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Fluidos y Termodinámica

Laboratorios de Física Básica 2007

MEDICIONES E INCERTIDUMBRE DISEÑO: Lic. Edy Cuevas Arizaca

REVISIÓN: Lic.]os~ Condori H.

INFORME l.

OBJETIVO Realizar mediciones y determinar su incertidumbre.

II. TEOR1A Con los instrumentos de medición se busca determinar el "valor verdadero" de una magnitud física (nunca vamos a saber exactamente su valor). Lo que se logra es conocer el valor lo más cercano posible al valor verdadero en la medida de las posibilidades. Por ejemplo se tiene el siguiente resultado final f = (256 ± 2)Hz, el valor verdadero se encuentra entre 254 y 258 Hz con una gran probabilidad; el rango entre los dos valores extremos se conoce como región de in.certeza. Usualmente al final de un experimento se hace referencia al valor verdadero, se considera como valor verdadero al valor bibliográfico, con una comparación gráfica. Para el ejemplo anterior se muestra en la Figura 1 y asumiendo el valor bibliográfico de f = 255Hz. ~SS

I

111d111111111111

254

256

2S8

Figura 1 Comparación de una medida experimental con el bibliográfico

También se emplea la siguiente relación para la comparación conocida también como la incertidumbre relativa porcentual. l (%)

= I V.,.,.

-V:

r:

bíbb

1

l 00%

l.!11

términos porcentuales,

(1)

La medición de una magnitud física nunca es exacta, siempre tiene una incerteza: en otras palabras la precisión de la medición es limitada, comúnmente referida al error accidental. El error no debe entenderse como una medición errada o una lectura falsa.

La estimación de la incertidumbre es importante para obtener conclusiones significativas de los resultados experimentales. 2.1. Estimación de la Incertidumbre en mediciones directas.

A. Estimación Externa. Cuando se realiza una medición directa de una magnitud y no es posible repetir la medición, o cuando en una serie de lecturas se obtienen los mismos' resultados, a la medición que se obtiene se le asocia una incertidumbre l ta · al a la división mas uei\a de la escala del instrumento.

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Si la medida se realizó con un instrumento digital, tomaremos como incertidumbre absoluta a una unidad del último dígito de la lectura del instrumento. Por ejemplo, si un voltímetro digital nos muestra el valor de 29. 7 m V, la incertidumbre absoluta es ± O.lmV. B. Estimación Interna. AJ repetir varias veces una medida, éstas en general resultan diferentes, se acepta como la mejor estimación del valor verdadero a la media aritmética o promedio de las medidas, cuyo cálculo se efectúa por la siguiente expresión matemática. X + x2 + + X,, = --.....---''"-------

_ X

1

(2)

n

La incertidumbre asociada a una medida del conjunto de mediciones esta dada por la ec. (3)

llamada desviación estándar.

:i)x,-i)i

(3)

••• s =- tix,,. ---~

•

n-1

La incertidumbre asociada al promedio aritmético del conjunto de mediciones se determina con la ec. (4) llamada desviación estándar del promedio.

s .. X

(4)

6

ax=

11(n-l)

En el desarrollo de experimentos a lo máximo se realizarán 5 medidas, se tiene entonces una '

buena aproximación entre las ecuaciones (3) y (4) 6 S x

~

S _ , ( ÓX X

i::::

t5x ).

Las ecs (3' y (4} se utilizan si el número de medidas es ;:: 5.

2.2. Estimación de Incertidumbre en mediciones Indirectas (propagación de Incertidumbre). En una medición indirecta el resultado se obtiene a partir de una ecuación o una fórmula en la que intervienen una o más variables. Muchas de las magnitudes son indirectas, por lo que es importante conocer cómo se propaga la incertidumbre en este tipo de mediciones, para ello existen diversos métodos para determinarlos, entre ellos: extremales, derivadas parciales y el de incertidumbre relativa; por comodidad y simplicidad emplearemos el último. a) Para una suma: z=x+y Donde.

X= (X± Ox)unid.

(5)

y= (y± oy)unid.,

(6)

-

-

-

donde x, y representan el promedio de un conjunto de mediciones y si es solo una medida representa dicha medida. lazando 5

enera la incertidwnbre de z , entonces tenemos z ± & .

