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´ FUNCIONES PATOLOGICAS

Funciones continuas y no derivables en punto alguno Juan Ram´on Balaguer Tornel Murcia - 19 de septiembre de 2009

´Indice 1. Funciones continuas no derivables 1.1. Algunos conceptos previos . . . . . . . . 1.2. Funci´on continua no derivable en ning´ un ducto infinito de Liu Wen (2002) . . . . 1.2.1. Definici´on y Demostraci´on . . . . 1.2.2. Aproximaci´on Gr´afica . . . . . . 1.3. La Funci´on de Van der Waerden (1930) . 1.3.1. Definici´on y Demostraci´on . . . . 1.3.2. Aproximaci´on Gr´afica . . . . . . 1.4. La Funci´on de Takagi (1903) . . . . . . . 1.5. La Funci´on de Weierstrass (1872) . . . . 2. Conclusi´ on

. . . . . . . . . . punto construida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . mediante pro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

2 2

. . . . . . . .

5 5 11 12 12 14 14 15 16

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Funciones Patol´ogicas Juan Ram´on Balaguer Tornel 19 de septiembre de 2009

1.

Funciones continuas no derivables

En 1872, Karl Weierstrass envi´o un art´ıculo a la Academia de Ciencias de Berl´ın dando el primer ejemplo de una funci´on continua que no es diferenciable en ning´ un punto. L¨ utzen escribe en A history of analysis: La funci´on de Weierstrass contradec´ıa la idea intuitiva de la mayor parte de sus contempor´aneas que apuntaba a que las funciones continuas eran diferenciables excepto en ’puntos especiales’. Fue una sensaci´on y, de acuerdo con Hankel, incredulidad cuando du Bois-Reymond la public´o en 1875. Esta funci´on dar´ıa paso a muchas otras, en este trabajo expondremos algunas de ellas.

1.1.

Algunos conceptos previos

Una sucesi´on de funciones {fn } se llama uniformemente convergente hacia f en un conjunto S si para todo ε > 0 existe un N tal que si n ≥ N entonces |fn (x) − f (x)| < ε para todo x de S. Teorema 1 Si la sucesi´on fn : T → R converge uniformemente hacia f : T → R y cada fn es continua en a ∈ T entonces el l´ımite f tambi´en lo es. En particular, si las funciones fn son continuas en todo punto, el l´ımite uniforme f tambi´en lo es. Demostraci´on: Por la convergencia uniforme, dado ε > 0 existe un m ∈ N tal que para todo t ∈ T se cumple |fm (t) − f (t)| < ε/3. Por ser continua fm en a, existe δ > 0 tal que si |t − a| < δ y t ∈ T entoces |fm (t) − fm (a)| ≤ ε/3, luego |f (t) − f (a)| = |f (t) − fm (t) + fm (t) − fm (a) + fm (a) − f (a)| ≤ |f (t) − fm (t)| + |fm (t) − fm (a)| + |fm (a) − f (a)| ≤ ε.

2

 Criterio M de Weierestrass Sea {fn } una sucesi´on de funciones y supongamos que {Mn } es una sucesi´on tal que |fn (x)| ≤ Mn ∀x ∈ A. P∞ P∞ Sup´ongase, adem´as que n=1 M converja. Entonces para todo x de A la serie n n=1 fn (x) P converge absolutamente, y ∞ f converge uniformemente en A hacia la funci´ on n=1 n f (x) =

