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• Andres Nipaz

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Fuerzas paralelas Mendivelso,J., Zúñiga, A., Flórez, F.1 RESUMEN El presente informe se realiza con el fin de comprender y analizar las condiciones de equilibrio en un cuerpo rígido. Para el desarrollo de esta práctica se realizaron dos montajes en donde se usó una regla de madera a la cual se le aplicaron diferentes fuerzas a distintas distancias y se halló una distancias en la cual el objeto permanecía en equilibrio. Al realizar la sumatoria de fuerzas y la sumatoria de torques y comprobar que los valores fueran cero se pudo determinar el centro de masa de los montajes propuestos en la práctica. A calcular la desviación porcentual estándar de los centros de masa se obtuvier on valores menore s al 5 % por lo cual se concluyó que los valores eran confiables y que por ende son aceptados en el ámbito ingenieril.

Galilei, y quien postuló sus famosos teoremas sobre la inmovilidad de cuerpos que se someten a esfuerzos externos, concluyeron que el momento de dos fuerzas respectos de un punto es igual al momento de su resultante respecto del mismo punto donde se introduce el concepto de momento de una fuerza o simplemente torque, como se llama comúnmente. El torque ejercido por una fuerza es la propiedad que tienen las fuerzas que hacen girar un cuerpo rígido respecto a un punto que se pone fijo. Esta cantidad varía según la magnitud de la fuerza aplicada y su posición con respecto al punto fijo de rotación; los efectos de esta entidad se encuentran con mucha frecuencia en la vida cotidiana, un ejemplo de ello es cuando se desea soltar una tuerca de un tornillo. Al finalizar la práctica y su análisis se espera que sea posible construir un modelo matemático adecuado y que su porcentaje de error sea menor al 5% para que pueda ser confiable. MARCO TEÓRICO Un cuerpo rígido está sometido a varias fuerzas externas como se muestra en la Fig.1.

Palabras Clave: Equilibrio, fuerzas, relación, centro de masa. ABSTRACT This report is made in order to understand and analyze the equilibrium conditions in a rigid body. For the development of this practice, two assemblies were made where a wooden rule was used for which other forces were applied at different distances and found at a distance in which the object remained in equilibrium. When performing the summation of forces and the sum of torsos and checking that the found values were able to determine the center of mass of the mounts proposed in practice. To calculate the standard percentage deviation of the centers of mass values lower than 5% were obtained, so it was concluded that the values were reliable and therefore are accepted in the engineering field. Keywords: Balance, forces, relationship, center of mass.

INTRODUCCIÓN La estática, como parte universal de la mecánica se fundamentó a partir de los trabajos del ingeniero holandés Steven, contemporáneo de Galileo

Figura 1: cuerpo rígido sometido a fuerzas externas. Recuperado de “Guía para prácticas experimentales de física: Mecánica”.

El cuerpo se encontrará en equilibrio estático, es decir, sin rotación ni traslación por los efectos de las fuerzas, con se garantice que la suma de las fuerzas que actúan sobre este es igual a cero y que además la suma de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto cualquiera sea igual a cero; es decir: ΣF=0

(1)

ΣT=0 (2) Estas dos ecuaciones se denominan condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido. La primera garantiza el equilibrio de traslación y la segunda el equilibrio de translación.

Considerando un cuerpo rígido como el mostrado en la Fig. 2., que está sometido a varias fuerzas, se supo ne que el cuer po está en equi libri o.

componente horizontal no se ejerce ninguna fuerza, es decir la forma vectorial de las fuerzas está dada por (0i , Xj). El sistema de fuerzas paralelas (F1, F2,..., FN) mostrado en la Fig. 3, que actúa sobre el cuerpo puede ser reemplazado por un sistema equivalente compuesto de una sola fuerza resultante F, cuyo valor es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas componentes, y su punto de aplicación X es tal que el momento de la fuerza resultante con respecto a una posición cualquiera, es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes en relación a esta misma posición.

