El esquema de funcionamiento de un plan de muestreo simple ( n1=50 c1=1) sería:

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Se inspecciona una muestra aleatoria de n1=50 unidades de un lote y se observan d1 no conformidades Si d1≤c1=1

Si d1>c1=1

ACEPTAMOS

RECHAZAMOS

EL LOTE

EL LOTE

Ejemplo 2 El esquema de funcionamiento de un plan de muestreo doble (n1=50 c1=1 n2=100 c2=3) sería:

Se inspecciona una primera muestra aleatoria de n1=50 unidades de un lote y se observan d1 no conformidades

Si d1≤c1=1

Si d1>c2=3

ACEPTAMOS

RECHAZAMOS

EL LOTE

EL LOTE Si 2 ≤d1 ≤ 3 Se inspecciona una segunda muestra aleatoria de n1=100 unidades de un lote y se observan d2 no conformidades

Si d1+d2≤c2=3

Si d1+d2>c2=3

ACEPTAMOS

RECHAZAMOS

EL LOTE

EL LOTE

En general, se dice que un plan de muestreo es más eficiente que otro cuando consigue objetivos similares con menor esfuerzo de inspección. Mediante cálculos basados en argumentos de tipo probabilístico, se puede probar que los planes dobles son más eficientes que los simples. En los planes múltiples se sigue un procedimiento similar, pero el número de muestras adicionales que se pueden tomar después de la primera es mayor que 1, típicamente 5 o 6. Después de cada una de las muestras sucesivas se realiza la misma discusión: si se cumple el criterio de aceptación, se interrumpe el muestreo y se acepta el lote; si se cumple el de rechazo, se rechaza, y, si no se cumple ninguno de ambos, se extrae una nueva muestra hasta llegar al número máximo de muestras autorizado en el plan. Los planes múltiples son más eficientes que los dobles.

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Los planes secuenciales son el caso límite de los planes múltiples porque en ellos no hay un número máximo de muestras a inspeccionar. Las unidades se inspeccionan una a una y después de cada inspección se decide si se acepta el lote, se rechaza o se continúa la inspección. Estos planes son más eficientes que los anteriores, aunque se usan poco. McWilliams (1989) es una monografía sobre el tema. En los cálculos que dan las probabilidades de aceptación de los planes de muestreo que se encuentran en la literatura sobre la inspección por muestreo se acepta, en general, una de las dos hipótesis siguientes: •

La muestra se extrae aleatoriamente, es decir, de modo que todas las muestras son igualmente probables, y las distintas unidades del lote tienen la misma probabilidad de entrar en la muestra. Este supuesto se hace cuando se quiere aplicar un plan de muestreo para tomar una decisión sobre un lote aislado, por ejemplo en el sistema ISO 2859-2/A (v. Capítulo 3). En los cálculos se usa la distribución hipergeométrica, o la distribución binomial cuando el lote es mucho mayor que la muestra (v. Anexo A3). En la práctica, el muestreo aleatorio se da poco y, en muchas ocasiones, es físicamente imposible. Para efectuar un muestreo que realmente fuese aleatorio se deberían numerar todas las unidades que integran el lote y seleccionar las que componen la muestra usando una tabla de números aleatorios, extraída de un libro de estadística o generada por un ordenador (por ejemplo, en una hoja Excel). En la mayoría de los casos, una inspección que involucre semejante complicación tiene un coste prohibitivo.



Las disconformidades aparecen de modo aleatorio, y el lote que se inspecciona es homogéneo en el sentido de que el porcentaje no conforme puede considerarse el mismo en las distintas partes del lote. En este caso no tiene importancia la forma en que se extraiga la muestra. En el sistema MIL-STD-105 (v. Capítulo 3) se supone que la inspección se aplica a lotes de un proveedor con un proceso de producción estable, de forma que la probabilidad de extraer una unidad no conforme es siempre la misma, no sólo dentro del mismo lote, sino también en lotes distintos. En los cálculos se supone que la población de la que se extrae la muestra es infinita (toda la producción del proveedor) y se usa la distribución binomial.

En general, estas hipótesis son poco realistas y, por consiguiente, las probabilidades de aceptación que se hallan en la literatura sobre inspección por muestreo deben considerarse a título indicativo.

2.2 Curva característica En un plan de muestreo, la curva característica o curva OC (operating characteristic curve) es una función (o una curva, si la representamos gráficamente) que da la probabilidad de aceptación Pa de un lote en términos de p. La probabilidad de aceptación se calcula, bajo una de las dos hipótesis comentadas en la sección anterior, usando alguna de las fórmulas del Apéndice A3. Las curvas elaboradas bajo el primero de los supuestos, el del muestreo aleatorio en una población finita, se llaman curvas de tipo A, y las que se basan en el supuesto del muestreo en una población infinita homogénea, curvas de tipo B. Esta distinción desaparece, a efectos prácticos, cuando el lote es mucho mayor que la muestra. Sea cual sea el método de cálculo, la probabilidad de aceptación decrece al aumentar p. En general, la curva característica tiene forma de S invertida. El nivel de calidad aceptable es el porcentaje no conforme que se considera aceptable en la inspección. Se designa por AQL (acceptable quality level). El AQL es una indicación que se da al productor, y depende de criterios económicos y técnicos. Al usar este parámetro, es importante tener bien claro lo que significa, ya que, de lo contrario, puede generar expectativas sin fundamento. El AQL puede ser cualquier valor de p para el cual la probabilidad de aceptación sea muy alta (en general superior al 90%). Por consiguiente, podemos asignar distintos valores de AQL a un mismo plan. Por ejemplo, si en un plan de muestreo la probabilidad de aceptación de un lote con p = 2% es aproximadamente igual al 95%, podemos asignar a este plan AQL = 2%, pero también AQL = 1,5%, o AQL = 2,25%, etc.

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La calidad límite es el porcentaje no conforme máximo que se considera aceptable en la inspección. Se designa por LQ (limiting quality), LQL (limiting quality level), RQL (rejectable quality level) o LTPD (lot tolerance percent defective). El significado de la LQ en un plan de muestreo es similar al del AQL, pero de sentido contrario. Si p = LQ, la probabilidad de aceptación es baja (en general inferior al 10%). Estos valores se usan en la selección de planes de muestreo, siendo el AQL el más corriente. Hay dos probabilidades asociadas a estos parámetros que aparecen a veces en la literatura sobre la inspección por muestreo. El riesgo del productor α es la probabilidad de rechazar un lote con p =AQL (que debería ser aceptado). Al hacer p = AQL, la curva característica nos da Pa = 1 - α. Naturalmente, α representa el riesgo de cometer un error, que, en un plan bien escogido, debe ser bajo. El riesgo del consumidor, β, es la probabilidad de aceptar un lote con p = LQ (que debería ser rechazado). Una vez fijados el AQL y la LQ, los riesgos α y β son las probabilidades de error al usar el plan de muestreo, sea rechazando lo que debería ser aceptado, sea aceptando lo que debería rechazarse. En la selección del plan deben tenerse en cuenta estos riesgos, ya que, para que un plan sea aceptable, ambos deben ser bajos (ordinariamente por debajo del 10%). Las tablas de muestreo disponibles, como las de la norma MIL-STD-105, son recopilaciones de planes de muestreo que cumplen este criterio. El nivel de calidad indiferente, abreviadamente IQL (indifference quality level), es el porcentaje no conforme al que corresponde una probabilidad de aceptación del 50%. Se usa, a veces, en las tablas de muestreo. El modo habitual de presentar los planes de muestreo en tablas; es identificarlos por el AQL No obstante, si alguien utiliza un plan seleccionado en una tabla de muestreo usando un cierto AQL podría creer que, como promedio, los lotes aceptados tienen un porcentaje no conforme inferior o igual al AQL, pero, en realidad, no es así. El AQL no representa más que un nivel de calidad que se considera aceptable, y, por lo tanto, el plan tendrá entre otras consecuencias, la de no rechazar más que una proporción muy pequeña de lotes cuyo porcentaje no conforme sea inferior o igual al AQL. Pero eso no asegura que los lotes que aceptamos tengan esa calidad. Dicho de otro modo, el uso de un AQL determinado supone una protección del productor en el sentido de que los lotes con p ≤ AQL serán rechazados muy raramente, pero no una garantía para el consumidor, en el sentido de que los lotes aceptados cumplan p ≤ AQL. Si el consumidor desea protegerse de la aceptación de lotes de calidad inferior, el camino es establecer un valor de LQ adecuado. Si, por ejemplo, LQ = 8%, con un riesgo del consumidor β = 0,05, en un plan de muestreo que cumpla estos requisitos será aceptado un 5%, aproximadamente, de los lotes con p = 8%. Si p > 8%, el porcentaje de lotes aceptados será menor del 5%. Naturalmente, se puede rebajar α y β con muestras mayores, pero eso aumenta el coste de inspección. La elección del plan debe resultar de un compromiso entre la moderación del coste y el poder de discriminación del plan. En general, en los esquemas de muestreo, que son conjuntos de planes escogidos con un cierto método, se propone el plan más barato dentro de los que mantienen los riesgos en un nivel satisfactorio. Ejemplo 3 Vamos a calcular algunas probabilidades de aceptación para dos planes de muestreo simple: •

Plan A: Extraer una muestra de 20 unidades y aceptar el lote si no hay unidades no conformes (n = 20, Ac = 0).



Plan B: Extraer una muestra de 50 unidades y aceptar el lote si hay, como máximo, una no conforme (n = 50, Ac = 1).

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La tabla 2.1 da algunos valores de la probabilidad de aceptación para estos planes, calculados a partir de la fórmula binomial en una hoja Excel. Se puede pasar de la tabla a un gráfico (la curva característica) en la misma hoja de cálculo (Figura 2.1).

Probabilidad aceptación del lote

TABLA 2.1 Probabilidades de aceptación en función del porcentaje no conforme del lote para los planes A y B

1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 0,0%

Porcentaje

Plan A

Plan B

0,1%

0,9802

0,9988

0,2%

0,9608

0,9954

0,5%

0,9046

0,9739

1%

0,8179

0,9106

2%

0,6676

0,7358

3%

0,5438

0,5553

4%

0,4420

0,4005

5%

0,3585

0,2794

6%

0,2901

0,1900

7%

0,2342

0,1265

8%

0,1887

0,0827

9%

0,1516

0,0532

10%

0,1216

0,0338

15,0%

0,0388

0,0029

20,0%

0,0115

0,0002

1,5%

3,0%

4,5%

6,0%

7,5%

9,0%

10,5%

12,0%

13,5%

15,0%

Porcentaje de no conformidades

Figura 2.1 Curvas características de los planes A (línea con cuadrado) y B (línea con rombo) del Ejemplo 3. De la tabla resulta que el plan A sólo podría ser adecuado para AQL < 0.50%, mientras que el plan B sería adecuado para AQL ≤ 1%. Por otro lado, el plan A no sería adecuado para LQ = 8%, pero el plan B sí.

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2.3 Inspección con rectificación A veces se aplica una variante de la inspección por muestreo, en la cual los lotes rechazados (según el plan usado) se inspeccionan al 100%, separándose las unidades no conformes, que, a veces, se reemplazan por conformes. Se reemplacen o no las unidades no conformes, se llama lotes rectificados a los lotes inicialmente rechazados en los que, después de la inspección 100%, el porcentaje de no conformidades es p = 0. Cuanto más estricto es el criterio de aceptación, mayor es la calidad resultante, al haber más lotes rectificados. La calidad resultante media, abreviadamente AOQ (average outgoing quality), es el porcentaje no conforme final medio (contando los lotes aceptados inicialmente y los rectificados). Se puede dar en función de p, obteniendo la curva AOQ. Su valor máximo es el límite de calidad resultante media, abreviadamente AOQL (average outgoing quality limit). Los planes de inspección con rectificación se clasifican por LQ o AOQL. Se usaban tradicionalmente en la inspección final de la producción propia. Modernamente, la eliminación de los stocks de materiales obliga, a veces, a usar estos métodos en el control de recepción para asegurar el cumplimiento de los planes de fabricación. En estos caso, el coste de la inspección 100 % de los lotes rechazados se traslada al proveedor. Es fácil ver que la calidad resultante media se puede obtener como el producto de la abscisa por la ordenada de la curva característica, AOQ = p × Pa . Ejemplo 4 Vamos a calcular la calidad resultante media los planes de muestreo simple A y B del ejemplo 3. Suponemos ahora que se rectifican los lotes no aceptados. Si, por ejemplo, p = 1%, con el plan A se acepta el 81,8% de los lotes. El 18,2% restante será rectificado y acabará teniendo el 0% de unidades no conformes. En total, como promedio, tendremos AOQ = (1%) × (81,8)% = 0,818%. Para el plan B, un razonamiento análogo da AOQ = (1%) × (91,1%) = 0,911%. La tabla 2.2 da algunos valores del porcentaje de la calidad resultante media en función del porcentaje de no conformidades del lote antes del muestreo rectificativo para los planes A y B, calculados a partir de la fórmula AOQ = Pa× p en una hoja Excel. A partir de la tabla se puede calcular de forma aproximada el AOQL que para el plan A es un porcentaje de 1,79 de no conformidades y en el plan B de 1,67. Esto indica que en el caso más desfavorable en media saldrán 1,79% de unidades no conformes para el plan A después de un muestreo rectificativo, y un 1,67% para el plan B. Se puede pasar de la tabla 2.2 a un gráfico (la curva de calidad resultante media AOQ) utilizando la hoja de cálculo (Figura 2.2).

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Tabla 2.2 Porcentajes de la calidad resultante media AOQ en función del porcentaje de no conformidades del lote Porcentaje

Plan A

Plan B

0,1%

0,10%

0,10%

0,2%

0,19%

0,20%

0,5%

0,45%

0,49%

1%

0,82%

0,91%

2%

1,34%

1,47%

3%

1,63%

1,67%

4%

1,77%

1,60%

5%

1,79%

1,40%

6%

1,74%

1,14%

7%

1,64%

0,89%

8%

1,51%

0,66%

9%

1,36%

0,48%

10%

1,22%

0,34%

15,0%

0,58%

0,044%

20,0%

0,23%

0,004%

2,00% 1,80%

Plan A

AOQ

1,60% 1,40%

Plan B

1,20% 1,00% 0,80% 0,60% 0,40% 0,20% 0,00% 0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0% 18,0% 20,0%

Porcentaje no conformidades

Figura 2.2 Curvas de calidad resultante media AOQ de los planes A y B

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Para evaluar el coste de la inspección con rectificación se puede usar otro parámetro, la inspección total media, abreviadamente ATI (average total inspection), que es el número medio de unidades inspeccionadas, teniendo en cuenta las proporciones de lotes aceptados y rectificados. En estos últimos, la inspección acaba realizándose al 100%. El ATI se calcula con la fórmula: ATI = n + (1 - Pa)(N - n), en la que N es el tamaño de lote, n es el tamaño de la muestra y Pa es la probabilidad de Si representamos el ATI como función de p, obtenemos la curva ATI, que tiene forma de S. Ejemplo 5 Vamos a calcular la inspección total media de los planes de muestreo simple A y B del Ejemplo 3. Suponemos ahora que se rectifican los lotes no aceptados. Para un lote de tamaño N = 1000, la inspección total media del plan A, si el lote tiene un 1% de no conformidades, es ATI = 20 + (1 - 0,818)(1000 - 20) = 198,36, y la del plan B, ATI = 50 + (1 - 0,911)(1000 - 50) = 134,56 La tabla 2.3 da algunos valores de la inspección total en función del porcentaje de no conformidades del lote antes del muestreo rectificativo para los planes A y B, calculados a partir de la fórmula ATI = n + (1 - Pa)(N - n) en una hoja Excel. Se puede pasar de la tabla 2.3 a un gráfico (la curva de inspección total media ATI) en la misma hoja de cálculo (Figura 2.3). Tabla 2.3 Inspección total media para los planes A y B en función del porcentaje de no conformidades del lote de 1.000 unidades Porcentaje

Plan A

Plan B

0,1%

39,41

51,13

0,2%

58,46

54,37

0,5%

113,48

74,82

1%

198,45

134,96

2%

345,74

301,02

3%

467,08

472,48

4%

566,84

619,54

5%

648,68

734,54

6%

715,70

819,50

7%

770,45

879,83

8%

815,08

921,42

9%

851,39

949,42

10%

880,85

967,90

15,0%

962,02

997,24

20,0%

988,70

999,82

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ATI

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1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0 0,00%

Plan A Plan B

2,00%

4,00%

6,00%

8,00% 10,00% 12,00% 14,00% 16,00% 18,00% 20,00%

Porcentaje no conformidades Figura 2.3 Curvas de la inspección total media (ATI) de los planes A y B

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3. TABLAS DE MUESTREO POR ATRIBUTOS 3.1 Tablas de muestreo Habitualmente, los técnicos seleccionan los planes de muestreo de entre los contenidos en las tablas de muestreo de los manuales de control de la calidad, o en normas como la MIL-STD-105 o la ISO 2859, donde las tablas suelen venir agrupadas en esquemas y sistemas de muestreo. Un esquema de muestreo es un conjunto de planes con reglas para cambiar de unos a otros. Naturalmente, esto sólo tiene sentido cuando se aplica a una serie continua de lotes. Normalmente, un esquema está tabulado por el tamaño del lote y por AQL, LQ o AOQL. Un sistema de muestreo es una colección de esquemas con instrucciones para escoger el más adecuado. El sistema MIL-STD-105 es el más conocido y mejor documentado, pudiendo encontrarse una descripción más o menos resumida de él en casi todos los manuales de control de calidad. Fue desarrollado bajo el patrocinio del Departamento de Defensa de los Estados Unidos, más tarde adoptado en el resto del mundo, y finalmente incorporado a diversas normas internacionales. La primera versión apareció en la norma MIL-STD-105A (1950). La última versión es la MIL-STD-105E (1989). La versión civil equivalente es la ANSI Z1.4, adoptada en 1974 como norma internacional, presentada como norma ISO 2859 y más tarde (1989) como norma ISO 2859-1. En el sistema MIL-STD-105, los planes de muestreo están tabulados por el AQL. Las tablas de Dodge-Romig constituyen uno de los sistemas de muestreo más antiguos. Fueron desarrolladas en los años 30 en los Bell Telephone Laboratories por H. F. Dodge y H. G. Romig, pioneros de la inspección por muestreo. Los planes de estas tablas son planes para inspección con rectificación, simples o dobles, con valores bajos de AOQL. Recientemente, la tendencia se ha desplazado hacia los planes tabulados por la LQ, particularmente en la industria electrónica, donde es necesario trabajar con valores de β muy ajustados cuando se trata de elementos como circuitos integrados. En particular, esta tendencia ha dado lugar a sistemas LQ, compatibles con los esquemas AQL de la MIL-STD-105. El más común es el que propone la norma ISO 2859-2 (y anteriormente la norma británica British Std. 6.001). En ella se ha intentado garantizar al máximo la compatibilidad con el sistema AQL del MIL-STD-105, en el aspecto de que los tamaños de lote y muestra sean los mismos. Las tablas de Dodge-Romig también puede usarse como un sistema LQ. En los sistemas LQ no hay reglas para cambiar de plan, ya que se aplican a lotes aislados.

3.2 Sistema MIL-STD-105 (ISO 2859-1) El sistema MIL-STD-105 es un conjunto de planes, simples, dobles y múltiples, tabulados según el tamaño de lote y AQL, estructurado en la forma que comento más abajo. Se aplica en la recepción de series de lotes fabricados de forma continua, y las curvas características son de tipo B, calculadas con la distribución binomial o la distribución de Poisson (ver Anexo A3). Contiene dos tablas con información sobre valores de LQ a los que corresponderían (aproximadamente) riesgos β del 10 y del 5%. Consta de tres esquemas de muestreo formados, respectivamente, por planes simples, dobles y múltiples. Cada esquema contiene un conjunto de planes de muestreo, agrupados en varias tablas, en las que los planes vienen tabulados por tamaño de lote y AQL. Los planes se han escogido de modo que el riesgo α sea aproximadamente del 5%, aunque el valor de α no se especifica en las tablas. Tampoco tienen en cuenta explícitamente un valor de LQ ni del riesgo β, aunque, para LQ = 5 × AQL, β suele ser pequeño. Además de las tablas mencionadas, las normas MIL-STD-105 e ISO 2859-1 contienen información adicional sobre los planes de las tablas. Conviene insistir en que este sistema es un conjunto de esquemas para ser aplicados a series de lotes que provienen de un mismo proceso productivo, que se puede considerar estable (en estado de

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control estadístico). Al usar este sistema, se elige un esquema (esto es, no un plan fijo, sino un conjunto de planes con unas reglas para pasar de unos a otros) y se aplica el plan que corresponde a cada uno de los sucesivos lotes. Naturalmente, siempre se le puede considerar como una simple recopilación de planes de muestreo y elegir uno. Lo que se debe hacer entonces (siempre, pero con más razón al apartarse de la norma) es examinar la curva característica del plan elegido y evaluar α y β. En el caso de la norma ISO 2589-1, se indica explícitamente que no se puede acreditar que se sigue la norma si no se respetan las reglas allí establecidas. El propósito del sistema es ejercer presión sobre el productor, a través del rechazo de lotes (e incluso mediante la interrupción de la recepción), para que suministre un material con p ≤ AQL. Por otra parte, si p < AQL, el paso a la inspección reducida (ver más abajo) permite rebajar el coste de inspección. Observa que la norma establece unas “reglas de juego'' que deben quedar claras entre el productor y el consumidor. Recuerda también la advertencia hecha anteriormente sobre el hecho de que el uso de un plan de muestreo al que se le ha asociado un determinado AQL no garantiza que los lotes aceptados cumplan p≤ AQL. En el sistema MIL-STD-105 se distingue entre distintos niveles y rigores de inspección. El nivel de inspección se fija en función del coste de inspección, y, en principio, no se cambia a lo largo de la misma. El rigor de inspección se va ajustando en función de los resultados, como se verá más adelante, lo que en la práctica significa cambiar de una tabla a otra. El nivel de inspección determina la relación entre los tamaños del lote y de la muestra, lo que controla la potencia del esquema de muestreo y la probabilidad de rechazar un lote con p > AQL. Hay tres niveles de inspección generales, designados I, II y III, para los que los tamaños de muestra van de menor a mayor, y que corresponden a costes de inspección bajo, estándar y alto, respectivamente. Hay además cuatro niveles de inspección especiales, designados como S-1, S-2, S-3 y S-4, que se adoptan cuando es necesario usar muestras pequeñas y se pueden tolerar riesgos mayores (por ejemplo, en ensayos destructivos). Para escoger un plan de muestreo, la norma la ISO 2859 propone que a menos que se indique lo contrario se utilizará la inspección para usos generales nivel II. En general, es válida la misma regla: cuanto mayor es la muestra, mayor la protección del consumidor, aunque no hay una regla fija que prevea la forma concreta en que esto se produce para cada caso (v. Ejemplo 6). Una vez decidido el nivel de inspección y conocido el tamaño de lote, se consulta una tabla, reproducida parcialmente en la tabla 3.1, para obtener una letra-código de inspección, que se usará después para seleccionar el plan en las tablas de muestreo. Tabla 3.1 Letra-código del tamaño de lote Tamaño de lote 16-25 26-50 51-90 91-150 151-280 281-500 501-1200 1201-3200 3201-10000 10001-35000 35001-150000 150001-500000 >500000

S-1 A A B B B B C C C C D D D

S-2 A B B B C C C D D D E E E

S-3 B B C C D D E E F F G G H

S-4 B C C D E E F G G H J J K

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

I B C D D E F G H J K L M N

II C D E F G H J K L M N P Q

III D E F G H J K L M N P Q R

Módulo 2.Planes de muestreo

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En las tablas del sistema MIL-STD-105 se dan valores de AQL típicos: 0,010, 0,015, 0,025, 0,040, etc., hasta 1000. Estos valores se pueden interpretar de dos formas: como porcentaje de unidades no conformes (sólo si el valor dado es menor o igual que 10), o como número de no conformidades por cada 100 unidades. Una vez fijado el tipo de plan (simple, doble o múltiple), y el nivel de inspección (I, II, etc.), se decide entre usar un plan simple, doble o múltiple, y se elige el plan en una tabla, entrando en ella por tamaño de lote y AQL. Hay tres tablas posibles, correspondientes a los tres rigores de inspección: reducida, normal y rigurosa (o estricta). Una vez fijado el nivel de inspección, el tamaño de muestra es el mismo para la inspección normal y la rigurosa, pero menor para la reducida. La letra-código se entra en la tabla propia del rigor de inspección que corresponde, dando el tamaño de muestra, y entrando el AQL se obtienen Ac y Re. Se comienza con un plan normal y según los resultados obtenidos en las sucesivas inspecciones, se va variando el rigor de inspección. La norma contiene una colección de reglas para variar el rigor de inspección: •

Paso de inspección normal a rigurosa. Cuando dos de cinco lotes consecutivos sean rechazados en inspección normal.



Paso de inspección rigurosa a normal. Cuando se acepten cinco lotes consecutivos en inspección rigurosa.



Paso de inspección normal a reducida. Cuando se aceptan diez lotes consecutivos en inspección normal.



Paso de inspección reducida a normal. Cuando se rechace un lote en inspección reducida.

En las sucesivas inspecciones se va ajustando el rigor de inspección siguiendo estas reglas. Las reglas se completan con la recomendación de interrumpir el suministro, cuando se llegue a una situación en la que se hayan rechazado cinco lotes seguidos. La suspensión debe mantenerse hasta que haya evidencia de la aplicación de medidas destinadas a la mejora de la calidad. En las tablas 3.2, 3.3 y 3.4 se han reproducido parcialmente las tablas de muestreo simples, para inspección normal, reducida y rigurosa, respectivamente. Tabla 3.2 Tabla de muestreo simple para inspección normal Letra código

Tamaño de muestra

0.15 Ac Re

0.25 Ac Re

0.40 Ac Re

0.65 Ac Re

A B C D

2 3 5 8

↓ ↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓ ↓

E F G H

13 20 32 50

↓ ↓ ↓ 01

↓ ↓ 01

↓ 01

J K L M

80 125 200 315

↓ ↓ ↓ ↓ 01 ↑ ↓ 12

↑ ↓ 12 23

↓ 12 23 34

↑ ↓ 12 23 34 56

N P Q R

500 800 1500 2000

23 34 56 78

34 56 78 10 11

56 78 10 11 14 15

78 10 11 14 15 21 22



AQL 1.0 Ac Re

1.5 Ac Re

2.5 Ac Re

4.0 Ac Re

6.5 Ac Re

↓ ↓ ↓ 01

↓ ↓ ↓ ↑

↓ 01

01

↑ ↓ 12

↑ ↓ 12 23

↓ 12 23 34

↑ ↓ 12 23 34 56

23 34 56 78

34 56 78 10 11

56 78 10 11 14 15

78 10 11 14 15 21 22

10 11 14 15 21 22

10 11 14 15 21 22

14 15 21 22

21 22

↑ ↑ ↑ ↑

↑ ↑ ↑ ↑

↓ ↓ ↓ ↓ 01



© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

↑ ↑

↑ ↑ ↑

↑ ↓ 12 23 34 56 78



Gestión de la calidad

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Tabla 3.3 Tabla de muestreo simple para inspección reducida

A B C

Tamaño de muestra 2 2 2

D E F

3 5 8

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓

G H J

13 20 32

↓ ↓ 0 1

↓ 0 1

K L M

50 80 125

↑ ↓ 0 2

N P Q R

200 315 500 800

1 1 2 3

Letra código

0.15 Ac Re

0.25 Ac Re

0.40 Ac Re

0.65 Ac Re

AQL 1.0 Ac Re

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓ 0 1

↓ ↓ 0 1

↓ 0 1

3 4 5 6

1.5 Ac Re

2.5 Ac Re

4.0 Ac Re

↓ ↓ ↓ 0 1

↓ ↓ 0 1

↓ 0 1

↑ ↓ 0 2

↓ 0 2 1 3

↑ ↓ 0 2 1 3 1 4

1 3 1 4 2 5

1 4 2 5 3 6

2 5 3 6 5 8



6.5 Ac Re 0 1

↑ ↓ 0 2

↓ 0 2 1 3

↓ 0 2 1 3

↑ ↓ 0 2 1 3 1 4

↑ ↓ 0 2 1 3 1 4

1 3 1 4 2 5

1 4 2 5 3 6

2 5 3 6 5 8

3 6 5 8 7 10

5 8 7 10 10 13

7 10 10 13

1 2 3 5

2 5 3 6 5 8 7 10

3 6 5 8 7 10 10 13

5 8 7 10 10 13

7 10 10 13

10 13

↑ ↑ ↑ ↑

↑ ↑ ↑ ↑



4 5 6 8





↑ ↑

↑ ↑ ↑



↓ Indica plan de muestreo inferior ↑ indica plan de muestreo superior

Tabla 3.4 Tabla de muestreo simple para inspección rigurosa

A B C

Tamaño de muestra 2 3 5

D E F G H J K L M

8 13 20 32 50 80 125 200 315

Letra código

0.15 Ac Re

0.25 Ac Re

0.40 Ac Re

0.65 Ac Re

AQL 1.0 Ac Re

1.5 Ac Re

2.5 Ac Re

4.0 Ac Re

6.5 Ac Re

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓

↓ ↓ ↓

↓ ↓ 0 1

↓ 0 1

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 0 1

↓ ↓ ↓ ↓ 0 1

↓ ↓ ↓ 0 1

↓ ↓ 0 1

↓ 0 1

↓ ↓ ↓ 0 1

↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19

↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19

↑ ↑ ↑ ↑

↑ ↑ ↑ ↑

↓ ↓ 1 2 2 3

↓ ↓ 1 2 2 3 3 4

↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6

↓ ↓ ↓ 1 2 ↓ N 500 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 P 800 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 Q 1500 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 R 2000 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↓ Indica plan de muestreo inferior ↑ indica plan de muestreo superior

↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↑

↓ ↓ 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19 ↑ ↑ ↑





Salvo para inspección reducida, en los planes simples la diferencia entre el Re y Ac es 1, con lo cual bastaría dar uno de ellos. En inspección reducida, si el número de unidades está comprendido entre el Ac y Re, se acepta el lote, pero se restablece la inspección normal. En cuanto a tamaño de muestra y número de aceptación, los planes para inspección reducida coinciden con los normales del nivel

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Módulo 2.Planes de muestreo

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inferior de inspección, de acuerdo con la filosofía de la norma de rebajar el coste de inspección cuando los resultados son satisfactorios. Por el contrario, los planes para inspección normal y rigurosa tienen el mismo tamaño de muestra dentro del mismo nivel, y el plan para inspección rigurosa asignado a un cierto AQL coincide en muchos casos con el plan normal propuesto para el AQL inferior. Ejemplo 6 Supongamos el tamaño de lote comprendido entre 35.001 y 150.000. Los planes para inspección normal a los niveles de inspección I, II y III, corresponden a las letras-código L, N y P, con tamaños de muestra 200, 500 y 800, respectivamente. En la Tabla 3.5 se pueden ver algunas probabilidades de aceptación, calculadas usando la fórmula binomial para AQL = 0,65% donde la letra código L da n = 200 y Ac = 3, la letra código N, n = 500 y Ac = 7 y la letra código P, n = 800 y Ac = 10.

Tabla 3.5 Probabilidades de aceptación (Ejemplo 6) p

Nivel I

Nivel II

Nivel III

p

Nivel I

Nivel II

Nivel III

0,25%

0,998

1,000

1,000

2,25%

0,339

0,125

0,029

0,50%

0,981

0,996

0,997

2,50%

0,261

0,067

0,010

0,75%

0,935

0,963

0,958

2,75%

0,198

0,034

0,003

1,00%

0,858

0,868

0,817

3,00%

0,147

0,017

0,001

1,25%

0,758

0,710

0,583

3,25%

0,108

0,008

0,000

1,50%

0,647

0,524

0,346

3,50%

0,078

0,004

0,000

1,75%

0,536

0,352

0,173

3,75%

0,056

0,002

0,000

2,00%

0,431

0,217

0,075

4,00%

0,040

0,001

0,000

Nivel I

1 0,9 0,8 0,7 0,6

Nivel II Nivel III

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

Figura 3.1 Curvas características del Ejemplo 6

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

3,50%

4,00%

Gestión de la calidad

72

Ejemplo 7 Supongamos como antes el tamaño de lote comprendido entre 35.001 y 150.000, y tomemos AQL = 0,65% (valor típico de la MIL-STD-105). Si usamos el nivel de inspección II, la letra-código es N, que nos da: •

Inspección normal: n = 500, Ac = 7, Re = 8.



Inspección rigurosa: n = 500, Ac = 5, Re = 6.



Inspección reducida: n = 200, Ac = 3, Re = 6 .