∞ X

fn (x)

n=1

Demostraci´on: P El criterio de comparaci´on prueba que la serie fn (x) converge abasolutamente para todo x de A. Para cada x de A, tenemos ∞ ∞ N ∞ X X X X |fn (x)| ≤ Mn . fn (x) = fn (x) ≤ f (x) − n=1 n=N +1

n=N +1

n=N +1

P

Puesto que Mn converge, para cada ε > P 0 existe un entero N0 tal que m ≥ N0 P la serie m (x)| < ε M < ε. Esto prueba que |f (x) − implica ∞ n n=1 fnP n=m+1 para todo m ≥ N0 y todo x de A. Por lo tanto, la serie fn converge uniformemente hacia f en A.  Q Dada una sucesi´on {an } diremos que el infinito n≥1 an es convergente si la Qproducto sucesi´on {pn } de productos finitos pn = ni=1 ai = a1 · an tiene un l´ımite no nulo. Si la sucesi´on {pn } tiene l´ımite cero, diremos que el producto infinito diverge a cero. El l´ımite de {pn } se llama valor del producto infinito. Condici´ on de Cauchy de convergencia de productos infinitos Q El producto n≥1 an es convergente si y s´olo si para cada ε > 0 existe n0 tal que |an+1 · · · an+k − 1| < ε si n > n0 para todo k ≥ 1. Demostraci´on: Supongamos que la sucesi´on de los productos parciales {pn } tiene l´ımite p 6= 0. Existir´a δ > 0 tal que |pn | > δ. Puesto que {pn } es de Cauchy, dado ε > 0, existe n0 tal que si n > n0 y k ≥ 1, entonces |pn+k − pn | < εδ Dividiendo por |pn |, |an+1 · · · an+k − 1| < 3

εδ n0 y k ≥ 1, se verifica |an+1 · · · an+k − 1| < 1/2 y en particular, −1/2 < an+1 · · · an+k − 1 < 1/2

⇐⇒

1/2 < an+1 · · · an+k < 3/2

lo que muestra que si pn converge, no lo har´a hacia 0. Para comprobar la convergencia, escribamos qn = an0 +1 · · · an para n > n0 . Dado ε > 0, existir´a n1 , que podemos suponer mayor que n0 , tal que si n > n1 > n0 y k ≥ 1, entonces qn+k n1 y k ≥ 1 tenemos 3 |qn+k − qn | < ε|qn | < ε 2 que dice que {qn } es convergente y, por lo tanto, tambi´en lo es {pn }.



Q Se diceQque el producto infinito ∞ n=1 (1 + xn ) es absolutamente convergente cuando el ∞ producto n=1 (1 + |xn |) es convergente. Teorema 2: Q∞ Si n=1 (1 + an ) es absolutamente convergente, es convergente. Demostraci´ Q∞ on: Como n=1 (1 + xn ) es absolutamente convergente, por la condici´on de Cauchy, dado ε > 0, existe n ∈ N tal que si n > n0 y k ≥ 1, entonces (1 + |an+1 |) · · · (1 + |an+k |) − 1 < ε pero como |(1 + an+1 ) · · · (1 + an+k ) − 1| ≤ (1 + |an+1 |) · · · (1 + |an+k |) − 1 entonces |(1 + an+1 ) · · · (1 + an+k ) − 1| < ε 

4

1.2.

Funci´ on continua no derivable en ning´ un punto construida mediante producto infinito de Liu Wen (2002)

1.2.1.

Definici´ on y Demostraci´ on

P∞ Para cada n supongamos 0 < an < 1 y supongamos n=1 an < ∞, para cada n Q supongamos que pn es un entero par, y sea bn = nk=1 pk . Si1 l´ım 2n /(an pn ) = 0

(1)

n→∞

entonces f (x) = punto.

Q∞

n=1 (1

+ an sin bn πx) es una funci´on continua y no derivable en ning´ un

Demostraci´on: Primero probaremos que f (x) es continua. P∞ Sea a = m´ax{an : n ≥ 1}. P∞Entonces 0 < a < 1, puesto que 0 < an < 1 y n=1 an < ∞ y esto se debe a que al ser n=1 an < ∞ entonces l´ımn→∞ an = 0 as´ı que por la definici´on de l´ımite y tomando ε = a1 tenemos asegurada la existencia de un N ∈ N tal que si m ≥ N entonces am < a1 , as´ı que por ser {a1 , ..., aN } un conjunto finito tenemos garantizada la existencia del m´aximo a = m´ax{a1 , ..., aN } = m´ax{an : n ≥ 1}. La siguiente desigaldad se puede probar mediante m´etodos elementales x(1 + x)−1 ≤ log(1 + x) ≤ x

