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• Wiston Hernandez

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3.1. CONCEPTOS BÁSICOS 3.1.1. TÉRMINOS PRIMITIVOS En la Geometría Moderna se asumen como términos primitivos o indefinidos, es decir como punto de partida, los conceptos de Punto, Recta y Plano.

• P

↔

π

m

La Geometría toma estos términos como punto de partida, evitando el tratar de dar una definición, precisa, para no caer en un círculo vicioso en el que se tenga que usar conceptos cuyas definiciones sean más complejas que el término que se quiere definir. NOTACIÓN: ◊ Representaremos los puntos con letras mayúsculas: A, B,.., P, Q,..etc. ◊ Las líneas rectas las representaremos con letras minúsculas, colocándole encima una

flecha con

↔ ↔

doble punta: m, l , ..., etc. ; también las representaremos usando dos letras

mayúsculas, que

↔

representen puntos contenidos en dicha recta, así PQ representa la recta que pasa por los puntos P y Q. ◊ Los planos los representaremos usando letras griegas o bien usando tres letras mayúsculas que representen puntos contenidos en el plano, pero que no estén sobre la misma recta: α, β, π, σ,..., plano ABC,.. 3.1.2. AXIOMAS Y DEFINICIONES BÁSICAS AXIOMA 1. Todas las rectas y planos son conjuntos de puntos. DEFINICIÓN 1. El conjunto de todos los puntos se llama Espacio. ◊ Hemos de tener presente estos enunciados al momento de representar simbólicamente alguna relación entre puntos, rectas y planos. El espacio, que podemos representarlo por S, representará el Conjunto Universo; las rectas y planos son conjuntos, mientras que los puntos son los elementos. ↔

↔

Así para indicar que el punto P está contenido en la recta m o bien que la recta m pasa por el punto P, ↔

↔

↔

escribimos P ∈ m . Para indicar que la recta m está contenida en el plano π, escribimos m ⊂ π. ↔

↔

↔

↔

Para indicar que las rectas m y n se cortan en el punto P, escribimos m ∩ n = { P } POSTULADO DE LA RECTA AXIOMA 2. Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene. ↔

↔

Simbólicamente: P, Q ∈ S, P ≠ Q ⇒ ∃! m ⊂ S tal que {P, Q} ⊂ m

Elementos Fundamentales de la Geometría

Notemos que el axioma asegura la existencia y unicidad de la recta que pasa por dos puntos cualesquiera. Podemos afirmar entonces que dos puntos determinan una recta. ↔ Notación: La recta que contiene a los puntos P y Q se denota por PQ DEFINICIÓN 2. Los puntos de un conjunto decimos que están alineados o que son colineales, si hay una recta que los contiene.

D• • B

• A

En la figura: A, B y C son colineales. A, B y D no son colineales

• C

DEFINICIÓN 3. Los puntos de un conjunto son coplanares si hay un plano que los contiene. C•

π

En la figura A, B y C representan puntos coplanares, lo que indicamos por: {A, B, C} ⊂ π

• B

• A

AXIOMA 3. Tres puntos cualesquiera están al menos en un plano y tres puntos no colineales están exactamente en un plano. Es equivalente a afirmar: i) tres puntos cualesquiera son coplanares ii) tres puntos cualesquiera no colineales determinan un plano. ↔

Simbólicamente: P, Q, R ∈ S, P ∉ QR

⇒ ∃ ! π ⊂ S tal que {P, Q, R} ⊂ π

AXIOMA 4. i) cada recta contiene al menos dos puntos ii) cada plano contiene al menos tres puntos no colineales iii) el espacio contiene al menos cuatro puntos no coplanares. AXIOMA 5. mismo plano.

Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces la recta está contenida en el ↔

↔

π

m • • B A

↔

A,B ∈ m y A, B ∈ π ⇒ m ⊂ π

↔

AXIOMA 6. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es una recta.

m π1

↔

π1

π1 ≠ π2, π1 ∩ π2 ≠ φ ⇒ π1 ∩ π2 = m π2

130

Elementos Fundamentales de la Geometría 3.1.3. ALGUNOS TEOREMAS BÁSICOS

TEOREMA 1. Si dos rectas diferentes se intersecan, su intersección contiene un punto solamente. ↔

↔

↔

↔

↔

↔

P

↔

m1

•

m1 ≠ m 2 , m1 ∩ m 2 ≠ φ ⇒ m1 ∩ m 2 = {P }

↔

m2

TEOREMA 2. Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la intersección contiene un solo punto. ↔

↔

↔

↔

m ⊄ π , m ∩ π ≠ φ ⇒ m ∩ π = {P}

P•

m π

TEOREMA 3. Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que las contiene. ↔

P∉ m

↔

m

⇒ ∃ ! π ⊂ S, tal que { P } ∪ m ⊂ π

π

TEOREMA 4. Dadas dos rectas que se intersecan, hay exactamente un plano que las contiene. ↔

↔

P •

↔

↔

↔

↔

↔ m2

↔

m1 ≠ m 2 , m1 ∩ m 2 ≠ φ ⇒ ∃ ! π tal que m1 ∪ m 2 ⊂ π

R • Q •

P• ↔

π

m1

3.1.4. DISTANCIA. SEGMENTOS Y RAYOS.

DEFINICIÓN 4. A cada par de puntos P, Q ∈ S podemos asociar un número real no negativo llamado la distancia de P a Q, denotado por d (P, Q) o bien por PQ, que satisface las siguientes propiedades: i) d : S x S → R ii) d ( P, Q) ≥ 0, ∀ P, Q ∈ S iii) d (P, Q) = d (Q, P) iv) Si P = Q entonces d (P, Q) = 0 Las propiedades (i) y (ii) nos indican que para toda pareja de puntos podemos encontrar un número que llamamos distancia y que este número es no negativo. La propiedad (iii) nos indica que no importa el orden en que tomemos los puntos para encontrar la distancia entre ellos. En algunas aplicaciones es conveniente considerar distancias “negativas” y “positivas”; en tales casos hablamos de distancia dirigida, y la distancia de P a Q es el negativo de la distancia de Q a P. En nuestro caso consideraremos la distancia en el sentido dado por esta definición, es decir como distancia “no dirigida”. VALORES INTERMEDIOS

DEFINICIÓN 6. Decimos que B está “entre” A y C, y escribimos A – B – C si i) A, B y C son puntos distintos de una misma recta y • ii) AB + BC = AC

A

Pueden probarse los siguientes teoremas sobre valores intermedios: ↔

TEOREMA 5. Si A, B, C ∈ m

∧ A–B–C ⇒ C–B–A

131

•

B

•

C

Elementos Fundamentales de la Geometría ↔

TEOREMA 6. Si A, B, C ∈ m ⇒ A – B – C ∨ A – C – B ∨ B – A – C Es decir dados tres puntos (distintos) colineales, necesariamente uno de ellos está entre los otros dos. TEOREMA 7. Dados A ≠ B, entonces existen puntos C, D y E tales que A – C – D, A – B – D y E – A – B. SEGMENTOS __

DEFINICIÓN 7. Para dos puntos cualesquiera A y B el segmento, denotado por AB , es el conjunto de los puntos A y B, y de todos los puntos que están entre A y B. __

AB = {A, B} U {x / A – X – B} __

__

__

Los puntos A y B se llaman extremos de AB . Se tiene también que AB = BA A la distancia entre los puntos A y B, AB, se le llama la longitud o medida del segmento.

•

•

A

__

d (A, B) = m ( AB ) = AB

B

CONGRUENCIA DE SEGMENTOS

DEFINICIÓN 8. Dos segmentos con la misma medida se llaman congruentes. La relación de congruencia se denota con el símbolo ≅ ___

___

AB ≅ CD ⇔ AB = CD.

◊ El concepto de congruencia está muy cercano al concepto de igualdad, sin embargo son conceptos diferentes. La igualdad es estrictamente la relación que conecta dos “nombres” para el mismo “objeto”, en cambio la congruencia relaciona dos “objetos” que tienen en común la forma y el tamaño. ◊ En las figuras los segmentos congruentes se indican colocando la misma marca sobre ellos. Así por ejemplo

C

D

__

__

__

__

En la figura se indica que AB ≅ DC y AD ≅ BC A

B

TEOREMA 8. Para segmentos, la relación de congruencia es una relación de equivalencia, es decir una relación reflexiva, simétrica y transitiva: ___

___

___

___

___

___

___

___

i) AB ≅ AB (Reflexividad) ii) Si AB ≅ CD ⇒ CD ≅ AB (Simetría) ___

___

___

___

iii) AB ≅ CD ∧ CD ≅ EF ⇒ AB ≅ EF (Transitividad) DEFINICIÓN 9. RAYO ↔

→

Sean A y B dos puntos de una recta m . El rayo, denotado por AB , es el conjunto de los puntos del segmento AB y el conjunto de todos los puntos X tales que B está entre A y X. →

AB = AB U {X / A – B – X} →

El punto A se llama extremo del rayo AB . Notemos que el rayo es un conjunto infinito.

132

• A

B

C

Elementos Fundamentales de la Geometría →

→

→

Si C es un punto cualquiera que pertenece al rayo AB , C ≠ A, se tiene AB = AC . Esto es, para representar un rayo, nombramos el punto inicial y otro punto cualquiera que pertenezca al rayo. • A →

→

→

B

→

→

__

En general AB ≠ BA . Además AB ∩ BA = AB y

→

↔

AB ∪ BA = AB .

→

→

DEFINICIÓN 10. Si A está entre B y C, entonces AB y AC se llaman rayos opuestos. • A

C

B

DEFINICIÓN 11. PUNTO MEDIO ___

Un punto B se llama punto medio de un segmento AC , si B está entre A y C (A – B – C) y AB = BC.

•

A

B

C

◊ Decimos que el punto medio de un segmento biseca al segmento. ◊ En una recta con un sistema de coordenadas, los segmentos representan intervalos cerrados y los rayos intervalos infinitos, cerrados por el extremo. →

TEOREMA 9. Sea AB un rayo y sea x un número positivo, entonces existe exactamente un punto P de →

AB tal que AP = x. →

__

→

__

__

TEOREMA 10: Dado un segmento AB y un rayo CD existe un único punto E ∈ CD , tal que AB ≅ CE . __

__

__

___

TEOREMA 11: Si A – B – C, A’ – B’ – C’, AB ≅ A' B', BC ≅ B' C'

__

___

__

__

__

entonces AC ≅ A' C' .O sea AB+ BC = AC

∗ Estos teoremas nos posibilitan poder construir cualquier segmento sin importar su longitud y considerar la suma y resta de segmentos. Notemos que ésta es una suma “especial”, por cuanto los segmentos son conjuntos de puntos, no son números.

TEOREMA 12. Todo segmento tiene exactamente un punto medio.

3. 1. 5. CURVAS CERRADAS SIMPLES Y REGIONES. CONVEXIDAD. Una curva en el plano es un conjunto continuo, infinito de puntos. Esta puede ser abierta o cerrada. Si la asociamos al trazado en una hoja de papel con un lápiz, de manera informal podemos decir que una curva en el plano, es un conjunto de puntos que puede ser trazado sin levantar el lápiz. Si la curva puede ser recorrida iniciando en cualquier punto y regresar al mismo, decimos que es una curva cerrada, en caso contrario decimos que es abierta. Una curva cerrada simple es aquella que comienza y termina en el mismo punto sin que se cruce o se vuelva a “tocar”. Toda curva cerrada simple en un plano, separa a éste en tres conjuntos disjuntos: la curva misma, su interior y el exterior. Todo segmento que una un punto interior con uno exterior, corta a la curva.

133

Elementos Fundamentales de la Geometría La unión de los puntos que están sobre la curva o en su interior recibe el nombre de región y decimos que la curva es la frontera de la región. Una característica importante de las regiones y en general de los conjuntos de puntos es la convexidad. Un conjunto A se llama convexo, si para cada par de puntos P y Q del conjunto,

DEFINICIÓN 12.

todo el segmento PQ está en A.

A

B Figuras Convexas

D

C

E Figuras no Convexas

D

F

G

SEPARACIÓN EN UNA RECTA: SEMIRRECTAS ↔

Un punto P separa a una recta AB o→

en tres conjuntos disjuntos: {P} y dos conjuntos llamados

o→

semirrectas, denotadas por PA y PB o→

→

Debe notarse que PA = PA – {P}, es decir, la semirrecta es el rayo sin el punto inicial. POSTULADO DE SEPARACIÓN DEL PLANO: SEMIPLANOS Dada una recta y un plano que la contiene. Los puntos del plano que no están en la recta forman dos conjuntos tales que i) cada uno de los conjuntos es convexo ii) si P está en uno de los conjuntos y Q en el otro, entonces el

• P

segmento PQ interseca a la recta.

↔

m

• Q π

SEMIPLANOS ↔

DEFINICIÓN 14. Dada una recta m y un plano π que la contiene. Los dos conjuntos determinados por el ↔

↔

postulado de separación del plano se llaman semiplanos o lados de m . A m se le llama la arista o borde de cada semiplano. ◊ Si P está en uno de los semiplanos y Q está en el otro, entonces decimos que P y Q están en lados ↔

↔

opuestos de m y escribimos P | m | Q. ◊ Una forma de denotar un semiplano es indicando la arista y un punto contenido en él.

Así tenemos: σ ↔

↔

indica el semiplano con arista AB y que contiene al punto C.

AB , C ↔

◊ Si P y T están en el mismo semiplano, decimos que están al mismo lado de m y escribimos ↔

P, T | m .

134

Elementos Fundamentales de la Geometría

↔

↔

___

↔

DEFINICIÓN 15. Si A, B, C, D ∈π i) C, D | AB si CD ∩ AB = φ D • C • A

C •

B

P ↔

↔

___

C, D ⎢ AB ⇒ CD ∩ AB = φ

↔

___

ii) C | AB | D si CD ∩ AB = {P}

B

A

• D ___ ↔ C ⎢ AB ⎢D ⇒ CD ∩ AB ≠ φ ↔

Pueden probarse los siguientes teoremas sobre separación en el plano: TEOREMA 10. ↔

↔

↔

↔

T

i) Si P | m | Q y Q | m | T entonces P, T | m ↔

↔

↔

P

ii) Si P | m | Q y Q, T | m entonces P | m | T.

•

• Q

m

↔

m

P •

•

Q •

T •

POSTULADO DE SEPARACIÓN DEL ESPACIO Los puntos del espacio que no están en un plano dado forman dos conjuntos tales que: i) Cada uno de los conjuntos es convexo ii) Si P está en uno de los conjuntos y Q está en el otro, entonces el segmento PQ interseca al plano. DEFINICIÓN 16. Los dos conjuntos determinados por el postulado de separación del espacio se llaman semiespacios, y el plano dado se llama la cara de cada uno de ellos.

3. 1. 6. ÁNGULOS DEFINICIÓN 17. Un ángulo es la unión de dos rayos no colineales que tienen el origen en común. ◊ Los dos rayos se llaman los lados del ángulo y el extremo común se llama vértice. →

→

◊ Si los rayos se denotan por AB y AC , el ángulo se denota por ∠ BAC o ∠ CAB o ∠ A. Cuando se utilizan tres puntos, el vértice siempre es el segundo.

A •

B • →

C •→

∠ BAC = AB ∪ AC

◊ La notación ∠ A, es decir nombrando únicamente el vértice la usamos siempre que no se genere confusión acerca del ángulo al cual nos estamos refiriendo, es decir que A no sea al mismo tiempo vértice de otro ángulo.

TRIÁNGULOS DEFINICIÓN 18. Si A, B y C son tres puntos cualesquiera no colineales, entonces la unión de los segmentos AB , BC y AC se llama un triángulo y se denota por Δ ABC. ◊ Los puntos A, B y C se llaman vértices y los segmentos AB , BC y AC los lados del triángulo. ◊ Todo triángulo determina tres ángulos ∠ A, ∠ B y ∠ C, llamados ángulos internos del triángulo. ◊ La suma de las longitudes de los lados se llama Perímetro del triángulo.

135

Elementos Fundamentales de la Geometría DEFINICIÓN 19. Sea ∠ BAC un ángulo en un plano π. Un punto P está en el interior del ∠BAC si ↔

i) P y B están del mismo lado de la recta AC

y

↔

ii) P y C están del mismo lado de la recta AB El exterior del ∠ BAC es el conjunto de todos los puntos del plano π que no están en el ángulo ni en el interior. Si denotamos el interior del ∠BAC por i ∠BAC y su exterior por e∠BAC, tenemos: P∈ i ∠BAC si ↔

↔

P, B | AC ∧ P, C | AB , lo cual equivale a i ∠BAC = σ ↔ y ∩σ↔ AB , C

AC , B

exterior

e ∠ BAC = π – ( ∠BAC ∪ i∠BAC )

interior

INTERIOR DE UN TRIÁNGULO DEFINICIÓN 20. Un punto está en el interior de un triángulo, si está en el interior de cada uno de los ángulos del triángulo. Un punto está en el exterior de un triángulo, si está en el plano del triángulo, pero no está en el triángulo ni en su interior. Luego

exterior interior

i ΔABC = i ∠A ∩ i ∠B ∩ i ∠C Por tanto, un triángulo divide a un plano en tres conjuntos disjuntos: el triángulo mismo, su interior y el exterior. MEDIDA ANGULAR POSTULADO: EL POSTULADO DE LA MEDIDA DE ÁNGULOS A cada ángulo ∠ BAC le corresponde un número real entre 0 y 180. NOTA: En Geometría, el concepto de ángulo se refiere a la figura geométrica formada por la unión de dos rayos que tienen el extremo en común. Por eso “no existe” ángulo con medidas 0º ni 180º, ya que la figura que se formaría con 0º es un rayo y con 180º, una recta. Tampoco se consideran ángulos negativos. En otras áreas de la Matemática difiere el concepto de ángulo usado; en Trigonometría, por ejemplo está asociado a las rotaciones, y la medida de un ángulo puede tomar cualquier valor real, positivo o negativo. DEFINICIÓN 21. El número dado por el postulado de la medida de ángulos se llama la medida en grados (sexagesimales) del ∠ BAC. Se denota por m∠ BAC. Si r es el número escribimos m∠ BAC = r° ∗ Hemos de tener presente que existen otros sistemas de medidas angulares tales como el sistema centesimal y el sistema cíclico, pero el más usado en Geometría es el sistema sexagesimal.

POSTULADO: El POSTULADO DE LA CONSTRUCCIÓN DE ÁNGULOS →

Sea AB un rayo de la arista de un semiplano H. Para cada número r, →

0 < r < 180, hay exactamente un rayo AC , con C en H, tal que m∠ BAC = r°. POSTULADO: EL POSTULADO DE LA SUMA DE ÁNGULOS Si D está en el interior del ∠ BAC entonces m∠ BAC = m∠ BAD + m∠ DAC

C • A

136

D • • B

Elementos Fundamentales de la Geometría → DEFINICION 22: Si D ∈ i ∠BAC y m∠BAD = m ∠DAC, entonces decimos que AD biseca al ∠ BAC. → Al rayo AD se le llama rayo bisector o bisectriz del ∠BAC. DEFINICIÓN 23: PAR LINEAL →

→

→

C

Si AB y AD son rayos opuestos y AC es otro rayo cualquiera, entonces ∠ BAC y ∠CAD forman un par lineal

D A B DEFINICIÓN 24 : Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180º, entonces decimos que los ángulos son suplementarios y que cada uno es el suplemento del otro.

r°

s°

r° + s° = 180°

POSTULADO Si dos ángulos forman un par lineal, entonces son suplementarios. DEFINICIÓN 25. Si los ángulos de un par lineal tienen la misma medida, entonces cada uno de ellos se llama ángulo recto. DEFINICIÓN 26. Un ángulo recto es un ángulo cuya medida es 90°. Un ángulo con medida menor que 90° se llama agudo. Un ángulo con medida mayor que 90° se llama obtuso.

Recto

Agudo

→

Obtuso

→

DEFINICIÓN 27. Si AB y AC forman un ángulo recto, entonces se llaman perpendiculares y →

→

escribimos AB ⊥ AC . Empleamos el mismo término y la misma notación para rayos y segmentos: Si ∠ BAC es un ángulo recto, entonces

↔

AB

↔

→

⊥ AC , AB ⊥ AC , AB ⊥ AC , etc.

◊ En general decimos que dos segmentos, dos rayos o un segmento y un rayo son perpendiculares si están contenidos en rectas perpendiculares.

En los dibujos la perpendicularidad se representa dibujando un pequeño cuadrado o un paralelogramo en el vértice.

B A

A

___

C

___

AB ⊥ AC

D

___

B ___

AD ⊥ DC

C

DEFINICIÓN 28. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 90°, entonces los ángulos se llaman complementarios y cada uno de ellos es el complemento del otro. DEFINICIÓN 29. Dos ángulos con la misma medida se llaman congruentes. m ∠BAC = m ∠ DEF ⇔ ∠ BAC ≅ ∠ DEF

137

Elementos Fundamentales de la Geometría

TEOREMAS SOBRE CONGRUENCIA DE ÁNGULOS 1. Para ángulos la relación de congruencia es una relación de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) 2. Si dos ángulos son complementarios, entonces ambos son agudos 3. Dos ángulos rectos cualesquiera son congruentes. 4. Si dos ángulos son a la vez congruentes y suplementarios, entonces cada uno de ellos es un ángulo recto. 5. Los complementos de ángulos congruentes son congruentes. 6. Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.

3 2

1

3

4

2

∠1 ≅ ∠3 ⇔ ∠ 2 ≅ ∠4

4

1 ∠1 ≅ ∠3 ⇔ ∠ 2 ≅ ∠4

DEFINICIÓN 30. Decimos que dos ángulos son opuestos por el vértice o que forman un par vertical, si sus lados forman dos pares de rayos opuestos.

1 4

2 3

∠1 ≅ ∠3 y ∠ 2 ≅ ∠4

TEOREMA 17. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. TEOREMA 18: Si dos rectas que se cortan forman un ángulo recto, entonces forman cuatro ángulos rectos. TEOREMA 19: En un plano dado y por un punto dado de una recta pasa una y solamente una recta perpendicular a la recta dada. DEFINICIÓN 31. En un plano dado, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. ↔

A

m B TEOREMA 20: La mediatriz de un segmento en un plano, es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. Nota: Se necesitan los teoremas sobre congruencia triángulos para la demostración de este teorema. ↔

↔

COROLARIO: Dados un segmento AB y una recta m en el mismo plano, si dos puntos de m ↔

equidistan de A y de B, entonces m es la mediatriz de AB .

138

Elementos Fundamentales de la Geometría ↔

↔

TEOREMA 21: Sea m una recta y P un punto fuera de m . Entonces hay una recta que es ↔

perpendicular a m y contiene a P. COROLARIO: Ningún triángulo tiene dos ángulos rectos.

3. 1. 7. PARALELISMO EN EL PLANO RECTAS PARALELAS ↔

m2

DEFINICION 32. Dos rectas diferentes son paralelas si i) están en un mismo plano ii) no se intersecan. ↔

↔

↔

↔

m1 ↔

Notación: Escribimos m1 ⎜⎜ m2 para indicar que m1 y m2 son paralelas. ∗ Convencionalmente se considera que toda recta es paralela consigo misma.

DEFINICIÓN: Dos segmentos, dos rayos o un segmento y un rayo son paralelos, si están contenidos en rectas paralelas. DEFINICIÓN 33: Dos rectas que no están en un mismo plano se llaman rectas alabeadas.

TEOREMA 22: Dos rectas paralelas están exactamente en un plano. TEOREMA 23: Dos rectas en un plano son paralelas, si ambas son perpendiculares a la misma recta. ↔

s

↔

m1

↔

↔

↔

↔

↔

↔

m1 ⊥ s ∧ m 2 ⊥ s ⇒ m1 || m 2 ↔

m2

P

V POSTULADO DE EUCLIDES

↔

Por un punto externo a una recta pasa exactamente una recta paralela a la recta dada.

•

m

Este postulado es la base de la geometría Euclidiana. La negación del mismo da lugar a las llamadas Geometrías No Euclidianas. DEFINICIÓN 34: Una secante a dos rectas coplanarias es una recta que las interseca en puntos diferentes. En los puntos de intersección de la secante con las rectas se forman ocho ángulos, y las parejas que se forman reciben nombres particulares.

139

Elementos Fundamentales de la Geometría

↔

s 2 3 6 7

↔

1 4

m1

5

↔

8

m2

ANGULOS CORRESPONDIENTES: Las parejas ∠1 y ∠5; ∠2 y ∠6; ∠3 y ∠7; ∠4 y ∠8 ANGULOS INTERNOS: Los ángulos ∠3, ∠4, ∠5 y ∠6. ANGULOS EXTERNOS: Los ángulos ∠1, ∠2, ∠7 y ∠8. ANGULOS ALTERNOS INTERNOS: Las parejas ∠3 y ∠5; ∠4 y ∠6. ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Las parejas ∠1 y ∠7; ∠2 y ∠8. ANGULOS INTERNOS A UN MISMO LADO: Las parejas ∠3 y ∠6, ∠4 y ∠5. ANGULOS EXTERNOS A UN MISMO LADO: Las parejas ∠1 y ∠8, ∠2 y ∠7.

