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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE MEDIO AMBIENTE TECNOLOGIA EN TOPOGRAFIA GEODESIA PARA DUMMIES Preparado por: * Edilberto Niño N. [email protected]

De la definición de la elipse se pueden escribir las ecuaciones (1.1) y (1.2).

CAPÍTULO 1 LA ELIPSE En la figura 1, se muestra un dibujo de una, teniendo en cuenta, dicha figura se puede decir que la elipse es el lugar geométrico de los puntos que cumplen la siguiente relación: PF+PF=2a; donde P es cualquier punto de la elipse, F y F´ son los llamados focos de la elipse ver, figura 1.

B

P

b 2b

A´ F´

O

B´

A

F

Excentricidad de la elipse. En el área de las matemáticas y la geometría la excentricidad se entiende como el parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica, con respecto a una circunferencia [1], en la figura 2 se muestran un ejemplo con la excentricidad de los valores de algunas cónicas. La excentricidad de una circunferencia es cero (e = 0). La excentricidad de una elipse es mayor que cero y menor que 1. (0 1). [1]

a

e=0,5

2a Figura 1.1. La Elipse y sus elementos geométricos

Los elementos geométricos de la elipse se enuncian a continuación:

e=1

e=0 e=2

F, F´: Focos AA´: Eje mayor = 2a.

e=∞

OA: Semieje mayor = a. BB´: Eje menor = 2b. OB: Semieje menor = b.

Figura 1.2 La excentricidad de las cónicas.

e: Excentricidad. f: Aplanamiento. La distancia AA´ es llamada eje mayor de la elipse, con lo que OA = OA´ = AA´/2=a, donde a es el semieje mayor de la elipse. La distancia BB´ es llamada eje menor de la elipse, con lo que OB = OB´ = BB´/2=b. Donde b es el semieje menor de la elipse.

Para el caso de una Elipse, la excentricidad (e) puede tomar valores entre cero y uno. Entonces la excentricidad de la elipse depende de que tan lejos estén los focos del centro de la elipse, y además del valor del semieje mayor, así que la excentricidad se expresa mediante la ecuación 1.3.

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=e.

(1.3)

Si OF, tiende a cero, entonces e = cero, y los focos estarán en el centro O, así, la elipse se convierte en una circunferencia. Teniendo en cuenta que OF=OF´, y FB+F´B=2a, y como FB=F´B (ver figura 3) entonces 2BF=2ª y por tanto BF=a.

La ecuación 1_8 se conoce como la primera excentricidad de la elipse.

P=B

De manera similar se deriva la segunda excentricidad de la elipse, la cual se muestra en la ecuación 1_9.

a b O

F´

c

F

A

c

Figura 1.3 Elementos Geométricos básicos de la Elipse

Por definición la excentricidad está dada por la ecuación 1.4.

El aplanamiento f, (de las iníciales del vocablo en ingle flat), está dado por la ecuación 1_10

.

Aplicando el teorema de Pitágoras, en el triangulo OBF de la figura 3, se puede plantear la ecuación 1.5.

De la ecuación 3 se tiene , y reemplazando este valor en la ecuación 4, tenemos.

Nota: Una elipse desde el punto de vista geométrico queda definida, cuando se conoce el semieje mayor y el inverso del aplanamiento, a, 1/f. Ejemplo: La elipse que genera el Elipsoide de Referencia Geodésico GRS80, tiene parámetros geométricos básicos, los siguientes: a=6378137 m f= 1/298,2572221008827. Otros parámetros de una elipse:

Realizando procesos algebraicos a esta ecuación tenemos:

Excentricidad lineal [2]. Radio de curvatura polar [2].

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Ecuación de la Elipse en un plano X, Y. Se requiere hallar una expresión matemática que permita describir una elipse en un plano XY.

, Expandiendo los trinomios cuadrados, tenemos:

Y P(x, y)

b

Agrupando y suprimiendo términos tenemos:

y x F´ M cc

X O

,

F

c Eliminando el número 4 y transponiendo términos se tiene:

a Figura 1.4. Elipse en un plano XY

De la figura 1.4, se toman los triángulos F´PM, y FMP, aplicando el teorema de Pitágoras para dichos triángulos tenemos:

Elevando al cuadrado a ambos lados de la ecuación tenemos. , Extendiendo los trinomios cuadrados y realizando operaciones tenemos:

Para el triangulo: F´PM.

