• Author / Uploaded
• Katherine Llerena Calderón

• Categories
• Objetos matemáticos
• Física y matemáticas
• Física
• Cantidades fisicas
• Ingenieria Eléctrica

Citation preview

SOLUCIONARIO DEL BALOTARIO DE PREGUNTAS DE MATEMÁTICAS AVANZADAS

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

GRUPO N° 5

SOLUCIONARIO DEL BALOTARIO. GRUPO N 5 ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA FIEE UNAC

      

GUTIERREZ ESPINOZA HAIRO-1223210065 CANGALAYA RIOS PEDRO-1223220446 CUELLAR VENTURA ESTTIWARD-1223210038 SALCEDO JANAMPA JAIR-1213220625 TORRES GASTELU FABRIZIO-1223210199 HIDALGO BASALDUA ANDREUS-1223210163 PAREDES LEZCANO JIM-1223220259

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 1

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO PREGUNTA 1 Si z y w son números complejos demuestre que:

z  a  ib

a) z  w  z  w

w  c  id

z  w  a  ib  c  id  a  c  i  b  d 

z  w   a  c   b  d  2

z  a 2  b2 w c d 2

2

  a  c    b  d   a 2  b2  c 2  d 2 2

2

2



b) z  w  z  w  z z  w 2

2



2

2





z  w   z  w z  w  zz  ww  zw  wz 2

 z  w  zw  wz ...(I) 2



2



z  w   z  w z  w  zz  ww  zw  wz 2

 z  w  zw  wz ...(II) 2

2

I II

z  w  z  w  z  w  zw  wz  z  w  zw  wz 2

2

2

2

2

2



 zw  zw  2 z  w 2

2



c) 1  zw  z  w  1  z 2

2

2

2

2



1  w  2

Sabemos: z  zz 2









 1  zw  1  zw 1  zw ; z  w   z  w z  w 2

2



ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 2

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO Restamos:









 zw  z  w  1  zw 1  zw   z  w z  w 2

2



 

 1  zw  zw  zz  ww  zz  wz  zw  ww

 1  zz  ww  zz  ww  1  z w  z  w 2



 1 z

2

2

2





2

  w 1  z   1 z 1 w  2

2

2



 1  zw  z  w  1  z 2

2

2

2

1  w  2

PREGUNTA 3 Sea u la función:

a) u( x, y)  2 x(1  y)

u  2(1  y ) x  2u 0  x2

|

u  2u  2u  2 x  2  2  0  Cumple la ecuación de Laplace de “u” y x x

|

 2u  0  Es armónica  y2

 F ( x, y)  u( x, y)  iv( x, y)  Es analítica, satisface las ecuaciones de Cauchy Rieman

 u  v  x   y u v    2  2y   x y  u    v  x  y

v

  y dy   2dy   2 ydy  v( x, y)  2 y  y

2

 h( x)...( I )

v u  h '( x)  h '( x)    2 x   h '( x)dx   2 xdx x y

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 3

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

h( x)   x 2  C  v( x, y)  2 y  y 2  x2  C b) u( x, y)  2 x  x  3xy 3

2

u  6 xy y

u  2  3x 2  3 y 2 x  2u  6 x  x2

 2u  6x  y2



 2u  2u   0 Cumple la ecuación de Laplace  x2  y 2

 F ( x, y)  u( x, y)  iv( x, y)  Al ser analítica cumple las ecuaciones de Cauchy Rieman

 u  v  x   y u v    2  3x 2  3 y 2   x y  u    v   y x

v

  y dy   2dy   3x dy   3 y dy  v( x, y)  2 y  3x 2

2

2

y  y 3  h( x)...( I )

v u  6 xy  h '( x)    6 xy  h '( x)  6 xy x y h '( x)  0  h( x)  C

v( x, y)  2 y  3x 2 y  y3  C c) u ( x, y ) 

y x  y2 2

u 2 xy  2u ( x 4  y 4  2 x 2 y 2 )(2 y)  (2 xy)[2( x 2  y 2 )2 x]  2    x ( x  y 2 )2  x2 ( x 2  y 2 )4  2u 2 y(3x 4  2 x 2 y 2  y 4 )   x2 ( x 2  y 2 )4

u x2  y 2  2u ( x 4  y 4  2 x 2 y 2 )(2 y )  ( x 2  y 2 )(4 x 2 y  4 y 3 )  2    y ( x  y 2 )2  y2 ( x 2  y 2 )4  2u 2 y(3x 4  2 x 2 y 2  y 4 )   y2 ( x 2  y 2 )4