TEOREMAS SOBRE PARALELISMO Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces se cumplen los siguientes Teoremas: 1. Los ángulos correspondientes son congruentes. 2. Los ángulos alternos internos son congruentes. 3. Los ángulos alternos externos son congruentes 4. Los ángulos internos a un mismo lado de la secante son suplementarios. 5. Los ángulos externos a un mismo lado de la secante son suplementarios. Al asumir como válido el V Postulado de Euclides, también son válidos los recíprocos de los teoremas anteriores, es decir si se da la congruencia señalada en los teoremas 1, 2 y 3 o la condición de ángulos suplementarios señalados en el 4 y 5, podemos concluir que las rectas son paralelas. a b

a a

b

b

a

a

b

b

b

b

a

Ángulos Ángulos Ángulos Ángulos Alternos-externos Correspondientes Internos al mismo Alternos – internos lado ∠a ≅ ∠b ∠a ≅ ∠b ∠a ≅ ∠b m∠a + m∠b = 180º TEOREMA 29: La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°.

140

a

Ángulos Externos al mismo lado m∠a+ m∠b = 180º

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 1 En la figura, a partir de la información dada determine el valor de x:

45º

De la figura deducimos que los ángulos indicados forman un par lineal, y por tanto son suplementarios, luego: 3x + 45 = 180 ∴3x = 180 – 45 = 135, luego x = 135 / 3 = 45

3xº

EJEMPLO 2 A

F

θº

B C 40º E

100º

D

En la figura, A – B – C – D, m ∠ ECD = 100º, m ∠ BEC = 40º. Determine el valor de θ.

SOLUCIÓN: Se tiene que ∠BCE y ∠ECD forman un par lineal, luego son suplementarios: m∠BCE = 180 – m∠ECD = 180º – 100º = 80º (1) ∠ABF y ∠EBC son opuestos por el vértice, luego son congruentes: m∠EBC = m∠ABF = θº (2) ∠EBC, ∠BCE y ∠BEC son los ángulos internos del triángulo EBC, luego sus medidas suman 180º: De (1), (2) y el dato sobre la medida del ángulo BEC, se tiene: θ + 80 + 40 = 180, de donde obtenemos θº = 60º.

EJEMPLO 3 A continuación se presentan dos rectas paralelas y una secante que determinan ángulos cuyas medidas se indican en la figura. Determine los valores de x y y.

2x 3x – 40 y + 18 3x – 40 = 2x ⇒ x = 40,

De la figura se deduce que los ángulos cuyas medidas son 2x y 3x – 40, forman una pareja de ángulos alternos – internos entre paralelas y por tanto son congruentes. Por otro lado los ángulos cuyas medidas son 2x y y + 18 son ángulos correspondientes entre paralelas y por tanto también son congruentes, luego: y + 18 = 2x = 2 (40) = 80 ∴ y = 80 – 18 = 62.

EJEMPLO 4 ↔

↔

En la figura, m1 || m 2 . A partir de la información dada, determine el valor de x.

141

Elementos Fundamentales de la Geometría

60º

↔

m1 SOLUCIÓN: Si trazamos una línea auxiliar paralela a las rectas dadas que pase por el vértice del ángulo que mide 110º, se forman ángulos alternos – internos entre paralelas con los ángulos que miden 60º y xº, luego se tiene:

110º ↔

xº

60º xº

m2 60º

x + 60 = 110 ∴ x = 110 – 60 = 50

xº

EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BÁSICOS. __

1. En la figura A – B – C – D – E. B es punto medio de AE , C es __

__

punto medio de BE y D es punto medio de CE . a) si AE = 40, encuentre AB, AC, AD, BC, BD y CD b) si BD = 9, encuentre AB, BE y CD.

A

B

C

D

A

B

C

D

E

2. En la figura A – B – C – D – E. AB = DE = 2 CD. BC = AB + 1 AE = 50. Encuentre AB, BC, CD y DE.

E

3. ¿Cuántas rectas pasan por un punto? ¿Cuántos planos pasan por un punto? 4. ¿Cuántas rectas pasan por dos puntos? ¿Cuántos planos pasan por dos puntos? 5. Dados tres puntos no colineales A, B y C. ¿Cuántas rectas determinan? ¿Cuántos planos? 6. Dados cuatro puntos coplanares, A, B, C y D, tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales, ¿cuántas rectas determinan? 7. Dados cinco puntos coplanares A, B, C, D y F, tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales, ¿cuántas rectas determinan? 8. Dados n puntos coplanares A1, A2, A3,... An, tales que tres cualesquiera de ellos no son colineales, ¿cuántas rectas determinan? ↔

↔

→

9. i) ¿Es AB = BA ? ¿Por qué? ___

→

ii) ¿Es AB = BA ? ¿Por qué?

___

iii) ¿Es AB = BA ? ¿Por qué?

___

iv) ¿Es AB = AB? ¿Por qué?

→

↔

___

___

10. ¿Cuál es la intersección de CD y DC ? ¿ y la de CD y DC ?

11. Si A, B y C son tres puntos colineales tales que AC + BC = AB, →

→

→

→

→

→

¿cuál es la intersección de CB y BA ? ¿de AC y AB ? ¿de CA y CB ?

142

Elementos Fundamentales de la Geometría

12. Si A, B, C y D son puntos colineales, tales que A – B – C – D, determine __

→

__

i) CA ∩ BD →

___

vi) BC ∩ AC

→

→

ii) BA ∩ BD →

→

vii) AC ∩ DC

→

___

iii) AB ∩ CD ___

→

___

AB ∩ BC

iv)

→

v) BC ∩ CA

___

viii) BA ∩ BD

E 13. Para la figura plana siguiente, determine: ___

___

i) FB ∩ AD

___

ii) AE ∩ Δ FGA

___

F

___

iii) FE ∪ AF

G ___

___

iv) AG ∪ AD

___

D

A

___

v) AB ∩ EF

B

C E

14. La siguiente figura representa una pirámide cuadrada. Nombre los planos que determinan los vértices (siete planos). D

↔

15. Si A, B, C y D son puntos distintos tales que AC contiene a B ↔

A

y BD contiene a C, ¿Cuáles de los siguientes enunciados tienen que ser ciertos? ↔

i) B está entre A y C ↔

ii) BC contiene a A

↔

↔

↔

↔

B →

iii) AC = BD

v) AC y BD se intersecan en B y C solamente

C

→

iv) AC es opuesto a DB ↔

vi) AD y BC no se intersecan.

16. Responda cada una de las siguientes preguntas, explicando su respuesta i) ¿Es una recta un conjunto convexo? ii) ¿Es convexo un conjunto que consiste solamente en dos puntos? iii) Si le quitamos un punto a una recta, ¿formarán los puntos restantes un conjunto convexo? iv) ¿Es un segmento un conjunto convexo? v) ¿Es un rayo un conjunto convexo? vi) ¿Es una circunferencia un conjunto convexo? C vii) ¿Es un círculo un conjunto convexo? viii) ¿Es todo plano un conjunto convexo? B A 17. En la siguiente figura, ¿cuáles de las regiones marcadas con letras D mayúsculas son conjuntos convexos? ↔

18. Dos planos α y β se intersecan en AB . Cada uno de los puntos P y Q está en los planos α y β , ¿se ↔

puede concluir que P y Q están en AB ? Explique.

SOLUCIONES: 1. a) AB = 20, AC = 30, AD = 35, BC = 10, BD = 15, CD = 5 b) AB = 12, BE = 12, CD = 3, 2. AB = 14, BC = 15, CD = 7 y DE = 14 3. Infinitas rectas e infinitos planos. 4. Sólo una recta; infinitos planos. 5. Tres rectas; un solo plano n(n− 1) 9. i) Si, representan la misma recta 6. 6 rectas 7. 10 rectas 8. 2 ii) No, representan distintos rayos iii) Si, representan el mismo segmento

143

Elementos Fundamentales de la Geometría ___

iv) No, AB es un segmento, es decir un conjunto de puntos, mientras AB es la longitud del segmento →

___

→

→

→

__

→

→

→

___

___

___

___

___

→

___

iv)

→

→

___

AB ∩ BC = {B} ___

viii) BA ∩ BD = {B} iv) AG ∪ AD = AD

↔

___

→

___

___

__

AC ∩ AB = AB , CA ∩ CB = {C}

11. CB ∩ BA = BC , iii) AB ∩ CD = CD

___

10. CD ∩ DC = DC , CD ∩ DC = DC

AB , es decir un número.

→

→

__

→

__

___

__

→

__

→

__

vii) AC ∩ DC = AD

___

ii) AE ∩ Δ FGA = AF

→

ii) BA ∩ BD = {B}

vi) BC ∩ AC = BC

___

13. i) FB ∩ AD = {G} ___

→

v) BC ∩ CA = BC

___

__

12. i) CA ∩ BD = BC

___

__

iii) FE ∪ AF = AE

___

v) AB ∩ EF = Φ

14. ABC, ABE, ADE, ACE, BCE, BDE, CDE. ↔

15. (ii) y (iii)

16. i) si ii) no iii) no iv) si v) si vi) no vii) si viii) si.

EJERCICIOS SOBRE ÁNGULOS

18. P, Q ∈ AB .

17. A y D

D

C

B

1. En la figura, los puntos A, B y C son colineales. Nombre los cinco ángulos que se forman.

A

E

2. D

A

B

i) ¿Cuántos ángulos están determinados en la figura de la izquierda? Nómbrelos. ii) ¿Cuántos de ellos es posible nombrarlos utilizando solamente la letra del vértice?

C

A 3. En la figura A, B y C son colineales. Si m ∠ DBA = m ∠ EBA i) Nombre las parejas de ángulos que forman un par lineal ii) Nombre las parejas de ángulos suplementarios.

D

E B C

E

4. A

D

B

En la figura plana de la izquierda i) m ∠CAB + m ∠DAC = m ∠____ ii) m ∠EAD + m ∠DAC = m ∠____ iii) m ∠EAD + m ∠DAB = m ∠____ iv) m ∠EAC – m ∠DAC = m ∠____

C

5. En la siguiente figura i) m ∠SPR + m ∠QPO = m ∠____ ii) m ∠RSQ + m ∠___ = m ∠ RSP iii) m ∠POQ + m ∠POS = ____ iv) m ∠SRQ – m ∠SRO = m ∠____ v) m ∠ROQ = 180° – m ∠____

S R O P Q

6. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo?

144

Elementos Fundamentales de la Geometría

7. Dos veces la medida de un ángulo es 30° menos que cinco veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? 8. Encuentre la medida del ángulo cuya medida es 50° mayor que a) su complemento b) su suplemento. 9. Dos ángulos son complementarios. Tres veces la medida de uno de ellos es 30° más que el doble de la del otro. Encuentre las medidas de los ángulos. F

E

G D A C

B

10. A partir de la figura conteste las siguientes preguntas a) ¿ Es m ∠ BFC = m ∠ BFD ? b) ¿ Es ∠ BFC = ∠ BFD ? c) ¿ Es ∠ FDB ≅ ∠ EDC ? d) Nombre el ángulo suplementario del ∠ ABF. ↔

11. Se da la figura con el vértice B del ángulo recto ∠ DBE en AC y m ∠EBC = 45°.

D

i) Nombre un par de rayos perpendiculares, si hay alguno ii) Nombre un par de ángulos complementarios, si hay alguno. iii) Nombre un par de ángulos suplementarios, si hay alguno iv) Nombre un par de ángulos congruentes, si hay alguno.

B C

b c

d

13. (2x + 18)°

A partir de la información dada en la figura, encuentre el valor de x.

(x + 15)°

→

→

G

14. En la figura plana que se muestra a continuación, BA y BE son rayos opuestos, ∠ ABG ≅ ∠ KBG y ∠KBD ≅ ∠DBE. Hallar m ∠ GBD. A 15. D

A

E

12. En la figura, tres rectas coplanares se cortan en el mismo punto. Se tiene a = 75° y e = 45°. Hallar b, c, d y f.

a f e

A

→

2x° (x + 30)° B

↔

Si A, B y C son colineales, BD ⊥ AC , hallar el valor de x

C

16. P R

S Q

61°

T

A partir de la información dada en la figura, halle m ∠ PQS

145

K D

B

E

Elementos Fundamentales de la Geometría

17. __

A B

D

__

Si AD ⊥ CD y m ∠ ADE = 120°, ¿Cuánto mide el ∠ BDC? ¿Cuánto mide el ∠ CDE?

E

C 18.

T

Q

R

↔

O

S

P

↔

V P•

19.

• Q

1

• S

m3 60°

m2

5

↔

Q, R y S son colineales. RP ⊥ QS . m∠ 1 = 45°, m∠ 3 = 15°, m∠ 2 = m ∠4 . Encuentre m∠ 5.

4

• R

m1

20.

→

3

2

↔

PQ , RS y TV se cortan en O. a) Si m ∠ ROQ = 142° y m∠ TOS = 129°, encuentre m ∠ROT y m ∠ POV b) Si m ∠ ROV = 120° y m ∠ QOT = 47°, determine m ∠ SOQ.

m4

d°

↔

c°

↔

↔

↔

En la figura m1 || m2 y m3 || m 4 , determine las medidas de los ángulos indicados

b° a°

21. En las siguientes figuras, los rayos, segmentos y rectas paralelas se representan colocándoles puntas de flecha en el mismo sentido. En cada uno de ellos determine el valor del ángulo indicado a)

b)

c)

x°

40°

x°

45°

75°

30°

d)

x°

50° y°

88°

e)

x°

f) 35°

2x ° (3x – 20)°

x°

(y + 8)°

146

Elementos Fundamentales de la Geometría

g)

h)

i)

84°

135°

(5x + 30)°

(x – 6)°

(3x + 18)°

x° 150°

(3x + 10)°

j)

l)

k) 55° x°

150° (x – 2y)° (x + y)°

22.

x° 65°

w°

A y°

(2x + 10)°

B

z° →

x° C

→

Si AB || CD

D

y x = 62, encuentre los valores de y, z y w.

↔

23

1 4

2

5

m1

3 6

m1

x°

↔

↔

y°

C

26. A

x° ¿Cuál es el valor de x?

↔

Si m1 || m2 || m3 , determine x + y

↔ m2 ↔ m3

110°

↔

m2 ↔

24.

↔

Si m1 || m2 , m ∠ 1 = 60° y m ∠ 6 = 40°. Encuentre las medidas de los ángulos 2, 3, 4, 5 y 7.

↔

7

.

25.

118°

F

y°

D x°

B

___

___

___

108° E

27. A

E

__

D B

___

Si AB || DE y CD || FE , ¿cuál es el valor de x + y?

__

Si AE || BC , cuánto vale m∠E + m∠D + m∠C?

C

147

Elementos Fundamentales de la Geometría

28.

↔

↔

↔

m2

m1

↔

m3

m4

↔

↔

↔

↔

En la figura m1 ||m2 y m3 || m 4 . Determine el valor de x y y. 40° 55°

x°

y°

29.

En la figura, m∠ 1 = (2x – 7)°, m∠ 2 = (5x + 3)° y m∠3 = (6x + 2)° . Halle la medida del ángulo 4.

3 1

4

2

31.

30

A

Exprese x en términos de b.

b°

Si AB = AC y m ∠B = a°, determine m∠A en término de a.

x° B

El Δ ABC es isósceles con AB = AC.

A

32.

C

→

→

BD y CD son bisectores de los ángulos de la base. Si m∠ A = 70°, encuentre la medida del ∠ BDC.

70° D C

B D

33 .

α°

A

β°

B

BD biseca al ∠ADC. Si m ∠ DBC = 105° y m ∠ DCB = 55°, halle los valores de α y β.

C

SOLUCIONES: 1. ∠ABD, ∠ABE, ∠DBC, ∠CBE, ∠DBE 2. i) ∠DAB, ∠DBC, ∠DBA, ∠ADC, ∠ADB, ∠BDC, ∠BCD ii) ∠A y ∠C. 3. i) ABD y DBC; ABE y EBC ii) ABD y DBC; ABE y EBC; ABD y EBC; ABE y DBC 4. i) BAD ii) EAC iii) EAB iv) EAD 5. i) SPQ ii) QSP iii) 180º iv) ORQ v) ROS ó POQ →

→

6. 135º 7. 60º 8. a) 70º b) 115º 9. 42º y 48º 10. a) si b) si c) si d) ∠FBC 11. i) BD y BE ii) ∠ABD y ∠EBC iii) ∠ABD y ∠DBC; ∠EBC y ∠EBA; ∠ABD y ∠EBC 12. b = 45º, c = 60º, d = 75º, f = 60º 13. 49º 14. 90º 15. 20º 16. 29º 17. a) 30º b) 150º 18. a) 51º y 91º b) 73º 19. 30º 20. a = c = 60º b = d = 120º 21. a) 140º b) 45º c) 43º d) x = 50º, y = 130º e) 55º f) x = 20º, y = 32º g) x = 16.5º h) x = 20º i) x = 75º j) x = 110º, y = 40º k) x = 120º l) x = 36º 22. y = w = 62º, z = 118º 23. m∠2 = 80º, m∠3 = 40º, m∠4 = 120º, m∠5 = 60º, m∠7 = 140º 24. 270º 25. x = 70º 26. x + y = 180º 27. 360º 28. x = 85º, y = 95º 29. m∠4 = 159º 30. x = 90 – b/2 31. m∠A = 180º – 2aº 32. 125º 33. α = 85º, β = 125º

148

Elementos Fundamentales de la Geometría

3.2. TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS INTRODUCCIÓN: Anteriormente definimos un triángulo, denotado por Δ ABC, como la unión de los segmentos AB , BC y AC , siendo A, B y C puntos no colineales. Además tenemos que los puntos A, B y C se llaman vértices, los segmentos AB , BC y AC los lados del triángulo y los ángulos determinados en los vértices, ∠ A, ∠ B y ∠ C, son llamados ángulos internos del triángulo. De manera similar si A, B, C y D son cuatro puntos coplanares, tales que no hay tres colineales y los ___

___

___

___

segmentos AB , BC , CD y DA únicamente se intersecan en los extremos, entonces la unión de estos segmentos forman el cuadrilátero ABCD. Los triángulos y cuadriláteros constituyen dos de las figuras más importantes, por cuanto las encontramos en muchos de los objetos que nos rodean y por otro lado sirven de base para el estudio de otras figuras más complejas.

3. 2. 1. CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS: ◊ De acuerdo a las medidas de sus lados los triángulos se clasifican en escalenos.

isósceles, equiláteros y

◊ De acuerdo a las medidas de sus ángulos tenemos triángulos rectángulos, equiángulos, acutángulos y obtusángulos.

DEFINICIÓN 1: Un triángulo con dos lados congruentes se llama isósceles. Al otro lado generalmente se le llama base y a los ángulos asociados con la base se les llaman ángulos en la base. Al ángulo opuesto a la base se le llama ángulo en el vértice. Vértice A

__

B

C

__

AB ≅ AC y ∠B ≅ ∠C

Base Nota: En general, cualquiera de los lados de un triángulo es una base y cualquiera de los puntos extremos es un vértice, pero en el caso particular de los triángulos isósceles se acostumbra referirse al “vértice” y a la “base”, tal como se indica en la definición anterior. TEOREMA 1: Los ángulos en la base en un triángulo isósceles son congruentes. (El recíproco también es válido)

TEOREMA 2: Si dos ángulos de un triángulo son congruentes entonces es un triángulo isósceles.

149

⇔

Elementos Fundamentales de la Geometría DEFINICIÓN 2: Un triángulo con sus tres lados congruentes se llama equilátero. A

DEFINICIÓN 3: Un triángulo con sus tres ángulos congruentes se llama equiángulo. TEOREMA 3: Todo triángulo equilátero es equiángulo y viceversa. Cada ángulo de un triángulo equilátero mide 60°.

B

C

AB ≅ AC ≅ BC , ∠A ≅ ∠ B ≅ ∠C

DEFINICIÓN 4: Un triángulo para el cual dos lados cualesquiera no son congruentes, se llama escaleno. DEFINICIÓN 5: Un triángulo rectángulo, es un triángulo que tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y a los otros dos lados se les llama catetos. B

C

C

B

A B A En los triángulos dibujados, tenemos: ___

__

C

A

__

AB : hipotenusa; AC y BC : catetos DEFINICIÓN 6: Un triángulo se le llama acutángulo, si sus tres ángulos son agudos, y se le llama obtusángulo si tiene un ángulo obtuso. A los triángulos acutángulos y a los obtusángulos se les llama oblicuángulos.

3. 2. 2. RECTAS Y PUNTOS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO DEFINICIÓN 7: Una mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto. ◊ Todo triángulo tiene tres medianas, una para cada vértice (lo que equivale a decir una para cada lado). Puede probarse que las medianas se cortan en un punto llamado baricentro.

A

P ◊ También puede probarse que la distancia del baricentro a un vértice es el doble de la distancia del baricentro al punto medio correspondiente. Es decir la distancia del punto medio correspondiente al baricentro es 1/3 la medida de la mediana.

M AP = 2⋅ PM,

Baricentro

AM = 3⋅PM

→ DEFINICIÓN 8: Si D ∈ i ∠BAC y ∠BAD ≅ ∠DAC, entonces decimos que AD biseca al ∠ BAC. → Al rayo AD se le llama rayo bisector o bisectriz del ∠BAC.

B

TEOREMA 4: Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz.

D

◊ Una propiedad de la bisectriz es que todo punto de ella equidista de los lados del ángulo.

A 150

C

Elementos Fundamentales de la Geometría DEFINICIÓN 9: Un segmento es una bisectriz de un ángulo de un triángulo, si: i) está en el rayo bisector del ángulo y ii) sus extremos son el vértice del ángulo y un punto del lado opuesto. ◊ Todo triángulo tiene tres bisectrices, una para cada ángulo. Puede probarse que se cortan en un punto llamado incentro, y que el incentro equidista (igual distancia) de cada lado del triángulo. El incentro siempre pertenece al interior del triángulo. ◊ El incentro es el centro de la circunferencia que puede inscribirse en el triángulo es decir tangente a los tres lados.

Incentro

DEFINICIÓN 10: Una recta es una mediatriz de un lado de un triángulo, si está en el plano que contiene al triángulo y es mediatriz de dicho lado (es decir, una recta perpendicular al lado, que pasa por su punto medio). ◊ Una propiedad de la mediatriz es que todo punto de ella equidista de los extremos del segmento. ◊ Todo triángulo tiene tres mediatrices, una para cada lado. Puede probarse que se cortan en un punto llamado circuncentro y que el circuncentro equidista de cada vértice. ◊ En los triángulos acutángulos, el circuncentro se halla en el interior del triángulo, mientras que en los obtusángulos se halla en el exterior del triángulo. Para los triángulos rectángulos el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa. ◊ El circuncentro es el centro de la circunferencia que puede circunscribirse a un triángulo, es decir que pasa por los vértices del triángulo.

A Circuncentro P B

AP = BP = CP

C

DEFINICIÓN 11: i) La altura correspondiente a un lado de un triángulo es un segmento perpendicular a dicho lado, cuyos extremos son el vértice del ángulo opuesto y un punto de la recta que contiene a dicho lado. ii) La altura correspondiente a un lado de un triángulo también es la distancia desde el vértice del ángulo opuesto a dicho lado a la recta que contiene a dicho lado. ◊ Puede probarse que las rectas que contienen a las alturas se cortan en un punto llamado ortocentro. ◊ En los triángulos acutángulos, el ortocentro se halla en el interior del triángulo, mientras que en los obtusángulos se halla en el exterior del triángulo. Para los triángulos rectángulos el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.

151

Elementos Fundamentales de la Geometría

A

A

•

hA

hB B

B

C

C Ortocentro

hC

•

Ortocentro

TEOREMA 5: En un triángulo isósceles, la mediana, la bisectriz, la mediatriz y la altura correspondientes a la base son coincidentes. TEOREMA 6: En un triángulo equilátero, el baricentro, el incentro, el circuncentro y el ortocentro coinciden. ◊ En un triángulo no equilátero, el baricentro, el circuncentro y el ortocentro son colineales. La recta que los contiene se llama recta de Euler.

3. 2. 3. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS En general dos figuras geométricas son congruentes si tienen exactamente la misma forma y tamaño. Anteriormente hemos visto la congruencia de segmentos y de ángulos, estableciendo la misma a partir de la igualdad de sus medidas. Recordemos que el concepto de congruencia está muy cercano al concepto de igualdad, sin embargo son conceptos diferentes aunque frecuentemente se confunden. La igualdad es estrictamente la relación entre dos nombres o dos expresiones para el mismo “objeto”, en cambio la congruencia en geometría, relaciona dos “objetos” que tienen la misma forma y tamaño. Si dotamos de movimiento rígido a las figuras geométricas, es decir si trasladamos, rotamos o reflejamos, sin que se modifique su forma y tamaño, podemos afirmar que dos figuras geométricas son congruentes cuando al superponerlas se ajustan “exactamente”. Veamos como describir la relación de congruencia entre triángulos: C

A

F

B

D

H

E

I

G

Consideremos el triángulo ABC. Si lo desplazamos hacia la derecha y lo superponemos al ΔDEF, veremos que se ajustan exactamente. En este caso el punto A quedará sobre el punto D, el punto B sobre el E y el punto C sobre el F. Se presenta una correspondencia A ↔ D, B ↔ E y C ↔ F. Observamos que coinciden los lados correspondientes y los ángulos internos, lo cual podemos indicar usando la notación Δ ABC ≅ Δ DEF. Si intentamos superponer el Δ ABC sobre el Δ GHI, vemos que no basta desplazar el triángulo ABC hacia la derecha, sino que hemos de “invertir” el ΔABC, es decir realizar una reflexión sobre el lado AC , de manera que el vértice A corresponda al vértice G, el vértice B corresponda al vértice I y el vértice C al H.