, Suprimiendo términos tenemos: Para: FMP.

, Transponiendo términos tenemos:

, Se toma la ecuación 1, y se reemplaza en ésta, los términos de la derecha de las ecuaciones 1.10 y 1.11, resultando la siguiente ecuación.

Agrupando términos se tiene:

,

Transponiendo el primer termino de la derecha en la ecuación 1.13, y elevando todo al cuadrado, tenemos: ,

De la ecuación 3 se tiene que: , por tanto la ecuación 1.14 de convierte en: , Página 3 de 19

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Y dividiendo por ecuación tenemos:

a ambos lados de la

tesimal (muy pequeña) de giro, genera una nueva elipse, con orientación distinta a la anterior, ver figura 2.2. La suma de estas elipses da como resultado una superficie denominada Elipsoide Revolución. Y

Simplificando tenemos la ecuación de la elipse con focos en los puntos F´(0, -x) y F(0, x), eje mayor 2a, y, eje menor 2b, figura 4, la cual se muestra en la ecuación 1.15:

b

EJERCICIOS 1.1: 1. Calcular los parámetros (e, e´, b, f, E y p´, de las elipses con semieje mayor (a) igual a los números n, con n perteneciendo a los divisores propios de los números amigos1 (220, 284). Y c =n1/3, siendo n1, igual a los números primos impares y menores a 41. 2. Dibujar 2 elipses, ayudándose con una cuerda, dos tachuelas, un lápiz y una regla. Comprobar empíricamente las ecuaciones 1 y 2. 3. Investigar el valor de los parámetros geométricos de la elipse generadora del elipsoide de Hayford o elipsoide internacional. 4. Investigar el valor de los parámetros geométricos de la elipse generadora del elipsoide GRS80.

X

a

O

Figura 2-1. Elipse Y

b O

a

X

Figura 2-2. Elipsoide de revolución

Y P1(x, y)

CAPÍTULO 2 El desarrollo de la geometría de la elipse y del elipsoide, es una herramienta fundamental en la conceptualización, desarrollo y aplicación de la geodesia geométrica.

X

El Elipsoide de Revolución Al hacer girar una elipse sobre uno de sus ejes a, ó, b, (figura 2.1) cada fracción infini-

Figura 2-3. Superficie del elipsoide

1

Dos números amigos son dos enteros positivos a y b tales que a es la suma de los divisores propios de b y b es la suma de los divisores propios de a.

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Sobre la superficie del elipsoide de revolución se ubican “n” puntos. A fin de explicitar las coordenadas X, Y de un punto sobre el elipsoide, decimos que por cada punto sobre la superficie del elipsoide pasa una elipse, como se muestra en la figura 2.3.

conceptualización y su desarrollo matemático sobre el elipsoide. Cuando se trata de definir una magnitud en topografía o geodesia se debe tener muy presente el siguiente principio: Cuando se va a realizar una medición se debe siempre realizar las siguientes tres preguntas básicas, desde donde mido, sobre que mido y hasta donde mido.

La Elipse Meridiana. La elipse que pasa por cada punto de la superficie del elipsoide, se le denomina elipse meridiana. Ver figura 2-4.

Y

P(x,y) b a

X

O

Latitud En general la Latitud de un punto es el arco medido desde el ecuador terrestre sobre el meridiano o la meridiana que pasa por el punto, hasta el punto. Como se ve en la grafica (2.5) un punto en la vida real no está sobre la superficie ideal elipsoidal, sino que está en la superficie amorfa lo que se denomina la topografía, es decir el paisaje sobre el cual nos movemos. Como esta superficie es completamente amorfa, sobre ella no es posible realizar cálculos matemáticos ni geodésicos, todos los cálculos se realizan es sobre la superficie del elipsoide.

