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• Fabian Tiusaba

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Math, Tenth Grade, Work Guide No 2, 2019 Page 1

MODULE AREA OF MATHEMATICS SECOND TERM

TEACHER NAME: _________________________________________________ STUDENT NAME: _________________________________________________

SIGNATURE: Math COURSE: ___ CODE: ______

GEOMETRY MATHEMATICAL REASONING

SUPERIOR ALTO BASICO BAJO NP

ESTANDAR 1: Comprueba las identidades Pitagóricas a partir de las líneas trigonométricas del círculo unitario. Deduce las identidades trigonométricas fundamentales a partir del círculo unitario, simplifica expresiones trigonométricas y las aplica a la solución de problemas. Utiliza las identidades trigonométricas fundamentales para simplificar expresiones trigonométricas y resolver triángulos. Utiliza las identidades trigonométricas fundamentales para simplificar expresiones trigonométricas. Comprueba las identidades Pitagóricas a partir de las líneas trigonométricas del círculo unitario. Reconoce el concepto de identidad trigonométrica. No presenta los estándares de desempeño propuestos y demuestra dificultad en cuanto a la responsabilidad en la entrega de sus labores escolares.

MATHEMATICAL COMPETENCES Con el fin de potencializar mis habilidades y competencias matemáticas, desarrollo las actividades propuestas por mi maestro(a) presentando los procedimientos de los análisis realizados en las actividades.

¿Que son las identidades trigonométricas? Las identidades trigonométricas hacen referencia a todas las variables posibles de ángulos que pueden aparecer en una figura geométrica. ¿Por qué son fundamentales en matemáticas? Porque sirven de base para la demostración de otras entidades más complejas. Las identidades en la trigonometría se utilizan para simplificar expresiones trigonométricas1

1. Analizo la siguiente prueba e identifico cual es el error que se cometió. 𝒂=𝒃 𝑎2 = 𝑏 2 𝑎2 − 𝑏 2 = 0 (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 0 (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 0 = (𝑎 − 𝑏) (𝑎 − 𝑏) 𝑎+𝑏 =0 𝒂 = −𝒃

2. Observo la siguiente gráfica e identifico de qué manera se pueden relacionar las rectas con el círculo unitario y cuál es su relación con las razones trigonométricas.

3. Trato de identificar como se relacionan las identidades trigonométricas unas con otras de acuerdo al gráfico. 4. ¿Cómo puedo utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo que se forma en la gráfica?

1

Tomado de: https://es.plusmaths.com/las-identidades-trigonometricas-fundamentales.html

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Identidad fundamental pitagórica 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙) + 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) = 𝟏 5. Compruebo el valor de la identidad, para cada ángulo de la tabla. ¿Qué puedo concluir?

6. Escribo las siguientes expresiones en términos de la función Seno. • • • • •

cot(𝜃) . tan(𝜃) cot(𝜃) . sec(𝜃) 𝑡𝑎𝑛2 (𝜃) − 2𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃) 1 3 cos(𝜃) − 𝑐𝑜𝑡 2 (𝜃) 2 𝑠𝑒𝑛2 (𝜃)

5

𝑡𝑎𝑛2 (𝜃)

7. Escribo las siguientes expresiones en términos de la función Coseno. • • • • •

sec(𝜃) + tan(𝜃) 𝑠𝑒𝑐 2 (𝜃) 𝑐𝑜𝑡 2 (𝜃). sec(𝜃) tan(𝜃) csc(𝜃) 5cot⁡(𝛼) 𝑡𝑎𝑛2 (𝛼) + 𝑠𝑒𝑛(𝛼)

8. Al golpear una pelota de golf la altura máxima que puede alcanzar se determinó mediante la expresión:

𝒉=

𝒗𝟐𝟎 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝜽) 𝟐𝒈

Donde 𝒗𝟎 es la velocidad inicial, 𝜽 es el ángulo que forma con la horizontal y 𝑔 es la gravedad. a. Determino la altura máxima que alcanza una pelota cuya velocidad inicial es 5m/seg y el ángulo formado con el suelo es de 45°. Tengo en cuenta que 𝑔 = 9,8𝑚/𝑠𝑒𝑔2 . b. Establezco cuál es el valor de 𝜃, para el cual h tiene un valor máximo. c. Demuestro que la altura máxima también se puede expresar como: 𝒗𝟐