En la inspección reducida, Ac = 3 y Re = 6 indica que el lote se acepta si la muestra (n =200) tiene como máximo 5 no conformidades; en caso de que el número de no conformidades sea de 4 o 5, el siguiente lote se pasa a inspección normal. Obsérvese que el plan para inspección rigurosa de AQL=0,65% coincide con el plan normal correspondiente a AQL = 0,40%. En la tabla 3.6 se dan algunas probabilidades de aceptación, calculadas con la fórmula binomial. Para el plan de inspección reducida se ha realizado el cálculo teniendo en cuenta que un lote se acepta hasta con 5 unidades no conformes. Tabla 3.6 Probabilidades de aceptación (Ejemplo 7) Reducida

Normal

Rigurosa

p

Reducida

Normal

Rigurosa

0,25%

1,000

1,000

0,998

2,25%

0,704

0,125

0,031

0,50%

0,999

0,996

0,958

2,50%

0,616

0,067

0,014

0,75%

0,996

0,963

0,824

2,75%

0,528

0,034

0,006

1,00%

0,984

0,868

0,616

3,00%

0,443

0,017

0,003

1,25%

0,959

0,710

0,405

3,25%

0,365

0,008

0,001

1,50%

0,918

0,524

0,239

3,50%

0,296

0,004

0,000

1,75%

0,859

0,352

0,130

3,75%

0,236

0,002

0,000

2,00%

0,787

0,217

0,065

4,00%

0,186

0,001

0,000

Probabilidad acceptación

p

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,00%

Reducida

Rigurosa Normal

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

3,00%

Porcenteje no conformidades

Figura 3.2 Curvas características del Ejemplo 7

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3,50%

4,00%

Módulo 2.Planes de muestreo

73

3.3 Sistema ISO-2859-2 El sistema ISO 2859-2 se presenta como un sistema de muestreo para lotes aislados. Aparte de presentar una colección de planes de muestreo tabulados por QL, pretende cubrir una serie de situaciones en las que la primera parte de la norma (el sistema MIL-STD-105) se aplica incorrectamente. La más típica de estas situaciones es la de lotes aislados. Se habla de lotes aislados cuando la regla de decisión para aceptar o rechazar un lote se aplica a cada lote independientemente de lo sucedido con los lotes anteriores. El sistema ISO 2859-2 contiene una colección de planes de muestreo, tabulados según QL, de forma que β 0.

Sumando Px desde x = 0 hasta x = Ac se obtiene la probabilidad de aceptación en la inspección por muestreo. Nota: La fórmula de Poisson se utilizaba clásicamente como aproximación de la binomial para n grande y p pequeña (n > 20 y np < 5), haciendo λ = np, pero con los medios de cálculo disponibles actualmente estas aproximaciones han perdido interés.

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A4. CASO PRÁCTICO PRESENTACIÓN DEL CASO: Una empresa dedicada a la fabricación de aparatos de aire acondicionado va a incorporar en un nuevo producto un componente metálico suministrado por un proveedor. No se trata de un proveedor nuevo y el responsable de calidad es consciente de que los lotes suministrados por ese proveedor contienen a veces un porcentaje de unidades no conformes elevado (a veces superior al 10%). El Departamento de Ingeniería ha elaborado un plano para este componente donde se establecen límites de tolerancia para una serie de características dimensionales. Los lotes constarán de 25 cajas de 200 unidades, en total 5000 unidades. El responsable de calidad decide reunir a los responsables de Compras, Producción e Ingeniería y someter a discusión la posibilidad de realizar un control de recepción para estos componentes, por lo menos hasta que los datos recogidos en las sucesivas recepciones permitan confiar en el control de calidad del proveedor. En este control se inspeccionaría cada lote, para decidir aceptarlo o rechazarlo en función del resultado de la inspección. La inspección al 100% parece inviable, y propone inspeccionar solamente una muestra de cada lote. Propone asimismo que la inspección se realice de forma sistemática, de acuerdo con un procedimiento preestablecido y dando a todos los lotes el mismo tratamiento. Considera que se debe evitar la subjetividad de procedimientos basados en la experiencia, en criterios personales o en el “sentido común”, adoptando procedimientos “científicos”, basados en principios de tipo estadístico. A los restantes directivos les parece razonable la propuesta del responsable de Calidad. Sin embargo, al concretar los detalles de cómo se va a llevar a cabo la inspección surgen numerosos interrogantes. La primera cuestión que se plantea se refiere al método a seguir para extraer la muestra. El responsable de Compras sugiere que se extraigan unidades de todas las cajas que componen el lote para que la muestra sea “representativa”, aunque no consigue aclarar lo que eso significa. El responsable de Ingeniería, que ha seguido varios cursos de Estadística, sugiere que la extracción de la muestra debe hacerse de forma “aleatoria”, pero tampoco está claro cómo se consigue la aleatoriedad, ni qué ventajas aporta, sino solamente que al utilizar las fórmulas estadísticas siempre se da por hecho que las muestras son aleatorias. La segunda cuestión hace referencia al número de unidades que hay que inspeccionar de cada lote, es decir, al tamaño de la muestra. No queda claro si es el tamaño de la muestra lo que la hace representativa o es el procedimiento de muestreo, o ambas cosas.

REFLEXIONES: ¿Cómo se debe extraer la muestra? ¿Qué quiere decir que una muestra es aleatoria? ¿Qué se ha de hacer para que lo sea? ¿Es esencial que la muestra sea aleatoria? ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra?

CONTINUACIÓN DEL CASO: Se decide que se consultará una tabla de muestreo para establecer el tamaño de la muestra. Una vez aclarado este punto, habrá que decidir de dónde se extrae la muestra, ya que al estar dividido el lote en cajas, se debe especificar si la muestra se extrae de una o de varias cajas. La primera variante simplifica el problema, pero la segunda garantiza aparentemente que la muestra sea más representativa. Una vez extraída la muestra e inspeccionadas las unidades que la componen, hay que disponer de un criterio para aceptar o rechazar el lote. No está claro si deben tenerse en cuenta los valores numéricos obtenidos para las medidas dimensionales, o sólo si caen dentro de los límites de tolerancia. Si

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Módulo 2.Planes de muestreo

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se decide simplificar y tener en cuenta solamente la conformidad o disconformidad para cada dimensión especificada en el plano, el criterio de aceptación se puede basar en el número de unidades no conformes, contando igual las unidades que no son conformes para una sola característica y las que presentan varias no conformidades, o por el contrario se puede basar en el número global de no conformidades. Se deciden por la primera alternativa. Deberán ahora especificar el número máximo de no conformidades admisible.

REFLEXIONES: ¿Está Vd. de acuerdo con los criterios con los cuales se va a decidir la aceptación o rechazo de un lote? ¿Cuál debe ser el número máximo de disconformidades para aceptar un lote?

CONTINUACIÓN DEL CASO: Tanto el responsable de Calidad como el de Producción disponen de alguna experiencia en la inspección por muestreo, concretamente en el uso de las tablas de la norma MIL-STD-105. En estas experiencias previas, las unidades inspeccionadas se clasificaban en conformes y no conformes según cumplieran o no unos requisitos especificados y conocidos por el proveedor, y la decisión de aceptar o rechazar el lote se tomaba en función del número de unidades no conformes halladas en la muestra, de acuerdo con la tabla de muestreo. Sin embargo, ninguno de los dos tiene una idea muy clara sobre las garantías que proporciona seguir estas tablas. El responsable de Calidad ha oído decir que el sistema MIL-STD-105 está obsoleto y que ya no lo usa casi nadie, aunque no tiene tampoco muy claro si está obsoleto porque las tablas son defectuosas o porque la inspección resulta muy cara. El responsable de Producción está de acuerdo en que la inspección según las tablas MIL-STD-105 representa un coste elevado que sólo puede asumirse con carácter excepcional.

REFLEXIONES: Así pues, ¿es aconsejable usar las tablas MIL-STD-105 o hay otra alternativa basada en principios estadísticos sólidos?

CONTINUACIÓN DEL CASO: En realidad la experiencia con el sistema MIL-STD-105 se limita al uso de una sola tabla, la titulada “Planes simples para inspección normal”, de la que se dispone de fotocopia desde hace bastantes años. No se sabe muy bien qué quiere decir inspección normal, pero parece lógico utilizar la variante “normal” cuando no se tienen las ideas claras. Para aclararlas, se decide consultar la norma completa, que no es difícil de conseguir, ya que hay una norma ISO equivalente, la 2859-1, de fácil adquisición en España. La verdad es que el sistema MILSTD-105 no viene presentado de forma muy pedagógica y la consulta de la norma no aclara mucho las ideas. En primer lugar hay que usar una tabla que da una letra-código, en función del tamaño del lote y del nivel de inspección. Manejando ambas tablas conjuntamente, se ve que la selección del nivel de inspección implica un tamaño de muestra mayor o menor. En experiencias previas siempre se ha mantenido el nivel de inspección II, y así se decide hacerlo en este caso, con lo cual corresponde utilizar la letra-código L. En la tabla de planes de inspección, la letra L da un tamaño de muestra de 200 unidades, el equivalente de una caja, lo que representa mucho trabajo. Esto desanima a nuestros directivos, que no obstante deciden seguir adelante.

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Gestión de la calidad

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REFLEXIONES: ¿No puede reducirse el tamaño de muestra? ¿Qué se pierde en tal caso?

CONTINUACIÓN DEL CASO: Hasta el momento no se ha entendido muy bien lo que se hacía, pero se han hecho las cosas como todo el mundo. Para concluir y seleccionar efectivamente un plan en la tabla, hay que establecer un valor para un parámetro denominado nivel de calidad admisible, que se designa habitualmente como AQL, usando la abreviatura anglosajona. Parece que el AQL debe establecerse en función del perjuicio que representen las unidades no conformes que pueda contener el lote, lo que debería traducirse a un porcentaje máximo admisible de unidades no conformes.

REFLEXIONES: ¿Cómo se establece el valor del AQL y qué garantías proporciona el uso de un AQL determinado?¿Garantiza el sistema MIL-STD-105 que el porcentaje de unidades no conformes en los lotes aceptados no supere el valor del AQL?

CONTINUACIÓN DEL CASO: El responsable de Producción considera que lo máximo que puede aceptarse es un 5% de unidades no conformes e interpreta que se debe hacer AQL = 5. La tabla solamente permite unos cuantos valores de AQL, y el más cercano a 5 es AQL = 4. Si se usa este valor, la tabla da un número de aceptación Ac = 14 y un número de rechazo Re = 15. Esto significa que se aceptará un lote cuando de las 200 unidades inspeccionadas haya, como máximo, 14 no conformes. En este punto de la discusión, el Responsable de Compras recuerda que los lotes vienen divididos en cajas y plantea un problema de orden práctico sobre la ejecución del plan de muestreo. Cuando el lote está dividido en varios cajas, ¿puede repartirse la muestra entre ellas? ¿Hay que repartir entonces el número de aceptación, y se puede aceptar unas cajas y rechazar las otras? Por ejemplo, en nuestro caso una muestra de 200 unidades puede repartirse entre 5 cajas para que sea más “representativa”. ¿Hay que repartir entonces el número de rechazo Re = 15, y rechazar una caja donde se hallen 3 unidades no conformes?

REFLEXIONES: ¿Cree Vd. que tienen sentido estas operaciones con el tamaño de muestra y el número de aceptación cuando un lote esté dividido en varios segmentos?

CONTINUACIÓN DEL CASO: La opinión de los otros tres es contraria a complicar más el asunto. El responsable de Calidad argumenta que en la literatura de su especialidad se habla sólo de aceptar y rechazar lotes. Si se quiere aplicar el sistema a las cajas lo que debería hacerse, según él, es usar un tamaño de lote 200, lo que encarecería mucho el coste de la inspección. El responsable de Compras acepta el argumento, pero no ve claro que se rechace un lote porque una caja sea peor que las otras o vivecersa. El responsable de Calidad considera que no debe haber cajas buenas y cajas malas, si el proveedor tiene un

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Módulo 2.Planes de muestreo

81

proceso “en estado de control”. El de Compras considera que ésta es una suposición muy cándida. Finalmente, se decide inspeccionar sólo una de las cajas, entera.

REFLEXIONES: ¿Está Vd. de acuerdo con esta decisión?

CONTINUACIÓN DEL CASO: El responsable de Producción, que trabajaba antes en una empresa donde se utilizaban estos planes de muestreo, recuerda una anécdota inquietante. En su anterior empresa utilizaban estos planes por partida doble. En primer lugar, el personal de Producción inspeccionaba cada lote dentro del control de proceso. Por otro lado, al entrar en el almacén de producto acabado, el personal de Calidad inspeccionaba algunos lotes. El resultado era que la segunda inspección rechazaba a veces lotes aceptados en la primera, lo que provocaba el consiguiente malestar, además del coste de una inspección 100% para separar las unidades no conformes del lote rechazado. Sin embargo, las muestras utilizadas en la primera inspección, conservadas por el Departamento de Producción, habían sido inspeccionadas correctamente.

REFLEXIONES: ¿Por qué pasa esto? ¿No hay forma de evitarlo? ¿No hay garantías de que al repetir una inspección realizada con un plan del MIL-STD-105 el resultado va a ser el mismo?

CONTINUACIÓN DEL CASO: El responsable de Ingeniería opina que tal cosa es posible si en ambas inspecciones las muestras son distintas, del mismo modo que dos encuestas distintas no dan exactamente los mismos resultados, aunque está de acuerdo en que la posibilidad de que el proveedor realice el mismo tipo de inspección y su resultado sea distinto complica el asunto. Se decide finalmente seguir con el plan de inspección propuesto por la norma, y ver más adelante si estas complicaciones se presentan.

REFLEXIÓN FINAL: ¿Son correctos los argumentos que han conducido a nuestros directivos a adoptar este plan de inspección? ¿Hay un procedimiento mejor?

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Gestión de la calidad

82

A5. EJEMPLOS NUMÉRICOS 1. Sea un lote de N=30 unidades que contiene d=5 no conformes. Se toma una muestra aleatoria de n=10 unidades del lote. Sea X la variable aleatoria “número de no conformidades en una muestra de tamaño n=10 de un lote de tamaño N=30 que contiene d=5 no conformes”. La variable aleatoria X puede tomar los valores 0,1,2,3,4 y 5 donde X se distribuye según la distribución hipergeométrica H(N=30;d=5;n=10). La distribución de probabilidades es:

P(X = x) = Px =

 d  N − d      x  n − x  , N    n

x = 1, 2, 3, 4, 5

a. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga x=2 no conformidades? Que la muestra contenga 2 no conformidades es el suceso X=2, por lo que la probabilidad es:

P( X = 2) =

Para el cálculo puede utilizarse =DISTR.HIPERGEOM(2;10;5;30).

 5  30 − 5      2  10 − 2   30     10  la

= 0,35999

función

de

la

hoja

de

cálculo

Excel

b. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga como máximo x=1 no conformidades? Que la muestra contenga como máximo 1 no conformidad es la unión de dos sucesos independientes X=0 y X=1, por lo que la probabilidad es la suma:

P(X ≤ 1) = P(X=0) + (X=1) =

 5  25   5  25         0  10  +  1  9   30   30       10   10 

= 0,10879+ 0,33999= 0,44878

Para el cálculo puede utilizarse la función de la =DISTR.HIPERGEOM(0;10;5;30)+ DISTR.HIPERGEOM(1;10;5;30).

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hoja

de

cálculo

Excel

Módulo 2.Planes de muestreo

83

2. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote de tamaño N=500 con 25 no conformidades si utilizamos el plan de muestreo n=16 Ac=1? Sea X la variable aleatoria “número de no conformidades en una muestra de tamaño n=16”. Como n×10 3. Cuando p es pequeña, esto encarece el control por atributos y puede hacerlo inviable.

5.2. Control de las no conformidades Consideramos ahora la situación en la cual el seguimiento de un proceso se realiza a través del número de no conformidades observado en muestras de producto inspeccionadas con frecuencia prefijada. Estas muestras pueden ser conjuntos de unidades, en el caso del hardware, o segmentos de magnitud constante, en materiales continuos, donde las “unidades” son artificiales (por ejemplo, un metro de cable). En esta variante del control de procesos se puede escoger entre usar, como estadístico para la elaboración de los gráficos, el número de no conformidades por muestra (de área, de longitud, etc.), que es lo más directo cuando todas las muestras tienen el mismo tamaño, o el número de no conformidades por unidad, que tiene sentido aun cuando las muestras no tienen el mismo tamaño. En el primer caso obtendremos un gráfico c, y en el segundo un gráfico u. Ambas variantes se basan en el mismo modelo estadístico, la distribución de Poisson (v. Apéndice A6). Supongamos que se inspeccionan muestras de n unidades (n puede ser constante o variable) y se cuentan las no conformidades en cada muestra. Podemos considerar que el proceso está en estado de control estadístico cuando: •

El número medio c de no conformidades por muestra es estable.



Las no conformidades aparecen independientemente unas de otras.

Entonces el número de no conformidades por muestra tiene una distribución de Poisson de parámetro c. La media y la varianza de esta distribución son iguales a c. (v. Anexo A6). Supongamos en primer lugar que todas las muestras tienen el mismo tamaño. Entonces el número de no conformidades por muestra sigue una distribución de Poisson, y se obtiene un valor estimado de la media (que coincide con la varianza) como sigue. Se cuenta el número de no conformidades ci en cada muestra y el valor estimado de µ es c =

c1 + L + ck k

donde k es el número de muestras. Para un producto formado por “unidades”' podemos estar interesados en el seguimiento del número de no conformidades por unidad, ui = ci/n. Entonces, si las muestras tienen n unidades, basta dividir por n. Así, el valor estimado del número medio de no conformidades por unidad es

µˆ = u =

u1 + L + uk c1 + L + ck = k nk

siendo ui=ci/n el número de no conformidades por unidad en la muestra i-ésima.

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Módulo 3. Control estadístico de proceso

133

Supongamos ahora que el número de unidades por muestra no es constante, y que n1, n2, …, nk son los respectivos tamaños de muestra. En esta situación no tiene sentido el seguimiento del número de no conformidades por muestra, sino que el control se aplica al número de no conformidades por unidad, ui. El valor estimado de la media es entonces

µˆ = u =

c1 + L + c k n1 + L + nk

Ejemplo 4 (continuación) Para el control del proceso de tejido se inspeccionan 20 piezas de varios metros cada una que, por razones de organización, tienen distinta longitud. Los resultados de la inspección se presentan en la tabla 5.2. Tabla 5.2 Defectos hallados en la inspección muestra

Longitud

defectos

Defectos / metro

1

13

4

0,31

2

15

3

0,20

3

12

5

0,42

4

16

2

0,13

5

9

1

0,11

6

16

4

0,25

7

12

3

0,25

8

16

4

0,25

9

8

2

0,25

10

18

5

0,28

11

13

3

0,23

12

14

3

0,21

13

16

6

0,38

14

15

5

0,33

15

14

1

0,07

16

13

3

0,23

17

14

2

0,14

18

15

5

0,33

19

20

7

0,35

20

14

2

0,14

Como las muestras tienen distinta longitud, se debe usar un gráfico u. El valor estimado del número medio de defectos por metro es u=

4 + 3 +L + 2 = 0,247. 13 + 15 + L + 14

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134

0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 5.2 Gráfico u para los datos de la Tabla 5.2

Para controlar el número de no conformidades por muestra se usa un gráfico c. La línea central se sitúa en el valor c , y los límites de control se obtienen sumando y restando 3σˆ,

c ±3 c Para controlar el número de no conformidades por unidad se usa un gráfico u. El valor estimado de σ es

σˆ =

u n

La línea central se sitúa en el valor u , y los límites de control se obtienen sumando y restando 3σˆ,

u ±3

u n

Si el número de unidades por muestra no es constante, el gráfico c no tiene sentido, y sólo puede usarse el gráfico u. Entonces, la línea central se sitúa en u , y los límites de control para la muestra iésima son

u ±3

u ni

Como para el gráfico p, si los ni no son muy distintos, puede usarse un valor medio, n , para simplificar, y así tener los mismos límites a lo largo de todo el gráfico. NOTA. Como en la sección anterior, los límites de control están basados en la regla µ ± 3σ.

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135

Ejemplo 4 (continuación) El tamaño medio de muestra es n = 14,50. Con este valor medio, los límites de control son UCL = 0,247 + 3

0,247 = 0,644 14,15

LCL = 0,247 − 3

0,247 = −0,149 14,15

El límite inferior es negativo y se ignora. El gráfico correspondiente es la figura 5.2. No hay puntos fuera de control. Para mostrar cómo puede afectar a los límites de control el tomar un tamaño medio de muestra, calculamos el límite superior para la muestra mayor y para la menor. La mayor tiene 20 metros, y por tanto, UCL = 0,247 + 3

0,247 = 0,581 20

UCL = 0,247 + 3

0,247 = 0,775 8

y la menor 8 metros, con lo que

La diferencia entre ambos límites hace recomendable una cierta precaución al usar este tipo de aproximaciones.

5.4. Control del número de deméritos Consideremos finalmente el caso de un producto que puede presentar varias clases de no conformidad, de distinta importancia. Puede ser interesante en esta situación usar un método que tenga en cuenta la diferente consideración que nos merecen los distintas clases de no conformidad, tal como comentamos en el capítulo 2. Se asigna un número de deméritos a cada clase, y el número de deméritos de una muestra es la suma de los productos del número de no conformidades de cada clase por el número de deméritos correspondiente a esa clase. Se puede realizar el seguimiento del número de deméritos por muestra en un gráfico de control, que se denomina gráfico D. Consideremos, para simplificar, un producto que pueda presentar cuatro clases de disconformidad. Atribuimos a cada clase un número de deméritos w, que normalmente será un número entero positivo. Si una muestra presenta c1, c2, c3 y c4 no conformidades de cada clase, respectivamente, el número de deméritos de esa muestra será D = w1c1 + w2c2 + w3c3 + w4c4 Ahora D ya no tiene distribución de Poisson, como en los gráficos c, y no podemos usar el mismo valor estimado para la media y la varianza. La media de D se estima por la media de los números de deméritos de las sucesivas muestras,

µˆ = D = w1c1 + w 2c2 + w 3 c3 + w 4 c4

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136

Si se puede asumir que la aparición de un tipo de disconformidad es independiente de la aparición de los restantes tipos, la desviación típica de D puede estimarse por

σˆ = w12 c1 + w 22c2 + w 32 c3 + w 42 c4 La línea central se sitúa en D y los límites de control se obtienen sumando y restando 3σˆ, D ± 3σˆ Todo esto se aplica a un gráfico de deméritos que viene a ser el homólogo de un gráfico c, es decir, al gráfico del número de deméritos por muestra. Para un producto formado por “unidades”, se puede considerar el número de deméritos por unidad,

Du =

D = w1u1 + w 2u2 + w 3u3 + w 4u4 n

La línea central para el gráfico se obtiene haciendo la media de los números de deméritos para las sucesivas muestras y los límites de control se calculan como en el caso anterior.

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137

A6. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD A6.1 Discusión general Todo proceso presenta una variabilidad, que se pone de manifiesto en las variaciones que se observan a lo largo del tiempo en los indicadores cuyo seguimiento se realiza en el control estadístico de proceso. El lenguaje estadístico que introducimos en este apéndice es útil para evaluar esa variabilidad. Una hipótesis de trabajo habitual de la estadística consiste en suponer que el problema que se quiere tratar puede describirse en términos de un ”modelo” teórico. El modelo cubre todas las situaciones posibles para el problema, y entonces cada situación particular puede caracterizarse por los valores de unos parámetros. Identificando los valores de los parámetros podemos prever, en términos estadísticos, las variaciones de un indicador ligado al problema que se considera. Presentaremos aquí tres modelos, el normal, el binomial y el de Poisson. Conocer el valor de los parámetros estadísticos es fundamental para poder prever con qué frecuencia los valores de un indicador estarán dentro de un cierto intervalo, y poder, en consecuencia, decidir si un proceso es capaz. Un paso previo esencial es asegurar la regularidad estadística del proceso, es decir, la estabilidad de los parámetros. Si no puede suponerse que los valores actuales de los parámetros estadísticos continuarán siendo válidos, no tiene sentido hacer predicciones basadas en esos valores. Por probabilidad de un suceso se entiende la expectativa de la proporción de casos en que se obtiene dicho suceso cuando el número de experiencias realizadas sea grande. Cuanto mayor sea el número de experiencias, mejor será la aproximación de la proporción observada a esta expectativa. Podemos obtener una aproximación de la probabilidad de un fenómeno realizando un número elevado de experiencias y calculando la proporción de experiencias en las que se da el fenómeno. Diremos entonces que esa proporción es un valor estimado de la probabilidad. Si, por ejemplo, inspeccionamos 1000 unidades de un producto, resultando 20 defectuosas, el valor 0,02 es una estimación de la probabilidad de que, al escoger al azar una unidad de ese producto, obtengamos una unidad defectuosa. No obstante, las probabilidades no siempre se estiman directamente a partir de proporciones observadas, sino mediante fórmulas que se deducen matemáticamente de algún modelo, cuya validez se asume, implícita o explícitamente. Por ejemplo, en el control por variables, las probabilidades se calculan a partir de los valores de la media y la desviación típica, asumiendo la validez de la distribución normal, que presentaremos en el apartado siguiente. Debe entenderse que, al proceder de este modo, los métodos sólo son exactos para aquellos casos en los que las hipótesis estadísticas implícitas son completamente válidas, lo que en la práctica no es verdad nunca. Por consiguiente, las predicciones que se hacen a partir del tratamiento estadístico de los datos son sólo aproximaciones, tanto mejores cuanto mayor sea la adecuación entre la realidad y las hipótesis asumidas en los métodos empleados. Un concepto importante, ligado a la probabilidad, es el de independencia estadística. Se dice que dos sucesos son estadísticamente independientes cuando el conocimiento de que uno de ellos se da no modifica la probabilidad de que se dé el otro. La independencia es una de las nociones básicas de la Estadística y su importancia radica en el hecho de que, en general, la mayoría de los métodos clásicos de la estadística asumen la independencia de las observaciones. Esta hipótesis, implícita en algunas de las fórmulas de los gráficos de control, no siempre se tiene en cuenta. En general, la hipótesis de la independencia de las observaciones supone que éstas se hacen de forma que los resultados de unas no modifican las expectativas en las otras. Aunque ambas cosas no sean exactamente lo mismo, se dice, cuando no hay independencia, que las observaciones están correlacionadas.

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138

A6.2 Distribuciones continuas En el control por variables se realizan mediciones de características que pueden variar de forma continua. No tiene sentido, entonces, considerar la probabilidad de que esa característica tome un valor determinado, sino que se consideran probabilidades de intervalos (por ejemplo, la probabilidad de que el grosor de las hojas de acero del ejemplo 1 esté comprendido entre los límites de tolerancia 598 y 602 µm). Estas probabilidades se calculan habitualmente a partir de distribuciones de probabilidad. Para una variable continua, la distribución se materializa en una curva, llamada curva de densidad de probabilidad o, más brevemente, curva de probabilidad. La curva de probabilidad de una variable continua X permite calcular probabilidades del siguiente modo: la probabilidad de que el valor de X esté comprendido entre dos valores dados x1 y x2 (x1 < X < x2) es igual al área delimitada por el eje x, la curva de probabilidad y las verticales x = x1 y x = x2 (v. Figura A6.1). Esto implica, en particular, que la probabilidad sea mayor en los intervalos sobre los cuales la curva de probabilidad esté más separada del eje x. De este modo, una simple ojeada a la curva de probabilidad permite saber en qué intervalos la probabilidad de hallar el valor de X es mayor.

Figura A6.1 Curva de probabilidad

La curva de probabilidad puede darse también a través de su ecuación, que es una expresión del tipo y = f(x), donde f es una función matemática. Entonces el área entre x1 y x2 se puede calcular integrando f, Prob( x1 < X < x2 ) =

x2

∫ f(x)

dx.

x1

La media de una variable continua se define por

µ=

+∞

∫x

f ( x ) dx

−∞

µ es un parámetro asociado al modelo. Cuando se asume la validez de una determinada distribución, se supone que el valor de µ es desconocido, pero que se puede obtener un valor estimado a partir

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Módulo 3. Control estadístico de proceso

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de los resultados de las observaciones de la variable X. En particular, el estadístico x da un valor estimado de µ. De ahí que se use la misma palabra para designar ambas cosas. Debe entenderse, sin embargo, que µ es un valor teórico constante (y desconocido) y x un valor experimental que varía de una experiencia a otra. Puede demostrarse matemáticamente que µ es el límite de x cuando el número de observaciones tiende a infinito, con lo cual puede interpretarse como la expectativa del valor medio que obtendríamos si el número de observaciones fuese muy grande. Otro parámetro del modelo es la varianza, que se define por

σ2 =

+∞

∫ (x − µ )

2

f ( x ) dx

−∞

La desviación estándar σ es la raíz cuadrada de la varianza. Algunas distribuciones, como la normal, que presentamos en el apartado siguiente, quedan determinados por los valores de µ y σ. Puede hacerse un comentario similar al del párrafo anterior respecto a la relación entre el parámetro σ y el estadístico s, con un añadido, que s solamente da un valor estimado de σ cuando las observaciones son independientes.

A6.3 Distribuciones discretas En el control por atributos se manejan datos que resultan de contar las apariciones de un cierto fenómeno (por ejemplo, el número de unidades no conformes en una muestra extraída de un lote para la inspección final). Si designamos por X el número de veces que aparece ese fenómeno en una inspección, X es una variable cuyos valores son 0, 1, 2, …, pero X no puede tomar, por ejemplo, ningún valor comprendido entre 1 y 2. La curva de probabilidad no tiene sentido, sino que se utiliza una distribución de probabilidad discreta, que asigna a cada valor su probabilidad. En general, si designamos por x1, x2, …, xi, … los valores de X, podemos asociar a cada uno de ellos una probabilidad pi = Prob(X = xi). La media se define entonces por

µ = p1x1 + p2 x2 + L + pi xi + L y la varianza por

σ 2 = p1 ( x1 − µ ) + p2 ( x2 − µ ) + L + pi ( xi − µ ) + L 2

2

2

La interpretación de µ y σ es análoga a la que tienen en las distribuciones continuas. Ejemplo 2 (continuación) Supongamos que el servicio de atención al cliente responde el 18% de las llamadas después de la tercera señal y que la hora, la duración y el número de señales antes de que la llamada sea contestada quedan registrados por el sistema informático de la empresa. Podemos seleccionar aleatoriamente una muestra de 10 llamadas y ver cuántas han sido respondidas después de la tercera señal. Si designamos por X el número de llamadas donde eso sucede, los valores posibles de X son 0, 1, 2, …, 10. Cada valor de X tiene una probabilidad asociada que puede calcularse con la distribución binomial que veremos más adelante. En la tabla A6.1 pueden verse estas probabilidades, junto a los valores de los parámetros µ y σ que resultan de aplicar las expresiones que hemos usado para definirlos.

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140

TABLA A6.1 Probabilidades en un modelo binomial con n=10 y p=0,18 X

P(X=x)

0

0,1374

1

0,3017

2

0,2980

3

0,1745

4

0,0670

5

0,0177

6

0,0032

7

0,0004

8

0,0000

9

0,0000

10

0,0000

10

Media = ∑ x × P ( X = x ) =1,8 X =0

Desviación estándar =

10

∑ ( x − 1,8)

2

× P ( X = x ) =1,21149

X =0

A6.4 Distribución normal El modelo habitual del control por variables y el más usado en general en la estadística es la distribución normal. Otras distribuciones de interés en el control de la calidad como la exponencial o la de Weibull, de gran importancia en la fiabilidad industrial, no se tratan en estas notas. En la distribución normal, la curva de probabilidad viene dada por y=

 ( x − µ )2 exp  −  2σ 2 2πσ  1

   

donde µ y σ son los parámetros del modelo, π designa el número pi de las Matemáticas, y exp es la función exponencial. Puede demostrarse matemáticamente que, al aplicar las fórmulas que hemos dado al definir la media y la desviación estándar se obtienen precisamente los valores µ y σ que aparecen en la expresión de f(x). De ahí que hayamos usado directamente esos símbolos para los parámetros. En las figuras A6.2 y A6.3 pueden verse curvas normales con distintos valores de µ y σ.

