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Flujo del agua en el suelo INTRODUCCIÓN Hace solo 60 años los proyectos de presas y de estructuras de retención de agua hechas con suelos se basaban casi exclusivamente en reglas empíricas que los constructores se transmitían por tradición oral. Se adoptaban las obras que habían resistido satisfactoriamente los estragos a causa del tiempo y de las aguas, independientemente de la naturaleza de los materiales y de las características del terreno de cimentación. Con el nacimiento de la mecánica de suelos y el conocimiento de los materiales, que con esta se adquirió, ha sido posible analizar bajo un nuevo fulgor el comportamiento de las presas y de las estructuras de retención. Fue el francés Henry Darcy quien estableció las bases para un estudio racional de los problemas prácticos acerca de la infiltración del agua a través de los suelos. Darcy en el siglo XIX estudió en forma experimental el flujo del agua a través de un medio poroso y estableció la ley que se conoce con el nombre de ley de Darcy. Dicha ley se basa en las siguientes hipótesis, que condicionan su validez: • •

Medio continuo, es decir que los poros vacíos estén intercomunicados. Medio isótropo.

•

Medio homogéneo.

•

Flujo del agua en régimen laminar.

Darcy demostró que el caudal Q es proporcional a la pérdida de carga e inversamente proporcional a la longitud del lecho de arena y proporcional al área de la sección y a un coeficiente que depende de las características del material. De esta manera estableció que: Q = KA(h1 – h2)/L En donde K es un coeficiente que se ha denominado coeficiente de permeabilidad con unidades L/T. Esta ley es solo aplicable en la resolución de problemas en que el flujo del agua sea laminar. Es decir que el flujo presente un número de Reynolds inferior a 2000. El número de Reynolds es una relación adimensional entre fuerzas de inercia y fuerzas viscosas, esta relación establece que: R = V D ρ/ µ Posteriormente a Darcy, el siguiente paso fundamental en el conocimiento fue dado por Ph. Forchheimer, quien demostró que la función carga hidráulica que gobierna un flujo en un medio poroso es una función armónica, es decir, que satisface la ecuación de Laplace. Forchheimer desarrolló a principios del siglo XX, las bases para el método gráfico que hoy se conoce con el nombre de método de las redes de flujo, que sigue siendo el arma más sencilla y poderosa de que el ingeniero dispone para la resolución práctica de los problemas que involucren el flujo de agua en suelos. El método de las redes de flujo, que es una solución gráfica de la ecuación de Laplace, fue popularizado

a partir de 1937 y desde entonces se ha transformado en el procedimiento normal de trabajo para todos los ingenieros. ECUACIONES HIDRODINAMICAS QUE RIGEN EL FLUJO DEL AGUA A TRAVES DE LOS SUELOS A continuación se presenta un tratamiento matemático que permitirá llegar en forma sencilla a las ecuaciones básicas que se utilizan para plantear teóricamente el problema del flujo de agua a través de los suelos. Considérese un pequeño paralelepípedo de una región de suelo a través de la que fluye el agua, de dimensiones dx, dy y dz, tal como se muestra en la figura:

Supóngase que la velocidad V con la que el agua pasa por el elemento posee tres componentes Vx, Vy y Vz y que estas son solo función de x, y y z respectivamente pero no del tiempo (suponiendo que se trata de un fluido permanente) ni de ninguna otra variable. Suponiendo también que estas componentes son funciones continuas que admiten cualquier orden de derivación necesario al razonamiento expuesto. Dadas las condiciones, si en las caras I las componentes de la velocidad son Vx, Vy y Vz, en las caras II las componentes de la velocidad serán, respectivamente: Vx + (∂Vx/∂x) dx Vy + (∂Vy/∂y) dy Vz + (∂Vz/∂z) dz Supóngase ahora que la porción de suelo a través de la que fluye el agua tiene sus vacíos saturados y que además las partículas que la conforman son incompresibles. Así, durante el flujo, la cantidad que entra al elemento tiene que ser igual a la que sale. Por lo tanto, teniendo en cuenta que el caudal que pasa por una sección puede expresarse como el producto del área de la sección por la velocidad del flujo, podrá escribirse: Vxdydz + Vydxdz + Vzdxdy = (Vx + ∂Vx/∂x dx)dydz + (Vy + ∂Vy/∂y dy)dxdz + (Vz + ∂Vz/∂z dz)dxdy Donde el termino del lado izquierdo representa el caudal que entra y el del lado derecho el que sale.

