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Fenómeno de Gibbs Kevin Paúl Muyón Rivera, Enrique Alberto Gallo Tibanquiza, Cristian David Saquinga Paste Universidad de las Fuerzas Armadas “ESPE”, Latacunga - Ecuador [email protected] [email protected] [email protected]  Resumen – El fenómeno de Gibbs tiene como objetivo truncar la respuesta impulso de un filtro realizable, crea oscilaciones en el dominio de la frecuencia, estas oscilaciones son conocidos como el fenómeno de Gibbs; entre más significativo sea el truncamiento, mayor será la cantidad de oscilaciones de Gibbs que aparecen en el dominio de la frecuencia, como también mientras mayor sea la cantidad de muestras que se tomen (mayor M + 1), el fenómeno de Gibbs se minimiza. Abstrac: The Gibbs phenomenon aims to truncate the impulse response of a realizable filter, creates oscillations in the frequency domain, these oscillations are known as the Gibbs phenomenon; The more significant the truncation, the greater the amount of Gibbs oscillations that appear in the frequency domain, as well as the larger the number of samples taken (the greater M + 1), the Gibbs phenomenon is minimized.

I. INTRODUCCIÓN

Cuando la función que se está desarrollando en Serie de Fourier tiene discontinuidades (señales de variación rápida) no es posible que haya una buena convergencia en los entornos de las mismas.

En el 1889, el físico Albert Michelson y su colega S. Stratton construyeron un sintetizador armónico: Un dispositivo que reconstruía una señal periódica de periodo En base a la especificación de hasta ochenta de sus componentes armónicos. Michelson probó su dispositivo calculando los coeficientes de Fourier de distintas señales periódicas y comparando la señal reconstruida con la original. Sin embargo, cuando utilizó como señal de prueba una onda cuadrada la aproximación no fue tan buena; En la maquina aparecieron “garabatos” alrededor de las discontinuidades, aunque el número de los coeficientes de fourier llegaron a ser casi infinitos, los garabatos nunca desaparecieron (puntos son conocidos como el Fenómeno de Gibbs) pero Michelson no podía comprender las causas del problema, y pensaba que su aparato podría estar funcionando incorrectamente. Confió sus dudas al matemático Josiah Gibbs.

En tales entornos, las sumas parciales muestran tanto sobrevalores como subvalores alrededor del valor real de la función, que pueden llegar a un 18% del salto en la discontinuidad.

El 27 de abril de 1899 Gibbs publica el resultado correcto y mostrando que las oscilaciones no decaen, sino que el sobre pico tiende a un número constante (9% de la altura del pulso). El nombre “fenómeno de Gibbs” fue utilizado por primera vez por Bocher en 1906, en un artículo donde extendía el resultado de Gibbs. II. DESARROLLO Fenómeno de Gibbs

Como se puede apreciar, a medida que se adhieren más términos a las series, ésta se va aproximando a la onda

cuadrada dado que las oscilaciones se vuelven más rápidas y más pequeñas, pero los picos no disminuyen. Estos picos en las series de Fourier de la función cuadrada nunca desaparecen; son llamados el fenómeno de Gibbs nombrado por el físico estadounidense Josiah Willard Gibbs. Ocurren cada vez que las señales tienen discontinuidades de salto (generalmente en los extremos), y siempre estarán presentes cuando la señal tiene oscilaciones fuertes como en este caso de uno a menos uno.

III. CONCLUSIONES  El fenómeno de Gibbs elimina en gran porcentaje las ondulaciones que se solapan sobre la señal a trozos que se obtiene de la serie de Fourier.  Cuando se adhiere más términos a la serie de Fourier, as oscilaciones se vuelven más rápidas y más pequeñas pero los picos no disminuyen.  Estos picos en las serie de Fourier de la función cuadrada nunca desaparecen, son llamadas fenómeno de Gibbs

Sabiendo que M es el número de muestras. Podemos observar lo siguiente:  Así como M se incrementa, el número de ondulaciones se incrementa, sin embargo, el ancho de las ondulaciones disminuye.  La altura de las ondulaciones mayor es permanece constante, independiente de la longitud del filtro.  Así como M se incrementa, la altura de las otras ondulaciones disminuye.  El lóbulo principal se hace más angosto conforme M se incrementa, es decir la caída llega a ser más aguda.  Funcionamiento oscilatorio similar puede ser observado en cualquier tipo de filtro truncado.

IV.

RECOMENDACIONES

 Se recomienda revisar acerca de la teoría de ventaneo para la fácil comprensión del fenómeno de Gibbs  Se recomienda analizar la banda de supresión, traslación con el fin de verificar el efecto de Gibbs en el filtro pasa bajos  Aplicar diferentes números de muestras para observar el comportamiento del fenómeno de Gibbs con el fin de apreciar cuando la atenuación de la banda no pasante tiende a cero, pero no llega a cero.

Formas de Disminuir el fenómeno de Gibbs.  Se puede Disminuir tomando la suficiente cantidad de muestras en el dominio del Tiempo  Usando Ventanas para las muestras tomadas del Sistema, lo que hace una ventana es crear un Vector de longitud M, que se multiplica por las muestras originales, así pudiendo alterar su amplitud de manera selectiva. En la siguiente figura se puede visualizar el efecto de usar ventanas en

1 Ventana Bartlett.

V. REFERENCIAS [1] [2] [3]

[4]

Carlos, P. (2000). Introduccion al Procesamiento digital de Señales. Madrid: Pearson. Oppenheim, A. (2011). Tratamiento de señales en tiempo discreto. Madrid: Pearson Educacion S.A. Rodríguez Roberto, Z. E. (2006). Series de Fourier y fenomeno de Gibbs. Madrid: Universidad Complutense de Madrid]. "LA SERIE DE FOURIER.", Ehu.eus, 2019. [Online]. Available: http://www.ehu.eus/Procesadodesenales/tema7/ty3.html. [Accessed: 04May- 2019].