152

Elementos Fundamentales de la Geometría Se presenta ahora la correspondencia A ↔ G, B ↔ I y C ↔ H. Además se observa que también se ajustan los lados y ángulos correspondientes. Esto lo denotamos por Δ ABC ≅ Δ GIH. Recordemos que los dibujos de las figuras geométricas son auxiliares, no siempre se trazan con exactitud, de manera que es necesario ser precisos con la simbología utilizada. DEFINICIÓN 12: Sea ABC ↔ DEF una correspondencia entre los vértices de dos triángulos. Si los pares de lados correspondientes son congruentes y los pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia ABC ↔ DEF se llama una congruencia entre los dos triángulos y decimos que los triángulos son congruentes. Esta relación se denota por Δ ABC ≅ Δ DEF. Se tiene entonces: ⎧ __ __ ∠ A ≅ ∠D ⎪ AB ≅ DE ⎪⎪ __ __ Δ ABC ≅ ΔDEF ⇔ ⎨ BC ≅ EF ∠B≅ ∠E ⎪ __ __ ∠C≅ ∠F ⎪ CA ≅ FD ⎪⎩ Notemos que el orden en que se escriben los vértices es muy importante: deben reflejar la correspondencia entre los lados y los ángulos respectivos:

Δ ABC ≅ Δ DEF

Se acostumbra nombrar las longitudes de los lados de un triángulo usando la respectiva letra minúscula __

__

__

usada en el vértice opuesto. Así tenemos en el ΔABC, m ( AB ) = c, m ( AC ) = b y m ( BC ) = a. DEFINICIÓN 13: Un lado de un triángulo se dice estar comprendido por los ángulos cuyos vértices son los extremos del segmento. De manera similar, un ángulo de un triángulo se dice estar comprendido por los lados del triángulo que están en los lados del ángulo. ∗ Recordemos que un ángulo es la unión de dos rayos y que un triángulo es la unión de tres segmentos. Ejemplo.

C __

En el Δ ABC, AB está comprendido por los ángulos A y B. __

__

El ∠ C está comprendido por los lados AC y BC A

B

TEOREMAS SOBRE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS TEOREMA 7: L.A.L ( Lado – Angulo – Lado) Toda correspondencia L.A.L. es una congruencia. Es decir, si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido por dichos lados, son congruentes respectivamente a dos lados y el ángulo comprendido por dichos lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes. C

F

Si AC ≅ DF , AB ≅ DE y ∠ A ≅ ∠ D entonces Δ ABC ≅ Δ DEF A

B

D

E

153

Elementos Fundamentales de la Geometría

TEOREMA 8: A.L.A. (Angulo – Lado – Angulo) Toda correspondencia A.L.A. es una congruencia. Es decir, si dos ángulos de un triángulo y el lado comprendido por dichos ángulos son congruentes respectivamente a dos ángulos y al lado comprendido por dichos ángulos de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes C F

Si A

B

D

∠ A ≅ ∠ D , ∠ B ≅ ∠ E y AB ≅ DE

entonces Δ ABC ≅ Δ DEF

E

TEOREMA 9: L.L.L. ( Lado – Lado – Lado) Toda correspondencia L.L.L. es una congruencia. Es decir si los tres lados de un triángulo son congruentes respectivamente a los tres lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes C F Si AB ≅ DE , AC ≅ DF y BC ≅ EF entonces Δ ABC ≅ Δ DEF A

B

D

E

EJEMPLOS 1. Demostrar que si dos segmentos se bisecan, entonces los segmentos que unen los extremos de los segmentos dados son congruentes. SOLUCIÓN: 1ro: Dibujamos una figura que refleje la situación planteada y rotulamos los puntos, indicando los datos dados. En el ejemplo se nos plantea que los segmentos se bisecan, es decir se cortan en el punto medio. No hay información sobre las longitudes de los segmentos, por tanto podemos tomarlos de longitud arbitraria. 2do: Enunciamos la hipótesis y tesis simbólicamente. A

D

Hipótesis: AC y DE se bisecan. Tesis: AE ≅ CD ! ! 3ro: A partir de los conocimientos previos: teoremas, definiciones, etcétera, B buscamos una estrategia de demostración. En este caso vemos que una forma de llegar a la conclusión buscada es a partir de la E C congruencia de triángulos. Si logramos probar que los triángulos ABE y CBD son congruentes, los segmentos en cuestión resultan ser partes correspondientes. Esta vía surge al observar que tenemos dos pares de lados congruentes por dato, y en la figura se forman dos ángulos opuestos por el vértice. 4to: Escribimos las afirmaciones que vamos deduciendo y su respectiva justificación.

154

Elementos Fundamentales de la Geometría

Afirmación __

1 2

Justificación

__

AC y DE se bisecan en B __

__

__

__

AB ≅ BC

Definición de bisecar

EB ≅ BD

3 4 5

∠ ABE ≅ ∠CBD Δ ABE ≅ Δ CBD

6

AE ≅ CD

__

Dato

Definición de bisecar Ángulos opuestos por el vértice Teorema LAL (pasos 2,3 y 4) Partes correspondientes de triángulos congruentes

__

2. Demostrar que si en el Δ GHK, GK = HK y G – M – H , tal que ∠ GKM ≅ ∠ HKM, entonces M es el punto medio de GH K Datos: GK = HK G–M–H ∠ GKM ≅ ∠ HKM Tesis : M es punto medio de GH G !

M !

H

Afirmación 1

__

__

__

__

Justificación

GK ≅ HK

Por dato y definición de congruencia

KM ≅ KM

Por reflexividad Dato Teorema LAL ( pasos 1,2 y 3)

2 3 4

∠ GKM ≅ ∠ HKM Δ GKM ≅ Δ HKM

5

GM ≅ HM

6

G–M–H

7

∴ M es punto medio de GH

__

__

Partes correspondientes en triángulos congruentes Dato __

Pasos 5, 6 y definición de punto medio

EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE CONGRUENCIA 1. a) Los triángulos ΔABC y ΔDEF no se intersecan y M es un punto entre B y C. ¿Cuál de los dos símbolos = o ≅ corresponde colocar en cada uno de los espacios en blanco para completar un enunciado que tenga sentido y posiblemente sea cierto? ii) m∠B__m∠E iii) BC __ EF iv) AB __ DE i) ΔABC __ ΔDEF v) ∠E__∠F

vi) ∠ABM__∠ABC

vii) ∠ABM__∠DEF

155

viii) AB__ DE

Elementos Fundamentales de la Geometría

b) ¿Qué espacio en blanco se pudo llenar con cualquiera de los dos símbolos? c) Si AB hubiera sido el mismo segmento que DE pero C fuera un punto diferente de F ¿En que caso se cambiaría ≅ por = ? 2. Se da el triángulo ABC. Si Δ ABC ≅ Δ BAC y Δ ABC ≅ Δ ACB ¿Qué conclusión se puede obtener acerca del Δ ABC? ¿Cómo se demostraría que la conclusión es válida? → → ↔ 3. Se da PC ⊥ KM con K-P-M. Los puntos A y B están del mismo lado de KM que C, pero A y B ↔

están en lados opuestos de PC . A está del mismo lado de PC que K. Si Δ ACP ≅ Δ BCP, demostrar que ∠ KPA ≅ ∠ MPB. ↔

4. En un plano los puntos C y D están en lados opuestos de AB de tal modo que el Δ ABC es un triángulo equilátero y el Δ ABD es equiángulo. Demostrar que ∠ C ≅ ∠ D. 5. Se nos da el Δ ABC, con AC = BC. Las bisectrices de los ángulos en la base ∠ A y ∠ B se cortan en un punto F ¿Qué nos permite afirmar que CF es perpendicular a AB ? 6. Si Δ BCA ≅ Δ PQR, indique las congruencias respectivas relativas a los lados y ángulos de dichos triángulos. 7. En el Δ ABC ¿Qué ángulo es determinado por los lados BC y AB ? ¿Qué lado es determinado por los ∠ A y ∠ B ? 8. En algunos problemas, el hecho de que dos segmentos sean congruentes o que dos ángulos sean congruentes, se deduce de las definiciones de los conceptos involucrados. Para cada una de las siguientes situaciones, haga un dibujo indicando que segmentos o ángulos son congruentes a partir de la información dada: a) AB es perpendicular a CD en el punto E. b) C es el punto medio de AB →

↔

c) AT es el bisector de ∠ BAC e) El Δ ABC es isósceles con base BC

d) m es la mediatriz de AB f) CD es una altura del triángulo acutángulo Δ ABC.

g) CD es una mediana del triángulo acutángulo Δ ABC.

h) El Δ ABC es equilátero.

9. Para cada par de triángulos dibujados a continuación, si las marcas semejantes indican partes congruentes, citar que teorema de congruencia (LAL, ALA, LLL) es aplicable para demostrar la congruencia de los triángulos o indique en que caso falta información para establecer la congruencia. a)

A

B

C

b)

C E

A F c)

E

D

P

T

d)

Q

U

R

D

B

S

P

Q

S

156

R

Elementos Fundamentales de la Geometría

B

e)

C

D

f) A A

C

B F

C

E

M

N

g)

h)

Q P 10. Si AE = BC, AD = BD y DE = DC, Demostrar que ∠ E ≅ ∠ C.

D B

A

O A

B

E

Q

C

D

11. Si PQ = PS, ∠1 ≅ ∠2, ∠3 ≅ ∠4, demostrar que ∠5 ≅ ∠6.

5

3 4

P

12.

E

D

6

D

E

A

B

C

N

S P T

13. Si RS = QT, PS = PT, ∠ RTP ≅ ∠ QSP, demostrar que Δ RTP ≅ Δ QSP.

Q

14.

D A

B

E

Δ ABC es isósceles con AB = BC D es el punto medio de AB E es el punto medio de BC Demuestre que Δ ACE ≅ Δ CAD

C

15. En la figura, CD biseca a AB y ∠ C ≅ ∠ D. Demostrar que AB biseca a CD

R

S 2

Si AB = BC, ∠ MAE ≅ ∠ NCD, AE = CD. Demostrar que Δ ABE ≅ Δ CBD R M

1

C E

A

B

D

157

Elementos Fundamentales de la Geometría

16.

T

Datos: PT ⊥ RT , SV ⊥ QV , RT = QV, PQ = SR Demostrar que PT = SV

Q

P

17 J

R

S

En la figura de la izquierda se tiene V m∠ K = m∠ J y MR = NR. Demostrar que MK = NJ

K R N

M

↔ 18. Los puntos K y M trisecan a GH y G-K-M. Los puntos J e I, al mismo lado de GH , están en las perpendiculares a GH en G y H, respectivamente, de manera que JM = IK. JM e IK se intersecan B en P. Demostrar que el Δ PKM es isósceles. 19. Datos AB = PQ y BP = AQ Demostrar que a) ∠ A ≅ ∠ P b) Δ ABM ≅ ΔPQM 20

Y

A

Z

M

M

P a) Demostrar que en la figura, si X es el punto medio de MN , MZ = NY y XZ = XY entonces ∠ Y ≅ ∠ Z b) Si M, N, X, Y y Z son coplanares y X es el punto medio de MN , ∠ M ≅ ∠ N , ∠ MXY ≅ ∠ NXZ , demostrar que ∠ Y ≅ ∠ Z

N

X

21.

A partir de la información en la figura, D

__

E

A

B

__

Demuestre que AB ≅ BC

C A

22.

__

__

Si ∠BAD ≅ ∠ CAE, AB ≅ BC __

__

Q

__

__

F

FB ≅ FC pruebe que AD ≅ AE

D B

158

E C

Elementos Fundamentales de la Geometría

23. En la figura, ABC es un triángulo rectángulo en B. Los puntos E y F están sobre la hipotenusa de manera que AE = AB y CF = CB. ¿Cuánto mide el ángulo EBF?

A

F E

C

B

SOLUCIONES 1. a) i) ≅ ii) = iii) = iv) ≅ v) ≅ vi) = ó ≅ vii) ≅ viii) = b) el (vi) c) el (iv) 2. El triángulo es equilátero. Aplicando la definición de congruencia de triángulos, se deduce que los tres lados son congruentes y por tanto es equilátero. 3. Indicación: Demostrar primero la congruencia de los triángulos formados y luego hacer ver que ∠KPA y ∠MPB son complementos de ángulos congruentes. 4. Indicación: establecer que m∠C = m∠D = 60º y por tanto son congruentes. →

5. El punto F es el incentro y por tanto CF es la bisectriz del ∠C. Por ser un triángulo isósceles, las rectas __

__

__

notables de la base coinciden, luego CF está sobre la altura correspondiente a la base y CF ⊥ AB . __

__

__

__

__

__

6. ∠A ≅ ∠R, ∠B ≅ ∠P, ∠C ≅ ∠Q, AB ≅ RP, AC ≅ RQ, BC ≅ PQ 8.

A

a) C

E

b) D

• C

A

B A

B

A

A

C

C

g)

h)

C A

B

C

f)

B

m

d) T

C

e)

↔

B

c)

__

7. ∠B; AB

D

B

A

D

B

A

B

9. a) ALA; ΔABF ≅ ΔDEC b) Falta información c) LLL; ΔTPU ≅ ΔSQR d) Falta información e) ALA; ΔAFB ≅ ΔDEC f) LAL; ΔABC ≅ ΔEDC g) Falta información h) Falta información. 10. Indicación: establecer que ∠E y ∠C son ángulos correspondientes en triángulos congruentes. Use LLL. 11. Indicación: establecer que ∠5 y ∠6 son ángulos correspondientes en triángulos congruentes. Use ALA. __

__

12. Use LAL 13. Indicación: establezca primero que RT ≅ QS y luego aplique el teorema LAL. 14. Utilice las propiedades de un triángulo isósceles y luego aplique el teorema LAL __

__

__

__

15. Primero establezca que PR ≅ SQ y luego que PT ≅ SV por ser partes correspondientes en triángulos congruentes. 16. Indicación: complete los pasos para aplicar el teorema ALA y establecer la congruencia de los triángulos AEC y BED 17. Establezca la congruencia de los triángulos KRM y JNR 18. Establezca la congruencia de los triángulos GMJ y HKI, de ahí resulta ∠IKM ≅ ∠JMK __

19. Trace BQ , establezca la congruencia entre los triángulos ABQ y PQB. Luego complete los pasos para aplicar el teorema ALA. 23. 45º

159

Elementos Fundamentales de la Geometría 3. 2. 4. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

En forma general decimos que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Así por ejemplos, todos los triángulos equiláteros son semejantes entre si, de igual manera todos los cuadrados, todas las circunferencias, etc. Cuando las figuras semejantes tienen distintos tamaños podemos considerar una de ellas como una copia de la otra, a una escala determinada, y el factor de escala le llamamos razón de semejanza. Al considerar áreas o volúmenes de figuras semejantes, el factor de escala facilita los cálculos. DEFINICIÓN 14: Dada una correspondencia ABC ↔DEF, entre los vértices de los triángulos Δ ABC y Δ DEF, si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, decimos que la correspondencia es una semejanza y escribimos Δ ABC ∼ Δ DEF.

Δ ABC ∼ Δ DEF ⇔

⎧ ∠ A ≅ ∠D ⎪ ∠B ≅ ∠E ⎪ ⎨ ∠ C≅ ∠F ⎪ AB BC AC ⎪ = = ⎩ DE EF DF

RAZONES Y PROPORCIONES

DEFINICIÓN 15: Una RAZÓN, es la relación que se establece entre dos cantidades de la misma naturaleza, al compararlas, considerando que múltiplo o parte es una cantidad de la otra. Notación: x : y ( se lee “ x es a y”). A las cantidades x y y se les llama términos de la razón. Al primer término se le llama antecedente y al segundo consecuente. Para hallar la razón entre dos cantidades, simplemente dividimos el antecedente entre el consecuente, por tal motivo la razón, x : y, también se representa como una fracción x x:y ≡ . y DEFINICIÓN 16: Una PROPORCIÓN es la igualdad entre dos o más razones. a c e = = = .... = k . b d f Decimos que {a, c, e, ..} y {b, d, f, ..} son conjuntos proporcionales y que el valor k es la razón de proporcionalidad. Se usa la notación a:b::c:d ( se lee “ a es a b como c es a d” ), esto equivale a la expresión

a c = . b d

A las cantidades a y d se les llama extremos y a las cantidades b y c se les llama medios. a b Cuando tres cantidades están relacionadas por la proporción = decimos que b c b es la media proporcional o media geométrica entre a y c, y c es la tercera proporcional a a y b. a c = , se dice que x es cuarta proporcional de a, b y c. Si a, b, c y x son números positivos y b x ◊ ALGUNAS PROPIEDADES:

A partir de

a c = y las propiedades de la igualdad se obtienen los siguientes resultados: b d

160

Elementos Fundamentales de la Geometría

1. a d = b c 6.

a− b c− d = b d

En general si

a b = c d a c 7. = a + b d+ c

2.

b d = a c a c 8. = b − a d− c

d c = b a a+ b c+ d 9. = a− b c− d

3.

4.

a+ b c+ d = b d a c a+ c 10. = = b d b+ d 5.

a b c a + b+ c + ... = = = .... = =k p q r p + q+ r + ...

EJEMPLOS 1. Encuentre la media proporcional entre 5 y 45. SOLUCIÓN: De acuerdo a la definición, se pide el valor x, tal que

5 x = , luego x2 = (5) (45) = 225 ∴ x = x 45

225 = 15

2. Encuentre la tercera proporcional entre 4 y 16 SOLUCIÓN: 4 16 16 ⋅ 16 = ∴ x= = 64 16 x 4 3. Encuentre la cuarta proporcional de los números 4, 12 y 15. SOLUCIÓN: 4 15 12 ⋅ 15 = De acuerdo a la definición, se pide el valor x, tal que ∴ x= = 45 12 x 4 4. Si un triángulo tiene un perímetro de 84 cm. y sus lados son proporcionales a los números 5, 7 y 9, encuentre las longitudes de dichos lados. SOLUCIÓN: a b c = = Sean a, b y c las longitudes de los lados del triángulo, luego 5 7 9 a b c a+ b+ c = = = Por las propiedades de las proporciones se tiene 5 7 9 5+7+9 a b c 84 = = = = 4, Pero el perímetro es P = a + b + c = 84, luego 5 7 9 21 Por tanto a = (5) (4) = 20 cm., b = (7) (4) = 28 cm. y c = (9) (4) = 36 cm.

De acuerdo a la definición, se pide el valor x, tal que

RAZÓN ENTRE DOS SEGMENTOS:

La razón entre dos segmentos se define como la razón entre sus longitudes. ___

___

___

___

Así por ejemplo si m ( AB ) = 4 y m ( CD ) = 2, decimos que AB y CD están en una razón 2:1, lo que ___

___

significa que la longitud de AB es el doble que la longitud de CD . PROYECCIONES ↔

↔

___

↔

◊ Se llama proyección de un punto P sobre una recta m al punto P’ sobre la recta m , tal que PP' ⊥ m . __

El segmento PP' recibe el nombre de proyectante. ↔

◊ Si un punto Q ∈ m , su proyección Q’, es el mismo punto Q.

161

Elementos Fundamentales de la Geometría

___

◊ La proyección de un segmento AB sobre una recta

B

↔

P •

m , es el segmento cuyos extremos son las proyecciones de sus puntos extremos.

◊ Si ◊

___

↔

___

↔

___

A

___

D ↔

Q

AB || m , entonces A ' B' ≅ AB .

•

•

Si AB ⊥ m , entonces A’ = B’

C

A’

Q’

P’

B’

•

m

C’ = D’

TEOREMAS SOBRE PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

10. Si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales.

A x

u

D

E v

y

11. Si una recta divide dos lados de un triángulo en segmentos proporcionales entonces es paralela al tercer lado. x u = ⇒ DE || BC y v

B

DE || BC ⇒

x u = y v

C

12. Teorema de Thales: Dos transversales cualesquiera cortadas por tres o más paralelas quedan divididas en segmentos proporcionales. A B C

A

A’

A’

B’ C’

AB AC BC = = A' B' A' C' B' C'

B’

B C’

C

13. TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR __

En el triángulo ABC, sea D un punto del lado BC. AD es bisectriz del ángulo A si y solo si AB AC = . Es decir la bisectriz de un ángulo interno de un triángulo divide al lado opuesto en dos BD CD segmentos proporcionales a los lados que determinan dicho ángulo. A

AB AC = BD DC

b

c

B

m D

n

c b = m n

C

Dado que en este caso se tiene m + n = a, al sumar los numeradores y los denominadores en la expresión c b b+ c anterior se obtiene: = = . m n a ac ab Despejando m y n, resultan m = y n= b+ c b+ c

162

Elementos Fundamentales de la Geometría

14. TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR __

En el triángulo ABC, sea D un punto de la prolongación del lado BC. AD es bisectriz exterior del ángulo A AB AC = si y solo si . BD CD A c

AB AC = BD DC

a

B

c b = q p

b p

C

D

q Los segmentos en que la bisectriz divide al lado opuesto están dados por: q =

ac c− b

y p=

ab c− b

A

15. TEOREMA DE LA BASE MEDIA M

En el triángulo ABC, sean M y N los puntos medios de los lados AB y AC __ __ 1 respectivamente, entonces MN || BC y MN = BC . 2

B

N C

16. TEOREMA DE SEMEJANZA A.A. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos son congruentes a sus correspondientes en el otro. A

D ∠ B ≅ ∠E ∧ ∠ C ≅ ∠ F ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

F B C E 17. TEOREMA DE SEMEJANZA L.A.L. Dos triángulos son semejantes si un ángulo de uno de ellos es congruente a un ángulo del otro y si los lados que comprenden al primero son proporcionales a los lados correspondientes del segundo. D

A b

c B

a

e

f C

E

d

∠B≅∠E ∧

F

a c = d f

⇒ Δ ABC ∼Δ DEF

18. TEOREMA DE SEMEJANZA L.L.L. Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales. D

A

B

C

E

F

AB AC BC = = ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF DE DF EF

163

Elementos Fundamentales de la Geometría TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

19. Dos triángulos rectángulos son semejantes si un ángulo agudo de uno de ellos es congruente a un ángulo agudo del otro. 20. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos proporcionales. 21. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales uno de los catetos y la hipotenusa. B

B

F

a

C

A

D

E

C

m∠C = m∠F = 90º ∧ ∠A ≅ ∠D ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

F

c

e

b

D

A

m∠C = m∠F = 90º ∧ ( ⇒ Δ ABC ∼ Δ DEF

d

f

E

a b a c = ∨ = ) d e d f

22. En un triángulo rectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triángulo en otros dos semejantes a éste y semejantes entre si. C Δ ABC ∼ Δ ACD ∼ Δ CBD

A

B

D

23. RELACIONES MÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO: Dado un triángulo rectángulo y la altura correspondiente a la hipotenusa i) la altura es media geométrica de los segmentos en los cuales dicha altura divide a la hipotenusa. AD CD n h = o = ∴ h = nm CD DB h m

C a

b

h n

A

m B

D c

ii) cada cateto es la media geométrica de la hipotenusa y el segmento de ésta adyacente al cateto. AD AC n b = ó = ∴ b = nc AC AB b c DB CB = CB AB

ó

m a = a c

∴ a=

mc

24. TEOREMA DE PITÁGORAS En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Si a y b representan las longitudes de los catetos y c la longitud de la hipotenusa, se tiene: a2 + b2 = c2

164

Elementos Fundamentales de la Geometría 25. GENERALIZACION DEL TEOREMA DE PITÁGORAS i) En todo triángulo, el cuadrado de la longitud del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él. ii) En un triángulo obtusángulo el cuadrado de la longitud del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados más el doble producto de uno de estos lados por la proyección del otro sobre él. C

C a

a

b

b

A

D

B

D

c a 2 = b 2 + c 2 − 2 c ⋅ AD

A

c

B

a 2 = b 2 + c 2 + 2 c ⋅ AD

Como una consecuencia, el tipo de triángulo puede obtenerse al conocer la relación entre las longitudes de sus lados: si a representa la longitud del lado mayor, se tiene TRIÁNGULO RECTÁNGULO a2 = b2 + c2

a

c

b c

a

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO a2 < b2 + c2

a

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO a2 > b2 + c2

b c

b OTRAS PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS

1. Las líneas homólogas (medianas, alturas, etc.) de triángulos semejantes son proporcionales, con la misma razón de semejanza de dichos triángulos. 2. Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón entre sus áreas es el cuadrado de la razón entre dos lados correspondientes cualesquiera. 3. Dado un ΔABC, si mA, es la mediana correspondiente al lado BC, entonces su longitud está dada por: 2 b2 + 2 c2 − a2 . 2 4. Si bA, es la bisectriz correspondiente al vértice A, su longitud está dada por 2 bA = b c s (s− a) donde s es el semiperímetro b+ c 5. Si hA es la altura correspondiente al vértice A o sea al lado BC, entonces su longitud está dada por 2 hA = s(s− a) (s− b) (s− c) a

mA =

165

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 1

___

C F

G

B

___

En la figura FG || BA . Si AG = 3, BF = 5 y CF = 12, Encuentre CG.

A

SOLUCIÓN: GA ⋅ CF CG CF = , luego CG = . GA FB FB Notemos que GA = AG y FB = BF, por tanto al sustituir los respectivos valores, resulta ( 3) (12) CG = = 7 .2 5

Por el teorema 1, tenemos que

EJEMPLO 2 A 8

x

B 4 C 6

En la figura, con las dimensiones indicadas, se tiene

G

v

__

__

BG || CF || DE . Si x + y + z = 27, encuentre los valores correspondientes de x, y, z, u y v.