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141

Figura A6.2 Comparación de curvas normales con distinto valor de µ e igual σ

Figura A6.3 Comparación de curvas normales con distintos valor de σ e igual µ

Conociendo los parámetros µ y σ de una distribución normal, se puede hallar la probabilidad de cualquier intervalo. Para ello no hace falta calcular una integral, ya que pueden usarse las tablas de la distribución normal de los libros de Estadística o medios electrónicos de cálculo (por ejemplo, la función DISTR.NORM de Excel). Ejemplo 1 (continuación) Si tomamos como valor de µ la media de los datos de la tabla 2.1, x = 599,545 micras, y como valor de σ la desviación estándar s = 0,619299 micras, podemos calcular la probabilidad de que el grosor de una hoja de acero, extraída al azar de la producción, esté comprendido entre los límites de tole-

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Gestión de la calidad

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rancia de 598 y 602 micras. Este cálculo es bastante sencillo si se dispone de una calculadora que dé probabilidades asociadas a la distribución normal, o de una hoja de cálculo (en Excel esta probabilidad es igual a la diferencia entre los valores de la función DISTR.NORM en 598 y 602). En este caso, se obtiene

Prob(598 < X < 602) = Prob ( X < 602 ) − Prob ( X < 598 ) = 0,999963 − 0,006302 = 0,99361. No obstante, estos cálculos son poco frecuentes en este contexto, y en la práctica el uso de la distribución normal en el control de la calidad se limita, casi exclusivamente, al manejo de unos pocos valores. En estas notas nos limitaremos a los intervalos µ ± σ, µ ± 2σ y µ ± 3σ,

Prob ( µ - σ < X < µ + σ ) = 0,6826 Prob ( µ - 2σ < X < µ + 2σ ) = 0,9544 Prob ( µ - 3σ < X < µ + 3σ ) = 0,9973 En particular, la última de estas expresiones significa que el 99,73% del área comprendida bajo la curva normal corresponde a los valores cuya distancia a µ es inferior a 3σ. Una consecuencia de este esquema es que, en la práctica, para una variable con distribución normal no se hallan más que muy raramente valores fuera del intervalo µ ± 3σ. Este es, pues, un intervalo “natural” del cual no debe salir X, a menos que cambien los valores de los parámetros. Este hecho se utiliza para calcular índices de capacidad (v. Capítulo 3) y límites de control (v. Capítulos 4 y 5). Supongamos que X es una variable con distribución normal de media µ y desviación estándar σ. designamos por X la media de n observaciones independientes de X. Por ejemplo, en el Ejemplo 1, si X es el grosor de una hoja de acero, X sería el grosor medio de una muestra de cinco unidades. Los valores de la columna de medias en la tabla 2.1 son las observaciones de la variable X . Un teorema clásico de la estadística asegura que X tiene distribución normal de media µ y desviación estándar σ/√n. Este resultado no hace sino cuantificar el hecho de que las fluctuaciones estadísticas de la media de n observaciones son de menor magnitud cuanto mayor es n. Usando esto podemos calcular probabilidades para X como hicimos para X, sin más que corregir el valor de la desviación estándar, cambiando σ por σ/√n. Por ejemplo,  σ σ  Prob  µ − 3 < X < µ +3  = 0,9973 n n  Si X no tiene distribución normal, puede asegurarse aún que la media de X es µ, y su desviación estándar σ/√n, aunque no que la distribución normal sea válida. Sin embargo, un teorema clásico de la estadística, el teorema central del límite, asegura que la curva de probabilidad de la media se aproxima a la normal cuando n es grande. Por consiguiente, aunque el número de observaciones que se promedien sea pequeño, puede esperarse, razonablemente, que la distribución normal sea una aproximación mejor para X que para X. La distribución normal se viene usando regularmente desde que fuera introducida por C.F. Gauss (de ahí viene el nombre de distribución gaussiana que se le da a veces) hace aproximadamente 200 años para el estudio de los errores de ciertas medidas astronómicas. Ello es debido, aparte de sus propiedades matemáticas, al hecho de que tiene una curva de probabilidad simétrica, de forma acampanada, lo que hace que proporcione una aproximación satisfactoria para las variables que intervienen en diversas situaciones. Eso no quiere decir que otras distribuciones cuya curva de probabilidad sea parecida no proporcionen aproximaciones igualmente buenas a situaciones en los que se usa la normal. Pero debido a las propiedades de la normal, se usa siempre que no haya razones de peso en

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Módulo 3. Control estadístico de proceso

143

contra. Por otro lado, no hay que precipitarse en descartar la distribución normal, aunque los primeros datos muestren divergencias importantes con la curva normal, porque a veces estas divergencias se deben a la inestabilidad de los parámetros estadísticos de la variable de la que se han obtenido los datos. Hemos dado, para la distribución normal, las probabilidades de distintos intervalos. Estas probabilidades no son exactamente válidas para otras distribuciones. ¿Invalida esto los métodos del control por variables, que están basados en la normal? La respuesta es que la desviación respecto a la normal afecta a unos métodos más que a otros, por lo que la cuestión es sólo importante en algunas situaciones especiales. La cuestión central, en lo que concierne al control de proceso, no es si la distribución normal es o no es la mejor descripción de la variabilidad de un proceso, sino si los límites µ ± 3σ definen un intervalo donde se halle aproximadamente el 99,73% de las observaciones que puedan hacerse. Los problemas se presentarán, pues, cuando el intervalo sea “demasiado estrecho” y los valores obtenidos se escapen, por la izquierda o por la derecha, con mayor frecuencia de la prevista por el modelo normal, o cuando sea “demasiado ancho” y los valores observados sólo ocupen una parte del intervalo.

A6.5 Distribución Binomial y Poisson Consideremos ahora el problema siguiente: se hacen n experiencias independientes en las que puede ocurrir un cierto suceso D, siempre con la misma probabilidad p. Por ejemplo, se extrae una muestra de n unidades de un producto de un lote homogéneo que contiene un número de unidades mucho mayor que n (para que se pueda admitir que las extracciones son independientes) y se observa la aparición de un cierto defecto que se produce, como término medio, en una fracción p de la producción. Sea X el número de veces que ocurre D en n experiencias. Entonces los valores posibles de X son 0, 1, 2, …, n. Puede demostrarse, mediante un argumento de tipo combinatorio, que las probabilidades de estos valores vienen dadas por la distribución binomial, n n−x Px = Prob ( X = x ) =   p x (1 − p ) x = 0,1,2,K, n. x   Esta situación se expresa diciendo que X tiene una distribución binomial de parámetros n y p. La media y la desviación estándar se pueden obtener en función de estos parámetros mediante las fórmulas

µ = np, σ = np(1 − p ) Sin hacer cálculos, el valor de µ puede preverse por intuición: si la proporción de casos en los que se obtiene un cierto fenómeno es p, y se realizan n experiencias, el número medio de experiencias en las que se obtiene ese fenómeno debe ser np. En cambio, el valor de σ no se explica por un razonamiento tan sencillo. Es interesante tener presentes las condiciones en las que es válido el uso del modelo binomial, que podemos resumir en: •

Que existan dos alternativas posibles para cada experiencia, por ejemplo, conforme o no conforme.



Que la probabilidad p sea la misma en cada experiencia.



Que las experiencias sean independientes.

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Ejemplo 2 (continuación) Las probabilidades de la tabla A6.1 se pueden obtener mediante la fórmula binomial. Por ejemplo,  10  5 5 P5 = Prob ( X = 5 ) =   ( 0,18 ) ( 0,82 ) = 0,0177 5 Se pueden comprobar, asimismo, los valores de la media y la desviación estándar,

µ = 0,18 × 10 = 1,8; σ = 10 × 0,18 × 0,82 = 1,2149 NOTA. El cálculo de las probabilidades con la fórmula binomial puede resultar muy tedioso si se hace a mano, pero una hoja de cálculo permite obtenerlas sin mucho trabajo. De hecho, la tabla A6.1 se ha construido en una hoja Excel, usando la función DISTR.BINOM. Aunque la distribución de Poisson tiene muchas aplicaciones, nos limitaremos aquí a una presentación breve, aunque suficiente para el uso que haremos de este modelo. Consideramos la variable X igual al número de veces que aparece un cierto fenómeno esporádico en una unidad de tiempo o de espacio y asumimos la validez de las condiciones siguientes: •

El número medio c de veces que el fenómeno aparece por unidad es fijo.



El hecho de que el fenómeno aparezca en un momento o lugar concreto es independiente del hecho de que lo haga en otro.



No hay límite teórico al número posible de apariciones por unidad del fenómeno considerado.

En estas condiciones, diremos que X tiene una distribución de Poisson de parámetro c. La probabilidad de que el fenómeno considerado ocurra k veces se calcula con la fórmula

Pk

= Prob ( X = k ) = e−c

ck ; k = 0,1,2,… k!

La distribución de Poisson tiene un solo parámetro c, y la media y la varianza coinciden precisamente con ese parámetro,

µ = σ2 = c En general, no es cierto que la media y la varianza de una variable coincidan, y esta igualdad es una propiedad muy especial de la distribución de Poisson, muy interesante en las aplicaciones. El parámetro c se estima a partir del número medio de apariciones del fenómeno observadas experimentalmente. Ejemplo 4 (continuación) Como resultado de la inspección de muestras extraídas de la producción, se ha obtenido una aproximación del número medio de defectos por metro, c = 0,247. Si inspeccionamos una pieza de un metro extraída de forma aleatoria de la producción, el número de defectos X puede tomar los valores 0, 1, 2, etc., cuyas probabilidades se pueden calcular con la fórmula de Poisson. Los resultados se pueden ver en la tabla A6.2, donde se incluyen los valores de la media y la desviación estándar.

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Tabla A6 Probabilidades en un modelo de Poisson X

P(X=x)

0

0,7811

1

0,1929

2

0,0238

3

0,0020

4

0,0001

5

0,0000

6

0,0000



Media = ∑ x × P ( X = x ) =0,247 X =0

Desviación estándar



∑ ( x − 0,247)

2

× P ( X = x ) = 0,247 =0,497

X =0

A7. CASO PRÁCTICO 1 PRESENTACIÓN DEL CASO: Un empresa, que forma parte de una multinacional cuya actividad gira en torno al caucho y sus derivados, suministra componentes de freno a varios clientes del sector de automoción. Como la mayoría de las empresas proveedoras del sector, aplica desde hace años los métodos SPC, impuestos por los fabricantes de automóviles. El responsable de Producción no está de acuerdo con los métodos aplicados y decide exponerle sus objeciones al responsable de Calidad. Este no tiene inconveniente en revisar los métodos empleados, pero le recuerda que los métodos SPC que se usan son completamente estándar y han sido impuestos por los clientes, por lo que pocas variantes pueden hacerse. Acuerdan discutir las cuestiones planteadas por el responsable de Producción en un grupo de trabajo que formarán ellos dos junto al responsable de Ventas, muy sensibilizado respecto a cualquier tema que pueda afectar a la relación con los clientes, y el responsable de Ingeniería. El responsable de Producción acaba de realizar un curso de Control Estadístico de Proceso, por recomendación del responsable de Calidad, y algunas cosas que ha aprendido en este curso no acaban de cuadrar con lo que ve en la planta. Empieza por exponer sus reservas sobre la forma en que se realiza el control en la última operación del proceso, la de rectificado. Una de las características controladas en esta operación es el diámetro exterior de las piezas, y el control se lleva a cabo mediante gráficos SPC que trazan a mano los operarios, en tiempo real. El procedimiento para elaborar los gráficos es el siguiente. Cada 4 horas se inspeccionan 5 unidades, se mide el diámetro de cada una, y se calculan la media x y el recorrido R. Con las medias se traza un gráfico X y con los recorridos un gráfico R. Como los turnos son de 8 horas, se hace una inspección al empezar el turno y otra a medio turno, con lo que los datos recogidos en un día normal dan lugar a 6 puntos en cada uno de los gráficos. Normalmente, el mismo gráfico se mantiene toda la semana (de lunes a viernes), con lo que, si no ha habido cambio de producto, el gráfico puede llegar a tener 30 puntos. En ambos gráficos se trazan al empezar unas líneas horizontales que correspon-

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den a un valor medio y a los límites de control. Cuando un punto cae más allá de los límites, se debe ajustar la máquina rectificadora. Tanto la línea central como los límites de control se dibujan a partir de valores obtenidos mediante cálculos realizados con los datos que se usaron para trazar el anterior par de gráficos. En la tabla A7.1 puede verse una serie (semanal) de datos, relativos a un producto cuyos límites de tolerancia para el diámetro exterior son 39,10 ± 0,10 mm. La tabla se ha preparado en una plantilla Excel, lo que permite obtener automáticamente las medias, los recorridos y los límites para el siguiente gráfico. Tabla A7. 1 Datos para los gráficos SPC (Caso práctico 1)

39.07 39.09 39.15 39.06 39.10 39.08 39.13 39.06 39.08 39.07 39.09 39.13 39.07 39.04 39.07 39.09 39.08 39.04 39.13 39.07 39.13 39.09 39.10 39.08 39.11 39.09 39.11 39.16 39.07 39.17

39.08 39.15 39.18 39.09 39.12 39.10 39.07 39.12 39.11 39.07 39.09 39.07 39.06 39.07 39.11 39.14 39.12 39.07 39.09 39.02 39.11 39.10 39.06 39.14 39.12 39.18 39.07 39.07 39.15 39.11

Observaciones 39.16 39.12 39.11 39.11 39.10 39.11 39.12 39.10 39.13 39.11 39.11 39.11 39.07 39.06 39.07 39.10 39.11 39.10 39.06 39.06 39.11 39.11 39.08 39.06 39.06 39.09 39.08 39.03 39.13 39.12

39.06 39.12 39.10 39.11 39.10 39.14 39.13 39.10 39.10 39.05 39.07 39.10 39.10 39.14 39.07 39.07 39.12 39.12 39.08 39.10 39.11 39.14 39.09 39.12 39.08 39.07 39.11 39.09 39.12 39.15

39.20 39.09 39.10 39.02 39.14 39.16 39.11 39.06 39.13 39.13 39.17 39.17 39.10 39.08 39.10 39.05 39.11 39.09 39.13 39.10 39.11 39.04 39.03 39.08 39.09 39.14 39.09 39.13 39.10 39.09

Media 39.114 39.114 39.128 39.078 39.112 39.118 39.112 39.088 39.110 39.086 39.106 39.116 39.080 39.078 39.084 39.090 39.108 39.084 39.098 39.070 39.114 39.096 39.072 39.096 39.092 39.114 39.092 39.096 39.114 39.128

Recorrido 0.14 0.06 0.08 0.09 0.04 0.08 0.06 0.06 0.05 0.08 0.10 0.10 0.04 0.10 0.04 0.09 0.04 0.08 0.07 0.08 0.02 0.10 0.07 0.08 0.06 0.11 0.04 0.13 0.08 0.08

El procedimiento para obtener los valores correspondientes a la línea central y los límites de control es el que sigue. Primero se calculan la media total x , que es el promedio de los 30 valores medios, y el recorrido medio R, promedio de los 30 recorridos. Estos valores se usan para las líneas centrales de ambos gráficos. Para el gráfico X , los límites de control superior (UCL) e inferior (LCL) se calculan mediante las fórmulas clásicas de Shewhart.

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En la figura A7.1 pueden verse los gráficos correspondientes a los datos de la tabla A7.1. Cada punto del primer gráfico es la media de 5 unidades, y cada punto del segundo el recorrido de 5 unidades. Entre dos puntos consecutivos de un gráfico han pasado 4 horas. En un mismo gráfico intervienen tres operarios, el del turno de mañana, el de tarde y el de noche. Los gráficos no presentan puntos fuera de control y, por lo tanto, no ha habido necesidad de ajustes (eso no quiere decir que los operarios no los hayan hecho por su cuenta). En estos gráficos los límites se han calculado a partir de los datos de la semana anterior, por el procedimiento que hemos resumido más arriba. 39.140

UCL = 39.132

39.120

39.100 39.080

39.060 LCL = 39.046 39.040 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Figura A7.1.a Gráfico X (Caso práctico 1) 0.16

UCL = 0.151

0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Figura A7.1.b Gráfico R (Caso práctico 1) El responsable de Producción presenta a los demás una serie de objeciones. La primera se refiere al número de unidades inspeccionadas, 5 cada 4 horas, que considera excesivo. Por un lado, los operarios se quejan de que el control de calidad es una tarea añadida a lo que ellos consideran su trabajo, la producción, y no ven la necesidad de inspeccionar 5 unidades para saber si tienen que ajustar la máquina rectificadora. Por otro lado, según lo que él ha aprendido sobre gráficos de control, para cada punto del gráfico se inspeccionan varias unidades, que forman lo que en ese contexto se denomina un subgrupo, pero los subgrupos no tienen necesariamente tamaño 5, sino que pueden ser de 3 o 4 unidades.

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REFLEXIONES: ¿Cómo se forman los subgrupos? ¿Cuál debe ser el tamaño de los subgrupos? ¿Qué ventajas tienen los subgrupos de 5 unidades?

CONTINUACIÓN DEL CASO: El responsable de Calidad le responde que, efectivamente, los subgrupos pueden tener tamaño distinto de 5, y que no recuerda por qué se estableció el tamaño de subgrupo 5, pero presume que fue a sugerencia de algún cliente. De todos modos, los subgrupos de 5 unidades son habituales en las aplicaciones reales del Control Estadístico de Proceso, aunque no sean obligatorios. El responsable de Ventas considera que esto lo tienen que decidir los técnicos, que son los otros dos, pero insiste en que si modifican algo lo hagan de forma que los clientes no lo noten, para evitar dar explicaciones. Deciden realizar una prueba a partir de datos ya existentes, para ver qué aspecto tendría un gráfico realizado con subgrupos de 3 unidades. El responsable de Calidad se ofrece para hacer la demostración con los datos de la tabla A7.1, usando sólo las tres primeras unidades de cada subgrupo (v. Tabla A7.2). Además, explica a los otros dos, debe recalcular los límites de control de ambos gráficos y la línea central del gráfico R. TABLA A7.2 Datos para gráficos SPC (tamaño de subgrupo 3)

39.07 39.09 39.15 39.06 39.10 39.08 39.13 39.06 39.08 39.07 39.09 39.13 39.07 39.04 39.07 39.09 39.08 39.04 39.13 39.07 39.13 39.09 39.10 39.08 39.11 39.09 39.11 39.16 39.07 39.17

Observaciones 39.08 39.15 39.18 39.09 39.12 39.10 39.07 39.12 39.11 39.07 39.09 39.07 39.06 39.07 39.11 39.14 39.12 39.07 39.09 39.02 39.11 39.10 39.06 39.14 39.12 39.18 39.07 39.07 39.15 39.11

39.16 39.12 39.11 39.11 39.10 39.11 39.12 39.10 39.13 39.11 39.11 39.11 39.07 39.06 39.07 39.10 39.11 39.10 39.06 39.06 39.11 39.11 39.08 39.06 39.06 39.09 39.08 39.03 39.13 39.12

Media 39.103 39.120 39.147 39.087 39.107 39.097 39.107 39.093 39.107 39.083 39.097 39.103 39.067 39.057 39.083 39.110 39.103 39.070 39.093 39.050 39.117 39.100 39.080 39.093 39.097 39.120 39.087 39.087 39.117 39.133

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Recorrido 0.09 0.06 0.07 0.05 0.02 0.03 0.06 0.06 0.05 0.04 0.02 0.06 0.01 0.03 0.04 0.05 0.04 0.06 0.07 0.05 0.02 0.02 0.04 0.08 0.06 0.09 0.04 0.13 0.08 0.06

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Los nuevos gráficos pueden verse en la figura A7.2. Como era de esperar, la forma de los gráficos ha cambiado. Como consecuencia de las correcciones efectuadas por el responsable de Calidad, la separación entre los límites de la media ha aumentado, mientras que en el gráfico R la escala se ha reducido. En el gráfico X aparece un punto fuera de control y en el gráfico R hay un punto muy cerca del límite de control.

39.160

UCL = 39.145

39.140 39.120 39.100 39.080 39.060 LCL = 39.033

39.040 39.020 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

27

29

Figura A7.2.a Gráfico X (tamaño de subgrupo 3)

0.15 UCL = 0.131 0.13 0.10 0.08 0.05 0.03 0.00 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

Figura A7.2.b Gráfico R (tamaño de subgrupo 3)

REFLEXIONES: ¿Por qué los límites de control de la media están más separados al reducir el tamaño de los subgrupos? ¿Cómo realizó el responsable de Calidad la conversión de los límites de control de un gráfico a otro? ¿Por qué modificó la línea central sólo en el gráfico R? ¿Qué se puede concluir del hecho de que haya un punto fuera de control?

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CONTINUACIÓN DEL CASO: El responsable de Producción se sorprende de que un proceso que estaba en estado de control deje de estarlo si se usan menos datos para construir el gráfico. La idea de que se deba efectuar o no un ajuste en función de si se inspeccionan 3 o 5 unidades resulta desalentadora. Reconoce que el asunto es más complejo de lo que él creía. El responsable de Calidad no concede mucha importancia al punto fuera de control. Según él, estas cosas suceden a veces cuando se usan límites de control distintos a los que resultarían de los datos con los que se traza el gráfico (por ejemplo, los límites correspondientes a un gráfico de la semana anterior). Para convencerlos, calcula los límites usando los datos de la tabla A7.2, y les presenta los nuevos gráficos, que pueden verse en la Figura A7.3.

39.160

UCL = 39.151

39.140 39.120 39.100 39.080 39.060

LCL = 39.043

39.040 39.020 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Figura A7.3.a Gráfico X (tamaño de subgrupo 3, límites calculados)

0.15

UCL = 0.136

0.13 0.10 0.08 0.05 0.03 0.00 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Figura A7.3.b Gráfico R (tamaño de subgrupo 3, límites calculados)

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REFLEXIONES: ¿Por qué ahora ya no hay puntos fuera de control? ¿El problema estaba en los límites y no en los datos?

CONTINUACIÓN DEL CASO: Después de esta demostración, nuestros directivos consideran que es prudente realizar una prueba piloto de tres semanas con este mismo producto. En esta prueba se inspeccionarán 3 unidades cada 4 horas. Los tres directivos se ocuparán personalmente de analizar los gráficos elaborados con los datos recogidos y de calcular los límites al final de la semana. El ejercicio que se lleva a cabo reafirma al responsable de Producción en la siguiente objeción que tenía preparada, referida a los cambios continuos en los límites de control, que según él despistan a los operarios. En su opinión, es correcto calcular los límites de control al concluir un gráfico para verificar la estabilidad del proceso. Sin embargo, si los límites se usan para el control efectivo del proceso, deberían permanecer fijos, como el resto de las instrucciones de control de proceso.

REFLEXIONES: ¿Tiene sentido utilizar límites de control calculados a partir de datos distintos de los que se utilizan para trazar el gráfico? ¿Si no se hace así, cómo se puede disponer de límites al iniciar el gráfico? ¿Si los límites cambian de un gráfico a otro, no se dará una situación en la que se ajuste hoy el proceso a partir de un valor a partir del cual no se hubiera ajustado la semana pasada?

CONTINUACIÓN DEL CASO: El responsable de Calidad explica a los otros que las fórmulas de los gráficos de control sólo permiten calcular los límites cuando se tienen todos los datos, cosa que, efectivamente, él hace cuando el gráfico está concluido. Sin embargo, para que los operarios tengan una referencia al ir trazando el gráfico, usa los cálculos efectuados con los datos del gráfico anterior para establecer límites. No obstante, reconoce que resultaría más coherente para los operarios que los límites se mantuvieran constantes. Se compromete, pues, a hacer un estudio a partir de los datos existentes, establecer límites de control fijos, revisándolos a los seis meses, y posteriormente, cada año. De todos modos, él cree que si el proceso está en estado de control, los límites no deben cambiar mucho de un gráfico a otro. En esto están de acuerdo todos. El principal problema con los límites de control, en opinión del responsable de Producción, estriba en que los operarios, al margen de lo que pase con los límites de control, ajustan la máquina rectificadora al iniciar el turno, lo cual introduce una fuente adicional de variabilidad en el proceso. El diagnóstico que pueda hacer el responsable de Calidad sobre la estabilidad del proceso mediante los gráficos de control no tiene mucho sentido, ya que los datos no corresponden al proceso propiamente dicho, sino al proceso perturbado por una serie de intervenciones. En su opinión, estos ajustes innecesarios no deberían hacerse. Más aún, si se efectúa un ajuste motivado por un punto fuera de control, debería dividirse la serie de datos en dos partes y calcular límites para cada subserie.

REFLEXIONES: ¿Tiene sentido calcular los límites de control a partir de una serie de datos que cubre un período en el que se ha efectuado un ajuste del proceso?

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CONTINUACIÓN DEL CASO: Todos están de acuerdo en que se debe ajustar el proceso en función de los datos que se van recogiendo, nunca en función de preferencias personales. Si cada operario ajusta cuando lo cree conveniente, los gráficos no sirven para nada. El responsable de Calidad propone que dentro de la prueba piloto que se va a realizar, los operarios respeten escrupulosamente la consigna de no efectuar un ajuste más que cuando el gráfico indique la necesidad de hacerlo, anotando al reverso de la hoja donde se dibuja el gráfico el momento del ajuste y en qué consistió éste. El responsable de Ventas sugiere prudencia, ya que, a fin de cuentas, el cliente está satisfecho con el control tal como se realiza actualmente. El responsable de Producción está de acuerdo en que el control debe hacerse de forma que satisfaga al cliente, pero insiste en que los gráficos no se hacen solamente para enseñarlos a los clientes, sino que se deben usar como una fuente de información para un diagnóstico del proceso y para evaluar la eficacia de los cambios introducidos. Por consiguiente, los gráficos deben hacerse de forma que la empresa saque el mayor rendimiento posible. Acuerdan finalmente realizar la prueba en la forma que sugiere el responsable de Calidad.

REFLEXIÓN FINAL: ¿Son correctos los argumentos que han conducido a los directivos de Rubber a realizar estas pruebas? ¿Sugeriría usted algo más?

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A8. CASO PRACTICO 2 PRESENTACIÓN DEL CASO: Un empresa se dedica al desarrollo, producción y comercialización de productos químicos para usos específicos. El proceso de incorporación de un nuevo producto a su catálogo sigue, más o menos, el guión siguiente. En primer lugar, el Departamento Comercial apalabra las prestaciones del producto con los clientes potenciales. A continuación, hace el desarrollo del producto y el proceso de producción, estableciendo provisionalmente límites de tolerancia para una serie de características cuyo valor se puede determinar en el laboratorio de I+D a partir del análisis de una muestra. Pasado un tiempo, los límites de tolerancia se establecen de forma definitiva. El proceso de producción es un proceso en batch, que en la mayoría de los casos se puede resumir como sigue. Se vierten en un reactor los componentes del producto, en las dosis adecuadas, y después de permanecer la mezcla en el reactor, en agitación permanente, durante un tiempo y en unas condiciones especificadas, se analiza una muestra en el Laboratorio de Control de Calidad para verificar la conformidad con la especificación del producto (provisional o definitiva). En caso afirmativo, el laboratorio emite el correspondiente boletín de análisis y se descarga el reactor envasando el producto en la forma que corresponde. En caso de no conformidad con la especificación, se añade una cierta cantidad del componente adecuado, se mezcla, y se vuelve a analizar una muestra, y así hasta obtener valores satisfactorios. En algunos productos, la corrección no es algo excepcional, sino que se ha convertido en habitual, incorporándose tácitamente al procedimiento de fabricación. El responsable de I+D desea hacer un seguimiento de algunas características críticas de ciertos productos para establecer definitivamente los límites de tolerancia, modificando si es preciso los límites establecidos provisionalmente por el laboratorio de I+D. Su deseo es que el seguimiento se haga de forma “científica”, huyendo de criterios subjetivos tales como “parece que va bien” o “estamos teniendo problemas”. Tiene la intención de usar gráficos de control, que le servirán no sólo hacer el seguimiento, sino también para exponer sus conclusiones a los demás. En los gráficos espera ver si el proceso de producción de un producto es estable a lo largo del tiempo y, si así es, podrá usar las fórmulas de los límites de control para establecer límites de tolerancia compatibles con la capacidad del proceso. Decide empezar por un producto de reciente introducción, de gran volumen de ventas. Una característica crítica de este producto es la viscosidad, cuyos límites de tolerancia (método de copa) son 80 y 110 segundos. Decide recoger datos de 22 lotes consecutivos, que equivalen a la producción de un trimestre. De acuerdo con lo que aprendió en un curso de Control Estadístico de Calidad realizado hace algunos años, para calcular los límites de control los datos deben recogerse agrupados en subgrupos. Tal como él lo entiende, un subgrupo es una serie corta de observaciones realizadas en las mismas condiciones, y de modo que el tiempo que transcurra entre dos observaciones consecutivas sea mínimo. Estos subgrupos constan típicamente de 5 observaciones, pero hay fórmulas para subgrupos de cualquier tamaño.

REFLEXIONES: ¿Cómo se forman los subgrupos? ¿Cuál debe ser el tamaño de los subgrupos?

CONTINUACIÓN DEL CASO: Para simplificar al máximo, el responsable de I+D decide construir los gráficos de control usando subgrupos de tamaño 2. Ahora bien, en el control de calidad se analiza una única muestra, una sola vez (aunque a veces se repite el análisis si los resultados difieren de los esperados), y por consiguiente

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sólo se dispone de un dato para cada lote de producción. Para formar los subgrupos, considera las siguientes opciones: •

Analizar por duplicado cada muestra, y con los dos resultados obtenidos formar un subgrupo de tamaño 2.



Extraer dos muestras de cada lote, y con los resultados de ambas formar un subgrupo de tamaño 2.



Agrupar los lotes por parejas, de modo que cada dos lotes den lugar a un subgrupo de tamaño 2.

La tercera opción es la más barata, ya que no supone aumentar el trabajo del laboratorio, pero el tiempo hasta completar el mismo número de subgrupos es el doble. Por otra parte, le parece que este procedimiento no está de acuerdo con la teoría de los gráficos de control, donde se supone que las observaciones de un mismo subgrupo se realizan en las mismas condiciones, y el gráfico sirve para ver si de un subgrupo a otro ha habido variaciones en el proceso. Con los subgrupos de dos lotes, si hubiera cambios en el proceso, éstos podrían producirse tanto dentro de un subgrupo como entre dos subgrupos consecutivos. Finalmente, entre las dos primeras opciones, se decide por la segunda. De este modo las diferencias entre las observaciones de un mismo subgrupo reflejarán no sólo la imprecisión en la determinación de la viscosidad, sino las posibles diferencias entre muestras del mismo lote, que le interesa investigar. De hecho, la gran cantidad de muestras adicionales que se extraen para confirmar los resultados cuando la viscosidad de la primera muestra no es conforme, revela una desconfianza en el muestreo, que le hace pensar que existe un problema en la homogeneización de este producto.

REFLEXIONES: ¿Es correcto este procedimiento para formar los subgrupos?

CONTINUACIÓN DEL CASO: El responsable de I+D habla con el responsable de Calidad para ver si es viable realizar una prueba en la que se analicen dos muestras por lote, en 22 lotes consecutivos. El responsable de Calidad accede a realizar la extracción y el análisis de las muestras suplementarias, aunque sólo como prueba piloto, ya que no ve muy canónico el procedimiento, y no cree que el coste de las muestras adicionales vaya a ser aceptado por la gerencia más que en casos excepcionales. Las muestras se extraerán de la parte superior y de la parte inferior del reactor. Los gráficos de control elaborados a partir de los datos recogidos para este estudio pueden verse en la figura A8.1. Cada punto de un gráfico corresponde a un lote, de modo los gráficos reflejan la evolución del proceso a lo largo del período cubierto por los 22 lotes. Los datos de viscosidad se presentan en la tabla A8.1. Junto a las viscosidades obtenidas para ambas muestras se dan la media de ambos resultados, y el recorrido. Con las 22 medias se ha trazado el gráfico X (Figura A8.1.a) y, con los recorridos, el gráfico R (Figura A8.1.b). En ambos gráficos se trazan unas líneas horizontales que corresponden a un valor medio y a los límites de control, más allá de los cuales no debiera hallarse ningún punto del gráfico si el proceso fuese estable. La tabla se ha preparado en una plantilla Excel, lo que permite obtener automáticamente las medias, los recorridos y los límites de control. El procedimiento que se sigue para obtener los valores correspondientes a la línea central y los límites de control es el clásico de Shewhart.

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Tabla A8.1 Resultados de viscosidad de 22 lotes (Caso práctico 2) Batch 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Muestra 1 98 82 94 70 86 102 98 94 97 79 103 86 106 74 84 105 87 92 105 101 92 100

Muestra 2 92 98 78 102 86 92 96 94 83 115 93 98 82 98 108 85 85 84 91 79 88 96

Media 95 90 86 86 86 97 97 94 90 97 98 92 94 86 96 95 86 88 98 90 90 98

Recorrido 6 16 16 32 0 10 2 0 14 36 10 12 24 24 24 20 2 8 14 22 4 4

120 UCL=117,83

110 100 90 80

LCL=66,63

70 60 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Figura A8.1.a Gráfico X para la viscosidad (Caso práctico 2)

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50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

UCL=44,59

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Figura A8.1.b Gráfico R para la viscosidad (Caso práctico 2)

No hay puntos fuera de los límites de control, lo que constituye una buena noticia. El gráfico R tiene un aspecto satisfactorio en cuanto que pone de manifiesto una cierta estabilidad en la diferencias entre las muestras del mismo lote, aunque las diferencias halladas son muy grandes para una tolerancia de 30 segundos. Está claro que habrá que revisar la tolerancia o mejorar la homogeneidad de los lotes. El gráfico X presenta una pauta que extraña al responsable de I+D, porque el proceso le parece “demasiado controlado”. Las fluctuaciones de la media no ocupan más que una tercera parte de la banda determinada por los límites de control. Parece como los límites fueran de un proceso distinto, con mayor variabilidad.

REFLEXIONES: ¿Cómo puede ser que las fluctuaciones de un proceso sean tan pequeñas en relación a la banda de control? Si los límites se han calculado con los mismos datos con los que se ha trazado el gráfico, ¿no deberían reflejar la variabilidad de estos datos?

CONTINUACIÓN DEL CASO: El responsable de I+D no entiende muy bien lo que sucede y decide pedirle ayuda al responsable de Calidad. Este le hace notar que los subgrupos no pueden formarse de cualquier manera, sino de acuerdo con unas reglas. Opina que los subgrupos formados de este modo no tienen sentido, ya que las observaciones que integran un subgrupo deben corresponder a unidades distintas, de modo que cada una puede ser conforme o no, independientemente de que lo sean las restantes. En este estudio, por el contrario, las diferencias entre las observaciones del mismo subgrupo se deben a errores del proceso de medida (entendiendo como tal la secuencia formada por la extracción de una muestra y la medida de su viscosidad). En su opinión, la noción de subgrupo tiene sentido cuando el producto está formado por “unidades”, pero no en el caso de materiales “continuos” como los productos químicos. Le pide unos días para repasar la documentación de que dispone sobre el tema, pues cree recordar que existe un método específico para calcular los límites de control sin necesidad de agrupar los datos formando subgrupos.

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REFLEXIONES: ¿Tiene razón el responsable de Calidad y los límites de control calculados de esta forma no tienen sentido? ¿Solamente los límites de la media carecen de sentido, o también los del gráfico R? ¿El problema está el diseño del estudio o sólo en los cálculos que se han hecho para obtener los límites de control?

CONTINUACIÓN DEL CASO: Transcurridos unos días, el responsable de Calidad confirma que, efectivamente, hay un método para calcular límites de control para procesos en los que se dispone de una sola observación para cada inspección. Los gráficos de control correspondientes se denominan gráficos X, o gráficos de observaciones individuales, y pueden ser usados para los procesos en batch. El procedimiento de cálculo de los límites de control en este caso se puede resumir como sigue. Se recoge una serie de datos de una variable X, por ejemplo de 22 lotes consecutivos, un dato por lote. A partir de esta serie se forma la serie de recorrido móvil, MR, en la que hay 21 observaciones, que son las diferencias absolutas (sin signo) entre lotes consecutivos. Se calculan la media x de las 22 observaciones de la variable X y el recorrido móvil medio MR , que es la media de los 21 valores de la serie de recorrido móvil, y se usa una fórmula similar a la que se aplica cuando efectivamente hay subgrupos:

UCL = x + 2.66 MR; LCL = x - 2.66 MR

REFLEXIONES: ¿Por qué ahora los recorridos que se usan para calcular la anchura de la banda de control son diferencias entre las viscosidades medias (duplicados), mientras que antes eran diferencias entre determinaciones individuales?

