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• Enrique Jimenez

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FISICA 2 Movimiento arm´onico simple Carlos Sosa Universidad, Tegucigalpa, Honduras

Tegucigalpa 2016, Honduras

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Contenido 1

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Resoluci´ on prueba diagnostica Ejercicio #1 Ejercicio #2 Ejercicio #3 Ejercicio #4 Ejercicio #5 Movimiento Peri´odico Descripci´on de la oscilaci´ on Ejemplos y ejercicios Movimiento arm´onico simple Ejemplos y ejercicios Energ´ıa en el movimiento arm´ onico simple Aplicaciones del movimiento arm´ onico simple P´endulo f´ısico Oscilaciones amortiguadas Ondas mec´anicas Tipos de ondas mec´anicas Ondas peri´odicas Carlos Sosa (Honduras)

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Contenido 1

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Resoluci´ on prueba diagnostica Ejercicio #1 Ejercicio #2 Ejercicio #3 Ejercicio #4 Ejercicio #5 Movimiento Peri´odico Descripci´on de la oscilaci´ on Ejemplos y ejercicios Movimiento arm´onico simple Ejemplos y ejercicios Energ´ıa en el movimiento arm´ onico simple Aplicaciones del movimiento arm´ onico simple P´endulo f´ısico Oscilaciones amortiguadas Ondas mec´anicas Tipos de ondas mec´anicas Ondas peri´odicas Carlos Sosa (Honduras)

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Ejercicio #1 a. Soluci´ on Consideremos la ecuaci´ on vf2 = v02 + 2a∆x =⇒ a = (20)2 − (0)2 ≈ 1.67m/s 2 2(120) El auto tiene una aceleraci´ on de 1.67 m/s 2

vf2 − v02 2∆x

a=

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Ejercicio #1 a. Soluci´ on Consideremos la ecuaci´ on vf2 = v02 + 2a∆x =⇒ a =

vf2 − v02 2∆x

(20)2 − (0)2 ≈ 1.67m/s 2 2(120) El auto tiene una aceleraci´ on de 1.67 m/s 2 b. Soluci´ on   vf + v0 2∆x Consideremos la ecuaci´ on xf = x0 + =⇒ t = 2 vf + v0 2(120) t= = 12s 20 + 0 El auto tarda en salir de la rampa 12 segundos a=

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Ejercicio #1 a. Soluci´ on Consideremos la ecuaci´ on vf2 = v02 + 2a∆x =⇒ a =

vf2 − v02 2∆x

(20)2 − (0)2 ≈ 1.67m/s 2 2(120) El auto tiene una aceleraci´ on de 1.67 m/s 2 b. Soluci´ on   vf + v0 2∆x Consideremos la ecuaci´ on xf = x0 + =⇒ t = 2 vf + v0 2(120) t= = 12s 20 + 0 El auto tarda en salir de la rampa 12 segundos c. Soluci´ on d Consideremos la ecuaci´ on v = =⇒ d = v ∗ t t d = (20)(12) = 240m El trafico recorre una distancia de 240m mientras el auto se mueve por la rampa. a=

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Ejercicio #2 Aplicando la sumatoria de fuerzas en el eje y se obtiene:

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Ejercicio #2 Aplicando la sumatoria de fuerzas en el eje y se obtiene:

ΣFy = Tcos(θ) + Tcos(θ) − W = 0 =⇒ Tcos(θ) + Tcos(θ) = W =⇒ 2Tcos(θ) = W =⇒ 2(0.75W )cos(θ) = W =⇒ 2(0.75)cos(θ) = 1 =⇒ 1.5cos(θ) = 1 1 =⇒ cos(θ) = 1.5   1 −1 ≈ 48.19 =⇒ θ = cos 1.5 El ´angulo debe medir 48.19 grados con respecto a la vertical. Carlos Sosa (Honduras)

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Ejercicio #3

Considerando P = VF =⇒ P = (165)(9) = 1485W Individualmente tendr´an que aportar una potencia de: P 1485 P1 = = = 742.5W 2 2 La potencia requerida por cada ciclista es de 742.5 W

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Ejercicio #4

a. W1 = fk d = (−1.2)(3) = −3.6 La fricci´on realiza un trabajo de -3.6 J b. W2 = fk d = (−1.2)(3) = −3.6 La fricci´on realiza un trabajo de -3.6 J c. W = W1 + W2 = −3.6 − 3.6 = −7.2 El trabajo total de la fricci´ on es de -7.2 J d. No es conservativa puesto que el trabajo realizado en un viaje redondo es -7.2 6= 0

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Ejercicio #5 Por la conservaci´on de la cantidad de movimiento,

mA VA1 + mB VB1 = mA VA2 + mB VB2 (0.15)(0.8) + (0.3)(−2.20) = (0.15)VA2 + (0.30)VB2 0.12 − 0.66 = 0.15VA2 + 0.30VB2 −0.54 = 0.15VA2 + 0.30VB2 La relaci´on de velocidades relativas para un choque el´astico ser´a: VB2 − VA2 = −(VB1 − VA1 ) = −(−2.2 − 0.8) = −(−3) = 3 Por lo que se obtienen dos ecuaciones cuyas soluciones son: VA2 = 0.8m/s y VB2 = −2.2m/s

Ejercicio #5 Por la conservaci´on de la cantidad de movimiento,

mA VA1 + mB VB1 = mA VA2 + mB VB2 (0.15)(0.8) + (0.3)(−2.20) = (0.15)VA2 + (0.30)VB2 0.12 − 0.66 = 0.15VA2 + 0.30VB2 −0.54 = 0.15VA2 + 0.30VB2 La relaci´on de velocidades relativas para un choque el´astico ser´a:

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Ejercicio #5 Por la conservaci´on de la cantidad de movimiento,

mA VA1 + mB VB1 = mA VA2 + mB VB2 (0.15)(0.8) + (0.3)(−2.20) = (0.15)VA2 + (0.30)VB2 0.12 − 0.66 = 0.15VA2 + 0.30VB2 −0.54 = 0.15VA2 + 0.30VB2 La relaci´on de velocidades relativas para un choque el´astico ser´a: VB2 − VA2 = −(VB1 − VA1 ) = −(−2.2 − 0.8) = −(−3) = 3 Por lo que se obtienen dos ecuaciones cuyas soluciones son: VA2 = 0.8m/s y VB2 = −2.2m/s

Ejercicio #5 Por la conservaci´on de la cantidad de movimiento,

mA VA1 + mB VB1 = mA VA2 + mB VB2 (0.15)(0.8) + (0.3)(−2.20) = (0.15)VA2 + (0.30)VB2 0.12 − 0.66 = 0.15VA2 + 0.30VB2 −0.54 = 0.15VA2 + 0.30VB2 La relaci´on de velocidades relativas para un choque el´astico ser´a: VB2 − VA2 = −(VB1 − VA1 ) = −(−2.2 − 0.8) = −(−3) = 3 Por lo que se obtienen dos ecuaciones cuyas soluciones son: VA2 = 0.8m/s y VB2 = −2.2m/s

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Resoluci´ on prueba diagnostica Ejercicio #1 Ejercicio #2 Ejercicio #3 Ejercicio #4 Ejercicio #5 Movimiento Peri´odico Descripci´on de la oscilaci´ on Ejemplos y ejercicios Movimiento arm´onico simple Ejemplos y ejercicios Energ´ıa en el movimiento arm´ onico simple Aplicaciones del movimiento arm´ onico simple P´endulo f´ısico Oscilaciones amortiguadas Ondas mec´anicas Tipos de ondas mec´anicas Ondas peri´odicas Carlos Sosa (Honduras)

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Movimiento Peri´odico

Muchos tipos de movimientos se repiten una y otra vez: El p´endulo oscilante de un reloj con pedestal. El movimiento peri´odico de los pistones de un motor de autom´ovil. etc.

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Movimiento Peri´odico

Nos concentraremos en dos ejemplos sencillos de sistemas con movimiento peri´odico: Los sistemas resorte-masa Los p´endulos

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13.1 Descripci´on de la oscilaci´on

Un cuerpo con masa m se mueve sobre una superficie horizontal sin fricci´on.

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13.1 Descripci´on de la oscilaci´on

Un cuerpo con masa m se mueve sobre una superficie horizontal sin fricci´on. El cuerpo est´a conectado a un resorte que puede estirarse o comprimirse.

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13.1 Descripci´on de la oscilaci´on

Un cuerpo con masa m se mueve sobre una superficie horizontal sin fricci´on. El cuerpo est´a conectado a un resorte que puede estirarse o comprimirse.

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Definimos la posici´on de equilibrio, donde el resorte no est´a estirado ni comprimido.

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Definimos la posici´on de equilibrio, donde el resorte no est´a estirado ni comprimido.

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Si desplazamos el cuerpo a la derecha hasta x = A y lo soltamos, la fuerza neta y la aceleraci´on son hacia la izquierda.

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Si desplazamos el cuerpo a la derecha hasta x = A y lo soltamos, la fuerza neta y la aceleraci´on son hacia la izquierda.

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Si desplazamos el cuerpo a la derecha hasta x = −A y lo soltamos, la fuerza neta y la aceleraci´on son hacia la derecha.

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Si desplazamos el cuerpo a la derecha hasta x = −A y lo soltamos, la fuerza neta y la aceleraci´on son hacia la derecha.

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Notemos que: 1

Siempre que el cuerpo se desplaza respecto a su posici´on de equilibrio, la fuerza del resorte tiende a regresarlo a esa posici´on.

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Notemos que: 1

Siempre que el cuerpo se desplaza respecto a su posici´on de equilibrio, la fuerza del resorte tiende a regresarlo a esa posici´on.

2

Llamamos a una fuerza con esta caracter´ıstica fuerza de restituci´ on.

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Notemos que: 1

Siempre que el cuerpo se desplaza respecto a su posici´on de equilibrio, la fuerza del resorte tiende a regresarlo a esa posici´on.

2

Llamamos a una fuerza con esta caracter´ıstica fuerza de restituci´ on.

3

S´olo puede haber oscilaci´ on si hay una fuerza de restituci´on que tiende a regresar el sistema al equilibrio.

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Notemos que: 1

Siempre que el cuerpo se desplaza respecto a su posici´on de equilibrio, la fuerza del resorte tiende a regresarlo a esa posici´on.

2

Llamamos a una fuerza con esta caracter´ıstica fuerza de restituci´ on.

3

S´olo puede haber oscilaci´ on si hay una fuerza de restituci´on que tiende a regresar el sistema al equilibrio.

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T´erminos importantes 1 La amplitud del movimiento, denotada con A, es la magnitud m´axima del desplazamiento respecto al equilibrio. La unidad de A en el SI es el metro.

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T´erminos importantes 1 La amplitud del movimiento, denotada con A, es la magnitud m´axima del desplazamiento respecto al equilibrio. La unidad de A en el SI es el metro. 2 Si el resorte es ideal, el rango global del movimiento es 2A.

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T´erminos importantes 1 La amplitud del movimiento, denotada con A, es la magnitud m´axima del desplazamiento respecto al equilibrio. La unidad de A en el SI es el metro. 2 Si el resorte es ideal, el rango global del movimiento es 2A. 3 Una vibraci´ on completa, o ciclo, es un viaje redondo, digamos de A a −A y de vuelta a A, o de O a A, regresando por O hasta −A y volviendo a O.

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T´erminos importantes 1 La amplitud del movimiento, denotada con A, es la magnitud m´axima del desplazamiento respecto al equilibrio. La unidad de A en el SI es el metro. 2 Si el resorte es ideal, el rango global del movimiento es 2A. 3 Una vibraci´ on completa, o ciclo, es un viaje redondo, digamos de A a −A y de vuelta a A, o de O a A, regresando por O hasta −A y volviendo a O. 4 El movimiento de un lado al otro (digamos, de A a -A) es medio ciclo.

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T´erminos importantes 1 La amplitud del movimiento, denotada con A, es la magnitud m´axima del desplazamiento respecto al equilibrio. La unidad de A en el SI es el metro. 2 Si el resorte es ideal, el rango global del movimiento es 2A. 3 Una vibraci´ on completa, o ciclo, es un viaje redondo, digamos de A a −A y de vuelta a A, o de O a A, regresando por O hasta −A y volviendo a O. 4 El movimiento de un lado al otro (digamos, de A a -A) es medio ciclo. 5 El periodo, T , es el tiempo que tarda un ciclo, y siempre es positivo.La unidad del periodo en el sistema internacional SI es el segundo, pero a veces se expresa como “segundos por ciclo”.