Figura 2.4. Elipse Meridiana del punto p(x,y) P(x, y)

Coordenadas Geográficas Latitud y Longitud. Los elementos vistos hasta acá, nos permite introducir el concepto más importante y estudiado en la geodesia y sobre el cual descansa el desarrollo de las ciencias cartográficas, topográficas, y en general todas las disciplinas que están involucradas en la Geomática y las disciplinas que tienen que ver con las ciencias de la tierra, e indirectamente con el desarrollo espacial, las comunicaciones y en general la vida cotidiana del hombre moderno. Ese concepto es el de las coordenadas geográficas Latitud y Longitud. A continuación se desarrolla lo referente a la latitud, en razón de que geométricamente es un poco complejo su

Topografía Geoide

Elipsoide

Figura 2.5 Superficies fundamentales en los estudios geodésicos

De acuerdo a lo que se ve en la figura 2.6, por un punto que este sobre la superficie terrestre pasan tres verticales, dependiendo a cual superficie se quiere referir dicho punto. Así mismo se generan ángulos distintos de latitud.

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P(x, y)

Topografía

va al punto interceptado en ella por la línea recta perpendicular al semieje mayor de la elipse que pasa por el punto en consideración, como se ve en la figura 2.8. Se denomina también latitud paramétrica o latitud geométrica.

Y

Elipsoide

Geoide

P

Vertical al Geoide Vertical al Elipsoide

Figura 2.6. Verticales que se generan en un mismo punto sobre la superficie terrestre.

X O

Latitud geodésica : Es el ángulo que forma la vertical al elipsoide con el plano del ecuador, como se observa en la figura 2-6.

Y

Figura 2.8 Latitud Reducida

Latitud Geocéntrica : Es el ángulo en el centro de la elipse entre con el plano del ecuador y el radio geocéntrico del punto en consideración. Como se ve en la figura 2.9.

A

Y

P

P O

X B

Q

X O

Figura 2.9 Latitud Geocéntrica Figura 2-7. Latitud geodésica

Latitud reducida : Es el ángulo en el centro de la circunferencia tangente a la elipse en los extremos del eje mayor (2a) formado entre el ecuador y el radio de la circunferencia que

Relación entre la latitud Geocéntrica y la latitud reducida.

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Relación entre la latitud Geodésica y la latitud reducida.

De la ecuación 1.13, conocida como la ecuación de la elipse.

Longitud Geodésica. Longitud geodésica de un punto es el ángulo formado por el plano meridiano geodésico (elipse meridiana) del punto y el plano meridiano geodésico origen o meridiano de Greenwich, se mide sobre el ecuador terrestre, positiva al este de Greenwich y negativa al oeste de Greenwich, ver figura 2.10.

Derivando parcialmente, la ecuación de la elipse respecto a y, tenemos:

Z Meridiano Origen

W

O

E

Igualando las ecuaciones 2.5 con 2.6, se tiene:

Figura 2.10. Longitud Geodésica

Coordenadas Rectangulares X Y de un punto sobre la Elipse. A cada punto sobre la elipse meridiana le corresponde unas coordenadas X, Y, las cuales están en función de la latitud geodésica y los parámetros geométricos de la elipse. A continuación se derivan la métrica de dichas coordenadas. De la figura 2.7, se deduce que la línea AB, es la tangente a la elipse meridiana en un punto P(x, y), de la gráfica tenemos que el ángulo que forma la tangente con el ecuador es , así, se puede plantear la siguiente ecuación.

Sustituyendo el término 1.6, tenemos:

de la ecuación

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Tomando la ecuación de la elipse y reemplazando la ecuación 2.7 en la tenemos.

Desarrollando la ecuación 2.7, a fin de obtener una ecuación de X en función de , a y

Así, las ecuaciones 2.8 y 2.9 permiten obtener las coordenadas x, y sobre la elipse meridiana teniendo en cuanta una latitud geodésica dada y los parámetros geométricos de la elipse. Elipsoide GRS80.