Simplificándola se obtiene: ∂Vx/∂x dxdydz + ∂Vy/∂y dxdydz + ∂Vz/∂z dxdydz = o de donde: ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y + ∂Vz/∂z = o Esta ecuación es de gran importancia en la teoría de flujo de agua y se conoce con el nombre de ecuación de la continuidad. Es importante recordar que esta ecuación es solo aplicable cuando se cumplen los supuestos anteriormente mencionados, los cuales son: ·

Flujo permanente

·

Suelo saturado

·

El agua y las partículas son incompresibles

·

El flujo no modifica la estructura del suelo

Ahora teniendo en cuenta la ley de Darcy (V = -K∂h/∂l), tenemos que la velocidad de flujo de agua a través del elemento es: Vx = -Kx∂h/∂x Vy = -Ky∂h/∂y Vz = -Kz∂h/∂z En estas ecuaciones el elemento de suelo se considera anisótropo en lo referente a su permeabilidad K en la dirección de cada eje Introduciendo estas ecuaciones en la ecuación de continuidad, obtenemos: Kx ∂ 2h/∂x2 + Ky ∂ 2h/∂y2 + Kz ∂ 2h/∂z2 = 0 En algunos casos en los cuales la sección transversal (x-y) es mucho mayor que la altura, el problema de flujo podrá estudiarse bidimensionalmente, escribiéndose en una forma más simplificada la ecuación: Kx ∂ 2h/∂x2 + Ky ∂ 2h/∂y2 = 0 Es esta la ecuación fundamental para el análisis de un flujo bidimensional en una región de flujo dada. De encontrarse en un suelo isótropo en lo referente a la permeabilidad, es decir Kx = Ky = K, podrá ser simplificada para obtener la ecuación de Laplace: ∂ 2h/∂x2 + ∂ 2h/∂y2 = ∇ 2h = 0

Una función que satisface la ecuación de Laplace se le conoce como armónica. Ecuación que para ser aplicada requiere: ·

Suelo isótropo, en lo relativo a su permeabilidad

·

Flujo bidimensional

Estos dos limitantes no son un gran obstáculo ya que un flujo bidimensional se ajusta a la mayoría de los casos prácticos, en cuanto a la isotropía habrá que considerar que muchas de las estructuras de tierra a través de las que interesa estudiar el flujo se construyen compactando por capas, procedimiento que conduce a permeabilidades horizontales bastante mayores que las que se obtienen para el flujo en la dirección vertical. La ecuación general de Laplace está constituida por dos grupos de funciones que pueden ser representados dentro de la zona de flujo en estudio como dos familias de curvas ortogonales entre sí. La solución general que satisfaga las condiciones de frontera de una región de flujo específica constituirá la solución particular de la ecuación de Laplace para esta región específica. Es conveniente, a partir de la gráfica, una expresión que proporcione el caudal que pasa a través del elemento en el tiempo dt. dq = Kx ∂h/∂x dydz + Ky ∂h/∂y dxdz + Kz ∂h/∂z dxdy Si el suelo es isótropo en lo referente a la permeabilidad: dq = K(∂h/∂x dydz + ∂h/∂y dxdz + ∂h/∂z dxdy) En flujo bidimensional: dq = K(∂h/∂x dy + ∂h/∂y dx) SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LAPLACE Centrándose en el caso de flujo bidimensional, se observa la ecuación de Laplace: ∂ 2h/∂x2 + ∂ 2h/∂y2 = ∇ 2h = 0 y se define una función: φ = -Kh + c Función, conocida como función de potencial, que satisface la ecuación de Laplace, cumpliendo que: ∂ 2φ/∂x2 + ∂ 2φ/∂y2 = 0 Así la función φ(x, y)= constante es una solución de la ecuación de Laplace, solución que representa una infinidad de funciones, según el valor de la constante c que intervenga. Esta expresión puede representar una familia de curvas que se

desarrollan en la región plana en la que ocurre el flujo, obteniéndose una curva específica de la familia para cada valor de la constante que se tome. Considérese ahora una función ψ(x, y)= constante llamada función de corriente y definida de modo que: Vx = ψ∂/∂y

