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Corriente El´ ectrica y Circuitos el´ ectricos DC Jean Lozano Universidad Nacional de Ingenieria

May 23, 2019

´Indice

1 Corriente El´ ectrica 2 Ley de Ohm 3 Circuitos de Corriente Directa (DC) 4 Reglas de Kirchoff para circuitos 5 Circuitos RC de corriente directa

Corriente El´ ectrica • La corriente el´ ectrica es el flujo de carga el´ectrica.

Corriente El´ ectrica • La corriente el´ ectrica es el flujo de carga el´ectrica. • Consideremos un conjunto de cargas + que se mueven

perpendicularmente a la superficie A como se muestra en la figura.

Corriente El´ ectrica • La corriente el´ ectrica es el flujo de carga el´ectrica. • Consideremos un conjunto de cargas + que se mueven

perpendicularmente a la superficie A como se muestra en la figura.

• La corriente el´ ectrica ser´a definida como la cantidad de carga

∆Q que pasa a trav´es de una superficie en un intervalo de tiempo ∆t. ∆Q Iavg = ∆t

Corriente El´ ectrica • La corriente el´ ectrica es el flujo de carga el´ectrica. • Consideremos un conjunto de cargas + que se mueven

perpendicularmente a la superficie A como se muestra en la figura.

• La corriente el´ ectrica ser´a definida como la cantidad de carga

∆Q que pasa a trav´es de una superficie en un intervalo de tiempo ∆t. ∆Q Iavg = ∆t • En el SI la unidad de la corriente es el amperio (A), donde 1A=1C/s

Corriente El´ ectrica • En el l´ımite ∆t → 0, la corriente instantanea est´ a dado por:

I =

dQ dt

Corriente El´ ectrica • En el l´ımite ∆t → 0, la corriente instantanea est´ a dado por:

dQ dt • En un material conductor, las cargas que se mueven son los electrones. En l´ıquidos y gases usualmente se mueven ´atomos o mol´eculas ionizadas. En los materiales no-conductores o aislantes no hay flujo de carga. I =

Corriente El´ ectrica • En el l´ımite ∆t → 0, la corriente instantanea est´ a dado por:

dQ dt • En un material conductor, las cargas que se mueven son los electrones. En l´ıquidos y gases usualmente se mueven ´atomos o mol´eculas ionizadas. En los materiales no-conductores o aislantes no hay flujo de carga. • El flujo de carga tiene una direcci´ on. Sin embargo, se introduce la convenci´on de que en todos los casos la direcci´ on de la corriente corresponde a la direcci´on en que las cargas positivas fluir´ıan dentro del material. I =

Corriente El´ ectrica • En el l´ımite ∆t → 0, la corriente instantanea est´ a dado por:

dQ dt • En un material conductor, las cargas que se mueven son los electrones. En l´ıquidos y gases usualmente se mueven ´atomos o mol´eculas ionizadas. En los materiales no-conductores o aislantes no hay flujo de carga. • El flujo de carga tiene una direcci´ on. Sin embargo, se introduce la convenci´on de que en todos los casos la direcci´ on de la corriente corresponde a la direcci´on en que las cargas positivas fluir´ıan dentro del material. • En un conductor por ejemplo I =

Densidad de corriente el´ ectrica • La corriente es una magnitud macrosc´ opica pero es

consecuencia del movimiento microsc´opico de las cargas.

Densidad de corriente el´ ectrica • La corriente es una magnitud macrosc´ opica pero es

consecuencia del movimiento microsc´opico de las cargas.

• Sea q la carga de cada portador de carga y n el n´ umero de

portadores por unidad de volumen. La carga total en una peque˜ na secci´on cil´ındrica de longitud ∆x ser´a: ∆Q = q(nA∆x)

Densidad de corriente el´ ectrica • La corriente es una magnitud macrosc´ opica pero es

consecuencia del movimiento microsc´opico de las cargas.

• Sea q la carga de cada portador de carga y n el n´ umero de

portadores por unidad de volumen. La carga total en una peque˜ na secci´on cil´ındrica de longitud ∆x ser´a: ∆Q = q(nA∆x) • Supongamos que cada portador se mueve con velocidad vd . ∆Q Iavg = = nqvd A ∆t

Densidad de corriente el´ ectrica • La velocidad vd asignada a cada portador se conoce como

velocidad de arrastre y es la velovidad promedio de todos los portadores de carga dentro de un material cuando se le aplica un campo el´ectrico externo.