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 4

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

 2u  2u   0 , satisface ecuación de Laplace, es armónica.  x2  y 2 u 2 xy v v 2 xy x  2   dy   2 dy  v( x, y)  2  h( x)...( I ) 2 2 2 2  x (x  y )  y y (x  y ) x  y2

v y 2  x2 v u y 2  x2 y 2  x2   h( x )     h( x )  2  h '( x)  0  h( x)  C  x ( x 2  y 2 )2 x  y ( x 2  y 2 )2 ( x  y 2 )2  v( x, y ) 

x C x  y2 2

PREGUNTA 4

  1   2   3   4  1  (1  t )(2)  t (1) / 0  t  1  1  2  t / 0  t  1 z(t)=-2+t

z´(t)=1

z  2  t

2  t 1 0 2  t dt  0 dt  t0  1 1

1

 2  ei / 0    2 | z ( )  ei z´( )  iei z ( )  e i 





ei i 3i  0 ei ie d  0 ie d  i 0 (cos 3  isen3 d  i(sen3  i cos 3 )0

i (i  (i ))  2

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 5

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

 3  (1  t )(1)  2t / 0  t  1  1  t / 0  t  1 z (t )  1  t z (t )´ 1 z (t )  1  t 1 t 2 1 1  t dt  1 dt  t1  1 2

2

 4  2ei / 0    2  z ( )  2ei z ( )´ 2iei z ( )  2ei 





2ei i 3i 0 2ei 2ie d  0 ie 2d  20 i(cos 3  isen3 )d

 2i ( sen3  i cos 3 )0  2

   1   2   3   4  2  2  1  1  2 PREGUNTA 5

A) ∫

;

( )

,

,

-

∫

∫

(

)

( (

∫

) )(

(

)

( )(

) )

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 6

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO (

)

(

)

B) ∫ ( ) ∫

( (

) (

)

)

((

)

)

D) ∫ ∫(

)

(

)

(

(

)

. /

PREGUNTA 6

a ) P( x)  an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 P( z )  an z n  an 1 z n 1  ...  a1 z  a0 P( z )  an z n  an 1 z n 1  ...  a1 z  a0 P( z )  an .z n  an 1.z n 1  ...  a1.z  a0 P( z )  an z n  an 1 z n 1  ...  a1 z  a0 P( z )  an z n  an 1 z n 1  ...  a1 z  a0 P( z )  P( z ) b) z0  solucion P ( z0 )  0 P( z0 )  an z0 n  an 1 z0 n 1  ...  a1 z0  a0  0 P( z0 )  an z0 n  an 1 z0 n 1  ...  a1 z0  a0  0 P( z0 )  an z0 n  an 1 z0 n 1  ...  a1.z0  a0  0 P( z0 )  an z0 n  an 1 z0 n 1  ...  a1 z0  a0  0 P ( z0 )  0  z0  solucion

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 7

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

c) Factorizando : ( x  i )( x  i )( x  1) 2  0 x1  i x2  i x3  1 x4  1 PREGUNTA 7

En la armonía se cumple:

f ( z)  u( x, y)  y( x, y) 2

Si son analítica y de clase C en una región D Por CAUCHY RIEMAN

 du ( x, y ) dv( x, y )  dx  dy    du ( x, y )   dv( x, y )  dx  dy Lugo para ser armonica

 d 2 u ( x, y ) d 2 v ( x , y )   dx 2 dydx   2 2  d u ( x, y )   d v ( x , y )  dy 2 dxdy Si sumamos

d 2 u ( x, y ) d 2 u ( x , y )  0 dx 2 dy 2 Ahora hacemos:

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 8

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

 d 2 v ( x, y ) d 2 u ( x, y )  dx 2  dydx   2 2  d v ( x, y )   d u ( x, y )  dy 2 dxdy Sumamos

d 2 v ( x, y ) d 2 v ( x , y )  0 dx 2 dy 2 Se demuestra que las partes real e imaginaria de una función compleja

f ( z)  u( x, y)  y( x, y) Analíticas son soluciones de la ecuación Laplace donde

 2u 

 2u  2u  dx 2 dy 2

2v 

 2v  2v  dx 2 dy 2

En este caso se dice también que u y v son funciones armónicas ademas de ser conjugadas armonicas PREGUNTA 9

Siendo e z  analítica en todo

f ( z)

 zz

dz  2 if  z0 

0

sin e z  z dz  2 if  0

f (0)  sin e0  sin1 

sin e z dz  2 i sin1 z

PREGUNTA 10

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 9

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

e1/ z

  z  1

2

,  (t )  1 

eit 2

e1/ z  Analítica en todo



2 if ( n ) ( z0 ) f ( z )dz  ( z  z0 )n 1 n!

 f ( z )  e1/ z , f '( z ) 

1 1/ z e  f '(1)  e z2 e1/ z dz 2 if ' (1)    2 ei  ( z  1) 2 1!

PREGUNTA 14

PREGUNTA 16

Grafica del cuadrado : sentido positivo (antihorario)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 10

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

z 1 dz z  2z2  z z 1 z 1  z ( z 2  2 z  1) dz   z ( z  1)2 dz z0

a)



3

z  1  ( z  1) ( z  1) z ]  1 z z ( z  1) 2 ( z  1) 2 1  ( z  1) Re( f , 1)  lim [( z  1) 2 ] 1 (2  1)! z 1 z z ( z  1) 2 T .Re siduo : Re( f , 0)  lim z 0

z 1

 z ( z  1)

2

dz  2 i[Re( f , 0)  Re( f , 1)]

2

dz  2 i[1  1]  0

z 1

 z ( z  1)

2z dz z  2z2 1 2z 2z  ( z 2  1)2 dz   ( z  i)2 ( z  i)2 dz z i z  i

b) 



4

1  2z lim [( z  i ) 2 ] (2  1)! z  i z ( z  i)2 ( z  i)2  2z Re( f , i )  lim [ ]0 z  i z ( z  i ) 2 1  2z Re( f , i )  lim [( z  i ) 2 ] z  i (2  1)! z ( z  i)2 ( z  i)2  2z Re( f , i )  lim [ ]0 z  i z ( z  i ) 2 T .Re siduo : 2z  ( z 2  1)2 dz  2 i[Re( f , i)  Re( f , i)] 2z  ( z 2  1)2 dz  2 i[0  0]  0 Re( f , i ) 

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 11

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO PREGUNTA 17

a)

(

)

(

)

Entonces, por Cauchy – Riemann: (

)

(

)

)

∫(

( )

Además: ( )

Entonces: ( )

( )

Reemplazando: (

)

Finalmente: (

b)

(

)

(

)

(

)

)

Entonces, por Cauchy – Riemann:

(

)

)

∫(

( )

Además: ( )

Entonces: ( )

( )

Reemplazando: (

)

Finalmente: (

)

(

)

(

)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 12

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

c)

(

)

Entonces por Cauchy – Riemann:

(

(

)

)

∫( (

)

)

( )

Además: (

) (

( )

) (

( )

)

Entonces: ( ( )

)

(

(

)

) (

( )

)

Reemplazando: (

)

Finalmente: (

)

(

)

(

)

PREGUNTA 18 Estudie la convergencia de las series:

Expresando

√

en forma polar: (

√

)

Observamos de la forma binomica, que el vector se encuentra en el segundo cuadrante, lo que es corroborado con el valor del argumento. Calculamos el modulo: | |

( √ )

( )

√

Entonces:

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 13

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO √ Si giramos el vector ⁄ √ Del argumento se observa que este nuevo vector se encuentra en el tercer cuadrante. Al pasarlo a su forma binomica, resulta: √

