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curso de FÍSICA MODERNA VIRGILIO ACOSTA ACADEMIA NAVAL DE LOS ESTADOS UNIDOS

CLYDE L. COWAN UNIVERSIDAD CATÓLICA DE AMÉRICA

B. J. GRAHAM ACADEMIA NAVAL DE LOS ESTADOS UNIDOS

Prefacio Este libro va mas allá del dominio de la física clásica, para explorar tanto el mundo microscópico del átomo, el núcleo y las partículas elementales, como el mundo macroscópico del cosmos. Los capítulos que cubren la mecánica cuántica son mas completos de los que usualmente se encuentran en textos a este nivel, puesto que sentimos que este tópico es una porción natural y esencial de la física moderna. Así mismo, el estudio de las partículas elementales se ha ampliado a fin de incluir los conceptos más recientes. Como prerrequisito matemático para seguir este texto se considera haber cursado dos semestres de cálculo elemental, incluyendo rudimentos de cálculo vectorial. A propósito hemos hecho que todos los capítulos de este libro sean cortos y autosuficientes, para producir una sensación de logro al estudiante y al mismo tiempo, permitirle al instructor mayor organización y flexibilidad. Si desea, se puede reordenar los capítulos u omitir algunos. Eminencias tales como Einstein y Dirac han contribuido tanto al desarrollo de los conceptos de la física, que resulta difícil comprender completamente los frutos que implica su labor. Otros han contribuido, con pasos pequeños pero significativos, a la conquista de grandes ideas. Estas personas y sus contribuciones también forman parte de la física moderna. La bibliografía breve de un físico notable figura al principio de cada capitulo, para destacar su labor. El papel principal de los ejercicios y de las preguntas que se incluyen al final de cada capítulo es ayudar a desarrollar la habilidad del estudiante en la solución numérica de problemas, y darle elementos al lector para que comprenda la naturaleza de la física y sus principios básicos. También se ha reconocido el impacto que han tenido las computadoras en la física, incluyendo en este libro unos cuantos problemas orientados a la computación. Deseamos agradecer al Comodoro Jack Kineke, USN, por su paciente trabajo en la preparación de los problemas y por sus muchas y útiles sugerencias, así como q Mary Hollywood Wilson por mecanografiar nuestro manuscrito. La cooperación dada a los autores y la atención prestada a nuestro texto original en inglés por el editor, especialmente por Jane Woodbrige y Ann B. Fox, han mejorado el libro y hecho nuestra tarea más placentera.

VIRGILIO ACOSTA CLYDE L. COWAN

BJ. RAHAM CAPITULO I ESPACIO Y TIEMPO 1.1 EL VACIO FÍSICO El mundo natural en que vivimos se nos presenta como una vasta colección de objetos y eventos, todos los cuales están contenidos en un espacio tridimensional. Percibimos estos eventos como si se encadenaran en un secuencia continua en el tiempo: cada evento se ve como el causante de otro, y éste se vuelve a su vez, la causa del siguiente. Algunas veces, en el lenguaje de la física, estas observaciones que hemos hecho se plantea diciendo que el mundo natural esta contenido dentro de un continuo tetradimensional llamado espacio-tiempo. El propósito de este texto consiste en examinar el mundo natural con cierto detalle y descubrir algunas leyes de la naturaleza que nos ayuden a organizar y describir el espacio-tiempo. Al organizar y definir así el espacio tiempo, entenderemos mejor el mundo natural. Sin embargo, antes de estudiar directamente los objetos y eventos de la naturaleza, conviene contemplar el espacio-tiempo en si mismo. El concepto de espacio-tiempo contiene la esencia de las más profundas cuestiones que como físicos intentemos responder. Para la persona común, un vacío es un volumen de espacio que no contiene absolutamente nada, ni partículas ni moléculas. Pero ésta no es la forma como los físicos piensan sobre el vacío. Para ilustrar un aspecto de nuestra compresión del vacío como físicos, efectuaremos un experimento imaginario. Las distintas partes de este experimento se han observado en el laboratorio; de manera que aunque esta secuencia particular de eventos no se haya producido como un solo experimento, en principio así podría hacerse. Empecemos con un vacío absoluto en un recipiente ideal, con paredes perfectamente reflectoras, que son aislantes de la mejor clase imaginable. No habrá radiación ni partículas detectables, ya que a primera vista ser la clase de vacío compuesto de absolutamente nada. El experimento empieza enfocando alguna luz (radiación electromagnética) dentro del vacío, través de una ventana muy pequeña en una pared del recipiente. Ya que una pequeña cantidad será reflejada de regreso por la ventana, más luz se enfocará continuamente hacia dentro del recipiente. Ahora debemos empezar a iluminar con luz cada vez más azul dentro de la ventana. Pronto observaremos cómo el color de la luz que escapa indica que la temperatura del vacío interior se está elevando. A medida que la temperatura se eleva, la luz que escapa se vuelve más azul. Ya desde ahora, hemos descubierto que un vacío puede tener una temperatura. Para ver qué tan “caliente” se puede volver este vacío, continuemos enviando más y más radiación dentro del recipiente con mayor rapidez de la que escapa del agujero. En algún instante de este experimento, un fotón de luz chocará con otro fotón, y aparecerá dos electrones (figura 1-1). Uno de este par de electrones estará cargado negativamente, y el

otro positivamente. El vacío ya no esta vacío. En el vacío contiene dos partículas de materia –los dos electrones¿De dónde salieron estos dos electrones? No se encontraban en el haz de luz, aunque la energía total que poseen si entro con la luz. Los electrones son partículas muy diferentes de los fotones de luz. Los electrones son parte de esa familia de partículas conocida como fermiones. Portan carga eléctrica así como otra carga llamada número leptónico, y tiene una masa que continua existiendo aun si los electrones son llevados al reposo. Un fotón de luz es muy diferente. Es un bosón y no lleva carga de ninguna especie; y un fotón traído al reposo cesa de existir. Como físicos no proclamamos conocer la respuesta completa al origen de estos electrones. Tendemos a pensar que los electrones están siempre allí, en una especie de estado “virtual”, y que son traídas una existencia detectable por la colisión de los fotones de luz. Se piensa en el vacío como en un “estado” del espacio-tiempo que no contiene partículas detectables, y de la condición siguiente (o resultante) como en un estado que contiene dos electrones. En otras palabras, decimos que alguna especie de acción aplicada al estado de vacío creó del vacío dos electrones en un “estado corpuscular” Aunque la probabilidad de que estos electrones lleguen a chocar uno contra el otro sea pequeña, es posible que lo hagan. Uno es positivo y el otro es negativo; son, de alguna profunda manera, totalmente diferentes uno del otro y sin embargo al mismo tiempo muy parecidos. Si llegaran a chocar habría una transición de regreso al estado de vacío. Esto es, los dos electrones desaparecerían y los dos fotones aparecerían en su lugar. Nos referimos comúnmente a esto como a la aniquilación de materia-antimateria. Podemos preguntar: ¿A dónde fueron? ¿Están presentes aún en una forma no detectable? Mantengamos dos electrones detectables en el recipiente junto con la radiación que enviamos. Supongamos que no chocan por largo tiempo, durante el cual se vierte mas radiación a través de la ventana. Un proceso continuo de colisiones entre fotones producirá mas pares de electrones, y las colisiones de los fotones con los electrones calentarán a los electrones y producirán mas pares. La radiación sigue incidiendo y la temperatura sigue aumentando hasta que, finalmente cuando un fotón choca con un electrón, se produce un par de muones positivo-negativo. Otra vez, algo nuevo se encuentra en el vacío en forma de estos muones, y estos muones son diferentes de los pares de electrones formados previamente. Por una parte, los muones son radiactivos.

Figura 1-1 Después de un flujo continuo de radiación electromagnética dentro de un recipiente vacío aislado, se forman pares de electrones de electrones eventualmente. Si el espacio es calentado continuamente enviando más y más radiación dentro de la ventana más rápido de lo que puede escapar, empezaría a aparecer partículas llamadas mesones pi o piones. Otra nueva entidad se encontrara dentro del recipiente en la forma de una fuerza molecular muy intensa que los mantiene unidos. Los piones son muy diferentes tanto de los muones como de los electrones. Con mayor calentamiento, eventualmente aparecerán pares Protón-antiprotón y neutron-antinuetron, y así tendremos los materiales de que están hechos todos los núcleos atómicos. Así podemos preguntar: ¿de dónde vinieron estas partículas? “De estados virtuales en el vacío”, es la respuesta de los físicos. A continuación debemos preguntar: ¿Estaba el vacío realmente vacío? Podemos responder que si hemos observado la producción de partículas en el vacío, entonces no estaba vacío. Si la aparición de pares de partículas antipartícula puede ser llamada evidencia de un vacío “detectable”, entonces debemos concluir que el vacío estaba atestado con electrones, muones, protones y neutrones así como de otras partículas que aparecen a medida que continúa el calentamiento del espacio. Y podemos razonar que el vacío no solo tiene una temperatura definida, sino también contiene un surtido imaginablemente denso de todas las partículas existentes en la naturaleza. ¡Ciertamente no es una región de la nada absoluta! Como hemos visto, con la aparición de protones y neutrones así como de electrones en el espacio, tenemos los materiales necesarios para construir todos los elementos y compuestos (o materia) conocidos en la naturaleza-. Además de la construcción de elementos que continuamente acaece en nuestro recipiente origina, también habrá partículas que choquen con antipartículas frecuentemente y se desvanezcan, dejando fotones en su lugar. Establecido un equilibrio entre la materia y la radiación electromagnética, estarán presentes todos lo0s componentes be4cesarios para construir una parte real del universo. Además, las partículas que han sido producidas son idénticas a sus contrapartidas en cualquier parte del universo. Los electrones y protones que habrán en el recipiente son idénticos a los electrones y protones encontrados en las más antiguas rocas o en las más lejanas estrellas.

Nuestra conclusión es que el espacio general contiene un denso surtido de todas las partículas conocidas y que estas partículas son detectables con la ayuda de la radiación electromagnética (luz). Por esto decimos que el vacío físico es algo muy real. 1.2 EL ESPEJO DEL ESPACIO-TIEMPO En nuestra discusión del vacío físico, mencionamos los conceptos de materia y antimateria. Conviene hacer una pausa e investigar un poco más este fenómeno. Hemos dicho que una partícula es justamente lo opuesto de su antipartícula, pero que las dos son muy parecidas. Consideremos un objeto situado frente a un espejo plano y supongamos que podemos ver el objeto así como su imagen. En apariencia el objeto son muy parecidos, pero son inversos el uno de la otra como la mano izquierda lo es de la derecha. La imagen contiene la misma distribución de luz y color que el objeto, pero en sentido inverso. Ahora supongamos que hay un objeto con una distribución de cargas eléctricas sobre el espejo es de cobre pulido y esta conectado a tierra. De nuevo hay una imagen óptica invertida del objeto, pero ahora la imagen tiene una distribución de carga semejante a la del objeto, sólo que la distribución esta invertida en signo eléctrico. Si hay una concentración de cargas positivas en la parte superior del objeto, habrá una concentración similar de cargas negativas sobre la parte superior de la imagen. En este experimento, el objeto esta un poco mas cerca de ser igual a su imagen, excepto por la inversión (figura 1-2)

