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LEYES DE LOS GASES IDEALES Ley de R. Boyle (1662). “El volumen de un gas varia de forma inversamente proporcional a la presión, si la temperatura permanece constante”.

Pα

1 ∀

si

T = cte.

P∀ = c = cons tan te (1)

P1∀ 1 =P2 ∀ 2

W F1 V1 T = cte.

F2 V2 T = cte. P2

P1

V3 T = cte. P3

Esquema interpretación de la Esquemapara parala la interpretación deley la de leyBoyle.Mariotte de BoyleLey de Charles- Gay- Lussac (1802) 1a Ley.- “El volumen de una determinada cantidad de gas varía en proporción directa con la temperatura, si la presión permanece constante”.

∀α T

si

P = cte.

∀ = c = cons tan te T ∀1 ∀ 2 = T1 T2

(2)

Patm Patm

Patm

V1

T1

V2

T2

V3

T3

Esquema para la interpretación de la 1ra ley de GayEsquema para la interpretación de la 1ª ley de Gay-Loussac

1

2a Ley.- “Si el volumen de una determinada cantidad de gas permanece constante, su presión varia en proporción directa con la temperatura absoluta”.

Pα T

∀ = cte.

si

P = c = cons tan te T P1 P2 = T1 T2

(3)

P1

P3

P2 V = cte.

V = cte.

V = cte.

T2

T3

T1 da

Esquema la interpretación de GayEsquema parapara la interpretación de la de 2da laley2 deley Gay-Loussac Loussac.

ECUACIÓN DE ESTADO DE GAS IDEAL Cualquier ecuación que relacione la presión, la temperatura y el volumen específico de una sustancia se denomina ecuación de estado. Hay varias ecuaciones de estado, algunas sencillas y otras más complejas. La ecuación de estado más sencilla y conocida en la fase gaseosa es la ecuación de estado de gas ideal Un gas ideal se define como un gas cuya presión absoluta, temperatura absoluta y volumen específico obedece a la ecuación de estado: (4)

Pv =RT

La ley de Boyle y Charles pueden combinarse para proporcionar una ecuación más general que relacione la presión, el volumen y la temperatura. En efecto, consideremos una masa de gas que ocupa un volumen ∀1 a la temperatura T1 y presión P1. Supongamos que, manteniendo constante la temperatura T1; se produce una interacción mecánica entre el sistema y el medio exterior, de manera que la presión alcanza el valor de P2 y el volumen que ocupa el gas se convierte en ∀ x , para este proceso se cumplirá la ley de Boyle (ecuación 5).

P2 ∀ x = P1∀1

∀ x1 =

P1∀1 P2

(5)

Si acontinuación el gas interacciona con el medio exterior, su presión seguirá siendo P2, mientras que la temperatura pasará a T2 y por consiguiente el volumen alcanzara el valor de ∀ 2 . Para este proceso, de cuerdo a la primera ley de Charles-Gay luzca (ecuación 6).

∀2 ∀ x = T2 T1

∀ x2 =

T1∀ 2 T2

(6)

2

Igualando (5) y (6) tendremos:

∀ x1 = ∀ x 2 P1∀1 P2 ∀ 2 = T1 T2

P∀

(8)

T

=c

(8a)

El valor de la constante c de la ecuación 8a se determina a partir de las consideraciones de Avogadro. Este hace uso de razonamiento de naturaleza microscópica para justificar el comportamiento macroscópico de la materia. Postula que volumen iguales de diferentes gases, a la misma presión y temperatura, contienen el mismo número de moléculas; deduce que en un mol de cualquier sustancia existe el mismo número de moléculas, que calcula en 6.023x1023 y se conoce como el número de Avogadro (Na = 6.023x1023). Para un mol, la hipótesis de Avogadro se formula diciendo que los volúmenes ocupados por un mol de cualquier gas a igual presión y temperatura son iguales. Experimentalmente se comprueba que a 1 atm de presión y a una temperatura de 0 °C, ese volumen es de 22.4136 litros. (En unidades del S.I. a 101.325 kPa y 0 °C, 1 kmol ocupará un volumen de 22.4136 m3) De la ecuación 8a.