Se factoriza

,

En la figura 2.11a se muestra una elipse y en la 2.11b se muestra un elipsoide de revolución. Características del elipsoide Z b b O

a

a

Y

X a

Figura 2.11 El Elipsoide

b

El semieje mayor de la elipse coincide con el plano del ecuador terrestre y el semieje menor coincide con el eje de rotación medio de la tierra. Siendo el elipsoide la figura adecuada para realizar cálculos y mediciones es comprensible que a través de la historia se hayan determinado y utilizado diferentes elipsoides, algunos de los más importantes se enuncian en la tabla 1. Ahora bien, desde el punto de vista geométrico, un elipsoide queda determinado

Reemplazando en la ecuación 2.6, la ecuación 2.8, tenemos: Página 8 de 19

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con el valor del semieje mayor (a) y el achatamiento2 (f), Para cálculos geodésicos de precisión o en sistemas de referencia de altas especificaciones un elipsoide se define desde el punto de vista físico y geométrico, en estos casos en su definición intervienen los parámetros que se enuncian en la tabla 1, en ésta misma se muestran los parámetros del elipsoide GRS80, utilizado en el Marco de Referencia en Colombia.

a =6378137 m f = 1/298,2572221008827, e2 = 0.00672267002233 Calcular las coordenadas X, Y sobre dicha elipse, para los siguientes valores de latitud geodésica:

Tabla 1. Parámetros del elipsoide GRS80 Nombre del parámetro

Modelo matemático

Símbolo y Valor

Semieje mayor

Constante

a=6378137 m

Velocidad de rotación angular

Constante

W=7292115E11 rad/s

Constante gravitacional

Constante

GM=3896005E8 m3/s

Factor de aplanamiento dinámico

Constante

J2=108263E-8

Cálculo iterativo Primera excena partir de tricidad a,GM,J2,W

e2 = 0.00672267002233

Segunda excentricidad

e´2 = (e2/1-e2)

e´2 = 0.0067394967754

Semieje Menor

b=a(1-e2)1/2

b=6356752,31414 m

Factor de aplanamiento Geométrico

f=(a-b)/a

f = 1/298,2572221008827

EJERCICIOS 2.1: Utilizando los parámetros geométricos de la elipse generadora del elipsoide GRS 80, que son los siguientes: 2

El achatamiento está definido por f=(a-b)/a, donde a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente.

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RADIOS PRINCIPALES DE LA ELIPSE MERIDIANA.

El radio de curvatura de una línea curva o un objeto aproximable mediante una curva es una magnitud geométrica que puede definirse en cada punto de la misma, que coincide con el inverso de la curvatura en cada punto:

.

Tomando la ecuación 2.8 y para reemplazar el término x en la ecuación 2.10, se tiene:

Por otro lado la curvatura es una medida del cambio que sufre la dirección del vector tangente a una curva cuando nos movemos a lo largo de ésta. Y

La ecuación 2.11, permite el cálculo del radio mayor de la elipse meridiana en un punto dado, en función de la latitud geodésica y los parámetros geométricos de la elipse meridiana.

A

M

x

P(x, y)

Radio de la sección normal meridiana. El otro radio de gran importancia en geodesia geométrica es el llamado radio meridiano de la primera vertical, se denota con la letra griega .

y O

X Q

Figura 2.11 Esquema de la Gran Normal

En la figura 2.11, la recta QP, se denomina la gran normal, es el mayor de los posibles radios de curvatura de la elipse meridiana en el punto en consideración, así mismo de dicha figura se deduce que:

B

Antes de abordar la derivación del radio de curvatura de la sección normal meridiana. Curvatura y vectores normales. Veamos como varia un vector unitario tangente T al desplazarse el punto P sobre la curva. Por supuesto, la longitud de T es constante, ya que es igual siempre a la unidad. Pero su dirección varía, puesto que es tangente a la curva y la dirección de la tangente cambia de punto a punto, salvo que la curva sea una recta. [5]. Movimiento en un plano. Determinando la dirección de T por medio del ángulo ϕ, que forma la tangente a la curva con el eje X (figura 2.12) la derivada de este ángulo de pendiente ϕ, respecto de la longitud del arco s (expresad en radianes por unidad de longitud), se toma como la definiPágina 10 de 19

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ción matemática de la curvatura en el punto P. y suele designarse con la letra griega k (Kappa); de modo que:

Como ds se supone un arco infinitesimal, se puede asimilar a una recta, por tanto,

De otra parte la tangente del ángulo presa mediante:

En donde

Y

se ex-

Derivando la ecuación 2.15 respecto a x, tenemos:

P

Se tiene que

s

P0

X

O

Figura 2.12a. Radio de curvatura de una curva

Seguidamente se obtiene la ecuación de radio meridiano de la primera vertical.