Figura 1-2 Un objeto y su imagen óptica son inversos entre sí en la misma forma en que la mano izquierda lo es de la derecha, y por la inducción eléctrica la distribución de carga sobre la imagen tiene los signos cambiados. En último caso, el espacio-tiempo constituye una especie de espejo perfecto –uno refleja todos los aspectos de cada partícula fundamental y al hacerlo así también invierte a cada una. Cada partícula tiene una “reflexión” en este espejo perfecto del espacio-tiempo y cada propiedad de la partícula está fielmente contenida en su imagen, en un sentido inverso. En este caso, importa poco cual sea llamado el objeto y cuál la imagen. Son

exactamente “semejantes” respecto a la otra.

pero están invertidos en todos los sentidos el uno con

Se puede entonces pensar que la naturaleza esta compuesta de un vasto número de partículas y de sus correspondientes antipartículas. Estando contenida así cada una, en el espejo perfecto del espacio-tiempo, puede hallarse muy distantes entre si, pero ambas están “en” el espejo. ¿Qué pasa cuando un objeto se acerca a su imagen y “choca” con ella? Podemos retomar el caso de las imágenes ópticas para trazar una analogía. Si observamos una hoja colgante de la rama de un árbol sobre la superficie de una piscina en calma, vemos la hoja y su imagen. Ahora dejemos que la hoja caiga hacia el agua. La imagen y la hoja “chocan” cuando la hoja llega a la superficie del agua. Ambas se desvanecen a medida que la hoja se hunde. En su lugar, una serie de ondas concéntricas se expanden hacia fuera del punto de la colisión. Este es una analogía pero muy inadecuada. Cuando una partícula y su antipartícula se combinan en una colisión, ambas se desvanecen completamente, y se producen algunos fotones de radiación electromagnética o, en algunos casos, se forman piones, que se alejan rápidamente del sitio de la colisión. Podemos preguntar: ¿Dónde está la imagen particular de este electrón particular que hay en la punta de mi pluma? ¿Tiene una imagen particular correspondiente y única? Un pensamiento adicional nos recuerda que todos los electrones negativos son idénticos entre si. Cualquier electrón positivo puede servir como imagen para un electrón negativo y viceversa. Por consiguientes, todas las propiedades físicas de la materia son en algún sentido reflejadas en el espacio-tiempo, y estas reflexiones constituyen la antimateria. Sin embargo, debemos hacer un lado una propiedad de estar vivos. La propiedad de la vida aparentemente no es reflejada en el espacio-tiempo, y aunque sea una propiedad perfectamente evidente de muchos objetos, no se puede considerar que la vida esté “en” el espacio-tiempo en el mismo sentido en que las propiedades físicas lo están. No existe evidencia de una “antivida” sino únicamente de la ausencia de vida en casos particulares. 1-3 LA MEDIDA DEL ESPACIO-TIEMPO Hemos aprendido, en nuestros estudios anteriores de ciencias naturales en sus muchos aspectos diferentes, que diversamente denominamos masa, energía fuerza, momento, carga eléctrica, etc. Empero, es importante recordar que ninguna de estas cualidades es medida nunca en un sentido directo. Debemos aprender que todo cuanto se hace, en último término, al efectuar una observación científica es medir intervalos de espacios e intervalos de tiempo. Todas las otras cantidades se derivan de estas medidas. Los intervalos espaciales se pueden medir directamente con alguna especie de barra para medir (por ejemplo, con un metro), o pueden ser indicados por alguna especie de escala de resorte (por ejemplo, por las posiciones variables de una aguja de balanza). Otro método para efectuar la medición de un intervalo de distancia consiste en considerar el intervalo de tiempo que le toma a un pulso de radiación electromagnética salir y regresar después de ser reflejado. Así, notamos que existe una cercana relación entre los intervalos temporales y los espaciales. En forma análoga, las distancias desde un pico a

otro de algunas ondas en un medio determinado, puede usarse como una medida de intervalos temporales. Más a menudo, sin embargo, la medición de un intervalo temporal se efectúa anotando las posiciones sucesivas de las manecillas de un reloj. En la misma forma en que los intervalos de tiempo pueden estar íntimamente relacionados a los intervalos de espacio, también es verdad lo contrario. De hecho, todas las otras cantidades de las cuales hablamos en física pueden derivarse de estas dos especies de intervalos. Tal vez deberíamos volvernos más consistentes de nuestros métodos al hacer estas mediciones básicas. Consideremos por un momento la medición directa de un intervalo espacial con barras para medir. Se colocan un metro a lo largo del intervalo de manera, que el cero coincida con uno de los extremos del intervalo, y entonces anotamos el numero de centímetros enteros que mide. A la siguiente del centímetro la dividimos por ejemplo, en décimas. Anotamos el número entero de estas décimas y a la siguiente parte de una décima de centímetro la volveremos a subdividir. Podemos continuar haciendo esto, utilizando en lugar de un metro un microscopio y después un interferómetro, hasta que alcancemos el límite de nuestra habilidad para dividir el siguiente intervalo en partes. Nuestra respuesta es un número decimal con ocho o nueve dígitos. Cuando se ha alcanzado el límite de nuestra habilidad para medir el espacio restante, y tener aún un número finito, racional, decimal por respuesta, suponemos que, en iun principio, si pudiéramos diseñar instrumentos mas más sensitivos podríamos proceder a dividir el intervalo restante en partes aun más pequeñas ad infinitud. Suponemos que el espacio que hemos medido con numero finito de pasos puede se medido con una infinidad de pasos hasta que el trozo de intervalo restante constituya un numero “infinitesimal”. ¿Cómo hacemos esta suposición? Se hace cuando nuestras mediciones se usan como valores numéricos en las expresiones del cálculo diferencial e integral. El cálculo infinitesimal es en si mismo el modelo matemático de la suposición que hemos hecho. Recuérdese que en el cálculo, las razones de los intervalos se aproximan a un límite a medida que los intervalos se aproximan a cero. La analogía de esta suposición implica, entonces, que se puede pensar del espacio-tiempo como de una entidad continúa. Así mismo suponemos que, lógicamente, podemos considerar cualquier intervalo de espacio-tiempo, no importa lo pequeño (o infinitesimal) que el intervalo pueda ser. Sin embargo, debemos recordar que no hay otra razón lógica para considerar que los intervalos son infinitesimales, que el hecho de que las matemáticas que describen tal continuo son más simples de lo que serían si hubiera algún intervalo más pequeño pero finito de espacio-tiempo. Ninguna teoría coherente de la física de ha construido aún sobre la base de una estructura no-continua, discreta, del espacio-tiempo. Pero debemos recordar, de nuevo, que ninguna razón nos obliga a considerar el espacio-tiempo como un continuo distinto a la conveniencia de las matemáticas. Todavía tenemos mucho que aprender en cuanto se refiere a la estructura del espacio-tiempo. 1.4 MATERIA Y ESPACIO-TIEMPO Empezamos este capítulo discutiendo los objetos materiales que estaban contenidos en un espacio tridimensional, y es posible que hayamos usado palabras equivocadas cuando dijimos que la materia estaba “contenida” en el espacio. Si examinamos mas cuidadosamente esta declaración, vemos que implica que el continuo espacio-tiempo es, simplemente, un trasfondo pasivo en el cual los objetos materiales están en alguna forma

incrustados. Ciertamente ésta es la forma como el espacio-tiempo es tratado en la física y en la filosofía clásica. Se consideraba que el espacio era un basto recipiente de alguna clase, que proveía campo para que los objetos del universo se movieran y ejercieran sus mutuas influencias entre sí. Sería bueno considerar, por otro lado, si de alguna manera la existencia de objetos materiales podría ser debida a la “geometría” del espacio-tiempo mismo y, además que la materia podría ser una propiedad más de un espacio-tiempo que lo abarca todo. Este fue el punto de vista adoptado por Albert Einsten principios del siglo XX en sus esfuerzos por construir una teoría general de la relatividad. El postuló que la existencia de fuerzas de cualquier clase podría considerarse como una manifestación de algunas curvaturas particulares en el espacio-tiempo, que producía aceleraciones. Todas las fuerzas, ya sean gravitacionales, eléctricas, nucleares, etc., son, tal vez, sólo simples modelos convenientes de una situación general más compleja, en la cual una curvatura produce la masa. La concepción de la relatividad general presentada por Eisnten es bien resumida por Erwin Schodinger: “La aspiración ideal, la meta última de la teoría, no es ni más ni menos que esto: un continuo tetradimensional dotado de una cierta estructura geométrica intrínseca, una estructura que está sujeta a ciertas leyes inherentes puramente geométricas, debe ser el modelo adecuado del mundo real a nuestro alrededor en el espacio y en el tiempo, con todo lo que contiene incluyendo su comportamiento total, el despliegue de todos los eventos que en él tienen lugar” Esta es, desde luego una descripción muy diferente del simple modelo de recipiente con que iniciamos nuestra discusión. Cual visión de las relaciones que existen entre el espacio-tiempo y la materia es la correcta, si alguna lo es, constituye uno de los problemas esenciales que enfrenta la física moderna. Permanece para que las futuras generaciones de físicos la resuelvan. En este texto, sólo podemos asistir a los científicos a principiar tamaña tarea. 1.5 RESUMEN Hemos visto que, en un sentido básico en la física, un vacío en el espacio-tiempo no es un concepto vacío sino que contiene un vasto número de todas las partículas conocidas. La forma en que estas partículas deben ser detectadas implica el uso de una señal luminosa de alta energía. También es verdad que no hay razones básicas para suponer que el espacio-tiempo puede ser dividido en intervalos cada vez, más pequeños infinitamente. El espacio-tiempo puede ser un continuo, o puede ser discreto, si consiste en alguna forma de celdas indivisibles. En su interacción con la materia, el espacio-tiempo actúa en forma fundamental como un espejo perfecto, que suministra una imagen completa y completamente invertida de cada partícula en el universo. También puede ser verdad que el espacio-tiempo mismo sea o un recipiente pasivo del mundo físico o por sí mismo la causa de todos los fenómenos por y a través de su propia geometría intrínseca. PREGUNTAS. 1.1 ¿En qué sentido se puede decir que un vacío tiene temperatura? 1.2 ¿en qué sentido puede un vacío “absoluto” considerarse como absolutamente vacío, y en qué sentido puede este mismo vacío considerarse como muy lleno? Utilice el concepto de “detectabilidad” en su respuesta. 1.3 ¿En qué sentido se puede considerar el espacio-tiempo como un espejo?