CONTINUACIÓN DEL CASO: Para aclarar el procedimiento, deciden construir un gráfico de control para la viscosidad, calculando los límites de esta forma y aprovechando los datos del estudio ya realizado. Usan como variable X la media de las viscosidades de las dos muestras de cada lote, considerando que es un valor más fiable que las determinaciones individuales. A partir de la tabla A8.1, preparan una nueva hoja de cálculo para obtener la serie MR, como puede verse en la tabla A8.2. La figura A8.2 es el gráfico X que resulta. La banda de control se ha reducido, aunque los límites de control todavía quedan algo lejos. Por otra parte, la anchura de la banda de control es menor que la tolerancia, lo que resulta tranquilizador.

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Tabla A8.2 Datos para un gráfico X Batch 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Viscosidad media 95 90 86 86 86 97 97 94 90 97 98

Recorrido móvil

Batch

Viscosidad media 92 94 86 96 95 86 88 98 90 90 98

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

5 4 0 0 11 0 3 4 7 1

Recorrido móvil 6 2 8 10 1 9 2 10 8 0 8

110 UCL = 104.8 100

90

80

LCL = 79.7

70 1

3

5

7

9

11

13

15

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Figura A8.2 Gráfico X para la viscosidad media El responsable de I+D desearía resumir la información contenida en el gráfico de la figura A8.2 dando un valor medio y una desviación estándar. La desviación estándar corresponde a la fórmula

s=

∑(x

i

- x)

2

n -1

Estos valores pueden obtenerse fácilmente en la hoja de cálculo a partir de los datos de la tabla A8.2. Los resultados obtenidos son x = 92,2;

s = 4,56

Aquí hay algo que no le cuadra al responsable de I+D. La media 92,2 coincide con el valor asociado a la línea central en el gráfico de la Figura A8.2, pero la anchura de la banda de control en el gráfico debería coincidir con 6s = 27,33, si los límites se calculan usando la fórmula habitual en los métodos SPC. Sin embargo la diferencia entre los límites de control del gráfico es 104,8 – 79,7 = 25,1

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El responsable de Calidad le aclara que, efectivamente, los límites de control en el gráfico de la figura A8.2 se han obtenido según la regla µ± 3σ, pero el valor de σ que se ha usado no ha sido el que él supone, sino el obtenido a través de la fórmula:

σ =

MR d2

en la que la constante d2 se extrae de la tabla de constantes de los gráficos de control, tomando n = 2. Así,

σ =

4,71 = 4,17. 1,13

Esta fórmula alternativa proporciona también un valor estimado de la desviación típica y la diferencia entre ambas estimaciones no es relevante, según el responsable de Calidad.

REFLEXIONES: ¿Tiene razón el responsable de Calidad y la diferencia hallada entre ambos valores de σ no tiene relevancia? ¿Por qué se usan dos fórmulas distintas, que dan resultados distintos, para calcular lo mismo? El responsable de Calidad le explica que, para el caso de observaciones individuales, también existe un gráfico de recorridos, denominado gráfico MR, o gráfico de recorrido móvil. La línea central se asocia al recorrido móvil medio y el límite de control se calcula usando la constante D4 = 3,27 de la tabla de constantes, correspondiente a n = 2,

UCL = 3,27 MR Para ilustrar la explicación, le presenta el gráfico MR de la figura A8.3. Confiesa que él no ve muy claro cuál es el interés del gráfico MR, y cree que no les va a ser de utilidad. Opina que lo más práctico sería usar un gráfico de observaciones individuales para el seguimiento de las características críticas de aquellos productos para los que se crea interesante, con los gráficos de control calculados a partir del recorrido móvil medio y prescindir de los gráficos MR.

16 UCL = 15.42

14 12 10 8 6 4 2 0 1

3

5

7

9

11

13

15

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Figura A8.3 Gráfico MR para la viscosidad media

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REFLEXIONES: ¿Es cierto, como dice el responsable de Calidad, que el gráfico MR no tiene interés en una situación como ésta?

CONTINUACIÓN DEL CASO: El responsable de Producción está de acuerdo en lo que se refiere al gráfico MR. En lo referente al gráfico X, considera que el gráfico de la figura A8.2 solamente le sirve para comprobar la estabilidad del proceso de fabricación del producto en lo que se refiere a la viscosidad del producto, pero que los límites de control sólo pueden aplicarse a un promedio de las viscosidades de dos muestras y no a una determinación individual, que es a lo que se refiere la especificación del producto. El responsable de Calidad está de acuerdo y le propone que hagan una prueba para ver qué resultaría de usar los valores individuales de viscosidad para los gráficos X. En la prueba usan la segunda columna de la tabla A8.1, en la que hay 3 lotes fuera de especificación (viscosidad inferior a 80), como serie X, y preparan la correspondiente hoja de cálculo, que puede verse en la tabla A8.3. Tabla A8.3 Datos para el gráfico X de la viscosidad Batch 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Viscosidad 98 82 94 70 86 102 98 94 97 79 103

Rec. móvil

Batch 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

16 12 24 16 16 4 4 3 18 24

Viscosidad 86 106 74 84 105 87 92 105 101 92 100

Rec. móvil 17 20 32 10 21 18 5 13 4 9 8 UCL = 129.7

130

110

90

70 LCL = 55.3 50 1

3

5

7

9

11

13

15

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Figura A8.4 Gráfico X para la viscosidad

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La Figura A8.4 es el gráfico X correspondiente, en el que los límites de control se han calculado por el mismo método que en la Figura A8.2. No hay puntos fuera de control, pero la banda de control tiene una anchura que excede del doble de la tolerancia. La media y la desviación estándar son x = 92,5,

s = 10,32

Si se mantiene la idea inicial de fijar los límites de tolerancia a partir de los límites de control, se obtiene una tolerancia: 129,7 – 56,3 = 74,5 En cambio, si se usa la fórmula x ± 3s , resulta 6s = 61,93 Tras todo este trabajo, el responsable de I+D ha llegado a las conclusiones siguientes: •

Utilizará los gráficos de control como había previsto inicialmente, pero trabajando con observaciones individuales.



Se limitará a los gráficos X, dejando de lado los gráficos MR.



Usará los límites de control para definir límites de tolerancia. Cuando hacerlo de este modo sea incompatible con lo que requieren los clientes, deberá mejorarse el proceso, reduciendo la variabilidad.

REFLEXIONES: ¿Son correctas estas conclusiones?

CONTINUACIÓN DEL CASO: Sin embargo, hay algunas cosas que no acaban de cuadrar. En primer lugar, sigue viendo los datos del proceso demasiado lejos de los límites de control. De hecho, el recorrido total de los 22 lotes es R = 106 - 70 = 36 que representa menos de la mitad de la banda de control.

REFLEXIONES: ¿Hay que buscar una explicación a este hecho o se trata sólo de una contradicción aparente, que se produce porque el responsable de I+D no ha entendido bien lo que significan los límites de control?

CONTINUACIÓN DEL CASO: El responsable de Calidad le dice que no se preocupe, porque estos datos son algo “raros” desde el punto de vista de la estadística y no responden al comportamiento “aleatorio” que se da por hecho en los libros de estadística. Como la viscosidad es una característica crítica de este producto, debe corregirse cuando no es conforme. Sucede que es fácil rebajar la viscosidad, añadiendo un componente que aumenta la fluidez del producto, pero no es sencillo aumentarla. Por esta razón se ha diseñado el proceso de forma que la viscosidad salga más alta de lo previsto por I+D. Cuando el resultado obtenido en el control de calidad supera 110 segundos, que es el límite de tolerancia superior, se rebaja la

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viscosidad, y por esta razón no hay valores por encima de 110. En cambio, cuando es inferior a 80 segundos, siempre se analiza otra muestra, para ver si el resultado del segundo análisis es conforme, que es lo que ha pasado con los lotes 4, 10 y 14, que se han dado como buenos. El responsable de I+D admite que su desconocimiento de los entresijos de la producción representa una dificultad a la hora de establecer la especificación de un producto, pero insiste en que las diferencias de viscosidad entre muestras diferentes del mismo lote representan un problema que se debe intentar resolver en lugar de convivir con él, que es lo que se viene haciendo con este apaño de la segunda muestra. Si no puede mejorarse la homogeneidad, debe ampliarse la tolerancia del producto.

REFLEXIÓN FINAL: ¿Son correctas las conclusiones a las que ha llegado el responsable de I+D? ¿Añadiría Vd. algo más?

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Módulo 4. Control metrológico Capítulo 1. Introducción Capítulo 2. Conceptos fundamentales 2.1 Control de un proceso de medida 2.2 Exactitud 2.3 Calibración y patrones 2.4 Incertidumbre 2.5 Expresión del sesgo y la imprecisión

Capítulo 3. Plan de control metrológico 3.1 Planteamiento general 3.2 Requisitos metrológicos 3.3 Plan de control metrológico 3.4 Procedimientos de control metrológico 3.5 Registros del control metrológico

Capítulo 4. Calibración 4.1 Obtención del sesgo 4.2 Factores de calibración 4.3 Recta de calibración

Capítulo 5. Estudios de precisión 5.1 Consideraciones previas 5.2 Cálculos con varianzas 5.3 Componentes de imprecisión 5.4 Repetibilidad y reproducibilidad

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Gestión de la calidad

1. INTRODUCCIÓN Este módulo trata sobre el control metrológico en la industria, en el contexto de la gestión de la calidad. El control metrológico, que es uno de los componentes de un sistema de calidad, recibe distintos nombres en la literatura sobre gestión de la calidad, como control de los equipos de medida, en la versión de 1994 de la norma ISO 9001, control de los dispositivos de seguimiento y medición, en la versión actual (2000), o sistema de gestión de las mediciones, en la ISO 10012. La expresión análisis del sistema de medida, que aparece en las normas de la industria de automoción (v. ISO 16949 o MSA, 1995), está ligada también al control metrológico. En estas notas, llamamos control metrológico al control de los procesos de medida de una organización, sea una industria, un laboratorio de análisis clínicos, un hospital, etc., usando la expresión “proceso de medida'', en lugar de “equipos de medida'', para recalcar que el control no se limita a unos objetos materiales, sino también a los métodos usados y a las personas que intervienen. Definiremos formalmente estos conceptos en el capítulo 2. En los diferentes modelos de gestión de la calidad (ISO 9001, ISO 16949, etc.) se hallan requisitos de control metrológico que tienen una importancia mayor o menor según la complejidad de los procesos de medida de la empresa. En estas notas presentamos los conceptos metrológicos fundamentales y algunas ideas sobre cómo organizar el control metrológico de forma práctica, garantizando el cumplimiento de los requisitos del correspondiente modelo, pero evitando procedimientos complejos y difíciles de mantener. Nos centramos en los requisitos de la norma ISO 9001, teniendo presente que el modelo de la norma ISO 16949, es de aplicación para los proveedores del sector de automoción. Así pues, el objeto de estas notas es doble: •

Facilitar la comprensión de los requisitos de control metrológicos incluidos en la norma ISO 9001 sobre los sistemas de calidad.



Dar algunas recomendaciones de carácter práctico sobre el modo de realizar dicho control.

Ya hemos hablado en el módulo 1 de la gestión de la calidad, y por lo tanto nos limitaremos aquí a los requisitos de carácter metrológico, y con especial detalle al elemento 7.6 de la versión vigente (2000) de la norma ISO 9001, relativo al control de los dispositivos de seguimiento y medición. Tal como los establece la norma ISO 9001 (en su versión en castellano), los requisitos son: La organización debe determinar el seguimiento y la medición a realizar, y los dispositivos de medición y seguimiento necesarios para proporcionar la evidencia de la conformidad del producto con los requisitos determinados (véase 7.2.1). La organización debe establecer procesos para asegurarse de que el seguimiento y medición pueden realizarse y se realizan de una manera coherente con los requisitos de seguimiento y medición. Cuando sea necesario asegurarse de la validez de los resultados, el equipo de medición debe: a) calibrarse o verificarse a intervalos especificados o antes de su utilización, comparado con patrones de medición trazables a patrones de medición nacionales o internacionales; cuando no existan tales patrones debe registrarse la base utilizada para la calibración o la verificación; b) ajustarse o reajustarse según sea necesario; c) identificarse para poder determinar el estado de calibración; d) protegerse contra ajustes que pudieran invalidar el resultado de la medición;

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e) protegerse contra los daños y el deterioro durante la manipulación, el mantenimiento y el almacenamiento. Además, la organización debe evaluar y registrar la validez de los resultados de las mediciones anteriores cuando se detecte que el equipo no está conforme con los requisitos. La organización debe tomar las acciones apropiadas sobre el equipo y sobre cualquier producto afectado. Deben mantenerse registros de los resultados de la calibración y la verificación (véase 4.2.4). Debe confirmarse la capacidad de los programas informáticos para satisfacer su aplicación prevista cuando éstos se utilicen en las actividades de seguimiento y medición de los requisitos especificados. Esto debe llevarse a cabo antes de iniciar su utilización y confirmarse de nuevo cuando sea necesario. NOTA. -- Véanse la Norma ISO 10012. Según nuestra experiencia, buena parte de la dificultad para el tratamiento del control metrológico en el contexto industrial reside en el lenguaje que se usa, y creemos oportuno hacer dos consideraciones previas. Por un lado, términos que en el lenguaje coloquial son intercambiables (por ejemplo, exactitud y precisión), en el ámbito de la metrología tienen significados perfectamente diferenciados. Por otro, los profesionales de los distintos campos de la metrología (fabricantes de balanzas, de termómetros, profesionales de laboratorio, etc.) no usan una terminología unificada. Hay que observar que tres términos que en la anterior versión de la norma inducían a bastantes confusiones, la incertidumbre, la exactitud y la precisión (que en estas notas se discuten a fondo) han desaparecido en la versión actual, donde el lenguaje es más llano: hay que establecer unos requisitos para los dispositivos de seguimiento y medida y controlarlos para garantizar que los requisitos se cumplen. Es posible que esta nueva presentación de los requisitos de control metrológico sea más comprensible para los usuarios. Por otro lado, la norma ISO 9001 remite a los usuarios que necesiten una orientación a las normas ISO 10012-1 e ISO 10012-2. En el 2003 se ha publicado la revisión de la ISO 10012 Sistema de gestión de las mediciones. Requisitos para los procesos de medición y los equipos de medición. Para facilitar la comprensión, hemos adoptado en estas notas las siguientes directrices: •

Emplear un mínimo de terminología específica, limitándonos a los términos siguientes: exactitud, sesgo, precisión (o imprecisión), resolución, patrón, calibración y ajuste. Es recomendable, en general, a quien tenga que documentar el control metrológico, que adopte alguna medida de este tipo.



Definir todos los términos usados, dando entre paréntesis la versión en inglés.



Usar sólo definiciones normalizadas, extraídas de las normas y guías recogidas en la bibliografía. Es posible que alguna de estas definiciones no coincida con las que maneje el lector, o personas con las que haya tenido contacto profesional (clientes, auditores, consultores, etc.). Estas definiciones se pueden hallar en el Glosario.

Para entender lo que significan los requisitos de tipo metrológico que hemos reproducido más arriba, puede ser útil el ejemplo siguiente, en cuya presentación se usan algunos términos cuya definición formal vendrá después.

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Ejemplo 1 Uno de los productos de un fabricante de papel para envasado de productos alimentarios es un papel recubierto por una capa de cera. Uno de los requisitos de calidad de este producto se refiere al gra2 maje (peso por unidad de superficie) de cera La tolerancia (interna) de fabricación es ± 1gr/m . El gramaje se mide por un procedimiento que consiste esencialmente en pesar una muestra de papel de área especificada, quitarle la cera, y volver a pesar, obteniendo el gramaje de cera por diferencia. Para esta medida no se dispone de un papel patrón (no existe tal cosa), aunque sí de un juego de pesas patrón para calibrar la balanza (es decir, para evaluar el sesgo). Por otro lado, la imprecisión de la balanza es una componente poco relevante de la imprecisión del método. En un experimento para explorar la precisión del método, se hacen 6 medidas del gramaje de una muestra de producción (que son pocas para usar de modo fiable las fórmulas estadísticas que veremos después, pero suficientes en un experimento exploratorio). Los valores obtenidos son: 12,1, 12,7, 11,6, 11,8, 11,5 y 10,7. El recorrido de estos valores (12,7-10,7 = 2,0) coincide con la tolerancia del gramaje. Este experimento sencillo muestra que, de cualquier forma que se establezcan los requisitos de medida en este caso, si han de ser coherentes con la tolerancia de fabricación, este proceso de medida no los cumplirá. NOTA. No hemos considerado en esta discusión si la variabilidad observada en los resultados de medida se debe atribuir a los instrumentos de medida o a la irregularidad del material. Resulta imposible en este caso separar una cosa de la otra, ya que el ensayo es destructivo y no se puede repetir sobre el mismo trozo de papel. Por otro lado, tendría poco interés práctico, ya que en el control del proceso de producción la conformidad del producto se establece asignando el valor de gramaje obtenido a una cantidad mucho mayor de papel, normalmente a bobinas de varios miles de metros, y de lo que se trata es de que esta asignación sea fiable. Probablemente, el problema que se ha detectado no radica en los instrumentos, sino en el método, y es posible que modificando éste de forma que la superficie que se pesa para obtener el gramaje sea mayor, se mejore la precisión de la medida.

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2. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 2.1 Control de un proceso de medida Como en otros contextos, en el de control metrológico resulta útil el lenguaje del control de proceso, y se usará con frecuencia en estas notas, en la misma línea del módulo 1. Nos ocupamos en estas notas de los procesos de medida. En un proceso de medida: •

El input es el material cuyo estado se quiere caracterizar mediante un resultado de medida.



El output es el resultado de la medida.



Las actividades están reguladas por procedimientos y consisten en usar de una cierta forma instrumentos de muestreo, de medida, reactivos, patrones, etc.

Podemos imponer requisitos de calidad a un proceso de medida, del mismo modo que a un proceso de producción o distribución. De esta forma, podemos definir el control metrológico como el conjunto de actividades que se llevan a cabo para garantizar que los procesos de medida cumplan los requisitos establecidos para ellos. En una industria, estos requisitos son consecuencia del papel que tienen los procesos de medida en el plan de control de la producción. Es, por tanto, el usuario quien debe establecerlos, en función de las prestaciones que requiera el control de la producción. NOTA. La expresión “proceso de medida” es cómoda para discutir estas cuestiones. En el glosario del VIM se define proceso de medida como un conjunto de informaciones, equipos y operaciones relativos a la medida, mientras que en la norma ISO 10012 es un conjunto de operaciones para determinar el valor de una cantidad.

2.2 Exactitud La exactitud (accuracy) de un resultado de medida es el grado de coincidencia entre ese resultado y un valor de referencia aceptado. La exactitud de un resultado de medida se evalúa mediante el error, que es la diferencia entre el resultado y el valor de referencia. Observa que el valor de referencia, o valor patrón, está implícito en la noción de exactitud. La exactitud siempre se refiere a un valor de referencia. En esta definición (extraída de la norma ISO 5725), se elude mencionar el valor “auténtico”, que es una noción bastante etérea para muchas medidas que se hacen en la industria. La exactitud de un resultado de medida individual se evalúa mediante un único número, el error. Sin embargo, el error no es el mismo cada vez que se realiza la medida (aunque se repita sobre el mismo espécimen). La variabilidad del error hace que sea interesante considerar la medida como un proceso. La exactitud de un proceso de medida se puede definir como su aptitud para dar resultados próximos a un valor de referencia aceptado. Dada la variabilidad del error, para evaluar la exactitud de un proceso de medida es conveniente recurrir al lenguaje estadístico. La exactitud de un proceso no siempre se puede evaluar directamente, ya que no se dispone (salvo en casos muy especiales) de especímenes con valores de referencia asignados. Existen patrones, pero son distintos de los especímenes que se miden en la aplicación real del proceso de medida (ver ejemplos del final del capítulo). En el modelo clásico, que permite simplificar el examen de la exactitud de un proceso de medida, se descompone el error de medida en dos sumandos: un término constante, llamado sesgo (bias), o error sistemático, y un término variable, llamado error aleatorio, Error = Error sistemático + Error aleatorio.

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El error aleatorio varía de una medición a otra, y es impredecible, aunque se pueden dar límites a su variación, como veremos más adelante. La precisión, que se puede definir como el grado de coincidencia entre los resultados de medida obtenidos al repetir la medida, es un concepto que hace referencia a la dispersión del error aleatorio. En estas notas usamos el término precisión en sentido cualitativo, y con el término “imprecisión” nos referimos a una medida numérica de la precisión, es decir, de la magnitud del error aleatorio. La resolución de un proceso de medida es la menor diferencia que puede obtenerse entre dos resultados de medida. Para procesos de medida muy sencillos, que se reducen a la lectura de un instrumento (por ejemplo, un termómetro), la resolución coincide con la distancia mínima entre dos indicaciones del instrumento. La conveniencia de utilizar fórmulas estadísticas, como medias y desviaciones estándar, para evaluar la exactitud, depende de la resolución, como veremos más adelante.

2.3 Calibración y patrones Un patrón de medida (measure standard) es algo a lo que podemos asignar un valor de referencia para verificar la exactitud de un proceso de medida. Un patrón puede ser: •

Una medida materializada, como una pesa de 1 Kg, o una resistencia de 100 Ω.



Un instrumento de medida, como un termómetro patrón.



Un material de referencia, como el aceite patrón del viscosímetro, o la solución tampón del pHmetro. En general, se llama material de referencia a una sustancia de la cual una o varias propiedades son lo suficientemente conocidas como para ser usadas en la calibración de un instrumento, la evaluación de un método de medida o para asignar valores a materiales (v. ISO Guide 30, 1981).

El valor de referencia asignado al patrón puede ser: •

Un valor certificado, si figura en un certificado u otro documento que acompaña al patrón, y ha sido obtenido por un procedimiento técnicamente válido. La certificación, en este caso, es el procedimiento para establecer, por operaciones técnicamente válidas, valores de una magnitud de un material (v. ISO Guide 31, 1981).



Un valor documentado por el fabricante del patrón, pero no certificado, ni por éste ni por otro organismo.



Un valor consenso, si ha sido obtenido a través de un ensayo inter-laboratorios, o por acuerdo entre varios organismos.



Un valor obtenido por el usuario.

La calibración de un proceso de medida es el conjunto de operaciones que se realizan para establecer la relación entre los resultados de medida y uno o varios valores de referencia. En la práctica, la relación entre los valores de referencia y las lecturas de un instrumento puede presentar formas distintas. Se dan dos situaciones típicas: •

La lectura del instrumento se refiere a la magnitud que se mide, por ejemplo, en una balanza. En este caso, el objeto de la calibración es establecer la diferencia entre los valores de referencia y los valores indicados por el instrumento en el intervalo de trabajo, es decir, obtener un sesgo para cada valor de referencia.

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Cuando la lectura se refiere a una magnitud diferente de la que se quiere medir, el objeto de la calibración es establecer la relación matemática entre ambas magnitudes. Por ejemplo, en un viscosímetro capilar se mide el tiempo que tarda en pasar un fluido entre dos señales de un tubo, que se multiplica por un factor para obtener la viscosidad, y la calibración es la operación que permite obtener este factor. En otros casos, por ejemplo en un espectrofotómetro, la relación es más compleja, y debe hallarse una ecuación lineal (la recta de calibración).

Esta definición de calibración no se aplica sólo a instrumentos de medida (por ejemplo, a una balanza), sino a procesos en los que intervienen instrumentos de medida, aparatos auxiliares y personas. Por ejemplo, la calibración del viscosímetro capilar es, en realidad, la calibración del sistema formado por: a) el propio instrumento, b) el baño termostático, con su termómetro, c) el cronómetro, y d) la persona que acciona el cronómetro. En el lenguaje ordinario (y a veces en la documentación que acompaña a los instrumentos de medida), se confunden la calibración de un instrumento de medida y el ajuste, que es una operación que se realiza sobre el instrumento para eliminar el sesgo. El ajuste es una medida correctiva, que no siempre se aplica aunque el sesgo sea diferente de cero y, por tanto, no toda calibración va seguida de un ajuste. Mantendremos en estas notas la diferenciación entre ambos conceptos (que ya hace la norma ISO 9001). La calibración de un patrón tiene por finalidad asignarle un valor de referencia, o establecer la validez de una asignación previa. Por ejemplo, enviamos una pesa de 1 Kg a un laboratorio acreditado para su calibración y nos la devuelven con un certificado que establece que su peso es 1007 g. Se incluye con frecuencia en el certificado una evaluación de la incertidumbre (ver definición en la sección siguiente) de esta asignación, que se llama, a veces, incertidumbre del patrón.

2.4 Incertidumbre En general, el término incertidumbre (uncertainty) se asocia a la proximidad mayor o menor de los resultados de medida a un valor “auténtico” o “verdadero”. En el contexto de la metrología profesional, es un parámetro que informa sobre la magnitud de las diferencias que cabe esperar entre los resultados de medida y el valor auténtico y, por tanto, sobre la exactitud. Este término, fuente de frecuentes confusiones, ha desaparecido en la última revisión de la norma ISO 9001. En el contexto del control de la calidad en la industria, no obstante, el manejo de esta noción presenta algunos problemas: •

El significado del “valor auténtico” en algunas mediciones que se hacen en la industria no está claro (en especial en ciertos sectores de la industria de proceso, como el textil).



No hay consenso sobre la forma de expresar la incertidumbre (v. GUM, 1995).



Al adoptar fórmulas extraídas de la documentación técnica que acompaña a los instrumentos de medida o a los certificados de calibración, se produce un malentendido bastante frecuente en el aseguramiento de la calidad: se evalúa la incertidumbre de una calibración en la que las medidas se efectúan sobre un patrón, en lugar de la incertidumbre de las medidas que forman parte del control de la calidad. Esta última incertidumbre, que es la que interesa al aseguramiento de la calidad, puesto que cuestiona la conformidad del producto verificada en la inspección, es en muchos casos, significativamente mayor que la primera, por la intervención de factores como el muestreo, la irregularidad de la superficie del producto, la falta de uniformidad, etc. (v. Ejemplos 2 y 3).

En estas notas proponemos una aproximación bastante transparente y sencilla de llevar a cabo en la práctica (ésa es al menos, nuestra experiencia), que consiste en:

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Renunciar a condensar en un único parámetro (la incertidumbre) la información sobre los errores de medida, considerando en su lugar dos parámetros, sesgo e imprecisión.



No usar el término incertidumbre más que en sentido cualitativo.

2.5 Expresión del sesgo y la imprecisión Para evaluar la exactitud de un proceso de medida, consideremos una variable X cuyos valores sean los resultados de medida obtenidos ejecutando el proceso sobre un espécimen fijo. Si admitimos que X tiene distribución normal (v. Apéndice A6), lo que representa una aproximación satisfactoria para lo que pretendemos, esto es, dar una descripción estadística de la exactitud, podemos evaluar la exactitud del proceso mediante dos parámetros estadísticos: •

La diferencia entre la media y el valor de referencia es el sesgo.



La desviación estándar proporciona una evaluación de la imprecisión.

No obstante, no siempre son útiles las fórmulas estadísticas para evaluar la exactitud. Para verlo, imaginemos la siguiente situación: aplicamos repetidamente un determinado proceso de medida sobre un mismo espécimen, obteniendo una colección de resultados. Entonces: •

Si todos los resultados son iguales, no hacen falta fórmulas estadísticas: hay o no hay sesgo, y no tiene sentido hablar de precisión (a veces se dice que la imprecisión es inferior a la resolución).



Si se obtienen resultados distintos, tiene sentido usar fórmulas estadísticas derivadas de la distribución normal cuando el número de valores distintos sea alto. En este caso es útil sustituir X, que es discreta (ya que el proceso tiene una resolución dada), por una variable continua.

¿A partir de qué punto tiene sentido el uso de medias y desviaciones estándar para evaluar la exactitud? No hay ninguna norma que regule esta cuestión, por lo que sólo podemos recomendar, a título privado: •

Usar las fórmulas estadísticas (media y/o desviación estándar) a partir de una imprecisión igual a 5 veces la resolución. En caso contrario, hacer una estimación directa (v. Ejemplo 2).



Mantener una cierta cautela al usar las fórmulas derivadas de la distribución normal, cuando la imprecisión no sea por lo menos 10 veces mayor que la resolución.

Supongamos que se realiza n veces una medida sobre un patrón. La diferencia entre la media x de los resultados de medida y el valor patrón es un valor estimado del sesgo. Este sesgo estimado es un valor experimental, y si repetimos el experimento (las n mediciones), el valor obtenido será distinto. Dicho de otro modo, el valor del sesgo que hemos obtenido tiene un error. La desviación estándar del error del sesgo obtenido a partir de n medidas es igual a la del error de medida dividida por √n (v. Apéndice). Entonces, si x0 es el valor patrón y σ la desviación estándar en la medida del patrón, podemos dar límites de confianza del 95% (v. Apéndice) para el sesgo mediante la fórmula x − x0 ± 2

σ n

El segundo sumando de esta fórmula se llama a veces incertidumbre de la calibración o, cuando se calibra un patrón, incertidumbre del patrón.

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La imprecisión de un proceso de medida puede evaluarse directamente, cuando es pequeña (respecto a la resolución), o mediante una fórmula estadística. No hay un método normalizado para cuantificar la precisión, por lo que conviene aclarar cuál se usa. Todas las expresiones numéricas de la precisión, salvo en casos de baja resolución, están basadas en una desviación estándar σ. Citamos a continuación algunas variantes. •

Con el valor de σ



Con el valor 2σ, de modo que ±2σ define (aproximadamente) un intervalo de confianza del 95%



Con el valor 2,8σ, que corresponde (aproximadamente) a un límite del 95% de confianza para la diferencia absoluta (sin signo) de dos medidas independientes. Este es el sistema establecido por la norma ISO 5725, usado en las normas ASTM y, por la IUPAC, para evaluar la repetibilidad y la reproducibilidad de un método analítico.



Con el valor 5,15σ (±2,575σ), que corresponde a la longitud de un intervalo de confianza del 99%. Es el sistema recomendado por la norma ISO 16969 del sector de automoción (ver Capítulo 6).

Empleamos en estas notas la expresión ±2σ, dando a σ el valor estimado de que se disponga. La imprecisión la cuantificaremos por 4σ, cuando se compare con una tolerancia. Ejemplo 2 En una industria química se calibran, por primera vez, tres viscosímetros. El primero es un viscosímetro Brookfield LVT DV-I digital, de resolución 0,1 mps. Como patrón se usa un aceite suministrado por Brookfield, con valor de referencia 50 mps. Se mide 10 veces la viscosidad del patrón, obteniendo los valores: 51,3, 50,3, 51,7, 51,5, 50,9, 50,9, 51,8, 50,7, 50,9 y 51,1. La media y la desviación estándar de estos resultados son x = 51,110; s = 0,468 El sesgo estimado es 51,110 - 50 = 1,110. El valor estimado para la desviación estándar del sesgo es s n

=

0,468 10

= 0,148

Podemos expresar, usando límites de confianza del 95%, el sesgo en la forma 1,110 ± 0,296. La longitud de este intervalo, 2 × 0,296=0,492, es la incertidumbre de la calibración. Observa que el intervalo de confianza no contiene el cero. Cuando se da esta situación, se dice que el sesgo es estadísticamente significativo. El segundo es un viscosímetro RVT DV-I digital, de resolución 1 mps, para el que se usa como patrón un aceite de 500 mps. Se hacen 10 medidas del patrón, obteniendo los resultados: 516, 517, 517, 516, 517, 517, 517, 517, 517, y 517. Las conclusiones del experimento son: •

El sesgo está comprendido entre 16 y 17 mps.



No es necesario hacer medidas replicadas para evaluar el sesgo.

Por último, se calibra también un viscosímetro RVT DV-II analógico, de resolución 5 mps, usando otra vez el patrón de 500 mps. Después de 6 medidas, se interrumpe el experimento considerando que no tiene interés proseguir, a la vista de los resultados: 515--520, 520, 515--520, 520, 520, y 515--520. Las conclusiones del experimento son:

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El sesgo está comprendido entre 15 y 20 mps.



Como antes, las medidas replicadas no son necesarias para evaluar el sesgo.

Ejemplo 3 En una fábrica de tarjetas de plástico magnetizadas se desea evaluar el sesgo y la precisión de un micrómetro que se usa para verificar la altura de tarjetas de plástico. Para una tarjeta típica, los límites de tolerancia son 53,920 y 54,030 mm. Como patrón, se usa una galga con valor nominal 54,991 mm. Se efectúan cinco medidas del patrón, obteniendo los resultados siguientes: 54,995, 54,993, 54,994, 54,996, y 54,994. Las conclusiones de este primer experimento son: •

El sesgo está entre 0,003 y 0,004 mm.



La imprecisión (sobre el patrón) es del orden de 0,03 mm.

Para evaluar la precisión de la medida de la altura de una tarjeta se hace un experimento en el que cuatro operarios miden la misma tarjeta cinco veces cada uno (ver Tabla 2.1).