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T´erminos importantes 1 La amplitud del movimiento, denotada con A, es la magnitud m´axima del desplazamiento respecto al equilibrio. La unidad de A en el SI es el metro. 2 Si el resorte es ideal, el rango global del movimiento es 2A. 3 Una vibraci´ on completa, o ciclo, es un viaje redondo, digamos de A a −A y de vuelta a A, o de O a A, regresando por O hasta −A y volviendo a O. 4 El movimiento de un lado al otro (digamos, de A a -A) es medio ciclo. 5 El periodo, T , es el tiempo que tarda un ciclo, y siempre es positivo.La unidad del periodo en el sistema internacional SI es el segundo, pero a veces se expresa como “segundos por ciclo”. 6 La frecuencia, f, es el n´ umero de ciclos en la unidad de tiempo, y siempre es positiva. La unidad de la frecuencia en el sistema internacional SI es el hertz: 1 hertz = 1 HZ = 1 ciclo/s = 1s −1 Carlos Sosa (Honduras)

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T´erminos importantes 1 La amplitud del movimiento, denotada con A, es la magnitud m´axima del desplazamiento respecto al equilibrio. La unidad de A en el SI es el metro. 2 Si el resorte es ideal, el rango global del movimiento es 2A. 3 Una vibraci´ on completa, o ciclo, es un viaje redondo, digamos de A a −A y de vuelta a A, o de O a A, regresando por O hasta −A y volviendo a O. 4 El movimiento de un lado al otro (digamos, de A a -A) es medio ciclo. 5 El periodo, T , es el tiempo que tarda un ciclo, y siempre es positivo.La unidad del periodo en el sistema internacional SI es el segundo, pero a veces se expresa como “segundos por ciclo”. 6 La frecuencia, f, es el n´ umero de ciclos en la unidad de tiempo, y siempre es positiva. La unidad de la frecuencia en el sistema internacional SI es el hertz: 1 hertz = 1 HZ = 1 ciclo/s = 1s −1 Carlos Sosa (Honduras)

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T´erminos importantes

7 La frecuencia angular, ω , es 2π veces la frecuencia: ω = 2πf cuyas unidades son rad/s.

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T´erminos importantes

7 La frecuencia angular, ω , es 2π veces la frecuencia: ω = 2πf cuyas unidades son rad/s.

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Por las definiciones de periodo T y frecuencia f, es evidente que uno es el reciproco del otro: f =

1 T

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T =

1 (relaciones entre frecuencia y periodo) f

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Por las definiciones de periodo T y frecuencia f, es evidente que uno es el reciproco del otro: f =

1 T

T =

1 (relaciones entre frecuencia y periodo) f

Tambi´en, por la definici´on de ω, ω = 2πf =

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2π (frecuencia angular) T

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Ejemplo #1 Un transductor ultras´onico (una especie de altavoz) empleado para el diagnostico medico oscila con una frecuencia de 6.7 MH. ¿ Cuanto tarda cada oscilaci´on, y que frecuencia angular tiene? Soluci´ on

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Ejemplo #1 Un transductor ultras´onico (una especie de altavoz) empleado para el diagnostico medico oscila con una frecuencia de 6.7 MH. ¿ Cuanto tarda cada oscilaci´on, y que frecuencia angular tiene? Soluci´ on f=6.7×106 Calcularemos el periodo en primer lugar: T =

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1 1 = = 1.49 × 10−7 s f 6.7 × 106

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Ejemplo #1 Un transductor ultras´onico (una especie de altavoz) empleado para el diagnostico medico oscila con una frecuencia de 6.7 MH. ¿ Cuanto tarda cada oscilaci´on, y que frecuencia angular tiene? Soluci´ on f=6.7×106 Calcularemos el periodo en primer lugar: T =

1 1 = = 1.49 × 10−7 s f 6.7 × 106

ω = 2πf = 2π(6.7 × 106 ) = 4.2 × 107 rad/s

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Ejemplo #2 Una cuerda de piano produce un la medio vibrando primordialmente a 220 Hz. a) Calcule su periodo y frecuencia angular. b) Calcule el periodo y la frecuencia angular de una soprano que canta un “La alto”, dos octavas mas arriba, que es cuatro veces la frecuencia de la cuerda de piano. Soluci´ on

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Ejemplo #2 Una cuerda de piano produce un la medio vibrando primordialmente a 220 Hz. a) Calcule su periodo y frecuencia angular. b) Calcule el periodo y la frecuencia angular de una soprano que canta un “La alto”, dos octavas mas arriba, que es cuatro veces la frecuencia de la cuerda de piano. Soluci´ on a) T1 =

1 1 = ≈ 4.54 × 10−3 s/ciclo f1 220

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Ejemplo #2 Una cuerda de piano produce un la medio vibrando primordialmente a 220 Hz. a) Calcule su periodo y frecuencia angular. b) Calcule el periodo y la frecuencia angular de una soprano que canta un “La alto”, dos octavas mas arriba, que es cuatro veces la frecuencia de la cuerda de piano. Soluci´ on 1 1 = ≈ 4.54 × 10−3 s/ciclo f1 220 ω1 = 2πf = 2π(220) ≈ 1382.30 1 1 1 b) T2 = = = =≈ 1.14 × 10−3 s/ciclo f2 4f1 880 a) T1 =

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Ejemplo #2 Una cuerda de piano produce un la medio vibrando primordialmente a 220 Hz. a) Calcule su periodo y frecuencia angular. b) Calcule el periodo y la frecuencia angular de una soprano que canta un “La alto”, dos octavas mas arriba, que es cuatro veces la frecuencia de la cuerda de piano. Soluci´ on 1 1 = ≈ 4.54 × 10−3 s/ciclo f1 220 ω1 = 2πf = 2π(220) ≈ 1382.30 1 1 1 b) T2 = = = =≈ 1.14 × 10−3 s/ciclo f2 4f1 880 ω2 = 2πf2 = 2π(4f1 ) = 2π(880) ≈ 5529.20 a) T1 =

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Ejemplo #3 La punta de un diapas´on efect´ ua 440 vibraciones (oscilaciones) completas en 0.500 s. Calcule la frecuencia angular y el periodo del movimiento. Soluci´ on

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Ejemplo #3 La punta de un diapas´on efect´ ua 440 vibraciones (oscilaciones) completas en 0.500 s. Calcule la frecuencia angular y el periodo del movimiento. Soluci´ on   440 ≈ 5.53 × 103 rad/s ω = 2πf = 2π 0.5

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Ejemplo #3 La punta de un diapas´on efect´ ua 440 vibraciones (oscilaciones) completas en 0.500 s. Calcule la frecuencia angular y el periodo del movimiento. Soluci´ on   440 ≈ 5.53 × 103 rad/s ω = 2πf = 2π 0.5 0.5 T = ≈ 1.14 × 10−3 s/ciclo 440

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Ejercicio Si un objeto en una superficie horizontal sin fricci´ on se une a un resorte, se desplaza y despu´es se suelta, oscilara. Si se desplaza 0.120 m de su posici´on de equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, despu´es de 0.800s su desplazamiento es de 0.120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posici´on de equilibrio una vez. Calcule: a. La amplitud (A) b. El periodo (T) c. La frecuencia (f) Soluci´ on

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Ejercicio Si un objeto en una superficie horizontal sin fricci´ on se une a un resorte, se desplaza y despu´es se suelta, oscilara. Si se desplaza 0.120 m de su posici´on de equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, despu´es de 0.800s su desplazamiento es de 0.120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posici´on de equilibrio una vez. Calcule: a. La amplitud (A) b. El periodo (T) c. La frecuencia (f) Soluci´ on a. Puesto que se desplaza 0.120m con respecto al equilibrio y ademas su rapidez inicial es cero entonces A=0.120m.

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Ejercicio Si un objeto en una superficie horizontal sin fricci´ on se une a un resorte, se desplaza y despu´es se suelta, oscilara. Si se desplaza 0.120 m de su posici´on de equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, despu´es de 0.800s su desplazamiento es de 0.120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posici´on de equilibrio una vez. Calcule: a. La amplitud (A) b. El periodo (T) c. La frecuencia (f) Soluci´ on a. Puesto que se desplaza 0.120m con respecto al equilibrio y ademas su rapidez inicial es cero entonces A=0.120m. b. Puesto que de A hasta -A tarda 0.800s tenemos medio periodo entonces T=1.60s.

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Ejercicio Si un objeto en una superficie horizontal sin fricci´ on se une a un resorte, se desplaza y despu´es se suelta, oscilara. Si se desplaza 0.120 m de su posici´on de equilibrio y se suelta con rapidez inicial cero, despu´es de 0.800s su desplazamiento es de 0.120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posici´on de equilibrio una vez. Calcule: a. La amplitud (A) b. El periodo (T) c. La frecuencia (f) Soluci´ on a. Puesto que se desplaza 0.120m con respecto al equilibrio y ademas su rapidez inicial es cero entonces A=0.120m. b. Puesto que de A hasta -A tarda 0.800s tenemos medio periodo entonces T=1.60s. 1 1 c. f = = = 0.625Hz T 1.60 Carlos Sosa (Honduras)

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13.2 Movimiento arm´onico simple (M.A.S.)

El tipo mas sencillo de oscilaci´ on se da cuando la fuerza de restituci´on es directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio.

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13.2 Movimiento arm´onico simple (M.A.S.)

El tipo mas sencillo de oscilaci´ on se da cuando la fuerza de restituci´on es directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio. Fx = −kx (fuerza de restituci´ on de un resorte ideal) Nota: Recuerde que k > 0 y tiene unidades de N/m

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Si la fuerza de restituci´on es directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio, seg´ un la ecuaci´ on ,la oscilaci´ on se denomina movimiento arm´ onico simple, que se abrevia MAS.

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Si la fuerza de restituci´on es directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio, seg´ un la ecuaci´ on ,la oscilaci´ on se denomina movimiento arm´ onico simple, que se abrevia MAS. Consideremos de nuevo la ley de Hooke: Fx = −kx

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Si la fuerza de restituci´on es directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio, seg´ un la ecuaci´ on ,la oscilaci´ on se denomina movimiento arm´ onico simple, que se abrevia MAS. Consideremos de nuevo la ley de Hooke: Fx = −kx considerando ademas la segunda ley de newton se tiene: ma = −kx =⇒ a = −

k x m

pero sabemos que:

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Si la fuerza de restituci´on es directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio, seg´ un la ecuaci´ on ,la oscilaci´ on se denomina movimiento arm´ onico simple, que se abrevia MAS. Consideremos de nuevo la ley de Hooke: Fx = −kx considerando ademas la segunda ley de newton se tiene: ma = −kx =⇒ a = −

k x m

pero sabemos que:

a= Carlos Sosa (Honduras)

d 2x d 2x k =⇒ =− x 2 2 dt dt m FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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El signo menos indica que la aceleraci´ on y el desplazamiento siempre tienen signos opuestos.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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El signo menos indica que la aceleraci´ on y el desplazamiento siempre tienen signos opuestos. Un cuerpo que esta en movimiento arm´ onico simple se denomina oscilador arm´ onico.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

26 / 106

El signo menos indica que la aceleraci´ on y el desplazamiento siempre tienen signos opuestos. Un cuerpo que esta en movimiento arm´ onico simple se denomina oscilador arm´ onico. La soluci´on propuesta de la ecuaci´ on anterior es: x (t) = Acos(ωt + ϕ) A, ω y ϕ son constantes Esta ecuaci´ on satisface la ecuaci´ on diferencial de segundo orden (demu´estrelo).