1.4 Bosqueje la figura de un “objeto” cualquiera y la de su “imagen” en un espejo metálico pulido. Dote a su objeto con una distribución de carga eléctrica, positiva y negativa. Muestre la carga eléctrica resultante de la imagen 1.5 En su opinión, ¿puede la propiedad llamada “vida” ser clasificada como una propiedad puramente física que deba ser reflejada en el espejo del espacio-tiempo? Discuta el pro y el contra. 1.6 Discuta el procedimiento por el cual suponemos que el espacio-tiempo es un continuo, cuando aplicamos el cálculo diferencial a las mediciones efectuadas en el espaciotiempo. Use la definición fundamental de diferencia en su respuesta. 1.7 ¿Qué se quiere expresar, matemáticamente, con el término “continuo”? Consulte algunos textos sobre análisis en la sección de matemáticas de una biblioteca. 1.8 Discuta la diferencia entre un universo en el cual toda la materia esta simplemente incrustada en el espacio-tiempo y otro en que la geometría del espacio-tiempo “produce” la materia. CAPITULO II LEYES DE CONSERVACIÓN 2-1 CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL. Sabemos por nuestros estudios previos que la llegada del siglo XX marcó el principio de una era de progreso sin paralelo en el desarrollo de las ciencias físicas. Aún así aunque la mecánica clásica tiene casi 400 años de antigüedad, un conocimiento de ésta es esencial para comprender claramente los principios básicos de la física moderna, por ejemplo, la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica. Examinemos el desarrollo de la física clásica antes de proceder con nuestra discusión de la física moderna. La cinemática, el estudio del movimiento, fue desarrollado principalmente por Galileo Galilei (1564-1642) un brillante astrónomo y matemático italiano. En el más básico de los sentidos, la cinemática es justamente un estudio geométrico con la adición de un nuevo parámetro- el tiempo. El estudio de las causas del movimiento (la dinámica) fue desarrollado por Newton el gran astrónomo, físico y matemático inglés. La mecánica clásica ha sido útil al resolver una amplia variedad de problemas en ingeniería, astronomía, y física; sin embargo, el desarrollo de la física; sin embargo, el desarrollo de la física moderna ha mostrado que la mecánica clásica no es universal en su aplicación. La investigación del mundo microscópico de los átomos, electrones y protones, etc., ha impulsado el desarrollo de nuevas herramientas de la física moderna: de la relatividad y de la mecánica cuántica. Debemos notar en este punto que como físicos continuamente estamos tratando de establecer un modelo matemático para describir el espacio o el universo a nuestro alrededor. Notemos que: Una teoría en la física no se considera como una verdad total, sino sólo como un modelo para aplicarse a resolver problemas y encontrar soluciones que estén en cercano acuerdo con la evidencia ofrecida por la determinación experimental. Las mas fundamentales de estas leyes o modelos son las leyes de conservación. Se dividen en dos grupos: las leyes elementales “extrínsecas” sobre la conservación del momento lineal, del momento angular y de la energía; y las leyes “intrínsecas” sobre la conservación del número total de nucleones en una reacción nuclear, la conservación del

numero de leptones y de bariones, y así sucesivamente. Este último grupo de leyes de conservación será desarrollado y discutido en esta obra a medida que sea necesario. Aquí revisaremos las leyes elementales de conservación con ánimo de establecer una base para el estudio de esta materia. La mecánica clásica ha sido abordada o estudiada ya sea empezando con las leyes de Newton como base o empezando con el principio de conservación del momento lineal. Nosotros abordaremos la mecánica desde el último punto de vista, ya que la conservación del momento lineal es más simple y sus aplicaciones son mas generales. Así, supondremos que el principio de conservación del momento lineal es la ley mas fundamental. Al discutir los movimientos relativos de varios cuerpos, podríamos usar las varias velocidades correspondientes: aquellas velocidades de cada uno de los cuerpos con respecto a cada uno de los otros cuerpos. Este procedimiento pronto se vuelve muy complicado y por lo tanto encontraremos más simple usar, en su lugar, un sistema tridimensional de coordenadas ortogonales para describir un “marco de referencia” común, en el cual se mueven todos los cuerpos (aunque tal vez algunos estén en reposo) Por ortogonal queremos decir que las coordenadas mismas no dependen una de las otras. El marco (x.y.z) de coordenadas lineales mutuamente perpendiculares es un ejemplo muy común. También especificaremos que este marco es un marco “inercial” de referencia. Con lo cual queremos decir que, en él, la mecánica clásica permanece válida. Veremos mas tarde que la “mecánica clásica” incluye la mecánica de la relatividad especial. Si podemos especificar tal marco de referencia todos los otros marcos de referencia que se mueven con velocidad lineal constante con respecto al primero también son inerciales. El problema de la existencia de un marco fundamental de referencia, como aquel en el cual son válidas las leyes de Newton y de la teoría de la gravitación, conocido como principio de Mach. Inherentemente relacionado al concepto de fuerza, piedra angular d la mecánica, está lo que llamamos masa inercial. La masa inercial representa una medida de la oposición que un cuerpo experimenta para ser acelerado. Sabemos que para una fuerza dada, mientras mas grande sea la masa sobre la cual actúa la fuerza, menor es la aceleración impartida al cuerpo. Clásicamente, se considera que la masa inercial es una constante universal e independiente de efectos exteriores tales como fuerza, temperatura, o velocidad. El momento lineal de una partícula de masa inercial m que se mueve con velocidad v es un vector que se define por.

p  mv (2-1) En términos de vectores unitarios y de componentes, podemos escribir p  imv x  jmv y  kmv z

Donde i, j, k son vectores unitarios paralelos a los ejes coordenados x, y, y z respectivamente, y donde v x , v y y v z son los componentes correspondientes del vector de velocidad v referidos a los tres ejes ortogonales. El principio de conservación del momento lineal establece que: Para un sistema aislado de partículas, el momento lineal total del sistema permanecerá constante. Por un sistema aislado se entiende un sistema libre de cualquier influencia externa. Para el sistema aislado de la figura 2-1 mA vA + mB vB = constante

(2-2)

Para un sistema compuesto de muchas partículas. Tenemos mA vA + mB vB +. . . .+ mN vN =



N i

mi vi  cons tan te

(2-3)

Ahora derivaremos las tres leyes del movimiento de Newton a partir del principio de la conservación del momento. Para dos partículas aisladas, la diferencia de la ecuación (2-2) con respecto al tiempo da

mA

dv a dv  m B B dt dt

Ya que a = dv/dt, tenemos: mAaA = - mBaB

(2-4)

Las aceleraciones son así inversamente proporcionales a las masas inerciales, a= F(1/m), donde F es una constante de proporcionalidad. Por lo tanto, tenemos una definición de fuerza: (2- F = ma

5)

Figura 2-1 El principio de conservación del momento lineal para un sistema de dos partículas aisladas requiere que mA vA + mB vB = constante a través de toda la interacción de las dos partículas, desde t   hasta t  

Esta es la segunda ley de Newton. Ahora bien, para dos partículas aisladas interaccionando sólo entre sí por una fuerza (por ejemplo, eléctrica o gravitacional), FA es la fuerza que la partícula B ejerce sobre la A y FB es la fuerza que la partícula A ejerce sobre la B ó FA = - FB Este es el principio de acción y reacción al que nos referimos como la tercera ley de Newton. Finalmente, para una sola partícula libre, ya que tanto F = 0 como a = 0, y puesto que sabemos que a = dv/dt concluimos que v = constante Esta es una exposición de la ley de inercia o primera ley de Newton. La segunda ley de Newton puede escribirse como F

d  mv  dt

(2-6)

Cuando la fuerza actúa por un tiempo finito t’ tenemos t'

 Fdt  mv  mv

0

(2-7)

t 0

Esta integral es llamada impulso de la fuerza F. Vemos que es igual al cambio de momento que resulta de la aplicación de esta durante el tiempo t’. Cuando una partícula energética efectúa una colisión de corta duración con una segunda partícula, se dice que las fuerzas entre las partículas son fuerzas impulsivas. Aunque las fuerzas impulsivas mismas son en general difíciles de medir, las colisiones pueden ser analizadas a través de la conservación del momento lineal usando la ecuación (2-7). Ya que las fuerzas impulsivas a menudo son grandes cuando se comparan con las fuerzas externas al sistema, y ya que son aplicadas por muy cortos intervalos de tiempo, frecuentemente podemos suponer que las fuerzas externas al sistema son despreciables. Por estas razones, durante una colisión, elástica o inelástica, se puede suponer que el momento se conserva. 2-2 CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR. El momento angular para una partícula con momento lineal p, localizada por el vector de posición r con respecto a un origen de referencia O, es un vector definido por L = r x mv = r x p

(2-8)

Como se ilustra en la figura 2-2 (a). Debemos notar que el momento angular depende de la elección del lugar del origen de referencia. También, contrariamente a nuestras

expectativas, la partícula no necesita tener, con respecto a un sistema dado de coordenadas, ningún tipo de movimiento circular para poseer momento angular. Podemos reescribir el vector de momento angular en términos de los vectores unitarios y de las componentes del momento lineal como i

j

k

L x

y

z

px

py

pz

(2-8a)

 i  yp z  zp y   j  zp x  xp z   k  xp y  yp x 

Figura 2-2 (a) Una partícula de masa m con momento lineal p dirigido en el sentido negativo del eje Y tendrá un momento angular L=r x p (b) Una partícula de masa m sobre la cual actúa una fuerza F (en el plano yz) tiene un momento de torsión con respecto al origen igual a   r x F. Vectores unitarios y de las componentes del momento lineal como

.ˆi. .ˆj. .kˆ L .x. y. z .p x .p y .p z L  ˆi  yp z  zp y   ˆj zp x  xp z   kˆ  xp y  yp x 

(2-8a)

Recordemos que la fuerza puede ser considerada la “causa” del movimiento lineal. En la misma forma el momento de torsión, usualmente denotado por   , puede ser considerada la “causa” del movimiento rotacional. En la figura 2-2 (b) una fuerza F aplicada a una partícula con el vector de posición r desde el origen de referencia produce un momento de torsión.

  r x F.

(2-9)

Para desarrollar una relación entre el momento angular y el momento de torsión, diferenciamos la ecuación (2-8) con respecto al tiempo, obtenido dL dr d   mv  r   mv  dt dt dt Ya que dr/dt = v, (dr/dt) x mv = 0, y F = (d/dt)(mv), la ecuación se puede simplificarse a dL rxF= dt



(2-10)

En el movimiento planetario, la atracción gravitacional actúa continuamente sobre un cuerpo. Esta siempre es una fuerza dirigida a lo largo del radio de la trayectoria del cuerpo, dado que el centro del cuerpo es el origen de referencia. Ya que el vector de posición r y la fuerza F están siempre en la misma dirección,   r x F = 0 , y de la ecuación (2-10) concluimos que el omento angular L de tal sistema debe ser constante. Para un sistema de muchos cuerpos y fuerzas, el momento de torsión resultante es

 R  i 1 i  N

d dt

 L  N

i 1

(2-11)

Consideremos un sistema libre de fuerzas externas. Nuestro análisis previo ha mostrado que los momentos de torsión debidos a las fuerzas internas entre cualquier par de partículas se cancelan, de acuerdo con la tercera ley de newton, d   L  0 dt

Y por lo tanto

 L  cons tan te

(2-12)

Esta es una exposición de la conservación del momento angular. 2-3 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA En la figura 2-3 (a) sobre una partícula que se mueve a lo largo de la trayectoria curvilíneo AB actúa una fuerza F a medida que recorre el desplazamiento dr. El trabajo de la fuerza se define por

dW  F  dr

(2-13)

Si la fuerza F es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Entonces: B

B

A

A

W AB   F  dr   m

vB

dv  dr   mv  dv dt vA

Ya que dr/dt = v. Si integramos se obtiene vB

W AB 

1

 mvdv  2 mv

2 B

vA



1 2 mv A  K B  K A 2

(2-15)

La cantidad K=1/2mv2 se define como la energía cinética. Esta es una exposición del principio de trabajo-energía: El trabajo resultante efectuando por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual al cambio correspondiente de la energía cinética. La fuerza Fc en la figura 2-3 (b) se llama fuerza conservativa. W AB 

F

C

ACB

 dr 

F

C

 dr  cons tan te

ADB

Figura (2-3) (a)

El trabajo hecho por la fuerza F al mover la partícula una distancia dr es dW  F  dr (b) B

Para una fuerza conservativa FC, el trabajo W AB   F  dr es independiente de la A

trayectoria que conecta a los puntos A y B.