c = NR u

P∀ = NR u T Ru =

R u = Constante universal de gas

(9);

P∀ (101.325 kPa)(22.4136 m 3 ) = = 8.3143 TN ( 273.15 K )(1 kmol )

 kJ   kmol * K 

(10)

La masa molar M se define como la masa de un mol de una sustancia en gramos, o, la masa de un kmol en kilogramos. Cuando se dice que la masa molar del nitrógeno es 28, esto significa que la masa de un kmol de nitrógeno es de 28 kg. La masa de una sustancia es igual al producto de su masa molar M y el número de moles N. m = MN

N=

R=

m M Ru M

[ kg ]

(11a)

 kg   kg / kmol   

(11b)

 kJ   kg * K   

N = Número de moles

M = Masa molar (peso molecular) (12)

R = Constante del gas

Sustituyendo la ecuación (11) y (12) en (9) se tienen diferentes maneras de la ecuación de estado: P∀ m = Ru T M

P∀ =m R T

Pv =RT

P = ρRT

3

COMPOSICIÓN DE UNA MEZCLA DE GASES. Para determinar las propiedades de una mezcla es necesario conocer la composición de la mezcla, así como las propiedades de los componentes individuales. Hay dos maneras de describir la composición de una mezcla: ya sea mediante la especificación del número de moles de cada componente, lo que recibe el nombre de análisis molar, o mediante la especificación de la masa de cada componente, denominado análisis gravimétrico.

GAS A H2

GAS B O2

+

6 kg 3 kmol

=

32 kg 1 kmol

k

MEZCLA H2 + O2 38 kg 4 kmol

k

m m = ∑ mi

Nm = ∑ Ni

y

i =1

(1)

i =1

fracción de masa = f mi =

mi mm (2)

fracción de molar = y i =

Ni Nm

Dividiendo (1) entre mm y/o Nm se tiene: k

∑ i =1

k

f mi = 1

∑y

y

i =1

i

=1

(3)

La masa molar aparente (o promedio) de una mezcla se expresa como:

Mm =

mm ∑ mi = = Nm Nm

∑N M =∑y M N i

m

i

k

i =1

i

i

(4)

La constante promedio (o aparente) de gas de la mezcla se determine por: Rm =

Ru Mm

(5)

La predicción del comportamiento P-v-T de mezclas de gases suele basarse en dos modelos: La ley de Dalton de las presiones aditivas y la ley de Amagat de volúmenes aditivos; exactas para gases ideales, y aproximada para gases reales en sistemas no reactivos.

4

Ley de Dalton de presiones aditivas: La presión de una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones que cada gas ejercería si existiera sólo a la temperatura y volumen de la mezcla. k

Pm = ∑ Pi

si (Vm, Tm)

i =1

GAS A

GAS B

+

V, T PA

V, T PB

=

MEZCLA A+B Vm, Tm PA + P B

Ley de Amagat de volúmenes aditivos: El volumen de una mezcla de gases es igual a la suma de los volúmenes que cada gas ocuparía si existiera sólo a la temperatura y presión de la mezcla. k

Vm = ∑ Vi

si (Pm, Tm)

i =1

GAS A P, T VA

GAS B

+

P, T VB

=

MEZCLA A+B Pm, Tm VA + V B

Fracción de presión =

Pi N RuTm / Vm N = i = i = yi Pm N m RuTm / Vm N m

Fracción de volumen =

Vi Ni RuTm / Pm Ni = = = yi Vm N m RuTm / Pm N m

Pi V N = i = i = yi Pm Vm Nm

(6)

Presión parcial = yi Pm Volumen parcial = yi Vm

5

FACTOR DE COMPRESIBILIDAD (Z) El factor de compresibilidad mide la desviación de un gas real con respecto al comportamiento de uno ideal. Esté factor se define como la razón del volumen específico real entre el ideal.

Ζ=

∀real v r = ∀ideal v i

Ζ=

(1)

Pv r RT

(2)

Donde vi = RT/P, es evidente que Z = 1 para gases ideales. Para gases reales Z puede ser mayor, menor o igual que la unidad. Cuanto más lejos se encuentra Z de la unidad, mayor es la desviación del gas del comportamiento de gas ideal. Principio de Estados Correspondientes: Este principio establece que el factor de compresibilidad para casi todos los gases son idénticos cuando los gases tienen la misma presión, temperatura reducida.