Densidad de corriente el´ ectrica • La velocidad vd asignada a cada portador se conoce como

velocidad de arrastre y es la velovidad promedio de todos los portadores de carga dentro de un material cuando se le aplica un campo el´ectrico externo. • En un conductor por ejemplo, el movimiento de los electrones es completamente err´atico.

Densidad de corriente el´ ectrica • La velocidad vd asignada a cada portador se conoce como

velocidad de arrastre y es la velovidad promedio de todos los portadores de carga dentro de un material cuando se le aplica un campo el´ectrico externo. • En un conductor por ejemplo, el movimiento de los electrones es completamente err´atico.

• Se define la densidad de corriente ~J como.

~J = nq~vd

Densidad de corriente el´ ectrica • La velocidad vd asignada a cada portador se conoce como

velocidad de arrastre y es la velovidad promedio de todos los portadores de carga dentro de un material cuando se le aplica un campo el´ectrico externo. • En un conductor por ejemplo, el movimiento de los electrones es completamente err´atico.

• Se define la densidad de corriente ~J como.

~J = nq~vd • Note ud. que ~J y ~vd tienen la misma direcci´ on si el portador

es + y direcci´on opuesta si el portador es -

Modelo de Drude para e libres en un metal • En funci´ on a la densidad de corriente ~J, la intensidad de

corriente el´ectrica I se calcula como: Z dq ~ I = = ~J · d A dt S

Modelo de Drude para e libres en un metal • En funci´ on a la densidad de corriente ~J, la intensidad de

corriente el´ectrica I se calcula como: Z dq ~ I = = ~J · d A dt S • Hallemos la velocidad de arrastre ~vd en un metal.

Modelo de Drude para e libres en un metal • En funci´ on a la densidad de corriente ~J, la intensidad de

corriente el´ectrica I se calcula como: Z dq ~ I = = ~J · d A dt S • Hallemos la velocidad de arrastre ~vd en un metal. • Los el´ ectrones dentro de un metal experimentan fuerza el´ectrica: e E~ ~ ~ Fe = −e E ⇒ ~a = − me

Modelo de Drude para e libres en un metal • En funci´ on a la densidad de corriente ~J, la intensidad de

corriente el´ectrica I se calcula como: Z dq ~ I = = ~J · d A dt S • Hallemos la velocidad de arrastre ~vd en un metal. • Los el´ ectrones dentro de un metal experimentan fuerza el´ectrica: e E~ ~ ~ Fe = −e E ⇒ ~a = − me • Ver https://www.youtube.com/watch?v=dyX5I_io7bg

Modelo de Drude para e libres en un metal • En funci´ on a la densidad de corriente ~J, la intensidad de

• •

• •

corriente el´ectrica I se calcula como: Z dq ~ I = = ~J · d A dt S Hallemos la velocidad de arrastre ~vd en un metal. Los el´ectrones dentro de un metal experimentan fuerza el´ectrica: e E~ ~ ~ Fe = −e E ⇒ ~a = − me Ver https://www.youtube.com/watch?v=dyX5I_io7bg Si consideramos que la velocidad de un electr´on justo despu´es de una colisi´on es ~vi . La velocidad del electr´on justo antes de la siguiente colisi´on ser´a: e E~ ~vf = ~vi + ~at = ~vi − t me

Modelo de Drude para e libres en un metal • Si promediamos la expresi´ on anterior para todos los

portadores, tendremos: e E~ h~vf i = h~vi i − hti me

Modelo de Drude para e libres en un metal • Si promediamos la expresi´ on anterior para todos los

portadores, tendremos: e E~ h~vf i = h~vi i − hti me • vd = h~ vf i es la velocidad de arrastre, h~vi i = 0 ya que despu´es de la colisi´on la direcci´on de ~vi es completamente aleatoria para todos los portadores y el promedio ser´ıa 0. τ = hti es el tiempo promedio entre colisi´on y colisi´on y es conocido como mean free time. e E~ ~vd = − τ me

Modelo de Drude para e libres en un metal • Si promediamos la expresi´ on anterior para todos los

portadores, tendremos: e E~ h~vf i = h~vi i − hti me • vd = h~ vf i es la velocidad de arrastre, h~vi i = 0 ya que despu´es de la colisi´on la direcci´on de ~vi es completamente aleatoria para todos los portadores y el promedio ser´ıa 0. τ = hti es el tiempo promedio entre colisi´on y colisi´on y es conocido como mean free time. e E~ ~vd = − τ me • La densidad de corriente quedar´ a como: 2τ ~E e ne ~J = −ne~vd = −ne(− τ ) = ~E me me

Ley de Ohm microsc´ opico

• Aquellos materiales donde la densidad de corriente ~J es

linealmente dependiente del campo externo aplicado ~E se llamam materiales Ohmicos. 2 ~J = ne τ ~E = σ~E me

ne 2 τ donde σ = es la conductividad del material. me

Ley de Ohm macrosc´ opico • Obtengamos una relaci´ on macrosc´opica para conductores

ohmicos. Para esto, consideremos un segmento de l´ınea de un conductor.

