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• Edwin Ramiro Torrico Vargas

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INVESTIGACION OPERATIVA II

FORMULARIO INVENTARIO MODELOS DE INVENTARIOS 1.- Inventarios. Se entiende por inventario a un conjunto de recursos útiles que se encuentran ociosos en algún momento. Objetivo: El objetivo en problemas de inventario consiste en minimizar los costos (Totales o esperados) del sistema, sujeto a la restricción de satisfacer una demanda (conocida o aleatoria). 2.- Componentes: En el sistema de inventarios se tienen los siguientes componentes: costos, demanda, productos, tiempo de entrega y producción y horizontes de planeación. 3.- Costos: Tipos de costos: Costo de pedidos u organización (K). El costo por colocar un pedido para reabastecer los inventarios que es independiente del número de unidades pedidas, se incurre en este costo cada vez que se coloca un pedido o se echa andar (ej. instalación) la maquinaria para una corrida de producción. Unidad: Unidad: monetaria Ejemplo; K=10 [$] Conocido también como: Costo fijo. Costo asociado con la cantidad de personal que se tiene que entrenar. Costo de instalación. Costo de preparación. Corrida de producción. Costo de compra o producción (C). El costo por artículo pedido esto si dependen mucho de la cantidad que se pida (Ej. Sale más barato por docena). Unidad: [Unidades monetarias / unidad de articulo] Ejemplo: C = 20 [$/impresora]. Conocido también como: Costo variable de mano de obra. Costo de variable indirecto. Costo de materia prima, con la compra o producción de una unidad. Costo de embargue (si los artículos se piden a una fuente externa) Costos de mantenimiento (H) Se refiere al costo o costos asociados con el almacén de los artículos. Unidad: [Unidades monetarias / ((unidades de articulo)*(unidades de período de tiempo))] Ejemplo: H = 45 [$/(cajas*día)] Su equivalencia: H=i*c Donde: C: Costo de compra o producción. i: Tasa de transferencia (puede estar entre el 30 y 38 por ciento del capital invertido) Conocido también como: Costo de capital invertido Costos de acarreo (Estiba, carga y descarga) Costos de almacenamiento (incluye renta y depreciación del inmueble) Costos administrativos (que incluye salarios de personal) seguros, impuestos, depreciación, deterioro, obsolencia, mermas, mermas, perdidas por robo, energía eléctrica, agua(estos relacionados con el almacenamiento) Costo penal o de déficit (B). El costo asociado con la no satisfacción de la demanda. Unidad: [Unidades monetarias / ((unidades de articulo)*(unidades de período de tiempo))] Conocido también como: Costos explícitos Costos implícitos

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4.- Demanda Es el número de unidades requeridas en un periodo no el número de unidades vendidas Tipos de demanda Unidades:[unidades artículos / periodo de tiempo] Demanda independiente. Dos o más artículos en los que la demanda de un artículo no afecta la demanda cualquiera de los otros artículos. Demanda dependiente. Dos o más artículos en los que la demanda de un artículo determina o afecta la demanda de uno o más de los otros artículos. Demanda determinística. Demanda de un artículo que se conoce con certeza. Demanda probabilística. Demanda de un artículo que está sujeta a una cantidad significativa de incertidumbre y variabilidad. 5.- Tasa de producción (P) La tasa de producción es el número de unidades a producir o fabricar, en un determinado periodo de tiempo, la tasa de producción debe ser mayor a la demanda, es decir P>D. Unidades: [unidades artículos / periodo de tiempo] 6.- Punto de nuevos pedidos (R). Nivel de inventario en el cual debe colocarse un nuevo pedido. Unidades: [unidades artículos] 7.- Política de pedido. Un enfoque para determinar cómo y cuándo reabastecer los inventarios. 8.- Tiempo de entrega, guía o líder (L). El tiempo entre la colocación de un pedido de bienes y la llegada de esos bienes enviados por el proveedor. Unidades: [periodo de tiempo] 9.- Déficits o faltantes. Una circunstancia en la que el inventario disponible es insuficiente para satisfacer la demanda.

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MODELO DETERMINISTICO DE INVENTARIO Determinación del modelo general

PARAMETROS T = Horizonte de planeación Unidades: unidades tiempo  C1 o H = Costo de mantenimiento del recurso por unidad de tiempo. unidades monetarias  Unidades: unidades articulo unidades tiempo  C2 o B = Costo de inexistencias costo unitario o penal por unidad de tiempo. unidades monetarias  Unidades: unidades articulo unidades tiempo  C3 o K = Costo fijo. Unidades: unidades monetarias  C4 o C = Costo compra o producción Unidades:

unidades monetarias  unidades articulo 

VARIABLES: r o D = la tasa de la demanda.

Unidades:

k o P = la tasa de producción.

Unidades:

S = Nivel máximo de producción.