Pr =

P Pc

Tr =

T Tc

vr =

v vc

(3)

El volumen especifico reducido, no se utiliza frecuénteme para realizar cálculos, y es por lo general sustituido por un volumen especifico pseudoreducido, el cual se determina por la siguientes ecuación.

vR =

vreal Pc RTc

(4)

De acuerdo al principio de estados correspondientes el factor de compresibilidad para cualquier gas es función exclusiva de Pr y Tr y puede representarse en un solo diagrama llamado diagrama de compresibilidad generalizada, que puede utilizarse para todos los gases. A partir de carta de compresibilidad generalizada son posibles las siguientes observaciones: 1. A presiones muy bajas (Pr 2), el comportamiento de gas ideal puede suponerse con buena precisión sin importar la presión (excepto cuando Pr>>1). 3. La desviación de un gas del comportamiento de gas ideal es mayor cerca del punto crítico. Ecuación de estado de Van Der Waals La ecuación de Van Der Waals, propuesta en 1873, describe el comportamiento de un gas real. Está se obtiene modificando la ecuación de estado de gas ideal mediante la introducción de dos constantes que se determinan a partir del comportamiento de una sustancia en el punto crítico. La ecuación de estado de Van Der Waals está dada por: a    P + 2 ( v − b ) = RT v  

(5)

La constante b de la ecuación (5) tiene como objeto tomar en cuenta el volumen ocupado por las moléculas, mientras que la constante a considera las fuerzas intermoleculares que existen en los gases reales.

6

Las constantes a y b se determinan para cualquier gas a partir de las condiciones de estado crítico, las cuales son distintas para cada gas. Estas constantes se determinan mediante las siguientes ecuaciones:

27 R 2Tc2 a= 64 Pc b=

RTc 8Pc

 m 6 * kPa    2  kg 

(6)

 m3     kg 

(7)

A menudo la precisión de la ecuación de estado de Van der Waals es inadecuada, pero mejora si se utilizan los valores de a y b, basadas en el comportamiento real del gas en un nivel más amplio en lugar de un solo punto (punto crítico). A pesar de sus limitaciones, la ecuación de Van der Waals tiene valor histórico puesto que fue uno de los primeros intentos por modelar el comportamiento de los gases reales.

Mezclas de agua y aire Aunque el aire es una mezcla de gases casi perfectos, se suele considerar un solo componente homogéneo que tiene propiedades definidas. Esas propiedades, como la constante del gas R, serían la propiedad “promedio” o la propiedad “total“ en el caso de la presión. En los casos donde consideremos que el aire es una sustancia uniforme y homogénea, supondremos que esta seco; esto es, que no esta mezclado con vapor de agua. En general se supone que el aire seco está formado por 78% de nitrógeno, 21% de oxigeno y 1% de otros gases en volumen. Sin embargo el aire busca estar en equilibrio con sus alrededores, que normalmente es agua (sus vecinos comunes son el mar y el cielo). Cuando se alcanza el equilibrio, la velocidad de evaporación del agua es igual a la velocidad de condensación de vapor de agua (figura 1): el vapor de agua es un gas que esta mezclado con aire.

Aire y vapor de agua ma + mv Razón de condensación

Razón de evaporación m e mL

m c

Figura 1. Equilibrio de agua y aire, en un recipiente cerrado El aire es una mezcla de nitrógeno, oxigeno y pequeñas cantidades de otros gases. Normalmente el aire en la atmósfera contiene cierta cantidad de vapor de agua (o humedad) y se conoce como aire atmosférico. En contraste, el aire que no contiene vapor de agua se le llama aire seco. Es conveniente tratar al aire como una mezcla de vapor de agua y aire seco, porque la composición de aire seco permanece relativamente constante, pero la cantidad de vapor de agua cambia por la condensación y evaporación de los océanos, lagos, ríos e incluso de agua del cuerpo humano. A pesar de que la cantidad del vapor del agua en el aire es pequeña, desempeña un importante papel en la comodidad humana. En consecuencia es importante tomarlo en cuenta en dispositivos de acondicionamiento de aire.

