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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD PERIODO ACADÉMICO 2019 - IV PROCESAMIENTO ANALOGICO DE SEÑALES

Fase 2 - Análisis y simulación

Presentado por: Edward Triana

C.C. 11448011

Presentado a tutor: Rafael Linero Ramos

Grupo 299007_1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Periodo académico 2019 - IV

TABLA DE CONTENIDO 13

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INTRODUCCIÓN..................................................................................................................................................3 DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD...................................................................................................................4 Potencia media de la señal de salida del detector....................................................................................11 CONCLUSIONES.................................................................................................................................................13 BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................................................14

13

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INTRODUCCIÓN

Con la elaboración, desarrollo y ejecución de este trabajo pretendemos dar a conocer múltiples conocimientos sobre procesamiento análogos de señales los cuales estarán en enmarcados en esta fase 2 del curso, el cual tiene como propósito trabajar todos los conocimientos del problema o caso planteado en la fase anterior. En este trabajo pretendemos resolver todos los parámetros exigidos para el análisis del elemento electrónico detector, esto aplicando transformadas de Fourier a las señales del caso expuesto y utilizando software computacional poder realizar un análisis más profundo del comportamiento de estas señales.

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Actividades a desarrollar



Tener en cuenta el Anexo 1 de la fase 1.



Determinación de variables desconocidas. En este contexto cada participante del grupo debe usar las técnicas presentadas en la unidad 2, para determinar analíticamente (no computacional) la señal de salida del detector.

¿Cuál considera que es la funcionalidad del detector? Un elemento de un circuito de medición es el detector, que normalmente sirve como demodulador o extractor de información, el cual en este caso se comporta como un filtro pasa banda que permitirá solo el paso ciertas frecuencias que permitirán analizar las vibraciones presentes en la estructura al aplicar la señal f(t). Grafica del sistema de medición:

De la gráfica podemos observar lo siguiente: Señal de salida del acelerómetro:

a ( t )=0.0005 cos ( 166 πt ) +0.00025 sin ( 249 πt ) +0.00005 sin ( 8300 πt ) +v (t) Señal de salida del preamplificador: a 2( t )=5 cos ( 166 πt ) +2.5 sin ( 249 πt )+ 0.5 sin ( 8300 πt )+10.000 v (t) Como se puede deducir la señal a (t) incluyendo el ruido eléctrico que porta ha sido amplificada 10.000 veces. Luego el acondicionador se encarga de eliminar el ruido eléctrico que como se observa equivale a 10.000v (t):

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Señal de salida del acondicionador: a 3( t )=5 cos ( 166 πt ) +2.5 sin ( 249 πt )+ 0.5 sin ( 8300 πt ) La salida del detector quien se comporta como un filtro pasa banda con la siguiente representación matemática: y left (t right ) +66000 y ' left (t right ) +1040000000 y ( t )=70000 x '( t )+70000000 x ( t Sera igual a la señal de entrada a 3( t) por la función de transferencia del detector. Para hallar la función de transferencia aplico la Transformada de LAPLACE, donde al convertir la ecuación diferencial que representa el comportamiento del detector a una función de transferencia las condiciones iníciales son “0”. Función de transferencia del detector: S2 Y ( s ) +66000 S Y ( s )+ 1040000000Y ( s )=70000 S X ( s ) +70000000 X (s) Y ( s ) [S ¿¿ 2+ 66000 S+1040000000]=X ( s ) [70000 S +70000000] ¿ X (s) 70000 S +70000000 = 2 Y ( s) S +66000 S+1040000000 La funcionalidad del detector del problema propuesto es de ser un filtro pasa banda, ya que nos permite pasar solo unas frecuencias y elimina o atenúa las demás frecuencias de la señal de entrada del mismo. Además, se requiere determinar analíticamente (no computacional) las transformadas de Fourier de f(t), a(t) y de la señal de salida del detector, luego dibujar sus espectros, también se hace necesario determinar la serie de Fourier correspondiente a la señal a(t). 

