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MÓDULOS BÁSICOS PARA REALIZAR TALLERES DE GEOMETRÍA CON ORIGAMI ORIGAMI MODULAR ORIGAMI MODULAR (también llamado unit origami en inglés) - Una técnica de plegado de papel que utiliza múltiples hojas para crear estructuras complejas que a menudo no pueden obtenerse con un solo pliego. Cada cuadrado (o rectángulo, o triángulo) de papel se dobla creando módulos o unidades que luego se montan en formas planas o tridimensionales insertando aletas en bolsillos creados durante el plegado. La fricción del papel mantiene las aletas en su sitio y da estabilidad al modelo.

ORIGAMI MULTI-MODULAR es el que requiere más de un tipo de módulo para la realización de una pieza. La condición sigue siendo la repetición de los módulos, que a veces cumplen funciones decorativas o de bisagras o elementos de acople. ORIGAMI MATEMÁTICO - A menudo confundido con el origami modular porque este último produce sobre todo estructuras geométricas y poliedros, el origami matemático utiliza un solo pliego de papel en el que se calculan antes del plegado los dobleces que serán necesarios para producir una figura o modelo (llamado en inglés crease pattern). ORIGAMI PLANO - Incluye plegados a partir de una hoja de papel y modulares como los anillos y los mosaicos (o quilts) que se producen con técnicas diferentes.

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TESELADOS: Un pliego de papel (generalmente grande, fino y con transparencia (como nuestro papel barrilete) se marca con una serie de dobleces que al producirse el plegado resultan en una retícula con repetición geométrica • CORRUGADOS: Técnica que mediante pliegues en valle y monte crea superficies geométricas en 1 hoja de papel. • PLISADOS: Al igual que las dos anteriores, parte de una grilla en valles y montes para crear hermosos objetos. Paul Jackson la utiliza para sus plegados orgánicos. •

MOSAICOS o QUILTS: Un estilo de origami modular que combina unidades semejantes sobre el plano produciendo un efecto de repetición •

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ANILLOS - ORIGAMI CONCÉNTRICO: Son piezas modulares que producen anillos de 6, 8, y más módulos. Una subcategoría de este tipo es el teabag origami (origami con bolsitas de té). • ORIGAMI CON TIRAS DE PAPEL: Existen actualmente varias técnicas que emplean tiras de papel para realizar origami: entrelazados, snap, nudología y al parecer el tema no está agotado aún... •

KUSUDAMAS: Hay quienes consideran a los kusudamas los antecedentes históricos del origami modular. Se trata de bolas construídas con caras individuales que se montan o pegan entre sí. Son generalmente cubos o dodecaedros y se destacan por ser extraordinariamente decorativas. Yo no he tocado más que la superficie de esta especialidad, pero aqui van referencias a varios sitios que tienen mucha información e instrucciones detalladas. •

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EL MÓDULO SONOBE - SONOBE MODULE

1. Plegar mediana y desplegar 2. Plegar los dos laterales al centro (sin superponer!) y desplegar 3. Plegar las dos esquinas y volver a llevar los laterales al centro (¡ATENCIÓN CON LA PARIDAD! todos deben ser plegados con las mismas esquinas) 4 Plegar las esquinas en 45º y guardar las puntas bajo las solapas 5. Queda así. 6. Este es el plegado que se necesita para hacer el cubo de 6 sonobes

1. Fold the middle line and unfold 2. Fold the edges to the middle line and unfold. Don't overlap! 3. Fold both corners and refold edges to the center (BEWARE THE PARITY! all must be folded with the same corners) 4 Make 45º folds in the corner and tuck under previous folds 5. Looks like this. 6. Fold it this way to make the small cube (6 modules)

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OTRAS FORMAS DE PLEGARLO OTHER FOLDING SEQUENCES

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Algunas formas de plegarlo Some ways to fold it

Cristal o hexaedro (x 3) Toshie Jewel (x 3)

Cubo chico (x 6) Small cube (x6)

Cubo mediano (x 12) Cube (x 12) Nota: Todos estos plegados corresponden al montaje externo (bolsillos hacia afuera). Invirtiendo la dirección de los pliegues pueden construirse piezas con caras lisas (montaje interno) excepto por el cristal.