Ley de Ohm macrosc´ opico • Obtengamos una relaci´ on macrosc´opica para conductores

ohmicos. Para esto, consideremos un segmento de l´ınea de un conductor. • Supongamos que una diferencia de potencial ∆V = Vb − Va es aplicado entre los extremos del alambre creando as´ı un campo el´ectrico ~E y una corriente I. Si asumimos que ~E es uniforme.

Entonces:

Z Vb − Va = b

a

~E.d~l = EL

Ley de Ohm macrosc´ opico • Para materiales Ohmicos, la densidad de corriente est´ a dado

por J = σE = σ(

I ∆V )= L A

Ley de Ohm macrosc´ opico • Para materiales Ohmicos, la densidad de corriente est´ a dado

por J = σE = σ(

I ∆V )= L A

• Finalmente tenemos:

∆V = donde R =

L L J = ( )I = RI σ σA

L ∆V = es la resistencia del conductor I σA

Ley de Ohm macrosc´ opico • Para materiales Ohmicos, la densidad de corriente est´ a dado

por J = σE = σ(

I ∆V )= L A

• Finalmente tenemos:

∆V =

L L J = ( )I = RI σ σA

L ∆V = es la resistencia del conductor I σA • La unidad en SI para R es el ohm(Ω): 1Ω = 1V /A donde R =

Ley de Ohm macrosc´ opico • Para materiales Ohmicos, la densidad de corriente est´ a dado

por J = σE = σ(

I ∆V )= L A

• Finalmente tenemos:

∆V =

L L J = ( )I = RI σ σA

L ∆V = es la resistencia del conductor I σA • La unidad en SI para R es el ohm(Ω): 1Ω = 1V /A • Se define la resistividad del material como: me E ∆V /L RA 1 ρ= = 2 = = = σ ne τ J I /A L donde R =

Ley de Ohm macrosc´ opico • Para materiales Ohmicos, la densidad de corriente est´ a dado

por J = σE = σ(

I ∆V )= L A

• Finalmente tenemos:

∆V =

L L J = ( )I = RI σ σA

L ∆V = es la resistencia del conductor I σA • La unidad en SI para R es el ohm(Ω): 1Ω = 1V /A • Se define la resistividad del material como: me E ∆V /L RA 1 ρ= = 2 = = = σ ne τ J I /A L donde R =

• La resistividad de un material var´ıa con la temperatura:

ρ = ρ0 [1 + α(T − T0 )]

Resistividad de algunos materiales

Ejercicios 1

Una corriente I=200mA fluye en el conductor mostrado. ¿cu´al es la magnitud de la densidad de corriente?

2

Dos resistencias est´an hechas del mismo material pero con diferentes dimensiones como se muestra. La corriente fluye en las direcciones mostradas. Si el resistor de la izquierda tiene una resistencia de 1.00Ω ¿cu´al ser´a la resistencia del resistor de la derecha?

+ ejercicios 1

De acuerdo a los valores de resistividad dado en clase para algunos materiales, indique V o F. • 1m de un alambre de Al tiene mayor resistencia que 1m de un

alambre de Cu • La plata tiene menor conductividad que el cobre • Un cable de cobre de 0.5mm de di´ ametro y 1km de largo tiene mayor resistencia que un cable de plata de 1mm de di´ametro y 0.5km de largo. • Si duplicas la longitud de un alambre, duplicas su resistividad 2

El objetivo de este problema es determinar cuanto tiempo le toma llegar a un electr´on desde la bater´ıa de un carro hasta el motor al encender el carro. Asuma que la corriente que fluye desde la bater´ıa es 115 A, y que los electrones viajan a trav´es de un cable de Cu de 85.5cm y ´area transversal 31.2m2 • Cu´ al es la densidad de corriente en el cable • Cu´ al ser´a la velocidad de arrastre de los electrones si

n = 8.49 × 1028 e/m3 • Cuantos minutos le toma a un el´ ectron que sale de la beter´ıa llegar hasta el motor.