TABLA 2.1 Estudio de precisión del micrómetro (Ejemplo 3) Operario 1 2 3 4

Resultados 53,964 53,953 53,961 53,961

53,960 53,958 53,954 53,957

53,959 53,956 53,952 53,957

Media 53,957 53,957 53,952 53,955

53,956 53,953 53,952 53,953

53,9592 53,9554 53,9542 53,9566

Varianza 9,7E-06 5,3E-06 1,52E-05 8,8E-06

Las conclusiones del segundo experimento son: •

La imprecisión de la medida sobre el producto es mayor que sobre el patrón (lo que es típico en las medidas dimensionales de materiales deformables).



Usando la media de las varianzas de los cuatro operarios como valor estimado de la varianza de 2 -6 los errores de medida (v. Apéndice), tenemos s = 9,75 × 10 y, por lo tanto s = 0,003 mm. Esto da una imprecisión de ±0,006 mm para medidas realizadas por el mismo operario. Puede considerarse aceptable la relación Imprecisión 0,012 = = 10,01% Tolerancia 0,11



Se observan diferencias entre los resultados obtenidos por los cuatro operarios, aunque éstas no superan el 5% de la tolerancia, por lo que no parecen preocupantes. No obstante, sería oportuno revisar el procedimiento de uso del micrómetro para ver si se puede uniformizar más la manera de aplicarlo.

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Ejemplo 2 (continuación) Se desea ahora evaluar la precisión de un proceso de medida en el que se usa el primero de los viscosímetros del ejemplo 2. Se trata de la medida de la viscosidad de una resina. Se efectúan 10 determinaciones replicadas de la viscosidad de una muestra. Con el fin de hacer el experimento más completo, se determina la viscosidad a 30 y 60 rpm (el método Brookfield, para un fluido no newtoniano, puede dar resultados distintos, según la velocidad de giro del husillo). Los resultados obtenidos han sido: •

A 30 rpm: 88, 76, 92, 88, 88, 72, 72, 100, 80, 76. La media es x1 = 84,00 y la desviación estándar s1 = 9,43.



A 60 rpm: 72, 76, 74, 70, 76, 70, 82, 74, 70, 72. La media es x2 = 73,60 y la desviación estándar s2 = 3,75.

Las conclusiones del experimento son: •

La imprecisión mayor es en la muestra de producción que en el patrón.



En algunos casos la imprecisión no depende sólo del instrumento de medida, sino de cómo se 2 use. Así, se obtiene mayor imprecisión a 30 rpm (F = (9,43/3,75) = 6,32, v. Apéndice). Recuérdese que la norma ISO 9001 establece que el seguimiento y medición pueden realizarse y se realizan de una manera coherente con los requisitos de seguimiento y medición.

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3. PLAN DE CONTROL METROLÓGICO 3.1 Planteamiento general Como dijimos en la introducción, nuestra intención es presentar un enfoque sencillo y ordenado del control metrológico. Para ello, lo mejor es seguir el desarrollo lógico de la planificación de la calidad, tratando el control metrológico como un caso más de control de proceso que se ejecuta de acuerdo con un plan de control, el plan de control metrológico. La planificación de la calidad requiere planes de control más o menos formalizados. El objetivo de un plan de control es garantizar que se cumplen unos requisitos (de un producto o proceso). En la mayoría de los casos, el plan de control no existe formalmente, sino descompuesto en planes más localizados (por ejemplo, un plan de control de producto consta del plan de control de materias primas, el de control de proceso, el de control de producto acabado, etc.). El plan de control incluye el uso de unos dispositivos que, en la norma ISO 9001, son los necesarios para proporcionar la evidencia de la conformidad del producto con los requisitos determinados. El control metrológico debe incluir estos dispositivos, así como los que intervengan en su control (por ejemplo, una balanza que se usa para preparar una disolución patrón). Un guión lógico para el desarrollo del plan de control metrológico podría ser, siguiendo el hilo de la norma ISO 9001: 1. Establecer el alcance del sistema de calidad. ¿A qué productos afecta? 2. Establecer los requisitos de calidad que deben cumplir los productos afectados por el sistema. ¿Qué atributos? ¿Qué características medibles? ¿Cuáles son los límites de tolerancia? 3. Identificar los dispositivos de seguimiento y medición que proporcionan evidencia de que el producto cumple los requisitos de calidad (aquí empieza el control metrológico). 4. Establecer los requisitos de seguimiento y medición (metrológicos). ¿Qué resolución deben tener? ¿Cuál es el error máximo permitido? 5. Validar (es decir, verificar que cumple los requisitos establecidos) el dispositivo de seguimiento y medición antes de empezar a usarlo. 6. Efectuar el control del dispositivo, mediante unas verificaciones que se realizan de acuerdo con un procedimiento o instrucción de trabajo, para garantizar que sigue cumpliendo los requisitos. 7. Mantener registros de la validación y de las verificaciones posteriores. Hemos distinguido aquí entre la validación y las verificaciones que forman parte del control (v. definiciones en el glosario). La razón de ello es que, normalmente, lo que llamamos aquí validación se hace solamente una vez, mientras que las restantes verificaciones se van repitiendo con una periodicidad que se especifica en la documentación del sistema.

3.2 Requisitos metrológicos Algunos requisitos metrológicos, como la resolución, se aseguran al elegir adecuadamente el dispositivo de medida, y se establecen teniendo en cuenta la oferta existente. El requisito fundamental, que afecta a la magnitud de los errores de medida, se puede desglosar en dos, uno relativo al sesgo y otro a la precisión (esa era mi recomendación en el capítulo anterior). Un modo práctico de plantear esta cuestión es establecer un límite para el valor absoluto (sin signo) del error. Usaremos aquí, en

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este sentido, la expresión error máximo permisible, extraída de las normas ISO 9000 y 10012 (a veces se usa esta expresión, u otras similares, para referirse a un límite del sesgo o error medio), aunque cualquiera otra que admita una interpretación análoga es adecuada. Un ejemplo sencillo es el siguiente: considerando la influencia de la temperatura sobre las transformaciones que tienen lugar en un proceso químico, un técnico de producción establece que los errores de una sonda de temperatura no pueden superar 1 grado. Entonces el error máximo permisible es 1 grado. Este límite se refiere a todos los errores de medida, no bastando, salvo cuando la precisión es absoluta y el error es constante, con efectuar una sola observación y verificar que el error no supera 1 grado. Una vez establecido el error máximo permisible, los requisitos de la norma ISO 9001 son indiscutibles: hay que garantizar, de forma continuada y con evidencias objetivas (certificados, registros, etc.), que este límite no se supera. El conjunto de las operaciones necesarias para ello se llama confirmación metrológica. En general, la confirmación metrológica incluye la calibración o la verificación, cualquier ajuste o reparación, la subsiguiente recalibración, la comparación con los requisitos metrológicos del equipo y cualquier sellado o etiquetado. El error máximo permisible se establece en función de cómo los errores de medida puedan afectar a la conformidad de los productos en cuyos planes de control interviene el equipo. Esta posible influencia se puede aclarar mediante un razonamiento teórico o experimentalmente. Dada la variedad de situaciones que pueden darse y las limitaciones que en algunas ocasiones tienen los equipos existentes, no hay reglas que establezcan qué porcentaje de la tolerancia establecida para el resultado de medida puede admitirse. El error máximo permisible nunca puede ser inferior a la resolución. Una vez fijado el error máximo permisible, se comprueba la capacidad del proceso de medida. Es aconsejable separar imprecisión y sesgo. Si no se conoce la precisión, se la puede evaluar experimentalmente realizando lo que se denomina un estudio de precisión (v. Capítulo 5). Hay que documentar los estudios de precisión. En la mayoría de los casos, una vez evaluada la precisión y visto que es compatible con el límite de error máximo permisible establecido, no hace falta reevaluarla, salvo que pueda cambiar (desgaste de algún elemento, incorporación de nuevos analistas, etc.). Una vez se ha comprobado que la precisión es suficiente, debe verificarse el sesgo. Para algunos procesos de medida, la verificación puede hacerse globalmente, pero si no existe un patrón, hay que verificar el sesgo de los distintos instrumentos implicados en el proceso de medida. Hay que notar que la precisión se evalúa sobre una muestra, sea de materia prima o de producto (final o intermedio), y el sesgo sobre el patrón. Si la precisión es, en ambos casos, del mismo orden, el estudio resulta más sencillo. NOTA. En la norma QS-9000 se dan criterios numéricos para establecer límites para los errores de medida (v. MSA, 1995).

3.3 Plan de control metrológico Una vez validado el equipo para su uso en el plan de control del producto, el control metrológico consiste en una serie de verificaciones de que las prestaciones del equipo se mantienen. No existen reglas generales sobre cómo tienen que hacerse las verificaciones, ya que pueden ir desde una mera limpieza (viscosímetro capilar) a una calibración, y eventual ajuste, cada vez que se conecta el equipo (pH-metro). La finalidad del control es prevenir, y corregir si es necesario, la degradación de las características metrológicas. En muchos casos, se reduce a una simple verificación periódica del sesgo, ya que la precisión no cambia. La frecuencia de la verificación depende del equipo y del uso que de él se haga.

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Una forma sencilla de documentar el plan de control metrológico es mantener una ficha para cada equipo objeto del control, junto con un calendario de actuaciones. Estas fichas pueden integrarse en un único documento o en una base de datos. Un posible contenido de esta ficha sería: •

Código que identifica el equipo



Descripción del equipo. Se especifica qué clase de equipo es: balanza de laboratorio, termómetro de mercurio, viscosímetro Brookfield, etc.



Resolución. Conviene especificarla cuando en un mismo centro de producción hay instrumentos de medida de la misma magnitud, pero con distinta resolución. Para algunos equipos (por ejemplo, un cromatógrafo), no tiene sentido especificar la resolución, ya que depende de la aplicación.



Uso y ubicación. Dónde se encuentra y para qué se usa.



Intervalo de trabajo. Los valores medidos se mueven dentro de un intervalo, determinado por los límites de tolerancia establecidos en los planes de control en los que interviene el equipo. En la mayoría de los casos, el equipo puede trabajar fuera de este intervalo.



Precisión. Siempre que pueda establecerse de forma general e inequívoca, y no dependa de la aplicación.



Error máximo permisible. Se establece teniendo en cuenta todos los planes de control en que interviene el equipo. Puede variar a lo largo del intervalo de trabajo.



Procedimiento de calibración y/o control metrológico (código)



Intervalo de control. Es el máximo período que puede transcurrir entre dos confirmaciones consecutivas. Las expresiones frecuencia de control o intervalo de calibración aluden al mismo concepto.



Documentación de interés (identificación)

NOTA. En la documentación técnica de la norma QS-9000 se presentan formatos de plan de control de producto que permiten incluir, para cada verificación incluida en el plan de control, información sobre el equipo de medida implicado, con lo que el plan de control de los equipos de medida puede unirse al de producto (v. APQP, 1995).

3.4 Procedimientos de control metrológico Las directrices generales para el control metrológico pueden establecerse en el manual de calidad o en un procedimiento de carácter general y el modo en que se realiza el control de un equipo individual, en un procedimiento particular. Está bastante arraigada la costumbre de separar los casos en que el control se reduce a operaciones de mantenimiento, como limpieza y sustitución de componentes, de aquellos en que el control incluye la calibración, de forma que hay procedimientos de mantenimiento y procedimientos de calibración. Se trata de una cuestión de orden práctico, que no tiene trascendencia si todo el control lo realizan las mismas personas. Lo que sí es aconsejable, en las industrias de proceso donde unos equipos están acoplados a las instalaciones, mientras que otros se encuentran en uno o varios laboratorios, es separar el control de los equipos de proceso y el control de los equipos de laboratorio, ya que generalmente lo realizan personas distintas, con calendarios distintos, puesto que el control de la instrumentación de proceso está subordinado a la programación de la producción.

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NOTA. Algunos técnicos denominan procedimientos a los procedimientos de carácter general, que no hacen referencia a un equipo o producto concreto, e instrucciones de trabajo a los procedimientos que se refieren a situaciones particulares. Esta terminología ha sido incorporada por la norma QS9000 (v. QS-9000, 1995). No obstante, en la terminología ISO (v. ISO 9000) cualquier documento en el que se especifica el modo de realizar una actividad es un procedimiento. El guión de un procedimiento (o instrucción de trabajo) de control de un equipo de medida se puede establecer del siguiente modo: •

Objeto. El control del equipo, con el fin de asegurar que no se supere el límite de error máximo permisible.



Alcance. Los equipos afectados por el procedimiento.



Responsabilidades. Hay que especificar quién tiene la responsabilidad sobre el presente documento, quién es responsable de que se realice el control y quién lo realiza.



Patrones. Si el control incluye calibraciones, se ha de documentar la información relativa a los patrones: la identificación del patrón, su procedencia, las condiciones de conservación, la forma de prepararlo (por ejemplo, para un espectrofotómetro, una disolución patrón) y la caducidad.



Operaciones. Se describen las operaciones que constituyen el control. En la mayoría de los casos, estas operaciones dan lugar a resultados numéricos (por ejemplo, si hay una calibración). Debe especificarse cómo se obtienen estos resultados, si hay operaciones matemáticas que realizar (por ejemplo, calcular una media para obtener un sesgo).



Criterio de aceptación. Se especifica el criterio que deben satisfacer los resultados obtenidos (por ejemplo, sesgo menor que 0,1 mm). Si se satisface el criterio, el equipo es conforme, y si no, no lo es.



Acciones correctivas. Se describen las acciones correctivas que se han de llevar a cabo si el equipo no es conforme. Las más típicas son el ajuste, la sustitución de algún elemento (o de todo el equipo), la limpieza y la reparación.



Registros. Se indica cómo debe registrarse el control (v. la sección siguiente).



Identificación del estado de control. Se indica cómo se identifica (por ejemplo, con una etiqueta) el estado de control del equipo. La función de la identificación es evitar el uso de un equipo que ha superado el intervalo de control o que ha resultado no conforme, sin que se haya realizado la pertinente acción correctiva.

3.5 Registros del control metrológico En general, un registro es un documento que presenta unos resultados obtenidos o proporciona evidencia de alguna actividad realizada. Uno de los requisitos de la norma ISO 9001 es mantener registros del control metrológico. Estos registros y, en general, todos los registros de calidad, pueden realizarse sobre papel o soporte informático. Una posible lista de informaciones a incluir en el registro podría ser la siguiente: •

Identificación del equipo afectado



Procedimiento de control/calibración (código)

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Gestión de la calidad



Fecha de la verificación realizada



Decisión (conforme/no conforme)



Identificación del responsable de la verificación



Acción correctiva (en caso de no conformidad). Se puede incluir información sobre la descripción de la acción realizada, la fecha de la nueva verificación, los resultados obtenidos y la identificación del responsable de la acción



Fecha de la próxima verificación.

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Módulo 4. Control metrológico

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4. CALIBRACIÓN 4.1 Obtención del sesgo En el capítulo anterior hemos expuesto algunas ideas básicas sobre la organización del control metrológico. En éste avanzamos algo más en la descripción de las verificaciones a realizar. Como las verificaciones, su frecuencia y las eventuales acciones correctivas son distintas para cada situación, no es posible hacer una exposición general, por lo que nos limitaremos a considerar algunos ejemplos. Consideremos en primer lugar un pH-metro, que es un instrumento de gran difusión en la industria de proceso, ya que el pH es una característica sustitutoria bastante habitual. En principio, el pH puede variar entre 0 a 14, pero, en la práctica, en una industria particular, el intervalo de trabajo es mucho más restringido. El pH- metro se calibra frecuentemente, debido a que la mera conexión/desconexión del equipo puede generar un sesgo, y el usuario puede ajustarlo por sí mismo. Cuando no lo consigue, una acción correctiva típica es la sustitución de un electrodo. Los patrones son disoluciones comerciales, cuyos valores de referencia habituales son 4, 7 y 9 (se usa una u otra disolución patrón según el intervalo de trabajo). Si la disolución patrón se prepara a partir de otra más concentrada, los equipos usados en la preparación deben incluirse en el plan de control metrológico. Si se trata de un pH-metro de resolución 0,1, la imprecisión es, normalmente, de este mismo orden, por lo que no tiene sentido hacer medidas replicadas en la calibración. El procedimiento que resumimos a continuación se refiere a este caso. Si la resolución es 0.01, la discusión sería parecida a la del viscosímetro Brookfield (v. Ejemplo 2). El procedimiento de control del equipo debe contener: •

La descripción de los patrones y la manera de prepararlos



Las operaciones a realizar para medir el pH de la disolución patrón con ese equipo (a menos que se describan en otro lugar).



El criterio de aceptación para el resultado obtenido (por ejemplo, el error obtenido al medir el pH de la disolución patrón no debe superar 0,1).



La forma de ajustar el equipo



Otras posibles acciones correctivas



Dónde se registra la verificación realizada



La frecuencia con que se efectúa la verificación



El modo de identificar el estado de control

Ejemplo 2 (continuación) Usaremos ahora el primero de los viscosímetros del ejemplo 2 para ilustrar el modo en que se establecen, en distintas situaciones, el criterio de aceptación y el número de medidas replicadas. Para el resto del procedimiento puede servir el guión dado para el pH-metro, salvo en lo referente al ajuste, que, en este caso, exige una cierta especialización.

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Gestión de la calidad



Situación 1. Supongamos que el error admisible fijado para la medida de viscosidad de un producto es 10 mps, y que la imprecisión de la medida de viscosidad del producto es ±6 mps (una suposición realista, según lo que se vio en el capítulo 2, donde obtuvimos s = 3,75 mps a 60 rpm). Entonces el sesgo no puede superar 4 mps (10 – 6 = 4). Como la precisión en la medida de la viscosidad del patrón puede estimarse como ±1 mps (en el capítulo 2 obtuvimos s = 0,468 mps), puede limitarse la verificación a realizar una medida de viscosidad del patrón, y el criterio de aceptación a que el error de esa medida no supere 3 mps.



Situación 2. Supongamos que el error admisible es 5 mps y la imprecisión ±3 mps. Entonces el sesgo no puede superar 2 mps. Podemos hacer 4 medidas replicadas e imponer como criterio de aceptación que el sesgo obtenido (media de los 4 errores) no supere 1,5 mps, ya que los límites de confianza para el sesgo son: Sesgo obtenido ±



4

= Sesgo obtenido ± 0,5

Situación 3. Supongamos que el error admisible es 5 mps y la imprecisión ±4 mps. Entonces el sesgo no puede superar 1 mps. Podemos realizar 10 medidas replicadas e imponer como criterio de aceptación que el sesgo obtenido (media de los 10 errores) no supere 0.65 mps, ya que los límites de confianza son: Sesgo obtenido ±



1

1 10

= Sesgo obtenido ± 0, 32

Situación 4. Supongamos que el error admisible es 5 mps y la imprecisión ±5 mps. En este caso, el equipo no es válido para esta aplicación.

Como se ve, el número de replicados y el criterio de aceptación se deciden en función de la magnitud relativa del error admisible y la imprecisión. Cuento menor es la diferencia entre ambos, más se complica el procedimiento. Hemos basado la discusión en la regla: Sesgo + Imprecisión ≤ Error admisible, o, si se prefiere: Error total = Error sistemático + Error aleatorio ≤ Error admisible.

4.2 Factores de calibración El viscosímetro Cannon-Fenske ya ha aparecido en el capítulo 2. En este caso, la calibración es un experimento cuyo fin es determinar un factor, el factor de calibración, que se usará para transformar tiempos en viscosidades. Una vez determinado el factor, el control 00puede limitarse a limpiar el tubo y verificar su integridad. Como se limpian con frecuencia, los tubos pueden romperse, por lo que se acostumbra a tener varios, cada uno con su factor asociado. Los patrones son fluidos de viscosidad conocida. Los factores pueden ser distintos para los distintos patrones. Para obtener el factor, se mide varias veces el tiempo de paso del fluido patrón, se calcula la media, y se efectúa la división Factor =

Viscosidad patrón tiempo medio

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Para decidir el número de medidas replicadas, se puede razonar como en el apartado anterior. La fórmula para el cálculo de los límites de confianza del factor (la incertidumbre de la calibración) es más complicada, por lo que la obviamos aquí, pero puede hacerse una simulación sencilla para saber cuál sería la magnitud de los errores en la medida de viscosidad originados por los errores en la obtención del factor. Para ello basta medir el tiempo de paso varias veces, y traducir las diferencias entre los resultados a unidades de viscosidad. Es importante también el control del personal que efectúa la medida, ya que, en sentido estricto, el factor sólo es válido para la persona que lo obtuvo. El procedimiento de control debe incluir: •

La descripción de los patrones y su preparación



Las operaciones a realizar para obtener el tiempo de paso del fluido patrón (a menos que ya se describan en otro lugar).



El modo de obtener el factor



Dónde se registra la calibración



Limpieza, comprobación y sustitución de los tubos



Control del personal que realiza las medidas



Modo de identificar el estado de control

4.3 Recta de calibración Por último, para ilustrar el caso más complejo, consideramos el caso de un espectrofotómetro, que se usa para determinar el contenido de uno de los componentes de una sustancia. La calibración del espectrofotómetro tiene como fin determinar la función matemática que permite transformar su respuesta (la absorbancia) en el contenido de ese componente, que, normalmente, es lineal. Su gráfica es la recta de calibración. La calibración es específica para cada análisis en que intervenga el equipo. Los patrones son disoluciones, normalmente preparadas por el usuario, cuya concentración en el componente que interesa es conocida. Para determinar los dos parámetros de la recta, se obtienen una o varias veces las respuestas correspondientes a las disoluciones patrón, a las que se aplican las fórmulas de la regresión lineal, tomando como variable X el contenido del componente que interesa en la disolución patrón, y como Y la respuesta del equipo. Estos equipos disponen de software para los cálculos, de modo que el usuario no tiene que preocuparse por ellos, ni anotar la ecuación de la recta, salvo si el procedimiento correspondiente prevé hacerlo en el registro de la calibración. En cambio, es importante la disciplina en la realización del experimento, especialmente en la preparación de las disoluciones patrón. El procedimiento de calibración debe incluir: •

La descripción de los patrones y su preparación



Las operaciones a realizar para obtener la respuesta del equipo para las disoluciones patrón (a menos que ya se describan en otro lugar)



La frecuencia de la calibración

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Gestión de la calidad



Dónde se registra la calibración



El modo de identificar si el equipo ha sido calibrado

El control propiamente dicho puede realizarse estableciendo unos límites de tolerancia para los parámetros de una de la recta de calibración de uno de los análisis en los que se use el equipo, o usando un patrón de control (check standard). El patrón de control es una sustancia, cuya composición no es importante conocer, para la que se hace la lectura periódicamente (sin traducirla a unidades de concentración). Para esta lectura se establecen límites de tolerancia. Es aconsejable el seguimiento de los resultados durante un tiempo en un gráfico de control, antes de establecer los límites. Ejemplo 4 Se calibra un espectrofotómetro para la determinación del contenido (ppm) de boro en aguas residuales. El método está basado en la norma ASTM D-3082-74, y usa un blanco (un espécimen con contenido cero) de agua destilada. La calibración se realiza con siete disoluciones patrón, cuyos contenidos de boro se presentan en la tabla 4.1, junto a las absorbancias (diferencias patrón menos blanco) obtenidas.

Tabla 4.1 Resultados experimentales Contenido de boro (X) 0,0000 1,0016 2,0032 3,0048 4,0065 5,0810 10,1600

Absorbancia (Y) 0,000 0,049 0,077 0,120 0,163 0,200 0,423

Los coeficientes de la recta de calibración (Y = a + bX, donde Y es la absorbancia y X el contenido de boro) son a = 0,0015

b = 0,04128

y la correlación, r = 0,9991 Esta correlación es satisfactoria (si no se obtiene una correlación muy próxima a 1, el método no es apropiado, o ha habido algún error).

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5. ESTUDIOS DE PRECISIÓN 5.1 Consideraciones previas Para ilustrar la importancia de conocer la precisión de los procesos de medida, consideremos la situación siguiente: se tiene un lote de producto (propio o de un proveedor), sobre una muestra del cual se efectúa una medida, obteniéndose un resultado numérico a partir del cual se toma una decisión (por ejemplo, que el lote pase al estado de disponible para su entrega al cliente). Si se repite todo el proceso, extrayendo otra muestra y midiéndola, se obtiene un resultado diferente, con lo que la decisión podría ser también diferente. Esto significa que la imprecisión resta fiabilidad a las decisiones que se tomen a partir de los resultados de medida. La medida en que esto ocurre depende, en general, de la magnitud relativa de la imprecisión y la tolerancia establecida para la verificación que se está realizando. Por consiguiente, uno de los requisitos metrológicos debe ser, o incluir implícitamente, la imprecisión máxima permisible. Una sugerencia para establecer este límite es partir de un límite para el cociente Imprecisión Tolerancia que da una medida numérica de la capacidad de la medida, parecida al índice de capacidad Cp del control estadístico de proceso. Este límite se establece a priori, por ejemplo, un 10% (sin que esto sea una norma, sino una sugerencia nuestra para quien no sepa por dónde empezar). Pero ¿es importante conocer con detalle la imprecisión? En la mayoría de los casos, la imprecisión es mucho menor que la tolerancia, por lo que no es importante disponer de una evaluación muy fiable, ya que lo que realmente interesa es tener (y garantizar) la capacidad de medida, más que cuantificarla. Sin embargo, si la imprecisión supera, por ejemplo, el 10% de la tolerancia, se deben analizar la distintas causas que la originan y tratar de mejorar el proceso de medida. La mejora de un proceso de medida pasa, en muchos casos, por analizar los distintos factores de imprecisión. En este capítulo presentamos un método para hacer este análisis. En el Capítulo 2, vimos cómo evaluar la precisión a partir de una desviación típica y la regla dada allí se ha usado en varios ejemplos. La desviación típica se puede obtener a partir de la serie de resultados obtenidos repitiendo la medición, o como “promedio” de desviaciones típicas obtenidas en distintos experimentos. Esto último puede hacerse de dos formas diferentes: •

Promediando varianzas. Así se hará en el ejemplo 5.



Promediando recorridos. Este método es muy intuitivo cuando los cálculos se acompañan con gráficos de control (v. Módulo 3).

5.2 Cálculo con varianzas Una varianza es una suma de cuadrados dividida por un número, que se llama número de grados de libertad (degrees of freedom). Para una varianza muestral, el número de grados de libertad es 2 igual al número de observaciones menos 1. Si usamos la varianza muestral, s , como aproximación 2 de la varianza de la población, σ , el número de grados de libertad es una medida de la calidad de la 2 aproximación, en el sentido de que a partir de ella se pueden obtener límites de confianza para σ . No profundizaremos aquí en esta cuestión, que es complicada, pero sí presentamos en la figura 5.1, para ilustrar el significado práctico del número de grados de libertad, los límites del 95% para el cociente s/σ en el caso de una distribución normal. Estos límites se pueden obtener usando un modelo mate-

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Gestión de la calidad

mático llamado distribución chi cuadrado. Se observa que, a partir de un cierto punto, el aumento del coste experimental repercute poco en la calidad de los resultados. Bajo este punto de vista, 10 observaciones serían una opción razonable.

225% 200%

Porcentaje valor estimado/valor real

175% 150% 125% 100% 75% 50% 25% 0% 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Grados de libertad

Figura 5.1 Porcentaje del valor estimado respecto al valor real de la desviación estándar

Una propiedad importante de la varianza es que es aditiva. Si X1, X2, …, Xn son variables independientes, con varianzas σ 12 ,σ 22 ,K,σ n2 , y X = X1 + X 2 + L + X n , la varianza de X es la suma

σ 2 = σ 12 + σ 22 + L + σ n2 Los sumandos σ 12 ,σ 22 ,L,σ n2 , se denominan componentes de la varianza. Obsérvese que lo que se suma son varianzas y no desviaciones típicas. Algunas aplicaciones de esta propiedad al control metrológico son las siguientes: •

La desviación típica de la media de n observaciones independientes de una variable con desvia2 ción típica σ es σ n . Esto resulta de que la varianza de la suma de las n observaciones es nσ , 2

2

por lo que, al dividir por n (o sea, dividir por n la varianza), se obtiene una varianza σ /n para la media. •

2

Si se hacen dos observaciones independientes, la varianza de la diferencia es 2σ . Por tanto la desviación típica de la diferencia es 2σ . Este hecho se usa para calcular los límites de repetibilidad y reproducibilidad.

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Supongamos k experimentos independientes, en cada uno de los cuales se hacen n observaciones de una variable X, siendo las varianzas respectivas s12 , s22 ,K, sk2 , con n -1 grados de libertad todas ellas. Entonces, el promedio s2 =

2

s1

+ s22 + L + sk2 k

es un valor estimado de la varianza de X, con k(n - 1) grados de libertad. •

Si el error de una medida es la suma de errores independientes debidos a distintos factores que actúan independientemente, e = e1 + e2 + L + ek , la varianza del error total es la suma de las varianzas de los errores debidos a cada uno de los factores. Un enunciado equivalente sería: la imprecisión total es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

El análisis de la varianza, abreviadamente ANOVA (analysis of variance), es una técnica estadística que consiste en descomponer la variación total de un conjunto de datos en componentes asociadas a distintos factores. Una de las variantes del ANOVA permite obtener valores estimados de las componentes de la varianza. A veces se alude a esta variante como ANOVA de tipo II, para diferenciarlo del de tipo I, que es el que aparece normalmente en los cursos de Estadística que tratan sobre Diseño de Experimentos. Para poder estimar las componentes de la varianza se debe organizar un experimento según un cierto esquema o diseño experimental, que se llama diseño jerarquizado, o diseño encajado (nested). Estos diseños son típicos en el estudio de la variabilidad en los procesos industriales, en situaciones en las que se descompone la variabilidad observada en las contribuciones de distintos factores. Nos limitaremos aquí al caso en de dos componentes. El lector interesado en situaciones más complejas puede consultar Box et al. (1978). Supongamos que los factores son A y B, y que, en la secuencia de operaciones que constituyen el procedimiento, A actúa primero y B después (por ejemplo, A podría ser la extracción de la muestra y B el análisis). Un diseño experimental k × n para este problema consiste en la obtención de kn resultados, agrupados en k grupos de n observaciones, de forma que las diferencias entre resultados de un mismo grupo se atribuyan al factor B, pero las diferencias entre resultados de grupos diferentes se atribuyan a ambos factores conjuntamente (por ejemplo, se extraen k muestras, a partir de cada una de las cuales se hacen n análisis replicados). Supongamos que se han recogido los datos de acuerdo con un diseño k × n. Hay k grupos de n observaciones, cada uno con su media y su varianza (Tabla 5.1).

Tabla 5.1 Resultados de un diseño k×n Observaciones

Media

Varianza

x11

x12

...

x1n

x1

s12

x21

x22

...

x2n

x2

s22

xk

sk2

...

...

...

...

xk1

xk2

...

xkn

La varianza promedio da un valor estimado de la varianza asociada al factor B, o varianza dentro de los grupos,

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sB2 =

s1 + s2 + L + sk 2

2

2

k

Para obtener un valor estimado de la varianza σ A2 , asociada al factor A, se calcula en primer lugar la varianza de las medias de los grupos varianza entre grupos. Una parte de esta varianza, igual a σ B2 n , es atribuible al factor B, ya que se ha calculado a partir de datos obtenidos promediando n observaciones que tienen un error con varianza σ B2 . Por tanto, un valor estimado de σ A2 es la diferencia s A2 = Var ( x1, x2 ,L, x k ) −

sB2 n

Un valor estimado de la varianza total es s 2 = s A2 + sB2 NOTA. Estas operaciones pueden realizarse con una calculadora de bolsillo que sea capaz de calcular medias y varianzas, o en una hoja electrónica de cálculo. Esta última opción, en la que puede usarse el formato de la tabla 5.1, añadiendo las fórmulas para sA2 y sB2 , es muy práctica, ya que permite presentar juntos los datos y los resultados del análisis y elimina los errores introducidos por los redondeos. En los libros de estadística, el análisis de la varianza se presenta en una tabla, denominada tabla ANOVA, que aquí hemos obviado para aligerar la exposición. En un diseño experimental como éste, no sólo hay que fijar las condiciones en las que se recoge cada dato, sino también determinar el número de grupos, k, y el número de observaciones por grupo, n. Por un lado, cuanto mayores sean k y n, mejores serán las estimaciones y, por otro, debe limitarse el coste del experimento. Supongamos, por ejemplo, que pensamos hacer 30 mediciones. Las opciones son: 2 × 15, 15 × 2,3 × 10, 10 × 3,5 × 6 y 6 × 5. ¿Cuál es la mejor (en términos estadísticos)? Un valor estimado de una varianza es tanto mejor cuanto mayor sea el número de grados de libertad asociado. En un diseño k × k, debemos tener en cuenta lo siguiente: •

sB2 es el promedio de k varianzas, todas ellas con n – 1 grados de libertad, es decir, es una suma de cuadrados dividida por k(n - 1), que es su número de grados de libertad.



La varianza entre grupos tiene k - 1 grados de libertad.

El problema está, pues, en mantener un número de grupos alto, para conseguir una buena estimación de σ A2 . Esta conclusión es importante porque, en muchos casos, el coste de aumentar k es superior al de aumentar n. Los cálculos de la tabla 5.2 muestran que el diseño 15 × 2 es el más adecuado.

