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PSU -FÍSICACONTENIDOS ACTUALIZADOS 2017

TOMO I

EL MOVIMIENTO

Mauricio Chiong Castillo Camilo Contreras Herrera Edición y revisión Felipe Sánchez Varas Fernan González Torres

Edición 2017 1

Este material fue descargado para uso exclusivo de Sebastián Fernández Espinoza, [email protected]. Se prohibe su reproducción. 2 Si quieres acceder gratuitamente a este contenido visita www.psuparatodos.com

Prefacio Como grupo educativo siempre hemos disfrutado el desafío que implica enseñar las materias de física de una manera sencilla, didáctica y entretenida. Con ese espíritu se decidió recopilar de manera rigurosa todos los temas de la PSU de física considerando todos los tópicos relacionados al plan común y plan mención de esta prueba. Pese a que está indicado qué contenidos corresponden a cada sub-área, recomendamos a los alumnos profundizar más allá de los contenidos mínimos, los que serán abordados en su totalidad, y complementados por experimentos y trabajos grupales. El plan de física consta de dos textos en el cual se implementa teoría y ejercitación tradicional más ejercitación PSU, los que tienen el propósito de lograr que el estudiante maneje todos los tópicos de manera correcta siempre pensado en el objetivo final que es un buen puntaje en la PSU. Adicionalmente, el estudiante podrá aprender por él mismo ya que se incluyen ejercicios resueltos y propuestos. El presente texto corresponde al tomo I profundizando en los temas de movimiento, como cinemática, mecánica y ondas. El tomo II corresponde a la física en nuestro entorno, enfatizando en los temas de termodinámica, electricidad, magnetismo, la tierra y su entorno. Se agradece al equipo de diseñadoras, docentes y administrativos del preuniversitario Gauss en la creación, revisión y distribución del tomo I y el tomo II de Física. Como equipo estamos seguros de que este libro, permitirá a nuestros alumnos cumplir todas sus metas y les proporcionará las bases necesarias para rendir de buena forma en su vida universitaria.

Equipo Editorial Física Mauricio Chiong Castillo Camilo Contreras Herrera

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Tabla de Contenidos Prefacio ........................................................................................................................................... 3 Datos Importantes ......................................................................................................................... 8 1. Transformación de unidades y matemática básica ........................................................9 2. Magnitudes escalares y vectoriales ..................................................................................9 3. Sistema Internacional (SI) ................................................................................................9 4. Prefijos..............................................................................................................................10 5. Equivalencias entre unidades de longitud .....................................................................10 6. Equivalencias entre unidades de masa ..........................................................................10 7. El Método Científico .......................................................................................................11 Observación ..............................................................................................................11 Hipótesis ...................................................................................................................11 Experimentación .......................................................................................................11 Postulado ..................................................................................................................11 Ley ............................................................................................................................11 Teoría ........................................................................................................................11 Modelo ......................................................................................................................11 Capítulo 1: Cinemática ............................................................................................................... 12 1. Conceptos básicos ............................................................................................................12 Posición ....................................................................................................................12 Trayectoria ................................................................................................................12 Distancia recorrida ....................................................................................................13 Desplazamiento.........................................................................................................13 2. Velocidad y rapidez .........................................................................................................14 Rapidez instantánea ..................................................................................................14 Rapidez media ..........................................................................................................14 Velocidad media .......................................................................................................15 Aceleración ...............................................................................................................15 3. Tipos movimiento ............................................................................................................16 Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.) .............................................................16 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.) ..............................17 Ecuaciones de movimiento lineal .............................................................................17 Caída libre.................................................................................................................18 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado (M.R.U.R.) ..............................19 ME Movimiento Circunferencial Uniforme (M.C.U.)..............................................19 Independencia del movimiento .................................................................................21 Gráficos ....................................................................................................................24 Resumen ...................................................................................................................25 Ejercitación ...............................................................................................................26 4. Ejercicios PSU..................................................................................................................28 Capítulo 2: Mecánica .................................................................................................................. 36 1. Fuerza ...............................................................................................................................36 1.1. Leyes de Newton ......................................................................................................36 Tipos de Fuerza clásicamente utilizadas en la PSU ..................................................37 Resultante de fuerzas o fuerza neta...........................................................................41 Resumen ...................................................................................................................44 Ejercitación ...............................................................................................................45 Ejercicios PSU ..........................................................................................................48

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2.

3.

4.

5.

6.