Unidades:

D = Nivel máximo de inexistencias. q* = Cantidad a producir u ordenar en un periodo. CONSIDERACIONES: Costo total:

C

unidades articulos  unidades tiempo  unidades articulos  unidades tiempo 

unidades articulos  Unidades: unidades articulos  Unidades: unidades articulos 

1 2c1 * (t1  t2 ) * S  c2 * (t3  t4 ) * D  c3 t1  t2  t3  t4

Intervalos de tiempo:

t1  t2 *

r k r

t 4  t3 *

r k r

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Nivel máximo de producción:

S  r *t2 Nivel máximo de inexistencias:

D  r *t3

CT 

Costo total promedio:

1 2 * k * r (c1 * t 22  c2 * t 32 )  c3 * (k  r ) k (t 2  t3 )

Cantidad optima:

q  r * (t1  t2  t3  t4 ) Derivando:

C 0 t 2

t2  t3 * k * r

q

k r

C 0 t3

Intervalos de tiempo:

t2 

2 * c2 * c3 * (1  r k ) r * (c1  c2 ) * c1

t3 

2 * c1 * c3 * (1  r k ) r * (c1  c2 ) * c2

t1 

2 * c2 * c3 * (1  r k ) r * k r r * (c1  c2 ) * c1

t1 

2 * c2 * c3 k * c1 * (c1  c2 ) * (k r  1)

t4 

2 * c1 * c3 * (1  r k ) r * k r r * (c1  c2 ) * c2

t4 

2 * c1 * c3 k * c2 * (c1  c2 ) * (k r  1)

Cantidad optima:

q* 

c  c  2 * r * c3 1 * * 1 2 1  r k  c2 c1

Nivel máximo de producción:

S* 

2 * r * c2 * c3 * (1  r k ) (c1  c2 ) * c1

D* 

2 * r * c1 * c3 * (1  r k ) (c1  c2 ) * c2

Nivel máximo de inexistencias:

Costo total:

CT 

2 * r * c1 * c2 * c3 (1  r k ) c1  c2

Del modelo general se puede considerar los siguientes casos: EOQ La tasa de producción k es mucho mayor que la tasa de consumo r, se tiene el caso de producción instantánea tiende al infinito r/k tiende a 0, no se permite demanda diferida

c2 c1  c2 

tiende a 1

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t1  t3  t4  0 ; D*  0 El intervalo t2 es:

2 * c2 * c3 * (1  r k ) 2 * c3  r * (c1  c2 ) * c1 r * c1

t2  La cantidad óptima de pedido es:

q* 

2 * r * c3 c  c  1 * * 1 2  1  r k  c2 c1

2 * r * c3 c1

S* 

2 * r * c2 * c3 * (1  r k )  (c1  c2 ) * c1

2 * r * c3 c1

q*  S * q* 

2 * r * c3 c1

El costo total es:

CT  2 * r * c1 * c3 POQ Existe una tasa de producción k, no se permite demanda diferida

c2 c1  c2 

tiende a 1

t 3  t 4  0 ; D*  0 El intervalo t1 es:

t1 

2 * c 2 * c3  k * c1 * (c1  c2 ) * (k r  1)

2 * c3 k * c1 * (k r  1)

El intervalo t2 es:

t2 

2 * c2 * c3 * (1  r k )  r * (c1  c2 ) * c1

2 * c3 * (1  r k ) r * c1

La cantidad óptima de pedido de producción es:

q* 

2 * r * c3 1 *  1  r k  c1

2 * r * c3 c1 * 1  r k 

El costo total es:

CT  2 * r * c1 * c3 * (1  r k ) 5

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MODELO EOQ Cantidad de pedido económico. La cantidad a ordenar en un modelo de cantidad de pedido económico que logra el costo total mínimo.

PALABRAS CLAVES O DATOS QUE SE DEBEN ENCONTRAR EN UN PROBLEMA D= La demanda por periodo. L= El tiempo guía para recibir un pedido. i= La taza de transferencia por periodo. K= El costo fijo de colocar un pedido. C= El costo de compra de pedir cada unidad. H=i*C= El costo de conservación por unidad por periodo. Una vez encontrados estos datos ahora puede calcular la cantidad de pedidos económicos (Q* ), el número promedio de pedidos por periodo, el tiempo entre pedidos y el punto de nuevos pedidos (R) de la siguiente manera:

Q* 

2 * r * c3 c1

Número promedio de pedidos N Tiempo entre pedidos T 

Q*  

2* D* K H

Q* 

2* D* K i *C

D Q*

Q* D

Punto de nuevos pedidos R=D*L

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MODELO POQ Modelo de cantidad de pedidos de producción (POQ). Un modelo matemático usado como base de la administración de inventarios en el que la demanda y el tiempo guía son deterministicos, no se permiten déficits y el inventario se reemplaza continuamente con el tiempo a través de un proceso de producción. Tiempo de ciclo. El tiempo durante el cual el inventario inicia en 0, llega a su valor máximo y disminuye nuevamente a 0. Cantidad de pedidos de producción. La cantidad a pedirse en un modelo POQ que logra el mínimo costo total. El punto de nuevos pedidos depende del tiempo guía, el punto de nuevos pedidos puede ocurrir después de que se ha terminado la producción si L es pequeño, también puede ocurrir antes de que se haya terminado la producción si L es grande. PALABRAS CLAVES O DATOS QUE SE DEBEN ENCONTRAR EN UN PROBLEMA P= La tasa de producción por periodo D= La demanda por periodo L= El tiempo guía para organizar un pedido i= La taza de transferencia por periodo K= El costo fijo por organizar la corrida de producción C= El valor de cada unidad H=i×C= El costo de conservación por unidad por periodo Una vez encontrados estos datos ahora puede calcularla cantidad de pedidos económicos (Q*), el número promedio de pedidos por periodo, el tiempo entre pedidos y el punto de nuevos pedidos (R) de la siguiente manera

2 * r * c3 Q*  k r  c1    r  D Número de promedios pedidos: N  Q* D * L Punto de nuevos pedidos: R   ( P  D) * (T  L) Q* 

2* D* K PD H   P 

Q* 

2* D* K PD i * C   P 

, si (T  L)  t , si (T  L)  t

Donde: Tiempo entre pedidos de producción: T  Duración de la producción: t 

Q* D

Q* P

 Q* I MAX  ( P  D)   P  1 D Inventario promedio: Invpromedio 1  Q * 2 P  D 1 PD  CD   Costo total del sistema de inventario: CT  K Q * H Q* 2 P  Inventario máximo del producto:

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MODELO EOQ CON DESCUENTOS CUANTITATIVOS PALABRAS CLAVES O DATOS QUE SE DEBEN ENCONTRAR EN UN PROBLEMA En resumen, cuando se dispone de descuentos por cantidad de un modelo EOQ en forma de distintos costos unitarios dependiendo del número de unidades pedidas, como lo especifica un intervalo de valores, la política de inventarios óptima se determina de la siguiente manera: Paso 1. Por cada costo unitario C, determine la mejor cantidad de pedidos en el intervalo asociado, de la siguiente manera: a. Por cada intervalo y costo unitario asociado, calcule la cantidad de pedidos Q mediante la fórmula estándar EOQ:

b. Por cada intervalo, use el valor de Q calculado en (a) para determinar la mejor cantidad de pedidos, Q*, cuyo valor está dentro del intervalo, de la siguiente manera:

Esto es, la mejor cantidad de pedidos Q* que está dentro del intervalo, y el límite más cercano a Q en otras circunstancias. Paso 2. Por cada intervalo, use la mejor cantidad de pedidos calculada en el paso 1(b) junto con el costo unitario asociado para determinar el costo total por periodo usando la fórmula:

Paso 3. Identifique la cantidad de pedidos, Q*, en el paso 2 que incurre en el mínimo costo total. Usando el valor de Q* del paso 3, calcule el número promedio de pedidos por período y el punto de nuevos pedidos R de la siguiente manera: Número promedio de pedidos N =

D Q*

Punto de nuevos pedidos R=D*L

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MODELO DE INVENTARIO EOQ DONDE SE PERMITE PEDIDOS ATRASADOS En muchas situaciones de la vida real se incurre en escasez es decir en un costo penal

PALABRAS CLAVES O DATOS QUE SE DEBEN ENCONTRAR EN UN PROBLEMA D= La demanda por periodo. i= La taza de transferencia por periodo. K= El costo fijo. H= i×C=El costo de conservación por unidad por periodo. B= Costo penal. Cantidad optima de pedido: Q*  2 KD( H  B) HB 2 KDB Nivel máximo de pedido o producción: M *  H ( H  B) Escasez máxima: Escasez máxima  Q * M * o Escasez máxima  2 DHK ( H  B) B Costo total: CT  K

D (Q * M *)2 B M 2 H o CT  2 DHBK   Q* 2Q * 2Q * H B

Periodo de tiempo sin escasez: t  2

2 BK D( H  B ) H

Periodo de tiempo con escasez: t  3

2 HK D( H  B ) B

INVENTARIO DE VARIOS PRODUCTOS CON DEMANDA CONSTANTE REVISION CONTINUA Y LIMITACION DE ESPACIO DE ALMACENAMIENTO Este modelo considera que existen n (n>1) productos, cuya demanda es constante y que compiten por un espacio limitado de almacenamiento de capacidad Q PALABRAS CLAVES O DATOS QUE SE DEBEN ENCONTRAR EN UN PROBLEMA D= La demanda por periodo. K= El costo fijo. C= Costo de compra o producción. H= i×C= El costo de conservación por unidad por periodo. i = La taza de transferencia por periodo. λ= Valor que debe ser menor a cero.  =Espacio de almacenamiento con una capacidad finita.