Podemos exponer esto diciendo: Si el trabajo hecho por Fc al mover la partícula desde el punto A hasta el punto B es independiente de la trayectoria tomada, entonces FC es una fuerza conservativa. Como un ejemplo, revisemos el trabajo hecho por la fuerza gravitacional. La figura 2-4 muestra una partícula de masa m a medida que se mueve desde el punto A hasta el punto B bajo la influencia de la fuerza gravitacional Fg Ya que Fg = -jmg, el trabajo hecho por la fuerza es

W AB 

h2

   jmg    idx  jdy 

h1 h2

  mgdy  mg  h1  h2  h1

W  mgh

Figura 2-4 El trabajo hecho por la fuerza gravitacional conservativa es independiente de la trayectoria entre los puntos A y B. Ya que el trabajo por la fuerza gravitacional es independiente de cualquier trayectoria que se tome entre los puntos A y B, es una fuerza conservativa. La energía potencial se define en términos del trabajo hecho por una conservativa:

B

U AB   FC  dr  U A  U B

(2-16)

A

(independiente de la trayectoria) La función escalar de posición U(x,y,z) es la función de la energía potencial asociada con la fuerza conservativa FC. Las cantidades UA y UB son simplemente los valores de la función U(x,y,z) evaluada en los puntos extremos de la trayectoria. La energía potencial en cualquier punto dado está definida por la ecuación (2-16), en la posición B puede ser elegible arbitrariamente. Usualmente, B se escoge en el infinito, de manera que UB = 0. Por lo tanto, B

A

A

B

U AU AB   FC  dr    FC  dr

(2-17)

La energía potencial en cualquier punto es entonces definida como el trabajo hecho por una fuerza igual pero opuesta en dirección, usada para mover la partícula desde el punto de referencia B hasta la posición dada A Recordemos el principio del trabajo-energía dado por la ecuación (2-15). WAB = KB - KA Esto puede ser reescrito para incluir tanto fuerzas conservativas como no conservativas: WAB(conservativas)+ WAB(no conservativas) = KB - KA

(2-18)

WAB(conservativas) = UA - UB Rearreglando los términos de la ecuación (2-18) WAB(no conservativas) =( KB - KA ) – (KA – KB) o (2-19)

WAB(no conservativas) =( KB + KB ) – (KA – KA)

Si todas las fuerzas implicadas son conservativas, de forma que WAB (no conservativas) = 0, obtenemos KA + UA = KB + UB = constante Esta es una exposición de la conservación energía mecánica. En otras palabras podemos decir que cuando todas las fuerzas que actúan sobre una partícula son conservativas, la energía total en cualquier posición es igual a una constante llamada energía mecánica total. Cuando consideramos todas las fuerzas, tanto conservativas como no conservativas, el trabajo hecho por las fuerzas no conservativas en la ecuación (2-19) siempre aparecerá como alguna forma de energía. Por ejemplo, si la fuerza no conservativa es una fuerza de

fricción, entonces la energía de esta fuerza aparecerá como energía calorífica. El principio de conservación de energía, una exposición generalizada que deducimos de la experiencia, establece que la energía de un sistema aislado puede ser transformada de una clase de energía a otra; sin embargo, la energía total en sus varias formas no puede ser creada ni destruida. 2-4 CAMPOS Una definición de la física establece que es el estudio de los diferentes tipos de interacciones gravitacionales, electromagnéticas, débiles y fuertes. Estas interacciones pueden ser estudiadas a través del mecanismo de los campos. Brevemente revisaremos aquí los conceptos de campo. Hay dos categorías de campos: vectoriales y escalares. Definimos un campo como una región del espacio en la cual podemos hacer una medición de una cantidad física. Un campo escalar de posición es definido por una función de posición   x, y , z  que asigna a cada punto en el espacio un valor numérico escalar. Por ejemplo, consideremos un bloque metálico tridimensional que contiene una fuente de calor. El campo escalar de temperatura para este bloque puede ser dado como   x, y, z   2 x 2  3 y 2  z  16 º C 

El valor escalar de la temperatura asociado con un punto particular P (x=2, y=1, z=0) es entonces.   x, y, z     2,1,0   11º C

La masa m1 crea un campo gravitacional g en el espacio que rodea a m2 La masa m2 crea un campo gravitacional g’ en el espacio que rodea a m1

El campo gravitacional g sobre la masa m2

Una fuerza W2 = m2 g se ejercerá sobre m2

El campo gravitacional g’ actúa sobre la masa m1

Una fuerza W1=m1 g’ se ejercerá sobre m1

Figura 2-5

Interacción gravitacional entre dos masas. Existen muchos otros ejemplos de campos escalares, tales como una distribución de densidad, presión y así sucesivamente. En algunos casos se añade una cuarta coordenada –el tiempo- y el campo escalar se vuelve una función tanto de la posición como del tiempo. Un caso simple se da cuando la temperatura en un punto dado no permanece constante y varía con el tiempo. Un campo vectorial se define por una función vectorial F(x,y,z) que asigna a cada punto en un marco de referencia dado, un vector. Un buen ejemplo de un campo vectorial es el campo gravitacional de la tierra, en el cual se asigna un vector g a cada punto en el espacio. La magnitud de g depende de un parámetro –la distancia del, punto al centro de la tierra. La interacción de los campos gravitacionales de dos masas se ilustra en la figura 2-5. Los campos gravitacionales a distancias PA, PB, PC, y PD de la masa m 1 son, respectivamente gA, gB, GC y GD. La masa de prueba m2 localizada en P’ a la distancia r de la masa m 1 experimenta un campo gravitacional g producido en ese punto por la masa m1. El campo actúa sobre m 2 y le produce una fuerza gravitacional F 2=m”g. Esta siempre es una fuerza atractiva dirigida hacia m1. Siguiendo el mismo análisis, vemos que m2 ejerce una atracción gravitacional F1=-m1g sobre m1. Las fuerzas F1 y F2 son iguales y opuestas en dirección, de acuerdo con el principio de acción y reacción F1=-F2. Como ya expusimos antes, además de las interacciones entre fuerzas gravitacionales, hay otras fuerzas interaccionantes-electromagnéticas, fuertes o nucleares, y débiles. Las intensidades relativas de estas interacciones se muestran en la tabla 2-1. Tabla 2-1 Fuerzas de interacción INTERACCIÓN Gravitacional Débil (nuclear) Electromagnética Fuerte (nuclear)

Intensidad Relativa 1 1027 1038 1040

Aunque las interacciones gravitacionales son las más débiles, la peculiar propiedad que poseen de aumentar sin límite a medida que la masa atractiva aumenta, hace de la fuerza gravitacional la más obvia de la vida cotidiana. Estas fuerzas fueron usadas por Newton en el siglo XVII para construir su teoría universal de la gravitación. Las fuerzas electromagnéticas llegaron a ser conocidas de los antiguos, a través de la atracción que la magnética ejercía sobre materiales magnéticos tales como el hierro, y en la atracción o repulsión de pequeños trozos de materiales por el vidrio o la resina frotados con seda. Augusto Agustino (San Agustín) fue el primero en notar la diferencia entre las fuerzas eléctricas y magnéticas en estos ejemplos. Muchos siglos después, Faraday, Maxwell, Lorente y otros cuantificaron el concepto d campo electromagnética. El campo nuclear fue descubierto por Rutherford en sus históricos experimentos con hojas de oro para dispersar partículas alpha procedentes de fuentes radiactivas. El campo nuclear débil está

implicado en el decaimiento B de las partículas elementales y de los núcleos atómicos y fue escrito por primera vez en forma cuantitativa por Fermi en su teoría del decaimiento B desarrollado en la década de 1930. Las interacciones gravitacionales y electromagnéticas explican la mayor parte de los fenómenos que tienen lugar en el mundo macroscópico. Así, estas interacciones fueron as primeras en ser entendidas. Por otro lado, se puede pensar en las interacciones fuerte y débil como en los modelos de trabajo apropiados para los fenómenos del mundo microscópico. Brevemente, entonces, establecemos de nuevo que la materia de la física se puede definir como el estudio de los diferentes tipos de interacción entre las partículas y de las leyes de conservación.- Las leyes elementales de conservación discutidas en este capítulo forman la base de la física teórica. Las leyes intrínsecas de conservación, tales como la conservación de la paridad, la conservación de los nucleones, etc., serán desarrolladas y estudiadas en capítulos posteriores a medida que la necesitemos. Establecemos sin probarlo que cada ley de conservación aparece como el resultado de alguna propiedad d simetría única de un campo o del espacio-tiempo mismo. PROBLEMAS. 2-1 Unas partículas de masa m1=2kg tiene una velocidad v1=3i+5j m/seg, y una segunda partícula de masa m2=6 kg tiene una velocidad v2=4i+2j m/seg. ¿Cuál es el momento total del sistema compuesto de estas partículas? 2-2 Un neutrón con una velocidad de 8 x 106 i m/seg efectúa una colisión elástica de frente con un núcleo de helio inicialmente en reposo. Determine el momento y la velocidad del núcleo de helio después de la colisión. 2-3 Muestre que para un planeta en órbita alrededor del sol bajo la influencia de fuerzas radiales solamente, el momento angular dl planeta se conserva. 2-4 Una partícula  con una velocidad de 6x105 m/seg hace una colisión elástica con un átomo de carbón inicialmente en reposo. La partícula  es la dispersada a un ángulo de 60º con respecto a la dirección original y el átomo de carbón a un ángulo de 30º al otro lado de la dirección inicial. La masa del átomo de carbón es tres veces la de la partícula  . Encuentre la velocidad del átomo de carbón después de la colisión. 2-5 Una masa de 3 Kg. con una velocidad de v=9.6i + 12.8 j m/seg golpea una pared perpendicular al eje X. Suponga que esta es una colisión perfectamente elástica y determine el impulso dado a la masa como un resultado de la colisión. 2-6 Una masa de 5 Kg. con una velocidad v1=20i m/seg golpea una pared perpendicular al eje X. Suponga que esta es una colisión perfectamente elástica y determine el impulso dado a la masa como un resultado de la colisión.

2-7 Una partícula de masa m=2 kg. Se mueve con una velocidad constante de v=20i m/seg. Si pasa por el punto P(0.10m) en el tiempo t=0, encuentre su momento angular con respecto al origen cuando t=1.0 seg y cuando t=3.0 seg. 2-8 Un electrón gira una trayectoria circular de radio 5.3x10-11 m con una velocidad de 2.2x106 m/seg. ¿Cuál es la magnitud del momento lineal del electrón? ¿Cuál es la magnitud del omento angular? 2-9 Un astronauta usa un uniciclo para ejercitarse. Si el astronauta y el uniciclo están “flotando” mientras que se ejercita, describa el movimiento resultante. ¿Qué pasa cuando repentinamente detiene la rueda giratoria? 2-10 ¿Qué tanto trabajos requiere para acelerar una masa de 0.012 kg de una velocidad de 200 m/seg hasta otra de 380 m/seg? 2-11 Las estrellas brinarias de igual masa giran alrededor de su centro de masa. Discuta la conservación del momento, lineal y angular, para este sistema.

CAPITULO 3 RELATIVIDAD CLÁSICA 3-1 LIMITES DEL "SENTIDO COMÚN" En el capítulo previo empezamos nuestro estudio de la física, y por lo tanto del mundo físico, considerando el efecto que las fuerzas mecánicas tienen sobre los objetos en el universo. Cómo actúan las fuerzas para hacer que los objetos se muevan o para cambiar su estado de movimiento, es el tema de una rama de la física llamada mecánica. Todos hemos observado estos fenómenos desde nuestra más temprana niñez; todos hemos experimentado fuerzas y aceleraciones de algunos objetos. Por ejemplo, hemos aprendido a "inclinarnos" hacia el interior de una curva cuando estamos patinando o corriendo. Hemos experimentado un "momento" a medida que nos deslizamos en bicicleta hacia abajo y después hacia arriba de una colina. Hemos observado los efectos de fuerzas generadas contra una superficie: por ejemplo, cuando una roca o pelota golpea una superficie y su vector de momento cambia con rapidez, especialmente si la superficie es una ventana de vidrio. Estos eventos constituyen nuestra experiencia común, y así se vuelven componentes de lo que calificamos como nuestro sentido común. Los físicos y otros científicos están tratando de ampliar estas lecciones del sentido común y de aplicarlas a lo muy grande (macroscópico), a lo muy pequeño (microscópico), a lo muy rápido, y a los objetos muy distantes. Un verdadero progreso en estos intentos se ha obtenido en los siglos recientes, a medida que los científicos aprendieron a codificar la experiencia común en un conjunto de leyes generales que podían expresarse como ecuaciones. Estas ecuaciones se pueden aplicar a descripción de una vasta porción del universo conocido.