Cubo grande (x 24) Large cube (x 24)

Otros poliedros (stellados) (x 12 = octaedro) - (x 30 = icosaedro) Stellated Polyhedra

Note: All these folds correspond to the outward assembly (external pockets). Inversion of folds allow construction of plain face pieces (inside pockets) except for the crystal.

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EL MÓDULO PHizz o ZIG ZAG de Thomas Hull - THE PHIZZ MODULE ____________________________________________

Doblar la esquina en 45º. Trabajar siempre con la misma lateralidad para que los módulos puedan encastrarse. Valley fold corner. Always use the same parity, otherwise they will not join in assemby.

Plegar el cuadrado en acordeón. Comenzar con el color hacia arriba. Fold the square in zig-zag

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Doblar la otra parte formando un triángulo. Valley fold the other end forming a triangle

Plegar la 'pata' larga hacia arriba para que quede a ras del borde del triángulo. Fold the long end up getting it flush with the triange

Seguir doblando como se indica, formando un nuevo pliegue de 45º. Now fold it down making a new 45° corner

Finalmente, doblar el resto en monte. Se obtiene un plegado que parecen dos montañitas. Finish it with a mountain fold of the last bit. It looks like two peaks.

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Forma de montaje. Es un ensamble notablemente estable y sólido. Assembly: Tuck in until the peak edges coincide. Tres módulos constituyen una cúspide. Three modules form a vertex

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Five vertex make a pentagon (for the dodecahedron). Six lie flat and are used for buckyballs and torus.

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Dodecaedro - 30 módulos Dodecahedron - 30 units

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MÓDULO ANGULAR DE 60º PARA CONSTRUIR TETRAEDROS Y OTROS POLIEDROS CON CARAS TRIANGULARES 60° ANGULAR UNIT TO BUILD TETRAHEDRA AND OTHER POLYHEDRA WITH TRIANGULAR FACES Diagrams by Jim Plank, adapted to bilingual version. ____________________________________________

Puede plegarse a partir del cuadrado o cualquier rectángulo. Lo que varía es el ancho de la arista. Para los tetraedros entrelazados debe usarse un rectándulo de 1:3 May be folded from a square or any rectangle. That modifies the width of the edge module. The FIT requires 1:3 rectangles.

Plegar por la mitad. Valley fold in half.

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Plegar las dos alas hacia el centro. En los módulos angulares es esencial la precisión en los pliegues. Valley fold both edges to the center. Angular modules require ACCURACY!!!

En una de las alas hacer una marca a la mitad. Repetir del otro lado. ATENCIÓN: debe hacerse siempre con la misma ala para que funcione la simetría.. Make a short crease in the middle of one wing. Keep doing it always on the same corner for the symmetry, or parity to work.

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Llevar el vértice opuesto hasta la marca uniendo los puntos Valley fold the opposite corner to the crease, bringing both points together.

Abrir. Y repetir en la otra punta. Open and repeat at the other end.

Plegar el otro vértice sobre el anterior como se indica. Este pliegue con forma de escuadra de 30-60º es típico de los módulos de 60º (angulares, triangulares y otros). Fold the second corner as indicated. What you get are 301-60º angles in a triangle typical of angular and triangular modules.

Donde está la flecha hay que invertir o hundir el pliegue para crear el bolsillo. Arrow: sink or invert the fold to create the pocket.

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Y en el vértice opuesto (aleta) hay que doblar por la mitad y desdoblar.

Repetir todas las operaciones en el otro extremo.

And fold the other corner in half to create the lock of the tab.

Repeat these folds at the other end.

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Forma de montaje

Doblar al centro marcando la arista.

Assembly.

Fold in half to reform the edg.. Agregando el 3er módulo y cerrando el vértice sobre sí mismo se forma el vértice del tetraedro. Este módulo tiene buen encastre y en general no requiere de encolado. Sin embargo para el armado del entrelazado de 5 tetraedros, ayuda garantizar la estabilidad de las piezas para que no se desintegren cuando las estamos entretejiendo. Add the 3rd module and close the vertex on itself to start the tetrahedron. The fit of this module is good and it doesn't need glue normally. Overcreasing of the tab may require a point of glue, because then it's apt to slip out of the pocket. The FIT or other complex combinations may also want glue...