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

26 / 106

Para mostrar expl´ıcitamente que esta soluci´ on satisface la ecuaci´on, note que

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Para mostrar expl´ıcitamente que esta soluci´ on satisface la ecuaci´on, note que d dx = A cos(ωt + ϕ) = −ωAsen(ωt + ϕ) dt dt

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

27 / 106

Para mostrar expl´ıcitamente que esta soluci´ on satisface la ecuaci´on, note que d dx = A cos(ωt + ϕ) = −ωAsen(ωt + ϕ) dt dt d d 2x = −ωA sen(ωt + ϕ) = −ω 2 Acos(ωt + ϕ) 2 dt dt

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

27 / 106

Para mostrar expl´ıcitamente que esta soluci´ on satisface la ecuaci´on, note que d dx = A cos(ωt + ϕ) = −ωAsen(ωt + ϕ) dt dt d d 2x = −ωA sen(ωt + ϕ) = −ω 2 Acos(ωt + ϕ) 2 dt dt Por tanto la ecuaci´on

Carlos Sosa (Honduras)

d 2x k = − x se satisface si: 2 dt m

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

27 / 106

Para mostrar expl´ıcitamente que esta soluci´ on satisface la ecuaci´on, note que d dx = A cos(ωt + ϕ) = −ωAsen(ωt + ϕ) dt dt d d 2x = −ωA sen(ωt + ϕ) = −ω 2 Acos(ωt + ϕ) 2 dt dt Por tanto la ecuaci´on

d 2x k = − x se satisface si: 2 dt m ω2 =

Carlos Sosa (Honduras)

k m

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Graficaremos la funci´on x(t)

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Graficaremos la funci´on x(t)

1 A:la amplitud del movimiento, es el m´ aximo valor de la posici´ on de la part´ıcula en la direcci´ on x positiva o negativa.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Graficaremos la funci´on x(t)

1 A:la amplitud del movimiento, es el m´ aximo valor de la posici´ on de la part´ıcula en la direcci´ on x positiva o negativa. 2 La constante ω se llama frecuencia angular y tiene unidades de rad/s. Es una medida de qu´e tan r´apido se presentan las oscilaciones; mientras m´as oscilaciones por unidad de tiempo haya, m´as alto es el valor de. s

ω= Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

k m Tegucigalpa 2016

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Variaciones del movimiento arm´onico simple. En todos los casos, ϕ= 0. (a) La amplitud A aumenta de la curva 1 a la 2 a la 3. El cambio de amplitud no afecta el periodo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Variaciones del movimiento arm´onico simple. En todos los casos, ϕ= 0. (a) La amplitud A aumenta de la curva 1 a la 2 a la 3. El cambio de amplitud no afecta el periodo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

29 / 106

Variaciones del movimiento arm´onico simple. En todos los casos, ϕ= 0. (b) La masa m aumenta de 1 a 2 a 3; aumentar m solo aumenta el periodo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Variaciones del movimiento arm´onico simple. En todos los casos, ϕ= 0. (b) La masa m aumenta de 1 a 2 a 3; aumentar m solo aumenta el periodo.

(c) La constante de fuerza k aumenta de 1 a 2 a 3; aumentar k sola reduce el periodo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

30 / 106

Variaciones del movimiento arm´onico simple. En todos los casos, ϕ= 0. (b) La masa m aumenta de 1 a 2 a 3; aumentar m solo aumenta el periodo.

(c) La constante de fuerza k aumenta de 1 a 2 a 3; aumentar k sola reduce el periodo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

30 / 106

Utilizaremos la ecuaci´on anterior expresar el periodo y la frecuencia del movimiento para la part´ıcula en movimiento arm´ onico simple en t´erminos de las caracter´ısticas m y k del sistema como: r

T = 2π

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

m k

Tegucigalpa 2016

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Utilizaremos la ecuaci´on anterior expresar el periodo y la frecuencia del movimiento para la part´ıcula en movimiento arm´ onico simple en t´erminos de las caracter´ısticas m y k del sistema como: r

m k

s

k m

T = 2π 1 f = 2π

De este modo el periodo y la frecuencia dependen solamente de la masa de la part´ıcula y de la constante de fuerza del resorte y no de los par´ametros del movimiento, como A o ϕ.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Graficaremos la funci´on x(t)

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Graficaremos la funci´on x(t)

3 El ´angulo constante ϕ se llama constante de fase (o ´angulo de fase inicial) y, junto con la amplitud A, se determina de manera un´ıvoca por la posici´on y la velocidad de la part´ıcula en t=0.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

32 / 106

Graficaremos la funci´on x(t)

3 El ´angulo constante ϕ se llama constante de fase (o ´angulo de fase inicial) y, junto con la amplitud A, se determina de manera un´ıvoca por la posici´on y la velocidad de la part´ıcula en t=0.Note que la funci´on x(t) es peri´odica y su valor es el mismo cada vez que t aumenta en 2 π radianes.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Estas tres curvas ilustran un MAS con el mismo periodo y amplitud pero ´angulos fase ϕ distintos.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Podemos obtener la velocidad y la aceleraci´ on de una part´ıcula sometida a movimiento arm´onico simple: v=

Carlos Sosa (Honduras)

dx = −ωAsen(ωt + ϕ) dt

FISICA 2

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Podemos obtener la velocidad y la aceleraci´ on de una part´ıcula sometida a movimiento arm´onico simple: v=

a=

Carlos Sosa (Honduras)

dx = −ωAsen(ωt + ϕ) dt

d 2x = −ω 2 Acos(ωt + ϕ) dt 2

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Los valores m´aximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleraci´on son s

vmax = ωA =

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

k A m

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Los valores m´aximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleraci´on son s

Carlos Sosa (Honduras)

vmax = ωA =

k A m

amax = ω 2 A =

k A m

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Si conocemos la posici´on y velocidad iniciales x0 y v0 x del cuerpo oscilante, podemos determinar la amplitud A y el ´angulo de fase ϕ como sigue. 

ϕ = tan−1 −

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

v0x ω ∗ x0



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Si conocemos la posici´on y velocidad iniciales x0 y v0 x del cuerpo oscilante, podemos determinar la amplitud A y el ´angulo de fase ϕ como sigue. 

ϕ = tan−1 −

v0x ω ∗ x0

s

A=

Carlos Sosa (Honduras)

x02 +

FISICA 2



2 v0x ω2

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Si conocemos la posici´on y velocidad iniciales x0 y v0 x del cuerpo oscilante, podemos determinar la amplitud A y el ´angulo de fase ϕ como sigue. 

ϕ = tan−1 −

v0x ω ∗ x0

s

A=

x02 +



2 v0x ω2

Observe que, si el cuerpo tiene un desplazamiento inicial x0 y una velocidad inicial v0x distinta de cero, la amplitud A no es igual al desplazamiento inicial. Si el cuerpo parte de un x0 positivo y se le imparte una velocidad positiva v0x , llegar´a m´as lejos que x0 antes de regresar.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #1 Un oscilador arm´onico tiene masa de 0.500kg y un resorte ideal con k=140 N/m. Calcule: a El periodo b La frecuencia c La frecuencia angular

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #1 Un oscilador arm´onico tiene masa de 0.500kg y un resorte ideal con k=140 N/m. Calcule: a El periodo b La frecuencia c La frecuencia angular Soluci´ on r

a T = 2π

m = 2π k

Carlos Sosa (Honduras)

s

0.5 = 0.3755 s/ciclo 140

FISICA 2

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38 / 106

Ejemplo #1 Un oscilador arm´onico tiene masa de 0.500kg y un resorte ideal con k=140 N/m. Calcule: a El periodo b La frecuencia c La frecuencia angular Soluci´ on r

m = 2π k

s

s

k 1 = m 2π

s

a T = 2π 1 b f = 2π

Carlos Sosa (Honduras)

0.5 = 0.3755 s/ciclo 140 140 = 2.66 ciclo/s 0.5

FISICA 2

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Ejemplo #1 Un oscilador arm´onico tiene masa de 0.500kg y un resorte ideal con k=140 N/m. Calcule: a El periodo b La frecuencia c La frecuencia angular Soluci´ on r

m = 2π k

s

s

k 1 = m 2π

s

a T = 2π 1 b f = 2π s

c ω=

k = m

s

Carlos Sosa (Honduras)

0.5 = 0.3755 s/ciclo 140 140 = 2.66 ciclo/s 0.5

140 = 16.73 ciclo/s 0.5

FISICA 2

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Ejemplo #2 Considere un sistema de masa y resorte, con k = 200 N/m y m = 0.50 kg. Esta vez impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0.015 m y una velocidad inicial de +0.40 m/s. a Determine: el periodo, amplitud y ´angulo de fase del movimiento. b Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleraci´on en funci´on del tiempo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #2 Considere un sistema de masa y resorte, con k = 200 N/m y m = 0.50 kg. Esta vez impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0.015 m y una velocidad inicial de +0.40 m/s. a Determine: el periodo, amplitud y ´angulo de fase del movimiento. b Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleraci´on en funci´on del tiempo. Soluci´ on r

a T = 2π

m = 2π k

Carlos Sosa (Honduras)

s

0.5 = 0.3142 s/ciclo 200

FISICA 2

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39 / 106

Ejemplo #2 Considere un sistema de masa y resorte, con k = 200 N/m y m = 0.50 kg. Esta vez impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0.015 m y una velocidad inicial de +0.40 m/s. a Determine: el periodo, amplitud y ´angulo de fase del movimiento. b Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleraci´on en funci´on del tiempo. Soluci´ on r

a T = 2π s

A=

m = 2π k

s

v2 x02 + 0x2 = ω

Carlos Sosa (Honduras)

0.5 = 0.3142 s/ciclo 200

s

(0.015)2 +

(0.40)2 = 2.5 × 10−2 m (20)2

FISICA 2

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Ejemplo #2 Considere un sistema de masa y resorte, con k = 200 N/m y m = 0.50 kg. Esta vez impartiremos al cuerpo un desplazamiento inicial de +0.015 m y una velocidad inicial de +0.40 m/s. a Determine: el periodo, amplitud y ´angulo de fase del movimiento. b Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleraci´on en funci´on del tiempo. Soluci´ on r

a T = 2π

m = 2π k

s

s

0.5 = 0.3142 s/ciclo 200

s

v2 (0.40)2 A = x02 + 0x2 = (0.015)2 + = 2.5 × 10−2 m 2 ω (20)     v0x 0.4 ϕ = tan−1 − = tan−1 − ≈ −0.93 rad ω ∗ x0 (20)(0.015) Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #2 a Determine: el periodo, amplitud y ´angulo de fase del movimiento. b Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleraci´on en funci´on del tiempo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #2 a Determine: el periodo, amplitud y ´angulo de fase del movimiento. b Escriba ecuaciones para: el desplazamiento, velocidad y aceleraci´on en funci´on del tiempo. Soluci´ on b x = Acos(ωt + ϕ) x = 2.5 × 10−2 cos(20t − 0.93) v = −ωAsen(ωt + ϕ) = −(20)2.5 × 10−2 sen(20t − 0.93) = −0.5sen(20t − 0.93) a = −ω 2 Acos(ωt + ϕ) = −(20)2 (2.5) × 10−2 sen(20t − 0.93) = −10sen(20t − 0.93) Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #3 El desplazamiento en funci´ on del tiempo de una masa de 1.50 kg en un resorte esta dado por la ecuaci´ on x (t) = 7.40cmcos(4.16s −1 t − 2.42). Calcule: a El tiempo que tarda una vibraci´ on completa b La constante de fuerza del resorte. c La rapidez m´axima de la masa d La fuerza m´axima que act´ ua sobre la masa; e La posici´on, rapidez y aceleraci´ on de la masa en t = 1.00 s, y la fuerza que act´ ua sobre la masa en ese momento.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #3 El desplazamiento en funci´ on del tiempo de una masa de 1.50 kg en un resorte esta dado por la ecuaci´ on x (t) = 7.40cmcos(4.16s −1 t − 2.42). Calcule: a El tiempo que tarda una vibraci´ on completa b La constante de fuerza del resorte. c La rapidez m´axima de la masa d La fuerza m´axima que act´ ua sobre la masa; e La posici´on, rapidez y aceleraci´ on de la masa en t = 1.00 s, y la fuerza que act´ ua sobre la masa en ese momento. Soluci´ on a Dado que ω = 4.16 =⇒ T =

Carlos Sosa (Honduras)

2π 2π = ≈ 1.51 ω 4.16

FISICA 2

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Ejemplo #3 El desplazamiento en funci´ on del tiempo de una masa de 1.50 kg en un resorte esta dado por la ecuaci´ on x (t) = 7.40cmcos(4.16s −1 t − 2.42). Calcule: a El tiempo que tarda una vibraci´ on completa b La constante de fuerza del resorte. c La rapidez m´axima de la masa d La fuerza m´axima que act´ ua sobre la masa; e La posici´on, rapidez y aceleraci´ on de la masa en t = 1.00 s, y la fuerza que act´ ua sobre la masa en ese momento. Soluci´ on a Dado que ω = 4.16 =⇒ T =

2π 2π = ≈ 1.51 ω 4.16

b Considerando la formula k ω2 = =⇒ K = mω 2 = (1.5)(4.16)2 = 25.9584N/m m Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #3 c La rapidez m´axima de la masa d La fuerza m´axima que act´ ua sobre la masa; e La posici´on, rapidez y aceleraci´ on de la masa en t = 1.00 s, y la fuerza que act´ ua sobre la masa en ese momento.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #3 c La rapidez m´axima de la masa d La fuerza m´axima que act´ ua sobre la masa; e La posici´on, rapidez y aceleraci´ on de la masa en t = 1.00 s, y la fuerza que act´ ua sobre la masa en ese momento. Soluci´ on c vmax = ωA = (4.16)(0.074) ≈ 0.31 m/s

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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42 / 106