Las mediciones que efectuó Tycho Brahe, uno de los primeros astrónomos, de los movimientos de los planetas a través del firmamento, proveyeron a Johannes Kepler en el siglo XVI con datos suficientes para que pudiera definir las trayectorias de los planetas como órbitas alrededor de un centro de masa común. Después, hacia el fin del siglo XVII, Newton desarrolló su teoría de la mecánica usando algunos de los conceptos cinemáticos creados por Galileo, y pudo demostrar que las leyes empíricas del movimiento planetario, formuladas por Kepler, tenían su base física en las leyes de la gravitación. Los físicos del siglo XVII se animaron bastante al encontrar que, evidentemente, las mismas leyes de la mecánica que describen la trayectoria de una roca lanzada a través del aire podían describir el movimiento de los planetas alrededor del sol. Entonces fueron capaces de ampliar legítimamente sus "sentidos comunes" a grandes distancias. Sin embargo nosotros, como físicos del siglo XX, a medida que abarcamos mayores distancias y masas más grandes, o a medida que consideramos objetos muy pequeños y objetos que viajan a muy altas velocidades, encontramos que nuestros sentidos comunes ya no son aplicables. Así, descubrimos que las "leyes" que gobiernan el mundo existente a nuestro alrededor son, en realidad, sólo aproximaciones a un conjunto más grande de leyes que cubren un dominio más amplio de la naturaleza. Encontraremos entonces que este conjunto más grande de leyes está lejos todavía de ser un conjunto verdaderamente universal con el cual describir el vasto universo en todos sus detalles. Pero como nuestros sentidos comunes sí se aplican, con precisión excelente, a una gran porción de la naturaleza, utilizamos un término especial para designar este dominio de la física: clásica. La mecánica clásica, como otras ramas de la mecánica que han sido desarrolladas, depende del tipo de leyes de conservación que establecen que alguna cantidad permanece igual a través del cambio en el movimiento de un objeto. Por ejemplo, la masa de una pelota antes y después de haber sido golpeada. El sentido común nos dice que, fundamentalmente, la naturaleza debe ser la misma para el hombre que viaja en un tren que para el hombre que ve pasar al tren por su lado. Una distancia, digamos de 1 m. medida sobre el tren debe ser la misma que una distancia equivalente medida sobre la tierra, y el reloj en el bolsillo del hombre en el t tren debe marcar la misma hora que el reloj del hombre que ve pasar el tren por su lado. Estas son conclusiones del sentido común o del enfoque clásico de la naturaleza. Derivemos ahora, de esta forma de abordar la naturaleza, un postulado clásico.

Figura 3-1

Un punto M, moviéndose en el espacio y en el tiempo, se observa desde un sistema estacionario S, y desde un sistema Si que se mueve con una velocidad v con respecto a 5t. 3-2 PRINCIPIO CLÁSICO DE LA RELATIVIDAD La definición del término relatividad proporciona el concepto clásico subyacente en gran parte de la física, y sin embargo lo encontramos tan simple, que parece casi trivial. Por relatividad queremos decir la apariencia que presenta la naturaleza a un observador y su relación con la apariencia que presenta la naturaleza a otro observador, que puede estar en movimiento con respecto al primero. Parece de simple sentido común que el estado de movimiento relativo de un observador no debería alterar las leyes la naturaleza. Si el caso de movimiento de un observador pudiera cambiar las leyes, deberíamos preguntamos: ¿existe un conjunto infinito de leyes, o no existe ninguna ley? Así que expresamos fe en nuestro sentido común y en la estabilidad de la naturaleza, mediante el principio clásico de la relatividad: todas las leyes de la naturaleza deben ser las mismas para todos los observadores que se mueven los unos con respecto a los otros a velocidad constante. Si el movimiento relativo no es constante, entonces es acelerado, y la situación se vuelve más complicada, cayendo dentro del dominio de la relatividad general. Ahora derivaremos el principio clásico de la relatividad en términos más formales. En la figura 3-1 los dos marcos o sistemas de referencia, S 1 y S2 se mueven uno con respecto al otro. Por simplicidad, están orientados de manera que sus ejes Xi Yj, y Zk son paralelos, y que el vector de velocidad relativa v es paralelo a los ejes x 1 y x2. Se hace también la suposición de que los relojes en S1 y S2 marchan a la misma velocidad, y están sincronizados para marcar t = 0 cuando los orígenes de los dos sistemas coinciden. Así, nos damos cuenta de que no será necesario escribir t 1 o t2: ya que el tiempo es el mismo en los dos marcos de referencia y basta escribir t para el tiempo en ambos sistemas. Es importante que entendamos en este contexto el tema, aparentemente trivial, de leer el tiempo que marcan los relojes. Descubriremos posteriormente que tal vez este tema es algo más complicado de lo que revela nuestro análisis original. Entonces, en la relatividad clásica, un observador O, en el sistema S 1, ve la misma hora T1, en su reloj que la que lee en el reloj perteneciente al observador O2 en el sistema S2. Recíprocamente, el observador O2 lee la misma hora en el reloj del observador O1, que la que ve T2, en su propio reloj. La "similitud" del tiempo leído en cualquiera de los dos sistemas es una suposición básica. Al principio esta suposición puede parecer adscrita al simple "sentido común". Deberíamos hacer algunas suposiciones adicionales de sentido común acerca del espacio que S1 y S2 ocupan en común. Suponemos que se pueden colocar los vectores unitarios i1 e i2 sobre los es x1 y x2, y que i1 es siempre igual a i2 cualquiera que sea el valor de t o v. Nuestra suposición es que un vector unitario siempre lo es, cualquiera que sea el marco en el cual se ve o se mide, y que un vector unitario, siempre permanece siendo un vector unitario. Inicialmente, esta suposición puede parecer de simple sentido común, hasta que examinamos la forma en que se mide la "longitud" de un vector. Por el momento, eludiremos esta cuestión y descansaremos sobre nuestra suposición de sentido común. Para que podamos tratar a los tres ejes igualmente, supongamos que un vector unitario j1 yace sobre el eje y1, que j2 yace sobre el eje y2, y que j = j para todos los t sin importar cuál

observador esté haciendo la medición. Finalmente, dejemos yacer los vectores unitarios k1 y k2 a lo largo de los ejes z 1 y z2, respectivamente con las mismas relaciones de igualdad establecidas para los otros vectores unitarios. Ahora consideremos los dos marcos de referencia S1, y S2 de la figura 3-1, y olvidemos los subíndices de los vectores unitarios, ya que los vectores son los mismos en ambos sistemas. Imaginemos ahora que un evento está sucediendo en M, un punto en el espacio y en el tiempo que puede ser observado tanto desde S1 como desde S2. Este suceso ocurre en el tiempo t leído en cualquiera de los relojes de los dos sistemas. Por consiguiente, según la figura 3-1, podemos escribir la ecuación vectorial

r1   O1O2  i  r2

(3-1)

donde (O1 O2,) es la distancia desde el origen de S1 hasta el origen de S2 en el tiempo t del suceso. Ya que todos nuestros relojes fueron puestos en marcha cuando los orígenes coincidían, podemos escribir esto como

 O1O2  i  vti

(3-

2) Además, los vectores de posición en S1, y S2 se pueden escribir, en términos de sus componentes, en esta forma r1  x1i  y1 j  z1k y r1  x2i  y2 j  z 2 k

(3-3)

(3-4) donde (x1, y1, z1) son las coordenadas de M en S1 en el tiempo t, y (x2, y2, z2) son las coordenadas del mismo punto M pero en S 2 en el tiempo t. Ahora, la sustitución de las ecuaciones (3-2), (3-3) y (3-4) en la ecuación (3-1) da

x1i  y1 j  z1 k   x 2  vt  i  y 2 j  z 2 k

(3-5)

Ya que i, j, k son ortogonales (u objetos funcionalmente independientes), la ecuación (3-5) se puede escribir como tres ecuaciones simultáneas con la adición de otra trivial que se definió al empezar: x1  x2  vt y1  y2 z1  z 2

(3-6)

t1  t 2

Notamos que sólo los coeficientes en la ecuación (3-5) aparecen en el sistema (3-6). Los componentes vectoriales de cada lado se han cancelado. El sistema (3-6) es el primer ejemplo de una transformación de coordenadas que hemos encontrado. Examinemos el significado de esta transformación. Le dice al observador en S1 como relacionar las coordenadas S1, de M a las coordenadas S2 de M que él, el observador S1, mide en ambos sistemas de referencia. Si el observador S2 quiere relacionar las coordenadas en su marco con las coordenadas que mide en el marco S1, entonces se mantiene la misma transformación pero a la inversa. La inversa del sistema (3-6) es

x1  x 2  vt y 2  y1 z 2  z1

(3-7)

t 2  t1

Los dos sistemas (3-6) y (3-7) de ecuaciones simultáneas representan parte de lo que se conoce como grupo de transformaciones Galileanas. Si consideramos todas las posibles formas diferentes en que podrían estar relacionados entre sí los dos sistemas, incluiríamos los desplazamientos lineales a lo largo de los ejes y y z, de la misma clase del que hemos descrito a lo largo del eje x. Además, consideraríamos las rotaciones de ángulos variables alrededor de los diferentes ejes y también las reflexiones a través del origen y en cada dirección. Tomadas en conjunto, estas relaciones forman un grupo. Las propiedades del grupo, cuando se exhiben en forma algebraica, representan lo que generalmente llamamos grupo Galileano. Sin embargo, aquí no nos referiremos a rotaciones ni a reflexiones, sino que trataremos de las transformaciones, llamadas mapeos algunas veces, correspondientes a traslaciones lineales debidas a una velocidad vectorial constante v. Ahora extendemos nuestra teoría de las transformaciones Galileanas para incluir los efectos dinámicos tanto como los estáticos; averiguaremos cómo deben entenderse las velocidades cuando se observan desde diferentes marcos. Imaginemos que nuestro evento en el punto M se encuentra ahora en movimiento, alejándose de M en el tiempo t. Entonces la velocidad del evento con respecto a S1 es v1 donde

v1 

dr1 dt

(3-

8) y la velocidad del evento con respecto a S2 es

v2 

dr2 dt

(3-9)

Sustituyendo la ecuación (3-2) en (3-1) y diferenciando con respecto al tiempo t, y usando las ecuaciones (3-8) y (3-9), obtenemos la ecuación vectorial.

v1  v2  v

(3-10)

Recomendamos como ejercicio que la ecuación (3-10) se escriba en su forma de componentes [compárense las ecuaciones (3-5) y (3-6)], En cualquier caso, o sea, como una ecuación vectorial tal como la dada por la ecuación (3-10) o la misma ecuación como un sistema de ecuaciones simultáneas en una forma equivalente de componentes, la ecuación (3-10) puede ser llamada composición Galileana (o clásica) de velocidades. La ecuación (3-10) tiene, desde luego, una inversa [compárense las ecuaciones (3-6) y (3-7)],

v1  v2  v

(3-11)

