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• Marco Antonio Salas Marin

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PRE - U Equipo Algebraico

PAR ORDENADO Es un ente matemático que consta de dos elementos e importa el orden en su representación.

 a ;b   a ;a ;b 2

1

da

ra

tales que cada elemento x  A le debe corresponder un único elemento y  B . NOTACIÓN FUNCIONAL f f : A  B  A  B

Componente

Se lee: función “f” de A en B.

Componente

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Teorema

 a ;b    c ;d   a  c  b  d PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjuntos no vacíos “A” y “B”; el producto cartesiano de A en B está dado por todos los pares ordenados  a ;b  de modo que "a "  A y "b " B , es decir:

A  B   a ;b  / a  A  b  B

RELACIONES BINARIAS Sean “A” y “B” dos conjuntos no vacíos se llama relación de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano A B R es una relación de A en B  R  A  B

Llamado también conjunto de preimágen y está dado por todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función: Notación: Sea f : A  B Df  Dom  f    x  A / !y  B /  x;y   f

RANGO DE UNA FUNCIÓN Llamado también conjunto de Imágenes y está dado por todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función. Notación: Sea f : A  B Rf  Ran  f    y  B / x  A   x;y   f

REGLA DE CORRESPONDENCIA

FUNCIÓN Dados dos conjuntos no vacíos A y B se llama función de A en B a aquel conjunto de pares ordenados  x ;y  ,

Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del Rango. Sea f : A   B , entonces:

y  f x  Denotada la dependencia entre “x” e “y”. x: Variable independiente y: Variable dependiente. FUNCIÓN DE VARIABLE REAL Sea f : A   B diremos que “f” en una función real de variable real, si A y B

¿Cuál de las siguientes funciones no es función de B en A? a) f1   2; 1  ;  0;3  ;  5;4  b) f2   2;3  ;  5;7  c)

d) f4   3;  2  ;  4 ;0  ;  7;5 e) f5   2;7  ;  0;7  ;  5;7

son dos subconjuntos de los reales, es decir: A  B





03. Sean las funciones:

F   2;3  ;  4 ;b  ;  2;1 

G   1;7  ;  2;a  ;  0;3

TEOREMA Sea f :   Si toda recta paralela al eje “y” corta a la gráfica de “f” a lo más en un punto, dicha gráfica será la representación de una función. Ejemplo: y y



Donde se cumple que: F  2   G  2   F  2   9 G  1   F  4   G  0   16 Calcular: “ a  b ” a) 25 b) 36 c) 11 d) 18

e) 30

04. Sean:

F   2;3  ;  5;7  ;  8 ;2  ;  9;7 

RECTA

RECTA

f3   0;7  ;  5;3  ;  2;3 

G   4;1  ;  9;6  ;  2;6  ;  1;10 

Es Función

Calcular: n  Dom  G    n  Ran  F   a) 3 b) 4 c) 6 d) 5 e) 7

x

x No es Función

05. Si “F” es una función definida por:

F

PRÁCTICA EN CLASE 01. De las siguientes relaciones indicar

 4 ;k  ; 5;2k  ; 7;2k

2



 1  ;  4;2k  1 

Entonces la suma de los elementos del rango es: a) 6 b) 11 c) 8 d) 13 e) 9

la que es una función: a) R1   1;  7  ;  2;  7  ;  3;5 

b) R2   3; 7  ;  3; 3  ;  2;5 

06. Indicar verdadero o falso a las

c)

siguientes proposiciones: I). F   a ;4  , es una función, si “a”

d) e)

R3   1;5  ;  2; 3  ;  2; 7

 R4   2; 5  ;  2; 7  ;  2; 3  R5   2;3  ;  5; 1  ;  5; 7 

es un número primo. II). n  Dom  F   siempre es n  Ran  F  

02. Dados los conjuntos:

A   1;3 ;4 ;7   B   2;0;5 

III). Si “F”   Dom F  Ran  F  2

es

una

igual

al

función:

a) VVV d) FFF

b) VFV e) VFF

 x  1; Si :x  3  f  x    x ; Si : x  3   x  2; Si : x  3

c) VVF

07. Cuantos

de los siguientes conjuntos representan a una función? F   1;2  ;  2;3  ;  3;4  ;  4 ;5 

