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• Luz Karin Flores

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Contenido FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL.........................................1 1.- INTRODUCCIÓN.......................................................................................................1 2.- OBJETIVO...................................................................................................................1 3.- FUNCIONES VECTORIALES...................................................................................1 3.1. DEFINICIÓN.........................................................................................................1 4.- DOMINIO DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL..........................................................2 5.- RANGO DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL............................................................2 6.- LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL..............................2 6.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN VECTOR IAL.................3 7.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL........................................................5 7.1 DEFINICIÓN...........................................................................................................5 7.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL.................................................................................................................5 7.3 TEOREMA: FÓRMULA DE CÁLCULO DE r ' ( t ) ..............................................6 7.4 REGLAS DE DERIVACIÓN..................................................................................7 8.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIAL.....................................................7

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1

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

1.- INTRODUCCIÓN Las funciones con las que se ha trabajado hasta el momento son funciones reales de una variable real (su rango es un subconjunto de los reales). Se estudiarán en este capítulo funciones de una variable real pero cuyo rango es un conjunto de vectores. Este tipo de funciones son las que se utilizan para describir la trayectoria de un objeto. 2.- OBJETIVO Establecer los conocimientos necesarios para el trazado de las curvas de tal manera que en cada punto de la misma se determine el triedro móvil, así como los planos osculador, normal y rectificante. 3.- FUNCIONES VECTORIALES 3.1. DEFINICIÓN Una función vectorial de una variable real en el espacio es una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores del espacio, es decir, es una función del tipo r :I  R  V3 t  r (t )  f (t ) i  g (t ) j  h (t ) k  ( f (t ) , g (t ), h (t ) )

donde

f ,g yh

componentes de

son funciones reales de variable real t , llamadas funciones

r.

Nota: Si la función vectorial

r

describe el movimiento de una partícula, el vector

r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) señala su posición en el instante

t , en estos casos t

representa la variable tiempo. Ejemplo 1: r : R  V 3 / r (t )  ( 2  3 t ) i  2 t j  (1  t ) k 2 Ejemplo 2: r : R  V 3 / r (t )  ( t , sen t , cos 3 t )

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4.- DOMINIO DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

El dominio de una función vectorial r(t) es el conjunto de valores permitidos de t. Si r(t) se define en términos de las funciones de las componentes y no se especifica explícitamente el dominio, entonces se sobreentiende que el dominio es la intersección de los dominios naturales de las funciones de las componentes, por lo que ´este recibe el nombre de dominio natural de r(t). Sea : Esta dado por la intersección de los dominios de sus funciones componentes, es decir, si r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) entonces

I  Dom (r )  Dom ( f )  Dom ( g )  Dom ( h)

Ejemplo: Halle el dominio de la función vectorial Solución tenemos que:

Por lo tanto:

5.- RANGO DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Rango es un subconjunto de los reales. El rango de la función f(t) se define por: R Ꞇ R3 (campo vectorial)

6.- LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Sea la función vectorial r : I  R  V 3 / r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) se define ESCUELA PROFESSIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

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  lim r (t )   lim f (t ) , lim g (t ) , lim h ( t )  ta t a t a  t a 

siempre que existan los límites de las funciones componentes. Ejemplo: Si r (t )   1  3 t , sen t , t

2

e

2 t



 lim r (t )   lim ( 1  3 t ) , lim sen t , lim (t t 0 t 0 t 0  t 0

Si a  I se dice que

r

es continua en

a si

entonces 2

e

2 t

 )   ( 1, 0,  1 ) 

lim r (t )  r ( a ) t a

Teniendo en cuenta las definiciones de límite y continuidad resulta: “La función vectorial r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) es continua en funciones componentes f , g y h son continuas en

a si y solo si sus

a”

6.1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL

Sea la función vectorial r : I  R  V 3 / r (t )  ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) Para cada t  I

se obtiene un vector r (t ) , que es el vector posición del punto

P ( f (t ) , g (t ), h (t ) ) . Si la función vectorial es continua en

I

, es decir sus

funciones componentes f, g y h son continuas en I , define una curva C en el espacio formada por los extremos del vector r (t ) donde t varía de a a b. z

t

t

P (f (t),g(t),h(t)) •

C t

r(t)

r

y

x

Entonces la curva C es el conjunto de todos los puntos P ( x, y , z ) del espacio tal que

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 x  f ( t)   y  g ( t ) con t  I  z  h(t ) 

, a estas ecuaciones se las llama ecuaciones paramétricas de la curva

C y t es el parámetro. Cuando se grafica una curva descrita por una función vectorial r ( t ) , cada punto de la misma (extremo del vector r ( t ) ) queda determinado por un valor elegido para el parámetro t. Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes de t, la curva se va trazando en una dirección específica, en este caso se dice que la curva está orientada positivamente. Ejemplo 1: Sea r (t )   3  t ,  2  2 t ,1  3 t  con t  R , cómo en

R

r

es continua

define una curva C en el espacio. Las ecuaciones paramétricas de C son

 x  3 t   y   2  2 t con t  I  z  1 3 t  Estas son las ecuaciones paramétricas de una recta que contiene al punto P0 ( 3,  2, 1 ) y es paralela al vector u  (  .1, 2, 3 ) .