F

u

D

__

y z E

36

SOLUCIÓN: Por el Teorema fundamental de semejanza, el Teorema de Thales, se tiene x y z = = 8 4 6 Por las propiedades de las proporciones x + y+ z x y z 27 3 = = = = = 8 4 6 8 + 4 + 6 18 2 8⋅3 4⋅3 6⋅3 ∴ x= = 12, y = = 6, z = =9 2 2 2

Se tiene también que Δ ABG ∼ Δ ACF ∼ Δ ADE, por el Teorema de semejanza A:A. __

__

__

Dado que BG || CF || DE , las parejas de ángulos correspondientes que se forman son congruentes A

A

A

Se puede establecer la relación v u 36 = = =2 8 12 18 ∴ v = 8 ⋅ 2 = 16, u = 12 ⋅ 2 = 24

8 12 18 G

B v

C

F u E

D 36

166

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 3 E

B

C

F

A

En la figura, AD || BC , AC = 25, AF = 15, AD = 12. Determine el valor de EC.

D

Tenemos que ∠DAC ≅ ∠ECF ∧ ∠ ADF ≅ ∠ CEF por ser ambos ángulos alternos internos entre paralelas, luego Δ ADF ∼ Δ CEF, por el teorema AA de semejanza. C

E

B

EC CF = Tenemos CF = AC – AF = 25 – 15 = 10 DA AF 12 ⋅ 10 EC 10 = ∴ EC = =8 12 15 15

F

A

D

EJEMPLO 4 D

E

En la figura AB = 12, CD = 8 y DE = 15. Encuentre el valor de AE.

C A

SOLUCIÓN:

B

Observamos que en el punto C se forma una pareja de ángulos opuestos por el vértice, y que ∠B ≅ ∠D, ya que ambos son ángulos rectos; luego por el Teorema de Semejanza AA, se tiene ΔABC ∼ ΔEDC. BC AB DC⋅ AB 8 ⋅ 12 Por tanto = ∴ BC = = = 6.4 DC ED ED 15 Aplicando el Teorema de Pitágoras en cada triángulo podemos encontrar AC y CE, cuya suma forma AE, pero también podemos prolongar el segmento AB y trasladar el segmento BD para formar un solo triángulo rectángulo AEF y calcular directamente AE. Se tiene AF = AB + DE = 12 + 15 = 27 y EF = BD = BC + CD = 6.4 + 8 = 14.4, luego E 14.4 A

27

Aplicando el Teorema de Pitágoras resulta AE =

27 2 + 14.4 2 = 30.6

F

EJEMPLO 5 Un asta de metal se rompió en cierto punto quedando con la parte de arriba doblada a manera de bisagra y la punta en el piso en un punto localizado a 3 m de la base. Se reparó, pero se rompió de nuevo, esta vez en un punto 75 cm. más abajo que la vez anterior y la punta tocando el piso a 4.5 m. de la base ¿qué longitud tiene el asta?

167

Elementos Fundamentales de la Geometría

SOLUCIÓN: Sea h la altura del asta y sea x la distancia desde el punto donde se rompió por primera vez, al piso. El asta forma un triángulo rectángulo con el piso siendo su hipotenusa h – x. Cuando se rompe otra vez, 0.75 m más abajo, el cateto vertical se reduce a x – 0.75 y la hipotenusa aumenta en 0.75, quedando h – x + 0.75. Aplicando el teorema de Pitágoras en cada triángulo formado, obtenemos un sistema de ecuaciones que nos permite hallar el valor de h. ⇒ (h – x)2 = x2 + 9 (1) (h – x)2 = x2 + 32 2 (2) (h – x + 0.75) = (x – 0.75)2 + 4.52 ⇒ (h – x)2 + 1.5 (h – x) + 0.5625 = x2 – 1.5x + 0.5625 + 20.25

h h–x

h – x + 0.75

x x – 0.75 3m

Sustituyendo (1) en (2) y simplificando se obtiene: x2 + 9 + 1.5h – 1.5x + 0.5625 = x2 – 1.5x + 0.5625 + 20.25 ⇒ 1.5 h = 11.25 ∴ h = 7.5 m.

4.5 m

EJEMPLO 6 C

10

15

A partir de la información dada en la figura, encuentre el valor de x. x

A

18

B

SOLUCIÓN: Se aprecia que la línea trazada dentro del triángulo corresponde a la bisectriz del ángulo A, luego los segmentos que determina en el lado BC son proporcionales a los lados AB y AC. Por tanto por el Teorema de la Bisectriz se tiene: x 10 18 ⋅ 10 = ∴ x= = 12 15 18 15

EJEMPLO 7 A En la figura, AC = 7, AB = 25. Halle el valor de BC. C

B

SOLUCIÓN: Dado que es un triángulo rectángulo, por el Teorema de Pitágoras se tiene AB2 = AC2 + BC2 , luego BC =

AB 2 − AC 2 = 25 2 − 7 2 = 625 − 49 = 576 = 24

168

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 8 C

La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm. y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre sí como 7 es a 14. Determine la longitud del cateto menor.

a

b

h

SOLUCIÓN: n

m

B c Sea b la longitud del cateto buscado, h la altura relativa a la hipotenusa y c la longitud de la hipotenusa como se muestra en la figura. De las relaciones métricas en un triángulo equilátero se tiene (1) b2 = n⋅c , (2) c = n + m y (3) h2 = n⋅m. n 7 = Los datos indican que h = 10 y ∴ m = 2n. Sustituyendo en (3) se obtiene: m 14 A

102 = 100 = n (2n) ⇒ n2 = 50 ∴ n = 5 2 Luego c = m + n = 5 2 + 10

2 = 15

Sustituyendo en (1) resulta b2 = 5 2 ⋅ 15

y m = 2n = 10

D

2

2.

2 = 150 ∴ b = 150 = 5 6

. EJEMPLO 9 Dado un Δ ABC, demuestre que la longitud de sus medianas están dadas por 2 b2 + 2 c2 − a2 , mB = 2

mA =

2 a2 + 2 c2 − b2 . mC = 2

2 a2 + 2b2 − c2 . 2

SOLUCIÓN: Vamos a probar la primera fórmula, puesto que las otras dos se obtienen de manera similar o bien intercambiando las literales utilizadas. Consideremos los diferentes casos que pueden presentarse: A

c

B

h m

D

A

A

M

b

C

B

M

C

B

M

C

D

y a/2 x Caso 1: El pie de la altura correspondiente al lado considerado queda entre un vértice y el pie de la mediana como se muestra en la figura. Sean D y M los pies de la altura y la mediana respectivamente. Sea x = BD, y = DM. __

Por ser M punto medio de BC se tiene: a a a a x + y = , MC = y DC = y + =a–x ∴x= –y. 2 2 2 2 Al aplicar el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos que se forman se obtiene: a i) h2 + x2 = c2 o sea h2 + ( – y)2 = c2 2 ii) h2 + y2 = m2

169

Elementos Fundamentales de la Geometría

a 2 ) = b2 2 Al desarrollar (i) y (iii) y sumar se obtiene:

iii) h2 + (y +

a2 − ay+ y 2 = c 2 4 a2 h2 + + ay+ y 2 = b 2 4 h2 +

2 h2 +

a2 2

+ 2 y2 = b2 + c2

2 (h 2 + y 2 ) = b 2 + c 2 −

a2 2 b2 + 2 c2 − a2 2 b2 + 2 c2 − a2 = ∴ h2 + y 2 = 2 2 4

De (ii) h2 + y2 = m2A , sustituyendo en la expresión anterior, se obtiene

mA =

2 b2 + 2 c2 − a2 2

Caso 2. Si la altura coincide con la mediana, al aplicar el teorema de Pitágoras i) m2 = c2 –

a2 4

ii) m2 = b2 –

a2 4

Sumando (i) y (ii) se obtiene el resultado buscado. Caso 3. Si un vértice queda entre el pie de la mediana y el de la altura (ver figura), aplicando también el Teorema de Pitágoras mediante un procedimiento es muy similar al caso (1) se llega al mismo resultado

EJEMPLO 10

C Si BD = 9, BC = 15, CD = 12, determine el perímetro del Δ ABC.

A D B SOLUCIÓN: El perímetro es P = AC + BC + AB. Como ya se conoce BC = 15, falta hallar AC y AB. BC ⋅ CD 15 ⋅ 12 BC AC = , por tanto AC = = 20 = BD CD BD 9 Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar AB. Se tiene

Tenemos Δ ABC ∼ Δ CBD, luego

AB =

AC 2 + BC 2 =

20 2 + 15 2 = 400 + 225 =

625 = 25

El perímetro buscado es P = AC + BC + AB = 20 + 15 + 25 = 60

170

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 11 C b

h m

A

En el triángulo de la figura, b = 8 y c – a = 2. Determine los valores de a, c, m, n y h.

a n

D

B

c

SOLUCIÓN: c2 = a2 + b2 , al sustituir el valor de b, se obtiene (1) c2 – a2 = 82 = 64 c–a=2 (2).

Por el teorema de Pitágoras tenemos Además por dato tenemos

Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1) y (2), obtenemos c = 17 y a = 15 Por las relaciones métricas en un triángulo rectángulo tenemos a ⋅ b 15 ⋅ 8 = 7.06 = h= c 17 b2 = m ⋅ c ∴ m =

b2 82 = = 3.765 c 17

a 2 15 2 = = 13.235 c 17 Para comprobar verificamos que m + n = c, lo cual se cumple.

a2 = n ⋅ c ∴ n =

EJEMPLO 12 Para calcular la altura de un edificio, una persona coloca verticalmente una vara de 3 m a una distancia de 25 metros del edificio. Retrocede hasta mirar alineados el extremo de la vara y la parte superior del edificio. Si la persona ha retrocedido 2.55 m y sus ojos están a 1.65 m del piso, determine la altura del edificio. E D A

C

B 3

1.65

h

E D

h – 1.65 1.35

A

2.55

B 27.55

25

C

Al trazar una línea paralela al piso, a la altura de los ojos de la persona, y a partir de los datos dados obtenemos los triángulos de la figura. Tenemos Δ ABD ∼ Δ ACE, luego h− 1.65 1.35 = ∴ h = 16.235 m 27.55 2.55

171

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 13 Demostrar que las bisectrices de un triángulo son concurrentes. __

A

__

Q

R

__

__

AP y BQ se cortan en un punto ; dado que A y B son ángulos

internos del ΔABC, m∠A + m∠B < 180º, luego sus mitades

I B

__

Sean AP, BQ y CR las bisectrices del triángulo ABC.

__

P

__

suman menos de 90º, por tanto AP y BQ no son paralelas y deben cortarse en algún punto

C

↔ ↔ Tenemos d(I, AC) = d(I, AB) (1) por tanto equidista de los lados.

↔ ↔ y d(I, AB) = d(I, BC) (2), ya que I está en las bisectrices de A y B, y

↔ ↔ De (1) y (2), por transitividad, d(I, AC) = d(I, BC) por tanto I está también en la bisectriz del ángulo C.

EJEMPLO 14 Demostrar que las mediatrices de un triángulo son concurrentes. A

Sean m1 , m 2 y m 3 las mediatrices del triángulo ABC.

m1

O m2

B

C

m3

__ __ Como AC y BC son lados de un triángulo, no son paralelos y por tanto las líneas perpendiculares a ellas tampoco son paralelas, luego se cortan en algún punto. Sea O el punto de intersección de m1 y m 2 . Luego OB = OC y OA = OC (propiedad de las mediatrices). Por transitividad se tiene también que OA = OB, por tanto O está en la __ mediatriz de AB , es decir O pertenece a las tres mediatrices

EJEMPLO 15 Demostrar que las tres alturas de un triángulo son concurrentes. A través de cada vértice trazamos rectas paralelas al respectivo lado opuesto, formando el triángulo DEF. Se tiene AE = BC y AF =BC por ser segmentos de paralelas comprendidos entre N paralelas, luego A es punto medio de EF. P H __ __ De manera similar B y C son puntos medios de FD y DE B M C respectivamente. ___ ___ ___ Sean AM , BN y CP las alturas del ΔABC. ___ __ La altura AM por ser perpendicular a BC también lo es a su D __ paralela EF ; de manera similar el resto de alturas son perpendiculares a los respectivos lados del triángulo DEF. F

A

E

Luego las alturas del ΔABC son mediatrices del ΔDEF y por tanto son concurrentes.

172

Elementos Fundamentales de la Geometría 3. 2.5. DESIGUALDADES GEOMETRICAS Es útil recordar las propiedades de las desigualdades para los números reales, ya que las desigualdades entre segmentos y ángulos se establecen a partir de sus medidas, las cuales son números reales. Entre las principales propiedades tenemos: 1. Si x, y ∈ R, entonces una y solo una de las siguientes relaciones se cumple: i) x = y ii) x > y iii) x < y (Tricotomía) 2. Si x > y ∧ y > z ⇒ x > z (Transitividad) 3. Si x ≤ y ∧ a < b ⇒ a + x < y + b 4. Si x < y ∧ a > 0 ⇒ ax < ay 5. Si x < y ∧ a < 0 ⇒ ax > ay 6. Si a = b + c, c > 0 ⇒ a > b __

__

DEFINICIÓN 17: Decimos que AB > CD (el segmento AB es mayor que el segmento CD) si AB > CD. De manera similar ∠ ABC > ∠ DEF si m∠ ABC > m∠DEF. __

__

__

__

Si AB > CD , ∃ E tal que A – E – B ∧ AE ≅ CD . De manera similar si ∠ ABC > ∠ DEF, ∃ G ∈ i ∠ABC tal que ∠ GBC ≅ ∠DEF A C

A

D

__

G

__ E

B

B

AB > CD

D

C

E

∠ABC > ∠DEF

F

DEFINICIÓN 18: Si C está entre A y D, entonces el ∠ BCD es un ángulo externo del Δ ABC B

A

C

E

D

En todo triángulo se forman seis ángulos externos, formando tres pares de ángulos opuestos por el vértice. DEFINICIÓN 19: Si B – C – E y A – C – D, los ángulos ∠ A y ∠ B se llaman ángulos internos no contiguos de los ángulos externos ∠ BCD y ∠ACE. TEOREMA 26: Un ángulo externo de un triángulo es mayor que cada uno de los ángulos internos no contiguos. TEOREMA 27: La medida de un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de las medidas de los ángulos internos no contiguos. En la figura anterior m∠ BCD = m∠ A + m∠ B COROLARIO: Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces los otros dos son agudos y complementarios. TEOREMA 28: Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos no son congruentes y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor. El recíproco también es válido, es decir el lado mayor se opone al ángulo mayor. TEOREMA 29: El segmento más corto que une un punto a una recta es el segmento perpendicular a la recta.

P PB < PC C

173

B

Elementos Fundamentales de la Geometría

DEFINICIÓN 20: La distancia entre una recta y un punto fuera de ella, es la longitud del segmento perpendicular desde el punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto de la misma recta se define como cero. TEOREMA 30: La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado. A c

b

a+b>c a+c>b b+c>a

B

C a TEOREMA 31: Si dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de un segundo triángulo, y el ángulo comprendido en el primer triángulo, es mayor que el ángulo comprendido en el segundo, entonces el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo. El recíproco también es válido. B

E

A

C

D

AC = DF ∧ AB = DE ∠A > ∠D ⇔ BC >EF F

EJEMPLOS 1. En el ΔABC, AB = 9, BC = 12 y AC = 15. Nombre el ángulo mayor y el ángulo menor. El Teorema # 25 establece que el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor y en consecuencia el ángulo __

menor es el opuesto al lado menor. De acuerdo a los datos el lado mayor es AC , por tanto el ángulo __

mayor es el ángulo B. El lado menor es AB , luego el ángulo menor es el ángulo C. 2. En el Δ DEF, m∠D = 37° y m∠E = 71°. Nombre el lado mayor y el lado menor. El recíproco del teorema # 25 también es válido, es decir el lado mayor se opone al ángulo mayor y el lado menor se opone al ángulo menor. Como datos se da la medida sólo de dos ángulos, luego hemos de encontrar primero la medida del ángulo que falta antes de decidir el orden de mayor a menor. Dado que las medidas de los ángulos de un triángulo suman 180º, tenemos m∠F = 180º – m∠D – m∠E = 180º – 37º – 71° = 72º, luego el ángulo mayor es F y el menor es D. __

__

Resulta entonces que ED es el lado mayor y EF el lado menor.

EJERCICIOS 1. K En el triángulo KMN, nombre los lados de mayor a menor

84° M

42°

54°

N

174

Elementos Fundamentales de la Geometría

2

A 75°

3.

P

Q

En la figura de la derecha, nombre el segmento más largo.

60°

45° 60° 30° 75° S R

En la figura de la izquierda ¿cuál es el segmento más corto?

50°

B

52°

D

70° C 4. En las siguientes figuras compare los valores de a, b y c.

(a)

a

b 30º

(b)

(c)

50º a

c

b

50º

70º

cº

12

aº

15

5. A

Si AD es el lado más corto y BC el lado más largo en el cuadrilátero ABCD, ¿ quien es mayor, el ∠B o el ∠D? B SOLUCIONES: ___ ___ ___

(d)

bº

aº

c

8

___

2. PQ 1. MN, MK, NK c) c > b > a d) c > b > a

___

3. CD 4. a) c > a > b b) a > c > b 5. D

175

D

C

bº

cº

Elementos Fundamentales de la Geometría 3.3. CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es una figura plana cerrada, de cuatro lados que se cortan únicamente en sus extremos. DEFINICIÓN 21: Sean A, B, C y D cuatro puntos coplanares, tales que no hay tres colineales y los ___

___

___

___

segmentos AB , BC , CD y DA únicamente se intersecan en los extremos entonces el cuadrilátero ABCD, denotado por ABCD se define por ___

___

___

A B

___

ABCD = AB ∪ BC ∪ CD ∪ DA D ___

___

◊ Los segmentos AC y BD se llaman diagonales del ABCD. ◊ Decimos que dos lados son adyacentes si tienen un extremo en común, ___

C

___

ejemplo AB y BC . ◊ Dos lados no adyacentes se llaman lados opuestos. En el

___

___

ABCD, AB y DC son lados opuestos.

◊ Ángulos contiguos son los que contienen un lado y ángulos opuestos son los no contiguos. ◊ Decimos que el ABCD es convexo si cada uno de sus lados está en uno de los semiplanos determinado por el lado opuesto. Una de sus propiedades es que sus diagonales siempre se cortan.

Cuadrilátero Convexo

Cuadrilátero No Convexo

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS Una forma de clasificar los cuadriláteros es a partir del paralelismo de sus lados: Paralelogramos: son los cuadriláteros que tienen los dos pares de lados opuestos paralelos. Trapecios: son los cuadriláteros con una pareja de lados paralelos Trapezoides: son los cuadriláteros que no tienen lados paralelos. PARALELOGRAMOS A

Un paralelogramo ABCD, es un cuadrilátero que se caracteriza por __

__

__

__

i) Sus lados opuestos son paralelos: AB || DC y AD || BC __

__

__

E __

ii) Sus lados opuestos son congruentes: AB ≅ DC y AD ≅ BC iii) Los ángulos opuestos son congruentes: ∠A ≅ ∠C y ∠B ≅ ∠D. iv) Los ángulos consecutivos son suplementarios: m∠A + m∠B = m∠B + m ∠C = m∠C + m∠D = m∠D + m∠A = 180° v) Las diagonales se bisecan AE = EC y BE = ED Entre los paralelogramos tenemos:

176

B

D

C

Elementos Fundamentales de la Geometría RECTÁNGULO: Es un paralelogramo cuyos ángulos internos son congruentes y por tanto son ángulos rectos. B

A

m∠A = m∠B = m∠C = m∠D = 90° AB = DC y AD = BC D C CUADRADO: Es un rectángulo con sus lados congruentes. ROMBO: Es un paralelogramo con sus lados congruentes. En un rombo las diagonales son perpendiculares entre si. Nota: Los rectángulos, cuadrados y los rombos son paralelogramos y por tanto tienen las características señaladas anteriormente para los paralelogramos en general, además de sus propiedades específicas. Todo cuadrado es un rombo, pero el recíproco no es cierto. TRAPECIO: Es un cuadrilátero con una pareja de lados paralelos. La pareja de lados paralelos reciben el nombre de bases y los lados no paralelos, soportes. A su vez se subdividen en: ◊ Trapecios rectángulos, cuando tienen dos ángulos rectos. ◊ Trapecios isósceles, cuando los lados no paralelos y los ángulos en las bases son congruentes ◊ Trapecios escalenos, solamente tienen un par de lados opuestos paralelos.

Rectángulo

Cuadrado

Rombo

Trapecio

3.4. PERÍMETROS Y ÁREAS DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS Región Triangular: Es la unión de un triángulo y su interior. En el lenguaje corriente, las regiones triangulares las llamamos, simplemente triángulos, aunque en sentido estricto son dos conceptos diferentes. Sin embargo por ser una costumbre tan arraigada, la diferencia la establecemos según el contexto en el cual estemos usando dichos términos. Región Poligonal: Es la unión de varias regiones triangulares, en un plano, tales que sus intersecciones dos a dos, si no son vacías, son un punto o un segmento. Las regiones poligonales y los polígonos se diferencian de manera similar a la región triangular y el triángulo, pero también en el lenguaje corriente los confundimos y la diferencia se establece según el contexto en el cual estemos. POSTULADOS DE ÁREAS 1. A toda región poligonal le podemos asociar un número real no negativo, llamado su área. Si R representa la región, una forma de representar su área es α(R) o colocar entre corchetes los puntos que representan los vértices de la región. Así por ejemplo [ABC] representa el área del triángulo con vértices A, B y C. 2. Dos regiones poligonales congruentes, tienen la misma área.

177

Elementos Fundamentales de la Geometría

3. Si una región es subdividida en subregiones de manera que dos de ellas no se traslapen, es decir si se interceptan, su intersección es un punto o un segmento, entonces el área de la región es la suma de las áreas de las subregiones. 4. El área de una región cuadrada es el cuadrado de la longitud de su lado. A partir de los Postulados de área y las propiedades de los triángulos y cuadriláteros, se obtienen los siguientes resultados, donde A es el área, P el perímetro y d la diagonal: A=b⋅h

PARALELOGRAMO a

h

P = 2 (a + b)

b RECTÁNGULO

A=a⋅b P = 2 ( a+ b)

d

a

d=

a2 + b2

b CUADRADO a

A = a2 P = 4a

d

d=

2a

a ROMBO

a

a

D

D⋅d 2 P=4a

A= d a

a

TRIÁNGULO A=

altura

altura base

1 base x altura 2

base

De manera particular, en un triángulo rectángulo, el área es la mitad del producto de sus catetos. a

A=

1 ab 2

b

178

Elementos Fundamentales de la Geometría ◊ Si dos triángulos tienen igual base (o altura), sus áreas son proporcionales a sus alturas (o sus bases)

C

C

C’ h h’ A

[ABC]

[ABC] = h [ABC'] h'

[A' B' C]

B

A

C

A’

C’

B’

=

AB A' B'

B

C’’

C’’’

↔

m1

h ↔

A

B ↔

A’

B’

A’’

B’’

A’’’

B’’’

m2

↔

Si m1 || m 2 , AB = A’B’ = A’’B’’ = A’’’B’’’ = …entonces [ABC] = [A’B’C’] = [A’’B’’C’’] = [A’’’B’’’C’’’]

En un triángulo equilátero de lado x, al trazar una altura, se forman dos triángulos rectángulos cuyos ángulos agudos miden 30° y 60° respectivamente, razón por la cual se conocen como triángulos 30 – 60. Al aplicar el Teorema de Pitágoras obtenemos que su altura está dada por h =

3 x. 2

Por tanto en todo triángulo 30 – 60, el cateto menor mide la mitad de la

x

30°

3 x 2

hipotenusa y el cateto mayor

3 la hipotenusa. 2

Luego el área de todo triángulo equilátero de lado x está dada por:

60°

x 2

3 2 x 4

A=

FÓRMULA DE HERÓN Puede demostrarse que el área de un triángulo, en función de sus lados está dada por a

b

A=

s ( s− a) (s− b) (s− c)

a + b+ c 2 Esta fórmula se atribuye a Herón de Alejandría, matemático del siglo II a.c.

donde s es el semiperímetro, es decir s = c

179

Elementos Fundamentales de la Geometría FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA C b

a

h

A

Recordemos que en la trigonometría, en un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo está dado por la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. Al trazar la altura CD, vemos que se forma el triángulo rectángulo ADC, luego h = b sen A. Por tanto 1 1 1 [ABC] = c⋅ h = c b sen A = bc sen A 2 2 2 Al considerar los otros ángulos se obtiene en forma similar: 1 1 [ABC] = A = ab sen C = ac sen B 2 2

D c

B

TRAPECIO

B+ b ⋅ h = B’ h 2 B : base mayor b: base menor B’: base media

b h

A= B’

B D

__

C E

A

__

En un trapecio ABCD, con AB || CD , si E es el punto donde se cortan las diagonales, entonces [AED] = [BEC]. Esto surge al considerar que [ABD] = [ABC] ya que tienen la misma base y la misma altura y [ABD] = [ABE] + [AED] al igual que [ABC] = [ABE] + [BEC]

B

En general para un cuadrilátero convexo se tienen las siguientes relaciones: C

D

y E

w

x z A

B

En los triángulos AED y ECD, al tomar como bases los segmentos AE y EC, podemos apreciar que tienen la misma altura. De manera similar, los triángulos AEB y ECB, tomando como bases los segmentos AE y EC comparten la misma altura. Luego se cumple: [AED] = AE y [AEB] = AE , por tanto [AED] = [AEB] (1) [ECD] EC [ECB] EC [ECD] [ECB]

Si hacemos [AED] = x, [ECD] = y, [AEB] = z y [ECB] = w, se tiene [ABCD] = x + y + z + w. (2) x z La relación (1) podemos escribirla como = o sea x w = z y. (3) y w Al multiplicar cada miembro de (2) por z, se obtiene: z⋅[ABCD] = x z + z y + z2 + w z Al sustituir la expresión (3) se tiene z⋅[ABCD] = x z + x w + z2 + w z = x (z + w) + z (z + w) z⋅[ABCD] = x (z + w) + z (z + w) = (x + z) (z + w) (4) Pero x + z = [ABD] y z + w) = [ABC] Luego al despejar z de la expresión (4) se tiene

z = [AEB] =

180

[ABD] ⋅ [ABC] [ABCD]

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 1 ___

___

13

A

E

F

B

22

EF = CD = 12. Por ser un trapecio isósceles, AB− EF 22 − 12 = =5 AE = FB = 2 2 Aplicando el Teorema de Pitágoras obtenemos 13 2 − 5 2 =

D

13

SOLUCIÓN: Al trazar perpendiculares desde C y D al lado AB, se tiene

h=

12

C

La figura representa un trapecio isósceles con AB || CD Si AC = BD = 13, CD = 12 y AB = 22, determine su área.