Torque ..............................................................................................................................56 2.1. Cuerpo rígido ............................................................................................................56 2.2. Traslación y rotación ................................................................................................56 2.2.1. Traslación .................................................................................................................56 2.2.2. Rotación ....................................................................................................................56 2.3. Fórmula de torque .....................................................................................................57 2.4. Equilibrio de cuerpo rígido .......................................................................................57 ME Momento angular .....................................................................................................58 3.1. Momento de inercia ..................................................................................................58 3.2. Momento angular ......................................................................................................58 3.3. Conservación del momento angular .........................................................................59 3.4. Resumen ...................................................................................................................60 3.5. Ejercitación ...............................................................................................................61 3.6. Ejercicios PSU ..........................................................................................................63 Trabajo y Energía ...........................................................................................................69 4.1. Trabajo ......................................................................................................................69 4.2. Energía ......................................................................................................................69 4.3. Fuerzas no conservativas y disipación ......................................................................71 4.4. Potencia ....................................................................................................................72 4.5. Resumen ...................................................................................................................73 4.6. Ejercitación ...............................................................................................................74 4.7. Ejercicios PSU ..........................................................................................................77 Momentum lineal .............................................................................................................84 5.1. ¿Qué es el momentum? .............................................................................................84 5.2. Conservación del momentum ...................................................................................84 5.3. Choque elástico.........................................................................................................84 5.4. Choque inelástico......................................................................................................85 5.5. Choque perfectamente inelástico ..............................................................................85 5.6. ME Impulso ..............................................................................................................85 5.7. Resumen ...................................................................................................................86 5.8. Ejercitación ...............................................................................................................87 5.9. Ejercicios PSU ..........................................................................................................88 Fluidos ..............................................................................................................................94 6.1. Hidroestática .............................................................................................................94 6.2. Hidrodinámica ..........................................................................................................97 6.3. Resumen .................................................................................................................100 6.4. Ejercicios ................................................................................................................100 6.5. Ejercicios PSU ........................................................................................................102

Capítulo 3: Ondas ...................................................................................................................... 107 1. ¿Qué es una onda? .........................................................................................................107 1.1. Elementos de una onda ...........................................................................................107 2. Tipos de ondas ...............................................................................................................107 2.1. Onda Mecánica / Electromagnética ........................................................................107 2.2. Onda Transversal / Longitudinal ............................................................................108 2.3. Velocidad de propagación de una onda ..................................................................108 2.4. Longitud de onda en relación a la velocidad ..........................................................108 2.5. Velocidad de propagación de una onda en una cuerda ...........................................108 2.6. Superposición e interferencia..................................................................................109

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3.

ME Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) ...............................................................109 3.1. Amplitud .................................................................................................................109 3.2. Período ....................................................................................................................109 3.3. Frecuencia ...............................................................................................................109 3.4. Cálculo del período del movimiento armónico simple en un resorte .....................110 3.5. Cálculo del período del movimiento armónico simple en un péndulo simple ........110 3.6. Frecuencia de los sonidos emitidos por la cuerda vibrante.....................................110 4. El sonido .........................................................................................................................110 4.1. Definición ...............................................................................................................110 4.2. Umbrales auditivos .................................................................................................111 4.3. Propagación del sonido ...........................................................................................111 4.4. Refracción del sonido .............................................................................................111 4.5. Efecto doppler en el sonido ....................................................................................112 4.6. Timbre ....................................................................................................................113 4.7. Ruido ......................................................................................................................113 4.8. Amplitud y volumen del sonido (Decibeles) ..........................................................113 4.9. Resumen .................................................................................................................114 4.10. Ejercitación .............................................................................................................115 4.11. Ejercicios PSU ........................................................................................................115 5. La Luz.............................................................................................................................121 5.1. ¿Qué es la luz? ........................................................................................................121 5.2. La luz como partícula .............................................................................................122 5.3. La luz como energía................................................................................................122 5.4. Medio de propagación ............................................................................................122 5.5. Velocidad de la luz .................................................................................................123 6. Óptica .............................................................................................................................123 6.1. Reflexión ................................................................................................................123 6.2. Refracción ...............................................................................................................124 6.2.1. Fenómeno de refracción .........................................................................................124 6.2.2. Índice de refracción ................................................................................................124 6.2.3. ME Ley de Snell .....................................................................................................125 6.2.4. ME Reflexión total interna .....................................................................................126 6.3. Difracción ...............................................................................................................127 6.4. Dispersión ...............................................................................................................127 6.5. Espejos ....................................................................................................................128 6.6. Lentes......................................................................................................................131 6.7. La óptica del ojo humano .......................................................................................132 6.8. Resumen .................................................................................................................134 6.9. Ejercitación .............................................................................................................136 6.10. Ejercicios PSU ........................................................................................................138

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Datos Importantes Es importante que el alumno logre con el texto los siguientes objetivos: 

Reconocer la terminología científica propia de la asignatura de física.



Reconocer hechos específicos.



Reconocer conceptos de las ciencias físicas.



Reconocer clasificaciones, categorías y criterios del mundo que nos rodea.



Reconocer convenciones de medidas.



Reconocer modelos que rigen el movimiento y nuestro entorno.



Reconocer principios y leyes científicas.



Reconocer teorías o esquemas conceptuales principales que rigen la física.



Traducción del conocimiento de una forma simbólica a otra.



Interpretar y comprender los datos de gráficos y/o diagramas, esquemas y tablas.



Interpretar las relaciones entre los datos existentes en un problema.



Manejar reglas y generalizaciones.



Comparar magnitudes.



Realizar cálculos y estimaciones de medidas con una precisión matemática.



Resolver problemas habituales en la sala de clases.



Realizar comparaciones en el entorno y vida cotidiana de los datos proporcionados.



Emplear procedimientos propios para la resolución de problemas.



Formular generalizaciones a partir de la información dada.



Extrapolar e interpolar información a partir de los datos en los enunciados.



Elaborar información necesaria para resolver un problema. (Resúmenes)



Inferir las relaciones que se dan entre los elementos de un problema.



Descubrir patrones y regularidades que tienen los tipos de preguntas.



Evaluar la pertinencia de las soluciones de un problema.

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1. Transformación de unidades y matemática básica Las magnitudes son de diferente naturaleza o especie, esto quiere decir que no es lo mismo una longitud que un peso. Medir es comparar una cantidad de una magnitud cualquiera con otra cantidad de la misma magnitud, a la cual se toma como unidad.