Ejemplo 2: Sea r (t )   cos t , sen t , t  con t  R , cómo

define una curva C en el espacio,

r

es continua en

R

 x  cos t  cuyas ecuaciones paramétricas son  y  sen t con t  R (*) z  t 

Veamos cual es la curva C definida por la función vectorial

r.

Para ello consideremos las dos primeras igualdades de las ecuaciones (*)

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 x  cos t   y  sen t

, de donde

 x 2  cos 2 t  2  y  sen 2 t

y sumando miembro a miembro resulta

x 2  y 2  1 , esta ecuación en el espacio es la de un cilindro circular cuyo eje es el eje

“z”, entonces la curva C está contenida en dicho cilindro. La curva que se obtiene es un espiral alrededor del cilindro y se la llama hélice. Nota: se ha definido función vectorial de una variable real en el espacio, en forma similar se puede definir función vectorial de un variable real en el plano y también en el espacio n-dimensional V n . Para estas funciones vectoriales también se definen los conceptos de límite y continuidad en forma similar a las definiciones dadas para funciones vectoriales en el espacio. Para el caso particular de una función vectorial en el plano, si la misma es continua en un intervalo I  R su representación gráfica es una curva plana C determinada por los puntos extremos de los vectores r (t ) que se obtienen al variar t en I. Si r (t )  ( f (t ) , g (t ) )  f (t ) i  g (t ) j con t  I , las

 x  f ( t) ecuaciones paramétricas de la curva C son  con t  I  y  g (t ) 7.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL z

7.1 DEFINICIÓN Sea

r

P •

una función vectorial, se define su

r(t) r(t+∆t)

derivada r ' como r ' (t )  lim t 0

r’(t) Q

r ( t   t)  r ( t ) t

y

C t

siempre que este límite exista. x

r t

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t+∆t

t

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7.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Supongamos que r ( t ) sea el vector posición del punto P y r ( t   t ) el vector posición del punto Q, entonces

r ( t   t )  r (t )  PQ

se puede considerar como

un vector secante a la curva C. Si  t  0 el vector 1 t

r (t   t )

vector

PQ

 r (t )  

1 PQ t

tiene la misma dirección y sentido que el 1

, entonces cuando  t  0 el vector  t PQ se aproxima a un vector

que está en la recta tangente a la curva C en el punto P. Si  t  0 con un razonamiento similar se llega a la misma conclusión. Por lo que al vector r ' ( t ) se lo denomina vector tangente a la curva C en el punto P, siempre que r ' ( t ) exista y r '(t )  0 .

La recta tangente a la curva C en el punto P es la recta que contiene a P y tiene la dirección del vector r ' ( t ) . r '(t )

También se puede considerar el vector tangente unitario T (t )  r ' ( t ) . 7.3 TEOREMA: FÓRMULA DE CÁLCULO DE r ' ( t ) Sea la función vectorial

r (t )  f (t ) i  g (t ) j  h (t ) k  ( f (t ) , g (t ), h (t ) )

con t  I tal que f , g y h son funciones derivables en I entonces r ' (t )  f ' (t ) i  g ' (t ) j  h ' (t ) k  ( f ' (t ) , g ' (t ), h ' (t ) )

Demostración: r ' (t )  lim t  0

r ( t   t)  r ( t )  t

1   f ( t   t ) , g ( t   t ) , h ( t   t )    f ( t ) , g (t ) , h ( t )    t 1  lim  f ( t   t)  f ( t ) , g ( t   t)  g ( t ) , h ( t   t)  h ( t )   t  0  t  lim

t  0

 f ( t   t)  f ( t ) g ( t   t)  g ( t ) h ( t   t)  h ( t )    , lim , lim   lim  (*) t t t t  0 t  0  t 0    f ' (t ) , g ' (t ) , h ' (t ) 

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La igualdad (*) es válida pues por hipótesis f , g y h son funciones derivables. Ejemplo: Sea r (t )   cos t , sen t , t 

con t  R , vimos que su representación

gráfica es una hélice. 

r ' (t )    sen t , cos t , 1 



r ' (0)    sen 0 , cos 0 , 1    0, 1, 1 

 

 r ' ( 0)   0 ,  r ' (0) 

T (0 ) 

1 2

  2  

1

,

Las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice en el punto P ( 1, 0, 0 ) son

x 1   y  t con t  R z t  7.4 REGLAS DE DERIVACIÓN Sean r 1 y r 2 funciones vectoriales derivables, c un escalar y f una función real derivable. Entonces a.