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http://origami-modular.blogspot.com

MÓDULO RIZADO O ENCARACOLADO CURLER OR TWIST MODULE ____________________________________________

Comenzar a enrollar las puntas. El ángulo de enrollado debe producir un cono. Ayuda utilizar un palito de brochette o elemento similar, sobre todo para

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asegurar la punta. Plegar la base bomba o triangular. Fold the waterbomb base as indicated.

Start curling up the wings. You're trying to get a cone of sorts. And notice the direction of the curls. All must be clockwise, or counterclockwise. Help yourself with a thin sitck or needle, especially to get good points.

Como puede verse, todas las puntas deben enrollarse en la misma dirección y modelarse hasta que el papel 'recuerde' quedar bien enrollado. Here's a view of how the curls go in the same direction. Roll and unroll until the paper 'remembers' the curl.

Para unir dos módulos hay que estirar dos puntas y volver a enrollarlas juntas. To join unroll two points and roll them back together.

Para la construcción de este modelo en particular (cuboctaedro de 12 unidades) hay que formar 4 triángulos -uniendo 3 módulos-. Los cuadrados resultan de unir dos triángulos, enrollando en el centro un total de 4 aletas.

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Ver el mapa en la próxima ilustración. Dos módulos unidos. Here's two joined modules.

Detalle de la estructura del triángulo: las aletas laterales se unen de a dos, y queda una simple intercalada. The structure of the triangle: At the center, 3 tabs rolled up together, and then join the remaining tabs in twos with a single one in between.

To build the Cuboctahedron (12 units) you first join 4 triangles. The squares result from joining 2 triangles together (4 curled tabs together). See map in the next image.

Mapa del armado del cuboctaedro: formar 4 triángulos con los 12 módulos y luego unirlos sumando 2 + 2 (conformando el centro del cuadrado) y 1 + 1 + 1 (con las aletas sueltas, conformando el centro de un nuevo triángulo) Map of Cuboctahedron assembly: Join the 4 triangles you've made adding 2 + 2 tabs, thus forming the center of the square. The single tabs are joined 1 + 1 + 1, and become the center of a new triangle.

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Otro método de montaje donde todas las uniones contienen 3 aletas (cuboctaedro)

Esquema del cuboctaedro terminado. Puede usarse papel de impresora común (70 gr) o papel afiche (más fino, pero firme).

This is another possible way of joining the triangles with all 3-tab unions. Perhaps it's an octahedron?

The finished octahedron. Any paper with good memory, like printer 70 gr or lighter

MÓDULO FÁCIL DE 45º Easy Angular Module 45º

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Este cubo está construído con 6 módulos azules y 6 módulos estampados. This cube has been made with 6 blue modules and 6 patterned

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Los pasos a seguir son: 1. Plegar el cuadrado por la mitad y llevar alas hacia el centro 2. Queda así (como para un sonobe) 3. Plegar las 4 esquinas a 45º (hacia el centro) 4. Invertir el pliegue en 2 esquinas opuestas diagonalmente, como indica la flecha. 5. El módulo terminado. Según

Steps to fold: 1. Valley fold square and valley fold halves to the center 2. It looks like this (like the start of a sonobe) 3. Fold the 4 corners in 45º towards the center 4. Fold in the corner in 2 diagonal opposites diagonalmente, as shown with the arrow. 5. Finished module. Depending

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qué se vaya a armar debe plegarse a lo largo del eje central en monte o en valle, o dejarse plano.

on the model, it may be left flat, or folded in valley or mount.