+Ejercicios Responda ordenadamente las siguientes preguntas: 1

Un alambre de 5.8m de largo y 2mm de di´ametro conduce una corriente de 750mA cuando se aplican 22.0mV a sus extremos. Si la velocidad de arrastre es de 1.7 × 10−5 m/s, determine: a) la resistencia R del alambre, b) la resistividad ρ y la conductividad σ, c) la densidad de corriente j, d) el campo el´ectrico dentro del alambre y e)el n´ umero n de electrones l´ıbres por unidad de volumen.

2

Un cable de transmisi´on de 3000 km de largo consiste de 6 cables de cobre cada uno de di´ametro 0.73mm. Calcular la resistencia del cable de transmisi´on.

+ ejercicios 1

La resistividad del agua de mar es aproximadamente 25Ω.cm. Los portadores de carga son los iones Na+ y Cl − y de cada uno hay aproximadamente 3 × 102 0/cm3 . Si llenamos un tubo pl´astico de 2m de longitud con agua de mar y le aplicamos una diferencia de potencial de 12 V usando electrodos en los extremos del tubo. ¿cu´al ser´a la velocidad de arrastre resultante de los iones en cm/s? Rpta: 2.5 × 10−5

2

En un punto alto de la atm´osfera de la Tierra se encuentran en movimiento iones de He 2+ con una concentraci´on de 2.8 × 1012 /m3 hacia el norte con una rapidez de 2 × 106 m/s. Tambi´en iones de O2− con una concentraci´on de 7.0 × 1011 /m3 se desplazan hacia el sur con una rapidez de 6.2 × 106 m/s. Determine la magnitud y la direcci´on de la densidad de corriente ¯j.

+ejercicios 1

Considere un material de resistividad ρ en forma de un cono truncado de longitud h, radios a y b como se muestra en la figura. Asumiendo que la corriente se distribuye uniformemente a trav´es de la secci´on tranversal del cono hallar su resistencia.

Circuitos de Corriente Directa (DC) • Un circuito el´ ectrico es la interconexi´on de fuentes de energ´ıa

el´ectrica y cargas como resistencias (termas el´ectricas, l´amparas de luz), motores, etc.

Circuitos de Corriente Directa (DC) • Un circuito el´ ectrico es la interconexi´on de fuentes de energ´ıa

el´ectrica y cargas como resistencias (termas el´ectricas, l´amparas de luz), motores, etc. • A las partes del circuito se les llama elementos del circuito y

estos pueden conectarse entre si en serie o paralelo.

Circuitos de Corriente Directa (DC) • Un circuito el´ ectrico es la interconexi´on de fuentes de energ´ıa

el´ectrica y cargas como resistencias (termas el´ectricas, l´amparas de luz), motores, etc. • A las partes del circuito se les llama elementos del circuito y

estos pueden conectarse entre si en serie o paralelo.

• Cuando dos elementos de circuito est´ an en paralelo la

diferencia de potencial a trav´es de ellos es la misma.

Circuitos de Corriente Directa (DC) • Un circuito el´ ectrico es la interconexi´on de fuentes de energ´ıa

el´ectrica y cargas como resistencias (termas el´ectricas, l´amparas de luz), motores, etc. • A las partes del circuito se les llama elementos del circuito y

estos pueden conectarse entre si en serie o paralelo.

• Cuando dos elementos de circuito est´ an en paralelo la

diferencia de potencial a trav´es de ellos es la misma. • Cuando dos elementos de circuito est´ an en serie la corriente a

trav´es de ellos es la misma

Circuito el´ ectricos • Para analizar circuitos el´ ectricos es conveniente representar los

elementos del circuito mediante s´ımbolos

Circuito el´ ectricos • Para analizar circuitos el´ ectricos es conveniente representar los

elementos del circuito mediante s´ımbolos

• Para construir un circuito debemos conectar entre si los

elementos mediante cables conductores. Asumiremos en este curso que los cables conductores tienen una resistencia muy peque˜ na por lo tanto el potencial el´ectrico en cualquier punto de un mismo cable conductor es constante.

