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• Andy Piscoya Cruz

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FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL MECANICA DE FLUIDOS I CICLO IV ALUMNOS:     

VILCHEZ PEREZ JUAN JOEL MENDOZA AYRA MARLON RODRIGUEZ SANCHEZ GALO FERNANDEZ TIGRE VICTOR MOLINA MENA ALEXANDER

DOCENTE: MgTc ING. LOAYSA RIVAS CARLOS ADOLFO

Pimentel, 1 de octubre del 2012.

1

INDICE

 Justificación………………………………………………………………. 3

 Introducción……………………………………………………………… 4

 Estática de Fluidos………………………………………………………. 5



conceptos ……………………………………………………....

 Fuerzas sobre superficies planas…………………………….







6

Fuerzas Hidrostáticas Sobre Superficies Plana………………..

6

Fuerzas Hidrostáticas sobre una Superficie Plana Inclinada …………………………………

10

Fuerzas Hidrostáticas sobre una Superficies Curvas…………………………………

11

 Ejercicios de aplicación …………………………………………

 Bibliografía……………………………………………..

2

5

14

22

JUSTIFICACIÓN

En el presente trabajo es de vital importancia en el estudio de la estática de fluidos, ya que estudia las condiciones de equilibrio de los fluidos en reposo, y cuando se trata sólo de líquidos, se denomina hidrostática. Desde el punto de vista de la ingeniería Civil es más importante el estudio de los líquidos en reposo que de los gases, por lo cual aquí se hará mayor hincapié en los líquidos y, en particular, en el agua. Dentro de este tema a sustentar plasmaremos lo relacionado con las fuerzas de presión sobre superficies planas. Esperando así cumplir con las expectativas de nuestro docente, y lograr contribuir al incremento en nuestro saber científico.

3

INTRODUCCIÓN

La estática de fluidos estudia los gases y los líquidos en equilibrio o reposo. A diferencia de los líquidos, los gases tienen la cualidad de comprimirse, por lo tanto el estudio de ambos fluidos presentan algunas características diferentes; el estudio de los fluidos líquidos se llama hidrostática y el estudio de los gases se llama aerostática. Por tener un movimiento uniforme en sus planos adyacentes la estática de fluidos no tiene movimiento relativo u otras fuerzas que traten de deformarlo. El esfuerzo normal es la fuerza que actúa de forma perpendicular al cuerpo. La estática de fluidos se utiliza para calcular las fuerzas que actúan sobre cuerpos flotantes o sumergidos. Es utilizada como principio de construcción de muchas obras de ingeniería, como presas, túneles submarinos, entre otros.

4

ESTATICA DE LOS FLUIDOS: I.

CONCEPTO: La estática de los fluidos se refiere a un estudio de las condiciones en las que permanece en reposo una partícula fluida o un cuerpo. Se distinguen dos tipos de fuerzas que pueden actuar sobre los cuerpos, ya sea en reposo o en movimiento: Las fuerzas másicas y las fuerzas superficiales. 



Las fuerzas másicas incluyen todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el material en cuestión sin contacto directo, ejemplo la gravedad. Las fuerzas superficiales incluyen todas las fuerzas ejercidas sobre su contorno, por su proximidad, por contacto directo; es por esto una acción de contorno o superficial, ejemplo las fuerzas de presión, de fricción, etc.

En mecánica de fluidos se usan las fuerzas relativas con las masas o áreas, así:

FI  ma 

FI a m

FP  pA N 

I.

FP p AN

Ó

Ó

FG  mg 

FG g m

F T  A T 

FT  AT

Fuerzas Ejercida Por Un Liquido Sobre Un Área Plana La fuerza P ejercida por un líquido sobre un área palana A es igual ala producto del peso específico (ϒ) del liquido por la profundidad (hcg) del centro de gravedad de la superficie y por el área de la misma es:

Siendo las unidades:

5

1. Fuerza Hidrostática sobre una Superficie Plana Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la superficie plana sumergida “A” forme un ángulo “α” con el plano piezométrico.