√

Para que el resultado del vector sea √ , bastara con llevar al vector al eje Imaginario superior (positivo), ya que de esa forma solo tendrá dicha componente. Si: √ Entonces si giramos

(sentido horario) el vector resultaría: √

El mismo que en forma binomica es: √

PREGUNTA 19

Es derivable si

f ´( z0 )  lim z  z0

f ( z )  f ( z0 ) z  z0

ux ( x0 , y0

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 14

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

f ( z0  z )  f ( z 0 ) ) ( x ; y ) 0 z f ( z0  z )  f ( z 0 ) Im( f ´( z0 ))  lim Im( ) ( x ; y ) 0 z Re( f ´( z0 ))  lim Re(

u ( x0  x, y0 )  u ( x0 , y0 ) x  0 x v( x0  x, y0 )  v( x0 , y0 ) Im( f ´( z0 ))  lim x  0 x f ´( z0 )  u x ( x0 , y0 )  iv y ( x0 , y0 )......(1) Re( f ´( z0 ))  lim

f ´( z0 )  vx ( x0 , y0 )  iu y ( x0 , y0 ).......(2) u x ( x0 , y0 )  v y ( x0 , y0 ) y u y ( x0 , y0 )  vx ( x0 , y0 ) Pero como z=C u(x,y)=C

v(x,y)=0

u v  0 x y u v  0 y x

Por lo tanto no cumple con la ecuacion de Couchy-Rieman entonces no es derivable

PRE GUN TA 20

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 15

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

Se observa:  = 1   2 Parametrizando cada una de las sub lineas

 1  {1.ei / 0     }, de donde z( )=ei  z( )  ei  z´( )  i ei

  zdz   1

e .iei d   0 id   i...........(1)

  i 0

 2  {(1  t)(1)  t(1) / 0  t  1};simplificar  2  {1  2t / 0  t  1}, de donde se tiene z(t)=1+2t,entonces z´(t)=2 z(t)=1+2t  z(t)=1  2t  1  2t



2

zdz   10 (1  2 t) dt   10 dt   10 2tdt  2............(2) 2

  zdz     i zdz   1 zdz    2 zdz...................(3) i 1

Reemplazando (1) y (2) en (3)

  zdz  2   i PREGUNTA 22

a)

f ( z) 

2z 1 z ( z 2  1)

2z 1 2z 1  z ( z 2  1) z ( z  i )( z  i ) analizamos : 1 lim z * f ( z )  0 z 0  i  i  f ( z) 

Por lo tanto z =0 es punto singular (polo)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 16

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

lim( z  i)* f ( z )  z i

2i  1 0 i(2i)

Por lo tanto z=i es un punto singular(polo)

lim( z  i)* f ( z ) 

z  i

2i  1 0 i(2i)

Por lo tanto z=-i es un punto singular(polo) b)

z3  i f ( z)  2 z  3z  2

z3  i z3  i f ( z)  2  z  3z  2 ( z  2)( z  1) anamlizamos : 8i 0 z 2 1 1 i lim( z  1) * f ( z )  0 z 1 1 lim( z  2) * f ( z ) 

Por lo tanto z=2 y z=1 son puntos singulares (polo)

c)

z2 1 f ( z)  ( z  2)( z 2  2 z  1)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 17

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

z2 1 z2 1 f ( z)   f ( z)  ( z  2)( z 2  2 z  1) ( z  2)( z  1) 2 analizamos : 5 0 z 2 1 2 lim( z  1) 2 * f ( z )   0 z 1 1 lim ( z  2) * f ( z ) 

Por lo tanto z=-2 en un punto singular (polo) y z=-1 en un polo de orden 2 PREGUNTA 23

a)

f ( z)  ez Recondarmos la formula de Euler

eip  cos p  isenp Entonces:

f ( z )  e z  e xiy   e x  eiy   e x  cos y  iseny   e x cos y  ie x seny

u  e x cos y v  e x seny Verificamos que la función sea analítica y para esto debe cumplir las ecuaciones de cauchy riemman

u v  x y

u v  y x

Hallando las derivadas:

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 18

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

u v   e x cos y x y u v    e x seny y x La función cumple las ecuaciones por lo tanto es analítica y sus derivadas parciales son continuas en R