Circuitos el´ ectricos • En la siguiente figura se muestra un circuito real y su

diagrama de circuito asociado

Circuitos el´ ectricos • En la siguiente figura se muestra un circuito real y su

diagrama de circuito asociado

• Los puntos a,b,c tienen el mismo potencial que el terminal

positivo de la bater´ıa

Circuitos el´ ectricos • En la siguiente figura se muestra un circuito real y su

diagrama de circuito asociado

• Los puntos a,b,c tienen el mismo potencial que el terminal

positivo de la bater´ıa • Los puntos e,f tienen el mismo potencial que el terminal negativo de la bater´ıa

Circuitos el´ ectricos • Al punto de uni´ on de dos elementos de circuito le llamaremos

nodo

Circuitos el´ ectricos • Al punto de uni´ on de dos elementos de circuito le llamaremos

nodo • Llamaremos rama del circuito a los cables y elementos de

circuito que hay entre dos nodos.

Circuitos el´ ectricos • Al punto de uni´ on de dos elementos de circuito le llamaremos

nodo • Llamaremos rama del circuito a los cables y elementos de

circuito que hay entre dos nodos. • Solo cuando un circuito est´ a cerrado fluye corriente a trav´es

de este. Cuando el circuito est´a abierto no hay corriente.

Circuitos el´ ectricos • Al punto de uni´ on de dos elementos de circuito le llamaremos

nodo • Llamaremos rama del circuito a los cables y elementos de

circuito que hay entre dos nodos. • Solo cuando un circuito est´ a cerrado fluye corriente a trav´es

de este. Cuando el circuito est´a abierto no hay corriente. • ¿qu´ e es el corto circuito?

Circuitos el´ ectricos • Al punto de uni´ on de dos elementos de circuito le llamaremos

nodo • Llamaremos rama del circuito a los cables y elementos de

circuito que hay entre dos nodos. • Solo cuando un circuito est´ a cerrado fluye corriente a trav´es

de este. Cuando el circuito est´a abierto no hay corriente. • ¿qu´ e es el corto circuito? • Para evitar da˜ nos en los elementos de circuito cuando ocurra

un corto circuito se usa fusibles o circuit breaker colocados en serie.

Circuitos el´ ectricos • Al punto de uni´ on de dos elementos de circuito le llamaremos

nodo • Llamaremos rama del circuito a los cables y elementos de

circuito que hay entre dos nodos. • Solo cuando un circuito est´ a cerrado fluye corriente a trav´es

de este. Cuando el circuito est´a abierto no hay corriente. • ¿qu´ e es el corto circuito? • Para evitar da˜ nos en los elementos de circuito cuando ocurra

un corto circuito se usa fusibles o circuit breaker colocados en serie. • Cuando se analiza circuitos el´ ectricos, un nodo ser´a elegido

como referencia y ser´a llamado nodo tierra o nodo com´ un. A este nodo usualmente se le asigna voltaje cero.

Bater´ıas: Fuerza Electromotr´ız • Para que fluya corriente en un circuito cerrado debe haber un

elemento que entregue energ´ıa el´ectrica al circuito. Esta fuente de energ´ıa ser´a conocida como fuerza electromotr´ız o fem.

Bater´ıas: Fuerza Electromotr´ız • Para que fluya corriente en un circuito cerrado debe haber un

elemento que entregue energ´ıa el´ectrica al circuito. Esta fuente de energ´ıa ser´a conocida como fuerza electromotr´ız o fem. • Ejemplos de fem son: Bater´ıas, celdas solares, termocuplas,

etc.

Bater´ıas: Fuerza Electromotr´ız • Para que fluya corriente en un circuito cerrado debe haber un

elemento que entregue energ´ıa el´ectrica al circuito. Esta fuente de energ´ıa ser´a conocida como fuerza electromotr´ız o fem. • Ejemplos de fem son: Bater´ıas, celdas solares, termocuplas,

etc. • Las fuentes de fem son como bombas que empujan y llevan

las cargas el´ectricas desde puntos de menor potencial a puntos de mayor potencial.

Bater´ıas: Fuerza Electromotr´ız • Para que fluya corriente en un circuito cerrado debe haber un

elemento que entregue energ´ıa el´ectrica al circuito. Esta fuente de energ´ıa ser´a conocida como fuerza electromotr´ız o fem. • Ejemplos de fem son: Bater´ıas, celdas solares, termocuplas,

etc. • Las fuentes de fem son como bombas que empujan y llevan

las cargas el´ectricas desde puntos de menor potencial a puntos de mayor potencial. • El trabajo por unidad de carga que realiza la fem para mover

dicha unidad hacia puntos de mayor potencial est´a dado por: ε=

dW dq

Bater´ıas: Fuerza Electromotr´ız • Para que fluya corriente en un circuito cerrado debe haber un

elemento que entregue energ´ıa el´ectrica al circuito. Esta fuente de energ´ıa ser´a conocida como fuerza electromotr´ız o fem. • Ejemplos de fem son: Bater´ıas, celdas solares, termocuplas,

etc. • Las fuentes de fem son como bombas que empujan y llevan

las cargas el´ectricas desde puntos de menor potencial a puntos de mayor potencial. • El trabajo por unidad de carga que realiza la fem para mover

dicha unidad hacia puntos de mayor potencial est´a dado por: ε=

dW dq

• La unidad en el SI de ε es el volt (V)