C 13

169 − 25 = 144 = 12

A

( 22 + 12) ⋅ 12 = 204 u2 Por tanto el área buscada es A = 2

h 5

E

EJEMPLO 2 La altura de un triángulo divide a la base en dos partes que miden 36 y 14. Una recta perpendicular a la base, divide al triángulo en dos partes de áreas iguales. Determine las medidas de los segmentos en que ésta divide a la base. SOLUCIÓN: __

Sea ADE el triángulo dado y EB la altura indicada, luego AB = 14 y BD = 36 y por tanto AD = 50. __

Sea CF la perpendicular que divide al triángulo en dos regiones de igual área. A su vez divide al triángulo BDE en dos regiones. Sean A2 y A3 las respectivas áreas. Sean a y b las longitudes buscadas. Los triángulos ABE y BDE tienen la misma altura, luego sus áreas son proporcionales a sus bases

Tenemos (1) A3 = A1 + A2 y (2)

E F A1 A2 B

14

A3 C

a 50

A2 + A3

=

14 7 = 36 18

Sustituyendo (1) en (2) A1 7 14 = ⇒ 18 A 1 = 7 A 1 + 14 A 2 ∴ A 1 = A (3) 11 2 A + ( A + A ) 18 2

A

A1

36 b

D

1

2

Sustituyendo (3) en (1): A 3 = + A2 =

14 25 A2 + A2 = A 2 , por tanto [BDE] = A3 11 11

36 A3 25

Por otro lado ΔBDE ∼ ΔCDF, luego El otro segmento mide a = 50 – b = 50 – 30 = 20.

EJEMPLO 3

181

36 A3 25 A3

=

36 2 b2

, resultando b = 30.

Elementos Fundamentales de la Geometría

Demuestre que si wA, es la bisectriz correspondiente al vértice A, su longitud está dada por 2 wA = b c s (s− a) donde s es el semiperímetro b+ c De la Trigonometría tenemos que el área de un triángulo está

A

dada por A =

c

De las identidades del ángulo medio se tiene

b

sen A = 2 sen

m D

B

cos A =

n

1 bc sen A. 2

C

A A cos . 2 2

Por otro lado al combinar la Ley de los cosenos y la identidad correspondiente al coseno del ángulo medio se obtienen las fórmulas de Briggs:

A b2 + c2 − a2 A = 2 cos 2 − 1 . Resultando cos = 2 2 bc 2

s (s− a) A = y sen bc 2

(s− b) (s− c) donde s bc

es el semiperímetro del triángulo.

Al considerar los triángulos en que la bisectriz AD divide al triángulo se tiene: [ABD] + [ADC] = [ABC] Aplicando la fórmula trigonométrica para el área de un triángulo 1 A 1 A 1 c w sen + b w sen = b c sen A 2 2 2 2 2 Simplificando y usando la identidad trigonométrica: A A A w (b+ c) sen = b c 2 sen cos 2 2 2 A w (b+ c) = 2 b c cos 2 Usando la fórmula de Briggs para el coseno del ángulo medio: w (b+ c) = 2 b c

EJEMPLO 4

∴ w=

s (s− a) bc

2 b c s (s− a) b+ c __

__

En un cuadrado ABCD de lado 1, E es punto medio de la diagonal BD y F es punto medio de EB . ¿Cuál es el área del triángulo BCF? C La diagonal divide al cuadrado en dos triángulos de igual área, luego [BCD] = 1

D

2

__

Como E es punto medio de BD y F es punto medio de EB , se tiene BF =

E F A

__

como los triángulos BCD y BCF tienen la misma altura, sus áreas son B proporcionales a las bases BD y BF, luego

[BCF] =

182

1 1 1 ⋅ = 4 2 8

1 BD y 4

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 5 Los lados paralelos de un trapecio tienen medidas iguales a “a” y a “b”. Hallar la longitud del segmento paralelo a ellos y que divide al área del trapecio en dos áreas iguales. a

Sean h1 y h 2 las alturas de los trapecios formados. Se tiene

h1

c

2 h1 1 a+ b ⎤ ⎡1 = (1) (h1 + h 2 )(a+ b) = 2 ⎢ h1(a + c)⎥ ∴ a + c h1 + h 2 2 ⎦ ⎣2

h2 b

Al trazar una paralela a uno de los lados no paralelos se forma la figura de la izquierda donde se aprecian dos triángulos semejantes a

De aquí resulta

h1 h2

c–a

a

b–a

h1 c− a = . Sustituyendo en (1), se obtiene: h1 + h 2 b− a

2 h1 2(c − a) a+ b = = . Al simplificar y despejar c, resulta a + c h1 + h 2 (b− a

a

c=

a2 + b2 2

EJEMPLO 6 D Hallar el área sombreada en cada figura

G

C

H

i) Si ABCD es un cuadrilátero convexo de área S. E, F, G y H son los puntos medios de los lados.

A F E B

Al trazar la diagonal BD se forman dos triángulos. Sean [ABD] = A 1 y [CBD] = A 2 , luego A 1 + A 2 = S Como H y E son puntos medios en los lados del ΔABD, se tiene [AEH] = [CFG] = D

1 1 1 1 1 A 2 , luego [AEH] + [CFG] = A 1 + A 2 = ( A 1 + A 2 ) = S 4 4 4 4 4

F

C

E

A

1 A 1 , de manera similar 4

B

ii) El área del rectángulo mide 1. E y F son puntos medios de BC y CD Se tiene [AEF] = [ABCD] – [ABE] – [ADF] – [FCE] 1 Por ser E y F puntos medios [ABE] = [ADF] = 4 1 1 3 1 1 y [FCE] = . Luego [AEF] = 1 – – – = 8 8 8 4 4

183

Elementos Fundamentales de la Geometría

C

iii) ABC es un triángulo de área S. Los lados AC, CB y AB se dividen en 2, 3 y 4 partes iguales respectivamente

P Q

Tenemos [MNPQ] = [ABC] – [AMQ] – [QPC] – [NBP] 3 1 1 1 2 1 1 S [MNPQ] = (1 – ⋅ – ⋅ – ⋅ )⋅S = 8 2 3 2 3 4 2 A

M

N

D

B C iv) El área del rectángulo mide 1. E es punto medio de AB. Hallar [FEC] 1 1 Se tiene [EBC] = [AEC] = , [DCE] = 4 2 3 [AECD] = [ABCD] – [EBC] = 4 [ AEC] ⋅ [DEC] (1 / 4) ⋅ (1 / 2) 1 [FEC] = = = [AECD] 3/4 6

F

A

E

B

C

H

M

v) ABC es un triángulo de área S. Los lados AC, AB y AB se dividen en 3 partes iguales

G A

B

Al considerar el cuadrilátero ABGH, se tiene [ABGH] = [ABC] – [HGC], pero [HGC] = [ABGH] = S –

1 2 2 ⋅ S = S, luego 3 3 9

2 7 S= S 9 9

⎛1 ⎞ ⎛2 ⎞ ⎜ S⎟ ⋅ ⎜ S⎟ [ABG] ⋅ [ABH] = ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ = 2 S Se tiene [ABE] = 7 [ABGH] 7 S 9 Con el mismo procedimiento al considerar los cuadriláteros BCHJ y ACGJ se obtiene 2 2 1 [BCF] = [ACD] = S, por tanto [DEF] = [ABC] – [ABE] – [BCF] – [ACD] = (1 – 3⋅ ) S = S 7 7 7

184

Elementos Fundamentales de la Geometría

vi) ABC es un triángulo de área S. Los lados AC, BC y AB se dividen en 2, 3 y 4 partes iguales respectivamente

C

1 2 1 AB, HB = BC, GH = GB = BC 4 3 3 Se tiene [DMH] = [DEH] – [DEM] [DHE] ⋅ [DHG] [DHM] = [DEGH] 1 2 1 [DHE] = ⋅ [ABC] = [ABC] 4 3 6 1 3 1 [DHG] = ⋅ [ABC] = [ABC] 3 4 4 1 ⎛ 3 2 2 1⎞ [DEGH] = ⎜ ⋅ − ⋅ ⎟ [ABC] = [ABC] 3 ⎝ 4 3 4 3⎠ [ DHE] ⋅ [DHG] (1 / 6) ⋅ (1 / 4) 1 ∴ [DHM] = = [ABC] = S [DEGH] 1/ 3 8

AD = DE =

H

G

M

A

D

E

B

EJERCICIOS SOBRE SEMEJANZA Y ÁREAS.

1. Una recta paralela a un lado de un triángulo, determina sobre un segundo lado dos segmentos de 18 m. y 7 m. ¿Cuáles son los segmentos determinados en el otro lado, cuya longitud es 30 m.? 2. Dos lados de un triángulo miden 158 y 176 m. A partir del vértice común se marca un punto a 120 m. del vértice en el primer lado ¿A qué distancia del vértice se debe marcar un segundo punto en el otro lado, para que la recta que une los puntos obtenidos sea paralelo al tercer lado? 3.

C __

K

__

En la figura KH || BA . Si AH = 3 , BK = 5 y CK = 12 Hallar CH

H

D A

B

E

4. __

__

__

__

En la figura, CD ⊥ AC , EB ⊥ AC , AB = 12, EB = 8 y CD = 120 Calcular BC A

5.

A

C

B __

__

En la figura, AB || CD , DE = 15, AB = 8, DC = 20. Determine EB.

E D

B

C

185

Elementos Fundamentales de la Geometría

6.

En el triángulo ABC se traza MN paralela a BC . Si AB = 8 y AC = 4 y BC = 6, determine el valor x = AM para que el perímetro del triángulo AMN sea igual al perímetro del trapecio MNCB

A M

7.

N C

B

C

i) Hallar BD si AD = 2 y CD = 5 ii) Hallar AC si BD = 9, BC = 15 y CD = 12

A

D

8.

B

iii) Hallar BC si AB = 20 y AD = 15

F y E 30 D

15 x

__

G 45

40 + x

__

__

__

En la figura, FG || EH y EG || DH . Encuentre el valor de x y y.

H

9. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 m. Uno de los segmentos determinados por la altura en la hipotenusa es 20 m. Calcular las longitudes de las alturas y los catetos. 10. Los tres lados de un triángulo miden 25, 50 y 51 m. Calcular las proyecciones de los dos primeros sobre el tercero. Calcular también la altura relativa al tercer lado. 11. Si Δ ABC es equilátero con AB = 6 cm. ¿Cuál es el área del Δ ABC? 12. Si Δ ABC ∼ Δ PQR y la razón entre sus lados correspondientes es 4 / 3 ¿Cuál es la razón entre sus áreas? 13. Si Δ ABC ∼ Δ PQR, el área del Δ ABC es 64 y el área del Δ PQR es 16 ¿Cuál es la razón entre los lados correspondientes? 14. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 16 y 30? A A 15. 16. Halle el área del 13 Halle 5 Δ ABC a) x 25 25 24 b) área del Δ ABC x C B B 17. El Δ ABC es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en B si área del Δ ABC.

D

C

m ∠ C = 30° y BC = 6, calcule el

18. En el Δ PQR, m ∠ QPR = 120° , PQ = PR = 10. Encuentre el área del Δ PQR. 19. En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa mide 12 cm. La diferencia entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es 7 cm. Determine el perímetro de dicho triángulo.

186

Elementos Fundamentales de la Geometría 20. El perímetro de un triángulo rectángulo es 36 m. y su área es 54 m2. Calcular la longitud de los catetos. 21. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 25 m.; la suma de los catetos con la altura es 47 m. Calcular la longitud de los catetos. 22. Determine las medidas de los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que su área mide 54 m2 y la altura relativa a la hipotenusa mide 7.2 m. 23. El perímetro de un triángulo mide 50 cm. y sus lados son proporcionales a los números 6, 9 y 10. ¿Cuánto mide cada lado? 24. Los lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5 y tiene un área de 24 m2 ¿Cuánto mide cada lado? 25. En un triángulo rectángulo las longitudes de los catetos y la hipotenusa forman tres números consecutivos. Determine dichas longitudes. 26. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa en un triángulo rectángulo miden 10cm. y 20 cm. Determine la longitud de los catetos y la altura relativa a la hipotenusa. 27.

C Si Δ ABC ∼ Δ PQR, determine el perímetro del Δ ABC

R b

75 36

c A B P 48 Q 28. Determine el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo isósceles cuya base mide 12 cm. y sus lados congruentes 10 cm. 29. En un rombo, la suma de las diagonales es 70 m. y el radio del círculo inscrito es 12 m. Calcular las longitudes de las diagonales y la longitud del lado

C 30. En el Δ ABC, b = 15 , a – c = 9. Determine el perímetro y el área de dicho triángulo.

b

a

A c B 31. El área de un rectángulo es 5,886.2 m y su perímetro es 365 m. Calcular sus dimensiones. 2

32. Calcular las dimensiones de un rectángulo, si su diagonal mide 17 m. Y su superficie mide 120 m2. 33. Calcular los lados de un rectángulo, sabiendo que si se agregan 3 m. a su base y se quita otro tanto a la altura, el área no se altera; pero si se agregan 5 m. a su base y se quitan 3 m a su altura, el área aumenta en 16 m2.

187

Elementos Fundamentales de la Geometría

34. Los 2 / 5 del área de un rectángulo equivalen al área de un cuadrado de 2.4 m. de lado. La base del rectángulo es 4.5 m. Calcular su altura A

35.

E

D B

C N

36.

La base de un triángulo acutángulo es 63 m. y su altura 54 m. Se inscribe en éste un rectángulo cuyo perímetro es 116 m. Encuentre las dimensiones del rectángulo

M

A

B ABCD es un trapecio. AE ⊥ CD , AB = 8, AE = 6, CD = 12. Encuentre el área del trapecio

37.

D

E

C B

A

ABCD es un trapecio. AB || CD , AD = 6, AB = 8, m∠ D = 90° y m∠ C = 30° . Encuentre el área de ABCD

D C 38. La base menor de un trapecio es los 3 / 7 de la mayor. La altura es los 15 / 16 de la diferencia de las bases. La superficie mide 28.83 m2. Calcular las bases y la altura 39. C D

A 40.

E

F

A

B

En el trapecio de la figura, AB || CD AC = BD = 13, CD = 12 y AB = 22. Determine el área.

B ABCD es un rectángulo. CE es 1 / 4 de CD El área del Δ ECB es 16 ¿Cuál es el área del trapecio ABED?

D

E

C

41. ¿Cuál es la altura del triángulo que resulta al prolongar los lados no paralelos de un trapecio cuyas bases son de 27 m y 38.5 m y su altura es de 15 m? 42. Una cruz es formada al cortar cuadrados iguales en las esquinas de un pedazo de cartulina con lado de 9 pulgadas. Si cada uno de los cuadrados cortados tiene un área de 9 pulg.2 ¿Cuál es el perímetro de la cruz? ¿Cuál es el área? B A 43.

ABCD y BFED son cuadrados. Si AB = 4, encuentre el área del BFED

D

C

E

188

F

Elementos Fundamentales de la Geometría

44.

D

C En un rectángulo ABCD, AB = 20 y BC = 15. Calcular la distancia del vértice A a la diagonal BD.

A

B

45. Por un punto M de un triángulo ABC se trazan dos paralelas a los otros dos lados , MN = z y MP = y, como se muestra en la figura. Determinar x en función de los lados del triángulo ABC para que z+y=m+n A n N

m M

z y

B

P

x C

46. Demostrar que en un triángulo rectángulo, el inverso del cuadrado de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de los inversos de los cuadrados de los catetos. 47. Dos lados consecutivos de un paralelogramo tienen 17 y 32 m; una diagonal tiene 43 m. Calcular la otra diagonal. 48. Dos lados de un triángulo tienen 17 y 21m; la proyección del tercero sobre el segundo es 11 m. Calcular el tercer lado y la altura relativa del segundo. 49. Las diagonales de un paralelogramo tienen 25 y 40 m. y uno de los lados mide 18 m. Calcular el perímetro. 50. Encontrar las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 75 m, sabiendo que es semejante a un segundo rectángulo cuyos lados son 36 y 48 m. 51 A F B G

En la figura el área del cuadrado ABCD es 36 cm2 y el área del cuadrado EFGH es 25 cm2. Calcular el perímetro del triángulo AFE.

E D H C 52. El baricentro de un triángulo ABC dista 3 cm. del vértice A, 4.8 cm. del vértice B y 5 cm. del vértice C. a) determine las longitudes de las medianas b) determine las longitudes de los lados del triángulo c) calcule el área del triángulo.

189

Elementos Fundamentales de la Geometría

53. Calcule el área de la región sombreada en cada figura D C

E

i) El área del cuadrilátero ABCD mide 1. E es punto medio de la diagonal AC.

A

B C

Q

ii) ABC es un triángulo de área 1. Los lados AC, CB y AB se dividen en 2, 3 y 4 partes iguales respectivamente.

P

A

M

N

B

C iii) ABC es un triángulo de área 1. Los lados AC, CB y AB se dividen en 2, 3 y 4 partes iguales respectivamente.

Q P

A

M

D

B

H

E

G

A

F

SOLUCIONES 1. 21.6 m. y 8.4 m. 7. i) 12.5 ii) 20 iii) 10 12. 16 / 9 20. 9 y 12

C

iv) ABCD es un cuadrado de lado 1. E, F, G y H son puntos medios en sus lados respectivos. Calcule el área de la región sombreada.

B

2. 133.67 m. 8. 20 y 10

3. 7.2

4. 168

5. 6

6. 6

9. 14.14, 24.49, 17.32 m.

13. 2 14. 80 15. 12 y 30 21. 15 y 20 22. 9 , 12 y 15

16. 168 17. 6 23. 12 , 18 y 20 cm.

10. 7.11, 43.89, 23.96 m. 11. 9

3

18. 25 3 19. 60 24. 6 , 8 y 10 m.

25. 3 , 4 y 5 26. 10 3 ,10 6 y 10 2 27. 180 28. 6.25 29. 40 , 30 y 25 30. 40 y 60 31. 140.65 y 41.85 m. 32. 8 y 15 m. 33. 8 y 11 34. 3.2 , 35. 28 y 30 m. 36. 60 37. 79.18 38. 8.68 m, 3.72 m y 4.65 m. 39. 204 40. 112 41. 50.217 42. P = 36 pulg., A = 45 pulg2 43. 32 44. 12 45. x = [b(b+c-a)] / (b+2c-a) 47. 27.875 48. 17.607 y 13.748 49. 92.16 50. 45 y 60 51. 11 52. mA = 4.5 , mB = 7.2 , mC = 7.5 ; 9.33 , 6.25 , 6.7 cm ; 20.9 cm2 54. i) 1/2 ii) 3/8 iii) 5/24 iv) 1/6

190

3

Elementos Fundamentales de la Geometría

3.5. CIRCUNFERENCIAS Y POLÍGONOS 3. 5. 1. CONCEPTOS GENERALES

CIRCUNFERENCIA: Es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro de la circunferencia. RADIO: Se llama radio a todo segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. También se le llama radio a la longitud de dicho segmento. Una circunferencia con centro en Q y radio r, divide a un plano π en tres conjuntos disjuntos: - la circunferencia misma: { P∈ π / PQ = r } - el interior de la circunferencia: { P∈ π / PQ < r } - el exterior de la circunferencia: { P∈ π / PQ > r } CÍRCULO: Es el conjunto de todos los puntos que están sobre una circunferencia o en su interior: { P∈ π / PQ ≤ r } exterior

tangente

secante A P • E

interior

G círculo

Q

D diámetro

radio

B C

F ángulo central

cuerda

CUERDA: Es todo segmento determinado por dos puntos de la circunferencia. DIÁMETRO: Es toda cuerda que pasa por el centro. Su longitud es el doble del radio: D = 2r. SECANTE: Cualquier recta que corta a la circunferencia en dos puntos. TANGENTE: Toda recta en el plano de la circunferencia que tiene uno y sólo un punto P en común con la circunferencia. Al punto P se le llama punto de tangencia. ÁNGULO CENTRAL: Es todo ángulo determinado por dos radios, es decir un ángulo en el plano de la circunferencia con vértice en el centro. ARCO: es una “porción” continua de la circunferencia. Se clasifican en arco menor y arco mayor. Si A, B y C están en la circunferencia, con C en el exterior del ángulo ∠ AOB, el arco menor, denotado ⁀ es la unión de A, B y todos los puntos de la circunferencia que están en el interior del ∠ AOB. por AB, El arco mayor es la unión de A, B y todos los puntos de la circunferencia que están en el exterior del ∠ AOB. Los puntos A y B son los extremos del arco. A menudo para evitar ambigüedades, es necesario indicar otro punto que pertenezca al arco. Así por ejemplo PQR, ⁀ denota el arco cuyos extremos son P y R, y contiene a Q. MEDIDA DE UN ARCO: La medida de un arco menor se define como la medida del ángulo central que lo AB determina: m AB ⁀ = m∠ AOB. La medida del arco mayor correspondiente es m ACB ⁀ = 360° – m ⁀

191

Elementos Fundamentales de la Geometría

A

C

O

B SEMICIRCUNFERENCIA: es un arco cuya medida es 180°. CIRCUNFERENCIAS CONGRUENTES: son circunferencias con radios de igual longitud. CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: son circunferencias, en el mismo plano, que tienen el mismo centro. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES: son circunferencias tangentes a la misma recta, en el mismo punto de tangencia. Es decir dos circunferencias que tienen exactamente un punto en común. ALGUNAS PROPIEDADES: 1. i) Una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el centro con el punto de tangencia. ↔ ___ t ii) Si el radio OP de una circunferencia de centro O, es P ↔

↔

perpendicular a una recta t que pasa por P, entonces la recta t es tangente a la circunferencia en el punto P.

__

↔

OP ⊥ t

O

2. En una circunferencia o en circunferencias congruentes, a cuerdas congruentes le corresponden arcos congruentes y viceversa. B

C AB = CD ⇔ m AB ⁀= m CD ⁀

A D

A

3. Todo diámetro o radio perpendicular a una cuerda, divide a ésta y a los arcos correspondientes en partes congruentes. 4. En el plano de una circunferencia, la mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

O

•C

D B

5. En la misma circunferencia o en circunferencias congruentes, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes y viceversa, si las cuerdas son congruentes, equidistan del centro. Además los arcos determinados por las cuerdas son congruentes. B

A

E O

C

AB = CD ⇔ OE = OF AB = CD ⇔ AB ⁀ ⁀≅ CD

F D

192

Elementos Fundamentales de la Geometría 3. 5. 2. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS EN EL PLANO

Al considerar las posiciones relativas entre dos circunferencias en un plano se presentan los siguientes casos: 1. Las dos circunferencias no tienen ningún punto en común ◊ Si una circunferencia es exterior a la otra, la distancia entre los centros es mayor que la suma de los radios. ◊ Si una de las circunferencias es interior a la otra y los centros de las circunferencias son diferentes, la distancia entre los centros es menor que la diferencia de los radios. ◊ Si las circunferencias son concéntricas, es decir tienen el mismo centro, obviamente la distancia entre los centros es cero.

O1

•

O2 r2

••

O2

•r

r1

O1

2

O1O2 > r1+ r2

O1= O2 •

r1

r2 r1

O1= O2

O1O2 < r1 – r2

2. Las circunferencias tienen exactamente un punto en común. En este caso decimos que las circunferencias son tangentes entre sí. ◊ Si las circunferencias se “tocan” exteriormente, la distancia entre los centros es la suma de los radios. ◊ Si las circunferencias se “tocan” interiormente, la distancia entre los centros es la diferencia de los radios y la recta que une los centros es perpendicular a la tangente común.

O2

r2

O1O2 = r1 + r2

r1 O1

O2 r2 O1 r1

O2 r2 r1 O1

O1O2 = r2 – r1

r2 – r1 < O1O2 < r1 + r2

3. Las dos circunferencias tienen dos puntos comunes En este caso la distancia entre los centros es mayor que la diferencia de los radios pero menor que la suma de los mismos. El segmento que une los centros es perpendicular a la recta que pasa por los puntos de intersección y biseca a la cuerda común. 4. Si las circunferencias tienen tres puntos comunes, tendríamos la misma circunferencia, ya que por tres puntos no colineales pasa exactamente una circunferencia.

193

Elementos Fundamentales de la Geometría 3. 5. 3. RELACIONES ENTRE ÁNGULOS Y ARCOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

En dependencia del punto donde se localice el vértice de un ángulo y la relación entre sus lados y una circunferencia se tienen diversos tipos de ángulos, entre ellos se tienen: B

ANGULO CENTRAL: Es todo ángulo con su vértice en el centro de la circunferencia. Su medida es igual a la de su arco correspondiente O

A

A

ÁNGULO INSCRITO: Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son rayos secantes

P B

TEOREMA 1. La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus lados. 1 m⁀ AB En la figura, m ∠ APB = 2 A P

ANGULO SEMI-INSCRITO: Es el ángulo que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados lo forman un rayo tangente y un rayo secante B

TEOREMA 2. La medida de un ángulo sem.-inscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre sus 1 m⁀ PB lados. En la figura, m ∠ APB = 2 C ÁNGULO INTERIOR: Es el ángulo cuyo vértice es un punto interior de la circunferencia . Sus lados y sus prolongaciones forman dos secantes que se cortan en el interior.

