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Realizar las siguientes actividades de manera grupal

1. Si: ∠ AOD=2x; ∠DOC=5x; ∠COB=3x. ¿Cuánto mide cada ángulo?

La suma de los ángulos be ser igual a 180°, ya que son ángulos consecutivos. ∠𝐴𝑂𝐷 + ∠𝐷𝑂𝐶 + ∠𝐶𝑂𝐷 = 180° 2𝑥 + 5𝑥 + 3𝑥 = 180° 10𝑥 = 180° 𝑥=

180° = 18° 10

Sabemos que 𝑥 = 18° , reemplazamos está en cada lado del ángulo. ∠𝐴𝑂𝐷 = 2𝑥 → ∠𝐴𝑂𝐷 = 2(18°) → ∠𝐴𝑂𝐷 = 36° ∠𝐷𝑂𝐶 = 5𝑥 → ∠𝐷𝑂𝐶 = 5(18°) → ∠𝐷𝑂𝐶 = 90° ∠𝐶𝑂𝐷 = 3𝑥 → ∠𝐶𝑂𝐷 = 3(18°) → ∠𝐶𝑂𝐷 = 54° 2. Hallar los complementos de los siguientes ángulos: a) 18°

→

90° − 18° = 72° 36°52´

b) 36°52´

→

89°60´ − 36°52´ = 53°8´

c) 48°39´15´´

→ 89°59´60´´ − 48°39´15´´ = 41°20´45´´

3. Encontrar los suplementos de los siguientes ángulos: a) 78°

→

180° − 78° = 102°

b) 92°15´

→

179°60´ − 92°15´ = 87°45´

c) 123°9´16´´

→ 179°59´60´´ − 123°9´16´´ = 56°50´44´´

4. Si el ∠AOB es recto y ∠AOC y ∠BOC están en relación 4:5, ¿cuánto vale cada ángulo? ∠𝐴𝑂𝐵 = 90° 4∠𝐴𝑂𝐶 = 5𝐵𝑂𝐶

= ∠BOC = R-∠AOC de donde

5∠AOC = 4(R-∠AOC) .: 9∠AOC = 4 R Y

∠AOC =

4𝑅 9

=

360° 9

= 40° ;

∠ BOC = 90° − 40° = 50°

4∠AOC = 5(R-∠AOC)

5. Si el ∠AOD es recto y ∠AOB=2x; ∠BOC=3x; ∠COD=4x, ¿cuánto vale cada ángulo?

∠𝐴𝑂𝐷 = 90° → ∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐵𝑂𝐶 + 𝐶𝑂𝐷 = 90° Hallamos el valor de x 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 = 90° → 9𝑥 = 90° → 𝑥 =

90° → 𝑥 = 10° 9

Hallamos el ∠𝐴𝑂𝐵 = 2𝑥 → 2(10°) → ∠𝐴𝑂𝐵 = 20° Hallamos el ∠𝐵𝑂𝐶 = 3𝑥 → 3(10°) → ∠𝐵𝑂𝐶 = 30° Hallamos el ∠𝐶𝑂𝐷 = 4𝑥 → 4(10°) → ∠𝐶𝑂𝐷 = 40°

6. si ∠BOC=2∠AOB, hallar: ∠AOB, ∠COD ∠𝐵𝑂𝐶 = 2∠𝐴𝑂𝐵 ∠𝐵𝑂𝐶 + ∠𝐴𝑂𝐵 = 180° ∠𝐵𝑂𝐶 = 2𝑥 ; ∠𝐴𝑂𝐵 = 𝑥 Despejamos x 2𝑥 + 𝑥 = 180° → 3𝑥 = 180° → 𝑥 =

180° → 𝑥 = 60° 3

Hallamos ∠𝐴𝑂𝐵 = 𝑥 → ∠𝐴𝑂𝐵 = 60° Hallamos 𝐵𝑂𝐶 = 2𝑥 → 𝐵𝑂𝐶 = 2(60°) → 𝐵𝑂𝐶 = 120°

7. Si ∠MON y ∠NOP están en la relación 4 a 5, ¿cuánto mide cada uno?

8. Hallar el ángulo que es igual a su complemento

9.Encontrar el ángulo que es el doble de su complemento

10. Un ángulo y su complemento están en relación 5 a 4, hallar dicho ángulo y su complemento

11. Dos ángulos están en relación 3 a 4 y su suma es igual a 70°. Hallarlos.

12. Dos ángulos se encuentran en relación 4 a 9 y su suma es igual a 130°. Hallarlos

13. Los lados de un triángulo miden 6, 7 y 9 cm. Construir el triángulo y calcular su perímetro y su semiperímetro.

𝑃 =𝑎+𝑏+𝑐 𝑃 = 6𝑐𝑚 + 7𝑐𝑚 + 9𝑐𝑚 = 22𝑐𝑚 𝑆=

𝑎+𝑏+𝑐 2

𝑆=

6𝑐𝑚 + 7𝑐𝑚 + 9𝑐𝑚 22 = = 11 𝑐𝑚 2 2

14. Los lados de un triángulo miden 3,4 y 5 pulgadas. Construir el triángulo y calcular su perímetro y su semiperímetro tanto en pulgadas como en cm (tomar como valor de la pulgada 2,54 cm).