Figura 3: Posición de la fuerza resultante de un conjunto de fuerzas paralelas.. Recuperado de “Guía para prácticas experimentales de física: Mecánica”

Figura 2: Fuerzas perpendiculares sobre un cuerpo rígido en equilibrio.. Recuperado de “Guía para prácticas experimentales de física: Mecánica”.

A partir de (1) se afirma que:

∑𝑛 𝑛

F=

RA+RB+W+F1+F2+F3+F4=0

(3) Igualmente se afirma, a partir de (2) que los momentos de fuerzas con relación al punto A, satisfacen: ∑𝑛 𝑛 (4)

T=0

La definición vectorial de momento o torque de una fuerza es el producto vectorial entre los vectores brazo y fuerza. Al tomar las magnitudes de los vectores momento o torque para el sistema de fuerzas mostrado en la Fig. 2, la condición (2) se escribe como: ∑𝑛 𝑛 (5)

T=

0* RA+ xBRB - xwW- x1F1- x2F2 - x3F3 - x4F4 =0

En esta expresión se han considerado como negativos los momentos que hacen girar el cuerpo en sentido horario; por lo tanto los momentos que giran en sentido horario se consideran positivos. Además; x1, x2, x3... xi, representan los brazos de palanca de cada una de las fuerzas. La sumatoria puede hacerse normalmente ya que en el

Si se denomina X a la posición de la fuerza resultante y se toman las magnitudes de momentos con respecto al punto A, se obtiene: FX (6)

=

F1X1

+

F2X2

+

F3X3+

F4X4

Recordando que F representa la magnitud de la fuerza resultante del conjunto de fuerzas, se puede decir que: X=

𝑛1𝑛1 + 𝑛2𝑛2 + 𝑛3𝑛4+ 𝑛4𝑛4 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3+ 𝑛4

(7)

La expresión matemática anterior es útil para la ingeniería ya que permite localizar los centros de gravedad y centros de masa de estructuras y sólidos. MATERIALES Y MÉTODOS Para realizar la práctica se emplea como cuerpo rígido una regla de madera de un metro de longitud. En primer lugar se halla la distancia en la que la regla se encuentra en equilibrio cuando no se le ejerce ningún peso adicional y se sostiene únicamente de un dinamómetro; se toma este valor y además se tiene en cuenta la reacción del dinamómetro para este caso. Después de pesar la regla se dispone un sistema como el mostrado en la Fig. 2. Los extremos de la regla se apoyan en dos dinamómetros y se agregan cuatro fuerzas en distancias conocidas; los datos

tomados se organizarán en una tabla.

4.

Figura 4: Sistema de viga de voladizo. Fuente: Mendivelso, J.; Zúñiga, A.; Florez, L.

Las fuerzas ejercidas y sus respectivas distancias se consignan en una tabla.

Por medio de (3) (5) se calcula el valor total de la fuerza y los momentos. Disponga un sistema de fuerzas paralelas como el de la Fig. 3.para hallar el valor

Como la viga está en equilibrio se calcula con (3) el valor teórico de las reacciones de los apoyos. La desviación porcentual estándar nos permite evaluar el porcentaje de error entre los valores hallados en la práctica y los hallados por medio de las expresiones matemáticas; este proceso se puede realizar mediante: E%= 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛ó𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑛𝑛ó𝑛𝑛𝑛𝑛

(100)

(8) RESULTADOS Y ANÁLISIS

experimental de la fuerza resultante F considerando

Al colocar la regla en el dinamómetro sin ningún peso adicional. se observó que la posición de su centro de masa fue de 49,7 cm desde el cero de la regla, y se obtuvo que su peso según el dinamómetro fue de 1,72 N como se muestra en la Img. 1. Imagen 1: Centro de masa de la regla sin pesos adicionales y acción del dinamómetro . Fuente: Mendivelso, J.; Zúñiga, A.; Florez, L.

los mismos valores de las fuerzas y posiciones de los datos tomados en la tabla. Para este procedimiento la regla que da colgando en solo un dinamómetro y se halla la posición en la que la regla quede completamente horizontal. De esta manera se halla el valor experimental de X. Para una segunda parte de la práctica se recrea una viga en voladizo , usando la regla como viga y los dinamómetros como puntos de apoyo, se añaden pesos a lo largo de la regla de tal manera que el sistema quede dispuesto como se muestra en la Fig.