si x > −1

Tomando x = an sin bn πx tenemos: Si sin bn πx < 0 an sin bn πx | log(1 + an sin bn πx)| ≤ | 1+a |= n sin bn πx

an | sin bn πx| 1+an sin bn πx

≤

an 1+an sin bn πx

≤

Si sin bn πx ≥ 0 | log(1 + an sin bn πx)| = log(1 + an sin bn πx) ≤ an sin bn πx ≤ an ≤

an 1−an

≤

an 1−a

an 1−a

an Por lo tanto, criterio M de WeierP∞ tenemos que | log(1 + an sin bn πx)| ≤ 1−a . As´ı que por Pel n estrass n=1 log(1+an sin bn πx) converge uniformemente. Como k=1 log(1+ak sin bk πx) es continua por ser composici´on Pde funciones continuas, y al converger uniformemente, por el Teorema 1 tenemos que ∞ n=1 log(1 + an sin bn πx) es continua y por lo tanto

f (x) =

∞ Y

(1 + an sin bn πx) = e

P∞

n=1 (1+an

sin bn πx)

n=1

es continua, por ser composici´on de funciones continuas. 1

Podemos mejorar esta condici´ on, puesto que en lugar de exigir l´ımn→∞ 2n /(an pn ) = 0, nos bastar´ıa con que l´ımn→∞ n/(an pn ) = 0. (1∗)

5

Ahora probaremos que para todo x, f no posee ninguna derivada finita. Sea x ∈ (−∞, ∞). Para cada entero positivo n, existe un u ´nico entero Nn tal que Nn ≤ xbn < (Nn + 1) ⇐⇒ Nn /bn ≤ x < (Nn + 1)/bn , ya que bn no puede ser 0 para ning´ un n. Sea xn =

Nn + 1 , bn

x0n =

Nn + 3/2 . bn

Entonces x < xn < x0n x0n − x =

Nn + 3/2 −x bn

como Nn /bn ≤ x, entonces Nn + 3/2 − x ≤ 3/(2bn ) bn y por lo tanto2 0 < x0n − x ≤ 3/(2bn ); x0n − xn =

(2)

Nn + 3/2 Nn + 1 1/2 − = = 1/(2bn ) bn bn bn x0n − xn = 1/(2bn );

(3)

x0n − x ≤ 3/(2bn ) ⇐⇒ (x0n − x)/3 ≤ 1/(2bn ) utilizando (3) tenemos x0n − xn ≥ (x0n − x)/3, entonces x0n − xn ≥ (x0n − x)/3 > (xn − x)/3 Sea

∞ Y

∞ Y

(1 − an ) = a,

n=1

(4)

(1 + an ) = b,

n=1

Q∞ a, b ∈ R, ya que es condici´on necesaria y suficiente para que el producto n=1 (1 + xn ) P sea absolutamente convergente, que la serie xn sea absolutamente convergente. As´ı que tomando xn = an y xn = −an respectivamente, tendremos asegurada la existencia de a y b y que son ambos distintos de 0 gracias al Teorema 2. 2

N´ otese que la numeraci´ on ha sido ligeramente modificada respecto a la del art´ıculo original