𝒉 = 𝟐𝒈𝒄𝒔𝒄𝟎𝟐 (𝜽)

y

𝒗𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟐 (𝜽)

𝟎 𝒉 = ⁡ 𝟐𝒈𝒔𝒆𝒄 𝟐 (𝜽)

MATH MATHEMATICAL MODELING

SUPERIOR ALTO BASICO BAJO NP

ESTÁNDAR 2: Aplica las identidades de suma y resta de ángulos en diferentes situaciones. Comprende y utiliza funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos y justifica sus soluciones. Resuelve ecuaciones trigonométricas haciendo uso de diferentes procesos algebraicos y de las entidades trigonométricas. Aplica las identidades de suma y resta de ángulos en diferentes situaciones. Deduce las identidades trigonométricas fundamentales Reconoce la diferencia entre ecuación e identidad trigonométrica. No presenta los estándares de desempeño propuestos y demuestra dificultad en cuanto a la responsabilidad en la entrega de sus labores escolares.

1. A partir del gráfico, trato de hallar 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 𝛽) y cos(𝛼 + 𝛽) teniendo en cuenta las siguientes pistas.2 •

El radio de la circunferencia es R=1

•

El segmento a es el Seno del ángulo α.

•

El segmento b es el Seno del ángulo β.

•

El segmento X (segmento discontinuo) es el Seno del ángulo α+β

2

https://www.matesfacil.com/ESO/trigonometria/suma/demostraciones-seno-coseno-tangente-suma.html

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2. 3. 4. 5. 6.

Soluciono los ejercicios impares, página 24 de la cartilla avanza matemáticas 10° taller de refuerzo Determino el seno, coseno y tangente de 105º sin utilizar la calculadora. Calculo las razones trigonométricas de 75 º y 15º a partir de las razones de 30º, 60º y 45º. Compruebo los resultados calculando las razones trigonométricas de 90º a partir de las razones de 15º y 75º. Arquitectura Se está diseñando un museo de arte con un tragaluz triangular en el techo, como se observa en la figura. La fachada del museo es de granito claro y la parte superior, excluyendo el marco del tragaluz, será una loza de granito oscuro. La longitud total de la loza depende de la elección del ángulo 𝜃 del tragaluz. Todas las demás dimensiones serán inamovibles. a. Demuestro que la longitud total L de la loza de granito oscuro está dada por: 𝜃 𝐿 = 240 + 40𝑡𝑎𝑛 ( ) 2 b. Debido a las consideraciones de iluminación, 𝜃 está restringida a 30° ≤ 𝜃 ≤ 60°⁡. describo lo que creo que suceda a L conforme 𝜃 varia de 30° a 60° 7. Música Un tono se describe mediante 𝑦 = 0.3Cos⁡(120𝜋𝑡) y otro 𝑦 = −0.3𝐶os⁡(140𝜋𝑡). Escribo su suma como un producto. ¿Cuál es la frecuencia del compás si ambas notas se hacen tocar al unísono? 8. Para determinar la temperatura máxima (en grados Fahrenheit) de Chicago, se utiliza la función: 𝜋

2𝜋

6

3

𝑇(𝑛) = 26.5𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛 −

) 56.5 Donde n representa los meses, y n=1 es el mes de enero. 𝜋

𝜋

6

6

Demuestro que 𝑇(𝑛) se puede escribir como: 𝑇(𝑛) = −13.25 [𝑆𝑒𝑛 ( 𝑛) + √3𝐶𝑜𝑠 ( 𝑛)] + 56.5

I show the acquired knowledge corresponding to the modeling standard, by means of a written evaluation. REMEMBER TO BRING EXAM SHEET RESOLUTION AND FORMULATION