Bater´ıas: Fuerza Electromotr´ız • Consideremos un circuito simple que consite de una bater´ıa

como fuente fem y una resistencia

Bater´ıas: Fuerza Electromotr´ız • Consideremos un circuito simple que consite de una bater´ıa

como fuente fem y una resistencia

• Asumiendo que la bater´ıa no tiene resistencia interna, la

diferencia de potencial entre el terminal positivo y negativo de la bater´ıa ser´a ε.

Bater´ıas: Fuerza Electromotr´ız • Consideremos un circuito simple que consite de una bater´ıa

como fuente fem y una resistencia

• Asumiendo que la bater´ıa no tiene resistencia interna, la

diferencia de potencial entre el terminal positivo y negativo de la bater´ıa ser´a ε. • Para hallar la corriente en el circuito usaremos el hecho de que el trabajo que realiza la fuerza el´ectrica al mover una carga en una trayectoria cerrada es 0. I W = −∆U = −q E ·~d~s = 0

Bater´ıa sin resistencia interna • Sea el punto a el inicio de nuestro recorrido.

I •

E ·~d~s = 0 ⇒

X

∆Vi = 0. Es decir la suma de las caidas

o incrementos de potencial a lo largo del circuito considerado ser´a 0. • Cuando cruzamos la bater´ıa en sentido antihorario, el potencial se incrementa en ε. Al cruzar la resistencia hay una caida de potencial de IR (en la resistencia la energ´ıa el´ectrica potencial es convertida en energ´ıa t´ermica). Estamos considerando que los cables no tienen resistencia apreciable. ε ε − IR = 0 ⇒ I = R

Bater´ıa con resistencia interna • Una bater´ıa m´ as real ser´a:

• Tendremos

ε R +r • La potencia o la raz´ on a la que la fem entrega energ´ıa ser´a: ε − Ir − IR = 0 ⇒ I =

P = I ε = I (IR + Ir ) = I 2 R + I 2 r La potencia que entrega la fuente es igual a la suma de potencia que consume cada una de las cargas.

Resistencias en Serie • Por dos resistencias en serie fluye la misma corriente y ambas

resistencias pueden ser reemplazadas por una sola resistencia equivalente.

∆V = IR1 + IR2 = I (R1 + R2 ) = I (Req ) ⇒ Req = R1 + R2 • Generalizando:

Req = R1 + R2 + ... =

N X i=1

Ri

Resistencias en Paralelo • Por dos resistencias en paralelo habr´ a la misma diferencia de

potencial y ambas resistencias pueden ser reemplazadas por una sola resistencia equivalente.

En el nodo a la corriente se divide en I1 y I2 . Cada resistencia obedece la ley de Ohm ∆V = I1 R1 y ∆V = I2 R2 . La corriente que entra a un nodo tiene que ser la misma que sale del nodo. ∆V ∆V 1 1 1 I = I1 + I2 = + = ∆V ( + ) = ∆V R1 R2 R1 R2 Req • Generalizando: N X 1 1 1 1 = + + ...+ = Req R1 R2 Ri i=1

Capacitores en paralelo • Suponga que tiene dos capacitores C1 y C2 . Estos capacitores

se conectan en paralelo con una bater´ıa tal como se muestra en la figura.

Capacitores en paralelo • Suponga que tiene dos capacitores C1 y C2 . Estos capacitores

se conectan en paralelo con una bater´ıa tal como se muestra en la figura.

• La diferencia de potencial |∆V | es la misma en cada

capacitor. Entonces C1 =

Q1 , |∆V |

C2 =

Q2 |∆V |

Capacitores en paralelo • Suponga que tiene dos capacitores C1 y C2 . Estos capacitores

se conectan en paralelo con una bater´ıa tal como se muestra en la figura.

