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• José Manuel Iturbide

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FUERZAS EN CAMPOS 260 FÍSICA GENERAL

MAGNÉTICOS

UN CAMPO MAGNÉTICO (B) existe en una región vacía del espacio si una carga que se mueve en dicha región experimenta una fuerza debida a su movimiento (como se muestra en la figura 30-1). Es frecuente detectar la presencia de un campo magnético por el efecto que produce sobre la aguja de una brújula (que es un pequeño imán de barra). La aguja de la brújula se alinea en la dirección del campo magnético.

LAS LÍNEAS DE CAMPO MAGNÉTICO trazadas en una región del espacio corresponden a la dirección hacia donde apunta una brújula colocada en esa región. En la figura 30-2 se muestra un método para determinar las líneas de campo cercanas a un imán de barra. Tradicionalmente se toma la dirección de la aguja de la brújula como la dirección del campo. Campo magnético Brújula

F
0

F hacia la página

F fuera de la página

F hacia la página

Figura 30-1

Figura 30-2

UN IMÁN puede constar de dos o más polos, aunque debe tener al menos un polo norte y un polo sur. Ya que la brújula siempre apunta alejándose del polo norte (N en la figura 30-2) y hacia el polo sur (S), las líneas de campo magnético salen del polo norte y entran al polo sur. LOS POLOS MAGNÉTICOS del mismo tipo (norte o sur) se repelen uno al otro, mientras que polos distintos se atraen entre sí. UNA CARGA QUE SE MUEVE A TRAVÉS DE UN CAMPO MAGNÉTICO experimenta una fuerza debida al campo, siempre que su vector velocidad no esté a lo largo de una línea de campo magnético. En la figura 30-1, la carga (q) se mueve con velocidad v en un campo magnético dirigido como se muestra. La dirección de la fuerza F sobre cada carga es la que se indica. Note que la dirección de la fuerza sobre la carga negativa es opuesta a la que actúa sobre la carga positiva con la misma velocidad. LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA que actúa sobre una carga q en movimiento en un campo magnético puede determinarse por la regla de la mano derecha (figura 30-3):

fuera de la página

Campo magnético

Figura 30-3

260

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CAPÍTULO 30: FUERZAS EN CAMPOS MAGNÉTICOS 261 Mantenga la mano extendida. Apunte los dedos en la dirección del campo. Oriente el dedo pulgar a lo largo de la dirección de la velocidad de la carga positiva. Entonces, la palma de la mano empuja en la dirección de la fuerza que actúa sobre la carga. La dirección de la fuerza que actúa sobre una carga negativa es opuesta a la que actúa sobre una carga positiva. Con frecuencia es útil señalar que las líneas del campo magnético a través de la partícula y el vector velocidad de la partícula forman un plano (el plano de la página en la figura 30-3). El vector fuerza siempre es perpendicular a este plano. Una regla alternativa se basa en el producto cruz vectorial: ponga los dedos de la mano derecha en la dirección de x, gire su mano hasta que los dedos puedan cerrarse naturalmente hacia B a través del ángulo más pequeño y entonces su dedo pulgar apunta en la dirección de FM (vea la figura 30-4). Se dice que FM está en la dirección de v cruz B.

Figura 30-4

LA MAGNITUD DE LA FUERZA (FM ) sobre una carga que se mueve en un campo magnético depende del producto de cuatro factores: 1) 2) 3) 4)

q, la magnitud de la carga (en C) y, la magnitud de la velocidad de la carga (en ms) B, la intensidad del campo magnético sen , donde  es el ángulo entre las líneas de campo y la velocidad v.

EL CAMPO MAGNÉTICO EN UN PUNTO se representa mediante un vector B, que alguna vez se llamó inducción magnética o densidad de flujo magnético, y que ahora simplemente se conoce como el campo magnético. La magnitud de B y sus unidades se definen mediante la ecuación FM
qyB sen  donde FM está en newtons, q en coulombs, y en ms y B es el campo magnético en una unidad llamada tesla (T). Por razones históricas que se verán más tarde, un tesla también se puede expresar como weber por metro cuadrado: 1 T
1 Wbm2 (vea el capítulo 32). Incluso también se encuentra la unidad cgs para B, el gauss (G), donde 1 G
104 T El campo magnético de la Tierra es unas cuantas décimas de 1 gauss. Note también que 1 T ¼ 1 Wb=m2 ¼ 1