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-

- -

x+ y= (x±ox)+(y±óy)

= (x+

-

-

y)±(óx+ oy)

=z±& De la ultima ecuación tenemos que & = óx + S y . De forma análoga es posible demostrar para una resta, la cual da el mismo resultado, en resumen. Suma y resta:

liz = óx+ óy

z=x±y

b) Para un producto. z

= x.y,

reemplazamos

x.y

(7)

(5) y (6) en z

= (x±ox)(y±óy) = x.y ± xb'y± yox ± óxó y

-- - - - - - -

-

-

= x.y±(xó'y+ yóx + oxó'y) =z±& & = xóy+ yc5x+óxóy

En la última ecuación óx y oy son pequeños y se puede considerar c5x'5y:: : O & ~ xóy+ yóx A (8) dividimos entre

(8)

z = x.y &

xoy

yóx

óy

óx

- ~ -- +-==- ~ -=-+-=z x.y x.y y x

(9)

Las relaciones para las diferentes operaciones se dan a continuación.

e) Producto y cociente: e) Potencia:

x.y

Z==

U.V

Z=X

-a-b

y

&

-

z

-

óy

-

óu

~ -=-+-=--+-=-+-=X y u

& ::::: Z

óx

-

laJ o_x + !hj º! X

y

-

óv

(10)

V

(11)

Donde u, v tienen sus respectivas incertidumbres y a.b son constantes. 2.3. Gráficas. Con mucha frecuencia se prefiere analizar los datos experimentales por métodos gráficos que por métodos analíticos, no sólo porque son mas sencillos sino porque constituyen una herramienta que tiene ventajas, como por ejemplo, analizar el comportamiento entre las dos variables, la relación existente entre ellas, sus valores máximos y mínimos, etc. En la experimentación cuando se tiene gran cantidad de datos, éstos con frecuencia se organizan para presentarse en forma gráfica. A. Elaboración de gráficas. • •

•

Elección de un papel adecuado por lo general milimetrado. Elección de una escala adecuada, la variable seleccionada por el experimentador se representa en el eje horizontal y la variable dependiente se representa en el eje vertical, la gráfica debe estar rotulada. La disposición de la gráfica debe estar en toda la hoja rnilimetrada

B. Trazado de una curva a través de los puntos experimentales. Una vez localizados los datos experimentales se procede a trazar una curva que se aproxime lo más posible al comportamiento de los puntos obtenidos, no es necesario que la curva pase por todos los puntos experimentales pero debe pasar por las regiones de incerteza y dependiendo de la relación matemática teórica, en la mayorfa

de los casos lineal. C. Recta de Regresión. Cuando la relación entre las variables que describen un fenómeno o un proceso es lineal la ecuación esta dada por y Bx + A , en el caso que no se a así se linealizará si es posible.

=

Los métodos estadísticos demuestran que siempre se presenta la dispersión de los datos debido a la incertidumbre accidental. Si la dispersión es menor se recomienda trazar una recta que mejor se ajusta a los puntos y utilizar do.; 1m itos que estén contenidos en la recta para determinar la pendiente. (12) Si presenta una dispersión apreciable es mejor utilizar las ecuaciones de regresión

lineal y a partir de ella trazar la recta que mejor se ajusta a los puntos experimentales.

(13)

111. CUESTIONARIO PREVIO

Responder las preguntas y presentar al profesor para su revisión al inicio de la sesión de laboratorio. Si requiere mayor espacio adjunte hojas adicionales como anexo. 1. 2. 3. 4.

¿En una medición se llega a determinar el valor verdadero?. ¿Por qué es importante expresar una medición con su incertidumbre? ¿Qué tipos de medición existen y como se determina sus respectivas incertidumbres? ¿En que clase de graficas se utiliza el método de regresión lineal?

IV. MATERIALES Y ESQUEMA

Materiales. 1 cilindro de Perpex. 1 bloque de Perpex. 1 vernier. 1 balanza digital. 1 tripode. 1 varilla de lm. 1 resorte. 1 porta masa de 50g. 1 nuez. 5 masas de 50 g. 1 regla metálica de 60 cm 1 hoja de papel milimetrado (alumno)

Esquema.

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