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3.3 Producto Cartesiano.

3.3.1 Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los

pares

ordenados

de

primera

componente

en

A

y

segunda

componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente: A x B = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}. En consecuencia: (x, y) ∈ A x B ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B (x, y) ∉ A x B ⇔ x ∉ A ∨ y ∉ B En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:

R x R = {(x, y) / x ∈R ∧ y ∈ R }. R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica de también plano numérico.

R x R es el plano cartesiano llamado

R

Se establece una relación biunívocaentre

x

Ry el conjunto de los

puntos del plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x,y). Ejemplo 1: Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

Ejemplo 2: Sean A = {x / x ∈R ∧1 < x ≤ 3 }, B = {x / x ∈R ∧−2 ≤ x < 2 }. Su representación geométrica es:

A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen a los segmentos PQ y QR. Ejemplo 3:

Sean A = {x / x ∈N∧1 ≤ x < 4}, B = {x / x ∈R ∧1 ≤ x ≤ 3}. Representar A x B en el plano cartesiano.

Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n−adas ordenadas (a1, a2,..., an) tales que ai∈ Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An.

3.3.2 Propiedades del producto cartesiano.

3.3.2.1 A ⊂ X ∧ B ⊂ Y ⇔ A x B ⊂ X x Y. 3.3.2.2 A x B = 0 ⇔ A = 0 ∨ B = 0.

3.3.2.3 A ≠ B ∧ A x B ≠ 0 ⇒ A x B ≠ B x A. 3.3.2.4 A x (B • C) = (A x B)( A x C). 3.3.2.5 A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ). Demostración de 3.3.2.2: Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ≠ 0 y B ≠ 0; entonces existen elementos a y b tales que a ∈ A y b ∈ B. Luego la pareja (a,b) ∈ A x B, en contradicción con la hipótesis de que A x B = 0. Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ≠ 0, existirá (a, b) ∈ A x B entonces a ∈ A en contradicción con la suposición de que A = 0. Análogamente se razona en el caso de que B = 0. Demostración de 3.3.2.4: (x, y) ∈ A x (B • C) ⇔ x ∈ A ∧ y ∈ B • C. ⇔ x ∈ A ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C). ⇔ ( x ∈A ∧ y ∈ B) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ C). ⇔ (x, y) ∈ A x B ∧ (x, y) ∈ A x C. ⇔ (x, y) ∈ (A x B) • (A x C). 3.3.3 Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntos finitos A y B se tiene:  A x B  =  A  B . puesto que: A x B = {(a, b): a ∈ A ∧ b ∈ B}. y para cada una de las  A  elecciones de a en A hay  B elecciones de b en B para formar el par ordenado (a, b).

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, los cuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:

Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante. 3.3.3.1 Reglas del producto. •

Para conjuntos finitos A1, A2,..., Ak, se tiene: k  A1x A2x ... x An= Π  Aj  j =1

•

De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como un conjunto de k−adas ordenadas de la forma (a1, a2,..., ak) con la siguiente estructura. Hay n1 elecciones posibles de a1. Dado a1, hay n2 elecciones posibles de a2. Dados a1 y a2 hay n3 elecciones posibles de a3.

•

En general dados a1, a2,..., aj−1 hay nj elecciones posibles de aj. Entonces el conjunto tiene n1, n2,..., nk elementos.

Ejemplo 5: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas con reemplazo de una baraja de 52 cartas. Solución: En este problema deben considerarse quintillas ordenadas de cartas de baraja. Con reemplazo significa que cada carta se regresa a la baraja antes de sacar la nueva carta. El conjunto de formas de

seleccionar 5 cartas con reemplazo está en correspondencia uno a uno con: D x D x D x D x D = D5. Donde D es el conjunto de cartas con 52 elementos. Por la tanto el conjunto de cartas tiene 525 elementos. Ejemplo 6: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas sin reemplazo de una baraja de 52 cartas. Solución: Esta vez la regla del producto no puede aplicarse puesto que no se permiten todas las quintillas ordenadas en D 5. Específicamente están prohibidas las quintillas donde se repita una carta. Sin embargo es posible razonar de la forma siguiente: La primera carta puede seleccionarse de 52 maneras. Una vez seleccionada, la segunda carta puede elegirse de 51 maneras. La tercera carta puede escogerse de 50 formas, la cuarta de 49 y la quinta de 48. De esta forma, pueden elegirse 5 cartas sin reemplazo de 52 • 51• 50 • 49 • 48 maneras diferentes.