2. Magnitudes escalares y vectoriales En física se ocupan dos tipos de magnitudes para representar los distintos fenómenos, en primer lugar, se tienen las escalares, que son fáciles de reconocer ya que únicamente se necesita conocer su valor, en algunos casos la unidad de medida a la que está asociada, ejemplos de éstas son: área, volumen, tiempo, masa, etc. Por otra parte, se tienen las magnitudes vectoriales, las que para designarlas es necesario tener tres datos, módulo (largo del vector), dirección (línea punteada) y sentido (hacia dónde apunta la flecha del vector).

3. Sistema Internacional (SI) En 1960, en la XI Conferencia General de Pesas y Medidas, se establecieron las unidades físicas fundamentales, siendo éstas una variación del sistema métrico. Magnitudes Fundamentales Longitud Masa Tiempo Intensidad de corriente eléctrica Temperatura Cantidad de sustancia Intensidad luminosa

Nombre metro kilogramo segundo

Símbolo M Kg S

ampere

A

Kelvin mol candela

K Mol Cd

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4. Prefijos Para la utilización más eficiente del SI, se utilizan una serie de prefijos mostrados en la tabla. Prefijo tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico

Símbolo T G M k h da d c m µ n p

Factor 1012 109 106 103 102 101 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12

5. Equivalencias entre unidades de longitud

6. Equivalencias entre unidades de masa

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7. El Método Científico El Método Científico es un proceso principalmente inductivo, que tiene como objetivo analizar y observar fenómenos, para encontrar relaciones entre estos, y de esta forma, enunciar leyes, postulados o idear teorías que expliquen los fenómenos físicos, cabe señalar que no hay un modelo clásico, pero sí ciertos conceptos que resultan útiles para comprenderlo.

Observación Está definida como la recopilación de datos, hechos acerca de un cierto fenómeno, a través de algún instrumento de medición o de los sentidos.

Hipótesis Una hipótesis es una posible solución o explicación al fenómeno que se está observando, estableciendo posibles relaciones que ayudarán a realizar una experimentación para estudiarla, no necesariamente debe ser correcta, razón por la que se desea refutar o corroborar ésta.

Experimentación Corresponde a una serie de pruebas para corroborar o refutar la hipótesis planteada anteriormente, puede determinar la validez de las explicaciones que rigen al fenómeno.

Postulado Un postulado es una afirmación hecha previamente, que no requiere volver a ser demostrada y es la base para la generación de nuevos conocimientos.

Ley Es una proposición que describe una relación entre distintas variables físicas, pueden ser expresadas de forma verbal o a través de ecuaciones matemáticas, ya que se apoyan en una evidencia ya corroborada y son aceptadas universalmente.

Teoría Contiene un conjunto de ideas, resultado de observaciones y un trabajo experimental realizado, que permiten comprender el mundo momentáneamente, dado que no es la última verdad, ya que están sujetas a cambios y a revisiones futuras que la irán mejorando, ejemplo de esto son las distintas teorías atómicas, las teorías del comportamiento de la luz, la teoría de la relatividad general de Einstein, entre otras.

Modelo Es una simplificación de un fenómeno que intenta parecerse lo más posible a la realidad, simulando incluso en la totalidad su comportamiento, suelen incluir una formulación matemática que permite realizar cálculos y predecir acciones.

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Capítulo 1: Cinemática La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos. Usualmente se simplifican considerándolos como partículas puntuales sin dimensiones y a veces sin masa. Específicamente para la PSU podríamos asumir que “todo se comporta como una partícula”, por ejemplo, un auto, un barco, una persona, etc., se puede simplificar como un punto a-dimensional. Revisaremos los conceptos básicos que definen el movimiento y que permiten establecer características de estos. Es algo así como el “vocabulario físico” que es imprescindible conocer y entender.

1. Conceptos básicos Frecuentemente utilizaremos el sistema cartesiano donde el eje 𝑥 denota las variables independientes y el eje 𝑦, las variables que dependen de los valores tomados en 𝑥. Vamos a encontrar que en la mayoría de los problemas de cinemática, el eje 𝑋 se utiliza para el tiempo (𝑡) pues las variables cinemáticas se expresan en función de éste. De esta manera variables como la posición, velocidad y aceleración utilizarán el eje 𝑦. Este sistema de coordenadas llama “origen” al punto de intersección del eje 𝑥 con el 𝑦, y se denota como O, o (0,0) si se considera como un par ordenado. Este punto se fija subjetivamente dependiendo de donde se ubica el observador, a lo que llamamos “relatividad”.

Posición Al estudiar el movimiento, lo primero que se nos viene a la cabeza es querer saber dónde se encuentra el cuerpo en relación a un sistema de coordenadas y en un tiempo específico. Este concepto se define en física como posición. La posición es un vector (con dirección, sentido y módulo) que se ubica en un eje coordenado donde la abscisa es el tiempo y la ordenada la distancia relativa al origen.

Trayectoria La trayectoria es el camino que recorre la partícula mientras se mueve. Se puede entender como la curva o recta que “dibuja” la partícula al moverse tal como si se marcara unas huellas sobre la arena, o un lápiz sobre un papel.

