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Fuerzas en los engranes rectos Rafael Eduardo Pérez Solís Wilberth Francisco Manzano Alonzo Sonia Carolina Dzul Barrera Victor Javier Gómez Medina 13 de diciembre de 2012

Resumen Un engrane recto es uno de los principales tipos de engranes. Los dientes tienen perfil de involuta. Así en general, la acción de un diente sobre el correspondiente, es como la de dos elementos curvos y convexos en contacto. A medida que gira el engrane, sus dientes ejercen una fuerza sobre el engrane compañero, que es tangencial a los círculos de paso de los dos engranes. Debido a que esta fuerza actua a una distancia igual al radio de paso de engrane, se desarrolla un par torsional en el eje que soporta al engrane. Cuando los dos engranes giran, transmiten potencia proporcional al par torsional. Este flujo de potencia es la finalidad principal del sistema de transmisión con engranes rectos.

1.

Definición de engrane recto

durante el cíclo de engranado hay dos círculos, uno para cada engrane, que permanecen tangentes. Son los llamados círculos de paso. El diámetro del círculo de paso de un engrane es su diámetro de paso, el punto de tangencia es su punto de paso. Cuando dos engranes engranan, al de menor tamaño se le llama piñon y al mayor se le llama engrane.

Los engranes son ruedas cilíndricas dentadas, para transmitir movimiento y potencia de un eje giratorio a otro. La mayor parte de las transmisiones con engranes causan un cambio de la velocidad de salida del engrane, en relación con la del engrane de entrada. Un engrane recto tiene dientes de involuta que son rectos y paralelos a la línea del centro del eje que soporta al engrane.El perfil del diente que más se utiliza en los engranes rectos es la forma involuta de profundidad total.

Figura 1: Dientes con perfil de involuta

2. 2.1.

Conceptos previos Figura 2: Ciclo de engranado de dientes de engranes

Círculo y diámetro de paso

La figura 2 muestra dientes engranados de dos engranes para ilustrar sus posiciones relativas en varias etapas del engranado. En la figura puede observarse que 1

2.2.

3.

Velocidad tangencial

Fuerzas en los engranes

La velocidad tangencial de un engrane es la velocidad Considere la forma en que se transmite potencia en los de la línea de paso y esta dada por la siguiente expresión: engranes. Para el par de engranes simple en una reducción, como lo muestra la figura 4, la potencia se envía D desde un motor y la recibe un eje de entrada, que gira a vt = Rω = ω 2 la velocidad del motor. A medida que gira el piñón, sus Esta es igual tanto para el piñón como para el engrane, dientes ejercen una fuerza sobre el engrane compañero, debido a esta característica los valores de R, D y ω que es tangencial a los círculos de paso de los dos engranes. Debido a que esta fuerza actúa a una distancia pueden corresponder a cualquiera de ellos. igual al radio de paso del engrane, se desarrolla un par torsional en el eje que soporta el engrane. Cuando los 2.3. Relación de velocidades dos engranes giran, transmiten potencia proporcional al par torsional. La aplicación de potencia implica la apliCuando dos dientes con perfil de involuta engranan y cación de un par torsional durante la rotación a una degiran, existe una relación constante de velocidades entre terminada velocidad. ellos. Esta relación esta dada por la siguiente ecuación: ωp np RG DG NG = = = = ωG nG Rp Dp Np

Figura 3: Tren de engranajes Figura 4: Flujo de potencia a través de un par de engranes

2.4.

Paso diametral

El paso diametral Pd caracteriza el tamaño físico de 3.1. Fuerzas en el diente del engrane los dientes de un engrane. Se relaciona con el diámetro La fuerza total que se transfiere de un diente al cordel círculo de paso y el número de dientes como sigue: respondiente actúa normal al perfil de involuta. Esta acción se indica como Wn . Wt es la fuerza tangencial que Np NG Pd = = ejercen los dientes del piñón sobre los dientes del enDG Dp grane, y es la misma tanto en el piñón como en el engrane. Wr es la componente radial de la fuerza total. En la figura 5 puede observarse la fuerza normal o nominal 2.5. Ángulo de presión Wn sobre el diente del engrane, así como sus compoEl ángulo de presión φ es una propiedad importante nentes radial y tangencial. que caracteriza la forma de la curva involuta que forma la cara activa de los dientes de engranes estándar. Wr = Wt tan φ 2

Wn =

Wt cos φ

La velocidad de la línea de paso, así como la fuerza tangencial es igual para el piñón y para el engrane. Las cargas transmitidas en el piñón y el engrane son iguales, pero en direcciones contrarias.

3.4.