• La diferencia de potencial |∆V | es la misma en cada

capacitor. Entonces C1 =

Q1 , |∆V |

C2 =

Q2 |∆V |

• Los dos capacitores pueden ser reemplzados por un solo

capacitor equivalente

Capacitores en paralelo • La carga es compartida por los dos capacitores. Luego, la

carga del capacitor equivalente deber´a ser Q = Q1 + Q2 = C1 |∆V |+C2 |∆V |= (C1 + C2 )|∆V |

Capacitores en paralelo • La carga es compartida por los dos capacitores. Luego, la

carga del capacitor equivalente deber´a ser Q = Q1 + Q2 = C1 |∆V |+C2 |∆V |= (C1 + C2 )|∆V | • La capacitancia equivalente estar´ a dada por:

Ceq =

Q = C1 + C2 |∆V |

Capacitores en paralelo • La carga es compartida por los dos capacitores. Luego, la

carga del capacitor equivalente deber´a ser Q = Q1 + Q2 = C1 |∆V |+C2 |∆V |= (C1 + C2 )|∆V | • La capacitancia equivalente estar´ a dada por:

Ceq =

Q = C1 + C2 |∆V |

• Si tuvieramos N capacitores en paralelo. La capacitancia

equivalente ser´a Ceq = C1 + C2 + C3 + ... + CN =

N X i=1

Ci

Capacitores en serie • Suponga dos capacitores de capacidad C1 Y C2 inicialmente

descargados. Estos dos capacitores ser´an conectados en serie como se muestra en la figura.

Capacitores en serie • Suponga dos capacitores de capacidad C1 Y C2 inicialmente

descargados. Estos dos capacitores ser´an conectados en serie como se muestra en la figura.

• El lado izquierdo del capacitor 1 est´ a conectado al borne o

terminal positivo de la bater´ıa, perder´a electrones y quedar´a con carga +Q. El lado derecho del capacitor 2 gana los electrones del capacitor 1 y quedar´a con carga -Q. ¿que hay de las placas interiores?

Capacitores en serie • Suponga dos capacitores de capacidad C1 Y C2 inicialmente

descargados. Estos dos capacitores ser´an conectados en serie como se muestra en la figura.

• El lado izquierdo del capacitor 1 est´ a conectado al borne o

terminal positivo de la bater´ıa, perder´a electrones y quedar´a con carga +Q. El lado derecho del capacitor 2 gana los electrones del capacitor 1 y quedar´a con carga -Q. ¿que hay de las placas interiores? • La diferencia de potencial en cada capacitor ser´ a: Q Q |∆V1 |= , |∆V2 |= C1 C2

Capacitores en serie • Notemos que

|∆V |= |∆V1 |+|∆V2 |=

Q Q 1 1 + = Q( + ) C1 C2 C1 C2

Capacitores en serie • Notemos que

|∆V |= |∆V1 |+|∆V2 |=

Q Q 1 1 + = Q( + ) C1 C2 C1 C2

• Estos 2 capacitores pueden ser reemplazados por un solo

capacitor equivalente donde: 1 1 1 = + Ceq C1 C2

Capacitores en serie • Notemos que

|∆V |= |∆V1 |+|∆V2 |=

Q Q 1 1 + = Q( + ) C1 C2 C1 C2

• Estos 2 capacitores pueden ser reemplazados por un solo

capacitor equivalente donde: 1 1 1 = + Ceq C1 C2 • La generalizaci´ on para un conjunto de N capacitores en serie

es:

N

X 1 1 1 1 1 = + + ... + = Ceq Q1 Q2 CN Ci i=1

Aplicaci´ on de capacitores A variable air capacitor has two sets of parallel plates. One set of plates is fixed (“stator”), and the other set of plates is attached to a shaft that can be rotated (“rotor”). By turning the shaft, the cross-sectional area in the overlap of the plates can be changed; therefore, the capacitance of this system can be tuned to a desired value.

Capacitor tuning has applications in any type of radio transmission and in receiving radio signals from electronic devices. Any time you tune your car radio to your favorite station, think of capacitance.

Ejercicios 1

Halla la capacitancia equivalente de los siguientes circuitos

Primera ley de Kirchoff: Ley de Corrientes (KCL) En un nodo donde se juntan varias ramas del circuito. La suma de las corrientes que entran al nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del nodo. Esto es debido al principicio de conservaci´on de la carga ya que en el nodo la carga no se crea ni se destruye X X Iin = Iout Como ejemplo:

I1 = I2 + I3

Segunda ley de Kirchoff: Ley de Voltajes (KVL) La suma de las caidas o subidas de voltaje a trav´es de los elementos de circuito que forman un circuito cerrado es cero. Esto debido al principio de conservaci´on de la energ´ıa. X ∆V = 0 closedloop

Las reglas para determinar ∆V a trav´es de una resistencia o bater´ıa cuando se fija la direcci´on de recorrido son:

Segunda ley de Kirchoff: Ley de Voltajes (KVL) • Recuerde que la elecci´ on de la direcci´on del recorrido la elige

usted de manera arbitraria. • Como primer ejemplo analizemos el circuito conocido como divisor de voltaje

Vin − IR1 − IR2 = 0 ⇒ I = • El voltaje Vout se puede controlar

Vout =

R2 Vin R1 + R2

Vin R1 + R2

Ejercicio El circuito mostrado consiste de 4 resistencias diferentes y una bater´ıa.