d dt

r

b.

d dt

 cr

c.

d dt



d.

d dt

r

e.

d dt

r

f.

d dt

r

1

1



( t )  r 2 (t )  ( t )  r 2 (t )



( f (t ) ) 

dt

d r 2 (t ) dt

dt



1



d r 1 (t )



(t )  c

f ( t )  r 1 (t ) 

1

d r 1 (t )



(t )  r 2 (t ) 

1

d r 2 (t ) d f (t )  r 1 (t )  f (t )  dt dt d r 1 (t ) dt



 r 2 (t )  r 1 (t ) 

d r 1 (t ) dt

d r 1 ( f (t )) dt

d r 2 (t ) dt

 r 2 (t )  r 1 (t ) 

d r 2 (t ) dt

 f ' (t )

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Observación: en c)”.” indica el producto entre una función real y una función vectorial; en d) “•” indica producto escalar entre funciones vectoriales y en e) “x” es el producto vectorial entre funciones vectoriales. 8.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES VECTORIAL Al igual que en el caso de la derivación, para integrar una función vectorial solo es necesario integrar cada una de sus funciones componentes.

r Definición: sea r (t )  f (t )iˆ  g (t ) ˆj  h(t )kˆ una funcion vectorial con r continuas en el intervalo cerrado [a,b], la integral indefinida de r (t ) es

f ,g y h

r

r (t )dt  � f (t )dt � iˆ  � g (t )dt �ˆj  � h(t )dt � kˆ � � � � � � � � � �

r mientras que la integral definida en el intervalo cerrado [a,b] de r (t ) es

b b b � � � � � �ˆ r ˆ ˆ r ( t ) dt  f ( t ) dt i  g ( t ) dt j  h ( t ) dt � � � � � �k � � � � a a a a � � � � � � b

r Cuando integramos r (t ) en una integral indefinida obtenemos una constante de r integración C , que es un vector constante y nos sirve para diferenciar una familia de r r r r r funciones vectoriales R (t )  C ( las primitivas de r (t ) ) tal que R´(t )  r (t ) ó r r r r ( t ) dt  R ( t )  C . � r

r (t )dt  � f (t )dt � iˆ  � g (t )dt �ˆj  � h(t )dt �kˆ   F (t )  C  iˆ   G (t )  C  ˆj   H (t )  C  kˆ � � � � � � � � � �

r r   F (t ) iˆ   G(t )  ˆj   H (t )  kˆ  C1iˆ  C2 ˆj  C3kˆ  R(t )  C ESCUELA PROFESSIONAL DE INGENIERIA METALURGICA

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1 ˆ r j  5kˆ Ejemplo: integrar la función vectorial r (t )  2tiˆ  2 t �� 1  1 � � r ˆ � � r ( t ) dt  (2 t ) dt i   t 2� dt �ˆj  � 5dt �kˆ Solución: � � � � � � � � �� 2 � � � � r � 12 � r 2 ˆ ˆj   5t  C3  kˆ  t 2iˆ  t ˆj  5tkˆ  C � � r ( t ) dt  t  C i   t  C � � 1 2 � � � � � r Ejemplo: integrar la función vectorial r (t )  3t 2iˆ  4tjˆ  3 tkˆ para 1 �t �2 �2 2 � � 2 � �2 13 �ˆ r r ( t ) dt  3� t dt � iˆ  � 4� tdt �ˆj  � t dt �k Solución: � � � 1 1 �1 � �1 � � � 2





2 3 23 2 1 3� r 3 2 ˆ 2 2 ˆ 3 4� ˆ ˆ ˆ � � � � r (t )dt  � t �i � 2t � j  t k  9i  6 j  kˆ � 1 1 � � 1 4 4 1 2

r Si conocemos la condición inicial de la función vectorial r (t ) podemos aislar una de las r r primitivas de la familia de funciones que constituyen la integral definida de R (t )  r ´(t ) r r R (t )dt tal que r (t )  � Ejemplo: hallar la primitiva de R (t ) 

r 2 ˆ i  6t 2  1 ˆj  3kˆ sabiendo que R (t )  rr´(t ) y t





r que r (0)  5iˆ  3 ˆj  kˆ Solución: 1 r r r 4 t3 ˆ r (t )  � R(t )dt  2 � t 2 dt  � 6t 2  1 dt  3� dt  i  2t 3  t ˆj  3tkˆ  C 3





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



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r r r Si cuando t  0 , r (0)  0i  0 j  0k  C  5iˆ  3 ˆj  kˆ entonces C  5iˆ  3 ˆj  kˆ , por lo � r �4 t 3 4 t3 ˆ r 3 ˆ ˆ r ( t )  i  2 t  t j  3 tk  C �  5� iˆ  2t 3  t  3 ˆj   3t  1 kˆ es la tanto � � 3 �3 � r primitiva de r (t ) que cumple con la condición inicial.





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



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