 Determinación de la Fuerza (F) -

La fuerza elemental dF debida a la presión sobre el elemento dA es: Pero p  h dF  p.dA ; dF  hdA ;

Además:

h  ysen

Luego: dF  ysendA.................(1) - Siendo paralelas todas las fuerzas dF (ya que son normales a cada dA), la fuerza resultante F, debida a la presión será: F   dF , sustituyendo (1)  F   ysendA

F  sen ydA...............(2)

Por definición de centro de gravedad:

6

 ydA  Y

G

A ………….. (3).

Donde:

 ydA 

momento del área con respecto al eje X

YG  Ordenada del centro de gravedad

A  Área total de la superficie plana sumergida

(3) en (2): F  senYG A …………. (4); pero YG sen  hG  F  hG A.......... ......(  )

Es decir: “La fuerza hidrostática sobre una superficie plana sumergida, es igual a la presión relativa al centro de gravedad, multiplicada por el área”.

b) Determinación del Centro de Presiones -

La línea de acción de la fuerza resultante “F” corta a la superficie en un punto que se llama centro de presiones, que no coincide en general con el centro de gravedad (sólo en las superficies horizontales coinciden, porque (Yg=Yp) Para determinar las coordenadas del centro de presiones (Xp, Yp); se utiliza el teorema de los momentos (Teorema de Varignon): “El momento de la resultante es igual a la suma de los momentos de las componentes”  Cálculo de Yp Aplicando el teorema de los momentos respecto al eje “X”, se tiene: MR   dF  y ;

Pero

MR  F  y p . Donde:

M R  Momento de la resultante

 dF  y  Momento de las componentes  F  y p   y  dF................(5)

7

De (1) dF  ysendA

(1) y (4) en (5): (senyG A) y p   y(ysendA)

Yp

Donde:

y

2

y 

2

dA

yG A

dA  I x  momento de inercia de la superficie “A”, respecto al eje “x”.

 En (6): Y p 

Ix .......... .......... .( 7) y G .A

Pero es muy usual trabajar con los momentos de inercia respecto a los ejes centroidales, paralelos a los ejes “x” e “y”. Para ello aplicamos el teorema de Steiner

Respecto al eje x : I x  I x  AYG2 .......... .......... .(8)

(8) en (7):

I x  AYG2 Yp  YG A Yp 

8

AY 2 Ix  G YG A YG A

Yp 

Ix  YG YG A

Y p  YG 

Ix ......(  ) YG A

Donde:

Ix 0 YG A

Es decir: El centro de presiones está debajo del centro de gravedad, excepto en las superficies horizontales que coinciden (Y p  YG )

b.2: Cálculo de Xp Ahora aplicamos el teorema de los momentos respecto al eje Y:

MR   dF  x ; Pero MR  F  X p  F  Xp   x  dF(9)

(1) y (4) en (9): (senYG A) X p   x(ysendA)

Xp 

Dónde:

 xydA (10) YG A

 xydA  I

xy

Producto de inercia de la superficie “A”, respecto a los ejes “x” e “y”.

 en (10): X p 

9

I xy YG A

(11) .

Aplicando Steiner respecto a los ejes centroidales x e y , se tiene: I xy  I xy  X G YG A (12 )

(12) en (11): X p 

I xy  X G YG A YG A

Xp 

I xy X G YG A  YG A YG A

Xp 

I xy  XG YG A

X p  XG 

I xy  ( ) YG A

El valor I xy puede ser positivo o negativo de modo que el “Cp” puede encontrarse a uno u otro lado de de G. Basta que la superficie plana inclinada tenga un eje de simetría para que I xy   , en cuyo caso: X p  XG

Comentario: Por lo general las situaciones de interés se relacionan con superficies planas que tienen uno o dos ejes de simetría, de modo que sólo se trata de determinar el valor de “Yp”.