A P B

D

TEOREMA 3. La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y sus prolongaciones. 1 [m ⁀ AB + m ⁀ CD ] y En la figura , m ∠ APB = 2 1 m ∠ APC = [ m AC BD ] ⁀+ m ⁀ 2 ÁNGULO EXTERIOR: Es el ángulo cuyo vértice es un punto exterior de la circunferencia y sus lados son dos secantes, dos tangentes o uno secante y otro tangente.

194

Elementos Fundamentales de la Geometría

TEOREMA 4. La medida de un ángulo exterior es igual a la semi-diferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y sus prolongaciones. 1 En la figura, m∠P= [ m AB CD ]. ⁀– m⁀ 2 Si el ángulo exterior es formado por una tangente y una secante o bien por dos tangentes, la fórmula anterior es válida, aunque la forma de denotar los arcos varíe.

A

A

A

C P

P D

P

B

B

C B

ÁNGULO EX – INSCRITO: Es el ángulo adyacente a un ángulo inscrito que forma par lineal con dicho ángulo.

ALGUNAS PROPIEDADES

1. Dos ángulos cualesquiera inscritos en el mismo arco son congruentes. P1

A

P2

m∠P1 = m∠P2 = m∠P3 =

1 ⁀ m AB 2

B P3 2. Un ángulo cualquiera inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

3. Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia (cuadrilátero cíclico) son suplementarios. C D

m∠ A + m∠ C = 180° m∠ B + m∠ D = 180° A

B

195

Elementos Fundamentales de la Geometría 1. En la figura O representa el centro de la circunferencia. Si m∠AOC = 120°, determine los valores de α, β y x.

EJEMPLOS C

x

α

β

B

SOLUCIÓN: ⁀ = m ∠AOC = 120° i) x = m AC ii) β = 180° – m ∠ AOC = 180° – 120° = 60° 1 ⁀ = β = 60° ii) α = m BC, ⁀ pero m BC 2 1 ∴ α= (60°) = 30° 2

A

O

↔ Datos: m CD = 120°; EF es tangente a la circunferencia en B. Halle los valores de α, β y x.

⌒

2. D A β

O

α

E

i) x = m BC = 180° – m CD = 180° – 120° = 60° ya que BC ∪ CD forman una semicircunferencia. 1 1 ii) β = m BC = (60°) = 30° , por ser un ángulo inscrito. 2 2 1 ⁀ por ser un ángulo semi-inscrito, pero iii) α = m AB 2 ⁀ = m∠AOB = m∠DOC = 120° (por definición de medida de m AB arco y por ser opuestos por el vértice) 1 ∴α= (120°) = 60° 2

C

x B

F

3. C

α 30°

90°

B

D

65°

4.

A

C P

En la figura de la izquierda, determine el valor de ⁀ = 30° y m CD ⁀ = 90°. α si m AB

A

s°

α

β

D

130° B

SOLUCIÓN: Por ser α un ángulo interno tenemos: 90° + 30° α= = 60° 2

⁀ = 115°, m AC ⁀ = 130°, m DB ⁀ = 65°. En la figura, mAB Determine los valores de s, α, β y m ∠P.

115° SOLUCIÓN: ⁀ + m DC ⁀ + m CA ⁀ = 360° y m DC ⁀ = s°, luego ⁀ + m DB Tenemos m AB s° = 360° – 130° – 115° – 65° = 50°. ∠ADB es un ángulo inscrito que determina el arco AB, luego α = m∠ ADB =

1 ⁀ = 1 ( 130°) = 65° m AB 2 2

β es la medida de un ángulo interno que determinan los arcos AB y CD, luego 1 ⁀ = 1 ( 130° + 50°) = 90° β= ( m AB ⁀ + m CD) 2 2

196

Elementos Fundamentales de la Geometría ∠P es un ángulo externo que determinan los arcos AB y CD, por tanto 1 1 ( m AB m∠ P = ⁀ = (130° – 50°) = 40° ⁀– m CD) 2 2 C 5. En el triángulo ABC, si I es el incentro, entonces m∠AIB = 90º + 2 C

Se tiene A + B + C = 180 ∴ A + B = 180 – C m∠AIB = 180 – m∠IAB – m∠IBA A B ⎛ A +B⎞ = 180 – − = 180 – ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ C ⎛ 180 − C ⎞ = 180 – ⎜ ⎟ = 90º + 2 2 ⎝ ⎠

I

A

B

A

6. Si O es el circuncentro del ΔABC, entonces m∠BOC = 2 m ∠A O C

B

Dado que O es el circuncentro, ∠BOC es un ángulo central, por tanto ⁀ (1) m∠BOC = m BC 1 ⁀ por ser un ángulo inscrito (2) m∠A = m∠BAC = m BC 2 m∠BOC = 2 m ∠A de (1) y (2)

7. A B C D

α/2

A

B •

F

α

β 180 – β D O’

80º

Q

100 – α

O

β/2 • C

En la figura, la medida del arco AB es 80º. Las circunferencias son tangentes en D. La recta AB es tangente a la circunferencia pequeña en C. Encuentre la medida del ∠BDC. SOLUCIÓN: Trazamos una línea que una los centros de las circunferencias, por ser tangentes, esta línea pasa por el punto de tangencia; prolongamos el segmento AC de manera que corte a OO’ en P. Sean α la medida del ángulo central determinado por el arco BD y β la medida del ángulo central determinado por el arco DC. P Se tiene m∠BDF = α/2 y m∠FDC = β/2, por ser ángulos semi-inscritos, luego el ángulo buscado mide: m∠BDC = (α+β)/2.

El ángulo central AOB mide 80º, luego m∠AOQ = 180º – 80 – α = 100 – α, de manera similar m∠CO’P = 180 – β , ya que en cada caso se determina una semicircunferencia. El ángulo P es exterior a cada circunferencia, por tanto su medida es la semidiferencia de los arcos que determina, luego (100 − α) − α β − (180 − β) = m∠P = ∴ α + β = 140º. Por tanto m∠BDC = 70º 2 2

197

Elementos Fundamentales de la Geometría 3. 5. 4. RELACIONES MÉTRICAS EN UNA CIRCUNFERENCIA ↔

DEFINICIÓN: Si PA es tangente a la circunferencia en A, entonces PA se llama segmento tangente desde P a la circunferencia. TEOREMA: Los dos segmentos tangentes a una circunferencia desde un punto exterior son congruentes y determinan ángulos congruentes con el segmento que une el punto exterior con el centro. TEOREMA: Sean una circunferencia C y un punto Q de su exterior. Sea L1 una secante que pasa por Q e interseca a C en los puntos R y S; y sea L2 otra secante que pasa por Q e interseca a C en los puntos U y T, entonces QR ⋅ QS = QU ⋅ QT TEOREMA: Sean QT un segmento tangente a una circunferencia en T, y una recta secante que pasa por Q e interseca a la circunferencia en los puntos R y S, entonces QT2 = QR ⋅ QS Al valor de QT2 se le conoce como la potencia de Q respecto a la circunferencia C. Este valor depende de la distancia desde P a la circunferencia y el radio de la misma. TEOREMA: Si RS y TU son cuerdas de la misma circunferencia que se cortan en Q, entonces QR ⋅ QS = QU ⋅ QT T

S

A O

P

R

Q

Q U

B PA = PB ∠APO ≅ ∠BPO

Q

R

T

R T

S QR ⋅ QS = QU ⋅ QT

QT2 = QR ⋅ QS

QR ⋅ QS = QU ⋅ QT

EJEMPLOS

9. En la siguiente figura, AB = 25, AE = 18 y DC = 27. Determine el valor de EC B D SOLUCIÓN: Sea EC = x. Como DC = 27, entonces ED = 27 – x EB = AB – AE = 25 – 18 = 7. Tenemos AE⋅EB = CE⋅ED. E A Al sustituir los valores dados: 18 (7) = x (27 – x) ⇒ x2 – 27x + 126 = 0 ∴ x = 6 o x = 21 C Hay dos valores posibles para EC. 10. En la figura PA = AD, PB = 4 y BC = 7, hallar PD. D A P B C

S

U

SOLUCIÓN: Se cumple PA⋅PD = PB⋅PC. Además PD = PA + AD y PC = PB + BC = 4 + 7 = 11. Si hacemos PA = x entonces AD = PA = x y PD = 2x. Luego x (2x) = (4) (11) = 44 ∴ x2 = 22 x =

198

22 . Resulta PD = 2 22

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. → En la figura, de la derecha, KS es tangente a la circunferencia en T; → KR es secante a la circunferencia cortándola en Q y R . Si m∠K = 30° y m∠TRQ = 20°, determine las medidas de los arcos QNT y TMR

S

T K N

M

Q R

P Q

2.

Si m∠P = 60° y m ∠PQR = 128° Determine m∠R y m∠S R B

A

S 3. Determine la medida del ángulo α si ⁀ = 150° ⁀ = 120° y DC a) AB

α

D

⁀ = 140° ⁀ = 80° y BC b) AD

C

C

4.

Determine las medidas de los ángulos α y β si: ⁀ = 80o ⁀ = 50o y CD a) AB o ⁀ = 90 , BD b) AC ⁀ = 120o y AB ⁀ = 40° ⁀ = 100º c) m∠ ADB = 20º y m CD

A P

β

α B

D

β

A

5. Halle la medida de α , β y θ si ⁀ = 50°, AD ⁀ = 100°, m∠ ABC = 85° BC

P

α

B

θ

D C

6.

T

P

PT es tangente a la circunferencia en T. ⁀ = 60° y m∠ TPQ = 30° determine las Si TQ medidas de los arcos TR y RQ.

Q R 199

Elementos Fundamentales de la Geometría

7. En cada una de las siguientes figuras, O representa el centro de la circunferencia. Con la información dada en cada caso, determine el valor de α , β y x indicados: D C x A O β α α B O A C x β Dato : m ∠ AOC = 120°

E

B

F ↔ ︵ Datos: m CD =150°, EF tangente en B

8. B

︵

A M

En la figura m BD = 70 ° , m ∠DMB = 4 m ∠K. ⁀ y m∠K Determine m AC

K C

D

9. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia; m∠A = 50° y m∠B = 70°. Se trazan tangentes a la circunferencia por A, B y C de modo que forman el triángulo circunscrito A’ B’ C’. Determine las medidas de los ángulos del triángulo A’ B’ C’.

10. A partir de la figura y la información dada, encuentre el valor indicado A B P D

C

a) AC = 16, PB = 6, PD = 8. Hallar AP y PC b) AP = 3, PC = 5, PD = 4. Hallar PB c) PC = 2⋅ PA, PD = 4 y BD = 12. Hallar AC d) BD = 15, PB = 6 y PB = 3 PA. Hallar PC

11.

D a) PA = AD, PB = 4, BC = 7. Hallar PD b) PD = 6, PA = 2 y PC = 5. Hallar PB c) PD = 7, AD = 4 y BC = 5. Hallar PB d) PA = 8, AD = 12 y BC = 10. Hallar PC e) PD = 12, PA = 4, PC = 10. Hallar PB

A P B

C 12.

B

a) b) c) d)

A

T

PB = 18, AB = 4, hallar PT PT = 8 , PB = 20, hallar PA PT = 14, PA = 8, hallar AB PT = 20, AB = 9, hallar PB

P

200

Elementos Fundamentales de la Geometría

A 13.

→ Se tiene PA tangente a la circunferencia en A. AP = PX = XB. Si PQ = 1 y QR = 8, determine AX.

P

x Q R B B 14.

C

A O

⁀

Si m ABC = 120° y O es el centro de la circunferencia, encuentre m ∠ OAC

15. En la figura, m∠QOR = 60º y ∠ PQO ≅ ∠ PRO. O es el centro de la circunferencia. Encuentre la medida del ∠ PQO.

Q P

O R

16

__

C O

P

__

En la figura AP y CP son tangentes a la

A

•B

circunferencia de centro O y radio r = 17 3 . Si la medida del arco ABC es 300º, determine la longitud de AP.

17. El diámetro de una circunferencia mide 50 cm. i) ¿cuánto habrá que prolongarlo en un extremo para que la tangente a la circunferencia trazada desde el extremo de la prolongación mida 24? ii) Si el diámetro se prolonga 10 cm. ¿cuánto mide la tangente trazada desde ese extremo?

18. Dos circunferencias con centros O y O’ se cortan en C y D. Los radios de las circunferencias son 5 cm. y 10 cm. respectivamente. ___

C A

Si AB = CD = EF y AB está a 4 cm. de O, calcule la distancia de EF a O’. SOLUCIONES 1. 3. 5. 7. 8.

︵

• O

___

︵

B D

QNT = 40º, TMR = 100º 2. m∠R = 120º, m∠S = 52º a) 135º, b) 70º 4. a)α = 15º, β = 65º b) α = 35º, β = 75º c) α = 30º, β = 70º ︵ ︵ α = 45º, β = 70º, θ = 60º 6. m TR = 120º, m RQ = 180º i) α︵ = 120º, β = 60º, x = 120º ii) α = 15º, β = 75º, x = 30º m AC = 42º, m∠K = 14º 9. 40°, 60° y 80º 10. a) 4 y 12, b) 3.75, c) 12 d) 27

11.a) 2 22 , b) 2.4, c) 2.72, d) 18.6 e) 4.8 12. a) 15.87, b) 3.2, c) 16.5, d) 25 13. 4 14. 30º 15. 15º 16. 17 17. i) 9.65 ii) 24.49 18. 9.54 cm.

201

E

• O’

F

Elementos Fundamentales de la Geometría

3. 6. POLÍGONOS 3.6.1.

CONCEPTOS GENERALES

Un polígono es una figura cerrada formada por la unión de varios segmentos, de manera que no se cruzan. ◊ Los segmentos se llaman lados del polígono. ◊ Los extremos de los segmentos se llaman vértices. ◊ La suma de las longitudes de los lados se llama perímetro. ◊ Los ángulos del polígono, son los que contienen dos lados consecutivos

CLASIFICACIÓN 1. De acuerdo con el número de lados los polígonos se clasifican en:

triángulo cuadrilátero pentágono hexágono heptágono octógono eneágono

3 4 5 6 7 8 9

lados lados lados lados lados lados lados

decágono endecágono dodecágono pentadecágono icoságono ... ....

10 lados 11 lados 12 lados 15 lados 20 lados

2. De acuerdo a otras características se clasifican en: Equiángulo: polígono que tiene sus ángulos internos congruentes. Equilátero: polígono que tiene sus lados congruentes. Convexo: si ningún par de sus lados están en lados opuestos de una recta que contenga un lado del polígono. Se reconocen gráficamente por que no tiene ángulos internos con “medida” mayor que 180°. Regular: los polígonos que son a la vez equiláteros y equiángulos. ◊ Todo polígono regular es convexo. POLÍGONOS REGULARES

Una de las propiedades de los polígonos regulares es que pueden inscribirse y circunscribirse en una circunferencia.

- El hexágono está circunscrito a la circunferencia. - La circunferencia está inscrita en el hexágono

- El octógono está inscrito en la circunferencia. - La circunferencia está circunscrita al octógono.

Se llama centro de un polígono regular al centro común de sus circunferencias inscrita y circunscrita. El radio de un polígono regular es el segmento que une el centro con un vértice, es decir el de la circunferencia circunscrita. Se llama ángulo central de un polígono al que contiene dos radios que pasan por dos vértices consecutivos.

Ángulo interno radio apotema

202

α

O

r

Ángulo central

θ

ap

β

Ángulo externo

Elementos Fundamentales de la Geometría Se llama apotema de un polígono regular al segmento perpendicular trazado desde el centro a uno de sus lados. La apotema es igual al radio de la circunferencia inscrita en el polígono. En general, si R es el radio de un polígono regular, ap la apotema y l la longitud de los lados, l2 1 ap = 4 R 2 − l2 4 2 Los ángulos internos son los que contienen dos lados consecutivos. Los ángulos externos, son los ángulos adyacentes a los interiores, obtenidos al prolongar uno de los lados.

R 2 = a p2 +

El número de lados n de un polígono es igual al número de vértices, ángulos centrales, ángulos internos y ángulos externos. Las diagonales de un polígono son los segmentos que unen cada vértice con otro no consecutivo. Si llamamos

θ: medida del ángulo central α: medida de un ángulo interno β: medida de un ángulo externo

Para un polígono regular de n lados se cumple: θ=

360º n

α = 180º − θ =

( n− 2 ) ⋅ 180º n

β= θ=

360º n

La suma de los ángulos centrales es 360° La suma de los ángulos internos es (n – 2)⋅180° La suma de los ángulos externos es 360° Si d es el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice de un polígono convexo y D es el número total de diagonales, se tiene: d=n–3

,

D=

n⋅ (n− 3) 2

Usando las propiedades de los triángulos equiláteros y los cuadrados, se tienen los siguientes resultados: Si a es la longitud de los lados, ap la apotema, r el radio de la circunferencia inscrita y R el radio de la circunferencia circunscrita Para un triángulo equilátero

R

r

R=

3 ⋅ a , r = ap = 3

3 ⋅ a , R = 2r 6

a

En general, puede probarse que el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo cualquiera está a bc dado por R = , donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo y A su área. 4A A También puede probarse que el radio de la circunferencia inscrita está dado por r = , donde s es el s semiperímetro del triángulo.

203

Elementos Fundamentales de la Geometría

Para un cuadrado

R

R=

r

1 2 ⋅ a , r = ap = ⋅a 2 2

a

Para un hexágono regular: R = a,

R

r

r=

3 a , ap = r 2

a Para un pentágono regular:

a5 =

R

ap

R 1 10 − 2 5 , a p = 4 R 2 − a2 2 2

a 2R2 − R

◊ Para un polígono de 2n lados se cumple l 2n =

4 R 2 − ln 2 , donde ln es la longitud del

lado del polígono regular que tiene la mitad de lados. EJEMPLO

El lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 1, es inscrito en la misma circunferencia será: L8 =

2 . El lado de un octógono regular

2 (1) 2 − 1 ⋅ 4 (1) 2 − ( 2 ) 2 = 2 − 2

De manera similar el lado de un polígono de 16 lados inscrito en la misma circunferencia será: L16 =

2 − 4 − ( 2 − 2 )2 = 2 − 2 + 2

◊ Para el resto de polígonos la relación entre los lados y los radios se obtienen utilizando las funciones trigonométricas. 3.6.2. ÁREAS Y PERÍMETROS DE POLÍGONOS REGULARES

Si n es el número de lados, a la longitud de cada lado y ap el apotema, se tiene: - Perímetro: - Área:

P=n⋅a A=

1 1 n⋅ a ⋅ ap = ⋅ P⋅ap 2 2

204

Elementos Fundamentales de la Geometría

Para un polígono irregular se requiere conocer información adicional tales como ángulos internos, longitudes de los lados, longitudes de las diagonales, etc. Para encontrar el área generalmente “triangulamos” el polígono de la manera más adecuada, de acuerdo a la información que se tenga. En muchas ocasiones hay que hacer uso de la trigonometría. EJEMPLO

1. El perímetro de un decágono regular es 24.72 y su apotema 3.8. Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita. Determine el área de la región poligonal correspondiente (redondee su respuesta). SOLUCIÓN: Datos: P = 24.72, ap = 3.8, n = 10 ∴ a = Se tiene R =

⎛l⎞ a p2 + ⎜ ⎟ ⎝2⎠

2

P 24.72 = 2.472. = n 10 2

=

⎛ 2.472 ⎞ 3.8 2 + ⎜ ⎟ ≈4 ⎝ 2 ⎠ 1 1 P ap = (24.72) (3.8) ≈ 47. A= 2 2

3. 6. 3. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. ÁREAS DE UN CÍRCULO Y REGIONES CIRCULARES.

TEOREMA: La razón de la longitud de una circunferencia C a su diámetro es la misma para todas las circunferencias y se denota por π , π ≈ 3.1416..: C = cons tan te = π ∴ C = 2πr 2r El número π no es racional . Podemos afirmar que la longitud de la circunferencia es el “límite” de los perímetros de los polígonos regulares inscritos. Tenemos l2n = Luego π ≈

2R2 − R

n ⋅ l2 n n ≈ ⋅ R R

4 R 2 − ln2 , P = 2n⋅l2n → 2πR para n “grande” 2R2 − R

4 R 2 − ln2

para n “grande”.

ÁREA DE UN CÍRCULO

El área de un círculo es el “límite” de las áreas de los polígonos regulares inscritos en la circunferencia correspondiente. Puede probarse que el área de un círculo de radio r o diámetro d está dada por:

A = π r2 =

π ⋅ d2 4

REGIONES CIRCULARES

1. Sector circular: Es la sección de un círculo limitada por dos radios y el arco correspondiente.

205

r O

θ

Elementos Fundamentales de la Geometría

2. Segmento Circular: Es la sección del círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.

r θ

3. Corona Circular: es la sección de un plano limitada por dos circunferencias concéntricas.

r R

4. Trapecio Circular: Es la sección de una corona circular, limitada por dos radios. LONGITUDES DE ARCOS Y ÁREAS DE REGIONES CIRCULARES

TEOREMA: Si dos arcos tienen radios iguales, entonces sus longitudes son proporcionales a sus medidas.

r θ1

s1

s1 θ 1 = s2 θ2

r θ2

s2

◊ A partir de este teorema y usando la “Regla de tres” se obtiene que para un arco AB ⁀ que mida θ°, su πr θ ° longitud está dada por: s = 180° ◊ Si el arco se mide en radianes, resulta s = r θ ◊ El área de un sector circular también se obtiene usando la proporcionalidad anterior:

A=

π r 2θ ° 1 = rs 360° 2

◊ Si el ángulo se mide en radianes, resulta la fórmula equivalente A =

1 2 r θ 2

◊ El área de un segmento circular puede calcularse mediante la diferencia entre el área del sector circular correspondiente y el triángulo formado por los radios y la cuerda que une los extremos del arco. Para calcular el área del triángulo generalmente hay que hacer uso de la trigonometría, salvo los casos de triángulos con ángulos de 30°, 45°, 60°, 90° o múltiplos de ellos.

s h x θ

r

Tenemos h=r–y y = r cos

θ 1 θ 1 = x cot = 2 2 2 2

4r2 − x2 ,

x = 2 r sen

θ θ = 2 y tan 2 2

◊ Si θ se mide en radianes, el área del segmento circular está dada por: 1 1 2 A= r (θ – sen θ) = (r s – x y) 2 2 ◊ El área de una corona circular puede obtenerse como la diferencia entre las áreas del círculo exterior y el círculo interior, o sea A = π (R2 – r2)

206

r R

y

Elementos Fundamentales de la Geometría ◊ El área de un trapecio circular es la diferencia entre las áreas de los sectores circulares que los determinan πθ° 1 (R 2 − r 2 ) ó A = θ (R2 – r2), θ en radianes 2 360° Si hacemos h = R – r y s1 y s2 son las longitudes de los arcos exterior e interior respectivamente, se tiene:

A=

EJEMPLOS

A=

R θ

r

1 1 h θ (R + r) = h (s1 + s2) 2 2

1. ¿Cuál es el radio de una circunferencia cuya longitud es π? 1 . 2 2. La longitud de la circunferencia correspondiente de un círculo y el perímetro de un cuadrado son 20 cm. cada uno ¿cuál tendrá mayor área?

SOLUCIÓN: Como C = 2πr = π , se obtiene r =

SOLUCIÓN: 20 10 10 2 = ,A o = πr2 = π ( ) = 31.83 cm2 2π π π P = 4 l = 20 ∴ l = 5 y A = l2 = 52 = 25 cm2. Luego el círculo tiene mayor área.

Tenemos C = 2πr = 20 ∴ r =

3. Si O es el centro de la circunferencia de la figura, r = 6 y m∠AOB = 60°, determine el área de la región sombreada y la longitud del arco AB.

A

r O

θ B

SOLUCIÓN: Tenemos que para un sector circular A=

πr2 θ 1 = rs 360º 2

A=

π (6) (60°) π (6) 2 (60º ) = 6π y s = = 2π 360º 180°

ys=

π r θº 180º

4. Si O es el centro de la circunferencia de la figura, r = 6 y m∠AOB = 120°, determine el área de la región sombreada A

r O

θ

La región sombreada corresponde a un segmento circular, cuya área es la diferencia entre el área del sector circular y el triángulo isósceles que se forma. Tenemos: A sc =

B A

O

π r 2 θº π (6) 2 (120º ) = = 12π 360º 360º

El área del triángulo AOB, dado que m∠AOB = 120°, equivale a la de 3 (6)2 = 9 3 un triángulo equilátero de lado l = r = 6, luego A Δ = 4 El área buscada es A = 12π – 9 3 = 22.11 u2

B’

207

Elementos Fundamentales de la Geometría

5. La longitud del lado de un cuadrado es 8 cm. ¿cuál es la longitud de la circunferencia circunscrita? ¿Cuál es la longitud de la circunferencia inscrita? Para la circunferencia inscrita se tiene que su diámetro corresponde al lado del cuadrado, luego d = 8 cm. y su longitud es C = π d = 8π cm. R

Para la circunferencia circunscrita se tiene que el diámetro es igual a la diagonal del cuadrado o sea

r

d = 8 2 , luego C = π d = 8

2 π cm.