Las pérdidas de potencia dependen de la acción de cada diente sobre su diente compañero, que es una combinación de rodadura y deslizamiento. Para engranes precisos y bien lubricados, las pérdidas van de 0,5 % a 2 %, y en el caso típico se puede suponer que es 1 %. Como es muy pequeña, se acostumbra a no tenerla en cuenta al dimensionar pares individuales de engranes. En las transmisiones compuestas se usan varios pares de engranes en serie, para obtener grandes relaciones de reducción. Si en cada par la pérdida de potencia es de 1 %, la pérdida acumulada para el sistema puede volverse apreciable, y puede afectar el tamaño del motor que impulse al sistema, o a la potencia y par últimos disponibles en la salida.

Figura 5: Fuerzas sobre un diente de engrane

3.2.

Par de torsión

El par torsional es el producto de la fuerza que actúa tangente al círculo de paso multiplicado por el radio de paso. En la figura 6 se muestra el diagrama de cuerpo libre para un engrane impulsado sometido a un par torsional. P T = Wt R = n

Figura 6: Par torsional y diagrama de cuerpo libre

3.3.

Flujo de potencia

Potencia

La potencia es el producto de la fuerza transmitida por la velocidad de la línea de paso. P = Wt vt 3

4.

Ejemplos resueltos

5.

Un par de engranes rectos con dientes de involuta a 20◦ a profundidad completa, transmite 7.5 HP. El piñón está montado en el eje de un motor eléctrico que trabaja a 1750 rpm, tiene 20 dientes y un paso diametral 12. El engrane tiene 72 dientes calcule lo siguiente: a) El par torsional sobre el eje del piñón y sobre el eje del engrane. b) La fuerza tangencial que obra sobre los dientes de cada engrane. c) La fuerza radial que actúa sobre los dientes de cada engrane. d) La fuerza nominal que actúa sobre los dientes de cada engrane.

1. Un par de engranes rectos con dientes de involuta de 20◦ a profundidad completa, transmite 50 HP. El piñón está montado sobre el eje de un motor eléctrico que gira a1150 rpm, tiene 18 dientes y su paso diametral es 5. El engrane tiene 68 dientes. Calcule lo siguiente: a) La velocidad de giro del engrane. b) La relación de las velocidades y la relación de engrane del par de engranes. c) El diámetro de paso del piñón y del engrane. d) La distancia entre centros de los ejes que sostienen al piñón y al engrane. e) La velocidad de la línea de paso del piñón y el engrane. f) El par torsional sobre el eje del piñón y sobre el eje del engrane. g) La fuerza tangencial que obra sobre los dientes de cada engrane. h) La fuerza radial que actúa sobre los dientes de cada engrane. i) La fuerza nominal que actúa sobre los dientes de cada engrane.

Solución P = 7,5hp np = 1750rpm Np = 20 Ng = 72 Pd = 12 a) Par torsional del piñón= Tp =

P 7,5hp = np 1750rpm

t (7,5)(550 lb−f s ) = 22.51lb-ft (1750)(2π) 60s Ng rpmp Np rpmp b) = → rpmg = Np rpmg Ng (20)(1750) = 486,11rpm 72 t (7,5)(550 lb−f P s ) ⇒ Tg = = = 81.03lb-ft (486,11)(2π) ng 60s P c) Wt = vt Ng 72 = = 6in Dg = dp 12 D (6)(486,11)(2π) vt = ω = = 152,72 in s 2 (2)(60) (7,5)(550) Wt = = 324,12lb 152,72 12 ⇒ Wr = Wt tg φ = 324tg20φ = 117.93lb

=

Problemas propuestos

2. Un par de engranes rectos con dientes de involuta de 25◦ a profundidad completa, transmite 3.5 HP. El piñón está montado sobre el eje de un motor eléctrico que funciona a 1150 rpm, tiene 12 dientes, y su paso = diametral es 24. El engrane tiene 54 dientes. Calcule lo siguiente: a) La velocidad de la línea de paso del piñón y el engrane. b) El par torsional sobre el eje del piñón y sobre el eje del engrane. c) La fuerza tangencial que obra sobre los dientes de cada engrane. d) La fuerza radial que actúa sobre los dientes de cada engrane. e) La fuerza nominal que actúa sobre los dientes de cada engrane. 3. Un par de engranes rectos con dientes de involuta de 20◦ a profundidad completa, transmite 2 HP. El piñón está montado sobre el eje de un motor eléctrico que funciona a 2500 rpm, tiene 18 dientes, y su paso diametral es 15. El engrane tiene 32 dientes. Calcule lo siguiente: a) El par torsional sobre el eje del piñón y sobre el eje del engrane. b) La fuerza nominal que actúa sobre los dientes de

d)

4

cada engrane. 4. Se requiere una fuerza tangencial mínima de 500 lb por parte de un piñón motriz de 24 dientes para hacer girar un engrane acoplado al eje de una sierra industrial a 750 rpm. El engrane tiene 60 dientes y el paso diametral es 10. ¿Qué potencia debe de transmitir el motor acoplado al piñon para hacer girar la sierra a la velocidad requerida?

Referencias [1] Mott, Robert L. Diseño de elementos de máquinas. PEARSON EDUCATION, México, 2006.

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