Entonces

f ´( z ) 

u v v u i  i x x y y

f ´( z)  e x cos y  ie x seny  e xiy  e z c)

f ( z)  cos z cos( z )  cos( x  iy )  cos x *cos(iy )  senx * sen(iy ) recordemos : eiz  e iz ei y  e  i cos( z )   cos(iy )  2 2 2

2

y

e y  e y   cos h( y ) 2

eiz  e iz ei y  e  i y e y  e  y sen( z )   sen(iy )    isenh( y ) 2i 2i 2i reemplazando :  cos( z )  cos x *cosh( y )  isenx * senh( y ) 2

2

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 19

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

u  cos x *cosh y  v   senx * senhy du dv   cos x *cosh y dx dy du dv    senx * senhy dy dx Entonces :

f ´( z ) 

u v v u i  i x x y y

 cos z ´  senx *cosh y  cos x * senhy   senz demostracion sen( z )  sen( x  iy )  senx *cos(iy )  sen(iy )*cos x sen( z )  senx *cosh y  i cos x * senhy b)

f ( z )  senz De lo anterior se demuestra por las ecuaciones de cauchy riemman:

 senz ´ cos z d)

f ( z )  ize z Entonces:

( )

(

( )

(

)

( )

(

)

(

)

( )

) (

)

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 20

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO Por lo tanto: (

)

(

)

Calculando las derivadas parciales: (

) (

)

La derivada resulta ser: ( ) ( )

(

) ( )

( ) (

)

(

(

)

(

)

( )

(

)

(

) (

) (

)

(

)

) (

)

( (

) (

(

) )

)

Por lo tanto:

(

)

(

)

PREGUNTA 24

a) Re( z )  Im( z )  z z

z  x  iy z  x  iy

x  iy  2 x  2iy

1 3iy  x  y  x 3

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 21

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

b) z

1

1

1  1  x2  y 2  1 2 x y 2

c)

2 2 2 2 e) Im( z )  2 z  x  iy  z  x  y  2ixy

2 xy  2 y

1 x

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 22

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

 

1 f) Re z  1

z 1 

1  x  iy  x iy  z 1  2  2 2 x  iy x  iy x y x  y2 x  x2  y 2

z 1 

x iy  2  x2  x  y 2  0 2 x y x  y2 2 2 1  1 2 x   y   2  2 2

i) z  2  1  2 z

x  iy  2  1  2 x  2iy

 x  2

2

 y 2  1  2 x    2 y  2

2

x2  4 x  4  y 2  1  4 x2  4 x  4 y 2 3x2  3  3 y 2  0  x2  y 2  1

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 23

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

j) Re( z  z )  0 2

 x  iy 

2

 x  iy  x 2  y 2  2ixy  x  iy  0 x2  y 2  x  i  2 xy  y   0 2

1 1  x  y  x  0   x    y2  2 4  2

2

PREGUNTA 28 Sea F : S  C  C una función analítica en el interior de una curva de en número finito de puntos singulares

Jordan C y sobre C, excepto

a1 , a2 , a3 ,..............., an del interior de C=C. Demuestre que

n

 F ( z)dz  2 i Re sF (a j ) . j 1

C

DEMOSTRACION: Sea f ( z ) una función analítica y sobre una curva simple y cerrada en C excepto en los puntos

a1 , a2 , a3 ,..............., an dentro de C. También sea

Crj (a j ) la circunferencia de centro a j

y de radio

rj sufrientemente pequeño

para que

Crj (a j )  C, j

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 24

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO Crj (a j )  Crk (ak )   , k  j

Entonces:

n

 F ( z )dz    j 1

C

Cr j ( a j )

F ( z )dz

n

 F ( z )dz  2 i Re( F ,a j ) j 1

C

n

 F ( z )dz 2 i Re F (a j ) j 1

C

PREGUNTA 29 

e

 x2

0

dx 

 2

4) f : D  C  C es una función analitica , demuestre que esderibable y se verifica la ecuaciones de Cauchi  Riemann ∫ ∫