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Distancia recorrida La longitud de la trayectoria, medida en metros, en el Sistema Internacional de medidas (SI), se conoce como distancia recorrida. Una analogía para entender este concepto sería poner una huincha flexible justo encima de la trayectoria y luego ver qué número marca.

Desplazamiento El desplazamiento es el vector que une el punto de partida con el punto de llegada. Como todo vector, éste posee dirección, sentido y módulo: La dirección corresponde a la línea recta que se forma tras unir el punto de partida con el punto de llegada, el sentido irá siempre desde el punto de partida hacia el de llegada, y el módulo corresponde al largo de la flecha ya descrita, o dicho de otra forma, a la distancia en línea recta que separa ambos puntos. En la figura se aprecia que, pese a que la trayectoria que recorre la partícula entre A y B es curva, el desplazamiento es una recta. El módulo del desplazamiento será siempre menor o igual a la distancia recorrida, siendo exactamente igual, solo en el caso de una trayectoria recta, donde ésta coincide también en forma con la flecha que describe el desplazamiento. Entre los casos de estudio clásicos y que frecuentemente se abordan están los movimientos con trayectoria recta, donde el desplazamiento coincide con la trayectoria, y por tanto el módulo del desplazamiento es exactamente igual a la distancia recorrida. Este movimiento se denomina movimiento rectilíneo y se estudiará a cabalidad más adelante en este capítulo. Otro caso clásico es el movimiento circular, donde dependiendo del punto que se considera como inicio y final, se pueden dar distintos valores de desplazamiento.

Ejercicio propuesto en clase: Dibuje en la pizarra media circunferencia, ¾ de circunferencia y una circunferencia completa. Analice la trayectoria, desplazamiento y distancia recorrida. ¿Qué conclusiones obtuvo?

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2. Velocidad y rapidez Rapidez instantánea La rapidez es una medida que indica la distancia que recorre un objeto en un tiempo determinado, es una magnitud escalar, para efectos de la PSU, la rapidez instantánea se requiere conocerla de forma conceptual, ya que la matemática necesaria para ello es de índole universitario, en términos simples es la rapidez que lleva un objeto en un instante determinado. Un claro ejemplo de lo anterior, es un automóvil cuyo velocímetro marca una rapidez de 100 km/hr, indica que recorrería una distancia de 100 km al cabo de una hora, o 200 km en 2 horas, suponiendo que mantiene su rapidez constante. En la práctica se puede apreciar que la aguja del velocímetro está permanentemente variando ya que en cada instante puede tomar un valor distinto de rapidez.

Rapidez media Para simplificar el concepto visto anteriormente, se utiliza una medida aproximada llamada rapidez media, que se define como la distancia recorrida en un cierto período, dividida por este tiempo. Por ejemplo, el automóvil del caso anterior puede ir desde Santiago a Viña del Mar (100 km aproximadamente) y tardar una hora en total. Sin embargo, en la realidad, la velocidad que marca el velocímetro no es siempre 100 km/hr de hecho es muy variable, ya que parte del reposo, luego llega quizás a 12 km/hr, e incluso a veces debe detenerse en una bencinera o un peaje. Así la rapidez media es un buen indicador general de qué distancia recorre el móvil en un tiempo dado, pero está lejos de ser precisa a cada instante. Matemáticamente este valor se puede expresar mediante la fórmula:

rapidez media =

distancia recorrida distancia final − distancia inicial ∆𝑑 = = tiempo tiempo final − tiempo inicial ∆𝑡

En donde el operador Δ (Delta), es utilizado para indicar la diferencia entre el instante final respecto al instante inicial. Debemos tener especial cuidado en que la rapidez media se calcula en base a la distancia recorrida y, por tanto, la trayectoria que realice el móvil, sí influirá. De la fórmula de rapidez media, si hacemos algo de álgebra se puede concluir que: 𝑣 ∙ Δ𝑡 = Δ𝑑

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Gráficamente se obtiene que el área bajo la curva entre el tiempo 𝑡1 y 𝑡2 es exactamente la distancia recorrida por el móvil en ese intervalo de tiempo. La matemática necesaria para demostrar este hecho está fuera de lo abordado en la PSU, no obstante es necesario saber cómo calcular esta área en figuras geométricas más simples.

Velocidad media El concepto de velocidad se asemeja al de rapidez con la diferencia que este es un vector, es decir, tiene dirección y sentido, además del módulo. Más estrictamente se define como la diferencia vectorial de las posiciones final e inicial. velocidad media =

desplazamiento ∆𝑑⃗ = tiempo ∆𝑡

Ejemplo: Supongamos que un móvil viajó desde la ciudad de Santiago hasta Los Vilos tardando 2 hrs en completar el viaje, en donde la distancia en línea recta es de 240 km, sin embargo la carretera utilizada tiene una longitud de 300 km para llegar a este destino. Si se reemplazan estos valores en la fórmula de velocidad media, se obtiene: velocidad media =

240 𝑘𝑚 = 120 𝑘𝑚/ℎ𝑟 2 ℎ𝑟

Comparando con la fórmula de rapidez media, se tiene que: rapidez media =

300 𝑘𝑚 = 150 𝑘𝑚/ℎ𝑟 2 ℎ𝑟

Aceleración La aceleración se define como la variación de la velocidad en un tiempo determinado, este valor es un vector que tiene dirección, sentido y magnitud determinado por la diferencia de los vectores de las velocidades final e inicial. 𝑎⃗ =

Δ𝑣⃗ Δ𝑡

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Hay que notar que la aceleración se define como un cambio en la velocidad, y ésta al ser un vector, puede variar no solo en módulo, sino en dirección o sentido, por tanto, los movimientos con módulo de velocidad constante pueden tener aceleración. Tal es el caso de movimientos con trayectorias curvas donde la dirección de la velocidad va cambiando en el tiempo. Esto se profundizará más adelante cuando revisemos el Movimiento Circunferencial Uniforme (M.C.U.)