𝑃 = 3𝑝𝑢𝑙𝑔 + 4𝑝𝑢𝑙𝑔 + 5𝑝𝑢𝑙𝑔 = 12 𝑝𝑢𝑙𝑔 𝑃 = 12 ∗ 2.54 = 30.48 𝑐𝑚 𝑆=

𝑎+𝑏+𝑐 2

𝑆=

3𝑝𝑢𝑙𝑔 + 4𝑝𝑢𝑙𝑔 + 5𝑝𝑢𝑙𝑔 12 = = 6 𝑝𝑢𝑙𝑔 2 2

𝑆 = 6 ∗ 2.54 = 15.24 𝑐𝑚

15. Construir un triángulo que tenga un ángulo que mida 60° y los lados que lo forman midan 3 y 4 pulgadas. Trazar las tres medianas y señalar el baricentro.

16. Construir un triángulo que tenga un lado que mida 4 pulgadas y los ángulos adyacentes midan 40° y 50 °. Trazar las bisectrices y señalar el incentro.

17. Construir un triángulo rectángulo que tenga un cateto que mida 6 cm y un ángulo agudo de 50°, dibujar las tres mediatrices.

18. Construir un triángulo rectángulo que tenga una hipotenusa que mida 5 cm y un ángulo que mida 45°. Dibujar las tres medianas.

19. Dos ángulos de un triángulo miden 40 y 30 ° respetivamente. ¿Cuánto mide el tercer ángulo y cada uno de los ángulos exteriores? La suma de los tres ángulos interiores de un triangulo vale dos ángulos rectos ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 2𝑅, Damos valor al ∠𝐴 = 40° 𝑦 ∠𝐵 = 30°, por consiguiente ∠𝐶 = 2𝑅 − (∠𝐵 + ∠𝐶) → ∠𝐶 = 180° − 70° = 110° Hallamos los ángulos exteriores Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes. ∠𝐴 = ∠𝐶 + ∠𝐵 → ∠𝐴 = 110° + 30° → ∠𝐴 = 140° ∠𝐵 = ∠𝐴 + ∠𝐶 → ∠𝐵 = 40° + 110° → ∠𝐵 = 150° ∠𝐶 = ∠𝐵 + ∠𝐴 → ∠𝐶 = 40° + 30°

→ ∠𝐶 = 70°

20. La apotema de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 3 m de radio si el lado del cuadrado mide 3√2m.

2+ 21. Calcular la apotema de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 5 m de radio, si el lado del triángulo mide 5√3 m.

22. Sabiendo que el lado del octágono regular inscrito en una circunferencia de 6 m de radio es igual a 6 √2 − √2 𝑚 , hallar el lado del polígono regular de 16 lados inscritos en la misma circunferencia. Formula 𝑙2𝑛 = √2𝑟 2 − 𝑟√4𝑟 2 − 𝑙𝑛2 Datos 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 = 6𝑚 𝑛 = 16 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑔𝑜𝑛𝑜 6√2 − √2 𝑚

2

𝑙16

= √2(6)2 − 6√4(6)2 − (6√2 − √2 )

𝑙16 = √72 − 66.5193 = 2.3410 𝑚

Operamos en el paréntesis cancelando la raíz

23. Si el lado del hexágono regular inscrito en una circunferencia de 9 m de radio es igual a 9 m, hallar el lado del hexágono regular circunscrito a la misma circunferencia.

24. Si el lado del cuadrado inscrito en una circunferencia de 7 m de radio es igual a 7√2m, hallar el lado del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia.

25. El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 20√2 m, hallar le diámetro de esta circunferencia. 26. Si el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es igual a 48 cm, calcular el diámetro de dicha circunferencia.

27. Calcular el lado del octágono regular inscrito en la circunferencia cuyo radio es igual √2 + √2 m.

28. El lado del decágono regular inscrito en una circunferencia cuyo diámetro mide 2+2√5 m.

29. Calcular el lado del decágono regular inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 2 + √3 𝑚