6. Hallar las longitudes de las circunferencias inscrita y circunscrita en a) un triángulo equilátero de lado igual a 12 b) un hexágono regular de lado igual a 6 Solución: Tenemos l = 12,

R=

3 l 3

y

r=

3 l. 6

1 3 (12) = 4 3 y r = R = 2 3 3 2 Por tanto la longitud de la circunferencia inscrita es C

Luego R = R

r

= 2π(2 3 ) = 4 3 π La longitud de la circunferencia circunscrita es C = 2π

12

(4 3 ) = 8 3 π b) Dado que es un hexágono regular se tiene: 3 R= l, r= l y l = 6. 2

R

r

Luego R = 6 y r = 3

3 . Las longitudes buscadas son:

Circunferencia inscrita C = 2π(3 3 ) = 6 3 π Circunferencia circunscrita C = 2π(6) = 12π 7.

Determine si el perímetro del PQRS es igual, menor, o mayor que la longitud de la circunferencia. ¿Quién tendrá mayor área, el cuadrado PQRS o el círculo?

A P Q

X Y

D

B

W S

↔

ABCD es un cuadrado circunscrito a la circunferencia. XYZW es un cuadrado inscrito a la circunferencia. ↔

AC y BD contienen las diagonales de ambos cuadrados. El PQRS es un cuadrado cuyos vértices son los puntos

Z R C

El El

medios de AX , BY , CZ , DW

208

respectivamente.

Elementos Fundamentales de la Geometría

SOLUCIÓN: O

Y Q B

__

Sea E el punto de tangencia sobre BC . Sean OY = OE = r , por ser radios del círculo. Tenemos ΔBOC ∼ ΔBEO, ya que ambos son triángulos rectángulos isósceles.

E

Luego OB =

Siendo Q el punto medio de BY tenemos OQ =

2 OE =

2r

1+ 2 r y 2

2+ 2 r. El perímetro del PQRS es P = 4⋅PQ = 6.828 r 2 La longitud de la circunferencia C = 2πr = 6.283 r ∴ P > C, es decir el perímetro del cuadrilátero PQRS es mayor que la longitud de la circunferencia.

2 OQ =

PQ =

2+ 2 2 r) = 2.914r2 u2 2 El área del círculo es A = π r2 = 3.1416 r2 u2. Luego el área del círculo es mayor que el área del cuadrilátero PQRS.

El área de

PQRS es A = (

8. Demostrar que en todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita. SOLUCIÓN: Primera forma: A abc 1 yR= , y en particular para un triángulo rectángulo A = ab y s 4A 2 c2 = a2 + b2, donde a y b son los catetos, c la hipotenusa, s el semiperímetro, r el radio de la circunferencia inscrita y R el radio de la circunferencia circunscrita. Luego 2 A abc 2 ab abc 2 ab + ac + bc + c 2 = 2(r + R) = + = + = s 2A a + b+ c ab a + b+ c

En general se tiene r =

=

2 ab + c(a + b) + a 2 + b 2 (a + b) 2 + c(a + b) (a + b)(a+ b + c) = = = a+ b a + b+ c a + b+ c a+ b+ c

Segunda forma: Para un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud c y catetos, a y b, en particular también se tiene a+ b− c c a + b− c c a + b r= r+ R = + = y R = , ∴ 2 (r + R) = a + b 2 2 luego 2 2 2

9. El ABCD es un cuadrilátero en el que cada uno de sus lados es tangente a una circunferencia de radio 9. Si el perímetro del ABCD es 56 ¿cuál es su área?

209

Elementos Fundamentales de la Geometría

B

A C

SOLUCIÓN: Al descomponer el cuadrilátero en triángulos y dado que cada lado es tangente a la circunferencia, se tiene: h = r = 9 para cada triángulo. Luego αA = αΔAOB + αΔBOC + αΔCOD + αΔDOA 1 1 = ( AB + BC + CD + DA) h = (56) (9) = 252 u2 2 2

D 10. El perímetro del ΔABC es 36 y AB = 15. Calcular BT.

•

T B

•E A

C

D

•

SOLUCIÓN: Se tiene BT = BE y CE = CD, además AT = AD, ya que se trata de segmentos tangentes a la circunferencia trazadas desde B, C y A respectivamente. Por tanto AT + AD = 36, de donde se obtiene AT = 18. Como AT = AB + BT, al sustituir el valor de AB se obtiene BT = 18 – 15 = 3

D C

11. ABCD es un cuadrado de perímetro k. El semicírculo de la figura tiene diámetro AB. Hallar el perímetro del ΔCDE, __

sabiendo que EC es tangente al semicírculo en el punto F.

F E A

B

SOLUCIÓN: k el lado del cuadrado y sea EA = x. Sea a = 4 Se tiene CB = CF = a, ya que ambos segmentos son tangentes al semicírculo desde el mismo punto.

De manera similar EA = EF, luego DE = DA – EA = a – x y

CE = CF + EF = a + x.

Luego el perímetro del ΔCDE resulta P = CD + DE + CE = a + (a – x) + (a + x) = 3a o sea P =

3 k 4

12. Sea C una semicircunferencia de centro O y diámetro AB. Sea D el punto medio del arco AB. Sobre la __

semirrecta OD se toma E tal que OE = BD. BE corta a la semicircunferencia en F y la proyección ___ 1 ortogonal de F sobre AB es P. Demuestre que BP = AB . 3

210

Elementos Fundamentales de la Geometría

E D

SOLUCIÓN: Sea r el radio de la semicircunferencia. Como OBD es un triángulo

F

rectángulo isósceles, BD = OE = 2 r. Sea BP = x. Se tiene ΔOBE ∼ ΔPBF por el teorema de A

O

P

2r OB OE r = o sea = ∴ PF = PB PF x PF

semejanza AA. Luego

B

2 r.

En el ΔOPF se tiene OP = OB – PB = r – x, OF = r, PF =

2 r. Aplicando el Teorema de Pitágoras 2 r = 2 x + (r − x ) = 2 x + r − 2 r x + x ∴ 3 x − 2 r x = 0 ⇒ x (3 x − 2 r ) = 0 luego x = r 3 2⎛1 1 ⎞ 1 x = BP y r = AB, por tanto BP = ⎜ AB ⎟ = AB 2 3⎝2 ⎠ 3 2

( )

2

2

2

2

2

2

13. En la siguiente figura ABCD es un cuadrado de lado a. El arco BD está trazado con centro en A y radio AB; M y N son puntos medios de BC y CD. Calcular la longitud del radio de la circunferencia F.

D

M

C

F

N

D

M

C

SOLUCIÓN: ___

___

A

B

Desde F trazamos perpendiculares a AB y AN . Sean P y S los pies de F

___

N Q A

P

S

Se tiene ΔAPQ ∼ ΔABN, luego B

___

estas perpendiculares. Sea Q el punto donde FP corta a AN . Sea FS = r, el radio buscado.

que PQ =

AP PQ 1 = . Como BN = AB, se sigue AB BN 2

1 AP 2

También ΔAPQ ∼ ΔFSQ (Por A.A.), luego QS =

1 1 FS = r 2 2

Sea a el lado del cuadrado y por tanto también el radio el arco mide a. Se tiene AF = a – r.

2 ( a – r) 4 1 2 ( a – r) Además como AP = PF y PQ = AP, resulta que Q es punto medio de PF y por tanto FQ = PQ = 2 4

Como ΔAPF es triángulo rectángulo isósceles, AP =

2 2 1 AF = ( a – r), PQ = AP = 2 2 2

Aplicando el Teorema de Pitágoras al ΔFSQ se tiene: r 2 +

5 2 a2 − 2 a r+ r 2 ⇒ 9 r 2 + 2 a r− a2 = 0 ⇒ r = 4 8

⎡ 2 ⎤ r2 =⎢ (a − r)⎥ 4 ⎣⎢ 4 ⎦⎥

r=

(Se descarta la otra raíz por resultar negativa).

211

− 2a ±

2

⎛ 10 − 1 ⎞ 4 a 2 + 36 a 2 ⎟a = ⎜ ⎜ ⎟ 18 9 ⎝ ⎠

Elementos Fundamentales de la Geometría

D

C E

A

B

D F

A

E

15. ABCD es un cuadrado de lado 1 y contiene a una circunferencia inscrita. La diagonal BD corta a la circunferencia en el punto E que se muestra en la figura. Calcule la longitud AE. SOLUCIÓN: Al observar la figura vemos que DE es la mitad de la diferencia entre la diagonal del cuadrado y el diámetro de la circunferencia, ya que por la simetría de la figura, la diagonal pasa por el centro.

Al trazar por E una perpendicular al lado AD, tenemos que AE es la hipotenusa del triángulo rectángulo AFE, luego necesitamos encontrar la longitud de AF y FE. Por otro lado ya que el ángulo ADB mide 45º, resulta que el triángulo EFD es rectángulo isósceles, con DF = FE y DE = 2 DF. Por ser ABCD un cuadrado de longitud 1, su diagonal mide 2 . Como la circunferencia está inscrita en el cuadrado, su diámetro es igual al lado del cuadrado o sea 1.

Se tiene entonces DE = AF = AD – DF = 1 –

2 ⎛⎜ 2 − 1 ⎞⎟ 2 − 2 2 −1 , DF = FE = = 2 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4

2− 2 2+ 2 = 4 4 2

Al aplicar el Teorema de Pitágoras al triángulo AFE, se tiene AE =

⎛2− 2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ +⎜2+ 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

=

3 2

EJERCICIOS 1. ¿Cuál es el radio de una circunferencia cuya longitud es 120 cm.? 2. ¿Cuál es el diámetro de una circunferencia cuya longitud es π? 3. La longitud del lado de un cuadrado es 8 cm. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia inscrita? ¿Cuál es la longitud de la circunferencia circunscrita? . 4. Hallar las longitudes de las circunferencias inscrita y circunscrita en a) un triángulo equilátero de lado igual a 12 y b) un hexágono regular de lado igual a 6. 5. El diámetro de una circunferencia mide 32.5 m.; se le prolonga 4.5m. Calcular la longitud del segmento tangente trazado desde el punto obtenido. 6. El diámetro de una circunferencia mide 25.4 m. Calcular la longitud que se necesita prolongarlo para que el segmento tangente trazado del punto obtenido mida 12 m. 7. En una circunferencia se trazan dos cuerdas paralelas a un mismo lado del centro, de longitudes 15 y 25. Si las cuerdas distan entre sí 8 ¿cuánto mide el radio de la circunferencia? 8. La longitud de la circunferencia de un círculo y el perímetro de un cuadrado son 20 cm. cada uno, ¿qué figura tiene mayor área? .

212

Elementos Fundamentales de la Geometría

9. Las diagonales de un rombo miden 5 y 12 m. Respectivamente. Calcule el área del círculo inscrito en el rombo. 10. Los segmentos AB, AC y BC son tangentes a la circunferencia en los puntos D, F y E respectivamente. Si BD = 4, AE = 3 y EC = 5, a) ¿Cuánto mide el perímetro del Δ ABC? b) ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia? C F

E

A

D

B

11. Determine las medidas de los ángulos i) centrales ii) internos y iii) externos de un polígono regular de a) 5 lados b) 9 lados c) 15 lados d) 24 lados. 12. Determine el número de lados que tiene un polígono regular si la medida de uno de sus ángulos internos es a) 140° b) 144° c) 160° 13. Determine el número de lados que tiene un polígono regular si la medida de un ángulo externo es a) 45° b) 72° c) 24° 14. El perímetro de un polígono regular es 48 y su apotema es 6 ¿Cuál es el área de la región poligonal correspondiente? 15. La longitud de un lado de un hexágono regular inscrito en una circunferencia es 4. Determínese el radio de la circunferencia y la apotema del hexágono. A

16 En una circunferencia cuyo radio es 10 cm., se trazan dos diámetros perpendiculares AC y BD , y la cuerda BC . Si M es el punto medio de esta cuerda, calcular AM

O

B

D

M C

A

17.

P

M

D

B

N

E

R

En un trapecio isósceles circunscrito a una circunferencia, sus bases miden 6 y 8 cm. Calcular a) el radio de la circunferencia inscrita en el trapecio b) la longitud de la cuerda MN que une los puntos de contacto.

C

18. Demuestre que si un polígono regular de 10 lados (decágono) se inscribe en una circunferencia con radio igual a r y s es la longitud de un lado del polígono, entonces

213

r s = s r− s

Elementos Fundamentales de la Geometría

19. Dado un octógono regular determine a) el lado del octógono y b) el área del octógono en función del radio. 20.

A

B

C D E

En la figura A, B, C y D son centros de los cuatro círculos tangentes en el punto E. Si estos cinco puntos son colineales y el área del círculo con centro en D es π u2, encuentre el radio y el área del círculo con centro en A.

21. Las figuras representan una correa en torno a dos poleas colocada en dos formas distintas. Para la figura (a) los radios de las poleas son 15 cm. y 3 cm. respectivamente, y la distancia entre los centros OO’ = 24 cm.. Para la figura (b) los radios de las poleas son 9 cm. Y 3 cm. Y la distancia entre los centros OO’ = 24 cm., calcule para ambos casos la longitud de la correa.

(a) O’

O

(b) O’

22.

O

A Las circunferencias con centros en O y P tienen radios de 2 cm. Si x = 1 cm., entonces ¿cuál es el perímetro del rectángulo ABCD?

B

O

x

D 23.

B A O

P C

Encuentre el área de la corona circular si a) OA = 6 y AB = 2 b) OB = 6 y AB = 2 c) OB = 6 y OA = 2

B

24

__

Si AC es un diámetro de la circunferencia y su longitud es A

C

60 , encuentre el área del Δ ABC.

214

Elementos Fundamentales de la Geometría

25. Calcule el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un hexágono regular de 6 cm. de lado. 26 A Determine el área del segmento circular (área sombreada) si: a) m ∠ AOB = 60º y OA = 6 b) m ∠ AOB = 90º y OA = 6 c) m ∠ AOB = 120º y OA = 6

O B

27

A Si el área del sector circular OAB mide 31.5 π cm2 y la longitud del arco AB es 3π cm., encuentre el radio del círculo.

O

B

28. Siendo 1 m. el lado de un cuadrado, calcular el área de la cruz de Malta, que se obtiene trazando desde los vértices arcos tangentes, dos a dos, en el punto medio de las diagonales.

29.

r En el interior de una circunferencia de radio R se trazan cuatro circunferencias tangentes como se muestran en la figura. Determine el valor del radio r de las circunferencias pequeñas en función de R

R

30. Determine el área de la corona circular formada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un triángulo equilátero de 4 cm. de lado 31. En la figura, las circunferencias son tangentes ↔ entre sí y tangentes a la recta m .Si R = 10 y r = 6 determine la distancia del punto de ↔ tangencia P a la recta m ( y) y la distancia entre los puntos de tangencia de las ↔ circunferencias con la recta m ( x) .

215

P r

R

x

y

Elementos Fundamentales de la Geometría

32. En la figura de la izquierda, el cuadrado está inscrito en el círculo mayor y circunscrito en el círculo menor. Si el cuadrado tiene lado l = 2’’, hallar la razón entre las áreas del círculo mayor y el menor. 33.

La región de la figura es formada al trazar desde cada vértice de un triángulo equilátero, arcos de radio igual al lado del triángulo. Determine el área de la región si el lado del triángulo mide 0.45 cm.

34. En la figura, cada pétalo es formado al trazar arcos cuyo centro está en la circunferencia y que pasan por el centro de la misma. Si el radio de la circunferencia es 1’’, encuentre el área de los seis pétalos.

35. Si el área del hexágono regular de la figura es 8, determine el área del triángulo sombreado.

36. Un terreno tiene forma pentagonal como se muestra en la figura. Halle el área del terreno si AF = 10 m., FG = 40 m. GH = 15 m. , HC = 20 m. , DG = 30 m. , EF = 20 m., HB = 35 m. D E

A

F

G

H

C

B

37

1

2

1

1

2

1

1

2

Determine el área cubierta por las tres letras de la figura 2

216

Elementos Fundamentales de la Geometría

38. A’

B’ •

D’

E’

E O

O’

C’

A

F’

F

B

•

D

C

A B

Datos: FF’ = 10 cm. , EF = E’F’ = 1 cm. A’, B’, E’, E, A y B son colineales. D’, C’, F’, F, D y C son colineales O y O’ son centros de las circunferencias. A’B’C’D’ es un cuadrado. O, A, B, C y D son cinco vértices de un hexágono regular. E, B, C y F están sobre la circunferencia de la derecha. A’, E’, F’ y D’ están sobre la circunferencia de la izquierda. Encuentre el área de la región sombreada.

C D

F

E

39. En la figura, ADEF es un cuadrado inscrito en un círculo de radio r = 1. Desde cada vértice del cuadrado se trazan arcos de radio igual a un tercio de la longitud del lado del cuadrado. Calcule el área de la región sombreada.

40

D

C ABCD es un cuadrado de lado 4. Cada arco es una semicircunferencia con centro en el punto medio del respectivo lado. Encuentre el área de la región sombreada.

A

D

B

C

41. En el trapecio isósceles ABCD, m∠DAB = 45º. El trapecio contiene un círculo inscrito. Si CD = 1 cm. determine AB y BC.

A

B

SOLUCIONES 1. 19.1

2. 1

3. 8π; 8 2 π

4. a) 4 3 π y 8 3 π b) 6 3 π y 12π

5. 12.9

6. 4.77 7. 12.7 8. El círculo 9. 16.73 10. a) 24 b) 5 11. a) θ = β = 72º, β = 108º b) θ = β = 40º, β = 140º c) θ = β = 24º, β = 156º d) θ = β = 15º, β = 165º 12. a) 9 b) 10 c) 18 13. a) 8 b) 5 c) 15 14. 144 15. 4 y 3.464 16. 15.81 17. a) 2 3

b) 48/7

19.

2 − 2 r , 2 2 r 2 20. 64π

21. a) 22π + 24 3 b) 16π + 24 3 22. 22 23. a) 28π b) 20π c) 32π 24. 15 25. 9π 26. a) 3.2361 b) 12.274 c) 34.31 27. 21 28. 0.2576 29. r = R/3 30. 4π 31. x = 15.49; y = 7.5 32. 2 33. 0.1427 34. 1.087 35. 1 36. 3,112.5 37. 24.71 38. 14.285 39. 1.3018 40. 5.717

217

Elementos Fundamentales de la Geometría

3.7. CUERPOS SÓLIDOS Los sólidos son regiones del espacio tridimensional cerradas, limitadas por superficies. Es de interés en ellos, calcular su volumen, áreas de las superficies laterales y área de la superficie total o bien determinar sus dimensiones a partir de información relacionada con los mismos. La Geometría Euclideana nos ayuda a caracterizar las principales figuras sólidas que presentan algunas regularidades. Para el estudio de sólidos irregulares se requieren conocimientos de Cálculo Diferencial e Integral y los conocimientos que nos brinda la Geometría Euclideana. 3. 7.1. PRISMAS Un prisma se caracteriza por tener dos bases paralelas, poligonales y congruentes; sus caras laterales son paralelogramos.

E2

E2 h

E1

h

E1 PRISMA RECTO

PRISMA OBLICUO

◊ Los lados de las caras y las bases se llaman aristas laterales y de las bases respectivamente. ◊ Si las aristas laterales son perpendiculares a los planos que contienen a las bases se le llama Prisma Recto, en caso contrario le llamamos Prisma Oblicuo. ◊ La distancia h entre los planos que contienen las bases se le llama altura del Prisma. ◊ Una sección transversal de un prisma es la intersección (no vacía) con un plano paralelo a los planos de las bases. Se puede probar que las secciones transversales de un prisma son congruentes y por tanto tienen igual área. ◊ La unión de las caras laterales de un prisma se llama superficie lateral y la unión de las caras laterales y las dos bases se llama superficie total.

218

Elementos Fundamentales de la Geometría

ALGUNOS TIPOS DE PRISMAS ◊ Un Paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. ◊ Un paralelepípedo rectangular es un prisma cuyas bases y caras laterales son rectángulos. Una caja común es un ejemplo de paralelepípedo rectangular. ◊ Un cubo es un paralelepípedo rectangular cuyas aristas son todas congruentes y por tanto sus bases y caras laterales son cuadrados congruentes

h

Paralelepípedo

Paralelepípedo Rectangular

Cubo

VOLÚMENES Y ÁREAS DE PRISMAS

En general el volumen de un Prisma está dado por:

V = Ab ⋅ h

donde Ab es el área de la base y h es la altura del prisma. Las áreas laterales y totales dependen del tipo de prisma. No hay una fórmula general, sin embargo no hay que olvidar que las bases son regiones poligonales y las caras laterales son regiones paralelográmicas.

AL = P⋅ a = P ⋅ h, AT = P⋅ a + 2 Ab

Para un prisma recto se tiene:

Donde AL: área lateral, AT: área total, P : perímetro de la base, a = h: longitud de la arista lateral o altura

h

P Para un paralelepípedo rectangular, si a, b y c representan el largo, ancho y alto, tenemos: Volumen: V=abc Area total: AT = 2⋅(a b + b c + a c) c La diagonal está dada por d =

d

a2 + b2 + c2

En particular, para un cubo de lado a, se tiene: Volumen: Area total: Diagonal:

a

V = a3 AT = 6 a2 d=

3a

219

b

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 1 Dado un cubo cuya diagonal mide 16 3 , determine su volumen y su área total. SOLUCIÓN: Tenemos que para un cubo d =

3 a, luego la longitud del lado es a =

d 3

=

16 3 3

= 16

Su volumen está dado por V = a3 ∴ V = 163 = 4,096 u3 Su área total está dada por AT = 6 a2 ∴ AT = 6 (16)2 = 1,536 u2.

EJEMPLO 2 Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son 12, 4 y 7. Determine la longitud de la diagonal, su área total y su volumen. SOLUCIÓN: La diagonal está dada por d =

a2 + b2 + c2 ∴ d =

12 2 + 4 2 + 72 = 209 ≈ 14.46 u

El área total es AT = 2⋅(a b + b c + a c) ∴ AT = 2⋅[(12)(4) + (4)(7) + (12)(7)] = 320 u2 Su volumen es V = a b c, luego V = (12) (4) (7) = 336 u3.

EJEMPLO 3 Las bases de un prisma recto son hexágonos regulares de 2 cm. de lado. Si la arista lateral mide 3cm. ¿cuál es el área lateral del prisma? ¿Cuál es su área total? ¿Cuál es su volumen? SOLUCIÓN: Dado que es un prisma recto se tiene AL = P⋅a, “a” es la arista lateral.

AT = AL + 2 AB, donde P es el perímetro de la base y

Como la base es un hexágono regular de 2 cm. de lado, P = 6 (2cm) = 12 cm. Luego AL = (12 cm.)(3 cm.) = 36 cm2. El área de la base, por ser un hexágono regular es 3 2 3 l ) = 6[ (2)2 ] = 6 3 = 10.39 cm2 A B= 6 ( 4 4 luego el área total es A T = AL + 2 AB = 36 + 2 (10.39) = 56.78 cm2 El volumen está dado por V = AB⋅ h , h = a por ser un prisma recto, luego V = (10.39 cm2) (3 cm.) = 31.17 cm3

EJEMPLO 4 ¿Cuál es la altura de un prisma recto cuya área lateral es de 200 cm2, si la base es un octógono regular de 4 cm. de lado? SOLUCIÓN A Se tiene AL = P⋅h ∴ h = L P Como la base es un octógono regular P = 8⋅l = 8 ⋅ 4 = 32 cm., luego h =

220

200 cm2 = 6.25 cm. 32 cm

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 5 Calcular la superficie total y el volumen de un prisma cuya base es un pentágono regular inscrito en una circunferencia de 4 cm. de radio y cuya altura es el doble del lado de la base. SOLUCIÓN: Tenemos que AT = 2 AB + AL , AB =

1 P⋅ ap, AL = P⋅h 2

y

V = AB⋅ h. Por dato, R = 4 y h = 2⋅l

Como la base es un pentágono regular, la longitud de su lado está dada por R 1 10 − 2 5 y ap = 4 R 2 − l2 . l5 = 2 2 Sustituyendo el valor de R = 4, se obtiene l5 = 4.7022 y ap = 3.236. Además h = 2 (4.7022) = 9.4044 1 Luego AB = (5) (4.7022) (3.236) = 38.04 cm2. 2 AL = P⋅h = (5) (4.7022) (9.4044) = 221.11 cm2 AT = 2 (38.04) + 221.11 = 297.19 cm2 V = (38.04) (9.4044) = 357.74 cm3

3. 7. 2. PIRÁMIDES Una pirámide es un sólido que se caracteriza por tener una base poligonal y sus caras son regiones triangulares que tienen un vértice en común V. La altura de la pirámide es la distancia desde el vértice V al plano de la base.

h

Las pirámides se clasifican de acuerdo al tipo de base. Así tenemos: Pirámide Triangular, si su base es un triángulo; pirámide cuadrada, si su base es un cuadrado; etc. También se clasifican en Regulares y no Regulares. PIRÁMIDE REGULAR Es una pirámide cuya base es un polígono regular y el pie de la perpendicular trazada desde el vértice al plano de la base es el centro de la base. Las caras laterales son triángulos isósceles congruentes. A las alturas de dichos triángulos se les llama apotema de la pirámide. SECCIONES TRANSVERSALES: Similar que en los prismas, una sección transversal de una pirámide es la intersección no vacía con un plano paralelo al plano que contiene a la base. Toda sección transversal de una pirámide es semejante a la base.