Transformada de Fourier de f (t)

f ( t )=10 sen(2 Π ∙ 83 t) ω 0=2 Π ∙ 83=166 Π Entonces: ∞

F ( w )= ∫ f ( t ) e−i ω t dt 0

−∞

∞

F ( w )= ∫ 10 sen (166 Π t )e−i ω t dt 0

−∞

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Usamos la fórmula de Euler para el Seno e i ω t −e−i ω t sen ( ω0 t )= 2i 0

0

Nos queda: ∞

F ( w )= ∫ 10 −∞

(

e i ω t −e−i ω t dt 2i 0

0

)

∞

10 F ( w )= ∫ ( e i ω t−e−i ω t ) dt 2i −∞ 0

0

F ( w )=

10 [ 2 Π δ ( w−166 Π )−2 Π δ ( w+166 Π ) ] 2i

F ( w )=

10 2 Π [ δ ( w−166 Π )−δ ( w+166 Π ) ] 2i

F ( w )=5 i √2 Π [δ ( w−166 Π )−δ ( w+166 Π ) ] F ( w )=5 i √2 Π δ ( w−166 Π )−5 i √2 Π δ ( w+166 Π ) ¿

Espectro de la señal f (t)



Transformada de Fourier de a (t)

Tenemos la señal: a ( t )=0,0005 cos ( 166 Πt ) +0,00025 sin ( 249 Πt )+ 0,00005 sin ( 8300 Πt ) + v (t)

Sabemos que la Transformada de Fourier nos dice que: ∞

F ( w )= ∫ f ( t ) e−i ω t dt 0

−∞

Donde: 13

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a ( t )=0,0005 cos ( 166 Πt ) +0,00025 sin ( 249 Πt )+ 0,00005 sin ( 8300 Πt ) + v (t) Entonces: ∞

∞ −i ω 0 t

A ( w )=∫ 0,0005 cos ( 166 Πt ) e

∞ −i ω0 t

dt + ∫ 0,00025sin ( 249 Πt ) e

−∞

dt + ∫ 0,00005 sin ( 8300 Πt ) e−i ω t dt + v (t )

−∞

0

−∞

∞

∞ −i ω 0 t

A ( w )=( 0,0005 ) ∫ cos ( 166 Πt ) e

∞ −iω 0 t

dt + ( 0,00025 ) ∫ sin ( 249 Πt ) e

−∞

dt + ( 0,00005 ) ∫ sin ( 8300 Πt ) e−i ω t dt+ v ( t ) 0

−∞

−∞

Usamos la fórmula de Euler para el Seno y el Coseno Sen ( ω0 t )=

ei ω t −e−i ω t ei ω t + e−i ω t y cos ( ω0 t ) = 2i 2 0

0

∞

A ( w )=( 0,0005) ∫ −∞

(

0

0

∞

∞

e i166 Π t + e−i 166 Π t e i 249 Π t−e−i 249 Π t e i 8300Π t −e−i 8300 Π t dt+(0,00025) ∫ dt +( 0,00005) ∫ dt +V (w) 2 2i 2i −∞ −∞

∞

)

∞

(

)

(

)

∞

(0,0005) ( e i 166 Π t +e−i 166 Π t ) dt+ ( 0,00025) ∫ ( ei 249 Π t−e−i249 Π t ) dt+ (0,00005) ∫ ( e i 8300 Π t −e−i 8300 Π t ) dt+ V (w) A ( w )= ∫ 2 2i 2i −∞ −∞ −∞

F ( w )=

( 0,0005 ) ( 0,00025 ) ( 0,00005 ) 2 Π δ ( w−166 Π ) +2 Π δ ( w−166 Π ) ]+ 2 Π δ ( w−249 Π )−2 Π δ ( w+ 249 Π ) ] + [ [ [2 Π δ ( 2 2i 2i

Sacamos factor común 2Π en los tres términos:

A ( w )=

( 0,0005 ) ( 0,00025 ) ( 0,00005 ) ( 2 Π ) [ δ ( w−166 Π )+ δ ( w−166 Π ) ] + ( 2 Π ) [ δ ( w−249 Π )−δ ( w+ 249 Π ) ]+ ( 2 Π ) [ δ ( w− 2 2i 2i

A ( w )=( 0,0006226657) [ δ ( w−166 Π ) + δ ( w−166 Π ) ] +(0,000313329 i) [ δ ( w−249 Π )−δ ( w+249 Π ) ] +( 0,00006226657i) [

Quedando finalmente:

A(w)=[(0,0006226657) δ( w−166 Π )+(0,0006226657) δ (w−166 Π )]+[(0,000313329 i)δ (w−249 Π )−(0,000313329 i 13

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Espectro de la señal a (t)

 Transformada de Fourier de la señal de salida del detector y(t)

Es decir, la salida del detector quien se comporta como un filtro pasa banda con la siguiente representación matemática: Se realiza la transformada de Fourier para hallar la función de transferencia del filtro: Y (w )¿ Y ( w ) ( jw 70000+70000000) = ¿¿ X (w) H (w)=