Vy =- ψ∂/∂x

La función ψ así definida satisface la ecuación de Laplace, de manera que se cumple: ∂ 2ψ/∂x2 + ∂ 2ψ/∂y2 = 0 Si el conjunto de funciones ψ(x, y)= constante, se representaran también por una familia de curvas (ψ= constante) en la región de flujo. La familia ψ = constante es ortogonal a la familia φ= constante. En un problema específico en el que haya unas condiciones de frontera fijas, la solución de la ecuación de Laplace constituida por las dos familias de curvas, más la exigencia de que estas familias satisfagan las condiciones de frontera existentes, produce en definitiva una solución única del problema considerado. INTERPRETACIÓN FÍSICA Se tendrá entonces que en la curva φ= constante, todos los puntos presentaran la misma carga hidráulica, h. Por esta razón es que estas curvas reciben el nombre de líneas equipotenciales. En cuanto a las curvas ψ= constante, se considerara la trayectoria del agua que pasa por P(x, y), en este punto el agua presenta una velocidad V.

A lo largo de la curva se tendrá: Tanθ = Vy/Vx = dy/dx De donde: Vydx – Vxdy = 0 Lo que puede ser expresado como: ψ∂ dx/∂x + ψ∂dy/∂y = 0

La anterior expresión es precisamente la diferencia total de la función ψ de manera que se cumple a lo largo de la trayectoria del agua que: dψ = 0 Y por lo tanto: ψ = constante La familia de curvas ψ= constante esta constituida por las trayectorias físicas y reales del agua a través de la región de flujo. TEORÍA DE LA SECCIÓN TRANSFORMADA La teoría de la sección transformada permite reducir la situación de un suelo anisótropo al caso de un suelo isótropo. Con esta reducción se logra que la ecuación de Laplace y sus soluciones sean aplicables para describir el flujo a través de un medio anisótropo. En esencia la teoría de la sección transformada es un simple artificio de cálculo que se logra por medio de una simple transformación de coordenadas y del cual se obtiene que la permeabilidad equivalente en la sección transformada a la combinación de permeabilidades de la sección real es: K = (KxKy)1/2 REDES DE FLUJO La red de flujo es una representación gráfica de la solución de la ecuación de Laplace para φ y ψ con las condiciones de frontera existentes en el flujo. Esta constituida por líneas equipotenciales separadas igualmente en φ y por líneas de corriente igualmente separadas en ψ. Esta separación se conoce como canal de flujo o canal de corriente. Todas las intersecciones de la red son ortogonales. Propiedades de las redes de flujo: ·

El caudal que fluye entre dos líneas consecutivas es el mismo por unidad de ancho.

·

Ni las líneas equipotenciales pueden cortarse entre sí, dentro del medio fluido, ni las líneas de corriente pueden cortarse entre sí dentro del medio fluido.

Se trata entonces de definir en cada caso las condiciones de frontera específicas del problema y trazar, cumpliendo con estas, las dos familias de curvas ortogonales, obteniendo así una verdadera imagen gráfica del problema, que si a sido realizada con cuidado podrá ser lo suficientemente buena para los fines ingenieriles. Para el trazo de una red de flujo se tienen los siguientes pasos: ·

Dibujar los limites del dominio

·

Fijar tentativamente 3 ó 4 líneas de corriente.

·

Trazar tentativamente equipotenciales, ortogonales a las líneas de corriente

·

Ajustar

·

Comprobar la bondad del ajuste si al trazar las líneas diagonales de los cuadros se obtienen también curvas suaves, formando una nueva red

CALCULO DEL CAUDAL Al trazar cualquier red de flujo se dibujan las equipotenciales de tal manera que la ∆h sea la misma y que el ∆q entre dos líneas de corriente sea el mismo.

Se tendrá entonces que: ∆q = Ka∆h/b Si nf es el número total de canales de la red y n c el número de caídas de potencial que hay en toda la zona de flujo, entonces podrá escribirse: ∆q = q/nf

y

∆h = h/nc

Donde q y h son el caudal unitario total y la carga total. A partir de lo anterior se puede llegar a que: q/nf = Ka h/nc q = (nf/nc) (a/b) kh Puesto que q, k, h, nf y nc son constantes para una red de flujo dada, la relación a/b debe serlo también. Esta condición implica que se estén cumpliendo las dos condiciones iniciales (que la ∆h sea la misma y que el ∆q entre dos líneas de corriente sea el mismo). El término nf/nc depende únicamente de la forma de la región de flujo, se le conoce como factor de forma y se representa: Ff = nf/nc

El calculo de las presiones hidrodinámicas en el agua que se infiltra a través de la región de flujo, es una de las aplicaciones más útiles de una red de flujo. FUERZAS DE INFILTRACIÓN El agua circulando en un medio poroso, imparte energía a los granos sólidos por fricción. Considérese un volumen de arena confinado, en el cual se tiene un nivel de agua h1 antes y un nivel h2 después de la arena.

