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The Matched Filter Eduardo Nuñez Universidad de las Fuerzas Armadas- ESPE Comunicación y codificación digital Sangolquí - Ecuador Email: [email protected] Abstract – The matched filter is the optimal linear filter for maximizing the signal to noise ratio (SNR) in the presence of additive stochastic noise. Two-dimensional matched filters are commonly used in image processing, e.g., to improve SNR for X-ray pictures. I. INTRODUCCIÓN

En un sistema de comunicaciones digital, en algún instante debe tomarse la decisión si lo que se recibió corresponde a uno u otro símbolo transmitido. Para ello conviene que la relación señal a ruido SNR tome su valor máximo posible a la entrada del demodulador. La decisión debe ser tomada a intervalos periódicos cuyo período está dado por el intervalo de señalización El sistema que permite maximizar esta función es el filtro adaptado (matched filter). Este filtro debe cumplir con la condición de que su función de transferencia sea tal que maximice la señal y se minimice el ruido en el instante en que se toma la decisión [ CITATION Sis10 \l 12298 ].

buscando algo similar a lo que se envió. [ CITATION EEC19 \l 1033 ] 

del

filtro

Figura 1: Representación del filtro casado [ CITATION EEC19 \l 1033 ]

g(t): Señal de entrada bits “1” o “0”. w(t): Ruido gaussiano blanco con media cero y densidad espectral de potencia = No/2.

x ( t )=g ( t )+ w ( t ) , 0 ≤ t ≤ T 



Donde T es un intervalo de observación arbitraria. La función del receptor es detectar el pulso de la señal g(t) de una manera óptima, dada la señal recibida x(t). Para satisfacer este requisito, tenemos que optimizar el diseño del filtro para minimizar los efector del ruido en la salida del filtro, y por lo tanto mejorar la detección del pulso g(t) [ CITATION DEC19 \l 1033 ].



Salida del filtro



II. Marco teórico El filtro casado o filtro adaptado (matched filter) es un filtro lineal óptimo que maximiza la relación señalruido (SNR) en presencia del ruido estocástico aditivo. El filtro casado se usa comúnmente en radares, el cual envía una señal, y nosotros medimos las señales reflejadas,

Representación casado.

y ( t ) =x ( t )∗h ( t ) y ( t ) =[ g ( t ) +w ( t ) ]∗h ( t ) y ( t ) =g ( t )∗h(t)+ w ( t )∗h(t)

( 0)

( 0) ( 0) ( 0)

Donde:

Yg ( t )=g ( t )∗h(t)

( 0)

Yw ( t )=w ( t )∗h (t) Se utilizará la ecuación 6 para encontrar la densidad espectral de potencia del ruido, entonces pasaremos del domino del tiempo a el dominio de la frecuencia para facilitar los cálculos:

Yw ( f )=W ( f ) . H (f ) 2 ( PSD )o=( PSD )i .|H ( f )| 

PSD: Densidad potencial

espectral

de

+∞

S No ( f ) =∫ ( PSD )o df −∞ +∞

S No ( f ) =∫ −∞

Sp = Sn

+∞

No ∫ |H ( f )| df 2 −∞

Se utilizará la ecuación 5 para encontrar la densidad espectral de potencia de la señal, entonces pasaremos del domino del tiempo a el dominio de la frecuencia para facilitar los cálculos:

Yg ( f )=G ( f ) . H (f ) +∞

Yg ( t )=∫ Yg ( f ) e j 2 πft df −∞ +∞

Yg ( t )=∫ G ( f ) . H (f )e j 2 πft df −∞

Entonces el muestreo se realizará cuando t = T, quedando la ecuación de la siguiente manera: +∞

Yg ( T ) =∫ G ( f ) . H ( f ) e j 2 πfT df −∞

Densidad espectral de potencia de la señal: +∞

S p ( f )=|Yg ( T )| =¿ ∫ G ( f ) . H ( f ) e j 2 πfT df |2 −∞



+∞

+∞ 2

Relación señal – ruido (SNR)

( 0)

¿ ∫ f 1 (t ) . f 2 ( t ) d t | ≤ ∫ ¿ f 1 ( t ) | dt . ∫ ¿ f 1 ( t ) |2 dt −∞

2

−∞

−∞

¿

2

2

+∞

2 No |H ( f )| df ∫ 2 −∞

f 1 ( t )=f 2 ( t )

2 No |H ( f )| df 2

+∞

−∞

Para la resolución de la ecuación se utilizará la desigualdad de Schwartz [ CITATION Ber01 \l 1033 ]:

( 0)