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ESTÀNDAR 3: Aplica el teorema de seno y coseno en la solución de situaciones cotidianas. Describe y modela fenómenos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas. Usa argumentos trigonométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. Da solución a problemas matemáticos y en otras ciencias, haciendo uso del teorema de senos y cosenos. Aplica el teorema de seno y coseno en la solución de situaciones cotidianas. Resuelve triángulos rectángulos haciendo uso de la ley de senos y cosenos. No presenta los estándares de desempeño propuestos y demuestra dificultad en cuanto a la responsabilidad en la entrega de sus labores escolares.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la Física, Química y en casi todas las ramas de la Ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna. La trigonometría es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en la geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes. Además, ha tenido gran utilidad para calcular la distancia que separa la Tierra del Sol, distancias de los planetas al Sol, distancias a las estrellas, diámetros de los planetas, confección de calendarios, etc. La medida de ángulos en grados es ampliamente usada en Ingeniería y en Física, principalmente en Astronomía, navegación y Topografía. El método más corriente de localizar una estrella, o un punto en la superficie de la Tierra, es utilizar su distancia angular en grados, minutos y segundos a ciertos puntos o líneas de referencia fijadas. Las posiciones en la superficie de la Tierra se miden en grados de latitud norte o sur del ecuador y grados de longitud este u oeste del meridiano principal, que normalmente es el meridiano que pasa por Greenwich en Inglaterra. Debido a que la trigonometría trabaja con ángulos se necesitan instrumentos para medir estos, como el goniómetro, el teodolito, la regla paraláctica, etc. Hoy en día resulta difícil imaginar cualquier actividad de construcción en la que no intervenga la trigonometría. La imagen del topógrafo tomando ángulos es muy común.

Math, Tenth Grade, Work Guide No 2, 2019 Page 4 1. De la lectura anterior busco la definición o significado de las palabras señaladas en negrilla. 2. ¿Qué otras aplicaciones tiene la trigonometría y cómo la puedo emplear? 3. ¿Cómo se aplica la trigonometría en la topografía? 4. Leo cada afirmación y escribo una expresión algebraica que lo represente y determino a que ley hace referencia. Afirmación 1 La razón entre la longitud de un lado de un triángulo y el seno del ángulo opuesto a dicho lado, es igual a la razón entre la longitud de otro de los lados y el seno del ángulo opuesto a este último lado. Afirmación 2 El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos dos veces la multiplicación de estos lados por el coseno del ángulo que forman esos lados. 5. Encuentro las medidas faltantes en cada triángulo y escribo la ley que use para hallarlas

9. Soluciono los ejercicios impares, páginas 26 y 27 de la cartilla avanza matematicas 10° taller de refuerzo Practicamos 1) Aplico la ley de senos para encontrar la medida de lados y ángulos faltantes. a) b = 8 m, A = 50° y C = 35° b) a = 20 m, B = 15° y C = 25° 2) Aplico la ley de cosenos para encontrar la medida de los ángulos de los triángulos que tienen la medida de los lados siguientes (trazamos los triángulos): a) a = 4 cm, b = 3 cm y c = 2.2 cm b) a = 5m, b = 3.3 m y c = 7.3 m 3) Aplico la ley de cosenos para encontrar la medida de lados y ángulos que faltan (trazamos los triángulos): a) C = 23°, a = 7 cm y b = 5 cm b) A = 21°, b = 12 m y c = 9 m 4) Resuelvo problemas aplicando la ley de Senos o Cosenos. a) Dos puntos A y B sobre el mismo lado de un río distan 30 pies entre sí. Un punto C al otro lado del río está localizado de tal modo que el ángulo CAB mide 75° y el ángulo ABC mide 85°. ¿Cuál es el ancho del río? 3 b) Un ángulo de elevación del sol es de 64°, un poste de energía eléctrica está inclinado a un ángulo de 9° en dirección opuesta al sol y arroja la sombra de 21 pies de largo a nivel del suelo. Calculo la longitud del poste 4 c) Un poste vertical de 15 m de altura está en una cuesta que forma un ángulo de 24° con la horizontal. Calculo la longitud mínima del cable que llegará de la parte superior del poste a un punto de 50 metros cuesta abajo (medido desde la base del poste).

3

4

Tomado pág. 328 de Algebra y trigonometría plana de Spitzbart & Bardell tomado de Algebra y trigonometría de Swokowski & Cole pág. 676.

Math, Tenth Grade, Work Guide No 2, 2019 Page 5 Trabajo en grupo Problemas de aplicación. Resuelvo las siguientes situaciones 1. Desde lo alto de un globo se observan dos pueblos, el pueblo A con un ángulo de depresión de 27° y el pueblo B con ángulo de depresión de 44°. Se sabe que el globo está a una distancia de 6,1 y 4 km de cada pueblo respectivamente. Realizo el grafico y encuentro la distancia entre los pueblos. 2. Tres amigos se sitúan en un campo de futbol formando un triángulo, entre Carlos y Diego hay 15 m de distancia, y entre Diego y Julián, 20 m. el ángulo formado en la esquina de Julián es de 30°. Calculo la distancia entre Carlos y Julián y el ángulo de la esquina de diego y de la esquina de Carlos. 3. Determino las medidas de 𝛽 y de c para el ala retráctil de un avión de propulsión a chorro, según la información que aparece en la gráfica.