6

Demostraci´on: Q Supongamos que el producto ∞ n=1 (1 + xn ) es absolutamente convergente. Entonces la sucesi´on de productos parciales est´a acotada superiormente. Adem´as, obviamente |x1 | + |x2 | + ... + |xn | < (1 + |x1 |)(1 + |x2 |)...(1 + |xn |) P por lo tanto las sumas parciales de la serie |xn | est´an acotadas superiormente, y como es de terminos positivos, esto implica P que la serie converge. Rec´ıprocamente, supongamos que |an | converge. Como l´ım |xn | = 0, tomando ε = 1, existe un m tal que si n ≥ m entonces 1 + xn > 0 y existe el n´ umero real log(1 + xn ). Puesto que log(1 + xm+n ) es equivalente3 a xm+n tendremos | log(1 + xm+n )| log(1 + xm+n ) = l´ım =1 n→∞ n→∞ xm+n |xm+n | P P y como |xm+n | es convergente, la serie | log(1 + xm+n )| tambien es convergente por el criterio de comparaci´on. Adem´as, como se sigue inmediatamente de una desigualdad triangular P en su desarrollo de Taylor, log(1 + |xm+n |) ≤ | log(1 + xm+n )| y por lo tanto la serie log(1 + |xm+nP |) es convergente. Sea S la suma de log(1 + |xm+n |), entonces l´ım

log(l´ım

n Y

(1 + |xm+k |)) = l´ım log

k=1

por lo tanto

Q∞

k=1 (1

n Y

(1 + |xm+k |) = l´ım

k=1

n X

log(1 + |xn+k |) = S,

k=1 S

+ |xm+k |) es convergente y converge a e .

Sea adem´as fn (x) =

n Y



(1 + ak sin bk πx)

k=1

Entonces Q Q∞ bk (Nn +3/2) 0 f (x0n ) = ∞ π) as´ı que cuando k > n k=1 (1 + ak sin bk πxn ) = k=1 (1 + ak sin bn bk (Nn +3/2) bk bk tenemos que = bn (Nn + 3/2) pero al ser bn un n´ umero par entonces bn bk (Nn +3/2) bk (Nn +3/2) ∈ N y por lo tanto sin π = 0, as´ı que bn bn ∞ Y

n Y bk (Nn + 3/2) bk (Nn + 3/2) (1 + ak sin π) = π) ⇔ f (x0n ) = fn (x0n ) (1 + ak sin b b n n k=1 k=1

Q Q∞ Nn +1 f (xn ) = ∞ k=1 (1 + ak sin bk πxn ) = k=1 (1 + ak sin bk bn π), si k > n entonces un entero par, as´ı que sin bk (Nbnn +1) = 0 y por lo tanto ∞ Y

bk bn

n Y bk (Nn + 1) bk (Nn + 1) (1 + ak sin π) = (1 + ak sin π) ⇔ f (xn ) = fn (xn ) b b n n k=1 k=1 3

p´ agina 113 de ”Notas de An´ alisis Matem´ atico I

7

es

As´ı que f (x0n ) − f (xn ) = fn (x0n ) − fn (xn ) fn (x0n )

− fn (xn ) =

n Y

(1 +

ak sin bk πx0n )

n Y

−

k=1 n Y

(1 + ak sin bk πxn )

k=1

n Y bk (Nn + 1) bk (Nn + 3/2) π) − π) (1 + ak sin = (1 + ak sin bn bn k=1 k=1 n−1 bn (Nn + 3/2) Y bk (Nn + 3/2) = (1 + an sin π) π) (1 + ak sin bn bn k=1 n−1 bn (Nn + 1) Y bk (Nn + 1) −(1 + an sin π) π) (1 + ak sin bn bn k=1

= (1 + an sin((Nn + 1)π + π/2))

n−1 Y

(1 + ak sin

k=1

−(1 + an sin(Nn + 1)π)

n−1 Y

bk (Nn + 3/2) π) bn

bk (Nn + 1) π) bn

(1 + ak sin

k=1

= (1 + an cos(Nn + 1)π)fn−1 (x0n ) − 1 · fn−1 (xn ) = (1 + an (−1)Nn +1 )fn−1 (x0n ) − fn−1 (xn ) = an (−1)Nn +1 fn−1 (x0n ) + fn−1 (x0n ) − fn−1 (xn ) fn (x0n ) − fn (xn ) = fn−1 (x0n ) − fn−1 (xn ) − an (−1)Nn fn−1 (x0n );

a=

∞ Y

(1 − an )
an [a − (n − 1)bπ/(2an pn )]