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2. Componentes de la Fuerza Hidrostática de una Superficie Plana Inclinada:

Fh  Fsen  Fh  h G Ssen Fh  h G S v FH  pG S v

FV  F cos  FV  h G S cos 

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FV  h G S h FV  p G S h

Siendo: FV  h G S h Luego:

FV  

“Para calcular las componentes de la resultante total de las presiones, sobre una superficie inclinada, se toman superficies imaginarias, que resultan de las proyecciones de dicha superficie sobre planos perpendiculares a dichas componentes”.

3. FUERZAS HIDROSTÁTICAS SUMERGIDAS

SOBRE

SUPERFICIES

CURVAS

La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de ser dF perpendicular en todo momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección diferente. Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la ecuación para la superficie.

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COMPONENTES DE LA FUERZA Si se tiene la superficie mostrada en la figura.

La fuerza de presión en este caso está dada por: dF = PdA La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial: ∫

Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes:

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Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z respectivamente. Cada una de estas componentes de fuerza se puede expresar como:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

DONDE: Son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i, j y k respectivamente. Por lo tanto dAx, dAy y dAz son las proyecciones del elemento dA sobre los planos perpendiculares a los ejes x, y, e z respectivamente.

Aquí se pueden diferenciar dos casos: • Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual a la suma vectorial de las fuerzas de presión ejercidas sobre la proyección de la superficie curva en los planos verticales. • La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual al peso Del líquido que se encuentra verticalmente por encima de dicha superficie hasta la superficie libre.

Esto ya que si analizamos la expresión para la fuerza vertical y tomando en cuenta que:

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Obtenemos lo siguiente: ∫

∫

∫

LÍNEA DE ACCIÓN DE LA FUERZA: Una vez establecidas las componentes de las fuerzas se debe especificar las líneas de acción de cada componente, utilizando el mismo criterio que para las superficies planas. Es decir la sumatoria de momentos de cada componente de la fuerza resultante debe ser igual al momento de la fuerza distribuida, respecto al mismo eje. Así se tiene: ∫

∫

∫

3.1 CASO DE SUPERFICIE CON CURVATURA EN DOS DIMENSIONES Para comprender mejor el problema lo vamos a simplificar al caso de una superficie curva en dos dimensiones. Es decir una superficie curva con ancho constante en la dirección x. Por lo tanto no existirán fuerzas hidrostáticas en esa dirección.

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La figura muestra un corte de la superficie con un plano yz.

En este caso las componentes de la fuerza se expresan:

∫

∫

∫

∫

Y la línea de acción se obtiene con las expresiones:

∫

∫

∫

Cuando se trabaja con superficies cilíndricas (radio de curvatura constante) es conveniente expresar el dA en función del ángulo de barrido en la circunferencia, es decir:

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Donde: R: radio del cilindro W: ancho de la superficie θ: ángulo de barrido de la circunferencia. De esta forma se puede utilizar θ como variable de integración, quedando la fuerza expresada de la siguiente forma:

∫

∫

Donde θes el ángulo entre el vector dA y el vector unitario de la dirección l.

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PROBLEMAS Problema 1: La presa mostrada en la figura tiene soportes cada 3.00 .Determinar la fuerza sobre cada parante.

Solución:

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1. Calculo de F:

(

) (

)

2. Calculo de F1:

(

Calculo de

19

:

)

(

20

)

PROBLEMA 2: La presa cuya sección se muestra en la figura, está destinada al represamiento de agua, para las condiciones mostradas. Se pide para la superficie curva de un cuarto de cilindro, AB, determinar: a. Las componentes de la fuerza hidrostática y su línea de acción, b. La línea de acción de la fuerza hidrostática resultante, c. El punto de intersección de la fuerza hidrostática con el paramento AB.