N N ¼1 C  ðm=sÞ A m

FUERZA SOBRE UNA CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO: Dado que una corriente es simplemente un flujo de cargas positivas, una corriente experimenta una fuerza debida a un campo magnético. La dirección de la fuerza se encuentra por medio de la regla de la mano derecha mostrada en la figura 30-3, usando la dirección de la corriente en lugar del vector velocidad. La magnitud ∆FM de la fuerza que actúa sobre una pequeña longitud ∆L de alambre que lleva una corriente I está dada por ∆FM
I(∆L)B sen  donde  es el ángulo entre la dirección de la corriente I y la dirección del campo. Para un alambre recto de longitud L en un campo magnético uniforme, ésta se convierte en FM
ILB sen  Note que la fuerza es cero si el alambre es paralelo a las líneas de campo. La fuerza es máxima si las líneas de campo son perpendiculares al alambre. En analogía con el caso de una carga en movimiento, la fuerza es perpendicular al plano formado por el alambre y las líneas de campo.

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262 FÍSICA GENERAL TORCA SOBRE UNA BOBINA PLANA en un campo magnético uniforme: La torca  que actúa sobre una bobina plana de N espiras, que lleva una corriente I, en un campo magnético externo B es 
NIAB sen  donde A es el área de la bobina y  es el ángulo entre las líneas de campo y una perpendicular al plano de la bobina. Para la dirección de rotación de la bobina, se tiene la siguiente regla de la mano derecha: Oriente el pulgar derecho perpendicular al plano de la bobina, de tal manera que los dedos vayan en la dirección del flujo de la corriente. Entonces, la torca actúa para hacer girar el pulgar y alinearlo con el campo magnético externo (en cuya orientación la torca es cero).

PROBLEMAS RESUELTOS 30.1 [I]

En la dirección x existe un campo magnético uniforme B
3.0 G. Un protón (q
e) se dispara a través del campo en dirección y con una rapidez de 5.0 × 106 ms. a) Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza sobre el protón. b) Repita reemplazando el protón por un electrón. a)

La situación se muestra en la figura 30-5. Se tiene, después de cambiar 3.0 G a 3.0 × 104 T, FM
qyB sen 
(1.6 × 1019 C)(5.0 × 106 ms)(3.0 × 104 T) sen 90°
2.4 × 1016 N La fuerza es perpendicular al plano xy, que es el plano definido por las líneas de campo y v. La regla de la mano derecha indica que la fuerza está en la dirección z.

b)

La magnitud de la fuerza es la misma que en el inciso a), 2.4 × 1016 N. Pero, como el electrón es negativo, la dirección de la fuerza se invierte. La fuerza está en la dirección z.

(fuera de la página)

Figura 30-5

30.2 [II]

Figura 30-6

La carga que se muestra en la figura 30-6 es un protón (q
e, mp
1.67 × 1027 kg) con rapidez de 5.0 × 106 ms. Se hace pasar por un campo magnético uniforme dirigido hacia afuera de la página; B es de 30 G. Describa la trayectoria que sigue el protón. En virtud de que la velocidad del protón es perpendicular a B, la fuerza que actúa sobre el protón es qyB sen 90°
qyB Esta fuerza es perpendicular a v, por lo que no efectúa trabajo sobre el protón. Simplemente desvía al protón y lo obliga a seguir la trayectoria circular mostrada, como puede verificarse utilizando la regla de la mano derecha. La fuerza qyB se dirige radialmente hacia adentro y suministra la fuerza centrípeta para el movimiento circular: FM
qyB
ma
my 2r y r¼

mv qB

Para los datos dados, r¼

ð1:67
1027 kgÞð5:0
106 m=sÞ ¼ 17 m ð1:6
1019 CÞð30
104 TÞ

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(1)

CAPÍTULO 30: FUERZAS EN CAMPOS MAGNÉTICOS 263 Observe de la ecuación (1) que la cantidad de movimiento de la partícula cargada es directamente proporcional al radio de su órbita circular.

30.3 [I]

Un protón entra en un campo magnético de densidad de flujo 1.5 Wbm2 con una velocidad de 2.0 × 107 ms en un ángulo de 30° con las líneas de campo. Calcule la magnitud de la fuerza que actúa sobre el protón. FM
qy B sen 
(1.6 × 1019 C)(2.0 × 107 ms)(1.5 Wbm2) sen 30°
2.4 × 1012 N

30.4 [I]

Un haz de rayos catódicos (es decir, un haz de electrones; me
9.1 × 1031 kg, q
e) se deflecta en un círculo de 2.0 cm de radio por medio de un campo uniforme con B
4.5 × 103 T. ¿Cuál es la rapidez de los electrones? Para describir un círculo como este, la partícula se debe mover perpendicular a B. De la ecuación (1) del problema 30.2, v¼

