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ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CONTROL ÓPTIMO UNIDAD 2.OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES

FABER ORLANDO LAGUADO CAMPOS CC 1093746656

TUTOR: LEONARDO ANDRES PEREZ

CODIGO: 203043

OCTUBRE 18 DEL 2018

INTRODUCCION

El estudiante a través del modelo pedagógico Una dista realizar el desarrollo de las actividades que se proponen en el Ambiente Virtual de Aprendizaje que integra al curso control optimo, los recursos tecnológicos y físicos de la Universidad y el acompañamiento tutorial, adquiere las competencias que se proponen con el fin de aplicarlas a su entorno profesional.

OBJETIVOS 

Interpreta e investigar temas nuevos referentes a control óptimo e ingeniería control aportando su propia argumentación y síntesis para que pueda aplicarlo a los diferentes escenarios formativos y de uso en el contexto profesional.



Adquirir conocimientos del curso control óptimo de la unidad 2 optimalización con restricciones de la universidad UNAD

Actividades a desarrollar

Para ejecutar la estrategia de aprendizaje basada en proyectos, cada estudiante debe seguir los siguientes pasos:

Paso 1: Leer el siguiente problema:

Los estudios enfocados en minimizar las emisiones de CO2 en los vehículos han mostrado que existen variables más complejas que deben ser optimizadas. La fuerza de fricción del freno en las ruedas, el peso del auto y las condiciones de la ruta (rugosidad y pendiente de la carretera) son variables que intervienen las emisiones de gas carbónico. Estas variables son complejas porque están sujetas a restricciones (por ejemplo, el peso del vehículo no puede modificarse significativamente porque causa una pérdida de estabilidad). Para optimizar bajo restricciones, los científicos han desarrollado un modelo matemático del comportamiento de estas variables, descrito por las siguientes funciones:

Estimados tutor y compañeros, presentar una solución para calcular el valor máximo de f(x,y) utilizando la teoría de optimización restringida. A continuación presento mi solución: 1. Función de transferencia de la emisión de gas carbónico “f(x,y)” respecto a la fuerza de fricción del freno “x” y el peso del auto “y”: Solución: La función y restricciones con la que se trabajaría seria de la siguiente forma siendo a= 6 f(x,y)=2.87x+7.34y-6 Sujeto a (restricción): 2.45x+3.58y ≤ 14+6 x+3.3y ≤ 10+6 3.7x+2y ≤ 16+6 x≥0 y≥0 L ( x,y ) = 2.87x+7.34y-6+ ƛ(2.45x+3.58y – 20) + ƛ1(x+3.3y – 20) + ƛ2(3.7x+2y – 22)+ + µ1( x ) + µ2 ( y )

𝑎𝐿 𝑎𝑥

=0 ∶

2.87x+7.34y-6+ ƛ+ ƛ1+ ƛ2+ µ1

𝑎𝐿 =0 ∶ 𝑎𝑦

2.45x + 3.58y – 20 + x + 3.3y – 20 ƛ + 3.7x + 2y – 22 ƛ1 + ƛ2 + µ2

𝑎𝐿 =0 ∶ 𝑎ƛ 𝑎𝐿 =0 ∶ 𝑎ƛ1 𝑎𝐿 =0 ∶ 𝑎ƛ2 𝑎𝐿 =0 ∶ 𝑎µ1

𝑎𝐿 =0 𝑎µ2

2.45x + 3.58y – 20 = 0 x + 3.3y – 20 = 0 3.7x + 2y – 22 = 0 𝑥 ≥0

∶

𝑦 ≥0

Obtenemos 7,15x = µ1

Luego obtenemos µ1 ≥ 0 𝑦 µ1 = 0 𝑠𝑖

𝑥 >0

Equivalente conjuntamente

7,15𝑥 ≥ 0

𝑦

7,15𝑥 = 0 𝑠𝑖

𝑥 >0

Obtenemos 7,15x = µ2

Luego obtenemos µ2 ≥ 0 𝑦 µ2 = 0 𝑠𝑖

𝑦 >0

Equivalente conjuntamente

8,88𝑦 ≥ 0

𝑦

8,88𝑦 = 0 𝑠𝑖

𝑦 >0

Espero que el tutor y mis compañeros revisen mi aporte y lo realimenten de forma constructiva y respetuosa. Cordialmente, Faber Orlando Laguado campos

Estimados tutor y compañeros,

presentar una solución para calcular el valor máximo de f(x,y) utilizando la teoría de optimización restringida. A continuación presento mi solución: 2. Con lluvia en la carretera, función de transferencia de la emisión de gas carbónico g1(r,p) respecto a la rugosidad “r” y pendiente de la carretera “p”:

g1(r,p)=2.3r-7p+2p3+b

Sujeto a (restricción): 4r+2p≤ 3+b r≥0 p≥0 Solución: Siendo b =6 queda la función y restricciones de la siguiente manera g1(r,p)=2.3r-7p+2p3+6

Sujeto a (restricción): 4r+2p≤ 3+6 r≥0 p≥

L (r,p)= 2.3r-7p+2p3+6 + ƛ( 4r+2p- 9) + µ1( r ) + µ2 ( p ) 𝑎𝐿 𝑎𝑟

=0

∶

2.3r-7p+2p3+6 + ƛ + µ1( r )