Tabla 5.2 Grados de libertad en distintos diseños Diseño

Entre grupos

Dentro de grupos

2×15 15×2 3×10 10×3 5×6 6×5

1 14 2 9 4 5

28 15 27 20 25 24

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En otro procedimiento, empleado en los gráficos de control, se calculan los recorridos R1, R2, …, Rk, y su media R, que es el recorrido medio (mean range). Dividiendo el recorrido medio por una constante, que se designa por d2 y que depende de n, se obtiene un valor estimado de σ. d2 puede hallarse en una tabla de constantes para gráficos de control (v. Tabla 5.3). Si k es elevado (por ejemplo k > 10), los recorridos se pueden representar en un gráfico de control R, lo que resulta muy intuitivo. El límite de control superior se calcula mediante la fórmula UCL = D4 R, en la que D4 es una constante que puede hallarse en la misma tabla de constantes. NOTA. ¿Qué ocurre si el valor de sA2 es negativo? Un valor negativo carece de sentido, ya que una varianza no puede serlo. Siempre que en un análisis estadístico el valor estimado de una varianza sea negativo, se tiene que interpretar como una indicación de que el modelo usado no es correcto. En este caso, lo que sucede es que la influencia de A no es significativa y para el análisis debemos suprimirlo (el factor, no los datos). Eso no siempre quiere decir que esa influencia no exista, sino que a veces lo que sucede es que no disponemos de suficiente información para evaluarla (k es demasiado bajo).

5.3. Componentes de imprecisión Los factores que pueden contribuir a la variabilidad de un proceso de medida son numerosos. Entre los más típicos, se pueden citar: •

El personal implicado en la medición



Los instrumentos de medida y aparatos auxiliares



El medio ambiente



La extracción de la muestra



Las manipulaciones realizadas para preparar el espécimen que se analiza

Naturalmente, cabe esperar una variabilidad mayor cuando las mediciones las hagan personas distintas, con instrumentos distintos, en condiciones ambientales distintas, etc., es decir, cuanta más libertad se permita a la actuación de estos factores. La evaluación de la contribución de estos factores a la variabilidad total se plasma en unos valores llamados componentes de la varianza. En los estudios de precisión, las componentes de la varianza se asocian a componentes de imprecisión. Supongamos un proceso en batch en el que se extrae una muestra de cada batch, que se analiza en el laboratorio, obteniéndose un resultado que se registra en un boletín de análisis, que se asocia a ese batch y, en muchos casos, se entrega al cliente. Se considera que la imprecisión de esta medida se debe a la actuación de dos factores, el muestreo (A) y el análisis (B). La componente de imprecisión B es una medida numérica del grado de coincidencia entre los resultados analíticos obtenidos sobre una misma muestra, mientras que la componente A es una medida del grado de coincidencia entre los resultados medios de muestras distintas extraídas del mismo batch. El diseño experimental para evaluar ambas componentes podría ser el siguiente: se extraen 10 muestras de un batch y se realizan 3 análisis replicados de cada muestra, obteniéndose una tabla de 30 resultados. Hay que tener en cuenta que el principal beneficio de este experimento no es evaluar la precisión, cosa que puede hacerse con un experimento más sencillo, sino conocer la magnitud relativa de las componentes. Frecuentemente, una es mucho mayor que la otra (v. Ejemplo 5) y su magnitud relativa nos dice cuál de los factores contribuye en mayor grado a la variabilidad del proceso de medida. Este dato es esencial si queremos mejorar la precisión de la medida.

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El estudio de tres componentes de la varianza lleva a estudios de mayor coste, que son poco frecuentes en la industria, ya que para un proceso de medida complejo, que conste de numerosas operaciones, se pueden integrar los distintos factores en dos, ver cuál de ambos tiene una contribución mayor e investigar éste. En cualquier caso, siempre es recomendable un estudio exploratorio para disponer de una primera evaluación de la precisión que permita valorar si vale la pena realizar un estudio de este tipo. En estas notas nos limitamos al caso de dos factores. Ejemplo 5 Una de las características de una resina sintética es el valor epoxi, que es una medida del grado de polimerización del compuesto que la constituye. Este valor se obtiene mediante una valoración con un reactivo, cuya normalidad se determina en el mismo laboratorio. Se desea evaluar la precisión de la valoración, y se cree que, entre los diversos factores que contribuyen a la imprecisión de la medida, el más decisivo es la valoración del reactivo. En consecuencia, se organiza un experimento según un diseño jerarquizado 10 × 3 con dos factores: la valoración del reactivo (A) y la determinación del valor epoxi (B). Se preparan 10 reactivos, con cada uno de los cuales se hacen tres valoraciones de una muestra de uno de los productos de mayor venta. Los resultados se presentan en la tabla 5.3, a la que se han añadido dos columnas con las medias y varianzas de los triplicados, respectivamente.

Tabla 5.3 Constantes de los gráficos de control n

d2

D4

2 3 4 5 6 7 8 9 10

1,13 1,69 2,06 2,37 2,53 2,70 2,85 2,97 3,08

3,27 2,58 2,28 2,12 2,00 1,92 1,86 1,82 1,78

En primer lugar, se calcula la varianza dentro de los grupos (promedio de la última columna de la tabla), que da sB2 = 0,000020, y es una estimación de la varianza del análisis. A continuación, se calcula la varianza entre grupos (varianza de los valores de la quinta columna de la tabla), que es 0,000153. Restando sB2 3 a este valor, se obtiene s A2 = 0,000153 −

0,000020 = 0,000147 3

que es una estimación de la varianza debida a la valoración del reactivo. La varianza total es la suma de las varianzas debidas a ambos factores, s 2 = 0,000147 + 0,000020 = 0,000167 Como puede verse, las contribuciones de ambos factores tienen distinto orden de magnitud. El valor estimado de la desviación típica del proceso analítico es, finalmente, s = 0,0129. Este estudio muestra que los intentos de mejorar la precisión del análisis deben encaminarse a reducir la variabilidad generada por la valoración del reactivo.

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5.4 Repetibilidad y reproducibilidad Según la norma ISO 5725, para definir con bastante aproximación la realidad de muchos procedimientos de medida, bastan dos medidas extremas de la precisión, la repetibilidad (r) y la reproducibilidad (R). La repetibilidad se aplica a las medidas realizadas en condiciones lo más estables posible, con diferencias pequeñas de tiempo, por un mismo operario y con el mismo equipo. Se habla entonces de condiciones de repetibilidad. La reproducibilidad, por el contrario, se aplica a medidas hechas en distintas condiciones (distintos operarios, distintos aparatos, distintos laboratorios, o épocas distintas). Para que una expresión de la reproducibilidad sea válida, se deben especificar las condiciones que pueden cambiar de una medida a otra. Las restantes condiciones, que no se alteran, son las condiciones de reproducibilidad. Este planteamiento equivale a la descomposición en dos componentes de imprecisión, en la que se consideran dos factores: uno de ellos genera la imprecisión mínima, presente en condiciones de repetibilidad, y el otro la imprecisión adicional, obtenida en condiciones de reproducibilidad. Es un planteamiento especialmente adecuado para un ensayo inter-laboratorios, en el que los factores corresponden, respectivamente, a la variabilidad entre medidas repetidas en el mismo laboratorio y a la variabilidad debida al cambio de laboratorio. La norma ISO 5725 presenta un método para la evaluación de la repetibilidad y la reproducibilidad de un procedimiento de medida, aplicable en un ensayo inter-laboratorios. La variabilidad debida al factor laboratorio se suma a la variabilidad interna de los laboratorios (repetibilidad) para dar la variabilidad total (reproducibilidad) de la medida. Según la norma, la repetibilidad se evalúa dando un valor por debajo del cual se debe obtener, con una probabilidad especificada (habitualmente del 95%), el valor absoluto de la diferencia entre dos resultados individuales. Para ello se parte de la desviación típica de repetibilidad σr, o desviación típica en condiciones de repetibilidad, y se calcula el límite de repetibilidad r = 2,8 σ r que puede usarse para ver si la diferencia entre dos medidas hechas en un mismo laboratorio son significativamente diferentes. La reproducibilidad se evalúa de modo análogo, mediante el límite de reproducibilidad, R = 2,8 sR El método de la norma ISO 5725 coincide básicamente con el propuesto en la norma ASTM E691, que tiene idéntico objeto, y con el recomendado por la IUPAC. En la presentación de los métodos de análisis aceptados por estos organismos, se evalúa la precisión mediante valores r y R.

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Módulo 2: Autoevaluaciones

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Módulo 2: Autoevaluaciones 1. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote de tamaño N=500 con 25 no conformidades si utilizamos el plan de muestreo n=16 Ac=1? 0,2525 !

0,8108 !

0,5147 !

0,3707 !

.............!

2. ¿Cuál es la calidad de salida media (AOQ) para un lote de N=500 unidades con un 1% de no conformidades si utilizamos un plan de muestreo rectificativo n=14 Ac=0? 0,043 !

0,001 !

0,009 !

0,9913 !

.............!

3. Dado el plan de muestreo n=11 Ac=1 y el tamaño del lote es N=200. Si el AQL=0.01, indique cuál es el riesgo α: 0,0052 !

0,05 !

0,0062 !

0,9998 !

.............!

4. ¿Cuál es el LQL del plan de muestreo n=11 Ac=1 si el riesgo es β=0.0606 y el lote de tamaño N=200? 0,30 !

0,35 !

0,20 !

0,25 !

.............!

5. ¿Cuál es la inspección total media (ATI) si la proporción de unidades no conformes de entrada a almacén es p=0.15, para un plan de muestreo rectificativo n=12 Ac=0, donde el tamaño de los lotes es de N=1000 unidades? 859,51 !

982,45 !

928,32 !

892,45 !

.............!

6.1. Indique el plan de muestreo (para inspección rigurosa) que propone la ISO 2859 1ª parte si queremos inspeccionar lotes de N=50.000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 0,25% de no conformidades. n=500 Ac=3 !

n=800 Ac=1 !

n=500 Ac=2 !

n=800 Ac=2 !

n=..... Ac=...!

6.2. Con el plan que haya escogido en el apartado 6.1., cuál es la probabilidad de aceptación de un lote que lleve 0,2% de piezas no conformes: 0,9976 !

0,9503 !

0,7576!

0,9197 !

.............!

7. Calcule el riesgo α por un plan doble n1=18, c1=2, n2=25, c2=4 si el nivel de calidad aceptable (AQL) es 0.05, suponiendo que el lote es grande. 0,031 !

0,0341 !

0,0251 !

0,05 !

.............!

8. Dado el plan de muestreo n=12 Ac=1 y el tamaño del lote N=200, si el AQL=0.01, indique cuál es el riesgo α: 0,043 !

0,05 !

0,0062 !

0,3707 !

.............!

9. ¿Cuál es la calidad de salida media (AOQ) para un lote de N=500 unidades con un 5% de no conformidades si utilizamos un plan de muestreo rectificativo n=13 Ac=1? 0,034 !

0,043 !

0,009 !

0,9913 !

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

.............!

192

Gestión de la calidad

10. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar un lote de tamaño N=1000 con 150 no conformidades si utilizamos el plan de muestreo n=17 Ac=1? 0,2734 !

0,8108 !

0,2525 !

0,3707 !

.............!

11. ¿Cuál es el LQ del plan de muestreo n=12 Ac=1 si el riesgo β=0.085 y el lote de tamaño N=200? 0,30 !

0,27 !

0,20 !

0,25 !

.............!

12. ¿Cuál es la inspección total mediana (ATI) si la proporción de unidades no conformes de entrada a almacén es p=0,25, para un plan de muestreo rectificativo n=14 Ac=0, donde el tamaño de los lotes es de N=1.000 unidades? 859,51 !

982,45 !

928,32 !

892,45 !

.............!

13.1Indique el plan de muestreo (para inspección rigurosa) que propone la ISO 2859 1ª parte si queremos inspeccionar lotes de N=70.000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 0,40% de no conformidades. n=500 Ac=3 !

n=800 Ac=1 !

n=500 Ac=2 !

n=800 Ac=2 !

n=..... Ac=... !

13.2 Con el plan que haya escogido en el apartado 13.1, ¿cuál es la probabilidad de aceptación de un lote que lleve 0,5% de piezas no conformes?: 0,9976 !

0,9503!

0,7576 !

0,9197 !

.............!

14. Calcule el riesgo α para un plan doble n1=10, c1=3, n2=12, c2=5 si el nivel de calidad aceptable (AQL) es 0.15, suponiendo que el lote es grande. 0,031 !

0,0341 !

0,0251 !

0,05 !

.............!

15. Dado el plan de muestreo n=20 Ac=1. Si el LQL=0.15, indicar cuál es el riesgo β: 0, 15 !

0,18 !

0,10 !

0,05 !

............!

16. Dado un plan de muestreo n=15 Ac=2. Si el AQL=0,05, calcule el valor del riesgo α: 0,05 !

0,04 !

0,08 !

0,10 !

...........!

17. Calcule la calidad de salida media (AOQ) para p=0,10 si utilizamos un plan de muestreo rectificativo para lotes de N=1.000 unidades y n=20 Ac=1: 0,05 !

0,04 !

0,15 !

0,01 !

..........!

18. Calcule la Inspección total media (ATI) si la proporción de unidades no conformes de entrada a almacén es p=0,05, para un plan de muestreo rectificativo n=20 Ac=1, donde el tamaño de los lotes es de N=1000 unidades: 279 !

980 !

350 !

337 !

............!

19. Calcule el riesgo β para un plan doble n1=15, c1=0, n2=20, c2=1 si el nivel de calidad límite (LQL) es 0,15. 0,10 !

0,13 !

0,15 !

0,05 !

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

............ !

Módulo 2: Autoevaluaciones

193

20. Indicar el plan de muestreo (para inspección normal) que propone la ISO 2859 si hemos de inspeccionar lotes de N=2000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 0,15% de no conformidades: n=125, Ac=3 !

n=125, Ac=0 !

n=315, Ac=1 !

n=80, Ac=0 !

n=

, Ac=

!

21. Dado el plan de muestreo n=20 Ac=0. Si el LQL=0,10, indicar cuál es el riesgo β 0, 15 !

0,18 !

0,12 !

0,05 !

..........!

22. Dado un plan de muestreo n=20 Ac=3. Si el AQL=0,05, calcule el valor del riesgo α: 0,05 !

0,04 !

0,02 !

0,10 !

...........!

23. Calcule la calidad de salida media (AOQ) para p=0,20 si utilizamos un plan de muestreo rectificativo para lotes de N=1000 unidades y n=20 Ac=2: 0,05 !

0,04 !

0,15 !

0,01 !

..........!

24. Calcule la inspección total media (ATI) si la proporción de unidades no conformes de entrada a almacén es p=0,10, para un plan de muestreo rectificativo n=20 Ac=1, donde el tamaño de los lotes es de N=1.000 unidades: 279 !

617 !

350 !

220 !

............!

25. Calcule el riesgo β per un plan doble n1=20, c1=0, n2=15, c2=1 si el nivel de calidad límite (LQ) es 0,15: 0,10 !

0,13 !

0,15 !

0,05 !

............ !

26 Indicar el plan de muestreo (para inspección normal) que propone la ISO 2859 si hemos de inspeccionar lotes de N=1000 unidades de forma continuada y el nivel de calidad aceptable (AQL) pactado con el proveedor es de 1% de no conformidades: n=125, Ac=3 !

n=125, Ac=0 !

n=315, Ac=1 !

n=80, Ac=2 !

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

n= ...., Ac=.... !

Módulo 3: Autoevaluaciones

195

Módulo 3: Autoevaluaciones 1. En un proceso de fabricación la altura en mm de una pieza sigue una ley normal de media m= 20 y desviación estándar σ= 0,2. Calcule el % de piezas que no cumplirán la tolerancia si los límites de tolerancia son 20,2± 0,5. 16% #

6,9% #

6,7% #

18% #

..............#

2. Cuál es la σ de un proceso de media m=14, Cpk=1,1 y tolerancias TI=11 y TS=16: 0,47 #

0,243 #

0,606 #

1,72 #

................#

3. En un proceso de fabricación la altura en mm de una pieza sigue una ley normal de media m= 22 y desviación estándar σ=0,2. Calcule el % de peces que no cumplirán la tolerancia si los límites de tolerancia son 22,2±0,4. 16% #

6,9% #

6,7% #

19% #

..............#

4. ¿Cuál es la σ de un proceso de media m=12, Cpk=1,4 y tolerancias TI=11 y TS=16? 0,238 #

0,73 # 0,47 # 1,72 #

..............#

5. El diámetro de una pieza de un proceso de fabricación sigue una ley normal. Qué porcentaje de la fabricación no cumple la tolerancia si las tolerancias son TI= 40 mm TS= 50 mm, el Cp= 1,4 y el Cpk= 0: 0% #

50% #

2% #

1,4% #

............# 2

6. Calcular el Cpk de un proceso que sigue una ley normal de media m= 40, σ =4, Cp= 2 y la tolerancia inferior es 20: -1,33333 #

1,33333 #

-0.6667 #

0,6667 #

............ # 2

7. En un gráfico de control u, de una fabricación de tejido, se cogen 20 muestras de 10 m . Si 2 2 u =0,20 defectos/m y la muestra 18 tiene 0,60 defectos/m , podemos decir que ! ! !

la muestra18 se encuentra dentro de los límites de control la muestra 18 se encuentra fuera de los límites de control no podemos decir nada sobre la muestra 18 ..........................................................................

# # # # a

8. El punto de un gráfico de control de medias (k= 20 y n=4) correspondiente a la 6 muestra: 3.56, 3.65, 3.72 y 3.62, utilizando las reglas del test de Western Electric de un proceso en X =3.5 mm y σˆ 2=0.01 mm2 ,se encontrará en: Zona A #

Zona B #

Zona C #

Más allá de la zona A #

.............. #

9. El diámetro de una pieza de un proceso de fabricación sigue una ley normal. ¿Cuál es la media de los diámetros si un 50% de las piezas son defectuosas por exceso, las tolerancias son TI=30mm TS=40 mm, el Cp=1,3 y el Cpk=0?: 35 #

55 #

30 #

40 #

............#

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

196

Gestión de la calidad

2

10. Calcular el Cpk de un proceso que sigue una ley normal de media m=40, σ =4, Cp=1 y la tolerancia inferior es 20: 1,33333 #

-1,3333 #

-0,6667 #

0,6667 #

............# 2

11. En un gráfico de control u, de una fabricación de tejido, se cogen 18 muestras de 10 m . Si 2 2. u = 0,20 defectos/m y la muestra 18 tiene 0,65 defectos/m , podemos decir que ! ! ! !

# # # #.

la muestra 18 se encuentra dentro de los límites de control la muestra 18 se encuentra fuera de los límites de control no podemos decir nada sobre la muestra 18 ............................................................................................

ª

12. El punto de un gráfico de control de medias (k=20 y n=4) correspondiente a la 6 muestra: 3,45, 3,52, 3,31 y 3,75, utilizando las reglas del test de Western Electric de un proceso con X =3,5 2 mm y σˆ 2 =0,01 mm , se encontrará en: Zona A #

Zona B #

Zona C #

Más allá de la zona A #

.............. €

13. En un gráfico de control con 20 observaciones individuales, x =2,90 y S 2 =0,01, utilizando las a reglas del Test de Western Electric la 7 muestra 3,15 se encontrará: Zona A #

Zona B #

Zona C #

Más allá de la zona A #

.............. €

14. En un gráfico de control np con 20 muestras de tamaño 25, si p =0,05 cual es la probabilidad de que un punto se encuentre fuera de los límites de control si se asume que el número de no conformidades por muestra sigue la distribución binomial. 0,8729 #

0,1271 #

0,9245 #

0,2642 #

.............. €

15. El punto 12 de un gráfico de control de observaciones individuales es 4,54, con 20 puntos, x =4,9 y S 2 =0,01, utilizando las reglas del Test de Western Electric se encontrará en: Zona A #

Zona B #

Zona C #

Más allá de la zona A #

.............. €

16. En un gráfico de control np con 20 muestras de tamaño 19, si p =0,05 cual es la probabilidad de que un punto se encuentre fuera de los límites de control si se asume que el número de no conformidades por muestra sigue la distribución binomial. 0,8729 #

0,7547 #

0,2453 #

0,2642 #

.............. €

17. Calcular el Cpk de un proceso que sigue una ley normal de media µ= 100, σ =4, Cp= 2 y la TS es 103: 0,8333 #

0,78 #

0,25 #

3,75 #

18. Calcular los límites de control de un gráfico de medias, si 12,14 y 12,46#

12,12 y 12,48#

12,05 y 12,55#

.............. €

x =12,3 y R =0,24 (n=3 y k=20).

12,19 y 12,41#

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

.....,...... y............ #

Módulo 3: Autoevaluaciones

197

19. La tolerancia de una cota de una pieza es 125mm±0,5. Calcular el porcentaje de piezas de fabricación que serán defectuosas por defecto si la media del proceso es 225,2 mm y la desviación estándar 0,2 mm. 99,98% #

0,02% #

6,68% #

93,32% #

................. #

20. La tolerancia de una cota de una pieza es 125mm±0,5. Calcular el porcentaje de piezas de fabricación que serán defectuosas por exceso si la media del proceso es 325,1 mm y la desviación estándar 0,2 mm. 97,72 %#

2,28% #

0,13 % #

99,87% #

.................. #

21. Calcular el Cpk de un proceso que sigue una ley normal de media µ= 90, σ =4, Cp= 2 y la TS es 93: 0,8333 #

0,78 #

0,25 #

3,75 #

22. Calcular los límites de control de un gráfico de medias, si 22,19 y 22,41#

22,16 y 22,44#

22,05 y 22,55#

.............. €

x =22,3 y R =0,24 (n=3 y k=20).

22,21 y 12,39 #

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

.....,..... y............ #

Módulo 4: Autoevaluaciones

199

Módulo 4: Autoevaluaciones Calcular el sesgo y la incertidumbre de la calibración de un equipo de medida de resolución 0,01 cl, 2 donde se han realizado n=10 repeticiones en condiciones de repetibilidad, X =2,30 cl, s =0,0043, el valor del patrón es 2,33cl ±0,1 ml (para K=2): 1. El sesgo es 0,03 "

0,01 "

-0,03 "

0,02 "

........"

2. La incertidumbre de la calibración expresada en ml, en términos de ±2σ es ±0,05247 "

±0,430503 "

±0,416333 "

±0,05132 "

............"

3. En un estudio de repetibilidad y reproducibilidad de un pie de rey, tres operarios han cogido 10 piezas de tolerancia 25±0,9 mm, y se han realizado tres mediciones de cada pieza. Utilizando el método del recorrido y la media se ha obtenido: la variación del equipo EV= 0,42mm, la variación de los operarios AV= 0,16 mm y la variación de las piezas PV= 0,95. El % respecto la tolerancia es: 42,765% "

24,969% "

44,21% "

64,444% "

............ "

Para evaluar la imprecisión de un método de ensayo se han realizado dos series de n=10 valores y se han obtenido s1=0,456 y s2=0,230. Queremos comprobar si las varianzas son estadísticamente diferentes con un riesgo α=0,10: 4.

Calcular el valor del estadístico y el valor superior de las tablas F 1,9826 y 3.18 " 3,9307 y 3,18 "

5.

3,9307 y 3.44 "

1,9826 y 3.44 "

.......... y ............ "

Las varianzas experimentales son: ! ! !

Diferentes con un nivel de confianza del 0,90 No hay divergencia entre las varianzas en un riesgo del 0.10 ..............................................................................................

" " "

6. El valor de reproducibilidad de un ensayo de viscosidad es R=18 mps. Se ha realizado un estudio en dos laboratorios sobre el mismo espécimen y ha resultado 523 mps y 540 mps respectivamente; podemos decir que: ! ! ! !

Las diferencias no son estadísticamente diferentes con un riesgo del 0.05 Se ha de determinar cuál es el valor de repetibilidad Las diferencias son estadísticamente diferentes con una confianza 0.95 ....................................................................... ................... .........................

" " " "

Calcular el sesgo y la incertidumbre de la calibración de un equipo de medida de resolución 0,01 cl, 2 donde se han realizado n=10 repeticiones en condiciones de repetibilidad, X =4,25 cl, s =0,004, el valor del patrón es 4,23cl ± 0,1 ml (para K=2): 7. El sesgo es 0,03 "

-0,02 "

-0,03 "

0,02 "

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

............."

200

Gestión de la calidad

8. La incertidumbre de la calibración expresada en ml, en términos de ±2σ es 0,05247 "

0,416333 "

0,430503 "

0,05132 "

............"

9. El valor de reproducibilidad de un ensayo de viscosidad es R=22 mps. Se ha realizado un estudio en dos laboratorios sobre el mismo espécimen y ha resultado 123 mps y 146 mps respectivamente; podemos decir que: " " " "

! Las diferencias no son estadísticamente diferentes con un riesgo del 0,05 ! Se ha de determinar cuál es el valor de repetibilidad ! Las diferencias son estadísticamente diferentes con una confianza 0,95 ....................................................................... ................... .........................

10. En un estudio de repetibilidad y reproducibilidad de un pie de rey, tres operarios han cogido 10 piezas de tolerancia 25±0,9 mm, y se han realizado tres mediciones de cada pieza. Utilizando el método del recorrido y la media se ha obtenido: la variación del equipo EV=0,42mm, la variación de los operarios AV= 0,16 mm y la variación de las piezas PV=0,95. El % R&R respecto la variación del proceso es: 42,765% "

24,969% "

44,21% "

64,444% "

............"

Para evaluar la imprecisión de un método de ensayo se han realizado dos series de n=9 valores y se 2 2 han obtenido s 1=0,456 y s 2=0,230. Queremos comprobar si las varianzas son estadísticamente diferentes con un riesgo α=0.10: 11. Calcular el valor del estadístico y el valor superior de las tablas F 1,9826 y 3,18 " 12. ! ! !

3,9307 y 3,18 "

3,9307 y 3,44 "

1,9826 y 3,44 "

......... y ............ "

Las varianzas experimentales son: Diferentes con un nivel de confianza del 0,90 No hay divergencia entre las varianzas con un riesgo del 0,10 .............................................................................................

" " "

Un fabricante de envases de productos alimentarios se halla en el proceso de certificación de la ISO 9001. Para determinar los requisitos metrológicos extrae una muestra de producción y realiza 6 2 medidas repetidas del ensayo del gramaje donde la tolerancia de fabricación es ± 5 g/m . Los resultados son 13,9; 14,3; 14,2; 14,4; 14 y 14,4. 2

13. La imprecisión de l’assaig expresado en g/m , en términos de ±2σ es: ±0,94 "

±1,38 "

±0,42 "

±0,09 "

........ "

14. Se puede concluir: La imprecisión del ensayo es coherente con los requisitos metrológicos " La imprecisión del ensayo No es coherente con los requisitos metrológicos " La repetibilidad del ensayo es 1,32 " La reproducibilidad del ensayo es 1,93 " ................................................................. "

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Soluciones a las autoevaluaciones

201

Soluciones a las autoevaluaciones

PREGUNTA

SOLUCIÓN MÓDULO 2

MÓDULO 3

MÓDULO 4

1

0,8108

6,7%

- 0,03

2

0,009

0,606

± 0,430503

3

0,0052

16%

24,969%

4

0,35

0,238

3,9307 y 3,18 Son diferentes con un nivel de confianza del 0,9 Las diferencias no son estadísticamente diferentes con riesgo del 0,05

5

859,51

50%

6.1

n= 500 Ac= 2

0,6667

6.2

0,9197

_

_

7

0,0251

La muestra 18 se encuentra fuera de los límites de control

0,02

8

0,0062

Zona B

0,416333

40

Las diferencias son estadísticamente diferentes con una confianza 0,95

9

0,043

10

0,2525

- 1,3333

42,765 %

11

0,30

La muestra 18 se encuentra fuera de los límites de control

1,9826 y 3,44

12

982,45

Zona C

No hay divergencia entre las varianzas con un riesgo del 0,10

13.1

n= 500 Ac= 3

Zona A

- 0,03

13.2

0,7576

_

14

0,031

0,1271

15

0,18

Más allá de la zona A

±0,42 La imprecisión del ensayo es coherente con los requisitos metrológicos _

16

0,04

0,2453

_

17

0,04

0,25

_

18

279

12,05 y 12,55

_

19

0,10

0,02%

_

20

n= 80 Ac= 0

2,28%

_

21

0,12

0,25

_

22

0,02

22,05 y 22,55

_

23

0,04

_

_

24

617

_

_

25

0,05

_

_

26

n= 80 Ac= 2

_

_

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Glosario

203

GLOSARIO

Acción correctiva (ISO 9000) Acción tomada para eliminar la causa de una no conformidad existente u otra situación indeseable. Acción preventiva (ISO 9000) Acción tomada para eliminar la causa de una potencial no conformidad u otra potencial situación indeseable. Ajuste (VIM) Operación destinada a llevar un aparato de medida a una situación en la que no tenga sesgo. Aseguramiento de la calidad (ISO 9000) Parte de la gestión de la calidad orientada a proporcionar confianza de que se cumplirán los requisitos de la calidad. Auditoría (ISO 9000) Proceso sistemático, independiente y documentado para obtener evidencias y evaluarlas de manera objetiva con el fin de determinar el alcance al que se cumplen los criterios de la auditoria. Calibración (VIM) Conjunto de operaciones que establecen, bajo condiciones especificadas, la relación entre a) los valores indicados por un equipo o sistema de medida, o b) los valores representados por un material de referencia, y los valores correspondientes conocidos de una magnitud. Calidad (ISO 9000) Facultad de un conjunto de características inherentes de un producto, sistema o proceso para cumplir los requisitos de los clientes y de otras partes interesadas. Característica (ISO 9000) Rasgo diferenciador. Característica de la calidad (ISO 9000) Característica inherente de un producto, proceso o sistema, derivada de un requisito. Característica metrológica (ISO 9000) Rasgo distintivo que puede influir sobre los resultados de la medición. Certificación (ISO Guide 30) Procedimiento para establecer, por operaciones técnicamente válidas, los valores medidos de una magnitud de un material.

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

204

Gestión de la calidad

Cliente (ISO 9000) Organización o persona que recibe un producto. Condiciones de repetibilidad (ISO 5725--1) Condiciones en las que se obtienen resultados de medida independientes, usando el mismo método, sobre material idéntico, en el mismo laboratorio, por el mismo operario, usando el mismo equipo y dentro de un intervalo de tiempo corto. Condiciones de reproducibilidad (ISO 5725--1) Condiciones en las que se obtienen resultados de medida, usando el mismo método sobre material idéntico, en distintos laboratorios, por distintos operarios, usando distinto equipo. Confirmación metrológica (ISO 9000) Conjunto de operaciones necesarias para asegurar que el equipo de medición cumple con los requisitos para su uso previsto. NOTA 1 – La confirmación metrológica incluye calibración y/o verificación; cualquier ajuste necesario; reparación y posterior recalibración; comparación con los requisitos metrológicos para el uso previsto del equipo de medición; así como cualquier sellado y etiquetado requeridos. NOTA 2 – La confirmación metrológica no se consigue hasta que se demuestra y documenta la adecuación de los equipos de medición para la utilización prevista. NOTA 3 -- Los requisitos relativos a la utilización prevista pueden incluir consideraciones tales como el rango, la resolución, los errores máximos permisibles, etc. NOTA 4 – Los requisitos de la confirmación metrológica normalmente son distintos de los requisitos del producto y no se encuentran especificados en los mismos. Control de la calidad (ISO 9000) Parte de la gestión de la calidad orientada a la satisfacción de los requisitos de calidad. Conformidad (ISO 9000) Cumplimiento de un requisito. Documento (ISO 9000) Información y su medio de transporte. Eficacia (ISO 9000) Extensión en la que se realizan las actividades planificadas y se alcanzan los resultados planificados. Eficiencia (ISO 9000) Relación entre el resultado alcanzado y los recursos utilizados. Ensayo (ISO 9000) Determinación de una o más característica de acuerdo con un procedimiento.

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Glosario

205

Equipo de medición (ISO 9000) Instrumento de medición, software, patrón de medición, material de referencia o equipos auxiliares o combinación de ellos, necesarios para llevar a cabo un proceso de medición. Especificación (ISO 9000) Documento que establece requisitos. Estructura organizativa (ISO 9000) Descripción de responsabilidades, autoridades y relaciones entre el personal. Evidencia objetiva (ISO 9000) Datos que respaldan la evidencia o verdad de algo. NOTA – La evidencia objetiva se obtiene por medio de la observación, medida, ensayo u otros medios. Exactitud (ISO 5725--1) Grado de coincidencia entre un resultado de medida y el valor de referencia aceptado. Gestión de la calidad (ISO 9000) Actividades coordinadas para dirigir y controlar una organización en lo relativo a la calidad. Incertidumbre (GUM) Parámetro, asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores que pueden ser razonablemente atribuidos a la magnitud medida. Información (ISO 9000) Datos que poseen significado Inspección (ISO 9000) Evaluación de la conformidad por medio de observación y dictamen, acompañado cuando sea apropiado por medidas, ensayos o cálculos. Límite de tolerancia (ISO 3534) Valor límite (inferior o superior) especificado para una característica medible. Cuando hay un único límite especificado, se le denomina límite simple de tolerancia. Cuando hay dos límites, superior e inferior, se les denomina respectivamente Manual de la calidad (ISO 9000) Documento que describe el sistema de gestión de la calidad de una organización.

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Gestión de la calidad

Material de referencia (VIM) Sustancia para la cual una o varias propiedades están lo suficientemente bien establecidas como para calibrar un instrumento o validar un procedimiento de medida. Mejora de la calidad (ISO 9000) Parte de la gestión de la calidad orientada a mejorar su eficacia y eficiencia. Método de referencia (ISO Guide 30) Método de medida que ha sido exhaustivamente utilizado y claramente descrito, habiéndose evaluado su exactitud, y que puede ser utilizado para evaluar la exactitud de otros métodos (y eventualmente validarlos) y para asignar valores de referencia. Muestra (ISO 3534) Uno o más objetos extraídos de una población y destinados a proporcionar información sobre la población y, eventualmente, servir de base para una decisión sobre la población o el proceso que la ha producido. Muestreo (ISO 3534) El procedimiento usado para seleccionar o constituir una muestra. No conformidad (ISO 9000) Incumplimiento de un requisito. Organización (ISO 9000) Conjunto de personal e instalaciones con un claro establecimiento de responsabilidades, autoridades y relaciones. Parte interesada (ISO 9000) Persona con un interés o grupo que tenga un interés compartido en el éxito de una organización. Patrón de medida (VIM) Medida materializada, aparato de medida, material de referencia o sistema de medida destinado a definir, realizar o reproducir una unidad o uno o varios valores de una magnitud para transmitirlos por comparación a otros instrumentos de medida. Planificación de la calidad (ISO 9000) La parte de la gestión de la calidad enfocada al establecimiento de los objetivos de la calidad y a la especificación de los procesos operativos necesarios y de los recursos relacionados para cumplir los objetivos de la calidad.