Entonces a la ecuación 19 aplicaremos la desigualdad de Schwartz quedándonos lo siguiente [ CITATION Ber01 \l 1033 ]:

Densidad espectral de potencia del ruido:

S No ( f ) =

( 0)

+∞

¿ ∫ G ( f ) . H ( f ) e j2 πfT df |2

+∞

+∞

∫ ¿ G( f ) e

S p −∞ ≤ Sn

j 2 πfT 2

| d f . ∫ ¿ H ( f ) |2 dt

( 0)

−∞ +∞

2 No ∫ |H ( f )| df 2 −∞

S p 2 +∞ ≤ ∫ ¿ G ( f ) e j 2 πfT |2 df Sn No −∞

( 0)

S p 2 +∞ ≤ ¿ G ( f ) |2 df ∫ Sn No −∞

( 0)



Energía de la señal g(t)

+∞

E g= ∫ ¿ G ( f ) |2 df

( 0)

−∞

Entonces la SNR nos queda lo siguiente:

Sp 2 Eg ≤ Sn No

( 0)

Entonces el valor máximo que tiene la SNR es la siguiente:

S N

( )

=

max

2 Eg No

Por lo tanto, la salida máxima (S/N) depende de la energía de la entrada de la señal y de la densidad espectral de la potencia del ruido, no de la forma de onda que se usa [ CITATION Ber01 \l 1033 ]. 

Función de transferencia del filtro

( 0)

H ( f ) =[ S ( f ) e j 2 πfT ]

¿

∞

h ( t )=∫ H ( f ) e j 2 πfT df −∞ ∞

h ( t )=∫ S ( f )¿ e− j2 πfT e j 2 πf t df −∞ ∞

h ( t )=

[∫

−∞ ¿

¿

S (f ) e

j 2 πf ( T−t )

df

]

h ( t )=S (T −t) S¿ ( T −t ) 0 ≤ t ≤ T h ( t )={ 0 otro caso

Figura 2: Receptor óptimo [ CITATION EEC19 \l 1033 ]



El filtro se corresponde con un pulso rectangular de amplitud A y duración Tb explotando la información de sincronización de bits disponible para el receptor.  La salida del filtro casado resultante se muestrea al final de cada intervalo de señalización.  La presencia de ruido de canal w (t) agrega aleatoriedad a la salida del filtro  El valor de la muestra se compara con un umbral preestablecido A en el dispositivo de decisión.  Si se supera el umbral, el receptor emite una decisión a favor del símbolo 1; si no, se toma una decisión a favor del símbolo 0. [ CITATION EEC19 \l 1033 ] Hay dos posibles tipos de error a considerar: - 1. El símbolo 1 se elige cuando realmente se transmitió un 0; nosotros refiérase a este error como un error del primer tipo. - 2. El símbolo 0 se elige cuando realmente se transmitió un 1; nosotros refiérase a este error como un error del segundo tipo. [ CITATION EEC19 \l 1033 ]

Figura 3:Formas de onda asociado con el filtro casado [ CITATION EEC19 \l 1033 ]

Entonces, la respuesta al impulso de un filtro que produce una relación señal a ruido máxima, es el espejo de la imagen de la señal del mensaje s(t), retrasado por el símbolo de duración T [ CITATION Ber01 \l 1033 ]. Nota: Tenga en cuenta que, al obtener el resultado anterior, la única consideración realizada fue w(t), que es ruido blanco con densidad espectral media y de potencia cero igual a No/2 [ CITATION DEC19 \l 1033 ].

III. CONCLUSIONES 

El filtro adaptado no trata de preservar la forma de onda, sino lo que se desea es que, en el instante de decisión, la SNR sea máxima, es decir, que minimice el ruido en el instante en que se toma la decisión.



El filtro adaptado depende de la

energía de la entrada de la señal y de la densidad espectral de la potencia del ruido.



Por facilidad se tomo al ruido w(t) como un ruido blanco con densidad espectral media y de potencia cero igual a No/2.

IV. REFERENCIAS [1]

«Sistemas de telecomunicaciones,» 2010. [En línea]. Available:

[2] [3]

[4]

https://www.uv.es/hertz/hertz/Docencia/tr abajos/Tema6.pdf. [Último acceso: 5 Octubre 2019]. «EECAD,» 2019. [En línea]. Available: https://ee.eng.usm.my/eeacad/mandeep/E EE436/chp%203.pdf. «DECOM-FEEC-UNICAMP,» 2019. [En línea]. Available: http://www.decom.fee.unicamp.br/~baldin i/EE881/Cap6.pdf. S. Bernard, Digital Comunnications, 2001.