Módulo terminado y dos módulos unidos (con cola) Finished module and 2 assembled modules (glued together)

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ESTRELLA TESS TESS

STAR

Esta estrella no es modular. La aprendí de Meri Affranchino hace unas semanas y su origen es confuso. Hay un diagrama, posiblemente japonés o chino, de pésima visibilidad. Como me olvido fácilmente de los modelos sin referencias, una vez más hice instrucciones (con la ayuda de las fotos de Anita Zaltz) para no olvidarla. Si alguien puede aportar datos sobre autor y

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origen, se agradecerá... El nombre que le dí se debe a que la técnica de plegado es similar a la de los teselados. This isn't a modular star. I learned it from Meri Affranchino a few weeks ago and its provenance is not clear. There's a diagram, Japanese or Chinese, very blurry. Since I tend to forget models without reference, once again I made instructions (with Anita Zaltz's helpful photos) to remember it. I'll be grateful if someone can offer information on authorship and origin. The name I gave it refers to the folding technique, similar to that of tessellations.

Estos son los pliegues preparatorios que hacen falta: diagonales, medianas y cuartos. DAR VUELTA These are the preparatory folds you'll need: diagonals, halfs and quarters. TURN OVER

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Hacer los pliegues diagonales que se indican. Repetir en las 4 esquinas.

Se hacen así, 4 veces. DAR VUELTA This is how they're done, 4 times. TURN OVER

Valley fold as indicated and repeat at the four corners.

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Ahora hay que dividir los sectores centrales en octavos, como se ve. Now you must divide the central quarters as shown.

Debe quedar así. . It should look like this.

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Y repetimos la operación en la otra dirección. And repeat the folds in the other direction.

Queda así y con esto terminan los plegados preliminares. DESPLEGAR TODO It looks like this, and this is the end of the pre-creasing. UNFOLD COMPLETELY

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Ahora hay que comenzar a dar forma a las esquinas, disponiéndolas como se indica en montes y valles.

Vista de la esquina con más detalle. Las siguientes fotos muestran cómo debe quedar.

Now start to refold shaping the corner following the valley and mountain folds.

A close up of the corner. The following photos show how to do it.

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Para poder repetir en las otras esquinas es necesario desplegar cada una. Al llegar a la última se colapsan las tres anteriores y se obtiene la forma final, como se ve más abajo. In order to shape the other corners you must first unfold each one. Once you reach the fourth, you can collapse the other three too to get the final shape, as shown below

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El resto es fácil. The rest is easy.

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Primero hay que formar las puntas medias hundiendo los pliegues laterales. DAR VUELTA Start by shaping the middle points sinking the side folds. TURN OVER

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Plegar las 4 puntas de las esquinas.

Y terminar plegando las 4 puntas centrales.

Fold the four corner points.

And finish it folding the four central points.

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Et voilá

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CUBO REVERSIBLE Puzzle Cube (K. Kasahara, Origami Omnibus)

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Este precioso modelo de origami para jugar fue publicado por Kasahara en la página 89 de su Origami Omnibus. Aqui están mis instrucciones complementando sus diagramas. This beautiful Puzzle Cube was published by Kasahara on page 89 of his Origami Omnibus. Here are my own instructions to complement his diagrams.

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USAR PAPEL BIFAZ. Use 2-sided paper

Los pasos a seguir son: 1. Partir de 1/2 cuadrado. 2. Doblar esquina superior en monte e inferior en valle. 3. Plegar el triángulo blanco y

Steps to fold: 1. Start with half a square. 2. Mountain-fold upper corner and valley-fold the lower one. 3. Valley fold the white triangle

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marcar la mediana del triángulo de color. 4. Plegar en valle el triángulo blanco y cerrar introduciendo la mitad de color en el bolsillo lateral para completar un módulo triangular. Hacer 12.

and crease the median of the color triangle (fold/unfold). 4. Fold down the white triangle and close inserting the colored half into the edge pocket to complete a triangular module. Make 12.

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A - Hacen falta 4 triángulos simples y 8

A - Make 4 single triangles and 8 (4

(4 cuadrados) unidos por medio de una bisagra. Mi modelo fue plegado con papel de 15 x 15 cm y esta unión es un cuadrado de 5 x 5 cm. Hay que encolar (según recomienda el propio Kasahara)

squares) joined by a hinge or connector. My model was folded with 15 x 15 cm paper, and the hinge is a 5 x 5 cm square. Must be glued (as Kasahara himself says).