La fuerza resultante en el volumen de arena es: F = P1 – P2 Donde: P1 = γh1A

P2 = γh2A

A es el área transversal de la muestra. Sustituyendo: F = (h1 – h2) γA La dirección de F es paralela al flujo y puede localizarse dependiendo de la posición del centro de gravedad del elemento analizado. Para suelos anisotrópicos, debe utilizarse el concepto de sección transformada. EJEMPLOS DE REDES DE FLUJO

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

·

VÉLEZ Otálvaro, María Victoria. Hidráulica de aguas subterráneas. Facultad de minas, Universidad Nacional de Colombia. Segunda edición, Medellín 1999.

·

JUÁREZ Badillo, Eulalio. RICO Rodríguez, Alfonso. Mecánica de suelos, tomo III flujo de agua en suelos. Editorial Limusa. México 1980.

Filtración y Redes de Flujo - Suelos. Las trayectorias del flujo del agua a través de los suelos reales y las correspondientes presiones de poro son extremadamente complejas, debido a la manera errática en la que es probable que varíe de punto a punto y en diferentes direcciones la permeabilidad. Por lo tanto, los análisis exactos de problemas tan comunes, como el efecto de un sistema de desagüe o el flujo bajo una ataguía dentro de la excavación para la pila de un puente rara vez son posibles. Sin embargo, a pesar de las complejidades de los problemas reales, el ingeniero puede mejorar bastante su criterio con respecto a la filtración y sus efectos, estudiando el flujo en condiciones sencillas esquematizadas. Por ejemplo, considérese el flujo de agua a través de un material permeable (fig. 2.8a) en el que se ha hincado una tablestaca. Se supone que la permeabilidad del suelo es la misma en todos los puntos y que es igual en todas las direcciones; además, la tablestaca y el manto de roca que está debajo del suelo se consideran completamente impermeables. Se acepta como válida la ley de Darcy, y asimismo que tanto el suelo como el agua son incompresibles. El agua que entra al suelo aguas arriba del tablestacado, se mueve hacia la superficie del terreno aguas abajo siguiendo trayectorias curvas regulares, como AB (fig. 2.8a), que se conocen con el nombre de líneas de flujo. La circulación es producida por la carga hidráulica h, que impulsa el agua de A a 13. Al moverse una partícula de agua de A hacia B produce un arrastre por fricción en las partículas del suelo; a su vez, este arrastre produce una presión de filtración en la estructura del suelo; la presión de filtración en cualquier punto actúa en la dirección de la línea flujo en ese punto. Debido a esta viscosidad, la carga hidráulica disminuye continuamente de aguas arriba a aguas abajo a lo largo de cada línea de flujo. En consecuencia, el nivel piezométrico en un punto C tiene un valor intermedio entre los de A y B. Entre los extremos de cualquier otra línea de flujo, como A’B’ la carga hidráulica es también h y existe un punto C’, en el cual el nivel piezométrico es el mismo que en C. Una línea, como LM, que una puntos de igual nivel piezométrico se conoce como línea equipotencial. Si la permeabilidad es constante y la misma en todas direcciones, la teoría demuestra que las líneas equipotenciales deben ser perpendiculares a las líneas de flujo. Esta conclusión permite resolver problemas en los que interviene el movimiento del agua a través de medios porosos, utilizando un procedimiento gráfico, en el que las líneas de flujo y las equipotenciales se dibujan por aproximaciones sucesivas, hasta que se satisfacen las relaciones geométricas necesarias. El diagrama resultante ejemplificado en la fig. 2.8a se conoce como red de flujo. El primer paso para construir una red de flujo consiste en tomar nota de todas las condiciones de frontera que deben satisfacerse; es decir, determinar si se conocen anticipadamente algunas líneas de flujo o equipotenciales. Por ejemplo, en la fig. 2.8a, la pared formada por el tablestacado mismo constituye una línea de flujo. El agua que entra en el suelo inmediatamente a la izquierda del tablestacado, se mueve verticalmente hacia abajo en dirección de la punta de la tablestacada; pasa a la derecha abajo de la misma, y sube verticalmente a lo largo del paramento de aguas abajo de la propia tablestaca. La superficie del estrato impermeable es también una línea de flujo. El agua que entra a la información infinitamente lejos a la izquierda, fluye a lo largo de esta superficie hasta que ha pasado infinitamente lejos a la derecha. Es evidente que estas dos líneas de flujo marcan las fronteras de la región de flujo. Todas las líneas restantes deben estar si- tuadas entre ellas.

