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• Luis España

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FORMULARIO DE LAS DISTRIBUCIONES MUESTRALES

1. Formulas implicadas en el proceso de construcción de una distribución muestral de las medias: • Si las muestras se extraen con reemplazo el número de medias muestrales posibles es 𝑛𝑥̅ = 𝜎 𝑁 𝑛 y se cumples que 𝜇𝑥̅ = 𝜇 y 𝜎𝑥̅ = √𝑛

•

Si las muestras se extraen sin reemplazo: el número de medias muestrales posibles es 𝑁2

𝑁!

𝑛𝑥̅ = 𝐶 ( 𝑛 ) = 𝑁𝐶𝑛 =

𝑛!(𝑁−𝑛)!

Y se cumple que 𝜇𝑥̅ = 𝜇 y 𝜎𝑥̅ =

𝜎 √𝑛

𝑁−𝑛

√

𝑁−1

N es el tamaño de la población y n representa el tamaño de la muestra. 1.a.- 𝜇 =

∑𝑁 𝑖=1 𝑥𝑖

1.b.- 𝜎 2 =

Media poblacional

𝑁 2 ∑𝑁 𝑖=1(𝑥𝑖 −𝜇)

𝑁 2 ∑𝑁 𝑖=1(𝑥𝑖 −𝜇)

1.c.- 𝜎 = √ 1.d.- 𝜇𝑥̅ =

𝑁

∑𝑁 𝑖=1 𝑥̅ 𝑖

2 ∑𝑁 𝑖=1(𝑥𝑖 −𝜇)

1.f.- 𝜎𝑥̅ 2 =

Desviación estándar poblacional Media de la distribución muestral de la media

𝑛𝑥̅

1.e.- 𝜎 = √

Varianza poblacional

𝑁

2 ∑𝑁 𝑖=1(𝑥𝑖 −𝜇)

𝑛𝑥̅ −1

Desviación estándar muestral Desviación estándar de la distribución muestral de la media

̅ 2.- Distribución Muestral de las Medias: 𝒙 Teorema Central del Límite: Sean 𝑥1 ∙ 𝑥2 … 𝑥𝑛 variables aleatorias independientes y distribuidas idénticamente con 𝐸(𝑥𝑖 ) = 𝜇 y 𝑉(𝑥𝑖 ) = 𝜎 2 definamos: 𝑧=

∑𝑁 𝑖=1 𝑥𝑖 −𝑛𝜇

𝑥̅ −𝜇

𝑧 = 𝜎/

o

𝜎 √𝑛

√𝑛

(con reemplazo)

o

𝑧=

𝑥̅ −𝜇 𝜎 𝑁−𝑛 √ √𝑛 𝑁−1

(sin reemplazo)

Cuando se conoce la desviación estándar poblacional 𝜎 o la varianza poblacional 𝜎 2 Entonces la función de distribución de Z converge hacia la función de distribución normal estándar cuando n →∞ esto es: 𝑢

lim 𝑃(𝑧 ≥ 𝑢) = ∫

1

−∞ √2𝜋

𝑡2

𝑒 − 2 𝑑𝑡, ∀𝑢

Teorema Central del límite implica que los enunciados de probabilidad acerca de z pueden ser aproximados por probabilidades correspondientes para la variable aleatoria estándar si n es grande: Por lo general, muchos estadísticos coinciden que un valor mayor que treinta (en algunos casos no es tan estricto que n>30) asegura que la distribución de z se puede calcular en forma aproximada por una distribución normal. Además es importante conocer: • • •

𝑃(𝑧 ≤ 𝑘 ) o 𝑃(𝑧 < 𝑘) se halla directamente en la tabla de la distribución normal. 𝑃(𝑧 ≥ 𝑘 ) = 1 − 𝑃(𝑧 < 𝑘) o 𝑃(𝑧 > 𝑘 ) = 1 − 𝑃(𝑧 ≤ 𝑘) 𝑃(𝑘1 ≤ 𝑧 ≤ 𝑘2 ) = 𝑃(𝑧 ≤ 𝑘2 ) − 𝑃(𝑧 ≤ 𝑘1 ) o 𝑃(𝑘1 < 𝑧 < 𝑘2 ) = 𝑃 (𝑧 < 𝑘2 ) − 𝑃 (𝑧 < 𝑘1 )