Ejercicios 3.3 1) Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientes igualdades: (x + y, 1/2) = (1, x − y) (x + 2, y) = (3y, 2x) 2) Demostrar los teoremas 3.3.2.1, 3.3.2.3, 3.3.2.5. 3) Demostrar que (A x B) (C x D) = (A x D) (C x B). 4) ¿Cómo deben ser A y B para que en A x B existan parejas que tengan iguales las dos componentes?.

5) Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el 3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagrama cartesiano de: A x B y B x A. 6) Sea S = {100, 101,..., 999} así que  S = 900. •

¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es un 3 o un 7? Ejemplos: 300, 707, 736, 103, 997.

•

¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es 3 y al menos uno que es 7? Ejemplos: 736, 377.

7) Sea T = {1000, 1001, ..., 9999} ¿ Cuántos enteros en T tienen al menos un dígito que sea 0, al menos uno que sea 1 y al menos uno que sea 2? Ejemplo: 1072, 2101. Sugerencia: Sea, Ak = {n ∈ T: n no tiene dígito igual a k}, k = 0,1,2. Entonces, Ak' = {n ∈ T: tienen al menos un dígito igual a k}. 8) Sea: L = {a,b,c,d,e,f,g} ¿Cuántas palabras de longitud 5, pueden formarse con los elementos de L?. ( Aquí se entiende por palabra una sucesión cualquiera de signos de L). 3.4 Relaciones. 3.4.1 Definición. Una relación es un conjunto de parejas ordenadas. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, R es una relación de A en B sí y sólo sí R es subconjunto de A x B. Si R ⊂ A x A se dice que R es una relación de A en A o simplemente una relación en A. 0 y A x B son relaciones de A en B, puesto que 0 ⊂ A x B y A x B ⊂ A x B.

Si (x,y) ∈ R se escribe x R y y se lee "x está en relación con y".

Ejemplo 1: Sean: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6, 8}. R1 = {(3, 2), (1, 8), (5, 4)} es una relación de A en B. R2 = {(3, 8)} es una relación de A en B. R3 = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x > y} = {(3, 2),(5, 2),(5, 4)}. R4 = {(x, y) / x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ x + y ≤ 7} = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (3, 2), (3, 4), (5, 2)}. R5 = {(1, 5), (3, 3)} es una relación de A en A. R6 = {(2, 3), (6, 1)} es una relación de B en A. R7 = {(3, 6), (1, 4),(5 ,8), (2, 1)} no es una relación de A en B y tampoco de B en A. R8 = {(x, y) / x ∈ A , y ∈ B, x − y = 0} = 0. 3.4.2 Dominio de una Relación. Definición. Sea R una relación. Se llama Dominio de R y se denota por

D(R)

al conjunto formado por todas las primeras componentes de las

parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto:

D(R) = { x / (∃ y) (x, y) ∈ R} En consecuencia, x ∈ D(R) ⇔ (∃ y)((x, y) ∈ R). x ∉ D(R) ⇔ (∀ y)((x, y) ∉ R).

3.4.3 Rango de una Relación. Definición. Sea R una relación. Se llama Rango de R y se denota por γ (R) al conjunto formado por todas las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a R. Por lo tanto: γ (R) = { y / (∃ x) (x, y) ∈ R} En consecuencia, y ∈ γ (R) ⇔ (∃ x)((x, y) ∈ R). y ∉ γ (R) ⇔ (∀ x)((x, y) ∉ R).