Solución: a) Las componentes de la fuerza hidrostática y su línea de acción

21



Cálculo de la fuerza hidrostática horizontal por unidad de longitud

Donde: γ

A

=1000 kg/m3

= 10 m2

Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos:



Cálculo de la fuerza hidrostática vertical por unidad de longitud

Donde:

Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos:

22



Cálculo de la línea de acción de las Componentes de la Fuerza Hidrostática  De la Componente Horizontal(Fh):

YG= 19 m IX = A = 10 m2

Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: YP = 19.018 m  De la Componente Vertical(FV): Ubicamos el centroide de los volúmenes de agua ubicados sobre la superficie curva AB, aplicando el teorema de Varigñon, tomando momentos respecto al plano que pasa por DEA, de estos dos pesos de los volúmenes de agua correspondientes,

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Reemplazando valores en la expresión anterior, encontramos: XP = 0.988 m Por lo tanto, las líneas de acción de las componentes de las fuerzas hidrostáticas son: 

Para la Componente vertical, tomada con respecto al eje “y”, que pasa por la recta DEA:



Para la componente horizontal, tomada con respecto al eje “x”, que pasa por la recta EB, con origen(o) de la línea coordenada en E:

b) La línea de acción de la fuerza hidrostática resultante(F)

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 Como se conoce las magnitudes de FV y FH , obtenemos la pendiente de la línea de acción de la fuerza hidrostática resultante(F),

 Determinamos la línea de acción de la fuerza hidrostática(F), como la ecuación de la línea recta, en la cual se conoce, la pendiente y un punto por donde pasa la línea recta, P1(0.988m ; -1.018m): ) Reemplazando los valores en la

de:

expresión anterior, encontramos:

La línea de acción de la fuerza (F), pasa por el origen(O).

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PROBLEMA 3 La figura que se muestra, ilustra una sección de un depósito de agua de 6 mts. de longitud. La pared abc del depósito está articulada en “c” y es soportado en “a” por un tirante. El segmento bc de la pared es un cuadrante de circunferencia de 1.20 m de radio. a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante b) Determinar la Resultante total de presiones que obra sobre la compuerta c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, c, despreciando el peso de la pared.

Solución: a) Determinar la fuerza “T” que ejerce el tirante Ph  h G A  (1000 Kg

Ph  4320 Kg

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m3

)( 0.60m)( 6.00 x1.20m 2 )  4320 Kg

1 La posición de “P” está a ( x1.20m)  0.40m arriba de “C” 3

ó

hP  0.80 m

Pv  W  6m

r 2 Kg   6m(1.20m) 2 1000 3  6785 Kg 4 m

Pv  6785 Kg

“Pv” esta aplicada en el centro de gravedad del cuadrante del circulo, el cual se encuentra a:

4r 4(1.20m)   0.51m , a la izquierda de “oc” 3 3 x p  0.51m

Para calcular “T”, se halla tomado momentos respecto a la articulación “c” como sigue:

1.50 T  W(0.51m)  Ph (0.40m)   Reemplazando valores:

T  3458Kg

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b) Determinar la resultante total de presiones que obra sobre la compuerta. P  (4320) 2  (6785) 2  8043Kg

P  8043Kg La dirección, sentido y la posición de “P” se halla componiendo vectorialmente Pv y Ph en su intersección. Como todos los componentes elementales de “P” son normales a

Las Superficie de la compuerta y pasan, por consiguiente, por el punto “o”, se concluye que “P” pasará también por “o”. c) Determinar la Fuerza Resultante sobre la articulación, despreciando el peso de la pared.

F

-)

H

   T  Ph  Rh  

R h  T  Ph

28

R h  (3458  4320 )kg R h  862 kg

R h  862 kg 

F

V

   R V  PV  

R V  PV

RV  6785kg

Luego, la Fuerza Resultante sobre la articulación, es: R  (862)2  (6785)2  6839Kg

R = 6839 Kg.

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PROBLEMA 5 En la figura se muestra un deposito que contiene agua sobre la cual actúa la presión Pa. Se desea determinar la fuerza sobre la puerta A-B producida por las presiones interior y exterior.

Solucion h=0.75 x sen30 H= 3 + 0.75 x sen30 = 1000

=

xA

=

x HxA

= (1000 = 15187.5

30

) (3 + 0.75 x sen30) m x (4.5

)

TABLAS DE INERCIA

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Bibliografía  Apuntes de clase Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas  Mecánica de fluidos, serie de compendios schwan segunda edición.

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