√

∫ *(

(

)

) *(

∫

∫ ∫

+ )

+

∫

∫

∫

|

|

√

PREGUNTA 30 Importancia de los números complejos en la solución de problemas eléctricos. Algebra fasorial y el análisis de circuitos eléctricos y principales leyes. Transformada Z e importancia. a) Importancia de los números complejos en la solución de problemas eléctricos. Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas. Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente. El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 25

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO dimensión infinita sobre C (ℂ). En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria. En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma: Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculos con números complejos en el plano. La ingeniería no existiría sin las matemáticas. A la inversa, la sentencia podría ser falsa, las matemáticas existen, independientemente de la ingeniería. Sin embargo, para los ingenieros, lo importante es convencerse, no de las matemáticas en sí mismas, sino de la aplicación de ellas. Las matemáticas aplicadas son las que han permitido lograr el desarrollo que ha alcanzado la ingeniería. b) Algebra fasorial y el análisis de circuitos eléctricos y principales leyes. Los fasores se utilizan directamente en ingeniería eléctrica, óptica, ingeniería de telecomunicaciones y acústica. La longitud del fasor da la amplitud y el ángulo entre el mismo y el eje-x la fase angular. Debido a las propiedades de la matemática de oscilaciones, en electrónica los fasores se utilizan habitualmente en el análisis rudimentario de circuitos en AC. Finalmente, los fasores pueden ser utilizados para describir el movimiento de un oscilador. Las proyecciones del fasor en los ejes x e y tiene diferentes significados físicos. Los fasores se usan sobre todo para resolver visualmente problemas del tipo: "existen varias ondas de la misma frecuencia pero fases y amplitudes diferentes interfiriendo en un punto, ¿cual es la intensidad resultante?". Para solventar este problema, se dibuja un fasor para cada una de las oscilaciones en dicho punto y después se aplica la suma fasorial (similar a la suma vectorial) sobre ellos. La longitud del fasor resultante es la amplitud de la oscilación resultante, y su longitud puede elevarse al cuadrado para obtener la intensidad. Nótese que mientras que la suma de varias oscilaciones sinusoidales no es necesariamente otra oscilación sinusoidal, la suma de varias oscilaciones sinusoidales de la misma frecuencia sí lo es, permitiendo leer la fase resultante como el ángulo del fasor resultante.

Diagrama fasorial de la impedanciade distintos elementos de un circuito. El fasor rojo es la impedancia total en serie, suma de los otros tres fasores.

Una sinusoide u oscilación sinusoidal está definida como una función de la forma donde y es la magnitud que varía (oscila) con el tiempo es una constante (en radianes) conocida como el ángulo de fase de la sinusoide

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 26

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO A es una constante conocida como la amplitud de la sinusoide. Es el valor de pico de la función sinusoidal. ω es la frecuencia angular dada por t es el tiempo. Esto puede ser expresado como

donde f es la frecuencia.

donde i es la unidad imaginaria definida como . En ingeniería eléctrica y telecomunicaciones se usa "j" en lugar de "i" para evitar las confusiones que se producirían con el mismo símbolo que se usa para designar la intensidad de la corriente eléctrica. da la parte imaginaria del número complejo "Y". De forma equivalente, según la fórmula de Euler,