7

El vapor de agua en el aire se comporta como si existiera solo y obedece a la relación Pv = RT. En este caso el aire atmosférico se trata como una mezcla de gases ideales cuya presión es la suma de la presión parcial de aire seco, Pa, y la presión de vapor de agua, Pv. P = Pa + Pv

(1)

A la presión parcial del vapor de agua se le conoce como presión de vapor. Es la presión que el vapor de agua ejercería si existiera sólo a la temperatura y volumen del aire atmosférico. Humedad específica y relativa del aire La cantidad de vapor de agua en el aire puede determinarse de varias maneras. Es probable que la más lógica sea precisar directamente la masa de vapor de agua presente en una masa unitaria de aire seco, a la que se le llama humedad absoluta o específica (conocida también como relación de humedad), esto es:

ω=

mv ma

(kg de vapor de agua/kg de aire seco)

(2)

La humedad específica también se expresa como.

ω=

m v Pv ∀ /( Rv T ) Pv / Rv P = = = 0.622 v ma Pa ∀ /( Ra T ) Pa / Ra Pa

(3)

ω=

0.622 Pv P − Pv

(4)

(kg de vapor de agua/kg de aire seco)

Donde P es la presión total La cantidad de humedad en el aire tiene un efecto definitivo en las condiciones de comodidad que ofrece un ambiente. Sin embargo, el nivel de comodidad depende más de la cantidad de humedad que el aire contiene (mv) en relación con la cantidad máxima de humedad que el aire puede contener a la misma temperatura (mg). La relación entre estas dos cantidades se le conoce como humedad relativa.

φ=

mv P ∀ /( Rv T ) Pv = v = m g Pg ∀ /( Rv T ) Pg

(5)

Donde Pg = Psat@T. Si se combina la ecuación 4 y 5, también se puede expresar la humedad relativa y específica como:

φ=

ωP (0.622 + ω ) Pg

y

ω=

0.622φPg P + φPg

(6)

Nota: La humedad específica es la cantidad de real de vapor de agua en 1 kg de aire seco, en tanto que la humedad relativa es la proporción entre la cantidad real de humedad en el aire y la cantidad máxima de aire húmedo que puede contenerse a esa temperatura. La humedad relativa varia entre 0 para aire seco y 1 pare aire saturado. Advierta que la cantidad de humedad que el aire puede contener depende de su temperatura. Por lo tanto, la humedad relativa del aire cambia con la temperatura aunque su humedad específica permanece constante.

8

El aire atmosférico es una mezcla de aire seco y vapor de agua, por ello la entalpía del aire se expresa en términos de las entalpías del aire seco y del vapor de agua. En la mayor parte de las aplicaciones prácticas, la cantidad de aire seco en la mezcla aire-vapor-agua permanece constante, pero la cantidad de vapor de agua cambia. En consecuencia, la entalpía de aire atmosférico se expresa por unidad de masa del aire seco y no por unidad de masa de la mezcla aire-vapor-agua. La entalpía total del aire atmosférico es la suma de las entallas del aire seco y del vapor de agua H = Ha + Hv = maha +mvhv

(7)

Al dividir por ma se obtiene:

h=

H m = ha + v hv = ha + ωhv ma ma

(kg/kg de aire seco)

(8)

La temperatura ordinaria del aire atmosférico se conoce como la temperatura de bulbo seco Temperatura de punto de rocio. La temperatura de punto de rocío Tpr, se define como la temperatura a la que se inicia la condensación si el aire se enfría a presión constante. En otras palabras Tpr es la temperatura de saturación del agua correspondiente a la presión de vapor: Tpr = Tsat@Pv Cualquier descenso adicional en la temperatura del aire tiene como consecuencia la condensación de un poco de humedad, y éste es el inicio de la formación del rocío.