30.5 [II]

rqB ð0:020 mÞð1:6
1019 CÞð4:5
103 TÞ ¼ 1:58
107 m=s ¼ 1:6
104 km=s ¼ m 9:1
1031 kg

Como se muestra en la figura 30-7, una partícula de carga q entra en una región del espacio donde existe un campo eléctrico uniforme dirigido hacia abajo. El valor de E es de 80 kVm. Perpendicular a E y dirigido hacia adentro de la página hay un campo magnético B
0.4 T. Si la rapidez de la partícula se escoge de manera apropiada, la partícula no sufrirá ninguna deflexión a causa de los campos perpendiculares eléctrico y magnético. ¿Qué rapidez se debe elegir en este caso? (Este dispositivo se llama selector de velocidades.) El campo eléctrico causa una fuerza Eq hacia abajo sobre la carga, si ésta es positiva. La regla de la mano derecha dice que la fuerza magnética, qyB sen 90°, es hacia arriba si q es positiva. Si ambas fuerzas se deben equilibrar de modo que la partícula no se deflecte, entonces Eq
qy B sen 90°

o

v¼

(hacia la página)

Figura 30-7

E 80
103 V=m ¼ ¼ 2
105 m=s B 0:4 T

Cuando q es negativa, ambas fuerzas se invierten, así que el resultado y
EB aún se cumple.

30.6 [III] En la figura 30-8a, un protón (q
+e, mp
1.67 × 1027 kg) se dispara con una rapidez de 8.0 × 106 ms en un ángulo de 30.0° hacia un campo B
0.15 T dirigido en la dirección x. Describa la trayectoria que sigue el protón. La velocidad de la partícula se descompone en componentes paralelo y perpendicular al campo magnético. La fuerza magnética en la dirección de y || es cero (sen 
0); la fuerza magnética en la dirección de y⊥ no tiene componente en x. Por tanto, el movimiento en la dirección x es uniforme, a una rapidez de y ||
(0. 866)(8.0 × 106 ms)
6.93 × 106 ms

(fuera)

(a) Vista lateral

Figura 30-8

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(b) Vista final

264 FÍSICA GENERAL mientras que el movimiento transversal es circular (vea el problema 30.2), con radio r¼

mv? ð1:67
1027 kgÞð0:500
8:0
106 m=sÞ ¼ 0:28 m ¼ qB ð1:6
1019 CÞð0:15 TÞ

El protón describirá una espiral a lo largo del eje x; el radio de la espiral (o hélice) será de 28 cm. Para determinar el paso de la hélice (distancia recorrida en x durante una revolución), note que el tiempo que toma en hacer un círculo completo es Periodo


2ð0:28 mÞ 2r ¼ 4:4
107 s ¼ v? ð0:500Þð8:0
106 m=sÞ

Durante este tiempo, el protón viajará una distancia en x de

Paso
(y||)(periodo)
(6.93 × 106 ms)(4.4 × 107 s)
3.0 m

30.7 [II]

Las partículas alfa (m
6.68 × 1027 kg, q
2e) se aceleran desde el reposo a través de una c.p. de 1.0 kV. Después entran en un campo magnético B
0.20 T perpendicular a su dirección de movimiento. Calcule el radio de su trayectoria. Su EC final es igual a la energía potencial eléctrica que pierden durante la aceleración, Vq: 2 1 2mv

¼ Vq

o

v¼

rffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2Vq m

Del problema 30.2, se sabe que seguirán una trayectoria circular en la que sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffi mv m 2Vq 1 2Vm r¼ ¼ ¼ qB qB m B q sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2ð1000 VÞð6:68
1027 kgÞ ¼ 0:032 m ¼ 0:20 T 3:2
1019 C

30.8 [I]

En la figura 30-9 el campo magnético está hacia afuera de la página y B
0.80 T. El alambre que se muestra lleva una corriente de 30 A. Encuentre la magnitud y la dirección de la fuerza que actúa sobre 5.0 cm de longitud del alambre. Se sabe que ∆FM
I(∆L)B sen 
(30 A)(0.050 m) (0.80 T)(1)
1.2 N Por la regla de la mano derecha, la fuerza es perpendicular tanto al alambre como al campo y se dirige hacia el fondo de la página.

hacia la página

(fuera)

Figura 30-9

30.9 [I]

Figura 30-10

Como se muestra en la figura 30-10, una bobina de alambre lleva una corriente I y su plano es perpendicular a un campo magnético uniforme B. ¿Cuáles son la fuerza resultante y la torca sobre la bobina? Considere la longitud ∆L que se muestra. La fuerza ∆F sobre ella tiene la dirección indicada. Un punto directamente opuesto a ∆L sobre la bobina tiene una fuerza igual, pero opuesta, actuando sobre él. Por tanto, las fuerzas sobre la bobina se cancelan entre sí y la fuerza resultante sobre ella es cero.