Tomando la ecuación 2.12 y multiplicando y dividiendo por dx en el término derecho de la ecuación, tenemos:

Y

Tomado la ecuación 2.13 y dividiendo a cada lado de la ecuación por dx, tenemos ds

Simplificando al interior del radical se tiene: X O

Figura 2.12. Esquema del radio de la primera vertical

Reemplazando en la ecuación 2.17, las ecuaciones 2.16 y 2.19, tenemos:

De la figura 2.12 tenemos que:

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Haciendo producto de medios y extremos tenemos

Agrupando el numerador y haciendo producto de medios y producto de extremos tenemos.

Factorizando

, y sabiendo que y sacando el signo menos del paréntesis, tenemos:

Agrupando el numerador,

Transponiendo términos tenemos, Tomando la ecuación 2.4, tiene

y derivando se

Reemplazando esta ecuación en la ecuación 2.24, se tiene:

Luego se debe hallar el valor de , para ello tomamos la ecuación 2.9 y derivamos

Reemplazando en el denominador de la ecuación 2.22, se tiene:

Eliminado el 2, y agrupando , enviando el radical negativo al denominador, tenemos

Reemplazando por su equivalente y efectuando producto de medios y extremos, tenemos

Sacando

Como

común divisor , tenemos:

y

factorizando

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Simplificando en el numerador se tiene finalmente la ecuación del Radio de curvatura de la sección normal meridiana Radio medio de Gauss. El radio de curvatura de la sección normal meridiana puede definirse también como el radio de curvatura que presenta el elipsoide en un punto de latitud en la dirección de acimut 0o ó 180o.

Se define el radio medio de Gauss como la media aritmética de los radios de curvatura de las infinitas secciones normales de un punto. Es decir:

RADIOS MEDIOS DE CURVATURA Radio de curvatura de una sección normal cualquiera. Euler demostró que si las líneas coordenadas son perpendiculares entre sí, en un punto dado y coincidentes con las direcciones principales, el radio de curvatura de una sección normal cualquiera se puede escribir en función de los radios de curvatura de las secciones normales principales mediante la fórmula de Euler.

La esfera de radio RG es una esfera tangente al elipsoide en el punto considerado y se emplea en ocasiones como aproximación al elipsoide. EJERCICIOS 2.2: Teniendo en cuenta los parámetros de la elipse generadora del elipsoide GRS 80, a =6378137 m f = 1/298,2572221008827,

Siendo el acimut de la sección normal considerada. Otra forma de expresarlo es

Radio medio. Se denomina curvatura media de una superficie en un determinado punto a la semisuma de las curvaturas de las secciones normales principales.

e2 = 0.00672267002233 e´2 = 0.00673949677548 b =6356752.31414 m 2.2.1). Un satélite se encuentra a una altura hs sobre la superficie terrestre en un punto con Si la coordenada x de dicho satélite es igual al semieje mayor del elipsoide GRS80, encontrar: a) Radio de curvatura de la elipse meridiana, b) Radio de curvatura de la primera vertical (gran normal), del punto sobre la superficie terrestre, c) coordenadas (x, y) del satélite, d) altura (h) del satélite.

El correspondiente radio medio vale por tanto Página 13 de 19

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2.2.2) Calcular las coordenadas X, Y, y sobre dicha elipse para los siguientes valores de latitud:

h= altura del punto desde la superficie del elipsoide. x= Coordenada X geocéntrica del punto P y= Coordenada Y geocéntrica del punto P z= Coordenada Z geocéntrica del punto P Para un punto sobre el elipsoide.

