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• Johan Alexander

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PROYECTO DE METODOS NUMERICOS.

PROBLEMA. En una sección de tubo, la caída de presión se calcula así: ∆p=𝑓

𝐿𝑝𝑣2 2𝐷

donde ∆p = caída de presión (Pa), f = factor de fricción, L = longitud del tubo [m], ρ= densidad (kg/m3), V = velocidad (m/s), y D = diámetro (m). Para el flujo turbulento, la ecuación de Colebrook proporciona un medio para calcular el factor de fricción. 1 √𝑓

= −2,0 𝑙𝑜𝑔10 [

∈ 2,51 + ] 3,7𝐷 𝑅𝑒√𝑓

Dónde: ∈=rugosidad (m) y Re = número de Reynolds. Re =

ρ𝑉𝐷 µ

; donde µ = viscosidad dinámica (N · s/m2).

a) Determine ∆p para un tramo horizontal de tubo liso de 0.2 m de longitud, dadas p= 1.23 kg/m3, µ = 1.79 × 10–5 N · s/m2, D = 0.005 m, V = 40 m/s, y ∈= 0.0015 mm.Utilice un método numérico para determinar el factor de fricción. Obsérvese que los tubos lisos tienen

Re < 105, un valor inicial apropiado se obtiene con el uso de la fórmula de Blasius, f = 0.316/Re0.25. b) Repita el cálculo pero para un tubo de acero comercial más rugoso (∈=0.045mm). SOLUCIÓN: a).Datos. L=0.2 m ; 𝛒 = 1.23 kg/m3 ; µ = 1.79 × 10–5 N · s/m2 ; D = 0.005 m ;V = 40 m/s, y ∈= 0.0015 mm

→ hallamos el valor del número de Reynolds con la siguiente ecuación: Re = Re =

ρ𝑉𝐷 µ

1.23

kg m ∗ 40 ∗0.005 m m3 s

1.79 × 10–5 N · s/m2

=13743.01

→ hallamos para Re < 105, un valor inicial factor de fricción con el uso de la fórmula de Blasius f=

0.316

Re^0.25

=

0.316 (13743.01)^0.25

= 0,029

→ Para hallar el valor del factor de fricción cuando Re>105 se utiliza el método de newton raphson y nos queda de la siguiente manera:

1. Se tiene la ecuación de Colebrook:

1 √𝑓

= −2,0 𝑙𝑜𝑔10 [

∈

3,7𝐷

+

2,51 𝑅𝑒√𝑓

2. se despeja dejándola en función del término de incógnita “x”. 0= −2,0 𝑙𝑜𝑔10 [

∈ 3,7𝐷

+

2,51 𝑅𝑒 √𝑥

]−

1 √𝑥

]

3. se remplazan los valores conocidos. 0= −2,0 𝑙𝑜𝑔10 [

0.0000015 3,7(0.005)

+

2,51 13743.01√𝑥

]−

1 √𝑥

4. Se le aplica de newton Raphson.

5. para obtener la respuesta necesitamos un valor inicial, el cual se halló anteriormente con la fórmula de Blasius= (0.029) 6. hallamos la respuesta : (0,029) 7. una vez conociendo el valor del factor de fricción podemos hallar ∆p. ∆p=𝑓

𝐿𝑝𝑣2 2𝐷 𝟐𝒎∗𝟏.𝟐𝟑

∆p=𝟎. 𝟎𝟐𝟗 ∗

𝐤𝐠 𝐦 ∗(𝟒𝟎 )𝟐 𝐦𝟑 𝐬

𝟐(𝟎.𝟎𝟎𝟓𝒎)

∆p=1140,17

b) hallamos ∆p para ∈= 0.045mm 0 = −2,0 𝑙𝑜𝑔10 [

0.000045 2,51 1 + ]− 3,7(0.005) 13743.01√𝑥 √𝑥

Obtendríamos un valor fricción de 0,041 y reemplazaríamos en la ecuación ∆p=0.041 ∗ ∆p=1604,25

𝟐𝒎∗𝟏.𝟐𝟑

𝐤𝐠 𝐦 ∗(𝟒𝟎 )𝟐 𝐦𝟑 𝐬

𝟐(𝟎.𝟎𝟎𝟓𝒎)