Calcular: C  f  8   f  3   f  0   f  3  a) 3 b) 2 c) 5 d) 6 e) 4

G   7;4  ;  2;6  ;  1;0  ;  2;3 

H   0;0 

I   1;6  ;  2;6  ;  3;6  ; 1; 6

13. Si  2;5  es un punto que pertenece

a la gráfica de la función f  x   x 2  k ,



calcule el valor de: “m + 3” si  5;m 

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 08. Sea la función:   2 ;11  ;  5 ;a  2b  ;  4 ;7  ;  G  2 ;3a  5b  ;  5 ;4    Dar como respuesta: “ a b ” a) –1 b) 1 c) 2 d) –2 1/2

también pertenece a la grafica de la función f. a) 29 b) 0 c) 6 d) 3 e) 7

e)

14. De las graficas, ¿Cuántas son las

funciones? y

09. Si el conjunto:

G   a ;3b  ;  a ;a  b  ;  2b;12 

Es una función; hallar “ a  b ” a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

y H

F

x

e) 6

y

10. Si el conjunto:

H   5;a  1  ;  2;b  7  ;  2;9  ;  5;10 

Es una función, numérico de: a) 5

b) 4

11. Hallar

el

indicar

ab c) 3

valor

de

 3;8  ; a ;7  ; 2;1  ; 3;a

a) 4 d) a  b

b)  2 e) a  c

el

e) 2

“a” 2

a) b) c) d) e)

valor

d) 1

función: F

x

en



 2a ;  4 ;0 

la

G

0 1 2 3 4

x

15. Que graficas son funciones?



I.)

y

II.)

y G

F

c)  3

x

x

12. Sea la función:

III.) 3

y H

x

F  x   4  3x  x b)  1;4  c) 2

a) b) c) d) e)

a)

Solo I Solo II Solo III I y II II y III

d)

 4 ;  1 

e)  1;  

21. Hallar el Rango de:

F  x   4x  3 ; x   1 ; 3 

16. De las graficas, ¿Cuántas son las

funciones? y

 1;4   4 ;1 

 7 ;9 

d)

7 ;9

b) 7 ;9 

c)   7 ;9

e)  7 ;9

22. El dominio de la función:

y

F

a)

H

x

1  4 x 2  9 x x 3 Es  a; b   c , halle a  b  c . Gx  x  2 

x

a) 12 14

b) 15

c) 11

d) 10

e)

23. Halle el rango de la función:

f x 

y

a) b) c) d) e)

0 1 2 3 4

G

a)

1 ;1 4 9 ;4 d) 4

x x2 x3 c)

17. Hallar el dominio de: F  x  

a) d)

 3  0

b)   3  e) 

18. Hallar el dominio de: F  x  

a)

b)

d)   4 

e)

 2 ;  2

c)

9 ;5 4

2x  8 ; si Domf  2;5 x 3 1 ;5 b) 4

e)

c)

1 ;4 4

24. Sea f  x   4 

x3

Donde Domf 

2

x 4   2 

 x  6 2  9 ; 11

Halle el Rango de f. a) 0;   b) 7;  

  4 

6;   d) 9;  

19. Hallar el dominio de:

Fx  5  x  x  4 Y dar como respuesta la suma de valores enteros de su dominio. a) 5 b) 20 c) 39 d) 15 e) 0 20. Hallar el dominio de la función: 4

e) 8;  

c)

25. Si x 

5 ;2  , calcule el rango de

1 . x 2  25  1 1 a)  ;  b) ; 25 25 

30. Si el conjunto de pares ordenados



1 d)  ;   25

e) ; 





Es un función, calcule la suma de elementos del rango, si a  0 . a) 4 b) 3 c) 0 d) 1 e) 2

1  c) ;   25  1 25

31. Sea f una función tal que

f : 3, 4, 5, 9  B

26. Sea la función lineal: b  7a  9  f(x)    2  x 2  (a  b)x  4  3a  11 

x  f  x   2x  3 Halle el rango de f. a) 3,5,6,9

cuya gráfica corta al eje “y” en 5. Calcular “b – a” a) 51 b) – 11 c) 21 d) 11 e) – 51

c) 1,1, 3,6

b) 3,5,7,15 d) 3, 4,5,9

e) 1, 2, 3, 5

27. Sea la función:

f(x) 



f  1;0  , 3; a2  2 ,  4;0  3; a  b  ,  4; b  2 

f x 

32. Sea

x  2a  6  a  x

la

función

f  x   ax 2  bx  c

además se cumple f 1   0  f  1   6  f  0   1

Hallar la suma de los elementos enteros del dominio máximo, donde “a” es el menor entero no negativo. a) 15 b) 21 c) 17 d) 35 e) 28

que calcule

f  4 . a) 1 d) 4

b) 21 e) 9

c) 3

33. Sea f una función cuya regla de

correspondencia es:  3x  2;x  2  2 f  x    x  14; 2  x  2  x  3 ;x  2 

28. Hallar el rango de:

a)  0 ; 3  d)  1 ; 4 

f(x) 