3. Tipos movimiento Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U.) Una partícula que se mueve con trayectoria recta, se dice que está en movimiento rectilíneo. Si además mantiene velocidad constante, se llamará Movimiento Rectilíneo Uniforme, o MRU. Es importante recalcar que la velocidad constante implica que no haya cambio de dirección (además de rapidez constante). Así, un móvil en MRU tiene aceleración cero. En un gráfico de distancia vs tiempo, se aprecia que la distancia aumenta de manera constante al pasar el tiempo. Matemáticamente esto queda representado por la pendiente de la recta. Por ejemplo, un móvil que parte del origen y avanza 10 metros en línea recta en 5 segundos tendrá una gráfica como la que sigue:

pendiente = |𝑣⃗| = rapidez =

10 − 0 𝑚 ⁄𝑠 = 2 𝑚 ⁄𝑠 5−0

La pendiente de este gráfico, que corresponde a la rapidez, está calculada como la diferencia de las ordenadas, dividida por la diferencia de las abscisas: Ejercicio propuesto en clase: Discuta, ¿Es siempre la rapidez igual al módulo de la velocidad? ¿En qué casos no lo es?

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Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A.) En el mismo caso antes descrito, si el movimiento tiene aceleración positiva, pero no cambia de dirección, se denomina MRUA. Cuando andamos en un auto y apretamos el acelerador nuestro objetivo es aumentar la rapidez. Por ejemplo, un vehículo va en línea recta desde el reposo hasta llegar a los 40 m/s en 30 segundos. Este movimiento es un MRUA, y tendrá una gráfica de velocidad vs tiempo como el de la figura.

Se aprecia que la gráfica es una línea recta con pendiente positiva, donde el valor numérico de ésta es el módulo de la aceleración y el área bajo la recta representa la distancia recorrida por el móvil entre los 0 y 30 segundos.

pendiente =

40 − 0 40 = = 1,33 30 − 0 30

aceleración =

40 𝑚⁄𝑠 = 1,33 𝑚⁄𝑠 2 30 𝑠

El área se calcularía como el área de un triángulo rectángulo con catetos de 30 y 40, obteniendo que el móvil recorrió 120 metros entre los 0 y 30 segundos. área bajo la curva =

30𝑠 ∙ 40 2

𝑚 𝑠 = 60 𝑚

Ecuaciones de movimiento lineal En física se utilizan ecuaciones matemáticas que permiten analizar el comportamiento de la materia, y en cinemática, son dos las expresiones más usadas para describir movimientos lineales: la ecuación de la posición, conocida también como itinerario y la ecuación de la velocidad: Siendo 𝑑0 la posición inicial de la partícula, 𝑣0 la velocidad, y 𝑎, la aceleración aplicada sobre ella. Estos tres valores se consideran siempre constantes, y variaciones en ellos implicarán la utilización de estas fórmulas en casos separados. 1 𝑑(𝑡) = 𝑑0 + 𝑣0 ∙ 𝑡 + ∙ 𝑎 ∙ 𝑡 2 2 𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡

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Como se puede apreciar, en estas fórmulas se expresa la distancia y la rapidez en función de tiempo, por tanto, para un tiempo dado, podremos saber con exactitud la posición y velocidad de una partícula. Debemos recalcar que estas ecuaciones son escalares, y nos estregarán en realidad los módulos de los vectores mencionados, ya que ecuaciones vectoriales escapan del ámbito PSU. Debido a esto, hay que tener sumo cuidado con los signos utilizados: un signo negativo, indicará sentido contrario, y un error de interpretación puede ser grave. Por ejemplo, una velocidad negativa indicará que el móvil va “hacia la izquierda”, mientras una aceleración negativa asegura que el cuerpo está siendo frenado en su movimiento. Es posible además deducir una fórmula que no utiliza el tiempo, si no que relaciona las variaciones de velocidad y la distancia recorrida. 𝑣𝑓2 = 𝑣𝑜2 + 2 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑑 Dónde 𝑣𝑜 la velocidad inicial, 𝑣𝑓 representa la velocidad final y 𝑑 la aceleración.

Caída libre Si soltamos un objeto desde cierta altura este caerá como efecto de la aceleración de gravedad (𝑔⃗) que está presente en las cercanías de la tierra. Esta aceleración nace de la Ley de gravitación universal de Newton, que es explicada en capítulos posteriores y se asume por simplicidad, que en cercanías del nivel del mar su magnitud es de -9,8 m/s2. Si nos alejamos la aceleración de gravedad disminuye, lo que a simple vista no tiene gran efecto, pero, por ejemplo, hace que en zonas elevadas haya menor concentración de oxígeno. Se denomina caída libre, ya que se considera el movimiento del cuerpo en ausencia de fuerzas externas. Más adelante, se estudiará el efecto del roce del aire en las caídas. En particular para este caso, las ecuaciones de movimiento se plantearán considerando que el cuerpo inicia su caída desde el reposo y sin intervención, a esto lo llamamos usualmente “dejar caer”. La aceleración que sufre es exactamente la aceleración de gravedad, que es -9,8 m/s2. 𝑑=

1 ∙ 𝑔 ∙ 𝑡2 2

𝑣 =𝑔∙𝑡 El signo negativo de g, indica que apunta hacia abajo. Se puede apreciar que en la ecuación de la distancia, el signo negativo hará que d sea también negativo. Esto muestra que la distancia recorrida es “hacia abajo”. Por otro lado, en la ecuación de velocidad, también se obtiene un valor negativo de v, siendo consistente con el hecho de que el cuerpo se desplaza hacia abajo, con rapidez cada vez mayor.