Al realizar el primer montaje propuesto para esta práctica se obtuvieron los datos reflejados en la Tabla 1 en donde el centro de equilibrio de la regla junto con los pesos se ubicó 52 cm desde el punto 0 de la regla equivalentes a 0,52 m como se muestra en la Img. 2.

Imagen 2: Centro de masa del primer montaje . Fuente: Mendivelso, J.; Zúñiga, A.; Florez, L.

Tabla 1:Datos de magnitud de fuerza y posición sobre la regla para el primer montaje. FUERZAS

MAGNITUD (N)

POSICIÓN (m) ±5x103 m

MOMENTO (N.m)

F1

2,55

0,230

0,59

F2

3,53

0,400

1,41

F3

2,56

0,680

1,74

F4

2,50

0,830

2,10

W

1,72

0,497

0,85

RA

6,20

0

0

RB

6,64

1

6,64

de equilibrio ubicado a 27,9 cm desde el cero de la regla equivalentes a 0,279 m, como se observa en la Img. 3, los datos obtenidos en este montaje se reflejan en la Tabla 2. Imagen 3: Centro de masa del segundo montaje . Fuente: Mendivelso, J.; Zúñiga, A.; Florez, L.

Tabla 2:Datos de magnitud de fuerza y posición sobre la regla para el primer montaje. FUERZAS

MAGNITUD (N)

(m) ± 5x10-3m

POSICIÓN

MOMENTO( N.m)

F1

7,45

0,110

0,82

F2

1,57

0,870

1,36

F3

0,49

0,890

0,44

W

1,72

0,497

0,85

RA

5,39

0

0

RB

5,88

0,580

3,41

Fuente: Mendivelso, J.; Zúñiga, A.; Florez, L. Con los datos de la Tabla 1 y utilizando (3) se calculó la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre la regla, entonces: ∑𝑛 𝑛

F

= 6,64 + 6,20 - 1,72 - 2,50 - 2,56- 3,53 - 2,55 = - 0,02 ≃

0

De igual manera utilizando (5) sumamos los torques , tenemos que: ∑𝑛 𝑛

T=

0*RA + 6,64 - 0.84 - 2,10 - 1,74 - 1,41 - 0,59 = -0,04≃

0

Utilizando (7) para calcular el punto de equilibrio del sistema tenemos: 𝑛=

0,59 + 1,41 + 1,74 + 2,10 = 0,5242 𝑛 2,55 + 3,53 + 2,56 + 2,50

Utilizando (8) para obtener la desviación porcentual estándar del valor experimental y el teórico del centro de equilibrio del sistema se obtiene: E%= |

0,5242−0,52 0,5242

| (100)= 0,80%

Para evaluar la desviación porcentual estándar entre la fuerza resultante y la sumatoria de las fuerzas registradas por los dinamómetros se consideran como el valor teórico y la sumatoria de las fuerzas ejercidas como el valor experimental, se aplicó (8) y se obtuvo: E%= |

12,84−12,86 12,84

Fuente: Mendivelso, J.; Zúñiga, A.; Florez, L. Con los datos de la Tabla 2 y utilizando (3) se calculó la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre la regla, entonces: ∑𝑛 𝑛