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CAPÍTULO 30: FUERZAS EN CAMPOS MAGNÉTICOS 265 En la figura se observa que las ∆F que actúan sobre la bobina intentan expandirla, no hacerla girar. Por consiguiente, la torca () sobre la bobina es cero. O se puede usar la ecuación de la torca, 
NIAB sen  donde  es el ángulo entre las líneas de campo y la perpendicular al plano de la bobina. Se ve que 
0. Por tanto, sen 
0 y la torca es cero.

30.10 [I] Por la bobina de 40 vueltas que se muestra en la figura 30-11 circula una corriente de 2.0 A en un campo magnético B
0.25 T. Determine la torca sobre ella. ¿Cómo girará? Método 1

 = NIAB sen 
(40)(2.0 A)(0.10 m × 0.12 m)(0.25 T)(sen 90°)
0.24 N · m

(Recuerde que  es el ángulo entre las líneas de campo y la perpendicular a la bobina.) Por la regla de la mano derecha, la bobina rotará alrededor de un eje vertical de tal manera que el lado ad se moverá hacia afuera de la página.

Método 2 Dado que los lados dc y ab están alineados con el campo, la fuerza sobre cada uno de ellos es cero, mientras que la fuerza sobre cada alambre vertical es FM
ILB
(2.0 A)(0.12 m)(0.25 T)
0.060 N

Figura 30-11

hacia afuera de la página en el lado ab y hacia adentro de la página en el lado bc. Si se toman las torcas en torno al lado bc como eje, sólo la fuerza sobre el lado ad tiene una torca distinta de cero. Esto es 
(40 × 0.060 N)(0.10 m)
0.24 N · m y tiende a hacer girar el lado ad hacia afuera de la página.

30.11 [I]

En la figura 30-12 se muestra la cuarta parte de una bobina circular de alambre que lleva una corriente de 14 A. Su radio es a
5.0 cm. Un campo magnético uniforme, B
300 G, se dirige en la dirección x. Encuentre la torca sobre la bobina y la dirección en la que girará. La normal a la bobina, OP, hace un ángulo 
60° con la dirección x, la dirección del campo. Así pues, 
NIAB sen 
(1)(14 A)(π × 25 × 104 m2)(0.030 0 T) sen 60°
2.9 × 103 N · m La regla de la mano derecha muestra que la bobina rotará alrededor del eje y, de tal manera que el ángulo de 60° tenderá a disminuir.

Figura 30-12

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Figura 30-13

266 FÍSICA GENERAL 30.12 [II] Dos electrones, ambos con rapidez de 5.0 × 106 ms, se disparan dentro de un campo magnético uniforme B. El primero se dispara desde el origen a lo largo del eje x y se mueve en un círculo que interseca el eje z en z
16 cm. El segundo se dispara a lo largo del eje +y y se mueve en línea recta. Determine la magnitud y dirección de B. La situación se muestra en la figura 30-13. Ya que una carga no experimenta fuerza cuando se mueve a lo largo de una línea de campo, el campo debe estar en la dirección y o y. El uso de la regla de la mano derecha para el movimiento que se muestra en el diagrama para la carga negativa del electrón, conduce a concluir que el campo está en la dirección y. Para determinar la magnitud de B, note que r
8 cm. La fuerza magnética Bqy proporciona la fuerza centrípeta necesaria my 2r, y por tanto B¼

mv ð9:1
1031 kgÞð5:0
106 m=sÞ ¼ 3:6
104 T ¼ qr ð1:6
1019 CÞð0:080 mÞ

30.13 [I] En cierto lugar de la Tierra, el campo magnético es de 5.0 × 105 T, dirigido 40° por debajo de la horizontal. Determine la fuerza por metro de longitud sobre un alambre horizontal que porta una corriente de 30 A hacia el Norte. Casi en todas partes el campo magnético de la Tierra se dirige hacia el norte. (Esta es la dirección en la cual apunta la aguja de una brújula.) Por tanto, la situación es la que se muestra en la figura 30-14. La fuerza sobre el alambre es FM
(30 A)(L)(5.0 × 105 T) sen 40°

así que

Norte

Figura 30-14

FM ¼ 9:6
104 N=m L

La regla de la mano derecha indica que la fuerza está hacia adentro de la página, es decir, al oeste.