Ejemplo 2. En las relaciones del ejemplo 1 se tiene:

D(R ) = {3, 1, 5} γ (R ) = {2, 8, 4} 1

1

D(R ) = {3} γ (R ) = {8} 2

2

D(R ) = {3, 5} γ (R ) = {2, 4} 3

3

D(R ) = {3, 1, 5} γ (R ) = {2, 4, 6} 4

4

D(R ) = {3, 1} γ (R ) = {5, 3} 5

5

D(R ) = {2, 6} γ (R ) = {3, 1}. 6

6

Ejemplo 3. Sea S = {(x, y) / x ∈ R∧y ∈ R∧y < x}. El siguiente gráfico es un representación cartesiana de S. La recta y = x no hace parte de S.

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3}. Sea R la relación: "x es menor que y" Entonces, R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}.

D(R) = {1, 2}, γ (R) = {2, 3}.

FUNCIONES REALES Y SUS GRAFICAS Definición

X f x

.

Y y

.

una función es una relación entre dos conjuntos, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda; donde X e Y son dos conjuntos y f es una regla que hace corresponder a cada elemento de X un único elemento de Y. Al Conjunto X se le llama dominio de la función y al conjunto Y conjunto de llegada de la función (Rango). A una función se le denota comúnmente por: f(x) y se lee “la función f de X en Y”. Para indicar que a un elemento x de X, f le hace corresponder el elemento y de Y se escribe Y = f(x) , lo cual se lee y es igual a f de x , lo que significa que y es el valor que toma f en x o que y es la imagen de X mediante f. El elemento x, en este caso, es una preimagen del elemento y. A la variable que usamos para denotar los elementos del dominio se llama variable independiente y la variable que denota la imagen variable dependiente (y). Ejemplo: z = f(t), en cuyo caso la variable independiente es t y la variable dependiente es z. y = f(x) x = variable independiente y = variable dependiente

Dadas las funciones: f: x  y y g : x  y

Diremos que: f=g 

f ( x) = g(x)

∀x ∈ X

El rango de la función f: xy es el conjunto formado por todas las imágenes. Esto es Rango de f ={ f(x)

∈

Y/ X

∈

X}

Al dominio y al rango de una función f: XY lo abreviaremos Dom(f) y Rang(f)

Ejemplo 1:

gráfico 1 a 1 b 2 c 3 d 4 5

X

Y

Sean X = {a,b,c,d}, Y={1,2,3,4,5} Y la función f : XY, cuya regla f está dada por el gráfico 1

El dominio es el conjunto: Dom(f) = X ={a,b,c,d} El rango es el conjunto de llegada: Rang(f) = [3,4,5] La regla f establece que f(a) =3, f(b) = 3, f(c) = 5, f(d) = 4.

Ejemplo 2: Sea X un conjunto cualquiera, a la siguiente función se le llama función identidad del conjunto X.

Ix: XX

Ix(x) = x

El dominio, es el conjunto de llegada y el rango es el conjunto X. La regla Ix hace corresponder a cada elemento x el mismo elemento x.

Recuerde: F(x) es una función si se cumple lo siguiente: 1. Que todo elemento del dominio debe tener una imagen 2. Que todo elemento del dominio tiene exactamente una imagen.

Estos Ejemplos: no son funciones.

X = Y2

Y=

± x

Porque a x le corresponde dos imágenes cuando X = 4, y Y=

2

± (Definiendo el rango: sobre todo el eje y) X

Y

1

8

2

7

3 El 3 no tiene imagen

Funciones Reales:

FUNCIÓN LINEAL

Toda función de la forma ,es una función lineal y su representación grafica es una línea recta, y lo que también podemos afirmar es que cuando nosotros deseamos conocer la pendiente de la recta lo que tendremos que hacer será ver al número que acompaña la x. FUNCIÓN CONSTANTE

Toda función de forma , donde c es una constante, recibe el nombre de función constante. Esta función tiene la característica de que a todo número real x del dominio, le asigna un mismo valor. FUNCIÓN COMPUESTA La definición indica que al calcular (f o g)(x), primero se aplica la función g a x, y después la función f a g(x) El dominio de f o g es el conjunto de todos los números x en el dominio de g, tales que g(x) se encuentre en el dominio de f.

Bibliografía www.gfc.edu.co/estudiantes/anuario/2001/sistemas/sergio/node5.html - 3k www.scribd.com/doc/132253/FUNCIONES-REALES-Y-SUS-GRAFICAS - 493k -