2.- Distribución Muestral de la Diferencia de Medias: ̅̅̅ 𝒙𝟏 − ̅̅̅ 𝒙𝟐 Si se tienen dos poblaciones independientes con medias poblacionales 𝜇1 y 𝜇2 , varianzas 𝜎12 y 𝜎22 y si x̅1 − x̅̅̅2 son las medias muestrales de dos muestras aleatorias independientes de tamaño 𝑛1 y 𝑛2 , de estas poblaciones, entonces la distribución de muestreo es: 𝑧=

𝑥1 − ̅̅̅ ̅̅̅ 𝑥2 − (𝜇1 − 𝜇2) √

𝜎12 𝜎22 𝑛1 + 𝑛2

Además es importante recordar: • •

𝑃(|x̅1 − ̅̅̅| x2 ≤ 𝑘 ) = (−𝑘 ≤ |x̅1 − ̅̅̅| x2 ≤ 𝑘 ) o 𝑃 (|x̅1 − ̅̅̅ x2 | < 𝑘 ) = (−𝑘 < |x̅1 − ̅̅̅ x2 | < 𝑘 ) 𝑃(|x̅1 − ̅̅̅| x2 ≥ 𝑘 ) = 2𝑃(|x̅1 − ̅̅̅ x2 | ≤ −𝑘 ) = 2𝑃 (|x̅1 − x̅̅̅2 | ≥ 𝑘 ) o 𝑃(|x̅1 − ̅̅̅ x2 | > 𝑘 ) = 2𝑃(|x̅1 − ̅̅̅ x2 | < −𝑘 ) = 2𝑃(|x̅1 − ̅̅̅ x2 | > 𝑘 ) Nota: para el cálculo de las probabilidades es bueno tener en cuenta las fórmulas del punto anterior.

̂ 4.- Distribución Muestral de la proporción: 𝒑 Cuando se tiene una población infinita distribuida binomialmente, donde 𝝅 (“éxito” o “que tenga”) y 𝜸= 1 − 𝜋 (“fracaso” o “que no tenga”), son las probabilidades respectivas de que cualquier miembro dado de la población, presente o no cierta propiedad, donde 𝑥

𝑥

𝑝̂ = 𝑛 Si 𝑛𝜋 ≥ 5 y 𝑛𝛾 ≥ 5 , además 𝜋 debe estar alejada de 0 y 1. 𝜋 = 𝑁 Esa distribución binomial se aproxima a la normal mediante: 𝑧=

̂ +𝑓.𝑐−𝜋 𝒑 𝜋𝛾 √𝑛

1

donde 𝛾 = 1 − 𝜋 f.c = − 2𝑛, Si 𝑃(𝑝̂ ≥ 𝑘 ) o 𝑃 (𝑝̂ < 𝑘 ) 1

f.c = + 2𝑛, Si 𝑃 (𝑝̂ ≤ 𝑘 ) o 𝑃(𝑝̂ > 𝑘 )

𝑧=

𝒙+𝑓.𝑐−𝑛𝜋

donde 𝛾 = 1 − 𝜋 f.c = -0.5, Si 𝑃 (𝑥 ≥ 𝑘 ) o 𝑃 (𝑥 < 𝑘 )

√𝑛𝜋𝛾

f.c = +0.5, Si 𝑃 (𝑥 ≤ 𝑘 ) o 𝑃 (𝑥 > 𝑘 ) 𝑧=

̂ −𝜋 𝒑

4.a.- 𝜎𝑝̂ = √ 4.b.- 𝜇𝑝̂ =

𝑧=

;

𝜋(1−𝜋) √ 𝑛

𝒙−𝑛𝜋 √𝜋𝛾

𝜋(1−𝜋) 𝑛

∑𝑁 𝑖=1 𝑝̂𝑖

;