Ejemplo #3 c La rapidez m´axima de la masa d La fuerza m´axima que act´ ua sobre la masa; e La posici´on, rapidez y aceleraci´ on de la masa en t = 1.00 s, y la fuerza que act´ ua sobre la masa en ese momento. Soluci´ on c vmax = ωA = (4.16)(0.074) ≈ 0.31 m/s d Fmax = mamax = mω 2 A = (1.5)(4.16)2 (0.074) ≈ 1.92 m/s 2

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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42 / 106

Ejemplo #3 c La rapidez m´axima de la masa d La fuerza m´axima que act´ ua sobre la masa; e La posici´on, rapidez y aceleraci´ on de la masa en t = 1.00 s, y la fuerza que act´ ua sobre la masa en ese momento. Soluci´ on c vmax = ωA = (4.16)(0.074) ≈ 0.31 m/s d Fmax = mamax = mω 2 A = (1.5)(4.16)2 (0.074) ≈ 1.92 m/s 2 d x (1) = 7.40cos((4.16)(1) − 2.42) ≈ −1.25cm

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FISICA 2

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Ejemplo #3 c La rapidez m´axima de la masa d La fuerza m´axima que act´ ua sobre la masa; e La posici´on, rapidez y aceleraci´ on de la masa en t = 1.00 s, y la fuerza que act´ ua sobre la masa en ese momento. Soluci´ on c vmax = ωA = (4.16)(0.074) ≈ 0.31 m/s d Fmax = mamax = mω 2 A = (1.5)(4.16)2 (0.074) ≈ 1.92 m/s 2 d x (1) = 7.40cos((4.16)(1) − 2.42) ≈ −1.25cm v (1) = −(7.40)(4.16)sen((4.16)(1) − 2.42) ≈ −30.34 cm/s

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FISICA 2

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Ejemplo #3 c La rapidez m´axima de la masa d La fuerza m´axima que act´ ua sobre la masa; e La posici´on, rapidez y aceleraci´ on de la masa en t = 1.00 s, y la fuerza que act´ ua sobre la masa en ese momento. Soluci´ on c vmax = ωA = (4.16)(0.074) ≈ 0.31 m/s d Fmax = mamax = mω 2 A = (1.5)(4.16)2 (0.074) ≈ 1.92 m/s 2 d x (1) = 7.40cos((4.16)(1) − 2.42) ≈ −1.25cm v (1) = −(7.40)(4.16)sen((4.16)(1) − 2.42) ≈ −30.34 cm/s a(1) = −(7.40)(4.16)2 cos((4.16)(1) − 2.42) ≈ 21.57 cm/s 2

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FISICA 2

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Ejemplo #3 c La rapidez m´axima de la masa d La fuerza m´axima que act´ ua sobre la masa; e La posici´on, rapidez y aceleraci´ on de la masa en t = 1.00 s, y la fuerza que act´ ua sobre la masa en ese momento. Soluci´ on c vmax = ωA = (4.16)(0.074) ≈ 0.31 m/s d Fmax = mamax = mω 2 A = (1.5)(4.16)2 (0.074) ≈ 1.92 m/s 2 d x (1) = 7.40cos((4.16)(1) − 2.42) ≈ −1.25cm v (1) = −(7.40)(4.16)sen((4.16)(1) − 2.42) ≈ −30.34 cm/s a(1) = −(7.40)(4.16)2 cos((4.16)(1) − 2.42) ≈ 21.57 cm/s 2

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Ejercicio Cuatro pasajeros cuya masa combinada es de 250 kg comprimen 4.00 cm los resortes de un auto con amortiguadores vencidos cuando se suben a el. Modele el auto y los pasajeros como un solo cuerpo sobre un solo resorte ideal. Si el auto cargado tiene un periodo de vibraci´ on de 1.08 s, ¿Qu´e periodo tiene cuando esta vac´ıo?

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Ejercicio Cuatro pasajeros cuya masa combinada es de 250 kg comprimen 4.00 cm los resortes de un auto con amortiguadores vencidos cuando se suben a el. Modele el auto y los pasajeros como un solo cuerpo sobre un solo resorte ideal. Si el auto cargado tiene un periodo de vibraci´ on de 1.08 s, ¿Qu´e periodo tiene cuando esta vac´ıo? Soluci´ on ΣFy = Fs − W1 = 0 =⇒ Fs = W1 =⇒ −k∆x = −m1 g =⇒ −k∆x = −m1 g m2 g (250)(9.8) =⇒ k = = = 61250N/m ∆x 0.04 r

T2 = 2π

m2 =⇒ m2 = k k

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T2 2π

2

1.08 = (61250) 2π 

FISICA 2

2

= 1809.65 ≈ 1810 Tegucigalpa 2016

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m3 = m2 − m1 = 1810 s − 250 = 1560Kg r m3 1560 T3 = 2π = 2π = 1.0027s/ciclo k 61250

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13.3 Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple Ya que la superficie no tiene fricci´ on, el sistema est´a aislado y es de esperar que la energ´ıa mec´anica total del sistema sea constante.Consideremos la energ´ıa cin´etica:

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13.3 Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple Ya que la superficie no tiene fricci´ on, el sistema est´a aislado y es de esperar que la energ´ıa mec´anica total del sistema sea constante.Consideremos la energ´ıa cin´etica: 1 1 K = mv 2 = mω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) 2 2

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13.3 Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple Ya que la superficie no tiene fricci´ on, el sistema est´a aislado y es de esperar que la energ´ıa mec´anica total del sistema sea constante.Consideremos la energ´ıa cin´etica: 1 1 K = mv 2 = mω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) 2 2 La energ´ıa potencial el´astica almacenada en el resorte para cualquier elongaci´on x se conoce por

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13.3 Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple Ya que la superficie no tiene fricci´ on, el sistema est´a aislado y es de esperar que la energ´ıa mec´anica total del sistema sea constante.Consideremos la energ´ıa cin´etica: 1 1 K = mv 2 = mω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) 2 2 La energ´ıa potencial el´astica almacenada en el resorte para cualquier elongaci´on x se conoce por 1 1 U = Kx 2 = kA2 cos 2 (ωt + ϕ) 2 2

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13.3 Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple Ya que la superficie no tiene fricci´ on, el sistema est´a aislado y es de esperar que la energ´ıa mec´anica total del sistema sea constante.Consideremos la energ´ıa cin´etica: 1 1 K = mv 2 = mω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) 2 2 La energ´ıa potencial el´astica almacenada en el resorte para cualquier elongaci´on x se conoce por 1 1 U = Kx 2 = kA2 cos 2 (ωt + ϕ) 2 2 Sabemos que K y U siempre son cantidades positivas o cero.

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Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple La energ´ıa total del sistema esta expresada por E=K+U entonces

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Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple La energ´ıa total del sistema esta expresada por E=K+U entonces 1 1 1 1 E = K + U = mv 2 + Kx 2 = mω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) + kA2 cos 2 (ωt + ϕ) 2 2 2 2

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple La energ´ıa total del sistema esta expresada por E=K+U entonces 1 1 1 1 E = K + U = mv 2 + Kx 2 = mω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) + kA2 cos 2 (ωt + ϕ) 2 2 2 2 Recordemos que ω 2 =

Carlos Sosa (Honduras)

k =⇒ k = mω 2 entonces : m

FISICA 2

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Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple La energ´ıa total del sistema esta expresada por E=K+U entonces 1 1 1 1 E = K + U = mv 2 + Kx 2 = mω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) + kA2 cos 2 (ωt + ϕ) 2 2 2 2 k =⇒ k = mω 2 entonces : m 1 1 E = K + U = kA2 sen2 (ωt + ϕ) + kA2 cos 2 (ωt + ϕ) 2 2

Recordemos que ω 2 =

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple La energ´ıa total del sistema esta expresada por E=K+U entonces 1 1 1 1 E = K + U = mv 2 + Kx 2 = mω 2 A2 sen2 (ωt + ϕ) + kA2 cos 2 (ωt + ϕ) 2 2 2 2 k =⇒ k = mω 2 entonces : m 1 1 E = K + U = kA2 sen2 (ωt + ϕ) + kA2 cos 2 (ωt + ϕ) 2 2

Recordemos que ω 2 =

1 1 = kA2 [sen2 (ωt + ϕ) + cos 2 (ωt + ϕ)] = kA2 2 2

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple

Esto es: la energ´ıa mec´ anica total de un oscilador arm´ onico simple es una constante del movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple

Esto es: la energ´ıa mec´ anica total de un oscilador arm´ onico simple es una constante del movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud. Podemos usar la ecuaci´on para calcular la velocidad vx del cuerpo en un desplazamiento x : s

vx = ±

Carlos Sosa (Honduras)

p kp 2 A − x 2 = ±ω A2 − x 2 m

FISICA 2

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Energ´ıa en el movimiento arm´onico simple

Esto es: la energ´ıa mec´ anica total de un oscilador arm´ onico simple es una constante del movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud. Podemos usar la ecuaci´on para calcular la velocidad vx del cuerpo en un desplazamiento x : s

vx = ±

p kp 2 A − x 2 = ±ω A2 − x 2 m

El signo ± implica que, para un valor de x dado, el cuerpo se puede estar moviendo en cualquiera de las dos direcciones (de ida o de regreso).

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Varios instantes en el movimiento arm´ onico simple para un sistema bloque-resorte. Las gr´aficas de barras de energ´ıa muestran la distribuci´on de la energ´ıa del sistema en cada instante. Los par´ametros en la tabla de la derecha se refieren al sistema bloque–resorte, si supone que en t = 0, x = A;por eso, x = Acosωt.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #1 Un deslizador de 0.500 kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k = 450 N/m, esta en movimiento arm´onico simple con una amplitud de 0.040 m. Calcule: a) la rapidez m´axima del deslizador; b) su rapidez cuando esta en x =-0.015 m; c) la magnitud de su aceleraci´on m´axima; d) su aceleraci´ on en x = -0.015 m; e) su energ´ıa mec´anica total en cualquier punto de su movimiento.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #1 Un deslizador de 0.500 kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k = 450 N/m, esta en movimiento arm´onico simple con una amplitud de 0.040 m. Calcule: a) la rapidez m´axima del deslizador; b) su rapidez cuando esta en x =-0.015 m; c) la magnitud de su aceleraci´on m´axima; d) su aceleraci´ on en x = -0.015 m; e) su energ´ıa mec´anica total en cualquier punto de su movimiento. Soluci´ on s

a) vmax = ωA =

Carlos Sosa (Honduras)

k A= m

s

450 (0.04) = 1.2m/s 0.500

FISICA 2

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Ejemplo #1 Un deslizador de 0.500 kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k = 450 N/m, esta en movimiento arm´onico simple con una amplitud de 0.040 m. Calcule: a) la rapidez m´axima del deslizador; b) su rapidez cuando esta en x =-0.015 m; c) la magnitud de su aceleraci´on m´axima; d) su aceleraci´ on en x = -0.015 m; e) su energ´ıa mec´anica total en cualquier punto de su movimiento. Soluci´ on s

k A= m

s

450 (0.04) = 1.2m/s 0.500

kp 2 A − x2 = m

s

450 q (0.04)2 − (−0.015)2 0.5

a) vmax = ωA = s

b) vx =

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #1 Un deslizador de 0.500 kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k = 450 N/m, esta en movimiento arm´onico simple con una amplitud de 0.040 m. Calcule: a) la rapidez m´axima del deslizador; b) su rapidez cuando esta en x =-0.015 m; c) la magnitud de su aceleraci´on m´axima; d) su aceleraci´ on en x = -0.015 m; e) su energ´ıa mec´anica total en cualquier punto de su movimiento. Soluci´ on s

a) vmax = ωA = s

k A= m

s

450 (0.04) = 1.2m/s 0.500

s

kp 2 450 q b) vx = A − x2 = (0.04)2 − (−0.015)2 m 0.5 s 450 √ = 0.0016 − 0.000225 = 1.11 m/s 0.5

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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49 / 106