Problemas de humedad específica y relativa P1. Determine la humedad específica y la temperatura del punto de rocío del aire cuya humedad relativa es de 60 % para una temperatura de 25 ° C y presión de 95 kPa. P2. Una muestra de aire a 1 atm de presión y temperatura de 22 °C, contiene 85.61 kg de aire seco y 1.3 kg de vapor de agua. Determine la humedad específica, humedad relativa y la temperatura del punto de rocío. P3. Una habitación de 5 x 4 x 2.8, contiene aire a 20 °C y 100 kPa de presión, a una humedad relativa del 50 %. determine: a) la presión parcial del aire seco, b) la humedad específica, c) la masa de aire seco y la masa de vapor de agua en el cuarto y d) la temperatura del punto de rocío. P4. Una casa contiene aire a 25 °C y 65% de humedad relativa. ¿Alguna cantidad de humedad se condensará en la superficie interior de las ventanas cuando la temperatura de la ventana disminuye hasta 10 °C?

9

Problemas - gases P1. Considere una mezcla de gases que se compone de 3 kg de O2, 5 kg de N2 y 12 kg de CH4. Determine. a) La fracción de masa de cada componente b) La fracción molar de cada componente c) La masa molar promedio de la mezcla d) La constante promedio de gas de la mezcla P2. El volumen del compartimiento para pasajeros de un avión es de 2100 m 3. El equipo automático mantiene el aire dentro del avión a una presión de 90 kPa y a una temperatura de 23 °C: Determine el incremento de masa de aire en porcentaje si la presión aumenta a 101 kPa y la temperatura desciende a 20 °C. P3. Un tanque de 1 m3 que contiene aire a 25 ° y 500 kPa se conecta, por medio de una válvula a otro tanque que contiene 5 kg de aire a 35 °C y 200 kPa. Después se abre la válvula y se deja que todo el sistema alcance el equilibrio térmico de los alrededores que se encuentra a 20 °C. Determine la presión de equilibrio final del aire. P4. Una llanta de automóvil es inflada a una presión relativa de 210 kPa y temperatura de 20 °C. Después de un recorrido, la temperatura dentro de llanta aumento a 45 °C mientras que el volumen de llanta aumenta un 3% debido al estiramiento del material. Calcule la presión del aire después del recorrido y suponga que no hay fugas de masa P5. Determine el volumen especifico de vapor de agua sobrecalentado a 10 MPa y 400 °C, utilizando. a) la ecuación de gas ideal, b) la carta de compresibilidad generalizada, c) las tablas de vapor y d) el porcentaje de error implicado en los primeros casos. P6. Una mezcla de gases a 400 K y 150 kPa esta compuesta de 1 kg de CO2 y 3 kg de CH4. Determine la presión parcial y el volumen parcial de cada componente. P7. Gas nitrógeno es almacenado en un tanque cilíndrico tendiendo un diámetro interno de 45 cm y una longitud de 1.6 m. La presión y temperatura máximas disponibles son 2 MPa y 75 °C. Determine cuantos kmol y kilogramos de nitrógeno pueden almacenarse con seguridad. P8. Determine la temperatura de CO2 a una presión de 22.17 MPa y un volumen específico de 0.00311 m3/kg utilizando: a) la ecuación de gas ideal y b) el diagrama de compresibilidad. P9. Un tanque de 3.27 m3 contiene 100 kg de nitrógeno a 225 K. Determine la presión en el tanque, empleando: a) la ecuación de gas ideal, b) la ecuación de Van der Waals. Compara sus resultados con el valor real de 2000 kPa. P10. Determine la temperatura del refrigerante 134a a 9 bar cuyo volumen especifico es 0.02609 m 3/kg, mediante: a) la ecuación de gas ideal, b) la ecuación de Van der Waals, c) el diagrama de compresibilidad y d) las tablas de vapor sobrecalentado. P11. Un depósito rígido con un volumen de 3 m3 contiene un gas cuya masa molar es de 30 kg/kmol, a 8 bar y 47 °C. El gas se escapa del depósito hasta que la presión y la temperatura es 3 bar y 27 °C: calcule el volumen ocupado por el gas qu sale si se encuentra a 1 bar y 22 °C.

Ejercicios - gases 10

E1. Un tanque rígido que contiene 2 kg de N2 a 25 °C y 200 kPa se conecta a otro tanque rígido que contiene 3 kg de O2 a 25 °C y 500 kPa. Se abre la válvula que conecta a los dos tanques y se permite que los dos gases se mezclen, si la temperatura final de la mezcla es 25 °C. Determine la presión final de la mezcla.