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Movimiento Rectilíneo Uniformemente Retardado (M.R.U.R.) Continuando con los casos antes descritos, es posible que el movimiento disminuya su rapidez en el tiempo, haciendo que el movimiento se “retarde”. Este movimiento se denomina MRUR, y visto gráficamente, obtendremos un gráfico de velocidad v/s tiempo, donde la pendiente es negativa. Un MRUR retardará el movimiento del cuerpo a lo más, hasta llegar al reposo (velocidad 0). Si se sigue el móvil no retrocede (es lo que sucede si apretamos el freno de un auto, se llega al reposo, pero no retrocede). Si queremos que el cuerpo empiece a retroceder, debemos aplicar una aceleración “positiva”, pero en el sentido contrario al movimiento anterior, o sea acelerar el auto, pero habiendo puesto reversa.

ME Movimiento Circunferencial Uniforme (M.C.U.) Cualquier movimiento donde se describa una línea curva, se puede resumir a una serie de movimientos circulares. Estudiaremos el movimiento circular uniforme MCU, que consiste en un movimiento con trayectoria circular, con rapidez tangencial constante.

3.6.1.

Velocidad tangencial

La velocidad tangencial indica qué tan rápido la partícula recorre la trayectoria, o el perímetro de la circunferencia descrita. La dirección está demarcada por la línea tangente a la circunferencia, medida desde el punto donde se encuentra la partícula en un momento dado, y el sentido depende de hacia dónde avanza. Recordemos que la rapidez se define como:

rapidez =

∆𝑑 ∆𝑡

En el caso de un movimiento circular, sabemos que la trayectoria recorrida corresponde al perímetro de la circunferencia descrita, por tanto, se puede decir que el módulo de la velocidad tangencial, o rapidez tangencial, corresponde al perímetro (calculado como 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟), dividido por el tiempo en que demora en dar un ciclo, lo que llamaremos período (𝑇), o multiplicado por su inverso, que corresponde a la frecuencia (𝑓). rapidez tangencial =

perímetro 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 = = 2 ⋅ 𝜋 ⋅ 𝑟 ⋅ 𝑓 = perímetro ⋅ frecuencia período 𝑇

La dirección del vector de la velocidad tangencial, será una recta tangente a la circunferencia en el punto estudiado, y el sentido que tendrá se desprende del sentido de rotación: a favor de las manecillas del reloj (positivo), o en contra de las manecillas del reloj (negativo).

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3.6.2.

Velocidad angular

Cuando la partícula gira alrededor de un centro, los radios van describiendo distintos ángulos en cada momento. La variación del ángulo se denomina Δ𝜃 y lo que varía en un cierto tiempo se define como velocidad angular, usualmente llamado 𝜔. Al ser la velocidad angular un vector esta pose magnitud, dirección y sentido. El módulo se calcula de la siguiente manera: 𝜔=

Δ𝜃 Δ𝑡

En tanto la dirección es perpendicular al plano de movimiento y su sentido se calcula con la regla de la mano derecha. Ahora, consideremos el movimiento al dar una vuelta completa. El ángulo recorrido sería 2𝜋 [rad]. y el tiempo en dar una vuelta sería un período 𝑇. Por lo tanto, el módulo de la velocidad angular se puede expresar como: 𝜔=

2𝜋 [𝑟𝑎𝑑] 𝑇

Otras expresiones similares se pueden desprender de la ecuación de velocidad tangencial si se reemplazan valores en este resultado, por ejemplo, se puede obtener el valor del módulo de la velocidad tangencial en términos de 𝜔: 2∙𝜋 velocidad tangencial = ( )∙𝑟 =𝜔∙𝑟 𝑇

3.6.3.

Aceleración centrípeta

Una partícula en MCU, pese a tener rapidez tangencial constante, tiene una velocidad que va cambiando su dirección en el tiempo, y como ya sabemos, cuando haya una variación en la velocidad en un cierto tiempo, habrá una aceleración asociada. Esta aceleración se denomina aceleración centrípeta, que tiene una dirección sobre el diámetro de la circunferencia y sentido apuntando al centro de la misma.

El módulo de la aceleración centrípeta se calcula fácilmente. Sin embargo, está fuera del alcance de la PSU y, por tanto, solo es necesario saber la fórmula, hacer cálculos con ella e interpretarla a nivel conceptual. 𝑣2 𝑎𝑐 = |aceleración centrípeta| = = 𝜔2 ∙ 𝑟 𝑟

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3.6.4.