2.2.3). Calcular los valores de y sobre la elipse generadora del elipsoide GRS80, para los valores de latitud de cero a noventa grados, cada diez grados, realizar la grafica de los dos radios principales y realizar el análisis cuantitativo y cualitativo de los valores obtenidos y de la grafica. 2.2.4). Calcular los valores de y sobre la elipse generadora del elipsoide GRS80, para los valores de latitud de cero a noventa grados, cada 15 grados, con valor de azimut de 45º. Realizar la grafica comparativa y realizar el análisis cuantitativo y cualitativo de los radios medios.

ecuación 3-1

Para un punto a una altura dada (h), sobre el elipsoide

ecuación 3-2

CAPÍTULO 3 Coordenadas Cartesianas Geocéntricas elipsoidales (X,Y,Z) Las coordenadas cartesianas geocéntricas elipsoidales (x, y, z), para un punto cualquiera sobre la superficie terrestre vienen dadas por la siguiente métrica, donde los parámetros son de la figura 2.13, es posible derivar dicha métrica: P(X,Y,Z)

Así, mismo se derivan

ecuación 3-3

Z

h

ecuación 3-4

γ Z Y

O

X X

Y

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Figura 2-13. Coordenadas rectangulares X, Y, Z geocéntricas

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b) La altitud del satélite sobre el polo norte, para un observador ubicado en un punto de latitud . c) La superficie terrestre observada desde la posición del satélite (considerando el área del elipsoide aproximada a la esfera local o casquete esférico) ecuación 3-5

CAPITULO 4. EJERCICIOS 3_1: Teniendo en cuenta los parámetros de la elipse generadora del elipsoide GRS 80, a =6378.137 km f = 1/298,2572221008827 e2 = 0.00672267002233 e´2 = 0.00673949677548 b =6356.75231414 km Resolver los siguientes ejercicios: 3.1.1). Calcular las coordenadas X, Y, Z para el punto sobre la superficie elipsoidal que tiene coordenadas elipsoidales:

h= 2620 m 3.1.2). Calcular las coordenadas , , h para el punto sobre la superficie elipsoidal que tiene coordenadas cartesianas geocéntricas: X=1744890.24 m Y= - 6116370.86 m Z= 507899.216 m. 3.1.3). Suponiendo la tierra un modelo episódico con parámetros de GRS80, y un satélite artificial con órbita polar. Calcular: a) La altitud del satélite sobre el polo norte, para un observador ubicado en un punto de latitud .

Reducción de distancias Reducción al plano del horizonte local La distancia reducida al plano tangente al horizonte local viene dada por la ecuación 41.

En terminología topográfica esta distancia se suele llamar simplemente distancia reducida. En la figura 3-1 es evidente que la distancia reducida al plano tangente al horizonte local del punto de estación no tiene porqué coincidir con la distancia reducida al horizonte del punto visado. En los levantamientos topográficos se suelen considerar las verticales paralelas. En ese supuesto, la distancia reducida entre dos puntos es independiente de la altitud considerada y basta con emplear la expresión 4-1. En realidad las verticales convergen y por tanto, la distancia reducida entre dos puntos depende de la altitud considerada. Para evitar ambigüedades y variaciones de escala, es necesario reducir todas las distancias a una altitud común. Lo lógico es reducir al elipsoide, ya que es la superficie de referencia. En determinadas aplicaciones no geodésicas puede interesar, por el contrario, reducir al horizonte medio local.

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Dr D Shl

Sg H h

Se

N

Horizonte local

Teniendo en cuenta que las visuales suelen ser prácticamente horizontales, el suponer que conduce a errores relativos menores de 1 ppm. Si además se considera un radio terrestre constante para la zona de trabajo, se llega a la expresión que suelen aplicar las estaciones totales.

