Descripción completa
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III-6. Solución de Kozeny para la línea de corriente superior en una presa de tierra. α = 180°.
Esta curva se presenta en la línea superior de corriente (LSC) cuando se tiene un filtro horizontal.
En 1931 Kozeny analizó rigurosamente este problema, llegando a una solución en que las familias de las líneas de flujo y las equipotenciales son dos familias de parábolas de mismo foco ( Punto A)
Haciendo referencia a los Ejes X - Y de la figura y de acuerdo con definición de parábola se observa que si: [Lugar Geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco ( Punto A) y una recta llamada directriz (Línea CD)] Parábola básica y dos familias de parábolas de mismo foco ( Punto A)
Consideramos Sustituyendo y elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene:
despejando x:
Esta ecuación representa la parábola de Kozeny.
Yo es la ordenada en el origen de coordenadas de la línea de corriente superior
M En la solución se supone otra vez un punto conocido M de coordenadas d y h con el cual se pueden encontrar las distancias:
𝒂 𝟎 y 𝒚𝟎 Usando nueva mente la definición de parábola se tiene que:
Parábola básica y dos familias de parábolas de mismo foco ( Punto A)
Donde: d y h son la abscisa y la ordenada respectivamente del extremo de la parábola.
Pero se tiene que:
Remplazando tenemos:
𝐚𝟎 =
𝐲𝟎 𝟏 = ( 𝒅𝟐 + 𝒉𝟐 − 𝒅) 𝟐 𝟐
M
La relación entre a 0 y y0 que se anoto anteriormente corresponde a una conocida propiedad de la parábola; también es propiedad de esta cónica en este caso que su inclinación sobre el origen (x = 0 , y = y0 ) es a 45°.
Tomando la pendiente de la línea de corriente superior cuando x = 0, es igual a la unidad (la tangente en este punto forma 45° con respecto a la horizontal) y que i (gradiente hidráulico) = 1. De acuerdo a Dupuit resulta que el gasto por unidad de ancho, de acuerdo con la solución de Kozeny, es igual a:
En esta solución también el gasto a través de la presa, por unidad de ancho está dado por:
𝐪 = 𝐤 𝟐𝐚𝟎 = 𝒌 𝐲𝟎
M
En la solución de Kozeny, por lo tanto, a línea de corriente superior es una parábola que pasa por M y tiene su foco en A.
La parábola de Kozeny ha sido denominada frecuentemente la Parábola Básica.
Conclusión: 𝒙=
Filtro Horizontal α = 180°
Kozeny
𝒚𝟐 −𝒚𝟎 𝟐 𝟐𝒚𝟎
𝒂𝟎 =
𝒚𝟎 𝟏 = 𝟐 𝟐
𝒅𝟐 + 𝒉𝟐 − 𝒅
𝒒 = 𝟐 𝒌 𝒂 𝟎 = 𝒌 𝒚𝟎
SOLUCION DE A. CAZAGRANDE PARA LA LINEA DE CORRIENTE SUPERIOR EN UNA PRESA DE TIERRA 60ᵒ < α < 180ᵒ A. Cazagrande extendió la solución rigurosa de Kozeny de manera de llegar a soluciones aproximadas, pero de alto valor practico útiles para los casos en que el ángulo α tiene valores comprendidos entre 60ᵒ < α < 180ᵒ Adoptar como primera aproximación para la forma de la línea de corriente superior la parábola básica de Kozeny .
Corregir tanto la entrada como la salida de la tangente al talud aguas abajo a fin de lograr que la línea que se traza satisfaga ambas condiciones
•
Forma de trazar una parábola, suficientemente aproximada a la parábola de Kozeny
• • • •
60ᵒ < α < 180ᵒ Se traza la parábola básica con foco en A La posición de a0 se determina con la formula Determinación previa del punto M siguiendo la regla conocida
• Luego del trazado de la parábola, debemos ubicar el punto 4
•
Debemos notar que a medida que aumenta
decrece cuando el ángulo
Procedimiento grafico para obtener el punto de intersección entre la parábola básica y el talud aguas abajo (B), cuando se tiene: α < 90°
𝑦0 1 𝑎0 = = 2 2
𝑑2 + ℎ2 − 𝑑
Procedimiento grafico para obtener el punto de intersección entre la parábola básica y el talud aguas abajo (B), cuando se tiene: α > 90°
𝑎0 =
𝑦0 1 = 2 2
𝑑2 + ℎ2 − 𝑑
• Utilizando la solución de A. Casagrande : se puede obtener el gasto directamente de la red de flujo trazada a partir de la línea de corriente superior.
• El factor de forma es dado por la relación nf/ne , el ne es diferente si las caídas de potencias se encuentran sobre la línea de corriente superior o sobre la superficie impermeable horizontal ( frontera inferior de la región de flujo
• También se puede escribir : • El gasto puede calcularse en cualquier franja parcial de la región de flujo comprendida entre dos equipotenciales sucesivas, la línea de corriente superior y la frontera impermeable, q es el mismo en cualquiera de esas franjas. • Ecuación general, usando toda la red, h es la perdida total de carga y el ne será el numero de veces que cabe ∆h en h ( el numero de caídas de potencial de la red contadas sobre la superficie impermeable horizontal