"Y", la representación fasor de esta sinusoide se define de la forma siguiente: de forma que Así, el fasor Y es el número complejo constante que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Para simplificar la notación, los fasores se escriben habitualmente en notación angular: Dentro de la Ingeniería Eléctrica, el ángulo fase se especifica habitualmente en grados sexagesimales en lugar de en radianes y la magnitud suele ser el valor eficaz en lugar del valor de pico de la sinusoide. Leyes de circuitos Utilizando fasores, las técnicas para resolver circuitos de corriente continua se pueden aplicar para resolver circuitos en corriente alterna. A continuación se indican las leyes básicas. Ley de Ohm para resistencias: Una resistencia no produce retrasos en el tiempo, y por tanto no cambia la fase de una señal. Por tanto V=IR sigue siendo válida. Ley de Ohm para resistencias, bobinas y condensadores: V=IZ donde Z es la impedancia compleja. En un circuito AC se presenta una potencia activa (P) que es la representación de la potencia media en un circuito y potencia reactiva (Q) que indica el flujo de potencia atrás y adelante. Se puede definir también la potencia compleja S=P+jQ y la potencia aparente que es la magnitud de S. La ley de la potencia para un circuito AC expresada mediante fasores es entonces S=VI* (donde I* es el complejo conjugado de I). Las Leyes de Kirchhoff son válidas con fasores en forma compleja. Dado esto, se pueden aplicar las técnicas de análisis de circuitos resistivos con fasores para analizar cicuitos AC de una sola frecuencia que contienen resistencias, bobinas y condensadores. Los circuitos AC con más de una frecuencia o con formas de oscilación diferentes pueden ser analizados para obtener tensiones y corrientes transformando todas las formas de oscilación en sus componentes sinusoidales y después analizando cada frecuencia por separado. Este método, resultado directo de la aplicación delprincipio de superposición, no se puede emplear para el cálculo de potencias, ya que éstas no se pueden descomponer linealmente al ser producto de tensiones e intensidades. Sin embargo, sí es válido resolver el circuito mediante métodos de superposición y, una vez obtenidos V e I totales, calcular con ellos la potencia.

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 27

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

Transformada fasorial La transformada fasorial o representación fasorial permite cambiar de forma trigonométrica a forma compleja: donde la notación se lee como "transformada fasorial de X" La transformada fasorial transfiere la función sinusoidal del dominio del tiempo al dominio de los números complejos o dominio de la frecuencia. Transformada fasorial inversa La transformada fasorial inversa tiempo. Aritmética fasorial Lo mismo que

con

otras

permite volver del dominio fasorial al dominio del

cantidades

complejas,

el

uso

de

la

forma

exponencial polar simplifica las multiplicaciones y divisiones, mientras que la forma cartesiana(rectangular) simplifica las sumas y restas. c) Transformada Z e importancia La transformada z juega el mismo papel en el análisis de señales de tiempo discreto y sistemas LTI que la transformada de Laplace en el análisis de tiempo continuo y sistemas LTI. Definición. La transformada z de una señal de tiempo discreto x[n] se define como:

n z n x z X donde z es una variable compleja. La transformada z de una señal x[n] se denota por

Mientras que la relación entre x[n] y X(z) se indica mediante

Desde un punto de vista matemático, la transformada z es simplemente una representación alternativa de la señal. De este modo el coeficiente de z-n, para una transformada determinada, es el valor de la señal en el instante n. Y por tanto, el exponente de z contiene la información necesaria para identificar las muestras de la señal. Ejemplo 1. Determina la transformada z de la secuencia mostrada en la figura 1.

Fig. 1 Secuencia x[n].

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 28

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

Región de convergencia de la transformada z. Como se puede observar, la transformada z se puede expresar como una serie de potencias infinita y existe sólo para aquellos valores de z para los cuales converge la serie. De esta forma, se define la región de convergencia (ROC) de X(z) como el conjunto de todos los valores de z para los cuales X(z) adquiere valores finitos. Siempre que se calcule la transformada z de una secuencia, se debe también indicar su correspondiente ROC. En el ejemplo 1, X(z) toma valores finitos para todo z excepto para el punto z=0, y por tanto la ROC se define como C-{0} (ver figura 2).

Fig. 2 Región de convergencia de la secuencia x[n], del ejemplo 1. Si se expresa ahora la variable compleja z en su forma polar lo que se tiene es: donde r =| z | y ahora como:

ð ð q . De este modo X(z) se puede expresar

· En la ROC de X(z) se debe cumplir que |X(z)| ð ð , pero

Por tanto |X(z)| es finito sólo si la secuencia x[n]· r -n es absolutamente sumable. De esta forma, el problema de encontrar la ROC de X(z) es equivalente a determinar el rango de valores de r para los cuales la secuencia x[n]· r -n es absolutamente sumable.

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 29

[PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE ECUACIONES DIFERENCIALES] EDO

Fig. 3 Región de convergencia de |X(z)|.

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA-FIEE

Página 30