𝑎𝐿

=0

∶

-7p+2p3+6 + ƛ + µ2( p )

=0

∶

4r +2p- 9

𝑎𝐿 =0 𝑎µ1

∶

𝑟 ≥0

𝑎𝐿 =0 𝑎µ2

∶

𝑝 ≥0

𝑎𝑝 𝑎𝐿 𝑎ƛ

Las Condiciones adicionales µ1,µ2 ≤ 0 µ1( r ) = 0 µ2( p ) = 0

r = 0, p = 0(Restricciones g1 y g2 activas) En este caso, la restriccion 4r + 2p = 0 se satisface y por tanto este caso es posible. r = 0, µ2 = 0(Restriccion g1 activa) En este caso, al resolver el sistema se obtiene que µ1 = 6,3r-9 = 2,7 > 0 no puede ser. p = 0, µ1 = 0(Restriccion g1 activa) En este caso, al resolver el sistema se obtiene que µ2 = -5p´-2p3 9= -9 >0 no puede ser. µ1 = 0, µ2 = 0 (Ni g1 ni g2 activas) En este caso, al resolver el sistema de ecuaciones µ1, µ2≤ 0 y el resultado ´optimo viene dado por (r = 3,04; p = 1,66) Espero que el tutor y mis compañeros revisen mi aporte y lo realimenten de forma constructiva y respetuosa.

Cordialmente, Faber Orlando Laguado campos

Estimados tutor y compañeros,

presentar una solución para calcular el valor máximo de f(x,y) utilizando la teoría de optimización restringida. A continuación presento mi solución: 3. Sin lluvia en la carretera, función de transferencia de la emisión de gas carbónico g1(r,p) respecto a la rugosidad “r” y pendiente de la carretera “p”: g2(r,p)=10r+10p+b

Sujeto a (restricción): 2r2+2p2≤2+b 2r+4p≤4.3+b r≥0 p≥0

Donde la constante “b” es el penúltimo dígito del documento de identidad del estudiante.

Solución: Siendo b= 5 queda la función y restricciones básicas de la siguiente manera g2(r,p)=10r+10p+5

Sujeto a (restricción): 2r2+2p2≤2+5 2r+4p≤4.3+5 r≥0 p≥0 ^

L (r,p)= 10r+10p+5+ ƛ(2r2+2p2 - 7) + ƛ1(2r+4p – 9.3) + µ1( r ) + µ2 ( p ) 𝑎𝐿 𝑎𝑟 𝑎𝐿 𝑎𝑝

=0

∶

10r + 10p + 5 + ƛ + ƛ1 + µ1(r)

=0

∶

2r² + 2p² − 7 + 2r + 4p – 9.3+ ƛ + ƛ 1+ µ2 (p)

𝑎𝐿 =0 𝑎ƛ 𝑎𝐿 =0 𝑎ƛ1 𝑎𝐿 =0 𝑎µ1 𝑎𝐿 =0 𝑎µ2

∶

2r² + 2p² − 7 ∶

2r + 4p – 9.3

∶

𝑟 ≥0

∶

𝑝 ≥0

Las Condiciones adicionales µ1,µ2 ≤ 0 µ1( r ) = 0 µ2( p ) = 0

r = 0, p = 0(Restricciones g1 y g2 activas) En este caso, la restriccion 2r² + 2p² − 7 = 0 se satisface y por tanto este caso es posible. r = 0, p = 0(Restricciones g1 y g2 activas) En este caso, la restriccion 2r + 4p – 9.3 = 0 se satisface y por tanto este caso es posible. r = 0, µ2 = 0(Restriccion g1 activa) En este caso, al resolver el sistema se obtiene que µ1 =10r + 5 > 0 , 5 > 0 si es posible. p = 0, µ1 = 0(Restriccion g1 activa) En este caso, al resolver el sistema se obtiene que µ2 = 2p² − 7 +4p – 9.3 > 0, -2.3> 0 no puede ser. µ1 = 0, µ2 = 0 (Ni g1 ni g2 activas) En este caso, al resolver el sistema de ecuaciones µ1, µ2≤ 0 y el resultado ´optimo viene dado por (r = - 0.70 p = - 2,03)

Espero que el tutor y mis compañeros revisen mi aporte y lo realimenten de forma constructiva y respetuosa.

Cordialmente, Faber Orlando Laguado campos

CONCLUSIONES

¿



Desarrollar habilidades referentes al estudio de ingeniería de control del curso control óptimo de la universidad UNAD



Interpreta problemas de optimización con restricciones



Adquirir conocimientos nuevos en el desarrollo de ejercicios de optimización con restricciones



Desarrollar actividades por medio de investigación y autocritica en el estudio de optimización con restricciones del curso control optimo

BIBLIOGRAFIAS

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Fadali, M. S., & Visioli, A. (2013). Digital Control Engineering: Analysis and Design (p.p. 402 – 403). Waltham: Academic Press. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db =nlebk&AN=480834&lang=es&site=eds-live&ebv=EB&ppid=pp_402

Villegas, L. (2007). Control óptimo cuadrático. En Villegas, L., Trabajo teórico práctico con Matlab (p.p. 36-43). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2460/lib/unadsp/reader.action?ppg=37&docID=3173599&tm=15 28159390920

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