4. Determino las medidas de 𝛽 y de c si los bordes de ataque extendidos y los de salida del ala miden 20 y 15, 5 m respectivamente, y si el ángulo dado es de 35,3° en vez de 33,7°

5. A media noche, dos helicópteros de la guardia costera parten de San Francisco para buscar una embarcación que está en peligro. El helicóptero A vuela hacia el occidente, sobre el océano pacifico, a 250 km/h, y el helicóptero B se dirige hacia el noroccidente, a 210 km/h. a la 1 A.M., el helicóptero A observa una señal luminosa proveniente del bote y avisa por radio al helicóptero B para que acuda a auxiliarlo en el rescate. ¿a qué distancia está el helicóptero B del A en ese momento? 6. Sumatoria de vectores Un avión que vuela hacia el sur con una velocidad de 98 m/seg, es empujado por un viento que baja a una velocidad de 45 m/seg hacia el este. Determina la velocidad del avión y su dirección con respecto a la tierra.

7. Robótica Un brazo robótico bidimensional “sabe” dónde está, porque mantiene registro del ángulo α de su “hombro” y del ángulo β de su “codo”. Como se ve en la figura este brazo tiene un punto fijo de rotación en el origen. El ángulo del hombro se mide en sentido contrario al de las manecillas del reloj a partir del eje x, y el ángulo del codo se mide en sentido contrario al de las manecillas del reloj, desde el brazo hasta el antebrazo. Suponga que el brazo y el antebrazo tienen 2 de longitud, y que el ángulo β del codo no puede “dislocarse” más allá de 180°. Calculo los ángulos α y β que pongan la mano del robot en el punto (1,2).

ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Se ha demostrado que la altura de una montaña se puede calcular mediante la siguiente ecuación: ℎ=

𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐴) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵) √𝑠𝑒𝑛2 (𝐴) − 𝑠𝑒𝑛2 (𝐵)

donde A y B son ángulos de elevación de dos observadores separados a una distancia d si se quiere iluminar la montaña de 4688 millas de altura y se colocan dos reflectores, uno con un ángulo de elevación de 20° ¿Qué ángulo de elevación debe tener el otro reflector si se encuentran separados a una distancias de 10 millas?

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STATISTICS AND PROBABILITY MATHEMATICAL COMMUNICATION

SUPERIOR ALTO BASICO BAJO NP

ESTÁNDAR 4: Identifica un espacio muestral con el fin de realizar cálculos de medidas descriptivas. Analiza críticamente los resultados y las inferencias presentadas en estudios estadísticos. Interpreta lo que representa cada una de las medidas descriptivas en un conjunto de datos. Caracteriza variables estadísticas y describe su comportamiento. Identifica un espacio muestral con el fin de realizar cálculos de medidas descriptivas.. Plantea preguntas cuya solución requiera de la realización de un experimento aleatorio. No presenta los estándares de desempeño propuestos y demuestra dificultad en cuanto a la responsabilidad en la entrega de sus labores escolares.

PROYECTO CALIDAD DEL AIRE Y CAMBIO CLIMÁTICO EN LA CIUDAD DE BOGOTÁ. El notable deterioro de la calidad del aire en Bogotá (y su directa relación con problemas de salud respiratoria y cardiaca) ha generado una creciente preocupación por parte de autoridades ambientales y de salud pública de la ciudad. A pesar de los esfuerzos realizados en años recientes, el problema de contaminación atmosférica es cada vez más severo. Esta situación se explica, en parte, por el acelerado crecimiento económico que se ha presentado en Bogotá. Dicho crecimiento se ve manifestado en una mayor demanda de energía así como en un acelerado consumo de combustibles fósiles. Las medidas de control de la contaminación que han sido implementadas hasta el momento se han visto opacadas por el incremento en las emisiones que resultan del crecimiento económico de la ciudad. El diagnóstico del problema actual de contaminación del aire en Bogotá ha sido posible gracias a que desde el año de 1997 la ciudad cuenta con una moderna red de monitoreo de la calidad del aire (RMCAB), la cual se encarga de hacer seguimiento, en tiempo real, de las concentraciones de los distintos contaminantes así como de diversas variables meteorológicas. La información proporcionada por esta red de monitoreo es utilizada para establecer las tendencias de contaminación en la ciudad y para entender las variables que determinan dichas tendencias. Supongo que he sido contratado para elaborar el informe estadistico de la calidad del aire para una zona determinada en la ciudad de Bogotá, y tomo una muestra de la red de monitoreo de la calidad del aire de Bogotá (RMCAB) de los últimos meses del año 2019. ( descargar datos en http://201.245.192.252:81/). • • •