Diferenciamos con respecto al tiempo una vez más, recordando que el sistema S 2 se mueve con velocidad constante v con respecto a S1. La misma respuesta se obtiene de cualquiera de las ecuaciones (3-10) o (3-11), de modo que para ambos observadores

dv1 dv2  dt dt a1  a2

(3-12)

(3-13)

Así, las aceleraciones parecen ser las mismas vistas desde uno u otro marco. Decimos que la aceleración es una invariante con respecto a una transformación Galileana. Ya que la masa también es una invariante en este tipo de transformaciones, el producto de la masa por la aceleración, o fuerza, también es una invariante con respecto a una transformación Galileana. Hemos estado usando una nueva terminología en las páginas anteriores, y debemos advertir que ella esconde algunos nuevos pensamientos y conceptos. Las leyes de conservación establecieron que ciertas cantidades tales como la energía o el momento permanecen constantes en "cantidad" total antes de, durante y después de una interacción dada. Tales interacciones son ejemplos de traslaciones en el tiempo, y las leyes de conservación son exposiciones acerca de la invariancia de alguna cantidad bajo estas traslaciones. Por otro lado, en este capítulo hemos discutido la invariancia bajo un cambio completo de marco espacial. En el caso anterior, los eventos ocurrieron en un solo marco. En esta sección, ampliamos nuestro campo para incluir la relación entre dos ó más de estos marcos moviéndose entre si. En los próximos capítulos, consideraremos con mayor detalle las transformaciones entre dos de estos marcos. En el curso de este proceso ampliaremos nuestra noción del "sentido común". 3-3 INVARIANCIA DE LA CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL En la figura 3-2, las dos partículas de masas m y m' forman un sistema aislado sin fuerzas externas. Sea S1 un marco inercial de referencia y S2 otro marco que se mueve con respecto a S1 con la velocidad constante v. Para el sistema S1 la ley de la conservación del momento establece que mv1 + m'v1' = constante

(3-14)

donde v1 y v1 ' son las velocidades de m y m' respectivamente. Así el valor del número dado por la suma mv1 + m'v1 ' en el tiempo t permanece inalterable en cualquier tiempo posterior, siempre y cuando no aparezcan fuerzas externas. Ahora dejemos que v2 y v2 ' sean las velocidades respectivas de las mismas dos partículas con respecto a S2. Sabemos que, de acuerdo con la composición Galileana de velocidades, la sustitución de la ecuación (3-15) en la ecuación, (3-1 4) muestra que m(v + v2) + m'(v + v2') = constante o mv2 + m' v2' = constante - (m'+m) v

Figura 3-2 El momento total de las partículas m y m' es invariante en forma cuando se transforma al sistema inercial S2. Finalmente mv2 + m'v2' = constante

(3-16)

ya que (m + m ') v = constante. Por lo tanto, comparando las ecuaciones (3-14) y (3-16) vemos que la conservación del momento lineal permanece invariante paro todos los sistemas inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros a velocidad constante. 3-4 INVARIANCIA DE LAS LEYES DE NEWTON Consideremos de nuevo una partícula de masa m con velocidades v1 y v2 vista desde los marcos de referencia S1 y S2 respectivamente, donde v es la velocidad constante conque S2 se mueve con respecto a S1 (figura 3-3).

Figura 3-3 Una partícula de masa m moviéndose a la velocidad v1 en el sistema S1 y a la velocidad v2 = v1-v en el sistema S2. Recordemos que de acuerdo al principio clásico de la relatividad, la composición Galileana de velocidades es

v1  v  v 2 ya que dv/dt1 = 0,

dv1 dv2  dt1 dt2

(3-17)

Así, ma1 = ma2 y las dos fuerzas F1  ma1 F2  ma2

son las mismas en cada sistema. Hemos mostrado que la segunda ley de la mecánica de Newton es invariante para todos los marcos inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante. Repitiendo el mismo razonamiento, se puede mostrar que las otras leyes fundamentales de la mecánica -la conservación del momento angular y la conservación de la energía también permanecen invariantes para todos los marcos inerciales que se mueven entre sí a velocidad constante. Antes de exponer nuestra conclusión, demos una definición útil: Un observador inercial es un observador en reposo con respecto a un marco inercial. Por lo tanto, el principio clásico de la relatividad puede exponerse en esta forma: Todas las leyes de la mecánica permanecen invariantes para todos los observadores inerciales que se mueven los unos con respecto a los otros con velocidad constante. EJEMPLO 3-1 Una bomba es soltada desde un aeroplano que vuela a una altitud de h =2000 m con velocidad horizontal constante de v = 150 m/seg (ver figura 3-4). Obtenga las ecuaciones de (a) movimiento, (b) velocidad, y (c) aceleración de la bomba según lo que ve un observador terrestre O1 en un marco de referencia estacionario S 1 (x1, y1) y según lo que ve el piloto 02 en el marco en movimiento S2 (x2, y2). SOLUCIÓN (a) Ecuaciones de movimiento. La aceleración de la bomba vista por el observador terrestre es simplemente g = 9.80 m/seg 2 (la aceleración de la gravedad). Al ser soltada la bomba por el aeroplano, su velocidad horizontal permanece constante con v = 150 m/seg medida por el observador terrestre. Después de t seg., el aeroplano se ha movido desde O2 hasta =O'2 [figura 3-4(b)], y la bomba se encontrará en A justamente debajo de él. Si x1 y y1 son las coordenadas de la bomba, medidas desde S1, el movimiento de la bomba visto por el observador terrestre es x1  v1t  150t y1  h 

1 2 gt  2000  4.9t 2 2

El piloto ve

x2  0

(a)La bomba soltada

(b) La bomba después de t seg.

Figura 3-4 Bomba soltada desde un aeroplano vista por un observador estacionario y por el piloto. y2  

1 2 gt  4.9t 2 2

(b) Velocidad. Diferenciando las anteriores ecuaciones de movimiento, obtenemos para el observador terrestre

dx1  v1x  v  150 m seg dt dy1  v1 y   gt  9.8t dt

Y para el piloto

dx 2  v2 x  0 dt dy 2  v1 y   gt  9.8t dt Estos son los componentes rectangulares de la velocidad medidos por cada observador. (c) Aceleración. Similarmente, los componentes de la aceleración, para O1,

d 2 x2  a2 x  0 dt 2 d 2 y2  a1 y   g  9.8 m seg 2 dt 2 Estas aceleraciones están de acuerdo con la transformación Galileana. PROBLEMAS

3-1 Una estación de radar fijada a la tierra rastrea dos naves cohete muy rápidas que se aproximan una a la otra a velocidades de 0.60c y 0.80c, respectivamente, donde c es la velocidad de la luz. ¿Cuál es la velocidad conque se aproximan entre sí las dos naves según un astronauta situado en una de ellas, de acuerdo con las transformaciones Galileanas? (Ver también el problema 4-15). 3-2 Una partícula es un sistema estacionario S1 tiene una posición dada por

x1  30t1  10t1

2

Donde t1 se expresa en segundos y x1 en metros. Encuentre expresiones para la posición, velocidad y aceleración medidas por un observador que se mueve en la dirección x positiva a la velocidad de 100 m/seg. Suponga que t1 = t2 = 0 cuando los sistemas S1 y S2 coinciden. 3-3 Pruebe que la conservación del momento angular permanece invariante bajo una transformación Galileana. 3-4 Dos pelotas de masas ma y mb se mueven paralelamente al eje x en un sistema S 1 (x1, y1, z1) con velocidades va y vb respectivamente. Para una colisión elástica entre estas pelotas, nuestra que la energía cinética también se conserva en un segundo sistema S2 (x2, y2, z2) moviéndose con velocidad constante v en la dirección x1. 3-5 Un elevador se mueve verticalmente hacia arriba a una velocidad constante de 5.0 m/seg. Cuando el elevador está a 10m sobre el piso, una persona sobre el piso tira una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 m/seg. Escriba las expresiones que representan la posición, velocidad y aceleración de la pelota con respecto a la persona en el piso y a la persona en el elevador. 3-6 En t1 = 0 una pelota es lanzada desde O1 en el sistema estacionario S1, con una velocidad inicial v0 = 30 m/seg un ángulo de 60º, como «e ve en la figura 3-5. Los sistemas S1 y S2 coinciden en t = 0 y el sistema S 2 en la dirección x1 positiva a la velocidad de10 m/seg. Escriba las expresiones para la posición y para las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración de la pelota, vistas desde los sistemas S1 y S2

3-7 Dos puntos A y B están separados dos kilómetros sobre la misma orilla de un río. De dos hombres que están haciendo el viaje redondo de A a B y de regreso a A, el primero rema en un bote a 8.0 km/hr. con respecto al agua, mientras que el segundo camina por la orilla a 8.0 km/hr (a) Si la velocidad de la corriente es de 4.0 km/hr. de A a B, ¿Cuál es el tiempo para que cada hombre haga el viaje

completo? (b) ¿Cuál es la velocidad del hombre que camina con respecto al hombre en el bote, en el viaje de A a B? 3-8 Un hombre que puede remar en un bote a 5.0 km/hr. en agua tranquila desea cruzar un río de 1.0 km. de ancho que corre a la velocidad de 3.0 km/hr. (a) ¿A qué ángulo con respecto a la orilla debe dirigir el bote para alcanzar exactamente el punto opuesto del que parte? (b) Calcule la velocidad del bote con respecto a la orilla (c) ¿Cuál es el tiempo requerido para cruzar el río? 3-9 En la figura 3-6, un río de anchura L fluye con velocidad constante o. El nadador A hace un viaje redondo SRS paralelo a la orilla, y el nadador B hace un viaje redondo STS perpendicular a la orilla. Si la velocidad de cada nadador con respecto al agua es c,

Figura 3-6 Demuestre que: (a) el tiempo del viaje redondo SRS es

t  

2 Lc c  v2 2

.

.

(b) el tiempo para el viaje redondo STS es t 

2 Lc c2  v2

3-10 Dos niños están jugando con pelotas idénticas, cada una de 0.080 kg. de masa, en el pasillo de un aeroplano que viaja a la velocidad de 150 m/seg. Cada niño tira una pelota al otro a velocidades de 20 m/seg. con respecto al aeroplano. Determine el momento total y la energía cinética, cuando las pelotas están en vuelo, según las mide (a) un pasajero en el aeroplano, y (b) un observador en la tierra. Explique si son invariantes el momento y la energía cinética. 3-11 Un átomo radiactivo emite una partícula a a la velocidad de 5.0 x 106 m/seg con respecto al átomo. Si el átomo se mueve en la dirección opuesta a la velocidad de 3.0 x 105 m/seg. con respecto al laboratorio, determine la energía cinética y el momento de la partícula a como se observan (a) desde el átomo en movimiento, y (b) por un observador estacionario en el laboratorio. 3-12 Un sistema S2 (x2, y2) se desplaza con movimiento traslacional uniforme con respecto al sistema S1 (x1, y1) a la velocidad constante de 30 m/seg. paralelamente

al eje x. Los ejes correspondientes en ambos sistemas son paralelos entre sí. Dos pelotas de masas m1 = 2.0 kg. y m 2 = 3.0 kg. se mueven con respecto al marco S 1, con velocidades v1= 3 i + 4j, (m/seg.) y v 1' = 5i + 12j (m/seg.). Calcular (a) las velocidades de las dos pelotas con respecto a S 2; (b) el momento total lineal con respecto a S1 y a S2, respectivamente; y (c) la energía cinética total con respecto a tos sistemas S1 y a S2.