Aplicación MCU, correas de transmisión

Un ejemplo de aplicación de MCU y ejercicio típico de la PSU, son las correas de transmisión, en las que, al unir dos poleas de tamaños distintos, la velocidad en los puntos exteriores es constante para ambas, por lo que es posible establecer la relación: 𝑉𝑡𝐴 = 𝑉𝑡𝐵 En la que podemos aplicar la relación 𝑉𝑡 = 𝜔 ⋅ 𝑅, suponiendo que la poleas A y B tienen velocidades angulares 𝜔𝐴 y 𝜔𝐵 , y radios 𝑟 y 𝑅 respectivamente. 𝜔𝐴 ⋅ 𝑟 = 𝜔𝐵 ⋅ 𝑅 𝜔𝐴 𝑅 = 𝜔𝐵 𝑟

Independencia del movimiento Cuenta la historia que Galileo Galilei se subió a la torre de Pisa para demostrar que dos cuerpos de igual masa caen al mismo tiempo (tienen igual aceleración de gravedad). Ahora, si tenemos un cuerpo que se deja caer de un edificio sin intervención, y otro que lleva una velocidad horizontal v pero tiene velocidad cero en el eje 𝑌. Se aprecia que el segundo caerá describiendo una curva. Experimentalmente se obtiene que ambos cuerpos caerán al mismo tiempo al suelo (asumiendo que hay ausencia de roce de aire), no importando que tengan distinta masa o que la trayectoria que describe el segundo es una parábola. Esto se debe a que la velocidad de desplazamiento horizontal es completamente independiente a la velocidad vertical. De esta manera es posible componer y descomponer velocidades. Ejercicio propuesto en clase: Dibujar los vectores de velocidad horizontal y vertical en cada momento, para ver como el vector resultante se inclina hacia la vertical y se ajusta perfectamente su dirección a la tangente de la trayectoria en ese punto.

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Veamos un ejemplo: Un bote desea cruzar desde el punto A hasta el punto B. Suponga que la corriente tiene velocidad 𝑣1 constante, el cruce no se realizará en línea recta, puesto que la resultante de velocidad apuntará en diagonal hacia abajo. Por tanto el vector velocidad resultante será una línea recta que tendrá la dirección de la línea entre A y B, y sentido de A hacia B.

Para determinar la velocidad resultante sobre un cuerpo donde se aplican dos velocidades distintas, se calcula la suma vectorial de éstas. Ahora, si queremos determinar solo el valor de la magnitud de la velocidad resultante, se puede hacer con la siguiente fórmula para composición de velocidades: 𝑣 = √𝑣𝐵 2 + 𝑣𝐶 2

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3.7.1. Lanzamiento de proyectiles Se habla de lanzamiento de proyectiles cuando se lanza un cuerpo, con una velocidad inicial 𝑣0 con componentes en las direcciones verticales y horizontales. Lo primero que analizaremos serán las ecuaciones de posición del proyectil en el tiempo. 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + (𝑣0 cos 𝛼) 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑦0 + (𝑣0 sen 𝛼) 𝑡 −

1 𝑔 𝑡2 2

Como podemos ver en las ecuaciones anteriores la posición en 𝑥 dependerá exclusivamente del tiempo y la velocidad inicial, por otra parte la posición en 𝑦 se verá afectada por la aceleración de gravedad. Ahora será necesario analizar como variaran las componentes de la velocidad respecto al tiempo. 𝑣𝑥 (𝑡) = 𝑣0 cos 𝜃 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑦 (𝑡) = 𝑣0 sen 𝜃 − 𝑔𝑡

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Gráficos Los siguientes gráfico siguientes muestran como varía la velocidad y posición para distinto valores de aceleraciones.

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Resumen

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Ejercitación Ejercicio Resuelto 1 Dos proyectiles con MRU se encuentran a 400 m uno del otro. Si se desplazan sobre una misma trayectoria, uno hacia el otro, el primero con una rapidez de 40 m/s y el segundo a 60 m/s. Calcula el tiempo, desde ese instante, que demorarán en chocar y la distancia que recorrerá cada uno. Para el primer proyectil 𝑥1 = 𝑣1 ∙ 𝑡 Para el segundo proyectil

𝑥2 = 𝑣2 ∙ 𝑡

Cuando choquen se cumplirá que: 𝑥1 + 𝑥2 = 400 𝑚 𝑣1 ∙ 𝑡 + 𝑣2 ∙ 𝑡 = 400 𝑚 (𝑣1 + 𝑣2 ) ∙ 𝑡 = 400 𝑚 (40

𝑚 𝑚 + 60 ) ∙ 𝑡 = 400 𝑚 𝑠 𝑠 100

𝑚 ∙ 𝑡 = 400 𝑚 𝑠 𝑡 =4𝑠

Demorarán 4 segundos en chocar. Distancia que recorrerá el primer proyectil: 𝑥1 = 40

𝑚 𝑠

Distancia que recorrerá el segundo proyectil: 𝑥2 = 60

∙ 4 𝑠=160 m

𝑚 𝑠

∙ 4 𝑠 = 240 𝑚

Ejercicio propuesto 1 Dos proyectiles con MRU se encuentran a 50 km uno del otro. Si se desplazan sobre una misma trayectoria, uno hacia el otro, el primero con una rapidez de 120 m/s y el segundo a 80 m/s. Calcula el tiempo, desde ese instante, que demorarán en chocar y la distancia que recorrerá cada uno.