Ejemplo #1 Un deslizador de 0.500 kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k = 450 N/m, esta en movimiento arm´onico simple con una amplitud de 0.040 m. Calcule: a) la rapidez m´axima del deslizador; b) su rapidez cuando esta en x =-0.015 m; c) la magnitud de su aceleraci´on m´axima; d) su aceleraci´ on en x = -0.015 m; e) su energ´ıa mec´anica total en cualquier punto de su movimiento. Soluci´ on s

a) vmax = ωA = s

k A= m

s

450 (0.04) = 1.2m/s 0.500

s

kp 2 450 q b) vx = A − x2 = (0.04)2 − (−0.015)2 m 0.5 s 450 √ = 0.0016 − 0.000225 = 1.11 m/s 0.5 450 k c) amax = ω 2 A = A = (0.04) = 36 m/s m 0.5 Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #1 Un deslizador de 0.500 kg, conectado al extremo de un resorte ideal con constante de fuerza k = 450 N/m, esta en movimiento arm´onico simple con una amplitud de 0.040 m. Calcule: a) la rapidez m´axima del deslizador; b) su rapidez cuando esta en x =-0.015 m; c) la magnitud de su aceleraci´on m´axima; d) su aceleraci´ on en x = -0.015 m; e) su energ´ıa mec´anica total en cualquier punto de su movimiento. Soluci´ on s

a) vmax = ωA = s

k A= m

s

450 (0.04) = 1.2m/s 0.500

s

kp 2 450 q b) vx = A − x2 = (0.04)2 − (−0.015)2 m 0.5 s 450 √ = 0.0016 − 0.000225 = 1.11 m/s 0.5 450 k c) amax = ω 2 A = A = (0.04) = 36 m/s m 0.5 Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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d) a = −

k 450 x =− (−0.015) = 13.5m/s 2 m 0.500

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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k 450 x =− (−0.015) = 13.5m/s 2 m 0.500 1 1 e) E = kA2 = (450)(0.04)2 = 0.36J 2 2

d) a = −

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #2 Un juguete de 0.150 kg esta en MAS en el extremo de un resorte horizontal con k = 300 N/m. Cuando el objeto esta a 0.0120 m de su posici´on de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 m/s. Calcule: a) la energ´ıa total del objeto en cualquier punto de su movimiento; b) la amplitud del movimiento; c) la velocidad m´axima alcanzada por el objeto durante su movimiento.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #2 Un juguete de 0.150 kg esta en MAS en el extremo de un resorte horizontal con k = 300 N/m. Cuando el objeto esta a 0.0120 m de su posici´on de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 m/s. Calcule: a) la energ´ıa total del objeto en cualquier punto de su movimiento; b) la amplitud del movimiento; c) la velocidad m´axima alcanzada por el objeto durante su movimiento. Soluci´ on 1 1 1 1 a) = mv 2 + kx 2 = (0.150)(0.300)2 + (300)(0.0120)2 = 0.02835J 2 2 2 2

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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51 / 106

Ejemplo #2 Un juguete de 0.150 kg esta en MAS en el extremo de un resorte horizontal con k = 300 N/m. Cuando el objeto esta a 0.0120 m de su posici´on de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 m/s. Calcule: a) la energ´ıa total del objeto en cualquier punto de su movimiento; b) la amplitud del movimiento; c) la velocidad m´axima alcanzada por el objeto durante su movimiento. Soluci´ on 1 1 1 1 a) = mv 2 + kx 2 = (0.150)(0.300)2 + (300)(0.0120)2 = 0.02835J 2 2 2s 2 s 1 b) E = kA2 =⇒ A = 2

Carlos Sosa (Honduras)

2E = k

2(0.02835) = 0.0137m 300

FISICA 2

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51 / 106

Ejemplo #2 Un juguete de 0.150 kg esta en MAS en el extremo de un resorte horizontal con k = 300 N/m. Cuando el objeto esta a 0.0120 m de su posici´on de equilibrio, tiene una rapidez de 0.300 m/s. Calcule: a) la energ´ıa total del objeto en cualquier punto de su movimiento; b) la amplitud del movimiento; c) la velocidad m´axima alcanzada por el objeto durante su movimiento. Soluci´ on 1 1 1 1 a) = mv 2 + kx 2 = (0.150)(0.300)2 + (300)(0.0120)2 = 0.02835J 2 2 2s 2 s 1 b) E = kA2 =⇒ A = 2 s

c) vmax = ωA =

Carlos Sosa (Honduras)

2E = k

2(0.02835) = 0.0137m 300

300 (0.0137) ≈ 0.61m/s 0.15

FISICA 2

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Ejercicio Un oscilador arm´onico tiene frecuencia angular ω y amplitud A. a) Calcule la magnitud del desplazamiento y de la velocidad cuando la energ´ıa potencial el´astica es igual a la energ´ıa cin´etica. (Suponga que U = 0 en el equilibrio.) b) ¿Cu´antas veces sucede eso en cada ciclo? c) En un instante en que el desplazamiento es igual a A/2, ¿Qu´e fracci´on de la energ´ıa total del sistema es cin´etica y que fracci´on es potencial?

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejercicio Un oscilador arm´onico tiene frecuencia angular ω y amplitud A. a) Calcule la magnitud del desplazamiento y de la velocidad cuando la energ´ıa potencial el´astica es igual a la energ´ıa cin´etica. (Suponga que U = 0 en el equilibrio.) b) ¿Cu´antas veces sucede eso en cada ciclo? c) En un instante en que el desplazamiento es igual a A/2, ¿Qu´e fracci´on de la energ´ıa total del sistema es cin´etica y que fracci´on es potencial? Soluci´ on a) Supongamos que U=K entonces: 1 2 1 mv = kA2 K + U = E =⇒ K + K = E =⇒ 2K = E =⇒ 2 2 2 s √ s 1 1k 2 k =⇒ mv 2 = kA2 =⇒ v = A =⇒ v = A 2 2 m 2 m √ √ 2 2 =⇒ v = ωA = vmax 2 2 

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2



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a) Supongamos que K=U entonces: 1 2 1 K + U = E =⇒ U + U = E =⇒ 2U = E =⇒ 2 kx = kA2 2 2 s √ 1 2 1 =⇒ kx 2 = kA2 =⇒ x = A =⇒ x = A 2 2 √2 2 =⇒ x = A 2 b) Ocurre dos veces por ciclo 



c)

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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13.4 Aplicaciones del movimiento arm´onico simple El p´ endulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo sin masa y no estirable.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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13.4 Aplicaciones del movimiento arm´onico simple El p´ endulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo sin masa y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su posici´ on de equilibrio (vertical), oscilar´a alrededor de dicha posici´ on.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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54 / 106

13.4 Aplicaciones del movimiento arm´onico simple El p´ endulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo sin masa y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su posici´ on de equilibrio (vertical), oscilar´a alrededor de dicha posici´ on. La trayectoria de la masa puntual (llamada pesa) no es recta, sino el arco de un c´ırculo de radio L igual a la longitud del hilo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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54 / 106

13.4 Aplicaciones del movimiento arm´onico simple El p´ endulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo sin masa y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su posici´ on de equilibrio (vertical), oscilar´a alrededor de dicha posici´ on. La trayectoria de la masa puntual (llamada pesa) no es recta, sino el arco de un c´ırculo de radio L igual a la longitud del hilo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ecuaciones r 1

ω=

2

f =

3

g L

1 2π

r

g L

s

L g

T = 2π

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #1 Calcule el periodo y la frecuencia de un p´endulo simple de 1.000 m de longitud en un lugar donde g = 9.802 m/s 2 .

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #1 Calcule el periodo y la frecuencia de un p´endulo simple de 1.000 m de longitud en un lugar donde g = 9.802 m/s 2 . Soluci´ os n T = 2π 1 f = 2π

r

L = 2π g

s

g 1 = L 2π

s

Carlos Sosa (Honduras)

1.00 ≈ 2.01s/ciclo 9.8 9.8 ≈ 0.498 Hz 1.00

FISICA 2

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Ejemplo #2 Halle la longitud de un p´endulo simple cuyo periodo sea 1s en una localidad donde g=9.8m/s 2 .

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #2 Halle la longitud de un p´endulo simple cuyo periodo sea 1s en una localidad donde g=9.8m/s 2 . Soluci´ os n T = 2π

L =⇒ L = g g

Carlos Sosa (Honduras)



T 2π

2



=⇒ L = (9.8)

FISICA 2

1 2π

2

≈ 0.248

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Ejemplo #3 Un p´endulo en Marte. En la Tierra, cierto p´endulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ¿Qu´e periodo tendr´a en Marte, donde g= 3.71 m/s 2 .?

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #3 Un p´endulo en Marte. En la Tierra, cierto p´endulo simple tiene un periodo de 1.60 s. ¿Qu´e periodo tendr´a en Marte, donde g= 3.71 m/s 2 .? Soluci´ ons T1 = 2π s

T2 = 2π

L T1 =⇒ L = g1 g1 2π 

L = 2π g2

Carlos Sosa (Honduras)

s

2



=⇒ L = (9.8)

1.6 2π

2

≈ 0.651

0.651 ≈ 2.63 s/ciclo 3.71

FISICA 2

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Ejercicio Despu´es de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un p´endulo simple con longitud de 50.0 cm y determina que efect´ ua 100 oscilaciones completas en 136 s. ¿ Cuanto vale g en ese planeta?

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejercicio Despu´es de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un p´endulo simple con longitud de 50.0 cm y determina que efect´ ua 100 oscilaciones completas en 136 s. ¿ Cuanto vale g en ese planeta? Soluci´ on 136 T = = 1.36 s/ciclo 100 s L 4π 2 L 4π 2 (0.5) T = 2π =⇒ g = =⇒ g = ≈ 10.67 m/s 2 g T2 (1.36)2

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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P´endulo f´ısico El p´ endulo f´ısico es cualquier p´endulo real, que usa un cuerpo de tama˜ no finito,en contraste con el modelo idealizado de p´endulo simple en el que toda la masa se concentra en un punto. Si las oscilaciones son peque˜ nas, el an´alisis del movimiento de un p´endulo real es casi tan f´acil que el de uno simple.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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P´endulo f´ısico El p´ endulo f´ısico es cualquier p´endulo real, que usa un cuerpo de tama˜ no finito,en contraste con el modelo idealizado de p´endulo simple en el que toda la masa se concentra en un punto. Si las oscilaciones son peque˜ nas, el an´alisis del movimiento de un p´endulo real es casi tan f´acil que el de uno simple.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Formulas s 1

ω=

mgd I s

2

T = 2π

I mgd

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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P´endulo f´ısico

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #1 Suponga que una varilla uniforme de longitud L que pivota en un extremo. 1

Calcule el periodo de su movimiento.

2

Calcule el periodo si la varilla mide un metro (L = 1.00 m)

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #1 Suponga que una varilla uniforme de longitud L que pivota en un extremo. 1

Calcule el periodo de su movimiento.

2

Calcule el periodo si la varilla mide un metro (L = 1.00 m)

Soluci´ on 1

El momento de inercia de una varilla uniforme respecto a un eje en su 1 extremo es I = mL2 .La distancia del pivote al centro del gravedad es 3 d = L/2. s s s 1 2 I 2L 3 mL T = 2π = 2π = 2π mgd mgL/2 3g

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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63 / 106

Ejemplo #1 Suponga que una varilla uniforme de longitud L que pivota en un extremo. 1

Calcule el periodo de su movimiento.

2

Calcule el periodo si la varilla mide un metro (L = 1.00 m)

Soluci´ on 1

El momento de inercia de una varilla uniforme respecto a un eje en su 1 extremo es I = mL2 .La distancia del pivote al centro del gravedad es 3 d = L/2. s s s 1 2 I 2L 3 mL T = 2π = 2π = 2π mgd mgL/2 3g s

2

T = 2π

2L = 2π 3g

Carlos Sosa (Honduras)

s

2(1.00) = 1.64 s 3(9.8)

FISICA 2

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Ejemplo #2 Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilaci´ on completa con ´angulo peque˜ no una vez cada 2.0 s. ¿Qu´e radio debe tener el aro?

