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Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado. M. Sc. Jorge Hernández

03/06/08

Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández

Contenido. 1. Definición de función. 2. Definición de Dominio de una función. 3. Lista de funciones básicas 4. Operaciones con funciones 5. Funciones polinomial y racional 6. Composición de funciones.

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Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández

Funciones. 1. Definición de función: Una función f es una regla que asocia a cada elemento x de un conjunto de números reales A, un único número real y en un conjunto B.

2. Notación:

f :A→ B La expresión indica que f es una función, que toma valores del conjunto A y los transforma en valores de un conjunto B. Veamos el siguiente gráfico.

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Funciones.

Este gráfico muestra como actúa una función f desde un conjunto A hacia un conjunto B. Toma un valor x y le hace corresponder un valor en B denominado f(x). Este valor debe ser único, no puede ocurrir algo como de muestra en el siguiente gráfico.

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Funciones.

Por ejemplo, podemos pensar en la raíz cuadrada de un número positivo:

9 = ±3 En este caso, tomar la raíz cuadrada como regla, no es función.

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Funciones. 3. Definición de Dominio de una función. Es el conjunto de valores numéricos que la función puede procesar. En general, estos valores corresponden a la variable x.

Ejemplo: La función definida por medio de

f ( x) = x − 2 Tiene como dominio al conjunto de números reales mayores o iguales a 2, es decir, el intervalo

[ 2, ∞ )

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Funciones. 4. Lista de funciones básicas.

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f ( x)  k

Dom( f )  R

f ( x)  x

Dom( f )  R

f ( x)  kx

Dom( f )  R

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Funciones. f ( x)  x n

Dom( f )  R

f ( x)  n x

 R si n es impar Dom( f )     0,   si n es par

f ( x)  1/ x

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Dom( f )  R   0

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Funciones. 5. Operaciones con funciones. Las operaciones básicas entre las funciones anteriormente definen nuevas funciones que conoceremos como función suma, función multiplicación y función división o cociente. 5.1 Función suma:

( f ± g )( x) = f ( x) ± g ( x)

5.2 Función multiplicación:

( f .g )( x) = f ( x).g ( x)

5.3 Función División:

( f / g )( x) = f ( x) / g ( x)

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Funciones. El dominio de las funciones suma y multiplicación es

Dom( f ± g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g )

Dom( f .g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g ) Pero el dominio de la función división es

Dom( f / g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g ) − { x : g ( x) = 0}

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Funciones. 6. Función Polinomio. Esta función es una función suma de multiplicaciones de funciones constantes por funciones potenciales o identidad. La forma general es

f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ...... + a1 x + a0 Su dominio es la intersección de todos los dominio de las funciones que se suman, pero como esos dominio son todos el mismo conjunto R entonces el dominio resultante es el mismo R.

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Funciones. 7. Funciones Racionales generalizadas. Una función se denomina racional generalizada si es la división de dos polinomios. Tiene la forma siguiente.

p ( x) an x n + an −1 x n −1 + ...... + a1 x + a0 f ( x) = = q ( x) bm x m + bm −1 x m −1 + ...... + b1 x + b0 El dominio de una función de este tipo es

Dom( f ) = R − { x : q ( x) = 0} = R − { raíces deq}

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Funciones. 8. Composición de funciones: La composición de funciones es una operación que se realiza sustituyendo el valor de una función en el argumento de otra. Como se ve en el gráfico, el valor de x es procesado por la función f, la cual emite el valor f(x). Este a su vez es procesado por la función g, la cual emite el valor g(f(x)).

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Funciones. Entonces, definamos la función compuesta de g con f :

( g  f )( x) = g ( f ( x)) El símbolo ◦ se lee “compuesta con”. Un ejemplo nos ayudará a entender la definición. Ejemplo: Sean f y g funciones definidas por medio de

f ( x) = x 3 + 1 y g ( x) = 3 − 2 x

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Funciones. Veamos el siguiente esquema:

f ( x)  x3  1 g (( x))  3  2( x3  1)

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Funciones. De esta manera, la función compuesta de g con f es la función

g ( f ( x)) = 1 − 2 x 3 En general, la composición de g con f, no es la misma que la composición de f con g.

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Funciones. Fin de la presentación. Gracias por su atención.

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