Además, debe notarse que la superficie del terreno aguas arriba es una línea equipotencial, porque el nivel del agua en cualquier piezómetro con su ex- tremo inferior en la superficie del terreno, coincidiría con la superficie libre del agua en esa zona. También, la superficie del terreno aguas abajo es una línea equipotencial; el nivel piezométrico coincide con la superficie del agua aguas abajo. Todas las líneas equipotenciales restantes deben localizarse entre estas dos. Las condiciones de frontera del problema se resumen en la fig. 2.8b. Están representadas por las líneas equipotenciales ab y cd, y por las líneas de flujo bec yfg. La construcción del resto de la red de flujo se comienza haciendo el croquis de un pequeño número de líneas de flujo, quizá solamente dos; cada línea de flujo empieza en ab, y termina en cd. Como ab y cd son líneas equipotenciales, las líneas de flujo deben interceptarlas en ángulo recto. Las líneas de flujo bosquejadas deben ser curvas suaves cuya forma vaya marcando una transición gradual de una línea de flujo de frontera (bec) a la otra (fg). El tanteo inicial puede parecerse al de la fig. 2.8c. En seguida, se hace el intento de dibujar líneas equipotenciales que cumplan con los requisitos del problema. Estas líneas son también curvas suaves, y deben cruzar a las líneas de flujo en ángulo recto. Además, para simplificar la interpretación de la red de flujo, la separación entre las líneas equipotenciales debe ser tal, que la caída de nivel piezornétrico sea la misma entre cada par de lineas equipotenciales sucesivas. Es también conveniente separar las líneas de flujo, de manera que el gasto en cada canal limitado por dos líneas sucesivas, sea el mismo. Estos dos requisitos pueden satisfacerse haciendo cada área limitada por dos líneas de flujo adyacentes y dos líneas equipotenciales adyacentes, aproximadamente equidimensional. Es decir, las distancias a y b (fig. 2.8d) deben ser iguales. Como recurso para juzgar si un área de lados curvos satisface este criterio, puede inscribirse un círculo en el área. Así, en la fig. 2.8d es evidente que el área P es razonablemente equidimensional, pero que el área Q no satisface los requisitos.

Figura 2.8. a) Red de flujo por debajo de una ataguía de tablestacas. b) Condiciones de frontera que debe satisfacer la red de flujo. c) Primeras líneas de tanteo para la construcción de la red de flujo. d) Primeras líneas equipotenciales de tanteo para la construcción de la red de flujo.

El primer tanteo de un conjunto de líneas equipotenciales debe dibujarse haciendo un esfuerzo para que las intersecciones resulten en ángulo recto con las líneas de flujo tanto como sea posible, y subdividir el espacio en áreas que puedan diferir entre si en tamaño pero en que cada uno sea equidimensional. Ordinariamente, el primer intento no resulta satisfactorio, pero el estudio del croquis sugerirá las modificaciones apropiadas tanto en las líneas de flujo como en las equipotenciales. Como la forma y posición de cada conjunto de líneas depende de las del otro, comúnmente es necesario hacer una serie de ajustes. Puede adquirirse una gran habilidad para dibujar redes de flujo con la práctica y el estudio de redes bien dibujadas para varias condiciones de frontera. En la fig. 2.9, se muestran varias redes de flujo para problemas relativos a cimentaciones para obras de ingeniería.

Cuando la red de flujo se ha refinado de manera que satisfaga las condiciones de frontera y los criterios geométricos, proporciona la misma información que daría una solución analítica rigurosa del mismo problema. En realidad, con frecuencia las redes de flujo pueden dibujarse fácilmente en problemas demasiado complicados o difíciles para su tratamiento analítico.