6

(8∗)

Utilizando (1*), (3) y (8*) obtendr´ıamos |f (x0n ) − f (xn )| ≥ l´ım 2an bn [a − (n − 1)bπ/(2an pn )] = ∞ n→∞ n→∞ x0n − xn l´ım

10

(9∗)

(9)

Por otro lado, (4) nos asegura que |f (x0n ) − f (xn )| |f (x0n ) − f (x)| |f (x) − f (xn )| ≤ + x0n − xn x0n − xn x0n − xn 3|f (x0n ) − f (x)| 3|f (xn ) − f (x)| + ≤ x0n − x xn − x

(10)

Por (2) sabemos que l´ım x0n = x

l´ım xn = x

n→∞

por consiguiente

n→∞

|f (x0n ) − f (xn )| ≤ 6|f 0 (x)| n→∞ x0n − xn l´ım

Finalmente, usando7 (9), podemos afirmar que f no posee derivada finita en ning´ un punto de su dominio.  1.2.2.

Aproximaci´ on Gr´ afica

Tomando an = 1/(2n2 ) y bn = 2n n!, las primeras 4 aproximaciones son

7

De igual manera mediante (9*) llegamos a la misma conclusi´on

11

1.3. 1.3.1.

La Funci´ on de Van der Waerden (1930) Definici´ on y Demostraci´ on

Este es otro ejemplo de funci´on continua en todo R y no derivable en ning´ un punto ∞ X 1 f (x) = · dist(10n x, Z) n 10 n=0

donde dist(10n x, Z) es la distancia de 10n x al entero m´as cercano Demostraci´on: Probaremos primero que es continua, para ello volveremos a usar el criterio M de Weierstrass. Sea 1 fn (x) = n · dist(10n x, Z) 10 Evidentemente 1 ∀x ∈ R, |fn (x)| ≤ n 10 P P 1 y ∞ ı pues, ∞ n=0 10n converge. As´ n=0 fn converge uniformemente; al ser cada fn continua, el Teorema 1 nos asegura que la funci´on ∞ X 1 fn = f (x) = · dist(10n x, Z) n 10 n=1 n=0 ∞ X

es tambi´en continua. Ahora probaremos que para todo a, f no es derivable, tomando una sucesi´on particular {hm } que tienda hacia 0, para la cual f (a + hm ) − f (a) m→∞ hm l´ım

no existe. Podemos considerar sin perdida de generalidad s´olo aquellos n´ umeros a que n satisfacen 0 < a ≤ 1, puesto que dado x ∈ R, dist(10 x, Z) se puede descomponer como dist(10n (a + N ), Z) = dist(10n a, Z) + dist(10n N, Z) = dist(10n a, Z) donde N ∈ Z. Supongamos que el desarrollo decimal de a es a = 0, a1 a2 a3 a4 . . .

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Sea hm = 10−m si am 6= 4 ´o 9, pero pongamos hm = −10−m si am = 4 o´ 9. Entonces ∞ X f (a + hm ) − f (a) 1 dist(10n (a + hm ), Z) − dist(10n a, Z) = · n hm 10 ±10−m n=1

=

∞ X

±10n−m [dist(10n (a + hm ), Z) − dist(10n a, Z)]

n=1

Esta serie infinita es en realidad una suma finita, ya que cuando n ≥ m, entonces 10n hm es entero, por lo tanto dist(10n (a + hm ), Z) − dist(10n a, Z) = dist(10n a, Z) + dist(10n hm , Z) − dist(10n a, Z) = 0 Por otro lado, cuando n < m podemos escribir8 10n a = M + 0, an+1 an+2 an+3 . . . am . . . 10n (a + hm ) = M + 0, an+1 an+2 an+3 . . . (am ± 1) . . . donde M ∈ Z. Supongamos ahora que 0, an+1 an+2 an+3 . . . am · · · ≤