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Ejercicio Resuelto 2 Una atleta recorre en una carrera de 1000 m planos, partió del reposo con una aceleración de 6 m/s2 y la mantuvo durante 10 s. Calcule la rapidez que alcanzó y la distancia que recorrió al cabo de esos 10 s. 𝑣2 = 𝑣1 + 𝑎 ∙ 𝑡 = 0

𝑚 𝑚 𝑚 + 6 2 ∙ 10 𝑠 = 60 𝑠 𝑠 𝑠

1 1 𝑚 𝑥 = 𝑣1 ∙ 𝑡 + ∙ 𝑎 ∙ 𝑡 2 = ∙ 6 2 ∙ 100 𝑠 2 = 300 𝑚 2 2 𝑠 Ejercicio Propuesto 2 Un niño corre en una plaza 6 m en línea recta, partió del reposo con una aceleración de 1 m/s2 y la mantuvo durante 8 s. Calcula la rapidez que alcanzó y la distancia que recorrió al cabo de esos 8 s.

Analiza:

¿Cuál de los dos movimientos representados en la gráfica tiene mayor velocidad? Justifica tu respuesta.

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4. Ejercicios PSU 1. Un móvil se desplaza con rapidez constante. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones puede(n) ser correcta(s)? I. El móvil tiene trayectoria recta. II. El móvil tiene velocidad constante. III. El móvil tiene una trayectoria igual a su desplazamiento A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III

2. Al leer la definición: “Corresponde al conjunto de puntos por donde pasa un cuerpo al moverse”. ¿A cuál de las siguientes alternativas corresponde la definición? A) B) C) D) E)

Desplazamiento. Posición. Trayectoria. Velocidad Rapidez.

3. En un gráfico de velocidad versus tiempo, ¿Qué magnitudes describe el área bajo la curva y la pendiente respectivamente? A) B) C) D) E)

Desplazamiento y velocidad. Trayectoria y rapidez. Distancia recorrida y rapidez. Trayectoria y aceleración. Modulo del desplazamiento y aceleración.

4. Una partícula parte del reposo y se mueve en línea recta llegando a 10 m/s en 5 segundos, luego aumenta a 20 m/s, en un proceso que demora 5 segundos y finalmente llega al reposo en solo 1 segundo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A) B) C) D)

La aceleración es siempre constante. La aceleración es la misma hasta los 10 segundos y luego aumenta. La aceleración es la misma hasta los 10 segundos y luego su magnitud disminuye. La distancia recorrida entre los 0 y 10 segundos es 10 veces mayor que la recorrida en el último segundo. E) En el segundo final retrocede 10 metros.

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5. Se lanzan verticalmente 2 cuerpos de masas distintas y alcanzan la misma altura. Al momento de ser lanzados se puede afirmar: I. Tenían igual energía mecánica. II. Tenían igual velocidad. III. Tenían diferente energía cinética. A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo III Solo II y III Solo I y II

6. Del gráfico posición (x) vs tiempo (t) adjunto se puede inferir:

(a) A) B) C) D) E)

El cuerpo se acerca al origen. La rapidez final del cuerpo es cero. El cuerpo está acelerando. El cuerpo se encuentra en movimiento circular. La rapidez está siempre disminuyendo.

7. ME ¿Cuál de las siguientes alternativas explica mejor por qué dos cuerpos con diferente masa caen a la misma velocidad (en ausencia de roce)? A) B) C) D) E)

Conservación del momentum. Conservación del momentum angular. Conservación de la Energía. Ley de gravitación universal. La aceleración de gravedad no depende de la masa del cuerpo.

8. ME Una piedra atada a una cuerda gira con movimiento circular uniforme dando 6 vueltas en 10 segundos. Entonces la frecuencia de su movimiento es: A) B) C) D) E)

6⁄10 seg 10⁄6 seg 6⁄10 Hz 10⁄6 Hz 60 Hz

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9. ME Acerca del móvil de la figura siguiente, es correcto afirmar que:

I. Mantiene velocidad constante. II. No cambia su aceleración. III. No cambia su rapidez tangencial. A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo I y III

10. ME Sobre la afirmación, “un móvil recorre distancias iguales, en tiempos iguales”. Se puede afirmar que este móvil puede tener un movimiento: I. MRU. II. MRUA. III. MCU. A) B) C) D) E)

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

11. ME ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representan la fuerza centrípeta de una partícula con MCU?, donde v es el módulo de la velocidad tangencial, 𝜔 es el módulo de la velocidad angular y r el radio de la circunferencia. I.

𝑣2 𝑟

II. 𝑚 ∙

𝑣2 𝑟 𝜔2 𝑟 2

III. 𝑚 ∙ IV. 𝑚 ∙ 𝜔 ∙ 𝑟 A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo II y IV Solo I, II y IV Solo II, III y IV

12. ME El período del movimiento del minutero de un reloj es: A) B) C) D) E)

Igual que su frecuencia. El doble que su frecuencia. El mismo que el período del movimiento de la Tierra sobre su propio eje. Igual a un veinticuatroavo del período del horario. Igual a sesenta veces el período del segundero.

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13. ME Sobre un disco circular que gira sobre su propio centro, se hacen 3 marcas. La marca A, a 3 metros del centro, la marca B, a 5, y la C, a 8. ¿Cuál alternativa es la más correcta acerca de la frecuencia de giro de las tres marcas? Denotadas por A, B y C respectivamente. A) B) C) D) E)

𝐴