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #2 Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilaci´ on completa con ´angulo peque˜ no una vez cada 2.0 s. ¿Qu´e radio debe tener el aro? Soluci´ on El momento de inercia de un aro delgado respecto a su centro es I = mr 2 .La distancia del pivote al centro del gravedad es d = r. s s s s I mr 2 + mr 2 2mr 2 2r = 2π = 2π = 2π T = 2π mgd mgr mgr g

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #2 Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilaci´ on completa con ´angulo peque˜ no una vez cada 2.0 s. ¿Qu´e radio debe tener el aro? Soluci´ on El momento de inercia de un aro delgado respecto a su centro es I = mr 2 .La distancia del pivote al centro del gravedad es d = r. s s s s I mr 2 + mr 2 2mr 2 2r = 2π = 2π = 2π Resolviendo T = 2π mgd mgr mgr g para r se obtiene:      2 g T 2 9.8 2 9.8 r= = = 2 = 0.4965m 2 2π 2 2π 2π

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #3 Un adorno navide˜ no con forma de esfera hueca de masa m = 0.015 kg y radio r = 0.050 m se cuelga de una rama con un lazo de alambre unido a la superficie de la esfera. Si el adorno se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila como p´endulo f´ısico. Calcule su periodo. (Puede despreciar la fricci´on en el pivote. El momento de inercia de la esfera respecto al pivote en la rama es 5mr 2 /3)

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo #3 Un adorno navide˜ no con forma de esfera hueca de masa m = 0.015 kg y radio r = 0.050 m se cuelga de una rama con un lazo de alambre unido a la superficie de la esfera. Si el adorno se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila como p´endulo f´ısico. Calcule su periodo. (Puede despreciar la fricci´on en el pivote. El momento de inercia de la esfera respecto al pivote en la rama es 5mr 2 /3) Soluci´ os n T = 2π

I = 2π mgd

Carlos Sosa (Honduras)

s

5mr 2 /3 = 2π mgr

s

5r ≈ 0.5794 s 3g

FISICA 2

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65 / 106

Ejemplo #3 Un adorno navide˜ no con forma de esfera hueca de masa m = 0.015 kg y radio r = 0.050 m se cuelga de una rama con un lazo de alambre unido a la superficie de la esfera. Si el adorno se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila como p´endulo f´ısico. Calcule su periodo. (Puede despreciar la fricci´on en el pivote. El momento de inercia de la esfera respecto al pivote en la rama es 5mr 2 /3) Soluci´ os n T = 2π

I = 2π mgd

Carlos Sosa (Honduras)

s

5mr 2 /3 = 2π mgr

s

5r ≈ 0.5794 s 3g

FISICA 2

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Ejercicio Una biela de 1.80 kg de un motor de coche pivota alrededor de un filo de navaja horizontal como se muestra en la figura.El centro de gravedad de la biela se encontr´o por balanceo y est´a a 0.200 m del pivote. Cuando la biela se pone a oscilar con amplitud corta, completa 100 oscilaciones en 120 s. Calcule el momento de inercia de la biela respecto al eje de rotaci´on en el pivote.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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. Soluci´ on I = mgd

T 2π

2



= (1.8)(9.8)(0.200)

Carlos Sosa (Honduras)

1.2 2π

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2

= 0.1287 kgm2

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Oscilaciones amortiguadas Los sistemas que hemos visto carecen de fricci´ on, pero en el mundo real siempre tienen fuerzas disipadoras, por tanto las oscilaciones cesan con el tiempo.

Carlos Sosa (Honduras)

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Oscilaciones amortiguadas Los sistemas que hemos visto carecen de fricci´ on, pero en el mundo real siempre tienen fuerzas disipadoras, por tanto las oscilaciones cesan con el tiempo. La disminuci´on de la amplitud causada por fuerzas disipadoras se denomina amortiguaci´ on , y el movimiento correspondiente se llama oscilaci´ on amortiguada.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Oscilaciones amortiguadas Los sistemas que hemos visto carecen de fricci´ on, pero en el mundo real siempre tienen fuerzas disipadoras, por tanto las oscilaciones cesan con el tiempo. La disminuci´on de la amplitud causada por fuerzas disipadoras se denomina amortiguaci´ on , y el movimiento correspondiente se llama oscilaci´ on amortiguada. Supongamos que tenemos un oscilador arm´ onico con fuerza de amortiguaci´on directamente proporcional a la velocidad de un cuerpo. ΣFx = −kx − bvx Donde: k:Constante de fuerza x:Desplazamiento con respecto al origen b:Intensidad de la fuerza de amortiguaci´ on vx :Velocidad del cuerpo Carlos Sosa (Honduras)

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Oscilaciones amortiguadas Por la segunda ley se tiene:

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FISICA 2

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Oscilaciones amortiguadas Por la segunda ley se tiene: −kx − bvx = max

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Oscilaciones amortiguadas Por la segunda ley se tiene: −kx − bvx = max o bien −kx − b

Carlos Sosa (Honduras)

d 2x dx =m 2 dt dt

FISICA 2

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Oscilaciones amortiguadas Por la segunda ley se tiene: −kx − bvx = max o bien −kx − b

d 2x dx =m 2 dt dt

cuya soluci´ on es: x = Ae −(b/2m)t cos(ω 0 t + ϕ) (Oscilador con poca amortiguaci´on)

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Oscilaciones amortiguadas Por la segunda ley se tiene: −kx − bvx = max o bien −kx − b

d 2x dx =m 2 dt dt

cuya soluci´ on es: x = Ae −(b/2m)t cos(ω 0 t + ϕ) (Oscilador con poca amortiguaci´on) La frecuencia de oscilaci´on ω 0 esta dada por: s

ω0 =

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k b2 − (Oscilador con poca amortiguaci´on) m 4m2

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La diferencia con el caso no amortiguado es en los aspectos: 1 La amplitud (Ae −(b/2m)t ) no es constante y disminuye con el tiempo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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La diferencia con el caso no amortiguado es en los aspectos: 1 La amplitud (Ae −(b/2m)t ) no es constante y disminuye con el tiempo.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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70 / 106

Oscilaciones amortiguadas (amortiguaci´on cr´ıtica)

2 La frecuencia angular ω 0 ya no es igual sino menor y se hace cero si b es tan grande que: √ k b2 − = 0 o bien b = 2 km m 4m2

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Oscilaciones amortiguadas (amortiguaci´on cr´ıtica)

2 La frecuencia angular ω 0 ya no es igual sino menor y se hace cero si b es tan grande que: √ k b2 − = 0 o bien b = 2 km m 4m2

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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71 / 106

Oscilaciones amortiguadas (amortiguaci´on cr´ıtica)

2 La frecuencia angular ω 0 ya no es igual sino menor y se hace cero si b es tan grande que: √ k b2 − = 0 o bien b = 2 km m 4m2

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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√ a. Si se satisface la ecuaci´ on (b = 2 km ), la condici´on se denomina amortiguaci´ on cr´ıticaEl sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posici´on de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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√ a. Si se satisface la ecuaci´ on (b = 2 km ), la condici´on se denomina amortiguaci´ on cr´ıticaEl sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posici´on de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta. √ b. Si b > 2 km , la condici´ on se denomina sobreamortiguaci´ on.Aqu´ı tampoco hay oscilaci´on, pero el sistema vuelve al equilibrio m´as lentamente que con amortiguaci´ on cr´ıtica.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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√ a. Si se satisface la ecuaci´ on (b = 2 km ), la condici´on se denomina amortiguaci´ on cr´ıticaEl sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posici´on de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta. √ b. Si b > 2 km , la condici´ on se denomina sobreamortiguaci´ on.Aqu´ı tampoco hay oscilaci´on, pero el sistema vuelve al equilibrio m´as lentamente que con amortiguaci´ on cr´ıtica. La soluci´on de la edo es la siguiente

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FISICA 2

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√ a. Si se satisface la ecuaci´ on (b = 2 km ), la condici´on se denomina amortiguaci´ on cr´ıticaEl sistema ya no oscila, sino que vuelve a su posici´on de equilibrio sin oscilar cuando se le desplaza y suelta. √ b. Si b > 2 km , la condici´ on se denomina sobreamortiguaci´ on.Aqu´ı tampoco hay oscilaci´on, pero el sistema vuelve al equilibrio m´as lentamente que con amortiguaci´ on cr´ıtica. La soluci´on de la edo es la siguiente x = C1 e −a1 t + C2 e −a2 t donde C1 y C2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales y a1 y a2 son constantes determinadas por m, k y b.

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√ c. Si b < 2 km , la condici´ on se denomina subamortiguaci´ on.El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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√ c. Si b < 2 km , la condici´ on se denomina subamortiguaci´ on.El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. Deduciremos una expresi´ on para la rapidez del cambio de energ´ıa 1 1 E = mv 2 + kx 2 2 2

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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73 / 106

√ c. Si b < 2 km , la condici´ on se denomina subamortiguaci´ on.El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. Deduciremos una expresi´ on para la rapidez del cambio de energ´ıa 1 1 E = mv 2 + kx 2 2 2 Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo:

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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73 / 106

√ c. Si b < 2 km , la condici´ on se denomina subamortiguaci´ on.El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. Deduciremos una expresi´ on para la rapidez del cambio de energ´ıa 1 1 E = mv 2 + kx 2 2 2 Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo: dvx dx dE = mvx + kx dt dt dt

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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73 / 106

√ c. Si b < 2 km , la condici´ on se denomina subamortiguaci´ on.El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. Deduciremos una expresi´ on para la rapidez del cambio de energ´ıa 1 1 E = mv 2 + kx 2 2 2 Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo: dvx dx dE = mvx + kx dt dt dt Se sigue que:

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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√ c. Si b < 2 km , la condici´ on se denomina subamortiguaci´ on.El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. Deduciremos una expresi´ on para la rapidez del cambio de energ´ıa 1 1 E = mv 2 + kx 2 2 2 Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo: dvx dx dE = mvx + kx dt dt dt Se sigue que: dE = vx (max + kx ) dt

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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73 / 106

√ c. Si b < 2 km , la condici´ on se denomina subamortiguaci´ on.El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. Deduciremos una expresi´ on para la rapidez del cambio de energ´ıa 1 1 E = mv 2 + kx 2 2 2 Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo: dvx dx dE = mvx + kx dt dt dt Se sigue que: dE = vx (max + kx ) dt ademas puesto que

Carlos Sosa (Honduras)

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73 / 106

√ c. Si b < 2 km , la condici´ on se denomina subamortiguaci´ on.El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. Deduciremos una expresi´ on para la rapidez del cambio de energ´ıa 1 1 E = mv 2 + kx 2 2 2 Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo: dvx dx dE = mvx + kx dt dt dt Se sigue que: dE = vx (max + kx ) dt ademas puesto que max + kx = −bdx /dt = −bvx

Carlos Sosa (Honduras)

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73 / 106

√ c. Si b < 2 km , la condici´ on se denomina subamortiguaci´ on.El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. Deduciremos una expresi´ on para la rapidez del cambio de energ´ıa 1 1 E = mv 2 + kx 2 2 2 Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo: dvx dx dE = mvx + kx dt dt dt Se sigue que: dE = vx (max + kx ) dt ademas puesto que max + kx = −bdx /dt = −bvx Se obtiene

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73 / 106

√ c. Si b < 2 km , la condici´ on se denomina subamortiguaci´ on.El sistema oscila con amplitud constantemente decreciente. Deduciremos una expresi´ on para la rapidez del cambio de energ´ıa 1 1 E = mv 2 + kx 2 2 2 Para calcular la rapidez de cambio de esta cantidad, la derivamos respecto al tiempo: dvx dx dE = mvx + kx dt dt dt Se sigue que: dE = vx (max + kx ) dt ademas puesto que max + kx = −bdx /dt = −bvx Se obtiene dE = −bvx2 dt Carlos Sosa (Honduras)

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Ejemplo #1 Un objeto de 10.6 kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2.05 ×104 N/m. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante el coeficiente de amortiguamiento b = 300 N*s/m. Calcule la frecuencia de la oscilaci´ on amortiguada.

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Ejemplo #1 Un objeto de 10.6 kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2.05 ×104 N/m. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante el coeficiente de amortiguamiento b = 300 N*s/m. Calcule la frecuencia de la oscilaci´ on amortiguada. Soluci´ son s k b2 2.05 × 104 (300)2 0 ω = − − = ≈ 41.64 rad/s 2 m 4m 10.6 4(10.6)2

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Ejemplo #1 Un objeto de 10.6 kg oscila en el extremo de un resorte vertical que tiene una constante de resorte de 2.05 ×104 N/m. El efecto de la resistencia del aire se representa mediante el coeficiente de amortiguamiento b = 300 N*s/m. Calcule la frecuencia de la oscilaci´ on amortiguada. Soluci´ son s k b2 2.05 × 104 (300)2 0 ω = − − = ≈ 41.64 rad/s 2 m 4m 10.6 4(10.6)2 ω0 41.64 f = = ≈ 7.0 Hz 2π 2π

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Ejemplo #2 Un rat´on de 0.300 kg, nada contento, se mueve en el extremo de un resorte con constante de fuerza k = 2.50 N/m, sometido a la acci´on de una fuerza amortiguadora Fx = −bvx . a Si b = 0.900 kg/s, ¿qu´e frecuencia de oscilaci´ on tiene el rat´on? b ¿Con qu´e valor de b la amortiguaci´ on ser´a cr´ıtica?