• Considere la malla formada por la bater´ıa, R1 y R3 y use KVL

considerando un recorrido antihorario. • Considere la malla formada por R1 , R3 y R4 y aplique KVL

considerando un recorrido horario.

Ejercicio Cu´al es la corriente en cada rama de los siguientes circuitos?

Carga de un capacitor • Consideremos el circuito mostrado en la figura. Inicialmente el

capacitor est´a descargado y se procede a cerrar el interruptor (q(t = 0) = 0)

• Ni bien se cierra el interruptor la carga empieza a fluir y hay

ε R • Conforme el capacitor empieza a cargarse el voltaje a trav´ es de este ser´a: q(t) VC (t) = C corriente en el circuito I (t = 0) =

Carga de un capacitor • Reglas de Kirchoff para capacitores

• Aplicando estas reglas al circuito RC tendremos.

q dq R− =0 dt C • La corriente en el circuito va disminuyendo en el tiempo conforme se va cargando el capacitor. • Cuando se alcanza la carga m´ axima Q del capacitor, la corriente en el circuito ser´a 0. • Resolvamos la ecuaci´ on: dq dt =− ⇒ q(t) = C ε(1 − e −t/RC ) = Q(1 − e −t/RC ) q − Cε RC ε − VC (t) − I (t)R = 0 ⇒ ε −

Carga de un capacitor • La carga m´ axima del capacitor es Q = C ε para t = ∞. • La corriente en el circuito estar´ a dado por:

dq ε = e −t/RC = I0 e −t/RC dt R • Grafiquemos la carga q(t) y la corriente I(t) I (t) =

• El voltaje en el capacitor estar´ a dado por:

VC (t) =

q(t) = ε(1 − e −t/RC ) C

Descarga de un capacitor • Consideremos el circuito mostrado. Inicialmente el circuito

est´a abierto y el capacitor est´a con cierta carga Q. En t=0 se cierra el circuito

• Ni bien se cierra el circuito habr´ a corriente en el circuito y el

capacitor empezar´a a descargarse. I = − • Aplicando KVL tendremos:

dq dt

q q dq dq −dt − IR = 0 ⇒ + R =0⇒ = C C dt q RC

Descarga de un capacitor • La carga en el capacitor estar´ a dado por:

q(t) = Qe −t/RC • El voltaje en el capacitor estar´ a dado por:

q(t) Q = e −t/RC C C • La corriente el Circuito estar´ a dado por: Q −t/RC dq = e I =− dt RC • Grafiquemos el voltaje en el capacitor y la corriente VC (t) =

Resumen para aplicar Leyes de Kirchoff

+Ejercicios

1

En cada uno de los circuitos mostrado en la figura (paralelo y serie).

• Halle la potencia entregada a cada resistor • Muestre que la suma de las potencias consumidas por cada

resistor es igual a la potencia entregada por la bater´ıa • ¿Cu´ al de las configuraciones usa menos potencia?

+Ejercicios 1

En el siguiente circuito. Determine la potencia que consume cada resistor.

2

En el siguiente circuito. Halle la corriente a trav´es de cada resistencia.

+Ejercicios 1

En el circuito mostrado en la figura, suponga que el interruptor estuvo abierto un largo tiempo y luego se cierra repentinamente.

• ¿Cu´ al es la constante de tiempo τ antes de cerrar el

interruptor? • ¿Cu´ al es la constante de tiempo τ luego de cerrar el interruptor? • Halle la corriente en el interruptor en funci´ on del tiempo luego de que se cierre el interruptor.

+Ejercicios 1

En el siguiente circuito considere que ε = 40V , R1 = 8.0Ω, R2 = 6.0Ω, R3 = 4.0Ω y C = 4.0µF . El capacitor est´a inicialmente descargado.

En t=0, se cierra la llave • Encuentre la corriente a trav´ es de cada resistor

inmediatamente luego de cerrar la llave. • Halle la carga final del capacitor.