4  x2  1

b)  1 ; 3 

c)  1 ; 3 

e)  2 ; 3 

  4    f f1 

Calcule: f f a) – 24 d) 60

29. Si el conjunto de pares ordenados

f   4;3  2; x  4; y  17;5  2; y 

Representa una función. Halle Domf  Ranf a) 4, 2,7 b) 4  d) 2;4

b) 16 e) 0

c) 8

34. Sea f  x   x 2  4 x , una función cuyo

mínimo valor es a; calcule a. a) 0 b) 2 c) 4 d) – 1 e) – 4

c) 2;7

e) 3;4 5

35. Sea f  x  

a)   4  b)   2;4  d)

2  x2

Donde Domf  a; b  c 

a3  b 3  c 3 abc a) – 3 b) 1/3 d) – 1/3 e) 3

  4 

  2   4 ;2

c) e)

40. Hallar el dominio de la función:

Calcule

1 1 x

Fx 

c) 0 a)

b) 0;1

 0 ;1 

c)

 1;1 

36. Sean:

d) a  b

Dos funciones cuyas gráficas se cortan en los puntos  a; b    c; d  donde a > c.

41. Hallar el rango de la función:

f  x   2 x 2  3 x  1  g  x   x 2  6 x  5

hallar a  b  c  d . a) 2 b) 1 d) 8 e) 4

e)

Hx 

1;1

1 x  4 ; x  3;6 3 b) 3;  6 

c)

 5 ;  2  5 ;0 

37. Sea función H tal que:

e)

5 ;  2

2 x 4 Además DomH  5;8

42. Hallar el rango de la función:

a)

c) 6

H x 

Hallar el Ran H. 1 ;4 a) 2

1 ;1 4 1 ;2 d) 2

a)

b)

d)

1 ;1 2

 5 ;30   9 ; 25 

e)  5 ; 21 

c)  9 ;  

c) 43. Hallar el dominio de la función:

Fx  a) x   1;6 

x 1  6  x b) x   1;5 

x   3 ;6 

e) x  1;4

c)

e) 1;2

e) x  1;6

De Ran  F    4 ;  1 

1 x3 2

Hallar el dominio: a)  2 ;4  b)  2 ;5 

 4 ;  1 

Fx  x  9 b)  6 , 28  2

38. Sea la función: f  x  

d)

d)  5 ; 2 

c)

44. Cual es el dominio de la función:

F  x    x  1  x  9  a) x  1;9 b) x   ;1  9 ;  

 1; 2 

c) x  e) x 

e)  4 ;2 

 1;9

45. Si el rango de la función:

39. Hallar el dominio de la función:

Fx 

e) x  

x7

Fx 

2

x  2x  8 6

x 2

2

x 1

Es  a ; b , entonces: “ a  b ” es: a) 1 b) 2 d) 4 e) 5

gx  x  3 Halle: Dom  f   Dom  g 

c) 3

a)  3, 

b) 3, 

c)

d) , 3

e) , 3

3, 

 , 3 

46. Dada las siguientes funciones de

Variable real cuya correspondencia es:

regla

x 1 ; G x   x2 Hallar: Dom  F   Ran  G  a)  1;1   2 ;   Fx 

b) c) d) e)

de

3 3 51. Si: f  g  x    x  x  1 ; g  x   x  1

3  x 1

Halle g  f  9   . a) 10 3  1 3

d) 12  1

 1;1   3 ;    1;0   2 ;    1;1   0 ;     2;2 

3

c) 11  2

3

e) 11  1

los pares ordenados  3, 1  y  1,3  , pertenecen a la función lineal:

52. Si

f  x   ax  b

El valor de “ a  b ”, es: a) – 7 b) – 3 7 d) 1 e) – 1

47. Halle el dominio de la función:

Fx 

3

b) 11  1

49  x

2

c)

2

x 6 b) x   ;7

a) x  7 ;3 c)

x   7;  6 

d) x 



6 ;7 

53. Dadas las funciones:

f  x   3x  2 ; g  x   x 2  2x  4 Hallar “a”, Si: f  a  1   g  a   3 a) 2  3 b) 2   3 c)  2  3 d) 2  3 e) 2

6 ;7 

e) x  

48. Hallar el rango de la función:

Fx 

a)

1;3

e)