Las otras 8 bisagras tienen la medida y proporción que indica el diagrama.

The other 8 hinges must be made as shown in the diagram.

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Todos los elementos listos para comenzar a armar. All the modules and hinges ready to start assembly.

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Disponer como se muestra. jJoin as shown.

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Y al cerrarlo queda así:

/ Once closed it looks like this:

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AAhora se puede empezar a mover y jugar hasta lograr invertir los colores. NO HAY QUE FORZARLO, es maña, no fuerza! Now you can start moving it and playing until you manage to invert the colors. DO NOT FORCE IT, it's a question of skill.

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Et voilá

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OCTAEDRO EN ESCALA SCALED OCTAHEDRON

Este octaedro está construído con módulos en diferentes escalas que forman los vértices. Yo usé 3 elementos de 5, 10 y 15 cm, pero puede hacerse con más (o uno solo). I made this Octahedron with three modules in different scales for the 6 vertex - squares of 5, 10 and 15 cm . You can do it with more or eventually just one.

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Comenzar plegando una base preliminar o cuadrada. Start with a preliminary or square base

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Con la cara que tiene las diagonales en valle, hacer los pliegues adicionales que se indican.

DAR VUELTA y completar el pliegue diagonal en los cuatro cuadrantes..

Make the aditional creases on the side with the valley diagonal folds up.

TURN OVER and crease the other half of the diagonal fold in the four quadrangles.

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Usando los pliegues realizados en los pasos anteriores dar forma a la base preliminar y formar los cuadrantes introduciendo la aleta grisada entre las dos capas superiores.

Debe quedar así. Realizar esta pieza en diferentes escalas. Teóricamente tantas como se deseen para obtener efectos más o menos cerrados. Montarlos calzando uno dentro del otro de mayor a menor.

Form the preliminary base using the creases of the It should look like this. Fold this module in previous steps and secure the 4 quadrangles tucking the different scales, as many as you like to produce flap between the triangular folds above. a more or less thick effect. Assemble tucking one into another from larger to smaller.

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Elemento de conexión. Hacen falta 12. La medida (a) corresponde a la arista (a) indicada en el módulo terminado (el más grande), Connecting strut. Make 12. (a) corresponds to the size of edge (a) indicated in the finished module (the largest one).

Todos los elementos listos. All ready to start assembly.

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Introducir 4 conectores en un módulo. Fit 4 connecting struts into one module.

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Agregar los siguientes elementos como se ve. Add the next elements as shown.

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Et voilá

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Ss

OCTAEDRO EN ESCALA ANÁLISIS DE MEDIDAS FABIÁN BERINI – MELISA CATRAMADO

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Nuestra intención aquí es poder analizar una particular relación entre las medidas de los papeles cuadrados que se utilizan para la construcción del octaedro en escala. Partiendo de un papel de 10 cm x 10 cm y teniendo en cuenta el diagrama de construcción de uno de sus módulos, se deduce lo siguiente:

1 . La medida de la diagonal D del cuadrado de 10 cm x 10 cm se halla utilizando el Teorema de Pitágoras:

2. La medida de la diagonal d del cuadrado de 5 cm x 5 cm se halla utilizando, nuevamente, el Teorema de Pitágoras:

3. Una medida de importancia para el análisis de esta figura es la correspondiente a la mitad de la diagonal del cuadrado de 5 cm x 5 cm, cuya medida es de 2,5√2 cm.

Cabe destacar que, si se parte de un papel cuadrado de 10 cm x 10 cm, el módulo terminado posee una base cuadrada cuyo lado es de 5 cm (es decir, la mitad del lado del cuadrado de partida).

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Visualizando una de las caras laterales del módulo terminado, se observa lo siguiente:

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Para la construcción del octaedro en escala, es muy importante conocer la medida de cada uno de los papeles a utilizar para que sea posible la superposiciòn de los distintos módulos. En las siguientes fotos es posible observar, que la medida correspondiente a la mitad de la diagonal del papel a utilizar para el armado del módulo de mayor tamaño, debe ser igual a la longitud del lado de la base cuadrada del siguiente módulo.