1 2

Entonces tambi´en tenemos9 0, an+1 an+2 an+3 . . . (am ± 1) · · · ≤

1 2

Esto significa que dist(10n (a + hm ), Z) − dist(10n a, Z) = ±10n−m , la misma ecuaci´on puede deducirse cuando 0, an+1 an+2 an+3 . . . > 21 . Por lo tanto, para n < m tenemos 10m−n [dist(10n (a + hm ), Z) − dist(10n a, Z)] = ±1. Dicho de otro modo, f (a + hm ) − f (a) hm es la suma de m − 1 n´ umeros, cada uno de los cuales es ±1. Al sumar ahora +1 o´ −1 a un n´ umero se cambia la paridad del mismo. La suma de m − 1 n´ umeros cada uno de ellos igual a +1 o´ −1 es un entero par si m es impar, e impar si m es par. En consecuencia, la sucesi´on de cocientes no converge, puesto que es una sucesi´on de enteros pares e impares alternados.  para que se cumpla la ecuaci´ on hay que elegir hm = −10−m cuando am = 9 en el caso especial m = n + 1, la segunda inecuacion se cumple porque elegimos hm = −10−m cuando =4

8 9

am

13

1.3.2.

1.4.

Aproximaci´ on Gr´ afica

La Funci´ on de Takagi (1903)

Cuando en la funci´on anterior en lugar de dieces tenemos doses, obtenemos otra funci´on continua no derivable en ning´ un punto, la funci´on de Takagi, tambi´en llamada funci´on de Blancmange, llamada as´ı por su parecido al postre. ∞ X 1 · dist(2n x, Z) f (x) = n 2 n=0

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1.5.

La Funci´ on de Weierstrass (1872)

Acabaremos el presente trabajo mostrando el ejemplo m´as protot´ıpico de funci´on continua no diferenciable en ning´ un punto, la funci´on de Weierstrass. Una demostraci´on de este hecho la podemos encontrar en la p´agina 582 del libro Ejercicios Y Complementos De An´alisis Matem´atico I. La funci´on es la siguiente f (x) =

∞ X

bn cos(an πx)

n=1

Donde a es impar, 0 < b < 1, y ab > 1 + 23 π Tomando a = 9 y b = 0,7 obtenemos la siguiente gr´afica

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2.

Conclusi´ on

Con este tipo de funciones, a finales del siglo XIX y principios del XX, no solamente se demostr´o que la idea intuitiva de que las funciones eran derivables salvo en puntos especiales era erronea, sino que adem´as dieron los primeros ejemplos de curvas fractales. Benoˆıt Mandelbrot sostiene que los fractales, en muchos aspectos, son m´as naturales, y por tanto mejor comprendidos intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometr´ıa euclidiana, que han sido suavizados artificialmente. Mandelbrot escribi´o en Introduction to The Fractal Geometry of Nature: Las nubes no son esferas, las monta˜ nas no son conos, los litorales no son circulares, y los ladridos no son suaves, lo mismo que los rel´ampagos no viajan en l´ınea recta.

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Referencias [1] Fernandez Vi˜ na, Jose Antonio; Ejercicios Y Complementos De An´alisis Matem´ atico I ; Tecnos [2] Ortega,J.M.; Introducci´on al An´alisis Matem´atico; UAB [3] Mira,J.M.; Sanchez-Pedre˜ no, S; Notas de An´alisis Matem´atico I [4] Spivak, M.; Calculus; Revert´e [5] Liu Wen; A Nowhere Differentiable Continuous Function Constructed by Infinite Products; The American Mathematical Monthly, Vol. 109, No. 4, (Apr., 2002)

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