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 30.14 [I]

Un ion (q
2e) entra en un campo magnético de 1.2 Wbm2 con una rapidez de 2.5 × 105 ms perpendicular al campo. Determine la fuerza sobre el ion. Resp. 9.6 × 1014 N.

30.15 [II] Calcule la rapidez de los iones que pasan sin desviarse a través de campos E y B perpendiculares para los que E
7.7 kVm y B
0.14 T. Resp. 55 kms. 30.16 [I]

La partícula que se muestra en la figura 30-15 tiene carga positiva en todos los casos. ¿Cuál es la dirección de la fuerza sobre ella debida al campo magnético? Proporcione su magnitud en términos de B, q y y. Resp. a) hacia adentro de la página, qyB; b) hacia afuera de la página, qyB sen ; c) en el plano de la página en un ángulo   90°, qyB.

hacia la página

(a)

(b)

(c)

Figura 30-15

30.17 [II] ¿Cuál podría ser la masa de un ion positivo que se mueve a 1.0 × 107 ms y se curva en una trayectoria circular de 1.55 m de radio debido a un campo magnético de 0.134 Wbm2? (Existen varias respuestas posibles.) Resp. n(3.3 × 1027 kg), donde n es la carga del ion.

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CAPÍTULO 30: FUERZAS EN CAMPOS MAGNÉTICOS 267 30.18 [II] Un electrón se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 3 750 V. Después entra a una región donde B
4.0 × 103 T perpendicular a su velocidad. Calcule el radio de la trayectoria que seguirá. Resp. 5.2 cm. 30.19 [II] Un electrón se dispara desde el origen de coordenadas con una rapidez de 5.0 × 106 ms. Su velocidad inicial hace un ángulo de 20° con el eje x. Describa su movimiento si en la dirección x existe un campo magnético B
2.0 mT. Resp. helicoidal, r
0.49 cm, paso
8.5 cm. 30.20 [II] Un haz de electrones pasa sin desviarse a través de dos campos, uno eléctrico y el otro magnético, mutuamente perpendiculares. Si el campo eléctrico se apaga y el mismo campo magnético se mantiene, los electrones se mueven en el campo magnético en trayectorias circulares de 1.14 cm de radio. Determine la razón de la carga electrónica a la masa del electrón si E
8.00 kVm y el campo magnético tiene una densidad de flujo de 2.00 mT. Resp. eme
175 GCkg. 30.21 [I]

Un alambre recto de 15 cm de longitud, que lleva una corriente de 6.0 A, se encuentra en un campo uniforme de 0.40 T. ¿Cuál es la fuerza sobre el alambre cuando está a) en ángulo recto con el campo y b) a 30° con el campo? Resp. a) 0.36 N; b) 0.18 N.

30.22 [I]

¿Cuál es la dirección de la fuerza, debida al campo magnético terrestre, sobre un alambre que lleva una corriente verticalmente hacia abajo? Resp. horizontalmente hacia el este.

30.23 [I]

Encuentre la fuerza sobre cada segmento del alambre que se muestra en la figura 30-16, si B
0.15 T. Suponga que la corriente en el alambre es de 5.0 A. Resp. En las secciones AB y DE, la fuerza es cero; en la sección BC, 0.12 N hacia la página; en la sección CD, 0.12 N hacia afuera de la página.

Figura 30-16

30.24 [II] Una bobina rectangular plana de 25 vueltas está suspendida en un campo magnético uniforme de 0.20 Wbm2. El plano de la bobina es paralelo a la dirección del campo. Las dimensiones de la bobina son: 15 cm perpendicular a las líneas de campo y 12 cm paralelas a ellas. ¿Cuál es la corriente en la bobina si sobre ella actúa una torca de 5.4 N · m? Resp. 60 A. 30.25 [II] Un electrón se acelera desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 800 V. Después se mueve perpendicularmente a un campo magnético de 30 G. Encuentre el radio de su órbita y su frecuencia orbital. Resp. 3.2 cm, 84 MHz. 30.26 [II] Un protón y un deuterón (md ≈ 2mp, qd
e) se aceleran a través de la misma diferencia de potencial y entran en un campo magnético a lo largo de la misma línea. Si el protón sigue una trayectoria de radio Rp, ¿cuál será pffiffiffi el radio de la trayectoria del deuterón? Resp. Rd
Rp 2 .

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