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Glosario

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Política de la calidad (ISO 9000) Intenciones y dirección global de una organización relativas a la calidad tal como se expresan formalmente por la alta dirección. Precisión (ISO 5725-1) Grado de coincidencia entre resultados de medida independientes, obtenidos en condiciones prescritas. Procedimiento (ISO 9000) Forma especificada para llevar a cabo una actividad o un proceso. Proceso (ISO 9000) Sistema de actividades, que utilizan recursos para transformar entradas en salidas. Proceso de medición (ISO 9000) Conjunto de recursos, actividades interrelacionadas e influencias relativas a una medición. Producto (ISO 9000) Resultado de un proceso. Registro (ISO 9000) Documento que proporciona resultados conseguidos o evidencia de actividades efectuadas. Repetibilidad (ISO 5725-1) Precisión bajo condiciones de repetibilidad. Reproducilidad (ISO 5725-1) Precisión bajo condiciones de reproducibilidad. Requisito (ISO 9000) Necesidad o expectativa establecida o habitualmente implícita u obligatoria. Requisito metrológico (ISO 9000) Requisito para una característica metrológica. Resolución (VIM) Expresión cuantitativa de la aptitud de un dispositivo indicador para permitir distinguir de modo significativo entre dos valores próximos de la magnitud indicada.

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Gestión de la calidad

Revisión (ISO 9000) Actividad formal y sistemática para asegurar la continua conformidad, la adecuación, eficiencia y eficacia de la materia objeto de la revisión para alcanzar unos objetivos claramente establecidos. Sesgo (ISO 5725-1) Diferencia entre la esperanza de los resultados de medida y el valor de referencia aceptado. Servicio (ISO 9000) Producto intangible resultado de al menos una actividad efectuada en el interfaz entre el suministrador y el cliente. Sistema (ISO 9000) Conjunto de elementos mutuamente relacionados o que actúan entre sí. Sistema de control de las mediciones (ISO 9000) Conjunto de operaciones necesarias para lograr la confirmación metrológica y el control continuo de los procesos de medición. Sistema de gestión de la calidad (ISO 9000) Sistema para establecer la política de la calidad y los objetivo de la calidad y para la consecución de dichos objetivos. Tolerancia (ISO 3534) Diferencia entre los límites superior e inferior de tolerancia. Trazabilidad (ISO 9000) Capacidad para seguir la historia, aplicación o localización de todo aquello que está en consideración. Unidad de muestreo (ISO 3534) Objeto extraído de la población. Validación (ISO 9000) Confirmación mediante el examen y la aportación de evidencia objetiva de que se han cumplido los requisitos particulares para una utilización o específica prevista. Verificación (ISO 9000) Confirmación mediante el examen y la aportación de evidencia objetiva de que se han cumplido los requisitos específicados. Zona de tolerancia (ISO 3534) La zona de valores en la cual una característica medible es conforme a su especificación.

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ÍNDICE

1. Ley de Snedecor F .................................................................................................... 211 1.1. Ley de Snedecor F: P(0,99)................................................................................. 211 1.2. Ley de Snedecor F: P(0,95)................................................................................. 211 1.3. Ley de Snedecor F: P(0,90)................................................................................. 212 2. Función de distribución de la ley Normal............................................................... 214 2

3. Función de la distribución X ................................................................................... 215 4. Función de la distribución T- Student..................................................................... 216 5. Función de distribución Binomial (Tabla 1) ........................................................... 217 5. Función de distribución Binomial (Tabla 2) ........................................................... 218 5. Función de distribución Binomial (Tabla 3) ........................................................... 219 5. Función de distribución Binomial (Tabla 4) ........................................................... 220 5. Función de distribución Binomial (Tabla 5) ........................................................... 221 5. Función de distribución Binomial (Tabla 6) ........................................................... 222 6. Función de distribución Poisson (Tabla 1)............................................................. 223 6. Función de distribución Poisson (Tabla 2)............................................................. 224 6. Función de distribución Poisson (Tabla 3)............................................................. 225 6. Función de distribución Poisson (Tabla 4)............................................................. 226

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Tablas de Estadística

211

1. Ley de Snedecor F 1.1. Ley de Snedecor F: P(0,99) 0,01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ν2 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120

1 4052 98,50 34,12 21,20 16,26 13,75 12,25 11,26 10,56 10,04 9,65 9,33 9,07 8,86 8,68 8,53 8,40 8,29 8,18 8,10 8,02 7,95 7,88 7,82 7,77 7,72 7,68 7,64 7,60 7,56 7,31 7,08 6,85

2 4999 99,00 30,82 18,00 13,27 10,92 9,55 8,65 8,02 7,56 7,21 6,93 6,70 6,51 6,36 6,23 6,11 6,01 5,93 5,85 5,78 5,72 5,66 5,61 5,57 5,53 5,49 5,45 5,42 5,39 5,18 4,98 4,79

3 5404 99,16 29,46 16,69 12,06 9,78 8,45 7,59 6,99 6,55 6,22 5,95 5,74 5,56 5,42 5,29 5,19 5,09 5,01 4,94 4,87 4,82 4,76 4,72 4,68 4,64 4,60 4,57 4,54 4,51 4,31 4,13 3,95

4 5624 99,25 28,71 15,98 11,39 9,15 7,85 7,01 6,42 5,99 5,67 5,41 5,21 5,04 4,89 4,77 4,67 4,58 4,50 4,43 4,37 4,31 4,26 4,22 4,18 4,14 4,11 4,07 4,04 4,02 3,83 3,65 3,48

5 5764 99,30 28,24 15,52 10,97 8,75 7,46 6,63 6,06 5,64 5,32 5,06 4,86 4,69 4,56 4,44 4,34 4,25 4,17 4,10 4,04 3,99 3,94 3,90 3,85 3,82 3,78 3,75 3,73 3,70 3,51 3,34 3,17

6 5859 99,33 27,91 15,21 10,67 8,47 7,19 6,37 5,80 5,39 5,07 4,82 4,62 4,46 4,32 4,20 4,10 4,01 3,94 3,87 3,81 3,76 3,71 3,67 3,63 3,59 3,56 3,53 3,50 3,47 3,29 3,12 2,96

7 5928 99,36 27,67 14,98 10,46 8,26 6,99 6,18 5,61 5,20 4,89 4,64 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 3,84 3,77 3,70 3,64 3,59 3,54 3,50 3,46 3,42 3,39 3,36 3,33 3,30 3,12 2,95 2,79

8 5981 99,38 27,49 14,80 10,29 8,10 6,84 6,03 5,47 5,06 4,74 4,50 4,30 4,14 4,00 3,89 3,79 3,71 3,63 3,56 3,51 3,45 3,41 3,36 3,32 3,29 3,26 3,23 3,20 3,17 2,99 2,82 2,66

9 6022 99,39 27,34 14,66 10,16 7,98 6,72 5,91 5,35 4,94 4,63 4,39 4,19 4,03 3,89 3,78 3,68 3,60 3,52 3,46 3,40 3,35 3,30 3,26 3,22 3,18 3,15 3,12 3,09 3,07 2,89 2,72 2,56

ν1 10 6056 99,40 27,23 14,55 10,05 7,87 6,62 5,81 5,26 4,85 4,54 4,30 4,10 3,94 3,80 3,69 3,59 3,51 3,43 3,37 3,31 3,26 3,21 3,17 3,13 3,09 3,06 3,03 3,00 2,98 2,80 2,63 2,47

11 6083 99,41 27,13 14,45 9,96 7,79 6,54 5,73 5,18 4,77 4,46 4,22 4,02 3,86 3,73 3,62 3,52 3,43 3,36 3,29 3,24 3,18 3,14 3,09 3,06 3,02 2,99 2,96 2,93 2,91 2,73 2,56 2,40

12 6107 99,42 27,05 14,37 9,89 7,72 6,47 5,67 5,11 4,71 4,40 4,16 3,96 3,80 3,67 3,55 3,46 3,37 3,30 3,23 3,17 3,12 3,07 3,03 2,99 2,96 2,93 2,90 2,87 2,84 2,66 2,50 2,34

13 6126 99,42 26,98 14,31 9,82 7,66 6,41 5,61 5,05 4,65 4,34 4,10 3,91 3,75 3,61 3,50 3,40 3,32 3,24 3,18 3,12 3,07 3,02 2,98 2,94 2,90 2,87 2,84 2,81 2,79 2,61 2,44 2,28

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

14 6143 99,43 26,92 14,25 9,77 7,60 6,36 5,56 5,01 4,60 4,29 4,05 3,86 3,70 3,56 3,45 3,35 3,27 3,19 3,13 3,07 3,02 2,97 2,93 2,89 2,86 2,82 2,79 2,77 2,74 2,56 2,39 2,23

15 6157 99,43 26,87 14,20 9,72 7,56 6,31 5,52 4,96 4,56 4,25 4,01 3,82 3,66 3,52 3,41 3,31 3,23 3,15 3,09 3,03 2,98 2,93 2,89 2,85 2,81 2,78 2,75 2,73 2,70 2,52 2,35 2,19

20 6209 99,45 26,69 14,02 9,55 7,40 6,16 5,36 4,81 4,41 4,10 3,86 3,66 3,51 3,37 3,26 3,16 3,08 3,00 2,94 2,88 2,83 2,78 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,37 2,20 2,03

25 6240 99,46 26,58 13,91 9,45 7,30 6,06 5,26 4,71 4,31 4,01 3,76 3,57 3,41 3,28 3,16 3,07 2,98 2,91 2,84 2,79 2,73 2,69 2,64 2,60 2,57 2,54 2,51 2,48 2,45 2,27 2,20 2,03

30 6260 99,47 26,50 13,84 9,38 7,23 5,99 5,20 4,65 4,25 3,94 3,70 3,51 3,35 3,21 3,10 3,00 2,92 2,84 2,78 2,72 2,67 2,62 2,58 2,54 2,50 2,47 2,44 2,41 2,39 2,20 2,20 2,03

40 6286 99,48 26,41 13,75 9,29 7,14 5,91 5,12 4,57 4,17 3,86 3,62 3,43 3,27 3,13 3,02 2,92 2,84 2,76 2,69 2,64 2,58 2,54 2,49 2,45 2,42 2,38 2,35 2,33 2,30 2,11 2,20 2,03

60 6313 99,48 26,32 13,65 9,20 7,06 5,82 5,03 4,48 4,08 3,78 3,54 3,34 3,18 3,05 2,93 2,83 2,75 2,67 2,61 2,55 2,50 2,45 2,40 2,36 2,33 2,29 2,26 2,23 2,21 2,02 1,84 1,66

120 6340 99,49 26,22 13,56 9,11 6,97 5,74 4,95 4,40 4,00 3,69 3,45 3,25 3,09 2,96 2,84 2,75 2,66 2,58 2,52 2,46 2,40 2,35 2,31 2,27 2,23 2,20 2,17 2,14 2,11 1,92 1,73 1,53

Tablas de Estadística

212

1.2. Ley de Snedecor F: P(0,95)

ν2

ν1 0,05 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 25 30 40 60 120 1 161 199 216 225 230 234 237 239 241 242 243 244 245 245 246 248 249 250 251 252 253 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,40 19,41 19,42 19,42 19,43 19,45 19,46 19,46 19,47 19,48 19,49 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,73 8,71 8,70 8,66 8,63 8,62 8,59 8,57 8,55 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,89 5,87 5,86 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 4,62 4,56 4,52 4,50 4,46 4,43 4,40 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 3,94 3,87 3,83 3,81 3,77 3,74 3,70 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 3,51 3,44 3,40 3,38 3,34 3,30 3,27 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,26 3,24 3,22 3,15 3,11 3,08 3,04 3,01 2,97 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,94 2,89 2,86 2,83 2,79 2,75 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,89 2,86 2,85 2,77 2,73 2,70 2,66 2,62 2,58 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,72 2,65 2,60 2,57 2,53 2,49 2,45 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 2,62 2,54 2,50 2,47 2,43 2,38 2,34 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,58 2,55 2,53 2,46 2,41 2,38 2,34 2,30 2,25 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,48 2,46 2,39 2,34 2,31 2,27 2,22 2,18 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,33 2,28 2,25 2,20 2,16 2,11 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,40 2,37 2,35 2,28 2,23 2,19 2,15 2,11 2,06 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,33 2,31 2,23 2,18 2,15 2,10 2,06 2,01 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 2,27 2,19 2,14 2,11 2,06 2,02 1,97 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,12 2,07 2,04 1,99 1,95 1,90 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26 2,23 2,20 2,17 2,15 2,07 2,02 1,98 1,94 1,89 1,84 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,24 2,20 2,18 2,15 2,13 2,05 2,00 1,96 1,91 1,86 1,81 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22 2,18 2,15 2,13 2,11 2,03 1,97 1,94 1,89 1,84 1,79 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,20 2,16 2,14 2,11 2,09 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18 2,15 2,12 2,09 2,07 1,99 1,94 1,90 1,85 1,80 1,75 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,17 2,13 2,10 2,08 2,06 1,97 1,92 1,88 1,84 1,79 1,73 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15 2,12 2,09 2,06 2,04 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,71 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,14 2,10 2,08 2,05 2,03 1,94 1,89 1,85 1,81 1,75 1,70 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13 2,09 2,06 2,04 2,01 1,93 1,88 1,84 1,79 1,74 1,68 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,00 1,97 1,95 1,92 1,84 1,78 1,74 1,69 1,64 1,58 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,95 1,92 1,89 1,86 1,84 1,75 1,75 1,75 1,75 1,53 1,47 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,18 2,09 2,02 1,96 1,91 1,87 1,83 1,80 1,78 1,75 1,66 1,66 1,66 1,66 1,43 1,35

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Tablas de Estadística

213

1.3. Función de distribución F: P(0,90) ν1 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 25 30 40 60 120 1 39,86 49,50 53,59 55,83 57,24 58,20 58,91 59,44 59,86 60,19 60,47 60,71 60,90 61,07 61,22 61,74 62,05 62,26 62,53 62,79 63,06 2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38 9,39 9,40 9,41 9,41 9,42 9,42 9,44 9,45 9,46 9,47 9,47 9,48 3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24 5,23 5,22 5,22 5,21 5,20 5,20 5,18 5,17 5,17 5,16 5,15 5,14 4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94 3,92 3,91 3,90 3,89 3,88 3,87 3,84 3,83 3,82 3,80 3,79 3,78 5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32 3,30 3,28 3,27 3,26 3,25 3,24 3,21 3,19 3,17 3,16 3,14 3,12 6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96 2,94 2,92 2,90 2,89 2,88 2,87 2,84 2,81 2,80 2,78 2,76 2,74 7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72 2,70 2,68 2,67 2,65 2,64 2,63 2,59 2,57 2,56 2,54 2,51 2,49 8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56 2,54 2,52 2,50 2,49 2,48 2,46 2,42 2,40 2,38 2,36 2,34 2,32 9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44 2,42 2,40 2,38 2,36 2,35 2,34 2,30 2,27 2,25 2,23 2,21 2,18 10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35 2,32 2,30 2,28 2,27 2,26 2,24 2,20 2,17 2,16 2,13 2,11 2,08 11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27 2,25 2,23 2,21 2,19 2,18 2,17 2,12 2,10 2,08 2,05 2,03 2,00 12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21 2,19 2,17 2,15 2,13 2,12 2,10 2,06 2,03 2,01 1,99 1,96 1,93 13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16 2,14 2,12 2,10 2,08 2,07 2,05 2,01 1,98 1,96 1,93 1,90 1,88 14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12 2,10 2,07 2,05 2,04 2,02 2,01 1,96 1,93 1,91 1,89 1,86 1,83 15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09 2,06 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,92 1,89 1,87 1,85 1,82 1,79 16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06 2,03 2,01 1,99 1,97 1,95 1,94 1,89 1,86 1,84 1,81 1,78 1,75 ν2 17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03 2,00 1,98 1,96 1,94 1,93 1,91 1,86 1,83 1,81 1,78 1,75 1,72 18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00 1,98 1,95 1,93 1,92 1,90 1,89 1,84 1,80 1,78 1,75 1,72 1,69 19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98 1,96 1,93 1,91 1,89 1,88 1,86 1,81 1,78 1,76 1,73 1,70 1,67 20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96 1,94 1,91 1,89 1,87 1,86 1,84 1,79 1,76 1,74 1,71 1,68 1,64 21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95 1,92 1,90 1,87 1,86 1,84 1,83 1,78 1,74 1,72 1,69 1,66 1,62 22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93 1,90 1,88 1,86 1,84 1,83 1,81 1,76 1,73 1,70 1,67 1,64 1,60 23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92 1,89 1,87 1,84 1,83 1,81 1,80 1,74 1,71 1,69 1,66 1,62 1,59 24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91 1,88 1,85 1,83 1,81 1,80 1,78 1,73 1,70 1,67 1,64 1,61 1,57 25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89 1,87 1,84 1,82 1,80 1,79 1,77 1,72 1,68 1,66 1,63 1,59 1,56 26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88 1,86 1,83 1,81 1,79 1,77 1,76 1,71 1,67 1,65 1,61 1,58 1,54 27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87 1,85 1,82 1,80 1,78 1,76 1,75 1,70 1,66 1,64 1,60 1,57 1,53 28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87 1,84 1,81 1,79 1,77 1,75 1,74 1,69 1,65 1,63 1,59 1,56 1,52 29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86 1,83 1,80 1,78 1,76 1,75 1,73 1,68 1,64 1,62 1,58 1,55 1,51 30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85 1,82 1,79 1,77 1,75 1,74 1,72 1,67 1,63 1,61 1,57 1,54 1,50 40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79 1,76 1,74 1,71 1,70 1,68 1,66 1,61 1,57 1,54 1,51 1,47 1,42 60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 1,68 1,66 1,64 1,62 1,60 1,54 1,54 1,54 1,54 1,40 1,35 120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68 1,65 1,63 1,60 1,58 1,56 1,55 1,48 1,48 1,48 1,48 1,32 1,26

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Tablas de Estadística

214

2. Función de distribución de la ley Normal Z 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Tablas de Estadística

215

3. Función de la distribución X2 ν

p

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 38 40 60

0,995 7,879 10,597 12,838 14,860 16,750 18,548 20,278 21,955 23,589 25,188 26,757 28,300 29,819 31,319 32,801 34,267 35,718 37,156 38,582 39,997 41,401 42,796 44,181 45,558 46,928 48,290 49,645 50,994 52,335 53,672 64,181 66,766 91,952

0,99 6,635 9,210 11,345 13,277 15,086 16,812 18,475 20,090 21,666 23,209 24,725 26,217 27,688 29,141 30,578 32,000 33,409 34,805 36,191 37,566 38,932 40,289 41,638 42,980 44,314 45,642 46,963 48,278 49,588 50,892 61,162 63,691 88,379

0,975 5,024 7,378 9,348 11,143 12,832 14,449 16,013 17,535 19,023 20,483 21,920 23,337 24,736 26,119 27,488 28,845 30,191 31,526 32,852 34,170 35,479 36,781 38,076 39,364 40,646 41,923 43,195 44,461 45,722 46,979 56,895 59,342 83,298

0,95 3,841 5,991 7,815 9,488 11,070 12,592 14,067 15,507 16,919 18,307 19,675 21,026 22,362 23,685 24,996 26,296 27,587 28,869 30,144 31,410 32,671 33,924 35,172 36,415 37,652 38,885 40,113 41,337 42,557 43,773 53,384 55,758 79,082

0,9 0,016 0,211 0,584 1,064 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 5,578 6,304 7,041 7,790 8,547 9,312 10,085 10,865 11,651 12,443 13,240 14,041 14,848 15,659 16,473 17,292 18,114 18,939 19,768 20,599 27,343 29,051 46,459

0,75 1,323 2,773 4,108 5,385 6,626 7,841 9,037 10,219 11,389 12,549 13,701 14,845 15,984 17,117 18,245 19,369 20,489 21,605 22,718 23,828 24,935 26,039 27,141 28,241 29,339 30,435 31,528 32,620 33,711 34,800 43,462 45,616 66,981

0,5 0,455 1,386 2,366 3,357 4,351 5,348 6,346 7,344 8,343 9,342 10,341 11,340 12,340 13,339 14,339 15,338 16,338 17,338 18,338 19,337 20,337 21,337 22,337 23,337 24,337 25,336 26,336 27,336 28,336 29,336 37,335 39,335 59,335

0,25 0,102 0,575 1,213 1,923 2,675 3,455 4,255 5,071 5,899 6,737 7,584 8,438 9,299 10,165 11,037 11,912 12,792 13,675 14,562 15,452 16,344 17,240 18,137 19,037 19,939 20,843 21,749 22,657 23,567 24,478 31,815 33,660 52,294

0,1 0,016 0,211 0,584 1,064 1,610 2,204 2,833 3,490 4,168 4,865 5,578 6,304 7,041 7,790 8,547 9,312 10,085 10,865 11,651 12,443 13,240 14,041 14,848 15,659 16,473 17,292 18,114 18,939 19,768 20,599 27,343 29,051 46,459

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

0,05 0,004 0,103 0,352 0,711 1,145 1,635 2,167 2,733 3,325 3,940 4,575 5,226 5,892 6,571 7,261 7,962 8,672 9,390 10,117 10,851 11,591 12,338 13,091 13,848 14,611 15,379 16,151 16,928 17,708 18,493 24,884 26,509 43,188

0,025 0,001 0,051 0,216 0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 2,700 3,247 3,816 4,404 5,009 5,629 6,262 6,908 7,564 8,231 8,907 9,591 10,283 10,982 11,689 12,401 13,120 13,844 14,573 15,308 16,047 16,791 22,878 24,433 40,482

0,01 0,000 0,020 0,115 0,297 0,554 0,872 1,239 1,647 2,088 2,558 3,053 3,571 4,107 4,660 5,229 5,812 6,408 7,015 7,633 8,260 8,897 9,542 10,196 10,856 11,524 12,198 12,878 13,565 14,256 14,953 20,691 22,164 37,485

0,005 0,000 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,344 1,735 2,156 2,603 3,074 3,565 4,075 4,601 5,142 5,697 6,265 6,844 7,434 8,034 8,643 9,260 9,886 10,520 11,160 11,808 12,461 13,121 13,787 19,289 20,707 35,534

Tablas de Estadística

216

4. Función de la distribución t- Student v

α

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

0,1 0,05 0,025 3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,309 1,309 1,308 1,307 1,306 1,306 1,305 1,304 1,304 1,303

0,01 0,005 0,0025

0,001

6,314 12,706 31,821 63,656 127,321 318,289 2,920 4,303 6,965 9,925 14,089 22,328 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,214 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,894 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,930 1,771 2,160 2,650 3,012 3,372 3,852 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 1,746 2,120 2,583 2,921 3,252 3,686 1,740 2,110 2,567 2,898 3,222 3,646 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,610 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 1,721 2,080 2,518 2,831 3,135 3,527 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 1,714 2,069 2,500 2,807 3,104 3,485 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 1,696 2,040 2,453 2,744 3,022 3,375 1,694 2,037 2,449 2,738 3,015 3,365 1,692 2,035 2,445 2,733 3,008 3,356 1,691 2,032 2,441 2,728 3,002 3,348 1,690 2,030 2,438 2,724 2,996 3,340 1,688 2,028 2,434 2,719 2,990 3,333 1,687 2,026 2,431 2,715 2,985 3,326 1,686 2,024 2,429 2,712 2,980 3,319 1,685 2,023 2,426 2,708 2,976 3,313 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Tablas de Estadística

217

5. Función de distribución Binomial (Tabla 1) n 2

3

4

5

6

7

8

0,01 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 8

0,05

0,9801 0,9999 1,0000 0,9703 0,9997 1,0000

0,9025 0,9975 1,0000 0,8574 0,9928 0,9999 1,0000 0,9606 0,8145 0,9994 0,9860 1,0000 0,9995 1,0000 0,9510 0,7738 0,9990 0,9774 1,0000 0,9988 1,0000

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,8100 0,9900 1,0000 0,7290 0,9720 0,9990 1,0000 0,6561 0,9477 0,9963 0,9999 1,0000 0,5905 0,9185 0,9914 0,9995 1,0000

0,7225 0,9775 1,0000 0,6141 0,9393 0,9966 1,0000 0,5220 0,8905 0,9880 0,9995 1,0000 0,4437 0,8352 0,9734 0,9978 0,9999 1,0000 0,3771 0,7765 0,9527 0,9941 0,9996 1,0000

0,6400 0,9600 1,0000 0,5120 0,8960 0,9920 1,0000 0,4096 0,8192 0,9728 0,9984 1,0000 0,3277 0,7373 0,9421 0,9933 0,9997 1,0000 0,2621 0,6554 0,9011 0,9830 0,9984 0,9999 1,0000 0,2097 0,5767 0,8520 0,9667 0,9953 0,9996 1,0000

0,5625 0,9375 1,0000 0,4219 0,8438 0,9844 1,0000 0,3164 0,7383 0,9492 0,9961 1,0000 0,2373 0,6328 0,8965 0,9844 0,9990 1,0000 0,1780 0,5339 0,8306 0,9624 0,9954 0,9998 1,0000 0,1335 0,4449 0,7564 0,9294 0,9871 0,9987 0,9999 1,0000 0,1001 0,3671 0,6785 0,8862 0,9727 0,9958 0,9996 1,0000

0,4900 0,9100 1,0000 0,3430 0,7840 0,9730 1,0000 0,2401 0,6517 0,9163 0,9919 1,0000 0,1681 0,5282 0,8369 0,9692 0,9976 1,0000 0,1176 0,4202 0,7443 0,9295 0,9891 0,9993 1,0000 0,0824 0,3294 0,6471 0,8740 0,9712 0,9962 0,9998 1,0000 0,0576 0,2553 0,5518 0,8059 0,9420 0,9887 0,9987 0,9999 1,0000

0,4225 0,8775 1,0000 0,2746 0,7183 0,9571 1,0000 0,1785 0,5630 0,8735 0,9850 1,0000 0,1160 0,4284 0,7648 0,9460 0,9947 1,0000 0,0754 0,3191 0,6471 0,8826 0,9777 0,9982 1,0000 0,0490 0,2338 0,5323 0,8002 0,9444 0,9910 0,9994 1,0000 0,0319 0,1691 0,4278 0,7064 0,8939 0,9747 0,9964 0,9998 1,0000

0,3600 0,8400 1,0000 0,2160 0,6480 0,9360 1,0000 0,1296 0,4752 0,8208 0,9744 1,0000 0,0778 0,3370 0,6826 0,9130 0,9898 1,0000 0,0467 0,2333 0,5443 0,8208 0,9590 0,9959 1,0000 0,0280 0,1586 0,4199 0,7102 0,9037 0,9812 0,9984 1,0000 0,0168 0,1064 0,3154 0,5941 0,8263 0,9502 0,9915 0,9993 1,0000

0,3025 0,7975 1,0000 0,1664 0,5748 0,9089 1,0000 0,0915 0,3910 0,7585 0,9590 1,0000 0,0503 0,2562 0,5931 0,8688 0,9815 1,0000 0,0277 0,1636 0,4415 0,7447 0,9308 0,9917 1,0000 0,0152 0,1024 0,3164 0,6083 0,8471 0,9643 0,9963 1,0000 0,0084 0,0632 0,2201 0,4770 0,7396 0,9115 0,9819 0,9983 1,0000

0,25 0,75 1,0000 0,1250 0,5000 0,8750 1,0000 0,0625 0,3125 0,6875 0,9375 1,0000 0,0313 0,1875 0,5000 0,8125 0,9688 1,0000 0,0156 0,1094 0,3438 0,6563 0,8906 0,9844 1,0000 0,0078 0,0625 0,2266 0,5000 0,7734 0,9375 0,9922 1,0000 0,0039 0,0352 0,1445 0,3633 0,6367 0,8555 0,9648 0,9961 1,0000

0,9415 0,7351 0,5314 0,9985 0,9672 0,8857 1,0000 0,9978 0,9842 0,9999 0,9987 1,0000 0,9999 1,0000

0,9321 0,6983 0,4783 0,3206 0,9980 0,9556 0,8503 0,7166 1,0000 0,9962 0,9743 0,9262 0,9998 0,9973 0,9879 1,0000 0,9998 0,9988 1,0000 0,9999 1,0000 0,9227 0,9973 0,9999 1,0000

0,6634 0,9428 0,9942 0,9996 1,0000

0,4305 0,8131 0,9619 0,9950 0,9996 1,0000

0,2725 0,6572 0,8948 0,9786 0,9971 0,9998 1,0000

0,1678 0,5033 0,7969 0,9437 0,9896 0,9988 0,9999 1,0000

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Tablas de Estadística

218

5. Función de distribución Binomial (Tabla 2) n

0,01

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,9135 0,9966 0,9999 1,0000

0,6302 0,9288 0,9916 0,9994 1,0000

0,3874 0,7748 0,9470 0,9917 0,9991 0,9999 1,0000

0,2316 0,5995 0,8591 0,9661 0,9944 0,9994 1,0000

0,1342 0,4362 0,7382 0,9144 0,9804 0,9969 0,9997 1,0000

0,0751 0,3003 0,6007 0,8343 0,9511 0,9900 0,9987 0,9999 1,0000

0,0404 0,1960 0,4628 0,7297 0,9012 0,9747 0,9957 0,9996 1,0000

0,9044 0,9957 0,9999 1,0000

0,5987 0,9139 0,9885 0,9990 0,9999 1,0000

0,3487 0,7361 0,9298 0,9872 0,9984 0,9999 1,0000

0,1969 0,5443 0,8202 0,9500 0,9901 0,9986 0,9999 1,0000

0,1074 0,3758 0,6778 0,8791 0,9672 0,9936 0,9991 0,9999 1,0000

0,0563 0,2440 0,5256 0,7759 0,9219 0,9803 0,9965 0,9996 1,0000

0,0282 0,1493 0,3828 0,6496 0,8497 0,9527 0,9894 0,9984 0,9999 1,0000

0,0207 0,1211 0,3373 0,6089 0,8283 0,9464 0,9888 0,9986 0,9999 1,0000 0,0135 0,0860 0,2616 0,5138 0,7515 0,9051 0,9740 0,9952 0,9995 1,0000

11

0,8953 0,9948 0,9998 1

0,5688 0,8981 0,9848 0,9984 0,9999 1

0,3138 0,6974 0,9104 0,9815 0,9972 0,9997 1

0,1673 0,4922 0,7788 0,9306 0,9841 0,9973 0,9997 1

0,0859 0,3221 0,6174 0,8389 0,9496 0,9883 0,998 0,9998 1

0,0422 0,1971 0,4552 0,7133 0,8854 0,9657 0,9924 0,9988 0,9999 1

0,0198 0,113 0,3127 0,5696 0,7897 0,9218 0,9784 0,9957 0,9994 1

0,0088 0,0606 0,2001 0,4256 0,6683 0,8513 0,9499 0,9878 0,998 0,9998 1

0,0101 0,0705 0,2318 0,4826 0,7334 0,9006 0,9750 0,9962 0,9997 1,0000 0,0060 0,0464 0,1673 0,3823 0,6331 0,8338 0,9452 0,9877 0,9983 0,9999 1,0000 0,0036 0,0302 0,1189 0,2963 0,5328 0,7535 0,9006 0,9707 0,9941 0,9993 1

0,8864 0,9938 0,9998 1

0,5404 0,8816 0,9804 0,9978 0,9998 1

0,2824 0,659 0,8891 0,9744 0,9957 0,9995 0,9999 1

0,1422 0,4435 0,7358 0,9078 0,9761 0,9954 0,9993 0,9999 1

0,0687 0,2749 0,5583 0,7946 0,9274 0,9806 0,9961 0,9994 0,9999 1

0,0317 0,1584 0,3907 0,6488 0,8424 0,9456 0,9857 0,9972 0,9996 1

0,0138 0,085 0,2528 0,4925 0,7237 0,8822 0,9614 0,9905 0,9983 0,9998 1

0,0057 0,0424 0,1513 0,3467 0,5833 0,7873 0,9154 0,9745 0,9944 0,9992 0,9999 1

0,0022 0,0196 0,0834 0,2253 0,4382 0,6652 0,8418 0,9427 0,9847 0,9972 0,9997 1

0,0046 0,0385 0,1495 0,3614 0,6214 0,8342 0,9502 0,9909 0,9992 1,0000 0,0025 0,0233 0,0996 0,2660 0,5044 0,7384 0,8980 0,9726 0,9955 0,9997 1,0000 0,0014 0,0139 0,0652 0,1911 0,3971 0,6331 0,8262 0,939 0,9852 0,9978 0,9998 1 0,0008 0,0083 0,0421 0,1345 0,3044 0,5269 0,7393 0,8883 0,9644 0,9921 0,9989 0,9999 1

0,0020 0,0195 0,0898 0,2539 0,5000 0,7461 0,9102 0,9805 0,9980 1,0000 0,0010 0,0107 0,0547 0,1719 0,3770 0,6230 0,8281 0,9453 0,9893 0,9990 1,0000 0,0005 0,0059 0,0327 0,1133 0,2744 0,5 0,7256 0,8867 0,9673 0,9941 0,9995 1 0,0002 0,0032 0,0193 0,073 0,1938 0,3872 0,6128 0,8062 0,927 0,9807 0,9968 0,9998 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Tablas de Estadística