PB

PA Válvula Tanque A 2 kg de N2

Tanque B 3 kg de O2

E2. El medidor de presión en un tanque de oxigeno de 1.2 m 3 registra 500 kPa. Determine la cantidad de oxigeno en el tanque si la temperatura es de 24 °C y la presión atmosférica es de 97 kPa E3. Un trabajador presuriza un tubo rígido (30 mm de diámetro interior y 20 m de largo) con aire seco para señalar fugas. La temperatura y presión del aire dentro del tubo son 35°C y 205 kPa. El trabajador regresa 24 horas más tarde y la presión absoluta ha descendido a 183 kPa a 21°C. ¿Tiene fugas el tubo? Si es así, calcule la masa de aire que se ha escapado a través de los accesorios de conexión. E4. Un tanque rígido contiene 8 kmol de gas O2 y 10 kmol de gas CO2 a 290 K y 150 kPa. Calcule el volumen del tanque. E5. Se usa un compresor de aire para suministrar aire a un tanque rígido que tiene un volumen de 4 m3. Al inicio, la presión y temperatura del aire en el tanque son 101 kPa y 35 °C. El tubo que alimenta al tanque tiene 7 cm de diámetro interior, y la velocidad de entrada del aire a la entrada del tubo permanece constante a 12 m/s. La presión y la temperatura del aire en la entrada del tubo son constantes a 600 kPa y 35 °C. Determine: a) La relación de cambio de masa con respecto al tiempo dentro del tanque. b) La masa de aire agregada al tanque si el compresor deja de operar cuando el tanque alcanza 400 kPa y 55 °C. c) El tiempo que el compresor debe ser operado para producir en el tanque 400 kPa y 55 °C.

Compresor

Tubo de alimentación

Válvula Tanque

E6. Un tanque de 0.01677 m3 contiene 1 kg de refrigerante 134a. 110 °C. Determine la presión del refrigerante, utilizando. a) la ecuación de gas ideal, b) el diagrama de compresibilidad generalizada y c) las tablas del refrigerante. E7. Un tanque de 20 m3 contiene nitrógeno a 25 °C y 800 kPa. Un poco de nitrógeno se deja escapar hasta que la presión en el tanque disminuye a 600 kPa. Si la temperatura en este punto es de 20 °C, determine la cantidad de nitrógeno que ha escapado. E8. Un globo esférico con diámetro de 6 m se llena con helio a 20 °C y 200 kPa. Determine el número de moles y la masa del helio en al globo. P9. Un compresor de aire es diseñado para comprimir aire atmosférico a 100 kPa y 20 °C, hasta una presión de 1 MPa. El aire entra a 50 m/s donde al área de entrada es 90 cm 2 y sale a 120 m/s a través de un área de 5 cm2. Determine la temperatura del aire a la salida del compresor. E10. Un tanque de 1 m3 contiene 2.841 kg de vapor a 0.6 MPa. Determine la temperatura del vapor; utilizando: a) la ecuación de gas ideal, b) la ecuación de van der Waals y c) las tablas de vapor. Ejercicios de humedad específica y relativa

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E1. Determine la masa de aire seco y la masa de vapor de agua contenido en un cuarto de 240 m 3 a 98 kPa, 23 °C y 50 % de humedad relativa. E2. Después de una caminata al aire libre a una temperatura de 8 °C una persona que lleva lentes entra a un cuarto que esta a 25 °C y 40% de humedad relativa. Determine si los lentes se empañarán. E3. Una habitación de 6 x 4 x 3 m, está ocupada por una mezcla de aire y vapor de agua a 38 °C. La presión atmosférica es de 101 kPa y la humedad relativa es de 70%. Determine la relación de humedad, la temperatura del punto de roció, la masa del aire, la masa de vapor de agua y la cantidad de vapor condensado (agua en forma líquida) si la habitación es enfriada a presión constante hasta que su temperatura es de 10 °C. E4. Un hombre sediento abre el refrigerador y toma una lata de refresco fría a 5 °C ¿Piensa usted que la lata “sudará” cuando el hombre la beba en un cuarto a 26 °C y 40% de húmeda relativa? Fundamente su respuesta.

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