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¡Una observación! Para la construcción de los distintos módulos, resultará imposible recortar un papel cuadrado de 5√2 cm de lado. Por ello, es necesario utilizar medidas aproximadas. Las fotos corresponden a papeles cuadrados cuyos lados miden respectivamente: 20 cm; 14,1 cm; 10 cm; 7,05 cm; 5 cm.

A continuación presentamos un esquema que muestra las distintas dimensiones que deben tener los papeles a utilizar y la relación que existe entre las medidas de los lados y las diagonales correspondientes. Partimos de un papel cuadrado de 10 cm x 10 cm. (Ver fig. 3).

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Ahora sí… ¿A qué conclusión arribamos?

Partiendo de un papel cuadrado de lado n:  

Si lo que se desea es crear un módulo de mayor tamaño, la medida del papel a utilizar debe coincidir con la medida de la diagonal del cuadrado de partida (n x n). Si lo que se desea es crear un módulo de menor tamaño, la medida de la diagonal del papel a utilizar debe coincidir con la medida del lado del cuadrado de partida (n x n).

Resulta interesante, también, analizar cuál es la “constante de proporcionalidad” que relaciona los lados y diagonales de los cuadrados a recortar. Esto permitirá construir el octaedro en escala partiendo de un papel cuadrado de cualquier tamaño. Retomando la tabla de la fig. 3, puede observarse lo siguiente:

Gggg

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Plegado del hexágono óptimo Escrito por David Dureisseix Viernes 01 de Julio de 2005 Autor: David Dureisseix ( [email protected] ) Para los incondicionales del origami geométrico, presentamos aquí una técnica de plegado de un hexágono regular, de las mayores dimensiones posibles, a partir de un cuadrado de papel: se trata del hexágono óptimo. Por poner unas limitaciones suplementarias, la construcción tiene que ser matemáticamente exacta, con un número limitado de operaciones (sin métodos iterativos) y, por supuesto, lo más sencilla posible. Podemos demostrar, de forma general (ver [1]), que un polígono óptimo cualquiera (de n lados) tiene que ser simétrico respecto de una diagonal del cuadrado de papel inicial. Además, cada lado del cuadrado toca al menos uno de sus vértices, como en la figura 1 en el caso del hexágono (polígono de 6 lados).

Figura 1. Hexágono óptimo

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Figura 2. Versión estrellada Este último también posee una simetría respecto de la otra diagonal, y como los ángulos que intervienen en su construcción son muy particulares, su realización es muy fácil, como podréis descubrir en la figura 3.

Figura 3. Doblado del hexágono óptimo Paso 1: Doblar llevando B a B’ sobre la vertical. Esto nos permite también construir la intersección F del doblez AE con la diagonal BD. Se trata de una técnica clásica para construir un ángulo de π/6 (30 grados). Paso 2: tras dar la vuelta al modelo, se construye la mediatriz de DF al llevar D sobre F.La línea GH es ahora un lado del hexágono óptimo estrellado (se obtiene al unir los vértices de forma alternada, ver figura 2). Ahora, con este lado bien posicionado, se puede obtener el hexágono óptimo. Paso 3: falta completar la construcción para obtener el hexágono que se busca, lo que resulta muy fácil si tenemos en cuenta las simetrías del hexágono regular. Por ejemplo, llevar H sobre la diagonal, en I, doblando por G. Paso 4: doblar GI, HI. Paso 5: sólo resta proceder por simetría respecto de la segunda diagonal para construir el hexágono estrellado. Paso 6: completar el hexágono óptimo. Para aquellas personas que deseen detalles sobre la demostración, presentamos aquí algunos pasos intermedios: en el caso de un cuadrado inicial de lado unitario, la longitud de un

lado del hexágono óptimo es

, siendo la de un lado del hexágono óptimo estrellado

, véase la figura 1. Por otro lado,

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donde,

siendo

, luego,

, de donde se deduce que

Referencias [1] D. Dureisseix, Searching for optimal polygon, application to t

es la longitud de un lado del hexágono óptimo estrellado.

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ss

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Diagrama

Emsamble

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