219

5. Función de distribución Binomial (Tabla 3) n 13 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,01 0,8775 0,9928 0,9997 1,0000

0,05 0,5133 0,8646 0,9755 0,9969 0,9997 1,0000

0,10 0,2542 0,6213 0,8661 0,9658 0,9935 0,9991 0,9999 1,0000

0,15 0,1209 0,3983 0,6920 0,8820 0,9658 0,9925 0,9987 0,9998 1,0000

0,20 0,0550 0,2336 0,5017 0,7473 0,9009 0,9700 0,9930 0,9988 0,9998 1,0000

0,25 0,0238 0,1267 0,3326 0,5843 0,7940 0,9198 0,9757 0,9944 0,9990 0,9999 1,0000

0,30 0,0097 0,0637 0,2025 0,4206 0,6543 0,8346 0,9376 0,9818 0,9960 0,9993 0,9999 1,0000

0,35 0,0037 0,0296 0,1132 0,2783 0,5005 0,7159 0,8705 0,9538 0,9874 0,9975 0,9997 1,0000

0,40 0,0013 0,0126 0,0579 0,1686 0,3530 0,5744 0,7712 0,9023 0,9679 0,9922 0,9987 0,9999 1,0000

0,45 0,0004 0,0049 0,0269 0,0929 0,2279 0,4268 0,6437 0,8212 0,9302 0,9797 0,9959 0,9995 1,0000

0,8687 0,9916 0,9997 1,0000

0,4877 0,8470 0,9699 0,9958 0,9996 1,0000

0,2288 0,5846 0,8416 0,9559 0,9908 0,9985 0,9998 1,0000

0,1028 0,3567 0,6479 0,8535 0,9533 0,9885 0,9978 0,9997 1,0000

0,0440 0,1979 0,4481 0,6982 0,8702 0,9561 0,9884 0,9976 0,9996 1,0000

0,0178 0,1010 0,2811 0,5213 0,7415 0,8883 0,9617 0,9897 0,9978 0,9997 1,0000

0,0068 0,0475 0,1608 0,3552 0,5842 0,7805 0,9067 0,9685 0,9917 0,9983 0,9998 1,0000

0,0024 0,0205 0,0839 0,2205 0,4227 0,6405 0,8164 0,9247 0,9757 0,9940 0,9989 0,9999 1,0000

0,0008 0,0081 0,0398 0,1243 0,2793 0,4859 0,6925 0,8499 0,9417 0,9825 0,9961 0,9994 0,9999 1,0000

0,0002 0,0029 0,0170 0,0632 0,1672 0,3373 0,5461 0,7414 0,8811 0,9574 0,9886 0,9978 0,9997 1,0000

0,8601 0,9904 0,9996 1,0000

0,4633 0,8290 0,9638 0,9945 0,9994 0,9999 1,0000

0,2059 0,5490 0,8159 0,9444 0,9873 0,9978 0,9997 1,0000

0,0874 0,3186 0,6042 0,8227 0,9383 0,9832 0,9964 0,9994 0,9999 1,0000

0,0352 0,1671 0,3980 0,6482 0,8358 0,9389 0,9819 0,9958 0,9992 0,9999 1,0000

0,0134 0,0802 0,2361 0,4613 0,6865 0,8516 0,9434 0,9827 0,9958 0,9992 0,9999 1,0000

0,0047 0,0353 0,1268 0,2969 0,5155 0,7216 0,8689 0,9500 0,9848 0,9963 0,9993 0,9999 1,0000

0,0016 0,0142 0,0617 0,1727 0,3519 0,5643 0,7548 0,8868 0,9578 0,9876 0,9972 0,9995 0,9999 1,0000

0,0005 0,0052 0,0271 0,0905 0,2173 0,4032 0,6098 0,7869 0,9050 0,9662 0,9907 0,9981 0,9997 1,0000

0,8515 0,9891 0,9995 1,0000

0,4401 0,8108 0,9571 0,9930 0,9991 0,9999 1,0000

0,1853 0,5147 0,7892 0,9316 0,9830 0,9967 0,9995 0,9999 1,0000

0,0743 0,2839 0,5614 0,7899 0,9209 0,9765 0,9944 0,9989 0,9998 1,0000

0,0281 0,1407 0,3518 0,5981 0,7982 0,9183 0,9733 0,9930 0,9985 0,9998 1,0000

0,0100 0,0635 0,1971 0,4050 0,6302 0,8103 0,9204 0,9729 0,9925 0,9984 0,9997 1,0000

0,0033 0,0261 0,0994 0,2459 0,4499 0,6598 0,8247 0,9256 0,9743 0,9929 0,9984 0,9997 1,0000

0,0010 0,0098 0,0451 0,1339 0,2892 0,4900 0,6881 0,8406 0,9329 0,9771 0,9938 0,9987 0,9998 1,0000

0,0003 0,0033 0,0183 0,0651 0,1666 0,3288 0,5272 0,7161 0,8577 0,9417 0,9809 0,9951 0,9991 0,9999 1,0000

0,0001 0,0017 0,0107 0,0424 0,1204 0,2608 0,4522 0,6535 0,8182 0,9231 0,9745 0,9937 0,9989 0,9999 1,0000 0,0001 0,0010 0,0066 0,0281 0,0853 0,1976 0,3660 0,5629 0,7441 0,8759 0,9514 0,9851 0,9965 0,9994 0,9999 1,0000

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

0,50 0,0001 0,0017 0,0112 0,0461 0,1334 0,2905 0,5000 0,7095 0,8666 0,9539 0,9888 0,9983 0,9999 1,0000 0,0001 0,0009 0,0065 0,0287 0,0898 0,2120 0,3953 0,6047 0,7880 0,9102 0,9713 0,9935 0,9991 0,9999 1,0000 0,0000 0,0005 0,0037 0,0176 0,0592 0,1509 0,3036 0,5000 0,6964 0,8491 0,9408 0,9824 0,9963 0,9995 1,0000 0,0000 0,0003 0,0021 0,0106 0,0384 0,1051 0,2272 0,4018 0,5982 0,7728 0,8949 0,9616 0,9894 0,9979 0,9997 1,0000

Tablas de Estadística

220

5. Función de distribución Binomial (Tabla 4) n 17 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,01 0,8429 0,9877 0,9994 1,0000

0,05 0,4181 0,7922 0,9497 0,9912 0,9988 0,9999 1,0000

0,10 0,1668 0,4818 0,7618 0,9174 0,9779 0,9953 0,9992 0,9999 1,0000

0,15 0,0631 0,2525 0,5198 0,7556 0,9013 0,9681 0,9917 0,9983 0,9997 1,0000

0,20 0,0225 0,1182 0,3096 0,5489 0,7582 0,8943 0,9623 0,9891 0,9974 0,9995 0,9999 1,0000

0,25 0,0075 0,0501 0,1637 0,3530 0,5739 0,7653 0,8929 0,9598 0,9876 0,9969 0,9994 0,9999 1,0000

0,30 0,0023 0,0193 0,0774 0,2019 0,3887 0,5968 0,7752 0,8954 0,9597 0,9873 0,9968 0,9993 0,9999 1,0000

0,35 0,0007 0,0067 0,0327 0,1028 0,2348 0,4197 0,6188 0,7872 0,9006 0,9617 0,9880 0,9970 0,9994 0,9999 1,0000

0,40 0,0002 0,0021 0,0123 0,0464 0,1260 0,2639 0,4478 0,6405 0,8011 0,9081 0,9652 0,9894 0,9975 0,9995 0,9999 1,0000

0,45 0,0000 0,0006 0,0041 0,0184 0,0596 0,1471 0,2902 0,4743 0,6626 0,8166 0,9174 0,9699 0,9914 0,9981 0,9997 1,0000

0,8345 0,9862 0,9993 1,0000

0,3972 0,7735 0,9419 0,9891 0,9985 0,9998 1,0000

0,1501 0,4503 0,7338 0,9018 0,9718 0,9936 0,9988 0,9998 1,0000

0,0536 0,2241 0,4797 0,7202 0,8794 0,9581 0,9882 0,9973 0,9995 0,9999 1,0000

0,0180 0,0991 0,2713 0,5010 0,7164 0,8671 0,9487 0,9837 0,9957 0,9991 0,9998 1,0000

0,0056 0,0395 0,1353 0,3057 0,5187 0,7175 0,8610 0,9431 0,9807 0,9946 0,9988 0,9998 1,0000

0,0016 0,0142 0,0600 0,1646 0,3327 0,5344 0,7217 0,8593 0,9404 0,9790 0,9939 0,9986 0,9997 1,0000

0,0004 0,0046 0,0236 0,0783 0,1886 0,3550 0,5491 0,7283 0,8609 0,9403 0,9788 0,9938 0,9986 0,9997 1,0000

0,0001 0,0013 0,0082 0,0328 0,0942 0,2088 0,3743 0,5634 0,7368 0,8653 0,9424 0,9797 0,9942 0,9987 0,9998 1,0000

0,0000 0,0003 0,0025 0,0120 0,0411 0,1077 0,2258 0,3915 0,5778 0,7473 0,8720 0,9463 0,9817 0,9951 0,9990 0,9999 1,0000

0,8262 0,9847 0,9991 1,0000

0,3774 0,7547 0,9335 0,9868 0,9980 0,9998 1,0000

0,1351 0,4203 0,7054 0,8850 0,9648 0,9914 0,9983 0,9997 1,0000

0,0456 0,1985 0,4413 0,6841 0,8556 0,9463 0,9837 0,9959 0,9992 0,9999 1,0000

0,0144 0,0829 0,2369 0,4551 0,6733 0,8369 0,9324 0,9767 0,9933 0,9984 0,9997 1,0000

0,0042 0,0310 0,1113 0,2631 0,4654 0,6678 0,8251 0,9225 0,9713 0,9911 0,9977 0,9995 0,9999 1,0000

0,0011 0,0104 0,0462 0,1332 0,2822 0,4739 0,6655 0,8180 0,9161 0,9674 0,9895 0,9972 0,9994 0,9999 1,0000

0,0003 0,0031 0,0170 0,0591 0,1500 0,2968 0,4812 0,6656 0,8145 0,9125 0,9653 0,9886 0,9969 0,9993 0,9999 1,0000

0,0001 0,0008 0,0055 0,0230 0,0696 0,1629 0,3081 0,4878 0,6675 0,8139 0,9115 0,9648 0,9884 0,9969 0,9994 0,9999 1,0000

0,0000 0,0002 0,0015 0,0077 0,0280 0,0777 0,1727 0,3169 0,4940 0,6710 0,8159 0,9129 0,9658 0,9891 0,9972 0,9995 0,9999 1,0000

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

0,50 0,0000 0,0001 0,0012 0,0064 0,0245 0,0717 0,1662 0,3145 0,5000 0,6855 0,8338 0,9283 0,9755 0,9936 0,9988 0,9999 1,0000 0,0000 0,0001 0,0007 0,0038 0,0154 0,0481 0,1189 0,2403 0,4073 0,5927 0,7597 0,8811 0,9519 0,9846 0,9962 0,9993 0,9999 1,0000 0,0000 0,0000 0,0004 0,0022 0,0096 0,0318 0,0835 0,1796 0,3238 0,5000 0,6762 0,8204 0,9165 0,9682 0,9904 0,9978 0,9996 1,0000

Tablas de Estadística

221

5. Función de distribución Binomial (Tabla 5) n 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 25 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0,01 0,8179 0,9831 0,9990 1,0000

0,05 0,3585 0,7358 0,9245 0,9841 0,9974 0,9997 1,0000

0,10 0,1216 0,3917 0,6769 0,8670 0,9568 0,9887 0,9976 0,9996 0,9999 1,0000

0,15 0,0388 0,1756 0,4049 0,6477 0,8298 0,9327 0,9781 0,9941 0,9987 0,9998 1,0000

0,20 0,0115 0,0692 0,2061 0,4114 0,6296 0,8042 0,9133 0,9679 0,9900 0,9974 0,9994 0,9999 1,0000

0,25 0,0032 0,0243 0,0913 0,2252 0,4148 0,6172 0,7858 0,8982 0,9591 0,9861 0,9961 0,9991 0,9998 1,0000

0,30 0,0008 0,0076 0,0355 0,1071 0,2375 0,4164 0,6080 0,7723 0,8867 0,9520 0,9829 0,9949 0,9987 0,9997 1,0000

0,35 0,0002 0,0021 0,0121 0,0444 0,1182 0,2454 0,4166 0,6010 0,7624 0,8782 0,9468 0,9804 0,9940 0,9985 0,9997 1,0000

0,40 0,0000 0,0005 0,0036 0,0160 0,0510 0,1256 0,2500 0,4159 0,5956 0,7553 0,8725 0,9435 0,9790 0,9935 0,9984 0,9997 1,0000

0,45 0,0000 0,0001 0,0009 0,0049 0,0189 0,0553 0,1299 0,2520 0,4143 0,5914 0,7507 0,8692 0,9420 0,9786 0,9936 0,9985 0,9997 1,0000

0,7778 0,9742 0,9980 0,9999 1,0000

0,2774 0,6424 0,8729 0,9659 0,9928 0,9988 0,9998 1,0000

0,0718 0,2712 0,5371 0,7636 0,9020 0,9666 0,9905 0,9977 0,9995 0,9999 1,0000

0,0172 0,0931 0,2537 0,4711 0,6821 0,8385 0,9305 0,9745 0,9920 0,9979 0,9995 0,9999 1,0000

0,0038 0,0274 0,0982 0,2340 0,4207 0,6167 0,7800 0,8909 0,9532 0,9827 0,9944 0,9985 0,9996 0,9999 1,0000

0,0008 0,0070 0,0321 0,0962 0,2137 0,3783 0,5611 0,7265 0,8506 0,9287 0,9703 0,9893 0,9966 0,9991 0,9998 1,0000

0,0001 0,0016 0,0090 0,0332 0,0905 0,1935 0,3407 0,5118 0,6769 0,8106 0,9022 0,9558 0,9825 0,9940 0,9982 0,9995 0,9999 1,0000

0,0000 0,0003 0,0021 0,0097 0,0320 0,0826 0,1734 0,3061 0,4668 0,6303 0,7712 0,8746 0,9396 0,9745 0,9907 0,9971 0,9992 0,9998 1,0000

0,0000 0,0001 0,0004 0,0024 0,0095 0,0294 0,0736 0,1536 0,2735 0,4246 0,5858 0,7323 0,8462 0,9222 0,9656 0,9868 0,9957 0,9988 0,9997 0,9999 1,0000

0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0023 0,0086 0,0258 0,0639 0,1340 0,2424 0,3843 0,5426 0,6937 0,8173 0,9040 0,9560 0,9826 0,9942 0,9984 0,9996 0,9999 1,0000

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

0,50 0,0000 0,0000 0,0002 0,0013 0,0059 0,0207 0,0577 0,1316 0,2517 0,4119 0,5881 0,7483 0,8684 0,9423 0,9793 0,9941 0,9987 0,9998 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0020 0,0073 0,0216 0,0539 0,1148 0,2122 0,3450 0,5000 0,6550 0,7878 0,8852 0,9461 0,9784 0,9927 0,9980 0,9995 0,9999 1,0000

Tablas de Estadística

222

5. Función de distribución Binomial (Tabla 6)

n 30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0,01 0,7397 0,9639 0,9967 0,9998 1,0000

0,05 0,2146 0,5535 0,8122 0,9392 0,9844 0,9967 0,9994 0,9999 1,0000

0,10 0,0424 0,1837 0,4114 0,6474 0,8245 0,9268 0,9742 0,9922 0,9980 0,9995 0,9999 1,0000

0,15 0,0076 0,0480 0,1514 0,3217 0,5245 0,7106 0,8474 0,9302 0,9722 0,9903 0,9971 0,9992 0,9998 1,0000

0,20 0,0012 0,0105 0,0442 0,1227 0,2552 0,4275 0,6070 0,7608 0,8713 0,9389 0,9744 0,9905 0,9969 0,9991 0,9998 0,9999 1,0000

0,25 0,0002 0,0020 0,0106 0,0374 0,0979 0,2026 0,3481 0,5143 0,6736 0,8034 0,8943 0,9493 0,9784 0,9918 0,9973 0,9992 0,9998 0,9999 1,0000

0,30 0,0000 0,0003 0,0021 0,0093 0,0302 0,0766 0,1595 0,2814 0,4315 0,5888 0,7304 0,8407 0,9155 0,9599 0,9831 0,9936 0,9979 0,9994 0,9998 1,0000

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

0,35 0,0000 0,0000 0,0003 0,0019 0,0075 0,0233 0,0586 0,1238 0,2247 0,3575 0,5078 0,6548 0,7802 0,8737 0,9348 0,9699 0,9876 0,9955 0,9986 0,9996 0,9999 1,0000

0,40 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0015 0,0057 0,0172 0,0435 0,0940 0,1763 0,2915 0,4311 0,5785 0,7145 0,8246 0,9029 0,9519 0,9788 0,9917 0,9971 0,9991 0,9998 1,0000

0,45 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0040 0,0121 0,0312 0,0694 0,1350 0,2327 0,3592 0,5025 0,6448 0,7691 0,8644 0,9286 0,9666 0,9862 0,9950 0,9984 0,9996 0,9999 1,0000

0,50 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0007 0,0026 0,0081 0,0214 0,0494 0,1002 0,1808 0,2923 0,4278 0,5722 0,7077 0,8192 0,8998 0,9506 0,9786 0,9919 0,9974 0,9993 0,9998 1,0000

Tablas de Estadística

223

6. Función de distribución Poisson (Tabla 1) x/λ 0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0 1 2 3 4 5 6 7

0,9048 0,9953 0,9998 1,0000

0,8187 0,9825 0,9989 0,9999 1,0000

0,7408 0,9631 0,9964 0,9997 1,0000

0,6703 0,9384 0,9921 0,9992 0,9999 1,0000

0,6065 0,9098 0,9856 0,9982 0,9998 1,0000 1,0000

0,5488 0,8781 0,9769 0,9966 0,9996 1,0000 1,0000

0,4966 0,8442 0,9659 0,9942 0,9992 0,9999 1,0000

0,4493 0,8088 0,9526 0,9909 0,9986 0,9998 1,0000

0,4066 0,7725 0,9371 0,9865 0,9977 0,9997 1,0000

0,3679 0,7358 0,9197 0,9810 0,9963 0,9994 0,9999 1,0000

x/λ

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0,3329 0,6990 0,9004 0,9743 0,9946 0,9990 0,9999 1,0000 1,0000

0,3012 0,6626 0,8795 0,9662 0,9923 0,9985 0,9997 1,0000 1,0000

0,2725 0,6268 0,8571 0,9569 0,9893 0,9978 0,9996 0,9999 1,0000

0,2466 0,5918 0,8335 0,9463 0,9857 0,9968 0,9994 0,9999 1,0000

0,2231 0,5578 0,8088 0,9344 0,9814 0,9955 0,9991 0,9998 1,0000

0,2019 0,5249 0,7834 0,9212 0,9763 0,9940 0,9987 0,9997 1,0000

0,1827 0,4932 0,7572 0,9068 0,9704 0,9920 0,9981 0,9996 0,9999 1,0000

0,1653 0,4628 0,7306 0,8913 0,9636 0,9896 0,9974 0,9994 0,9999 1,0000

0,1496 0,4337 0,7037 0,8747 0,9559 0,9868 0,9966 0,9992 0,9998 1,0000

0,1353 0,4060 0,6767 0,8571 0,9473 0,9834 0,9955 0,9989 0,9998 1,0000

x/λ

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

2,9

3,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0,1225 0,3796 0,6496 0,8386 0,9379 0,9796 0,9941 0,9985 0,9997 0,9999 1,0000

0,1108 0,3546 0,6227 0,8194 0,9275 0,9751 0,9925 0,9980 0,9995 0,9999 1,0000

0,1003 0,3309 0,5960 0,7993 0,9162 0,9700 0,9906 0,9974 0,9994 0,9999 1,0000

0,0907 0,3084 0,5697 0,7787 0,9041 0,9643 0,9884 0,9967 0,9991 0,9998 1,0000

0,0821 0,2873 0,5438 0,7576 0,8912 0,9580 0,9858 0,9958 0,9989 0,9997 0,9999 1,0000

0,0743 0,2674 0,5184 0,7360 0,8774 0,9510 0,9828 0,9947 0,9985 0,9996 0,9999 1,0000

0,0672 0,2487 0,4936 0,7141 0,8629 0,9433 0,9794 0,9934 0,9981 0,9995 0,9999 1,0000

0,0608 0,2311 0,4695 0,6919 0,8477 0,9349 0,9756 0,9919 0,9976 0,9993 0,9998 1,0000

0,0550 0,2146 0,4460 0,6696 0,8318 0,9258 0,9713 0,9901 0,9969 0,9991 0,9998 0,9999 1,0000

0,0498 0,1991 0,4232 0,6472 0,8153 0,9161 0,9665 0,9881 0,9962 0,9989 0,9997 0,9999 1,0000

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Tablas de Estadística

224

6. Función de distribución Poisson (Tabla 2) x/λ

3,1

3,2

3,2

3,4

3,5

3,6

3,7

3,8

3,9

4,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0,0450 0,1847 0,4012 0,6248 0,7982 0,9057 0,9612 0,9858 0,9953 0,9986 0,9996 0,9999 1,0000

0,0408 0,1712 0,3799 0,6025 0,7806 0,8946 0,9554 0,9832 0,9943 0,9982 0,9995 0,9999 1,0000

0,0408 0,1712 0,3799 0,6025 0,7806 0,8946 0,9554 0,9832 0,9943 0,9982 0,9995 0,9999 1,0000

0,0334 0,1468 0,3397 0,5584 0,7442 0,8705 0,9421 0,9769 0,9917 0,9973 0,9992 0,9998 0,9999 1,0000

0,0302 0,1359 0,3208 0,5366 0,7254 0,8576 0,9347 0,9733 0,9901 0,9967 0,9990 0,9997 0,9999 1,0000

0,0273 0,1257 0,3027 0,5152 0,7064 0,8441 0,9267 0,9692 0,9883 0,9960 0,9987 0,9996 0,9999 1,0000

0,0247 0,1162 0,2854 0,4942 0,6872 0,8301 0,9182 0,9648 0,9863 0,9952 0,9984 0,9995 0,9999 1,0000

0,0224 0,1074 0,2689 0,4735 0,6678 0,8156 0,9091 0,9599 0,9840 0,9942 0,9981 0,9994 0,9998 1,0000

0,0202 0,0992 0,2531 0,4532 0,6484 0,8006 0,8995 0,9546 0,9815 0,9931 0,9977 0,9993 0,9998 0,9999 1,0000

0,0183 0,0916 0,2381 0,4335 0,6288 0,7851 0,8893 0,9489 0,9786 0,9919 0,9972 0,9991 0,9997 0,9999 1,0000

x/λ

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

4,7

4,8

4,9

5,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,0166 0,0845 0,2238 0,4142 0,6093 0,7693 0,8786 0,9427 0,9755 0,9905 0,9966 0,9989 0,9997 0,9999 1,0000

0,0150 0,0780 0,2102 0,3954 0,5898 0,7531 0,8675 0,9361 0,9721 0,9889 0,9959 0,9986 0,9996 0,9999 1,0000

0,0136 0,0719 0,1974 0,3772 0,5704 0,7367 0,8558 0,9290 0,9683 0,9871 0,9952 0,9983 0,9995 0,9998 1,0000

0,0123 0,0663 0,1851 0,3594 0,5512 0,7199 0,8436 0,9214 0,9642 0,9851 0,9943 0,9980 0,9993 0,9998 0,9999 1,0000

0,0111 0,0611 0,1736 0,3423 0,5321 0,7029 0,8311 0,9134 0,9597 0,9829 0,9933 0,9976 0,9992 0,9997 0,9999 1,0000

0,0101 0,0563 0,1626 0,3257 0,5132 0,6858 0,8180 0,9049 0,9549 0,9805 0,9922 0,9971 0,9990 0,9997 0,9999 1,0000

0,0091 0,0518 0,1523 0,3097 0,4946 0,6684 0,8046 0,8960 0,9497 0,9778 0,9910 0,9966 0,9988 0,9996 0,9999 1,0000

0,0082 0,0477 0,1425 0,2942 0,4763 0,6510 0,7908 0,8867 0,9442 0,9749 0,9896 0,9960 0,9986 0,9995 0,9999 1,0000

0,0074 0,0439 0,1333 0,2793 0,4582 0,6335 0,7767 0,8769 0,9382 0,9717 0,9880 0,9953 0,9983 0,9994 0,9998 0,9999

0,0067 0,0404 0,1247 0,2650 0,4405 0,6160 0,7622 0,8666 0,9319 0,9682 0,9863 0,9945 0,9980 0,9993 0,9998 0,9999

© Los autores, 2004; © Edicions UPC, 2004.

Tablas de Estadística

225

6. Función de distribución Poisson (Tabla 3) x/λ

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

5,7

5,8

5,9

6,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0,0061 0,0372 0,1165 0,2513 0,4231 0,5984 0,7474 0,8560 0,9252 0,9644 0,9844 0,9937 0,9976 0,9992 0,9997 0,9999 1,0000

0,0055 0,0342 0,1088 0,2381 0,4061 0,5809 0,7324 0,8449 0,9181 0,9603 0,9823 0,9927 0,9972 0,9990 0,9997 0,9999 1,0000

0,0050 0,0314 0,1016 0,2254 0,3895 0,5635 0,7171 0,8335 0,9106 0,9559 0,9800 0,9916 0,9967 0,9988 0,9996 0,9999 1,0000 1,0000

0,0043 0,0279 0,0922 0,2086 0,3669 0,5392 0,6954 0,8168 0,8994 0,9493 0,9764 0,9898 0,9959 0,9985 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000

0,0041 0,0266 0,0884 0,2017 0,3575 0,5289 0,6860 0,8095 0,8944 0,9462 0,9747 0,9890 0,9955 0,9983 0,9994 0,9998 0,9999 1,0000

0,0037 0,0244 0,0824 0,1906 0,3422 0,5119 0,6703 0,7970 0,8857 0,9409 0,9718 0,9875 0,9949 0,9980 0,9993 0,9998 0,9999 1,0000

0,0033 0,0224 0,0768 0,1800 0,3272 0,4950 0,6544 0,7841 0,8766 0,9352 0,9686 0,9859 0,9941 0,9977 0,9991 0,9997 0,9999 1,0000

0,0030 0,0206 0,0715 0,1700 0,3127 0,4783 0,6384 0,7710 0,8672 0,9292 0,9651 0,9841 0,9932 0,9973 0,9990 0,9996 0,9999 1,0000

0,0027 0,0189 0,0666 0,1604 0,2987 0,4619 0,6224 0,7576 0,8574 0,9228 0,9614 0,9821 0,9922 0,9969 0,9988 0,9996 0,9999 1,0000

0,0025 0,0174 0,0620 0,1512 0,2851 0,4457 0,6063 0,7440 0,8472 0,9161 0,9574 0,9799 0,9912 0,9964 0,9986 0,9995 0,9998 0,9999

x/λ

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

10,5

11,0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

0,0015 0,0113 0,0430 0,1118 0,2237 0,3690 0,5265 0,6728 0,7916 0,8774 0,9332 0,9661 0,9840 0,9929 0,9970 0,9988 0,9996 0,9998 0,9999 1,0000

0,0009 0,0073 0,0296 0,0818 0,1730 0,3007 0,4497 0,5987 0,7291 0,8305 0,9015 0,9467 0,9730 0,9872 0,9943 0,9976 0,9990 0,9996 0,9999 1,0000

0,0006 0,0047 0,0203 0,0591 0,1321 0,2414 0,3782 0,5246 0,6620 0,7764 0,8622 0,9208 0,9573 0,9784 0,9897 0,9954 0,9980 0,9992 0,9997 0,9999 1,0000

0,0003 0,0030 0,0138 0,0424 0,0996 0,1912 0,3134 0,4530 0,5925 0,7166 0,8159 0,8881 0,9362 0,9658 0,9827 0,9918 0,9963 0,9984 0,9993 0,9997 0,9999 1,0000

0,0002 0,0019 0,0093 0,0301 0,0744 0,1496 0,2562 0,3856 0,5231 0,6530 0,7634 0,8487 0,9091 0,9486 0,9726 0,9862 0,9934 0,9970 0,9987 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000

0,0001 0,0012 0,0062 0,0212 0,0550 0,1157 0,2068 0,3239 0,4557 0,5874 0,7060 0,8030 0,8758 0,9261 0,9585 0,9780 0,9889 0,9947 0,9976 0,9989 0,9996 0,9998 0,9999 1,0000

0,0001 0,0008 0,0042 0,0149 0,0403 0,0885 0,1649 0,2687 0,3918 0,5218 0,6453 0,7520 0,8364 0,8981 0,9400 0,9665 0,9823 0,9911 0,9957 0,9980 0,9991 0,9996 0,9999 0,9999 1,0000

0,0000 0,0005 0,0028 0,0103 0,0293 0,0671 0,1301 0,2202 0,3328 0,4579 0,5830 0,6968 0,7916 0,8645 0,9165 0,9513 0,9730 0,9857 0,9928 0,9965 0,9984 0,9993 0,9997 0,9999 1,0000

0,0000 0,0003 0,0018 0,0071 0,0211 0,0504 0,1016 0,1785 0,2794 0,3971 0,5207 0,6387 0,7420 0,8253 0,8879 0,9317 0,9604 0,9781 0,9885 0,9942 0,9972 0,9987 0,9994 0,9998 0,9999 1,0000

0,0000 0,0002 0,0012 0,0049 0,0151 0,0375 0,0786 0,1432 0,2320 0,3405 0,4599 0,5793 0,6887 0,7813 0,8540 0,9074 0,9441 0,9678 0,9823 0,9907 0,9953 0,9977 0,9990 0,9995 0,9998 0,9999

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Tablas de Estadística

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6. Función de distribución Poisson (Tabla 4) x/λ 12,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41

0,0000 0,0001 0,0005 0,0023 0,0076 0,0203 0,0458 0,0895 0,1550 0,2424 0,3472 0,4616 0,5760 0,6815 0,7720 0,8444 0,8987 0,9370 0,9626 0,9787 0,9884 0,9939 0,9970 0,9985 0,9993 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000

13,0

14,0

15,0

16,0

17,0

18,0

19,0

20,0

25,0

0,0000 0,0000 0,0002 0,0011 0,0037 0,0107 0,0259 0,0540 0,0998 0,1658 0,2517 0,3532 0,4631 0,5730 0,6751 0,7636 0,8355 0,8905 0,9302 0,9573 0,9750 0,9859 0,9924 0,9960 0,9980 0,9990 0,9995 0,9998 0,9999 1,0000

0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0018 0,0055 0,0142 0,0316 0,0621 0,1094 0,1757 0,2600 0,3585 0,4644 0,5704 0,6694 0,7559 0,8272 0,8826 0,9235 0,9521 0,9712 0,9833 0,9907 0,9950 0,9974 0,9987 0,9994 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0028 0,0076 0,0180 0,0374 0,0699 0,1185 0,1848 0,2676 0,3632 0,4657 0,5681 0,6641 0,7489 0,8195 0,8752 0,9170 0,9469 0,9673 0,9805 0,9888 0,9938 0,9967 0,9983 0,9991 0,9996 0,9998 0,9999 1,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0,0040 0,0100 0,0220 0,0433 0,0774 0,1270 0,1931 0,2745 0,3675 0,4667 0,5660 0,6593 0,7423 0,8122 0,8682 0,9108 0,9418 0,9633 0,9777 0,9869 0,9925 0,9959 0,9978 0,9989 0,9994 0,9997 0,9999 0,9999 1,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0007 0,0021 0,0054 0,0126 0,0261 0,0491 0,0847 0,1350 0,2009 0,2808 0,3715 0,4677 0,5640 0,6550 0,7363 0,8055 0,8615 0,9047 0,9367 0,9594 0,9748 0,9848 0,9912 0,9950 0,9973 0,9986 0,9993 0,9996 0,9998 0,9999 1,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0029 0,0071 0,0154 0,0304 0,0549 0,0917 0,1426 0,2081 0,2867 0,3751 0,4686 0,5622 0,6509 0,7307 0,7991 0,8551 0,8989 0,9317 0,9554 0,9718 0,9827 0,9897 0,9941 0,9967 0,9982 0,9990 0,9995 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0005 0,0015 0,0039 0,0089 0,0183 0,0347 0,0606 0,0984 0,1497 0,2148 0,2920 0,3784 0,4695 0,5606 0,6472 0,7255 0,7931 0,8490 0,8933 0,9269 0,9514 0,9687 0,9805 0,9882 0,9930 0,9960 0,9978 0,9988 0,9994 0,9997 0,9998 0,9999 1,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0008 0,0021 0,0050 0,0108 0,0214 0,0390 0,0661 0,1049 0,1565 0,2211 0,2970 0,3814 0,4703 0,5591 0,6437 0,7206 0,7875 0,8432 0,8878 0,9221 0,9475 0,9657 0,9782 0,9865 0,9919 0,9953 0,9973 0,9985 0,9992 0,9996 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0006 0,0014 0,0031 0,0065 0,0124 0,0223 0,0377 0,0605 0,0920 0,1336 0,1855 0,2473 0,3175 0,3939 0,4734 0,5529 0,6294 0,7002 0,7634 0,8179 0,8633 0,8999 0,9285 0,9502 0,9662 0,9775 0,9854 0,9908 0,9943 0,9966 0,9980 0,9988

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