CAPITULO 4 EL EXPERIMENTO DE MICHELSON-MORLEY 4-1

EL CONFLICTO SE DESARROLLA

En la última parte del siglo XIX, Maxwell y Hertz propusieron la concepción de la luz como radiación electromagnética. Desde entonces, los físicos han investido las muchas propiedades de la luz. Una vez se supo que la luz tenía propiedades ondulatorias, los físicos juzgaron natural proponer un medio que propagara este movimiento ondulatorio, o sea, algo en lo que viajaran las ondas de luz. Este medio se conoció generalmente como luminífero. Para calificarlo como portador de las ondas de luz, era necesario que dicho éter poseyera 'algunas propiedades muy extrañas. Se postuló que el éter era una sustancia más ligera que cualquier gas o vapor, y al mismo tiempo tenía una rigidez comparable a la del acero. En 1887 ALBERT A. MICHELSON y E. W. MORLEY idearon y ejecutaron un experimento para probar la naturaleza del éter luminífero y para intentar determinar la velocidad de la luz con respecto al éter. Los físicos se dieron cuenta de que si este éter existía, debía llenar todo el espacio y debía ser el sistema de referencia primario y absoluto para la luz. Concluyeron que la tierra debía o estar en reposo o moviéndose, con respecto al éter, y que consecuentemente el marco de referencia inercial para la luz estaba o en reposo o moviéndose con respecto a la tierra.

Para efectuar tal experimento, se necesitaba un instrumento óptico preciso. El interferómetro* es un instrumento que había sido desarrollado para medir la fase, o las posiciones, de los picos de onda a lo largo de un haz de luz, deduciéndose de estas mediciones la distancia de un pico al siguiente Con este instrumento también se pueden realizar otras muchas e interesantes mediciones. La figura 4-1 muestra un esquema del interferómetro. Nótese que un espejo semiplateado M divide el haz incidente de luz en dos haces componentes que viajan después formando un ángulo de 90° entre sí. Se dice que estos dos haces son coherentes porque se originan del mismo haz original, y cada porción de las ondas de luz de un haz tiene una diferencia constante de fase con respecto a las ondas de luz que forman el otro haz. Estos dos haces son a continuación reflejados por los espejos totalmente plateados M1 y M2 y luego regresan al observador vía el espejo M. Si los dos haces recorren trayectorias ópticas iguales, llegarán en fase y producirán un campo brillante por interferencia constructiva. Si la trayectoria óptica de un haz es incrementada corriendo el espejo M1 ó el M2 ligeramente, los haces empiezan a llegar al observador cada vez más fuera de la fase, con una disminución de la intensidad debida a la interferencia destructiva.

Si un espejo se mueve a una distancia de l/4 de su posición original, los dos haces quedan completamente fuera de fase y se interfieren destructivamente hasta producir un campo oscuro. Note que una pieza de vidrio, llamada placa compensadora, se ha introducido en la trayectoria 1. Ambos haces de luz viajarán tres veces a través del mismo espesor de cristal antes de llegar al observador. Cuando Michelson y Morley decidieron efectuar un experimento para probar las propiedades del éter, pensaron que un interferómetro servirá sus propósitos. Querían diseñar un experimento que determinara de hecho si existía el éter y si se movía con respecto a la tierra. Como las ondas en la superficie de un río, las ondas de luz debían aparecer moviéndose a diferentes velocidades con respecto a un observador, dependiendo de si las ondas se movían o no a favor de la corriente del éter, en contra o perpendicularmente. Si la tierra se mueve a través del éter (o, lo que es lo mismo, si el éter, (fluye a través de la tierra) un observador debería poder detectar una diferencia en la velocidad de la luz en distintas direcciones. Para lograrlo, Michelson y Morley construyeron un gran interferómetro, que hicieron flotar

sobre una piscina de mercurio. Entonces trataron de observar cambios en la velocidad de la luz a lo largo de la trayectoria 1con respecto a la 2, a medida que cambiaban la dirección del interferómetro haciéndolo girar en su piscina de mercurio. Una diferencia relativa en la velocidad de la luz sería indicada por cambios en la brillantez de las franjas al final del haz. Repitamos el experimento en nuestra imaginación, pero eliminando las muchas dificultades que tuvieron que vencer Michelson y Morley. Construyamos un gran interferómetro con las trayectorias MM1 (no. 1) = MM2 (no. 2) = L y hagamos flotar el aparato en mercurio, orientando el eje SM1 en la dirección en que la tierra viaja con respecto a las estrellas fijas distantes. Elegimos esta orientación como un supuesto razonable de la dirección en que viajamos a través del éter (si es que ella existe) La velocidad de la luz con respecto al éter es c y gracias a las transformaciones Galileanas deducimos que la velocidad de la luz con respecto a la tierra, a lo largo del brazo del interferómetro paralelo a la velocidad v de la tierra, es

c–v c+v

(de M a M1) (de M1 a M)

(4-2)

El tiempo implicado para cada viaje de una onda de luz será L t MM1  cv L t M 1M  cv

(4-3)

De modo que el tiempo para el viaje redondo, MM1M, en dirección paralela al movimiento de la tierra, es

2L L L c t    c  v c  v 1 c v

 

El tiempo para que la luz mi M, en dirección movimiento de la tierra,

2

(3-4) haga el viaje redondo, M perpendicular al es

Tiempo Tiempo para para MM1 M1M L

t 

c v Tiempo para MM2

t 

2

L



c  v2 Tiempo para M2M

2

2L c2  v2

2

2L



 c

1 v

(4-4)

2

Estas ecuaciones resultan de la composición clásica de velocidades como se muestra en la figura 4-2. Si c es la velocidad de la luz con respecto al éter en el marco de referencia S 1 entonces la velocidad de la luz con respecto a la tierra (marco de referencia S2) en ambos viajes MM2 y M2M es siempre c2  v2

Las ecuaciones (4tiempos de viaje medidos por observadores que ya que hemos experimento transformaciones estos tiempos independientes de (del movimiento del Partiendo de las (4-4),

2L c  t



 c

t  2L

 c

1 v



2

 1 v 2   c 



1

 c

1 v

2

3) y (4-4) dan los MM1M y MM2M nosotros, los terrestres. Notemos analizado el usando las Galileanas clásicas, deben ser nuestro movimiento observador). ecuaciones (4-3) y

(4-5)

Así,

 tt 

y las dos porciones del haz coherente deberían producir un patrón de interferencia

al juntarse. Cuando Michelson y Morley efectuaron muy cuidadosamente este experimento en 1887, esperaban observar un corrimiento de al menos 0.40 de banda. Sin embargo, sus esfuerzos mostraron que, a lo más, el corrimiento era de 0.005 de banda. Por ende, se preguntaron si había, de hecho, un efecto que pudiera ser observado. Desde entonces se han realizado muchos otros experimentos cuidadosos para medir la velocidad relativa de la luz, pero ninguno ha servido para demostrar la existencia del éter luminífero. El resultado experimental siempre dio (4-6) En otras palabras, la ecuación (4-6) naturaleza a la pregunta de si existe y Morley intentaron responder con Un conflicto surge, sin embargo,

 tt 

es la respuesta experimental de la o no el éter, pregunta que Michelson su experimento. puesto quede acuerdo con el

análisis Galileano un observador que efectúa este experimento debería observar que

 tt 

y

esto no se observó. Por otro lado, si se rechaza la composición Galileana de velocidades, y aceptamos que la velocidad de la luz es la misma para ambos sistemas inerciales S 1 y S2 , tendremos

2L t  c 2L t  c Y por consiguiente



tt 

Figura 4-2 Movimiento relativo de la luz de acuerdo con la composición clasica de velocidades, a medida que se refleja entre los espejos M y M2 Este resultado concuerda con los resultados de mochos experimentos. Por lo tanto, los resultados del experimento de Michelson-Morley forzaron a los físicos a aceptar la invariancia de la velocidad de la luz. De lo cual concluimos que la velocidad de la luz es la misma, sin importar que esta velocidad sea medida por un observador en un sistema estacionario o por un observador en un sistema que se mueve a una velocidad constante con respecto a la fuente de luz. El experimento de Michelson-Morley fue crucial, porque los resultados "negativos" que produjo originaron una revolución en el pensamiento conceptual de la física. Se creó la exigencia por una visión más profunda de la naturaleza del espacio y del tiempo. El espacio y el tiempo son, después de todo, la estructura dentro de la cual se encuentra la naturaleza. Tal vez muchos o aun la mayor parte de los eventos observados a nuestro alrededor y que llamamos "naturales" son únicamente manifestaciones de diferentes propiedades del espacio y del tiempo. Como físicos, juntaremos estas propiedades y las estudiaremos bajo el título de "transformaciones". Una pregunta que usualmente formula un físico es: "¿Cómo aparecerá este evento particular si lo veo ocurrir desde algún otro marco de referencia en alguna situación en que yo pueda estar viajando, acelerando o

girando con respecto al laboratorio en que al presente estoy en reposo? " Es difícil, y aun imposible, responder esta pregunta. Buscando respuestas a estos problemas de transformaciones, los físicos han logrado grandes progresos en las décadas recientes, en su esfuerzo por comprender y definir la física. Las conclusiones, particularmente invariancia de la velocidad de la luz, resultantes del experimento de Michelson-Morley, constituyeron la base experimental para la teoría de la relatividad de Einstein*. Los resultados de este experimento y el trabajo de Einstein originaron una tendencia orientada hacia la investigación de las propiedades de transformación de toda la naturaleza. El esfuerzo de los científicos por comprender mejor la naturaleza del espacio y del tiempo todavía se encuentra a la vanguardia de la física. Esta empresa fue firmemente establecida con las ecuaciones de movimiento de Galileo y Newton y empezó a expandirse aún más con las de Lorentz. 4-2 LAS TRANSFORMACIONES DE LORENTZ En este punto nos vemos forzados, en relación con los experimentos que tratan con la luz, a rechazar el uso de las transformaciones Galileanas, excepto como una aproximación a la verdad, y a buscar otras ecuaciones más generales y compatibles. Recordemos que si

v/c -» 0 (o sea, si v es pequeña), la ecuación (4-5) se vuelve

 tt 

Por otro lado, para

grandes velocidades (si v /c -» 1), nos vemos forzados a rechazar las transformaciones Galileanas. Sin embargo, aún pueden considerarse como una buena aproximación en el mundo de movimientos más lentos. Considérese la figura 4-3, donde un sistema inercial S1 está en reposo y un sistema inercial S2 se desplaza con movimiento traslacional uniforme (v = constante). En el tiempo t 1 = t2 = 0 ambos marcos coinciden, los relojes son perfectos y están sincronizados. En el instante r t1 = t2 = 0 se emite un pulso de luz desde el origen común de S 1 y S2. Sea M un punto hasta el que ha avanzado el haz de luz con coordenadas espacio-temporales (x1, y2, z1, t1) y(x2, y2, z2, t2) en los sistemas S1 y S2 respectivamente. De acuerdo con los resultados del experimento de Michelson-Morley, la velocidad de la luz c debe ser la misma para ambos sistemas inerciales S1 y S2. Las distancias r1 y r2 desde sus orígenes respectivos hasta el punto M (el punto alcanzado por los pulso) están dadas por r1  ct1

(4-

r2  ct 2

7) Por lo tanto, nos vemos forzados a aceptar el hecho de que los dos tiempos de viaje t1, y t2 (medidos por los observadores O1 y O2)son diferentes, aunque esto sea contrario a lo que podamos experimentar "de ordinario". De la ecuación (4-7) 2

2

2

2

2

x 1  y1  z1  c 2 t1 2

2

x 2  y 2  z 2  c 2t2

2

(4-8)

y de las condiciones de simetría .y1 = y2 y z1 = z2 , la ecuación (4-8) se combina ahora 2

2

2

x 1  c 2 t1  x 2  c 2 t 2

2

(4-9)

En este punto, nos desviaremos de nuestra exposición para hacer notar que estamos partiendo de un supuesto: Existe un sistema de ecuaciones que interpreta la descripción de una serie de eventos, vistos desde un marco, en la descripción de la misma serie de eventos vistos desde otro marco.