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Ejemplo #2 Un rat´on de 0.300 kg, nada contento, se mueve en el extremo de un resorte con constante de fuerza k = 2.50 N/m, sometido a la acci´on de una fuerza amortiguadora Fx = −bvx . a Si b = 0.900 kg/s, ¿qu´e frecuencia de oscilaci´ on tiene el rat´on? b ¿Con qu´e valor de b la amortiguaci´ on ser´a cr´ıtica? Soluci´ son   2.5 0.9 2 0 ω = − = 2.47 rad/s 0.3 2(0.3)

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Ejemplo #2 Un rat´on de 0.300 kg, nada contento, se mueve en el extremo de un resorte con constante de fuerza k = 2.50 N/m, sometido a la acci´on de una fuerza amortiguadora Fx = −bvx . a Si b = 0.900 kg/s, ¿qu´e frecuencia de oscilaci´ on tiene el rat´on? b ¿Con qu´e valor de b la amortiguaci´ on ser´a cr´ıtica? Soluci´ son   2.5 0.9 2 0 ω = − = 2.47 rad/s 2(0.3) √ 0.3 p b = 2 km = 2 (2.5)(0.3) = 1.73 kg/s

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Ejercicio Un huevo duro (cocido) de 50.0 g se mueve en el extremo de un resorte con k = 25.0 N/m. su desplazamiento inicial es de 0.300 m. Una fuerza amortiguadora Fx = −bvx act´ ua sobre el huevo, y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5.00 s. Calcule la constante de amortiguaci´on b.

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Ejercicio Un huevo duro (cocido) de 50.0 g se mueve en el extremo de un resorte con k = 25.0 N/m. su desplazamiento inicial es de 0.300 m. Una fuerza amortiguadora Fx = −bvx act´ ua sobre el huevo, y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5.00 s. Calcule la constante de amortiguaci´on b.

Soluci´ on     b b A2 b A2 A2 A2 = A1 e − 2m =⇒ = e − 2m =⇒ − = ln =⇒ b = −2mtln A1 2mt A1 A1

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Ejercicio Un huevo duro (cocido) de 50.0 g se mueve en el extremo de un resorte con k = 25.0 N/m. su desplazamiento inicial es de 0.300 m. Una fuerza amortiguadora Fx = −bvx act´ ua sobre el huevo, y la amplitud del movimiento disminuye a 0.100 m en 5.00 s. Calcule la constante de amortiguaci´on b.

Soluci´ on     b b A2 b A2 A2 A2 = A1 e − 2m =⇒ = e − 2m =⇒ − = ln =⇒ b = −2mtln 2mt A1 A1  A1 A2 b = −2mtln A1

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Oscilaciones forzadas y resonancia Se puede aplicar una fuerza para que el oscilador amortiguado mantenga la oscilaci´on de su amplitud constante, a esta fuerza se le llama impulsora.

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Oscilaciones forzadas y resonancia Se puede aplicar una fuerza para que el oscilador amortiguado mantenga la oscilaci´on de su amplitud constante, a esta fuerza se le llama impulsora. Si aplicamos una fuerza impulsora con frecuencia ωd el movimiento resultante se llama oscilaci´ on forzada

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Oscilaciones forzadas y resonancia Se puede aplicar una fuerza para que el oscilador amortiguado mantenga la oscilaci´on de su amplitud constante, a esta fuerza se le llama impulsora. Si aplicamos una fuerza impulsora con frecuencia ωd el movimiento resultante se llama oscilaci´ on forzada

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Oscilaciones forzadas y resonancia Si hay muy poca amortiguaci´ on (b peque˜ na), la amplitud tendr´a un pico marcado al acercarse ωd a la frecuencia angular de oscilaci´on normal ω 0 . Si se aumenta la amortiguaci´ on (b mayor), el pico se ensancha y se hace menos alto, desplaz´andose hacia frecuencias m´as bajas.

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Oscilaciones forzadas y resonancia Si hay muy poca amortiguaci´ on (b peque˜ na), la amplitud tendr´a un pico marcado al acercarse ωd a la frecuencia angular de oscilaci´on normal ω 0 . Si se aumenta la amortiguaci´ on (b mayor), el pico se ensancha y se hace menos alto, desplaz´andose hacia frecuencias m´as bajas.

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Oscilaciones forzadas y resonancia

La amplitud en una oscilaci´ on forzada se mide por: Fmax A= q (amplitud de un oscilador arm´onico (k − mωd2 )2 + (bωd )2 impulsado) donde: ωd : frecuencia impulsora. k: constante de resorte. Fm ax : fuerza impulsora m´axima. b: constante de amortiguaci´ on. El hecho de que haya un pico de amplitud a frecuencias impulsoras cercanas a la frecuencia natural del sistema se denomina resonancia.

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Ejemplo # 1 Un bloque que pesa 40.0 N est´a suspendido de un resorte que tiene una constante de fuerza de 200 N/m. El sistema no est´a amortiguado y est´a sujeto a una fuerza impulsora arm´ onica de 10.0 Hz de frecuencia, lo que resulta en una amplitud de movimiento forzado de 2.00 cm. Determine el valor m´aximo de la fuerza impulsora.

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Ejemplo # 1 Un bloque que pesa 40.0 N est´a suspendido de un resorte que tiene una constante de fuerza de 200 N/m. El sistema no est´a amortiguado y est´a sujeto a una fuerza impulsora arm´ onica de 10.0 Hz de frecuencia, lo que resulta en una amplitud de movimiento forzado de 2.00 cm. Determine el valor m´aximo de la fuerza impulsora. Soluci´ on

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Ejemplo # 1 Un bloque que pesa 40.0 N est´a suspendido de un resorte que tiene una constante de fuerza de 200 N/m. El sistema no est´a amortiguado y est´a sujeto a una fuerza impulsora arm´ onica de 10.0 Hz de frecuencia, lo que resulta en una amplitud de movimiento forzado de 2.00 cm. Determine el valor m´aximo de la fuerza impulsora. Soluci´ on Fmax A= =⇒ Fmax = A(|k − mωd2 |) (k − mωd2 ) =⇒ Fmax = (0.02)(|(200 − (4.08)(2(π)(10))2 )2 |) ≈ 318 N

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Ejemplo # 2 Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colocar´an a bordo de la Estaci´on Espacial Internacional act´ uan como sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza de 2.1 × 106 N/m y masa de 108 kg.Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35 Hz. ¿Satisface el paquete tal requisito?

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Ejemplo # 2 Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colocar´an a bordo de la Estaci´on Espacial Internacional act´ uan como sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza de 2.1 × 106 N/m y masa de 108 kg.Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35 Hz. ¿Satisface el paquete tal requisito? Soluci´ on

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Ejemplo # 2 Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colocar´an a bordo de la Estaci´on Espacial Internacional act´ uan como sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza de 2.1 × 106 N/m y masa de 108 kg.Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35 Hz. ¿Satisface el paquete tal requisito? Soluci´ s son k 2.1 × 106 ω= = = 139rad/s m 108

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Ejemplo # 2 Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colocar´an a bordo de la Estaci´on Espacial Internacional act´ uan como sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza de 2.1 × 106 N/m y masa de 108 kg.Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35 Hz. ¿Satisface el paquete tal requisito? Soluci´ s son k 2.1 × 106 ω= = = 139rad/s m 108 ω 139 f = = = 22.2 2π 2π

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Ejemplo # 2 Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colocar´an a bordo de la Estaci´on Espacial Internacional act´ uan como sistema resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza de 2.1 × 106 N/m y masa de 108 kg.Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35 Hz. ¿Satisface el paquete tal requisito? Soluci´ s son k 2.1 × 106 ω= = = 139rad/s m 108 ω 139 f = = = 22.2 2π 2π Puesto que 22.2 < 30 entonces satisface el requisito del pedido.

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Contenido 1

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3

Resoluci´ on prueba diagnostica Ejercicio #1 Ejercicio #2 Ejercicio #3 Ejercicio #4 Ejercicio #5 Movimiento Peri´odico Descripci´on de la oscilaci´ on Ejemplos y ejercicios Movimiento arm´onico simple Ejemplos y ejercicios Energ´ıa en el movimiento arm´ onico simple Aplicaciones del movimiento arm´ onico simple P´endulo f´ısico Oscilaciones amortiguadas Ondas mec´anicas Tipos de ondas mec´anicas Ondas peri´odicas Carlos Sosa (Honduras)

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15.1 Tipos de ondas mec´anicas Una onda mec´anica es una perturbaci´ on que viaja por un material o una sustancia que es el medio de la onda.

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15.1 Tipos de ondas mec´anicas Una onda mec´anica es una perturbaci´ on que viaja por un material o una sustancia que es el medio de la onda. Al viajar la onda por el medio, las part´ıculas que constituyen el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda.

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15.1 Tipos de ondas mec´anicas Una onda mec´anica es una perturbaci´ on que viaja por un material o una sustancia que es el medio de la onda. Al viajar la onda por el medio, las part´ıculas que constituyen el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda. Observemos las siguientes figuras

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15.1 Tipos de ondas mec´anicas Una onda mec´anica es una perturbaci´ on que viaja por un material o una sustancia que es el medio de la onda. Al viajar la onda por el medio, las part´ıculas que constituyen el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda. Observemos las siguientes figuras

Si imprimimos al extremo izquierdo una peque˜ na sacudida hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo de la cuerda, este es un ejemplo de un pulso de onda

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15.1 Tipos de ondas mec´anicas Una onda mec´anica es una perturbaci´ on que viaja por un material o una sustancia que es el medio de la onda. Al viajar la onda por el medio, las part´ıculas que constituyen el medio sufren desplazamientos de varios tipos, dependiendo de la naturaleza de la onda. Observemos las siguientes figuras

Si imprimimos al extremo izquierdo una peque˜ na sacudida hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo de la cuerda, este es un ejemplo de un pulso de onda Dado que los desplazamientos del medio son perpendiculares o transversales a la direcci´on en que la onda viaja por el medio, decimos que se trata de una onda transversal. Carlos Sosa (Honduras)

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En la figura el medio es un l´ıquido o gas en un tubo con una pared r´ıgida en el extremo derecho y un pist´ on m´ ovil en el izquierdo.

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En la figura el medio es un l´ıquido o gas en un tubo con una pared r´ıgida en el extremo derecho y un pist´ on m´ ovil en el izquierdo. Si imprimimos al pist´on un solo movimiento hacia adelante y hacia atr´as, el desplazamiento y las fluctuaciones de presi´ on viajar´an a lo largo del medio.

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En la figura el medio es un l´ıquido o gas en un tubo con una pared r´ıgida en el extremo derecho y un pist´ on m´ ovil en el izquierdo. Si imprimimos al pist´on un solo movimiento hacia adelante y hacia atr´as, el desplazamiento y las fluctuaciones de presi´ on viajar´an a lo largo del medio. En esta ocasi´on, los movimientos de las part´ıculas del medio son en la misma l´ınea en que viaja la onda, y decimos que se trata de una onda longitudinal.

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Los ejemplos tienen tres cosas en com´ un: 1

La perturbaci´on siempre viaja o se propaga por el medio con una rapidez definida llamada rapidez de propagaci´ on o simplemente rapidez de la onda (Usaremos el s´ımbolo v para esta rapidez.).

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Los ejemplos tienen tres cosas en com´ un: 1

La perturbaci´on siempre viaja o se propaga por el medio con una rapidez definida llamada rapidez de propagaci´ on o simplemente rapidez de la onda (Usaremos el s´ımbolo v para esta rapidez.).

2

Segunda, el medio mismo no viaja por el espacio; sus part´ıculas individuales realizan movimientos alrededor de sus posiciones de equilibrio.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

86 / 106

Los ejemplos tienen tres cosas en com´ un: 1

La perturbaci´on siempre viaja o se propaga por el medio con una rapidez definida llamada rapidez de propagaci´ on o simplemente rapidez de la onda (Usaremos el s´ımbolo v para esta rapidez.).

2

Segunda, el medio mismo no viaja por el espacio; sus part´ıculas individuales realizan movimientos alrededor de sus posiciones de equilibrio.

3

Para poner en movimiento cualesquiera de estos sistemas, debemos aportar energ´ıa realizando trabajo mec´anico sobre el sistema.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Los ejemplos tienen tres cosas en com´ un: 1

La perturbaci´on siempre viaja o se propaga por el medio con una rapidez definida llamada rapidez de propagaci´ on o simplemente rapidez de la onda (Usaremos el s´ımbolo v para esta rapidez.).

2

Segunda, el medio mismo no viaja por el espacio; sus part´ıculas individuales realizan movimientos alrededor de sus posiciones de equilibrio.

3

Para poner en movimiento cualesquiera de estos sistemas, debemos aportar energ´ıa realizando trabajo mec´anico sobre el sistema. “Las ondas transportan energ´ıa, pero no materia, de una regi´ on a otra.”