F=5,88

+ 5,39 - 1,72 - 0,49 - 1,57 - 7,45 = 0,04 ≃ 0

De igual manera utilizando (5) sumamos los torques , y se obtuvo que: ∑𝑛 𝑛

T=

0*RA + 3,41 - 0.85 - 0,44 - 1,36 - 0.82 = -0,06≃ 0

Utilizando (7) para calcular el punto de equilibrio del sistema tenemos: 𝑛=

0,44 + 1,36 + 0,82 = 0,2755 𝑛 7,45 + 1,57 + 0,49

Utilizando (8) para obtener la desviación porcentual estándar del valor experimental y el teórico del centro de equilibrio del sistema se obtiene:

| (100)=0,16% E%= |

0,2755−0,279 0,2755

| (100)= 1,27%

Al realizar el segundo montaje se obtuvo un centro Para evaluar la desviación porcentual estándar entre la fuerza resultante y la sumatoria de las fuerzas registradas por los dinamómetros se consideran como el valor teórico y la sumatoria de las fuerzas ejercidas como el valor experimental, se aplicó (8) y se obtuvo:

E%= |

11,27−11,23 11,27

| (100)=0,35%

Al ubicar la regla colgando de un solo dinamómetro se pudo evidenciar que su centro de masa es aproximadamente el centro de esta. en este caso la fuerza ejercida por el peso de la regla es la misma ejercida por el dinamómetro para evitar que esta caiga, por lo que la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre ella es cero. De igual manera, la sumatoria de torque es igual a cero lo que indica que esta no rota con aceleración. Por tanto en este caso se cumplen las condiciones de equilibrio en el cuerpo rígido. Para el segundo caso, en el que se realiza un montaje de fuerzas paralelas se evidencia que la suma de las fuerzas registradas por los dinamómetros es igual a la aplicada en la regla por medio de pesas, por lo tanto su resta es igual a cero, cumpliendose así la condición de (1). Al conservar las fuerzas ejercidas por las pesas y sus respectivas distancias para sostener la regla de un solo dinamómetro, se encontró una distancia X experimental en la que se cumplía la condición dada por (2). Por lo tanto en este sistema, se cumplen las condiciones de equilibrio en el cuerpo rígido. Para el sistema de la viga en voladizo, se realizó, al igual que en el sistema anterior, la suma de las fuerzas registradas por los dinamómetros y se determinó que este valor era igual a la fuerza resultante aplicada en la regla por medio de pesas, por lo tanto la suma de las fuerzas externas es igual a cero. Al hallar la distancia X experimental se evidenció el cumplimiento del equilibrio de rotación en la regla. Entonces se garantizó que se cumplieron las condiciones de equilibrio en el cuerpo rígido. Fue posible hallar la distancia X teóricamente y así poderla evaluar con respecto a la encontrada experimentalmente. Para los cálculos de la práctica se calculó la desviación porcentual con los valores teóricos y experimentales para cada caso. La desviación porcentual estándar de todos los datos es aceptable en el ámbito de la ingeniería y dicha desviación porcentual estándar puede deberse a inexactitud en la toma de datos y aproximaciones decimales que se realizaron en los cálculos. CONCLUSIÓN En los casos evaluados se pudo garantizar el cumplimiento de las condiciones de equilibrio en el cuerpo rígido; las expresiones matemáticas

permitieron conocer los valores teóricos deseados y pudieron compararse con los tomados en la práctica. Los valores teóricos y los experimentales de cada caso se evaluaron utilizando la desviación porcentual estándar; los resultados arrojaron porcentajes menores al 5% que indican que los datos son confiables y aceptables dentro del ámbito ingenieril. REFERENCIAS [1] D. Varela, A. Bustamante, J. Dueñas, M. vinasco “Guía para prácticas experimentales de física: Mecánica”- Departamento de ciencias básicas, Universidad de La Salle. Oficina de publicaciones. pp. 19-27. [2] James Stewart, Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. International Thomson Editores. 4ta edición. [3] George B. Thomas, Jr. , Cálculo. Una variable. Pearson. Addison Wesley. Undécima edición. [4]Reig, J. C., & i Matos, L. B. (1985). La construcción histórica del concepto de fuerza centrípeta en relación con las dificultades de su aprendizaje. Enseñanza de las ciencias: revista de investigación y experiencias didácticas, 3(3), 217-224.