Figura 4-3 El sistema S2 se mueve a velocidad constante con respecto al sistema estacionario S1. Es posible pensar en muchos ejemplos en que puede aplicarse tal sistema de ecuaciones. Este método debe funcionar si es que todos los observadores han de ver la misma naturaleza en el mismo universo. El sistema de ecuaciones usado para tal interpretación es llamado una transformación. Podemos pensar de este método simplemente como de una nueva forma de relacionar las coordenadas de un evento, vistas desde un marco, con otro sistema de coordenadas vistas desde otro marco. Esto equivale a decir que no creemos que nuestra elección de coordenadas deba tener efecto sobre lo que observamos está acaeciendo en la naturaleza. Recordemos que en esta discusión estamos sólo considerando marcos de referencia que se mueven a velocidad constante entre sí. El tratamiento de transformaciones entre marcos acelerados los unos con respecto a los otros constituye todo un campo de investigación, que está más allá del alcance de este texto. Este tema constituye el estudio de la llamada relatividad general. Hagamos énfasis en que aquí nos interesan solamente aquellos marcos que se mueven a velocidad constante. Se les conoce como marcos inerciales porque hay una relación especialmente simple entre ciertos vectores (tales como los de momento) vistos desde diferentes marcos. Suponemos que las ecuaciones que relacionan las coordenadas de un marco inercial con las de otro son ecuaciones lineales de la siguiente forma x1   ( x 2  vt ) y 2  y1 z 2  z1 t 2  a (t1  bx1 )

(4-10)

en las que g, a y b son constantes, que evaluaremos en los próximos párrafos. Varios requisitos deben cumplir el formato de transformaciones dado por la ecuación (4-10). Deseamos enfatizar que las ecuaciones deben ser lineales en forma, ya que un evento descrito en un sistema sólo debe transformarse en un evento en un segundo sistema. (Una transformación de forma cuadrática podría concebiblemente producir dos soluciones, lo que implicaría que un evento en un sistema podría interpretarse como dos eventos en un segundo sistema, situación que es imposible). También, para velocidades pequeñas comparadas con c(v/c -» 0), las nuevas transformaciones deben reducirse a la forma de las transformaciones Galileanas. La ecuación (4-10) se mantiene igualmente para sistemas coincidentes, o sea, cuando t1 = 0 y x1 = 0, luego x2 = 0 y t2 = 0 Ahora sustituyamos la ecuación (4-10) en la ecuación (4-9) para obtener 2









2





x1  2  a 2 b 2 c 2  1  x1t1  2 2 v  2a 2 bc 2  t1  2 v 2  a 2 c 2  c 2  0

(4-11)

Ya que esta expresión es idéntica a cero, 

2

 a 2b 2 c 2  1  0

 2 2 v  2a 2 bc 2  0

 v a c c 0 2

2

2

2

2

(4-12)

Resolviendo estas ecuaciones para las constantes g, a, y b obtenemos

1

 a

 c

1 v

2

(4-13)

Y

v c2

b

1 La expresión

 c

1 v

2

(4-14)

se conoce como factor de Lorentz y usualmente se representa por

g. También la expresión v/c se denota usualmente por b. La ecuación de transformación (4-10) toma ahora la forma

x2 

x1  vt1

  ( x1  vt1 )

1  2

y 2  y1 z 2  z1

 c x

t1  v

t2 

2

1 

1

2

  (t1 

 2 x ) c

(4-15)

Las transformaciones inversas de la ecuación (4-15) son

x2 

x 2  vt 2 1  2

  ( x 2  vt 2 )

y1  y 2 z1  z 2 t1 

 c x

t2  v

2

1  2

2

   (t 2  x 2 ) c

(4-16)

Estas ecuaciones se pueden obtener ya sea por manipulaciones algebraicas o, prácticamente, intercambiando los subíndices en la ecuación (4-15) y I reemplazando v por -v. Estas transformaciones se conocen como transformaciones de Lorentz en honor de H. A. LORENTZ (1853-1928), el físico holandés que las enunció en 1890.

En 1923 Niels Bohr propuso un principio de correspondencia. Este establece que cualquier teoría nueva en la física debe reducirse a la bien establecida teoría clásica correspondiente, cuando la nueva teoría se aplica a la situación especial en que la teoría menos general se acepta como válida. Estudiemos la ecuación (4-15) para ver si el principio de correspondencia se mantiene. Cuando b = v/c y tiende a cero, vemos que la ecuación (4-15) se reduce a: x 2  x1  vt1 y 2  y1 z 2  z1 t 2  t1

que son las transformadas Galileanas [ecuación (3-7)]. Así asumimos: Las transformaciones de Lorentz = Las Transformaciones Galileanas



cuando

v 0 c

4-3 COMPOSICIÓN DE VELOCIDADES DE LORENTZ Diferenciamos la ecuación (4-15) pan obtener

dx1 

dx1  vdt1 1 

2



(v1x  v)dt1 1  2

dy 2  dy1 dz 2  dz1 dt 2 

 c dx

dt1  v

2

1  2

1

(4-17)



(1 

vv1 x

)dt c2 1 1  2

donde v1x= dx1/dt1. Así las ecuaciones de transformación de Lorentz para la velocidad son

v2 x  v2 y

v v dx 2  1x dt 2 1   v c 2  v1x









2 dy 2 v1 y 1     dt 2 1   v c 2  v1x

dz 2 v1z 1   2 v2 z   dt 2 1   v c 2  v1x

(4-18)

Nótese que ahora, con las transformaciones de Lorentz, aun cuando la velocidad v se produce a lo largo del eje x, las componentes y y z de v2 también dependen de v1x.

Cuando b = v/c tiende a 0, estas ecuaciones toman la forma v 2 x  v1x  v v 2 y  v1 y v 2 z  v1z

Pero éstas son la composición Galileanas de las velocidades. De suerte que el principio de correspondencia sí se aplica. Intercambiando los subíndices 1 y 2 y reemplazando v por -v obtenemos la transformación inversa de velocidades

v1x  v1 y  v1z 

v2 x  v 1   v c2 v2 x









v2 y 1   2 1   v c2  v2 x

v2 z 1   2 1   v c2 v2 x

(4-

19) Consideremos una partícula M que se mueve paralela al eje x con una velocidad v 2 = v2x en el sistema S2, el cual a su vez se mueve con velocidad v con respecto al sistema inercial S1, De acuerdo con la transformación Galileana, las componen:» de velocidad de M medidas en el sistema inercial S1 son v1 x  v 2 x  v  v 2  v v1 y  v 2 y  0

(4 - 20)

v1 z  v 2 z  0

Según las transformaciones de Lorentz, las componentes de velocidad son

v1x  v1 y 

v2 x  v v2  v  1   v c2 v2 x 1   v c2 v2 x



0





v2 y 1   2 1   v c 2  v2 x

v2 z 1   2 v1z  0 1   v c 2 v2 x 21)

(4 -

En particular, si dejamos que v2 = c la transformación Galileana da v1 x  c  v v1 y  0 v1 z  0

Este resultado es incompatible con los datos observados en el experimento de Michelson-Morley. Sin embargo, las transformaciones de Lorentz indican que

cv c 1 v 2 c c 0

 

v1x  v1 y

v1z  0 Lo cual sí está de acuerdo con los resultado del experimento de Michelson-Morley. EJEMPLO 4-1: Muestre que si (x1, y1, z1, t1) y (x2, y2, z2, t2) son las coordenadas de en evento en S 1 y del evento correspondiente en S2, respectivamente, entonces la expresión 2

2

2

2

ds1  dx1  dy1  dz1  c 2 dt1

2

es variante bajo una transformación de coordenadas de Lorentz (o sea ds12 = ds22) SOLUCIÓN: Diferenciando la expresiones de la ecuación (4-16)

dx1 

dx 2  vdt 2 1  2

dy1  dy 2 dz1  dz 2 dt1 

 c dx

dt 2  v

2

2

1  2

donde hemos supuesto que v = constante. Es evidente que

2

 dx  vdt  2   2

ds1  



1   2 

 c dx 

 dt 2  v 

2 2

2

 dy 2  dz 2  c 2  

2

1  2 

lo que se simplifica a 2

2

2

2

2

ds1  dx 2  dy 2  dz 2  c 2 dt 2  ds 2

2

2

2







PROBLEMAS 4-1 Empiece con la transformación de Lorentz, de la ecuación (4-15) y resuélvala algebraicamente para x1, y1, z1 y t1, mostrando que la transformación inversa de Lorentz, ecuación (4-16), se puede obtener intercambiando los subíndices 1 y 2 de las coordenadas y reemplazando v por –v 4-2 Repita el problema 4-1 para la transformación de velocidades de Lorentz en la ecuación (4-18) y muestre que las ecuaciones inversas se pueden obtener como en el problema 4-l. 4-3 Use la transformación de velocidades de Lorentz para mostrar que si v1x2 + v1y2 + v1z2 = c2 en el sistema inercia! S1, entonces v2x2 + v2y2 + v2z2 = c2 en el sistema inercial S2. (Esto muestra de nuevo que la velocidad de la luz es la misma para todos los sistemas inerciales, de acuerdo con las transformaciones de Lorentz) 4-4 Considere un sistema inercial S2 que se mueve a la velocidad v = c con respecto al sistema S1. Un observador en el sistema S2 rastrea una partícula que se mueve con una velocidad de componentes rectangulares c2x = c y c2y = c/2 Calcule la magnitud y dirección de la velocidad de la partícula medida (a) por las transformaciones de velocidad de Lorentz, y (b) por una composición Galileana de velocidades. Compare sus resultados. 4-5 Dos vehículos de propulsión fónica se aproximan uno al otro en direcciones paralelas y opuestas con velocidades de 0.80c y 0.70c con respecto a un observador en reposo a lo largo de la línea de acción. Calcule la velocidad relativa de los dos vehículos (a) medida según la mecánica clásica, y (b) medida según la mecánica relativista. Compare resultados. 4-6 Cuando un reloj pasa por nuestro costado a la velocidad de v = c/2, marca t = 0 justamente cuando nuestro reloj marca t1 = 0. Use la transformación de Lorentz para determinar la lectura de nuestro reloj cuando el reloj en movimiento marca t2 = 10 seg. 4-7 Un hombre en un carro que se mueve a la velocidad de 60 km/hr lanza una pelota en la misma dirección en que se mueve el carro. Si la velocidad de la pelota con respecto al carro es de 80 km/hr calcule la velocidad de la pelota con respecto al piso usando (a) ecuaciones relativistas y (b) Galileanas. Compare resultados. 4-8 El capitón de un vehículo espacial que viaja a la velocidad de 0.80c con respecto a una estación de radar estacionaría, usa un cañón electrónico para disparar electrones en la misma dirección de viaje a la velocidad de 0.90c con respecto al vehículo. Calcule la velocidad de los electrones con respecto a la estación de radar (a) según la mecánica relativista, y (b) según la mecánica clásica. 4-9 Muestre que la fórmula relativista v 1x = ( x2x+v )/[1+(v/c2)v2x] da cuando v < c y v1x