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ondas peri´odicas La mano sacude la cuerda una vez el resultado es un solo pulso que viaja a lo largo de la cuerda. La tensi´ on de la cuerda restablece su forma recta una vez que el pulso ha pasado.(onda transversal)

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ondas peri´odicas La mano sacude la cuerda una vez el resultado es un solo pulso que viaja a lo largo de la cuerda. La tensi´ on de la cuerda restablece su forma recta una vez que el pulso ha pasado.(onda transversal)

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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En particular, suponga que movemos verticalmente la cuerda con un movimiento arm´onico simple (MAS) con amplitud , frecuencia , ω = 2πf , 1 2π T = = . f ω

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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En particular, suponga que movemos verticalmente la cuerda con un movimiento arm´onico simple (MAS) con amplitud , frecuencia , ω = 2πf , 1 2π T = = . f ω Consideremos la siguiente figura.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

88 / 106

En particular, suponga que movemos verticalmente la cuerda con un movimiento arm´onico simple (MAS) con amplitud , frecuencia , ω = 2πf , 1 2π T = = . f ω Consideremos la siguiente figura.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

Tegucigalpa 2016

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Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Un bloque con masa unido a un resorte tiene un movimiento arm´onico simple y produce una onda senoidal que viaja a la derecha por la cuerda.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Un bloque con masa unido a un resorte tiene un movimiento arm´onico simple y produce una onda senoidal que viaja a la derecha por la cuerda. La amplitud de la onda es la misma que la amplitud de la oscilaci´on del resorte. A la distancia entre dos crestas o valles subsecuentes se le llama longitud de onda λ Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Un bloque con masa unido a un resorte tiene un movimiento arm´onico simple y produce una onda senoidal que viaja a la derecha por la cuerda. La amplitud de la onda es la misma que la amplitud de la oscilaci´on del resorte. A la distancia entre dos crestas o valles subsecuentes se le llama longitud de onda λ Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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El patr´on de onda viaja con rapidez constante v y avanza una longitud de onda en el lapso de un periodo T .

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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El patr´on de onda viaja con rapidez constante v y avanza una longitud de onda en el lapso de un periodo T . λ Por tanto, la rapidez de la onda v esta dada por v = , o dado que T 1 f = . T

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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El patr´on de onda viaja con rapidez constante v y avanza una longitud de onda en el lapso de un periodo T . λ Por tanto, la rapidez de la onda v esta dada por v = , o dado que T 1 f = . T v = λf (velocidad en una onda peri´ odica)

Carlos Sosa (Honduras)

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Ejemplo # 1 Un pescador nota que su bote sube y baja peri´ odicamente a causa de las olas en la superficie del agua. El bote tarda 2.5 s en moverse del punto mas alto al mas bajo, una distancia total de 0.62 m. El pescador ve que la distancia entre crestas es de 6.0 m. a ¿Con que rapidez viajan las olas? b ¿Que amplitud tiene una ola? c Si la distancia vertical total recorrida por el bote fuera de 0.30 m, con todos los dem´as datos iguales, como cambiar´ıan sus respuestas a las partes (a) y (b)? d Cabe esperar que el movimiento del bote sea solo vertical? ¿Por que si o por que no?

Carlos Sosa (Honduras)

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Soluci´ on λ 6 = = 1.2 m/s T 5 0.62 b A= = 0.31 m 2 0.30 c A= = 0.15 m 2 d El movimiento es u ´nicamente vertical. a v=

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo # 2 Im´ agenes por ultrasonido. Se llama ultrasonido a las frecuencias m´as arriba de la gama que puede detectar el o´ıdo humano, o sea, mayores que 20 000 Hz. Se pueden usar ondas de ultrasonido para penetrar en el cuerpo y producir im´agenes al reflejarse en las superficies. En una exploraci´on t´ıpica con ultrasonido, las ondas viajan con una rapidez de 1500 m/s. Para obtener una imagen detallada, la longitud de onda no debe ser mayor que 1.0 mm. ¿Qu´e frecuencia se requiere?

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo # 2 Im´ agenes por ultrasonido. Se llama ultrasonido a las frecuencias m´as arriba de la gama que puede detectar el o´ıdo humano, o sea, mayores que 20 000 Hz. Se pueden usar ondas de ultrasonido para penetrar en el cuerpo y producir im´agenes al reflejarse en las superficies. En una exploraci´on t´ıpica con ultrasonido, las ondas viajan con una rapidez de 1500 m/s. Para obtener una imagen detallada, la longitud de onda no debe ser mayor que 1.0 mm. ¿Qu´e frecuencia se requiere? Soluci´ on v 1500 f = = = 1.5 × 106 Hz λ 1 × 10−3

Carlos Sosa (Honduras)

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Utilizaremos una funci´on que describe la posici´ on de cualquier part´ıcula en el medio en cualquier instante (una onda con desplazamiento a la derecha).

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Utilizaremos una funci´on que describe la posici´ on de cualquier part´ıcula en el medio en cualquier instante (una onda con desplazamiento a la derecha). y (x , t) = Acos(kx − ωt)

Carlos Sosa (Honduras)

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Utilizaremos una funci´on que describe la posici´ on de cualquier part´ıcula en el medio en cualquier instante (una onda con desplazamiento a la derecha). y (x , t) = Acos(kx − ωt) donde: k=

Carlos Sosa (Honduras)

2π λ

FISICA 2

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Utilizaremos una funci´on que describe la posici´ on de cualquier part´ıcula en el medio en cualquier instante (una onda con desplazamiento a la derecha). y (x , t) = Acos(kx − ωt) donde: 2π λ Para calcular la velocidad transversal de cualquier part´ıcula en una onda transversal k=

vy (x , t) = ωAsen(kx − ωt)

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Utilizaremos una funci´on que describe la posici´ on de cualquier part´ıcula en el medio en cualquier instante (una onda con desplazamiento a la derecha). y (x , t) = Acos(kx − ωt) donde: 2π λ Para calcular la velocidad transversal de cualquier part´ıcula en una onda transversal k=

vy (x , t) = ωAsen(kx − ωt) donde: v2 =

Carlos Sosa (Honduras)

ω2 k2

FISICA 2

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Ejemplo # 1 Una onda sinusoidal viaja a lo largo de una soga. El oscilador que genera la onda completa 40.0 vibraciones en 30.0 s. Adem´as, dado un m´aximo viaja 425 cm a lo largo de la soga en 10.0 s.¿Cu´al es la longitud de onda de la onda?

Carlos Sosa (Honduras)

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Ejemplo # 1 Una onda sinusoidal viaja a lo largo de una soga. El oscilador que genera la onda completa 40.0 vibraciones en 30.0 s. Adem´as, dado un m´aximo viaja 425 cm a lo largo de la soga en 10.0 s.¿Cu´al es la longitud de onda de la onda? Soluci´ on 40 f = ≈ 1.33 Hz 30 425 v= = 42.5 cm/s 10 42.5 λ= = 31.9 cm 1.33

Carlos Sosa (Honduras)

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Ejemplo # 2 Una onda sinusoidal se describe mediante la funci´ on de onda y = (10.25m)cos(0.30x − 40t) donde x y y est´an en metros y t en segundos.Determine para esta onda a) la amplitud b) la frecuencia angular c) el n´ umero de onda angular d) la longitud de onda e) la rapidez de onda f) la direcci´on de movimiento.

Carlos Sosa (Honduras)

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.Soluci´ on a) A = 10.25 cm b) ω = 40 rad/s c) k = 0.3rad/m 2π 2π = ≈ 20.94m d) λ = k 0.3 e) v = λf = (20.94)(6.37) ≈ 133.39 m/s

Carlos Sosa (Honduras)

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s

Utilizaremos la formula v = Carlos Sosa (Honduras)

F µ FISICA 2

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Ejemplo # 1 ¿Con que tensi´on debe estirarse una cuerda de 2.50 m de longitud masa de 0.120 Kg para que ondas transversales con f=40.0 Hz tengan una longitud de onda de 0.750m?

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo # 1 ¿Con que tensi´on debe estirarse una cuerda de 2.50 m de longitud masa de 0.120 Kg para que ondas transversales con f=40.0 Hz tengan una longitud de onda de 0.750m? Soluci´ son   F 2 2 0.12 =⇒ F = v µ = ((0.750)(40)) = 43.2 N v= µ 2.5

Carlos Sosa (Honduras)

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Ejemplo # 2 Un cord´on de tel´efono de 4.00 m de largo, que tiene una masa de 0.200 kg. Un pulso transversal se produce al sacudir un extremo del cord´on tenso. El pulso hace cuatro viajes de atr´as para adelante a lo largo del cord´on en 0.800 s. ¿Cu´al es la tensi´ on del cord´ on?

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo # 2 Un cord´on de tel´efono de 4.00 m de largo, que tiene una masa de 0.200 kg. Un pulso transversal se produce al sacudir un extremo del cord´on tenso. El pulso hace cuatro viajes de atr´as para adelante a lo largo del cord´on en 0.800 s. ¿Cu´al es la tensi´ on del cord´ on? Soluci´ on (8)(4) v= = 40 m/s 0.8

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo # 2 Un cord´on de tel´efono de 4.00 m de largo, que tiene una masa de 0.200 kg. Un pulso transversal se produce al sacudir un extremo del cord´on tenso. El pulso hace cuatro viajes de atr´as para adelante a lo largo del cord´on en 0.800 s. ¿Cu´al es la tensi´ on del cord´ on? Soluci´ on (8)(4) v= = 40 m/s 0.8 0.2 µ= = 0.05 kg/m 4

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Ejemplo # 2 Un cord´on de tel´efono de 4.00 m de largo, que tiene una masa de 0.200 kg. Un pulso transversal se produce al sacudir un extremo del cord´on tenso. El pulso hace cuatro viajes de atr´as para adelante a lo largo del cord´on en 0.800 s. ¿Cu´al es la tensi´ on del cord´ on? Soluci´ on (8)(4) v= = 40 m/s 0.8 0.2 µ= = 0.05 kg/m s4 F v= =⇒ F = v 2 µ = (16)2 (5 × 10−2 ) N µ

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Energ´ıa del movimiento ondulatorio

Utilizaremos la formula Pmax =

p

F µω 2 A2 s

Pmed =

F µ

(Potencia media onda senoidal en una cuerda)

Carlos Sosa (Honduras)

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Intensidad de las ondas Para ondas que viajan en tres dimensiones, definimos su intensidad (denotada con I) como la rapidez media con que la onda transporta energ´ıa, por unidad de ´area.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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Intensidad de las ondas Para ondas que viajan en tres dimensiones, definimos su intensidad (denotada con I) como la rapidez media con que la onda transporta energ´ıa, por unidad de ´area. Es decir, la intensidad I es la potencia media por unidad de ´area. Por lo regular se mide en watts por metro cuadrado.

Carlos Sosa (Honduras)

FISICA 2

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102 / 106

Intensidad de las ondas Para ondas que viajan en tres dimensiones, definimos su intensidad (denotada con I) como la rapidez media con que la onda transporta energ´ıa, por unidad de ´area. Es decir, la intensidad I es la potencia media por unidad de ´area. Por lo regular se mide en watts por metro cuadrado. I=

Carlos Sosa (Honduras)

P 4πr 2

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Intensidad de las ondas Para ondas que viajan en tres dimensiones, definimos su intensidad (denotada con I) como la rapidez media con que la onda transporta energ´ıa, por unidad de ´area. Es decir, la intensidad I es la potencia media por unidad de ´area. Por lo regular se mide en watts por metro cuadrado. I=

Carlos Sosa (Honduras)

P 4πr 2

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I1 r2 = 22 I2 r1 (ley del inverso de los cuadrados para la intensidad) Carlos Sosa (Honduras)

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Ejemplo # 1 Una soga tensa tiene una masa de 0.180 kg y una longitud de 3.60 m. ¿Qu´e potencia se debe suministrar a la soga para que genere ondas sinusoidales que tengan una amplitud de 0.100m y una longitud de onda de 0.500 m y viajen con una rapidez de 30.0 ms?

Carlos Sosa (Honduras)

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Ejemplo # 2 Desarrollo de energ´ıa. Imagine que efect´ ua mediciones y determina que se est´an propagando ondas sonoras igualmente en todas direcciones desde una fuente puntual y que la intensidad es de 0.026 W/m2 a una distancia de 4.3 m de la fuente. a) Calcule la intensidad a una distancia de 3.1 m de la fuente. b) ¿Cu´anta energ´ıa sonora emite la fuente en una hora si su emisi´on se mantiene constante?

Carlos Sosa (Honduras)

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Ejemplo # 3 Un alambre de piano con masa de 3.00 g y longitud de 80.0 cm se estira con una tensi´on de 25.0 N. Una onda con frecuencia de 120.0 Hz y amplitud de 1.6 mm viaja por el alambre. a) Calcule la potencia media que transporta esta onda. b) ¿Que sucede con la potencia media si se reduce a la mitad la amplitud de la onda?

Carlos Sosa (Honduras)

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