 0 ;1 

54. Si: f : 1;2;3;4  

2

x  2x  3 b) 2;5 c) 1;4

Halle la suma de los elementos del Ran  f  . a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

e)  0 ;2 

49. Si: F  x   a

bx  1 ; es una función tal que F  0   2 ; F  1   4 ; calcule el valor de  a  b  . a) 4 b) 5

c) 6

d) 2

/ f x   x  2

55. Sean “f” y “g” dos funciones: f  x   ax  3  g  x   bx  a

Si: f  2   13  g  1   13 Hallar “ a  b ” a) 12 b) 13 d) 15 e) 16

e) 10

50. Sean las funciones:

f  x   x  5x  6 2

7

c) 14

F  x   ax b , la imagen de 1 es 7 y la preimagen de 56 es  2 , entonces “ a  b ” es igual a: a) 11 b) 10 c) 9 d) 8 e) 7

56. Sean “f” y “g” dos funciones:

f  x   ax 2  5 y g  x   bx  8 Si  2;17  pertenece a la función “f” y f  3   g  1  , hallar “ a  b ”.

a) 24 d) 27

b) 25 e) 28

57. Sea la función “f”, f  x   2x  1 , si Dom  f    x 

62. Si el dominio de la función:

c) 26

G x  

que: / 1  x  5 , halle la suma de elementos del Ran  f  . a) 30 d) 33

b) 31 e) 60

tal

Es

c) 32

  3;n 2  ,  n;n  1  ,  2;5  ,  3;n  2  b)  1 e) 2

59. Sea la función “f”, f  x   3x  2 , si Dom  f    x 

c) 18

63. Hallar el rango de la función: 4x  7 f x   5x  3 5 4 7 a)  b)  c)  4 5 3

Sea una función definida en el campo de los enteros. a)  2 d) 1

x 3  7x  6

Calcular: m 2  n 2  p 2 a) 10 b) 16 d) 12 e) 14

58. Hallar el valor de “n” para que:

f

  m;n;p  ,

x 2  12x  11

d) c) 0

  

 

4 5



e)



 1 

64. Hallar el dominio de la función:

Hx 

tal que: / 2  x  6 ,

2 4 x

Indicando el número de enteros que posee. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

halle la suma de elementos de Ran  f  . a) 25 b) 31 c) 42 d) 51 e) 62

valores e) 2

65. Halle el rango de la función: 60. Si: F  x   5x  1  G  x   nx  m

  2 F x   x  9 ; x  4   3x  11 ; x  4   6 ;  a) b)  9 ;  c)  7 ;  d)  5 ;  e)  8 ; 

Calcular: M  F  G  n    G F  m    G  b   G  a  Sabiendo además que los pares ordenados:  1;b  ,  1;n  3  ,  2;a  ,

 2;m  1  son elementos de F.

66. Sean las funciones cuadráticas:

a) 20 b) 24 c) 28 d) 32 e) 34 61. Dada la función F definida por:

F  x   5x 2  2x  3

G  x   4x 2  12x  9

H  x   x 2  4x  7

T  x   x 2  4

¿Cuáles cortan al eje “x” en dos puntos diferentes? a) F  T b) G  H c) H  T 8

d) F  G e) G  T 67. Dada la función: F

73. Hallar el rango de la siguiente

función:

  1, k  ,  1;k  6  ,  k;5  ,  3;k  ,  2; t  2

Además: G  x   kx  t     F k G t a) 15 b) 20 c) 15

,

f(x) 

a) 0 ;2 

calcular:

d) 25

d)  2 ;0 

e)  5

68. Hallar el dominio de: 1 1 F(x)   x x2 5x a) 0;5 b) 0 ;5    2  c) 0;5   2

e)  0 ;5   2 

d) 5;5   2

69. Hallar el valor mínimo que tiene la

ordenada en la siguiente función: F(x)  x 2  x  3

a)  d)

1 2

1 2

b) 3

c)

e) 

11 4

11 4

70. Dadas las funciones: x 1 f(x)  ; g(x)  x 2  1 x2 Calcular: Dg  R f

a) 0;    2  1;1 d) 1;1 

b) ;0

c)

 ; 1   1; 

e)

71. Hallar el dominio de: f(x) 

a) ; 2   1;  ; 2   1;  c)

; 1   2; 

e)

; 2   1;9

x 1 x2

b) d) ;2   1; 

  3x 2  1;x  3 72. Sea: F(x)     2x  5;x  3

Hallar: F(5)  F(2)  F(3) a) –9 b) 15 d) –7 e) 17

c) 16

9

4  x 2 ;x  2;2

b) 2;2 e) 0;

c)  0 ;