Qi * =Cantidad optima de pedido. El problema es determinar las cantidades Q tal que: n 1 D Min CT    H i Qi  K i i  Qi  i 1  2

Sujeto a: n

v Q   i 1

i

Qi * 

i

Hallar:

2 Di K i H i  2vi 9

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MODELOS ESTOCASTICOS En esta sección se discuten modelos de inventarios donde la demanda es aleatoria (también llamada estocástica), con una distribución de probabilidad conocida. Se analizan modelos estáticos (un solo periodo) y modelos dinámicos (Varios periodos), así como modelos para un solo producto y para varios productos, modelos con y sin costo fijo, con y sin costo inicial, con y sin satisfacción diferida de demanda a periodos futuros. Con y sin entrega inmediata, con revisión periódica y con revisión continua, con consumo instantáneo y con consumo uniforme. MODELOS ESTÁTICOS El modelo estático estocástico, o modelo de un solo periodo, se utiliza cuando se va a producir un articulo una sola vez. Ejemplos de esto son la industria de las modas, un tipo de avión comercial o militar o artículos que se obsoletizan rápidamente, como las computadoras y calculadoras. CONSUMO INSTANTÁNEO, SIN COSTO FIJO, ENTREGA INMEDIATA. En este modelo se supone que la demanda se satisface al principio de un periodo y su consumo es instantáneo. Por lo tanto, dependiendo en el valor que tome la demanda aleatoria,  , y de la posición X del inventario antes de satisfacer la demanda (antes de tomar una decisión), se podrá saber si el inventario remanente es positivo o negativo. Si X, el inventario final será negativo.

Palabras claves: c = Costo de compra (o producción) por unidad K = Costo de preparación por pedido h = Costo de manejo por unidad durante el periodo p = Costo de penalización por unidad de faltante durante el periodo  = Demanda probabilística durante el periodo

 ( ) = Función de densidad probabilística de la demanda durante el periodo Y = Cantidad de pedido X = Cantidad disponible antes de que se coloque un pedido

E{C (Y )} = Costo de orden de producción + valor esperado del costo de mantenimiento + Valor esperado del costo penal. Si la distribución de la demanda

 ( ) es continúa: 

Y

Y

0

E{C (Y )}  c(Y  X )   p[  Y ] ( )d   h[Y   ] ( )d Si la distribución de la demanda

 ( ) es discreta:

Para el caso continuo el valor de Y*.

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Para el caso discreto el valor de Y*.

La política optima consiste en ordenar o producir Y*-X unidades, si X=Y* En resumen: Si X < Y* ordenar o producir Y*-X unidades Si X >= Y* no producir u ordenar nada. CONSUMO UNIFORME SIN COSTO FIJO ENTREGA INMEDIATA

Consideraciones: Inventario promedio que causa de mantenimiento

X

 2

Inventario promedio que causa costos penales =0

Consideraciones: Inventario promedio que causa costos de mantenimiento

X2 2 Inventario que causa costos penales=

  X 2 2

Palabras claves: c = Costo de compra (o producción) por unidad K = Costo de preparación por pedido h = Costo de manejo por unidad durante el periodo p = Costo de penalización por unidad de faltante durante el periodo  = Demanda probabilística durante el periodo

 ( ) = Función de densidad probabilística de la demanda durante el periodo Y = Cantidad de pedido X = Cantidad disponible antes de que se coloque un pedido. El costo total esperado, suponiendo que ξ tenga una distribución continua, que Y es la variable de decisión que denota la cantidad que se tiene después de ordenar o producir dado que se tiene X unidades en inventario es:

De esta ecuación se obtiene:

La política optima es igual a las anteriores, es decir, si X es menor a Y* se ordenan o producen Y*-X, mientras que si X>=Y*, no se ordena o produce nada.

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DEMANDA INSTANTANEA CON COSTO FIJO (s, S) Supóngase que las condiciones son similares al modelo, consumo instantáneo, sin costo fijo entrega inmediata, pero con costo fijo K. El costo total esperado cuando la demanda ξ tiene una distribución φ(ξ), Y es el inventario después de ordenar o producir y X es el inventario antes de tomar una decisión.

Donde h() y p() son funciones convexas de sus argumentos y definido. El valor critico para E{C (Y )} , Y*, se obtiene de resolver.

E{C (Y )} es el costo total esperado sin costo fijo

Como K es una constante E{Ĉ(Y)} y E{C(Y)} deben tener el mismo mínimo Y*

Si se denota a Y* por S, se define al punto s como aquel que satisface la ecuación:

Con s