𝑧=

𝒙−𝑛𝜋 √𝜋(1−𝜋)

Desviación estándar de la proporción Media de la distribución muestral de la proporción

𝑛𝑝̂

̂

4.c.- 𝜎𝑝̂ = √

∑𝑛𝑝 (𝑝 −𝜇𝑝̂)2 𝑖=1 𝑖 𝑛𝑝̂

Desviación estándar de la distribución muestral de las proporciones

Además es importante conocer: • • • • • •

𝑃(𝑥 ≤ 𝑘 ) se halla directamente en la tabla directamente. 𝑃(𝑥 < 𝑘 ) = 𝑃(𝑥 ≤ 𝑘 − 1) 𝑃(𝑘1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑘2 ) = 𝑃 (𝑥 ≤ 𝑘2 ) − 𝑃 (𝑥 ≤ 𝑘1 ) o 𝑃(𝑘1 < 𝑥 < 𝑘2 ) = 𝑃(𝑥 < 𝑘2 ) − 𝑃 (𝑥 < 𝑘1 ) 𝑃(𝑥 = 𝑘 ) = 𝑃 (𝑥 ≤ 𝑘 ) − 𝑃(𝑥 ≤ 𝑘 − 1) 𝑃(𝑥 ≥ 𝑘 ) = 1 − 𝑃(𝑥 < 𝑘) 𝑃(𝑥 > 𝑘 ) = 𝑃(𝑥 ≥ 𝑘 + 1)

̂𝟏 − 𝒑 ̂𝟐 5.- Distribución Muestral de la Diferencia de proporciónes: 𝒑 Si se tienes dos poblaciones binomiales independientes, donde 𝜋1 ∙ 𝛾1 = 1 − 𝜋1 , 𝜋2 y 𝛾2 = 1 − 𝜋2, son las probabilidades respectivas de que cualquier miembro dado de las poblaciones, presente o no cierta propiedad. Si 𝑛1 𝜋1 ≥ 5 𝑦 𝑛1 𝛾1 ≥ 5, 𝜋1 debe estar alejada de 0 y 1. Si 𝑛2 𝜋2 ≥ 5 𝑦 𝑛2 𝛾2 ≥ 5, 𝜋2 debe estar alejada de 0 y 1. 𝑧=

𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 − (𝜋1 − 𝜋2 ) 𝜋 𝛾 𝜋 𝛾 √ 𝑛1 1 + 𝑛2 2 1 2

donde 𝛾1 = 1 − 𝜋1 ; donde 𝛾2 = 1 − 𝜋2 Además, es importante recordar: • •

𝑃(|𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 | ≤ 𝑘 ) = (−𝑘 ≤ |𝑝̂ 1 − 𝑝̂ 2 | ≤ 𝑘 ) o 𝑃(|𝑝̂ 1 − 𝑝̂ 2 | < 𝑘 ) = (−𝑘 < |𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 | < 𝑘 ) 𝑃(|𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 | ≥ 𝑘 ) = 2𝑃 (|𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 | ≤ −𝑘 ) = 2𝑃 (|𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 | ≥ 𝑘 ) o 𝑃(|𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 | > 𝑘 ) = 2𝑃(|𝑝̂ 1 − 𝑝̂ 2 | < −𝑘 ) = 2𝑃 (|𝑝̂1 − 𝑝̂ 2 | > 𝑘 )

6.- Distribución Muestral de la varianza o desviación estándar: 𝒔 y 𝒔𝟐

Si n≥30 y se desconoce la desviación estándar poblacional σ o la varianza poblacional 𝜎 2 se usa: 𝑧=

𝑠−𝜎

n≥30 o n≥100

𝜎 √2𝑛

𝑥2 =

(𝑛−1)𝑠 2 𝜎2

n≤30

𝑧=

𝑥−𝑥̅ 𝜎

Donde 𝑥 2 tiene una distribución 𝑥 2 con 𝑛 − 1 grados de libertad, también 𝑥̅ 𝑦 𝑠 2 son variables aleatorias independientes.