Con la red de flujo completa puede determinarse la presión en el agua en cualquier punto de un material permeable. Las condiciones en el punto C, fig. 2.8a, servirán de ejemplo. De acuerdo con la red de flujo, una partícula de agua que siga la trayectoria AB (o cualquier otra línea de flujo), cruzara ocho espacios limitados por líneas equipotenciales sucesivas. Cada espacio representa una caída equipotencial Δh. Si Nd representa el número de caídas equipotenciales a lo largo de cualquier línea de flujo,

En la fig. 2.8a, Δh = 1/8 h. Cuando el agua llegue al punto C, la carga perdida es 6 Δh, o 6/8h. El nivel piezométrico en C es entonces 6/8 h abajo del nivel del agua aguas arriba, o 2/8 h del nivel aguas abajo. La carga piezométrica en C es, por lo tanto,

y la presión del agua en C es:

La presión de poro en C con respecto al nivel de aguas abajo, es la presión disponible en C para impulsar el agua el resto de la distancia a B, y es igual a 2/8 h γw.

El gasto que pasa debajo del tablestacado por unidad de longitud puede calcularse fácilmente. Considérese el gasto Δq a través del área sombreada en la fig. 2.8a. De acuerdo con la ley de Darcy, el gasto es:

en la que A es el área de la sección transversal del canal de flujo. El canal tiene la anchura a y un espesor unitario en la dirección del muro. Por lo tanto,

El gradiente hidráulico a través del área sombreada es Δh/a. Sin embargo,

Si el número de canales de flujo es Nf, el gasto total q por unidad de longitud de muro es:

El examen de la red de flujo (fig. 2.8a) muestra que la filtración brota en puntos como E o B’ en dirección vertical hacia arriba. Por ejemplo, el gradiente hidráulico hacia arriba en E, puede estimarse como Δh dividida por la distancia DE. Si este gradiente excede del valor crítico (ec. 2.17), el suelo que está inmediatamente aguas abajo del tablestacado se

convertirá en movedizo y puede ocurrir una falla. El estudio de las redes de flujo (fig. 2.9) aclarará varias condiciones bajo las cuales pueden producirse condiciones de arena movediza en la práctica, a menos que se tomen precauciones especiales, como la de aumentar la longitud de las tablestacas o añadii bermas, filtros o drenes.

Figura 2.9. Redes de flujo para varias condiciones. a) Ataguía para la construcción de una pila de puente. b) Excavación para cimentación abajo del nivel del agua frática en arena. c) Desagüe de excavación bombeando el agua valiéndose de coladeras de punta.

En muchos problemas prácticos, el movimiento del agua no está confinado por una frontera artificial superior, sino que tiene lugar abajo de una superficie libre de! agua (figs. 2.9b y 2.9c). La Línea de flujo más alta es entonces una línea de filtración (línea de corriente superior). Como la línea de filtración es una línea de flujo, las líneas equipotenciales que la intercepten deben hacerlo en ángulo recto, pero cada una de estas líneas termina en la línea de filtración. Para satisfacer los requisitos hidráulicos especiales de la línea de filtración, la componente vertical de la distancia entre las terminaciones de dos líneas equipotenciales adyacentes debe ser igual a la caída equipotencial Δh, como se indica en las figs. 2.9b y 2.9c. Para dibujar la red de flujo debe suponerse la posición de la superficie libre del agua, construir una red de flujo tentativa, revisar todos los criterios anteriormente discutidos, así como las condiciones especiales que existan a lo largo de la superficie libre, y revisar el diagrama, hasta que se satisfagan todas las condiciones. La construcción de estas redes de flujo es más difícil que si están fijas las condiciones de frontera superiores, pero los principios son los mismos.

Los procedimientos que se acaban de describir pueden modificarse para tomar en cuenta la estratificación o valores diferentes de la permeabilidad en direcciones horizontales y verticales (A. Casagrande, 1935), Por supuesto, estas condiciones son las que se encuentran con más frecuencia en la práctica, y no las sencillas que se consideraron en los párrafos anteriores. En realidad, con frecuencia el patrón de permeabilidad es tan variable, que ninguna red de flujo puede representar satisfactoriamente las condiciones reales. Sin embargo, pueden lograrse conclusiones prácticas extremadamente útiles del estudio de las trayectorias de flujo en condiciones simplificadas.

∂2 h ∂2 h + =0 ∂x 2 ∂y 2