Geoide Elipsoide

Shl: distancia reducida al horizonte local R0 radio terrestre aproximado 6.371,137 km D: distancia geométrica medida β: ángulo cenital medido

R

Reducción al geoide Como las verticales convergen, la distancia horizontal depende de la altitud considerada. Figura 4-1. Reducción de distancias mediante pasos sucesivos

Reducción al horizonte local El plano tangente al horizonte local es una aproximación del horizonte local. De la figura 3-1, se deduce:

Si se dispone únicamente de altitudes ortométricas, la altitud H = 0 corresponde al geoide, por lo que solamente se podrán reducir las distancias al nivel del mar. Como puede apreciarse en la figura 4_1, la distancia reducida al horizonte local y la distancia reducida al geoide pertenecen a figuras semejantes, por lo que se establece la relación

Siendo: Esta ecuación conduce fácilmente a:

Que pone de manifiesto que ambas distancias están relacionadas por el factor de escala y sustituyendo, tenemos:

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En pequeños trabajos de ámbito topográfico puede adoptarse un valor constante de 3-8 para toda la zona de actuación, considerando una altitud promedio. Reducción al elipsoide. En la actualidad es factible el acceso a modelos de ondulación de geoide y mediante la ecuación 3-9, es posible manejar tanto altitudes ortométricas como elipsoídicas.

Entre dos puntos P1, P2, de altitudes aproximadas h1=557 m, h2=945 m, se ha medido la distancia geométrica de 6545.53 m. Obtener la distancia reducida al elipsoide para el cálculo de coordenadas. (φ = = 04°35'46,32150", latitud de la zona media y ).

CAPITULO 5. CURVAS SOBRE EL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN

Conocida la altitud elipsoidal del punto de estación, la distancia reducida al elipsoide se obtiene a partir de la distancia reducida al horizonte local mediante la ecuación 3-10.

Plano Normal: Se denominan plano normal de un punto a aquel que contiene a la normal al elipsoide en dicho punto.

También se puede obtener a partir de la distancia reducida al geoide mediante la ecuación 3-11

De los infinitos planos normales de un punto del elipsoide existen dos de especial relevancia. Uno es el que contiene el semieje menor del elipsoide, denominado plano meridiano y el otro, perpendicular a plano meridiano denominado primer vertical.

En este caso ambas distancias están relacionadas por el factor de escala, como se muestra en la ecuación 3-12.

Plano normal Meridiano: El que contiene al eje menor del elipsoide se denomina plano meridiano. Plano normal perpendicular: Es aquel plano que es perpendicular al plano meridiano, se denomina también primer vertical y contiene la gran normal.

EJERCICIOS 3_1: Teniendo en cuenta los parámetros de la elipse generadora del elipsoide GRS80, a =6378137 m f = 1/298,2572221008827 e2 = 0.00672267002233 e´2 = 0.00673949677548 b =6356752,31414 m Resolver los siguientes ejercicios:

Sección Normal Es aquella curva plana formada al interceptar un plano normal cualquiera con la superficie del elipsoide. En general se denominan secciones normales las curvas que resultan de la intersección de los planos normales con el elipsoide, Cada sección normal tendrá un radio de curvatura diferente. El radio de curvatura mínimo y máximo lo producen las secciones normales Página 17 de 19

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principales, que son las definidas por el plano meridiano y por el primer vertical respectivamente. A dichas secciones se las denomina secciones normales principales, ver figura5-1. La sección normal meridiana en un punto es la intersección de su plano meridiano con el elipsoide y su radio de curvatura ( es el mínimo de todas las posibles secciones normales. La sección normal del primer vertical en un punto es la intersección de su primer vertical con el elipsoide y su radio de curvatura ( es el máximo de todas las posibles secciones normales Normal al Elipsoide

Trazando las normales a la superficie del elipsoide en los puntos i y j, estas normales están contenidas en los planos de las elipses meridianas que pasan atreves de los puntos i y j, y se interceptan con el eje menor PP´ de la elipse, en los puntos Qi y Qj, respectivamente. Las normales de los puntos i y j se interceptan en distintos puntos con el eje PP´, como se muestra a continuación, de la figura 5-2 se tiene:

Superficie Elipse Paralelo

Plano primer vertical

P

Plano meridiano Meridiano

Y Figura 5-1. Planos: meridiano y primer vertical

Secciones Normales Mutuas ; Tomando sobre la superficie del elipsoide de revolución los puntos i y j como se muestra en la figura 5-2, con latitudes y respecti-

vamente, con

mayor que

. De la figura 5-2, se tiene:

P

j

ij

i W

ji

i´ O

Qi Qi

E

De otra parte la distancia entre el origen del elipsoide y el punto Qi, se puede expresar como: ,

Qj Qj Página 18 de 19

P´ Figura 5-2. Secciones normales mutuas

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Si se traza un plano a través de los puntos i-Qi y j, es evidente que este plano contiene la línea i Qi, este plano es normal en el punto i, como se muestra en la figura 5-3. El plano iQi-j, engendra la curva ij la cual se llama sección normal directa desde el punto i al punto j. De manera similar si se traza un plano a través de los puntos j-Qj e i, es evidente que este plano contiene la línea j Qj, este plano es normal en el punto j, como se muestra en la figura 5-4. El plano j-Qj-i, engendra la curva ji la cual se llama sección normal directa desde el punto j al punto i. De manera análoga se tiene para la distancia OQi, que:

P

ij

j

ji

i Por definición se tiene

, por tanto:

OQj > OQi, es decir, la normal a la superficie del elipsoide, trazada en el punto i el cual posee menor latitud que el punto j, corta el eje menor del elipsoide más cerca al centro del elipsoide que la normal al punto j. De esta forma las normales a la superficie del elipsoide en los puntos i y j, son dos rectas que se cruzan en el espacio, pero que no se cortan (se cortaran únicamente si pertenecen a la misma elipse meridiana o en el mismo paralelo). P

ij

i W

j

ji O

Qi Qj

E

W

E

O

Qi Qj P´ Figura 5-4. Sección normal de j a i

Por lo tanto, entre los dos puntos i y j, situados sobre la superficie del elipsoide pasan dos secciones normales, así, las curvas ij y ji se denominan secciones normales reciprocas inversas. De la misma forma si se tiene un punto tercer punto “k” se puede realizar el mismo análisis, se tiene entonces las secciones normales ik, ki, jk y kj; como se observa en la grafica 5-5, está representa un triangulo esférico sobre la superficie del elipsoide, se puede deducir de esta la manera como se observaran los ángulos esféricos en los diferentes vértices.

P´ Página 19 de 19

Figura 5-3. Sección normal de i a j

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j

ij ji

kj

jk

ki

i

ik

ha de buscar aquella curva que localmente produzca la distancia más corta. Para un entorno diferencial, es posible aproximar la superficie por un plano. En dicho plano, la distancia más corta es la que produce una línea recta. Por tanto, una línea geodésica siempre ha de cumplir que, sea cual sea la superficie considerada, la proyección de un entorno diferencial de la misma sobre el plano tangente a la superficie ha de ser una recta. Por tanto, otra definición para la línea geodésica es la siguiente.

k

Figura 5-5. Triangulo sobre la elipse, formado por secciones normales

Los ángulos desde luego son medidos desde un punto sobre las secciones normales que se generan desde cada uno de los puntos al dar visual a los otros dos puntos como se observa en la figura 5-5. “No es difícil observar que los ángulos horizontales medidos en los tres puntos, no formen sobre la superficie del elipsoide, un triangulo cerrado”[4], es decir el triangulo será una figura abierta, y generará una indeterminación en la formación de los triángulos geodésicos sobre el elipsoide. Lo anterior se soluciona si los puntos i, j y k se unan con Líneas Geodésicas.

LÍNEA GEODÉSICA

Definición: De todas las posibles curvas que unen dos puntos en una superficie, se define como línea geodésica aquella que produce la mínima distancia. Por ejemplo, sobre un plano la línea geodésica sería una recta y sobre una esfera lo sería un arco de círculo máximo. Para casos más generales, como el del elipsoide de revolución, se Página 20 de 19

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Notas Bibliográficas: [1]. http://es.wikipedia.org . [2]. Asenjo Villamayor, Luis García Hernández López, David. Universidad Politécnica de Valencia. Geodesia - 2003 - 530 páginas [3].José Raúl Ramírez Pinillos. Geodesia Geométrica. [4].P. S. Zakatov, Curso de Geodesia Superior. [5].Thomas, Cálculo Infinitesimal y Geometría Analítica.

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