( jw 70000+70000000 ) ¿¿

Definimos la señal de entrada del detector y de esta manera analizar la salida del filtro, donde: a 3( t )=x (t )=5 cos ( 166 πt ) 2.5 sin ( 249 πt ) +0.5 sin ( 8300 πt ) Señal de entrada

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Como sabemos a cada término se le calcula la respuesta en estado permanente teniendo como resultado lo siguiente:

x 1 ( t )=5 cos ( 166 πt ) → x 2 ( t )=2.5 sin ( 249 πt ) → x 3 ( t )=0.5 sin ( 8300 πt )

Ahora de cada término tomamos la frecuencia para analizar la respuesta que tendrá el detector: x 1(t)=5 cos (166 πt)=ω=166 π Por lo tanto, empezamos a calcular la función de transferencia:

H 1 ( w )=



x 2(t )=−2.5 cos (249 πt )

H 2 ( w )=



70000000+ j 36505306,63 =¿ H 1 (w)∨¿ 0.07585 ,θ=25,62 ( 1039728033,19+ j 34419289,11 )

70000000+ j54757959,95 =¿ H 2 ( w )∨¿ 0.0854 , θ=35.18 ( 1039388074+ j51628933,67 )

x 3 (t)=−0.5 cos(8300 πt )→ ω=8300 π

H3 (w)=

70000000+ j1825265331.73 =H 3 ( w )=1.039 , θ=9,62 ( 360082952.81+ j 1720964455.63 )

Sumamos los valores obtenidos

H 1 ( w ) + H 2 ( w ) + H 3 ( w )=1.1625+0.2556 i=H ( w ) =1.19 ,θ=12,4 Espectro en magnitud:

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Espectro de la fase:

Se requiere determinar la potencia promedio de la señal de salida del detector y de f(t). Potencia media de la señal de salida del detector. Tenemos en principio la señal de salida del detector. F ( t )=10 sen (166 πt ) De donde podemos analizar que la onda para la fuerza es de la forma general: y ( x ) =Asen ( ωt ) Por lo tanto, tenemos que: 13

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ω=166 π Y A=10 Ahora nos valemos de la expresión para la potencia media de una señal de onda senoidal, que sería: Pm (t )=

1 μF (t)ω 2 A2 √ 2

En donde el coeficiente µ es una propiedad del medio en el que se propaga la onda, en este caso depende del material del que se encuentra hecha la biga. Por lo tanto debemos remplazar los valores conocidos y de esta manera quedara expresada la potencia para la señal. Pm (t )=

1 √ μ (10 sen ( 166 πt ) )(166 π )2 (10)2 2

Mediante esta expresión es posible determinar la potencia media de la salida del detector.

• Validación de resultados en el entorno de aprendizaje práctico. En esta instancia cada participante ingresa a dicho entorno y usa los enlaces presentados (caja de herramientas) para descargar al menos una de las herramientas computacionales de simulación que se presenta allí, luego, usa el software para simular todo el procesamiento de señal descrito en la Figura 1 considere dos casos: cuando a(t) es la señal del Anexo 2 (datos exactos), y cuando a(t) es la señal de la expresión (1) (datos teóricos), para validar los resultados obtenidos en las fases anteriores.

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CONCLUSIONES 

En esta fase del curso, se ofrecieron las herramientas para abordar conocimientos relacionados a la convolución, brindando la capacidad de realizar operaciones en ambientes gráficos y analíticos.



Este trabajo permitió solucionar problemas de ingeniería cuya representación está dada mediante conceptos de las series de Fourier.

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BIBLIOGRAFIA 

MARCOS GONZALEZ PIMENTEL, Modulo procesamiento Analógico de Señales. Bogotá. Enero 2011. Universidad nacional abierta y a distancia.



Ambardar, A. (2002). Convolución Continua. In Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 130). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2081/ps/i.do? p=GVRL&sw=w&u=unad&v=2.1&it=r&id=GALE %7CCX4060300056&asid=77455168e5e332d949cbb0cb8aaa2e07



Ambardar, A. (2002). Series de Fourier. In Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 197). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2081/ps/i.do? p=GVRL&sw=w&u=unad&v=2.1&it=r&id=GALE %7CCX4060300081&asid=2bd27e3e9ede734f0c9539e4258be694



Ambardar, A. (2002). Transformada de Fourier. In Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 248). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2081/ps/i.do? p=GVRL&sw=w&u=unad&v=2.1&it=r&id=GALE %7CCX4060300096&asid=9216176bfe3118887d3ff0ec6f6606e8

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