221

Elementos Fundamentales de la Geometría

Si h es la altura de la pirámide y k es la distancia del vértice a la sección transversal, y si A es el área de la base y A’ el área de la sección transversal, entonces:

k h

A' ⎛ k ⎞ =⎜ ⎟ A ⎝h⎠

2

Además, si la base de la pirámide es un polígono regular y l y l’ son las longitudes de los lados de la l' k base y la sección transversal respectivamente, entonces = . l h PRINCIPIO DE CAVALIERI Dados dos cuerpos sólidos y un plano. Supongamos que todo plano paralelo al plano dado que interseca a uno de los dos cuerpos, interseca también al otro y las secciones transversales tienen igual área, entonces los cuerpos tienen el mismo volumen. Basados en este principio se obtienen las fórmulas para el volumen de diversos cuerpos sólidos: pirámides, conos, esfera, etc. Los resultados son los siguientes: VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

1 ⋅ Ab ⋅ h 3 Ab: área de la base

V=

h: altura

ÁREAS: Únicamente hay fórmulas para las pirámides regulares.

AL =

1 ⋅P⋅a 2

AT =

1 ⋅P⋅a + Ab 2

donde P: perímetro de la base a: apotema de las caras laterales

PIRÁMIDE TRUNCADA O TRONCO DE PIRÁMIDE Es el sólido que resulta cuando una pirámide es cortada por un plano paralelo a la base. Si AB es el área de la base de la pirámide original, Ab el área de la sección transversal que forma la otra base, h la altura del tronco de pirámide (distancia entre los planos que contienen las bases) y a es la altura de los trapecios que forman las caras laterales, se tiene:

222

a

h

Elementos Fundamentales de la Geometría

1 h [AB + Ab + AB Ab ] 3 1 (P + P’) ⋅ a Area Lateral: AL = 2 1 Area Total: AT = (P + P’) ⋅ a + AB + Ab 2 Donde P y P’ son los perímetros de las bases.

Volumen:

V=

Si consideramos la pirámide “original” y la pirámide que “quitamos” para formar un tronco de cono, se obtiene la siguiente relación:

k H h

Si H es la altura de la pirámide original, k es la distancia del vértice a la sección transversal y si h es la altura del tronco de cono, entonces si V es el volumen de la pirámide original y V’ el volumen de la pirámide que se quita: 3

V' ⎛ k ⎞ =⎜ ⎟ V ⎝ H⎠ El volumen del cono truncado es la diferencia V – V’

EJEMPLO 6 Determine el volumen de una pirámide de base triangular regular si su altura es 20 cm. y la arista de la base mide 15 cm. 1 ⋅ Ab ⋅ h 3 Por ser la base un triángulo equilátero se tiene

Tenemos que V = h

3 2 3 l = (15) 2 = 97.43 cm2 4 4 1 Luego V = (97.43) (20) = 649.52 cm3 3 Ab =

a

223

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 7 En una pirámide cuadrada, en la que el lado de la base mide 8 cm. y la altura mide 20 cm., se traza una sección paralela a la base a 14 cm. de ésta. Determine el área de la sección transversal y el volumen de la pirámide truncada resultante. Sea A’ el área de la sección transversal y A el área de la base de la pirámide. Tenemos A = 82 = 64 cm2

6 20 14

Dado que la sección transversal se encuentra a 14 cm. de la base, su distancia al vértice será k = 20 – 14 = 6 cm. 2

Se tiene

8

2

A' ⎛ k ⎞ ⎛ 6 ⎞ 2 = ⎜ ⎟ ∴ A’ = ⎜ ⎟ ⋅ 64 = 5.76 cm A ⎝h⎠ ⎝ 20 ⎠

El volumen del tronco de pirámide está dado por 1 1 V = h’ [AB + Ab + A B A b ] = (14) [64 + 5.76 + (64) (5.76) ] = 415.15 cm3 3 3 También puede hallarse como la diferencia entre el volumen de la pirámide original menos el volumen de la pirámide pequeña que se forma. 1 1 V = (64) (20) – (5.76) (6) = 415.15 cm3. 3 3

EJEMPLO 8 Se da un tetraedro regular (sólido con cuatro caras triangulares equiláteras). Si su área total es 64 cm2 encuentre la longitud de su arista, la altura y el volumen. A

C D

Por ser un sólido de cuatro caras triangulares equiláteras tenemos: AT = 4 AΔ = 64 ∴ AΔ = 16 cm2 AΔ =

O

16 ⋅ 4 3 2 8 l = 16 ∴ l2 = ⇒l= 4 4 3 3

En este caso l es la arista. B A

Consideremos la cara formada por el triángulo ABC. Sea E __

B

E

C

el punto medio de BC . Por ser un triángulo equilátero AE es una altura, luego 3 3 8 l = AE = ⋅ = 443 2 2 43

224

Elementos Fundamentales de la Geometría

A

Consideramos el triángulo AOE. Al aplicar el teorema de Pitágoras, resulta

h

O

B

(4 4 3 ) 2 − (

AE2 − OE 2 =

h= E

4 4 3 2 8 4 12 ) = 3 3

D

Al considerar el triángulo BDC, vemos que el pie de la perpendicular de la altura del tetraedro AO coincide con el baricentro del ΔBDC, luego

O

OE =

E

44 3 1 1 DE = AE = 3 3 3

C

Por ser una pirámide V =

⎛ 8 4 12 ⎞ 1 1 ⎟ = 26.47 cm3 AB h = ⋅ (16) ⎜ ⎜ 3 ⎟ 3 3 ⎝ ⎠

Nota: El volumen de un tetraedro regular también puede hallarse directamente mediante la fórmula: V = 0.1178 a3, donde a es la arista, que se obtiene al realizar estos cálculos para un tetraedro regular cualquiera de lado a.

EJEMPLO 9 Determine el área lateral de una pirámide regular de base hexagonal, si su altura es 12 cm. y la arista de su base mide 8 cm. SOLUCIÓN Al considerar el triángulo formado por el vértice de la pirámide, el centro y un vértice de la base, tenemos: V OV = h = 12 cm. (Dato)

V 12 cm.

OA = 8 cm. (Por ser la base de la pirámide un hexágono regular)

O A

B A

8 cm.

O

La arista de la pirámide AV, la obtenemos al aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo AOV: AV =

12 2 + 8 2 =

208

Las caras laterales son triángulos isósceles, luego la altura de las mismas, o sea la apotema de la pirámide, la encontramos aplicando también el Teorema de Pitágoras: V

208

h A

h=

208 − 4 2 = 192

B

4 cm. Dado que esta pirámide tiene seis caras, el área lateral buscada es: ⎡1 ⎤ AL = 6 ⎢ ⋅ 8 ⋅ 192 ⎥ ≈ 332.55 cm 3 2 ⎣ ⎦

225

Elementos Fundamentales de la Geometría

3. 8. CILINDROS Y CONOS CIRCULARES DEFINICIÓN: CILINDRO CIRCULAR Sean E1 y E2 dos planos paralelos, R una región circular en E1 y L una recta que interseque a E1 y E2. Por cada punto P de R sea PP' un segmento paralelo a L y que una el punto P con un punto P’ de E2. El sólido formado por la unión de todos los segmentos PP' se llama cilindro circular. Si L ⊥ E1, entonces el cilindro se llama cilindro circular recto. Los conceptos de altura y sección transversal son similares a los correspondientes para prismas.

E1 E1 h

h r

r E2

DEFINICIÓN: CONO CIRCULAR 2 Sean R una región circular en un plano E y V unEpunto que no está en E. El cono circular con base en E y vértice V es el sólido formado por la unión de todos los segmentos VQ para los cuales Q pertenece a R. La altura h del cono es la distancia de V a E. Si el pie de la altura coincide con el centro de la base, se le llama cono circular recto. En un cono circular recto el segmento que une el vértice con un punto de la circunferencia de la base se llama generatriz. Generalmente se denota por g. Por el teorema de Pitágoras se tiene g2 = h2 + r2, siendo h la altura y r el radio del cono.

h

g

h

r

r

VOLÚMENES Y ÁREAS DE CONOS ◊ Para un cilindro circular de radio r y altura h, tenemos . Volumen:

V = Ab⋅ h = π r2 h

Su área lateral será un rectángulo en el caso del cilindro circular recto o bien un paralelogramo en el caso de un cilindro circular oblicuo, de base la longitud de la circunferencia y altura h. En ambos casos se tiene: Área Lateral: A L = 2 π r h.

Área total: A T = AL + 2Ab = 2 π r h + 2 π r2

◊ Para los conos en general, su volumen está dado por:

226

V=

1 1 Ab ⋅ h = π r2 h. 3 3

Elementos Fundamentales de la Geometría ◊ Para un cono circular recto, su área lateral está formada por un sector circular, cuyo radio es la generatriz del cono y la longitud del arco corresponde a la circunferencia de su base. Luego

g

AL = π r g , donde g =

2

h +r

2

AT = AL + AB 2πr

CONO TRUNCADO: Es el sólido que resulta cuando un cono es cortado por un plano paralelo a la base. 1 π h ( R2 + r2 + Rr) 3 AL = π g (R + r) AT = AL + π (R2 + r2)

V=

r g

2πr

h

g

h 2 + (R − r) 2

g=

R 2πR

k H h

V’

H

V

k

V' ⎛ k ⎞ =⎜ ⎟ V ⎝ H⎠

3

El volumen del cono truncado también puede hallarse como la diferencia de volumen entre el cono original y el que se quita para formar el tronco de cono VTC = V – V’

3. 9. ESFERA 3.9.1. CONCEPTOS GENERALES SUPERFICIE ESFÉRICA: Sea P un punto en el espacio tridimensional y sea r un número positivo. La superficie esférica con centro P y radio r es el conjunto de todos los puntos del espacio que están a la distancia r del punto P. También se le llama radio a todo segmento que une P con cualquier punto de la superficie esférica. ESFERA: Es el cuerpo sólido formado por una superficie esférica y los puntos de su interior. Es decir el conjunto de todos los puntos del espacio que están a una distancia menor o igual a r del punto P.

227

Elementos Fundamentales de la Geometría PLANOS TANGENTES Y PLANOS SECANTES A UNA ESFERA

π

P

Un plano π es tangente a la esfera E, si π ∩ E = {P}. El punto P es el punto de tangencia. ___

C

Tenemos que PC = R, PC ⊥ π , donde C es el centro de la Esfera.

E

Si d (π, C) > R, entonces π ∩ E = φ, pero si d (π, C) < R, el plano π es un plano secante a la esfera y la intersección es un círculo. Si C es el centro de la esfera y O es el centro del círculo de intersección, se ___

tiene OC ⊥ π.

π O C E ALGUNAS PROPIEDADES: ◊ Un plano perpendicular a un radio en su extremo es tangente a la superficie esférica y viceversa, todo plano tangente es perpendicular al radio trazado por el punto de tangencia. ◊ Si un plano interseca al interior de una superficie esférica (o esfera) entonces la intersección es una circunferencia (o círculo). En este caso decimos que el plano es secante. ◊ El centro de la circunferencia de intersección es el pie del segmento perpendicular desde el centro de la esfera al plano. ◊ Si el plano pasa por el centro, se obtiene la circunferencia máxima de la circunferencia esférica, la cual tiene el mismo radio y el mismo centro de la superficie esférica.

ÁREA Y VOLUMEN DE UNA ESFERA. Se puede probar a partir del principio de Cavalieri que para una esfera de radio R, su volumen V y área de la superficie esférica S están dada por: V=

4 πR3 3

y

S = 4 π R2

Veamos como se obtiene la fórmula del volumen: t s

r

Consideremos una sección transversal a la distancia s del (1) centro, de radio t. Su área es As = π t2 (2) Por el Teorema de Pitágoras se tiene t2 = r2 – s2 Luego sustituyendo (2) en (1) As = π (r2 – s2) = π r2 – π s2 (3)

228

Elementos Fundamentales de la Geometría

Pero (3) corresponde al área de una corona circular con radio exterior r y radio interior s Si tomamos un cilindro circular recto de radio r y altura 2r, al extraer dos conos como se muestra en la figura, tenemos que las generatrices de dichos conos tienen una inclinación de 45º, luego el radio interno de la sección transversal que se forma a una distancia s del centro, es igual a s.

s r

r s r

Por tanto el área de la sección transversal a una distancia s del centro sólido resultante será A = π r2 – π s2 lo que es igual al área de la sección transversal correspondiente de la esfera. Luego por el principio de Cavalieri, el Volumen de la esfera es igual al volumen del sólido resultante: 1 2 4 V = π r2 (2r) – 2[ π r2 (r)] = 2π r3 – π r3 = π r3 3 3 3

3.9.2. REGIONES ESFERICAS

◊ Cuando un plano secante corta a una esfera se forman dos sólidos llamados segmentos esféricos de una base. Si consideremos la superficie esférica en lugar del sólido, cada parte recibe el nombre se casquete esférico o zona de una base. ◊ Si la esfera es cortada por dos planos secantes paralelos, la parte de la esfera limitada por dichos planos recibe el nombre de segmentos esféricos de dos bases. De manera similar si consideremos la superficie esférica en lugar del sólido, la superficie limitada por los planos recibe el nombre se zona de dos bases. ◊ Si consideramos dos semicírculos máximos con el diámetro común, se forma el sólido llamado cuña esférica. La superficie esférica correspondiente se llama huso esférico. ◊ Si consideramos tres puntos sobre la superficie esférica, unidos por tres arcos de circunferencia máxima cuyas longitudes sean menores que una semicircunferencia, se forma un triángulo esférico. ◊ Una cápsula esférica es un cuerpo sólido limitado por dos superficies esféricas concéntricas. ◊ La distancia esférica entre dos puntos, se define como la longitud del menor arco de círculo máximo que une dichos puntos. ◊ Un ángulo esférico es el ángulo diedro determinado por dos semicírculos máximos.

p h O

b

a h R

ZONA Y SEGMENTO DE UNA BASE S = 2πRh = π p2 1 V = πh2(3R – h) 3 1 V= πh(3a2 + h2) 6

θ

a

ZONA Y SEGMENTO DE DOS BASES S = 2πRh

HUSO ESFERICO Y CUÑA ESFERICA

1 V = πh(3a2 + 3b2 + h2) 6

S=

πR 2 θº 90º

V=

πR 3 θº 270º

229

Elementos Fundamentales de la Geometría

EJEMPLO 10

Determine el diámetro de una esfera si su volumen y superficie tienen igual valor. 4 Solución: Tenemos d = 2 r, V = π r3 y S = 4π r2. Igualando las expresiones para V y S, resulta: 3 4 3 π r = 4π r2 → r3 = 3 r2 ∴ r = 3. Luego d = 2 r = 2(3) = 6 3

EJEMPLO 11 Se tiene un cilindro circular recto de 30 cm. de altura y 12 cm. de diámetro. Se perfora un agujero a lo largo de su eje con diámetro 9 cm. Determine el volumen del sólido resultante. El volumen buscado es la diferencia del volumen del cilindro original menos el volumen del cilindro que representa el agujero. Tenemos: Vcilindro= π r2 h; h1 = h2 d1 = 12 ∴ r1 = 6, d2 = 9 ∴ r2 = 4.5 Luego V = π(6)2 (30) – π(4.5)2 (30) = 1484.4 cm3

EJEMPLO 12 Dado un cono recto de radio r = 3 m y generatriz g = 5 m. Determine su volumen y su área lateral.

g

h

1 π r2 h y h = 3

Tenemos V = Luego h =

r

52 − 32 = 4 y V =

g2 − r 2 . 1 ⋅π⋅(3)2 (4) = 12π u3 3

AL = π r g = π (3) (5) = 15π u2

EJEMPLO 13 Un cilindro recto está inscrito en una esfera de radio 4 cm. La altura del cilindro es igual al diámetro de la base. Hallar el volumen del cilindro.

A

B

A

C

D

C

B

D

Al realizar un corte a través de un diámetro del cilindro, encontramos que se forma un triángulo rectángulo BCD con el diámetro de la esfera como hipotenusa. Como d = CD, h = BD y d = h, el triángulo BCD es también isósceles, 2 BC = 4 2 y r = 2 2 , luego d=h= 2 V = π r2 h = π (2 2 )2(4 2 ) = 142.17 cm3

EJEMPLO 14 En un recipiente esférico de 10 cm. de radio se vierte un líquido que alcanza una altura de 4.311 cm. Encuentre el volumen del líquido.

230

Elementos Fundamentales de la Geometría

SOLUCIÓN Dado que los líquidos por sus propiedades toman la forma del recipiente que los contiene, se forma un segmento esférico de una base, cuyo volumen está R

dado por V = h

1 2 π h ( 3R − h) .Luego al introducir los datos dados, se obtiene 3 1 V = π (4.311)2 (3⋅10 – 4.311) ≈ 500 cm3 3

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular son 12, 4 y 7. Determine su volumen y su área total. 2. La diagonal de un paralelepípedo rectangular es 14.5 m; las dimensiones del paralelepípedo son proporcionales a 3, 6 y 7. Calcular el volumen. 3. El volumen de una caja es 6.48 decímetros cúbicos. Su longitud es de 30 cm.; su altura es igual a los 2/3 de su anchura. Calcular la superficie total. 4. La densidad del plomo es 11.35 Kg. / dm3. Calcular la arista de un cubo de plomo cuyo peso es 1 kg. 5. Dado un cubo cuya diagonal mide 16 3 , determine su volumen y su área total. 6. Calcular el volumen, área lateral y el área total de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 12 cm. de radio y 16 cm. de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 9 cm. de la base. 7. Hallar el volumen de un prisma recto de altura 10 cm. si sus bases son triángulos equiláteros con área 9 3 cm2. Determine la arista de la base y el área lateral. 8. Hallar el volumen de un prisma recto de altura 4 cm. si sus bases son hexágonos regulares y el área lateral es 144 cm2. 9. La altura de un prisma rectangular es 1/3 de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la diagonal del prisma mide 60 cm. Hallar su volumen.

10. Hallar el volumen de un prisma recto cuyas bases son regiones trapezoidales, si las aristas paralelas de las bases miden 4 y 9 y las no paralelas 5 y 6. La altura del prisma es 12. 11. Un prisma recto hexagonal regular tiene una altura de 1 decímetro y una superficie total de 3 dm2. Este prisma es de estaño, cuya densidad es 7.29 Kg./ dm3. Calcular el volumen y el peso del sólido. 11

12. Las bases del prisma de la figura son triángulos equiláteros y sus caras son regiones rectangulares. Si la longitud de una arista de la base es 6 y la altura del prisma es 10, calcule el volumen del prisma y la superficie total.

13. La base de un prisma recto es un hexágono regular. Una arista de la base mide 20 cm. de largo y una arista lateral del prisma mide 50 cm. ¿Cuál es el área lateral del prisma? ¿Cuál es su área total? ¿Cuál es su volumen? 14. La densidad del hierro es 7.788 Kg. / dm3. Un cilindro macizo de hierro pesa 120 kg. y su longitud es de 3 m. Calcular su diámetro. 231

Elementos Fundamentales de la Geometría

15. Un cono tiene 87 mm. de diámetro y 1 dm. de altura. Calcular a) su volumen y b) su superficie total. 16. La altura de un cono es de 5 cm. Un plano paralelo a la base lo interseca a 2 cm. de la misma formando un cono pequeño en la parte superior. Si el volumen del cono pequeño es 24 cm3, halle el volumen del cono original. 17. Un cono circular recto tiene 13 cm. de generatriz y el radio de la base es 5 cm. Se corta por un plano paralelo a la base que corta a la generatriz en un punto distante 5.2 cm. del vértice. Hallar el volumen y el área lateral del cono pequeño formado. 18. Determine el volumen y la superficie de una esfera de radio 4 cm. 19. Determine el diámetro de una esfera si su volumen y superficie tienen igual valor. 20. Calcular el volumen de una esfera a) inscrita en un cubo de 1 m. de lado, b) circunscrita en el mismo cubo. 21. Se tiene un cilindro circular recto de 30 cm. de altura y 12 cm. de diámetro. Se perfora un agujero a lo largo de su eje con diámetro 9 cm. Determine el volumen del sólido resultante. 22. Si la superficie de una esfera y un cubo tienen igual área y cada una mide 1 m2 ¿cuál de los dos cuerpos tiene mayor volumen? 23. Determine el volumen de una gota esférica, cuyo radio mide 0.2 mm P 24. Si la diagonal de un cubo es 10 3 ¿cuál es su volumen? ¿Cuál es el área total? 25. La figura representa un cubo. M y N representan los puntos medios de dos aristas adyacentes, Si la longitud de cada arista es x, ¿Cuál es el volumen de la pirámide PMNQ?

N M

Q

26. Calcular el volumen de la gran pirámide de Keops en Egipto, cuya base es un cuadrado de 230 m. de largo y cuyas caras son triángulos equiláteros. 27. El techo de la torre de una iglesia tiene que ser renovado. El techo tiene la forma de una pirámide regular con base cuadrada de 49m2 y una altura de 14.5m. Calcular los costos para renovar el techo, si la reposición de 1 m2 cuesta $25. (materiales y mano de obra) 28. El agua de lluvia es recogida en un pluviómetro que tiene forma de pirámide cuadrangular regular invertida. El agua recogida un día de lluvia alcanzó una altura de 9 cm., formando una pequeña pirámide de 15 cm. de arista lateral. ¿Cuál es la altura alcanzada por el agua al verterla en un depósito cúbico de 50cm de arista? 29. Calcular el volumen de una pirámide truncada que se forma cuando se corta una pirámide cuadrangular regular de altura 8 m. y arista de la base 4 m. por medio de un plano paralelo a la base de la pirámide y que la corta a 2 m. del vértice. 30. Una pirámide cuadrada se inscribe en un cono circular de manera que tengan el mismo vértice y la base de la pirámide queda inscrita en la base del cono. La altura común es 18 cm. y la longitud de un lado del cuadrado es 15 cm. Determine el volumen del cono y la pirámide. 31. Las dos bases de una pirámide truncada miden 8 m2 y 2 m2. Calcular el lado de la base de un prisma equivalente que tenga la misma altura y una base cuadrada.

232

Elementos Fundamentales de la Geometría

32. Se desea excavar un pozo cilíndrico de diámetro 2 m. a) ¿cuántos metros cúbicos de tierra se deberán sacar, si el pozo debe tener una profundidad de 12 m.? b) ¿cuántas veces será necesario cargar un camión, si en el mismo caben 3 m3 de tierra? 33. Una crayola debe tener 8 cm. de largo, 1 cm. de diámetro. Su forma debe ser la de un cilindro circular con una pequeña punta cónica. Encuentre la longitud de la parte cilíndrica y la altura del cono, si la crayola contiene 5 cm3 de cera. 34. Un depósito tiene la forma de un cono truncado cuya altura es 1.5 m. El radio en el fondo es 0.6 m. y en la parte superior es 1.5 m. Calcular la altura a la cual se eleva el agua, si se vierten 2 m3 de agua.

35. C En la figura, la esfera queda inscrita en un cono circular recto. AB es un diámetro de la base y C es el vértice del cono. El triángulo ABC que se forma es equilátero. Determine el volumen del cono, si el radio de la esfera es 10 cm. A 36.

B La altura de un cono circular recto es 16 y el radio de la base es 7. Se le taladro un agujero de diámetro 3 a lo largo de su eje, resultando un cuerpo sólido como el que se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen de ese cuerpo sólido?

37. Se desea construir un tubo en forma de cilindro hueco de 2 cm. de espesor. Si el radio interior ( de la parte hueca) es 0.5 cm. y el tubo tiene 1.2 m de longitud, calcular la cantidad de material necesario. 38. Se quiere construir un barril cilíndrico cerrado, con una altura de 4 pies y un área de superficie total de 10π pie2. Determine el diámetro del barril. 39. Una bobina está hecha con tres cilindros con bases concéntricas como se muestra en la figura. Los cilindros de los extremos tienen un radio de 10 cm. y altura 2 cm. cada uno. El cilindro interior tiene por radio la mitad del radio de los anteriores y altura 20 cm. Calcular el volumen de la bobina.

4 x

40. Se corta un cubo pequeño en una de las esquinas de un cubo más grande, obteniéndose el sólido que se muestra en la figura, cuyo volumen es 208 m3 . ¿Cuánto mide la arista del cubo grande?

233

Elementos Fundamentales de la Geometría

SOLUCIONES 1. V = 336 AT = 320 2. 421.33 m3

3. 22.32 dm2 4. 0.444 dm

5. V = 4096 AT = 1536

6. 2,210.7cm , 609.66 cm y 1,148.64 cm . 7. V = 90 3 cm , l = 6 cm. , AL = 180 cm2 8. 374. 12 cm3 9. 22,670.55 cm3. 10. 374.4 u3. 11. V = 0.37 dm3. P = 2.697 Kg. 12. V = 155.88, A T = 211.18 13. AL = 6000 cm2 AT = 8078.46 cm2 V = 51,961.52 cm3 14. 0.8086 dm 15. V = 198.16 cm3 AL = 149.03 cm2 AT = 208.47 cm2 17. V = 20.1 cm3 18. V = 268.08 cm3 S = 201.06 cm2 19. d = 6 16. V = 111.11 cm3 3 3 20. a) 0.5235 m b) 2.72 m 21. V = 1484.4 cm3 22. La esfera 23. 0.03351 mm3 3 27. $5,220.75 28. 0.3456 24. V = 1000, AT = 600 25. x /24. 26. 2, 867,789.4 m3 29. 42 m3 30. 2,120.6 cm3 y 1,350 cm3. 31. 2.16 m. 32. a) 37.7 m3 b) 13 veces 33. 5.55 cm. y 2.45 cm. 34. 0.847 35. 3000π cm3 36. 724.06 u3 37. 720 π cm3 38. 2 pies. 39. 900 π cm3 40. 6 3

2

2

3

234

cm.