Elaboro un informe, aplicando las herramientas que conozco de la estadistica descriptiva, analizando cada uno de las medidas. Realizo un grafico donde presente la informacion recolectada de una manera clara y concisa. Escribo un breve informe de las concluciones a las que llego. Al terminar el informe y según lor resultados y conclusiones a las cuales he llegado, debo realizar una presentación con las conclusiones y las recomendaciones para mejorar la calidad del aire en esa zona de la ciudad.

Preguntas para realizar el informe a. ¿Qué haría? b. ¿Qué beneficios/pérdidas económicas, sociales y de salud se obtendrían con esta situación? c. ¿Qué principios éticos estarían en juego en cada caso? d. ¿Cuál considero que es la responsabilidad social que se tiene como ciudadano? e. ¿ Qué otras recomendaciones haría a las autoridades para que la ciudadanía, el sector empresarial y la clase política estuvieran de acuerdo? Reflexiono sobre el siguiente parrafo: “La tecnología no va a contrarrestar los efectos nocivos de un consumo irrestricto e irresponsable, podrá ayudar, pero si las consideraciones del cambio de cultura en cuanto al uso indiscriminado no se modifican, no será posible lograr transformaciones importantes. La sociedad en su conjunto, valiéndose de armas como la ciencia, logrará los avances y mejoras que se requieren para combatir la amenaza climatica que afecta al mundo entero”5

1. La expresión sen(30°+x)+ sen(30°-x) es igual a: a. Sen(x) b. Sen(30°) c. Cos(30°) d. Cos(x)

2. Las solución de la ecuación cos(x) + sec(x)= 2 es: a. 90° b. 180° c. 0° d. 270° 3. La igualdad verdadera es: A.

5

VI congreso del transporte sutentable-fundacion entornos

𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 1+cos⁡(2𝑥)

= tan⁡(𝑥)

Math, Tenth Grade, Work Guide No 2, 2019 Page 7 B. 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = C. 𝑐𝑜(𝑥) = D.

1

2tan⁡(𝑥))

D. sec(𝑎) = cos⁡(𝑎)

1+tan(2𝑥) 2+cos(2𝑥) sen(2𝑥)

sec(𝑥) =

1 1+cos⁡(2𝑥)

4. Un puente de ferrocarril de 150m de largo. Desde uno de los extremos, el ángulo de depresión de una rotación situada debajo del puente es de 36°48´y desde el otro extremo el ángulo de depresión es de 21°42´. La altura a la que se encuentra el puente es: A. 38.96 m B. 30.65 m C. 18.69 m D. 15.38 m 5. Es un ejemplo de identidad

trigonométrica: A. 𝑠𝑒𝑛2 (𝑎) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑎) = −1 B. 𝑠𝑒𝑛2 (𝑎) − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑎) = −1 C. 𝑠𝑒𝑛(𝑎) = cos(𝑎)

6. En la imagen se muestra el terreno disponible para los animales de una granja.

Cuál es el área disponible para los animales de la granja A. 12𝑚2 B. 54𝑚2 C. 67𝑚2 D. 108𝑚2

Del libro “ el pais de las mates para expertos” sigo las indicaciones de la actividad planteada e inicio el juego de aventuras con problemas matemáticos, luego socializo la actividad con mis compañeros y mi maestro.

DEEPENING AND LEVELING WORKSHOP

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Y MODELACIÓN MATEMÁTICA

1. P(t) modelo la distancia (en cm de un péndulo desde el 3. punto donde se soltó, t segundos después de que empezó a oscilar. Aquí t se ingresa en radianes. 𝑝(𝑡) = −5 cos(2𝜋𝑡) + 5 ¿Cuál es la primera vez que el péndulo está a 3.5 3.5 cm del punto donde se soltó? 2. Determino cos(165°) exactamente, mediante la identidad de suma o diferencia de angulos.

Determino Sin (